BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
2
2
Ứng dụng hệ thức Vi-ét:
ax
bx
a
b
4
ac
c
0 * ,
0 ,
Xét phương trình bậc hai: .
2
S x x 1 b a . Gọi S , P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm , x 1 x . Hệ thức Viét: 2 c a P x x 1 2
0P .
*PT
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu
*PT
0
0 Điều kiện có hai nghiệm phân biệt cùng dấu . 0P
0
*PT
0
S P
0
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt dương .
0
*PT
0
S P
. Điều kiện có hai nghiệm phân biệt âm
2
2
2
Các hệ thức thường gặp:
S
2
P
2
2 x 1
x 2
2 x 1
x x 2 . 1 2
x 2
x x 2 . 1 2
x 1
x 2
x x 2 . 1 2
2
.
4
S
4
P
2
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
2
.
4
S
4
P
2
x 2
x 1
x 1
x 2
x x 1 2
2
2
.
4
S S .
4
P
2
2 x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
2
3
2
2
.
3
P
3 x 1
x 2
x 1
x 2
2 x 1
x x . 1 2
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 3 . 1 2
S S .
2
2
2
2
2
4
2
2
2
.
2
2
2
4 x 1
x 2
2 x 1
x 2
2 x 1
x 2
2 x x . 1 2
x 1
x 2
x x 1 2
2 2 x x 1 2
2
2
.
2
x 2
. S 2 P 2 P
S P
1 x
x 1 x x 1 2
1 x 1
2
2
.
2 x 2 x x 1 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 1/38
4 S 4 P x 1 x x 1 2 x 1 . P 1 x 1 1 x 2 x 2 x x 1 2
2
2
2
2
2 x 1
2
x 2 x x 1 2
3
2
2
x 4 x S S . 4 P x 1 x 2 x x 1 2 x 1 x 1 x 2 P x 1 x 2 x 2 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 2
2
3 x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x x . 1 2
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x x . 1 2
2
2
2
2
.
2
x 4 S 4 P . x 1 x x 1 2 x 1 x 2 x x . 1 2 P S
2
2
4
2
2
2
2
2
S
2
P S S .
4
P
4 x 1
x 2
2 x 1
x 2
2 x 1
x 2
2 x 1
x 2
.
2
2
m
x
2
mx
1 0
. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc
1
II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
1; 0
. Câu 1: Cho phương trình khoảng
1 0
1
x
x
1; 0
Lời giải
2
m
m
1 0
phương trình trở thành
1 0
m
2
m
Xét
1 2 1 khi đó ta có: 2 2
2
2
m
m
2
m
m
m
0
1
'
mọi m .
1
2 1
Xét
1; 0
1
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m . 1x không thuộc khoảng Ta thấy nghiệm
x
m phương trình còn có nghiệm là
1 2
2
1
1 m
m m 2 m 1 suy ra
1 0
0
0
1
0
m
2
1
1 m
1; 0 m 2 1 2 m m 2 1 0
Với
Phương trình có nghiệm trong khoảng
0m .
1; 0
2
2
khi và chỉ khi
m
2
x
1 0
x m
( x là ẩn số)
1 1 2 m m 2 1 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng 1
Câu 2: Cho phương trình
2
x 1
x 2
x 1
x 23
2x của phương trình đã cho thỏa mãn:
1x ,
2
2
2
m
4.
m
5 4
m
. a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm
1
1
a) Lời giải
5 m 4
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
m
1
5 m 4
b) Phương trình hai nghiệm
2
1
x x 2 1 x x m 1 2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 2/38
Theo đề bài:
2
3
x 1
x 2
x 1
x 2
2
3
x 2
x 2
2
2
m
m
4
3
1
x 1
x 2
x 1 1
3
m
x x 4 1 2 5 4
x 1 2 x 1
x 2
2
2
2
m 1 2 m 1 Ta có hệ phương trình: 3 5 4 m 1) x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 2 m 3( 2 x 1 m 1) 1 m 1 3(
1
3 4 m
1
m là các giá trị cần tìm
m 2 1 1 0
x
1 0
2 5
x m 3
( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm
1x ,
2x
3
75
2 m 2 m m 1 Kết hợp với điều kiện Câu 3: Tìm m để phương trình
3 x 1
3 x 2
x x 1 2
thỏa mãn
25
m
m
29 12
4.1. 3
1
Lời giải
m
0
29 12
5
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
m 3
1
x 2
x 1 x x 1 2
Áp dụng hệ thức Vi-ét
75
3
3 x 1
x x 1 2
2
3
75
Ta có:
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
75
x x 1 2
x 2
x x 1 2
3
75
3
x 1
x 2
x x 1 2
x x 1 2
3 x 2 25 x 2 3
x 1 x 1 25 x 1 x x 1 2
x x 1 2
m
5 3
Kết hợp 5 4 1 suy ra Thay vào m 3 suy ra x 1 x 2 x 1 x 21; x x 1 2
m là giá trị cần tìm
5 3
Vậy
9
x
2 10
Câu 4: Cho phương trình ( m là tham số)
1x ,
2x thỏa điều kiện
0 mx m a) Giải phương trình đã cho với 1m . b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm
0 x 1 x 29
x
9
1m phương trình đã cho trở thành
2 10
0
1
a) Với Lời giải x
a b c
0
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là
9
x 1 x 2
2
Ta có
'
5
m
1.9
m
25
m
9
m
2
2
b)
25
m
9
m
0
' 0
(*)
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 3/38
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là
m
10
10
m
9
0
9
9
m
9 , (*)
m
1
x 2
m
2
x 2 x 2 9
m
x 2 9
m
0
9
m
0
x 1 x 1 x x 1 2
x 1 x x 1 2
10
x m 2 x 1 9 m
1
x m 2 x 1 m m
2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
2 x m m 0m .
Câu 5: Cho phương trình ( m là tham số) 2( 1) m x 1 0 a) Giải phương trình đã cho với
4
1x ,
2x thỏa mãn điều kiện
1 x
1 x 1
2
0m , phương trình đã cho trở thành:
1 0
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
' 2 ; x
2
Lời giải 2 2 x x
1
1,2
1
2
a) Với
x 1,2
Vậy với .
'
2 0
m
m
0
2m
2
1)
m
2(
0m thì nghiệm của phương trình đã cho là Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
b)
2
1
x x 2 1 x x m m 1 2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
x 2 4 4 4 1 1) m 2( 2 m m Do đó: 1 1 x x 2 1 x 1 x x 1 2
2 m m
2 m m
1 1 0 1 0 2 m m 1 2( m 1) 2 m m 2 3 0 3 2 m m
m
Kết hợp với điều kiện là các giá trị cần tìm.
1; 1)
22 x để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 6: Cho phương trình (2 m
3 2 1 0 x m 1x ,
3 x 4 2 x 1
0
1x ,
2
m
4.2.
m
0
2
1
1
2
m
m
9 0
2
m
3
0
4 2
12
m
3 2
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ( m là tham số). Không giải phương trình, tìm m 2x thỏa mãn 11 Lời giải 2x thì
x
2
x 1
x 1
x .x
x
1
2
2
13- 4m 7 7m 7 26 -8m
2m 1 2 m 1 2 11
4x
2
4
11
13- 4m 7
7m 7 26 -8m
3x 1
3
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 4/38
Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có:
3
4
11
13- 4m 7
7m 7 26 - 8m
Giải phương trình
2 Ta được 4,125
2
2
Vậy là các giá trị cần tìm 4,125 m m m 2 m Câu 7: Cho phương trình ( m là tham số). 1) m x x m
'
3 0 2( a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Lời giải
0
2
2
a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
1 4 0
2m là các giá trị cần tìm
2m thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
0 3 m m 1.
2 m 2m Vậy b) Với Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a . Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
2
1
1
2
3
3
m
a
m 2 15 0 (thỏa mãn điều kiện)
m 2 2 6 m m m 3 2 6 Vậy
a 3 2 a 2 m 2 .3 a a m 3
2
là các giá trị cần tìm. m
m
4
m
2 x mx
1 0
1 2
1
m .
Câu 8: Cho phương trình ( m là tham số). 3 2 6 1 2 a) Giải phương trình đã cho với
x 1
x 2
1 x
1 x 1
2
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn
2
2
x
x
x
2
x
Lời giải
0
9 0
1
m phương trình trở thành
1 2
9 2
a) Với
1 10
2
m
4.
.
m
4
m
1
0
2 0
m
8 m
2
1 2
1 2
0 1 4
10 1 x 2 x 1 b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì
4
m
1 0
21 m 2
Để phương trình có nghiệm khác 0
4 3 2 m 1
0
4 3 2 m 2
1
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
x 2 1 0
x 1 x x 1 2
1 x 1
1 x 2
0
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 5/38
Ta có
2
0
0 2 m 0 4 19 m m m 8 3 0 m 19 4 m
m
19
4
m
0
Kết hợp với điều kiện ta được
m
19
4
m
2 2 x m x m
là các giá trị cần tìm. Vậy
1 0
4
Câu 9: Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình ( m là tham số) có nghiệm nguyên. Lời giải
1
22
Phương trình có nghiệm nguyên khi
m
m
4
4 4
là số chính phương
m 4.1. m m m 4 4
0 (loại)
2
2
0 thì Nếu 1
2 2
m
4
m
5 0
2
2
m
5
4
m
4
m
4
4
2
4
2
1
2
2
2
2
m
m m
m 1
4 m m 2
m
không là số chính phương. Vậy
Nếu Nếu m m 2m thì 3m thì (nhận) 2 5
2m là giá trị cần tìm m
2 2(
Câu 10: Cho phương trình x 3 0 x m
m .
( m là tham số). 1) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào
2x là nghiệm của phương trình đã cho)
1x ,
2 P x 1
2 (với x 2 Lời giải
2
2
'
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
m
m 3
1.
m
m
m
3
0
4
1
7 4
2(
1)
m
2
m
2
3 2 Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
a) , m
3
2
m
6
x 2
x 1 x x 2 1 2
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
2
2
m
m
4
2
2
3
4 0 2 x 1 x 2 x x 1 2
x x 2 1 x x m 1 2 không phụ thuộc vào m .
1
x x 1 2
x 2
x 1
2 P x 1
2 2
2
m
c)
15 4
x 25 2
2
m
m
0
, m
P
" xảy ra khi
15 4 15 4
5 4
5 2
và dấu " Do đó min
P
m .
15 4
với Vậy min
5 4 2 x mx m
1 0
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 6/38
Câu 11: Cho phương trình ( m là tham số).
1x ,
2x . Tính giá trị của biểu thức
2 x 1 2 x x 1 2
2 x 1 2 2 x x 1 2
a) Gọi hai nghiệm của phương trình là . Từ M
0M .
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
đó tìm m để b) Tìm giá trị của m để biểu thức
1
2 P x x 2 1 1 Lời giải x x m 1 2 x x m 1 2
2
2
1
m
1
x 1
a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
M
2 m
2
m 1 m 1
2 x 1 2 x x 1 2
2 x 1 2 2 x x 1 2
x 2 x x 1 2
x 1
x x 1 2 x 2
2
2
1
m 2 m m
m 1
m m m
1 1
0
2
1 0
m
1
Ta có
M
0
0
0
m m
1
m
0
0
m m m
1 1
2
2
m
2
2
m
x
Để
m m m m 1
1 0
1 1
x 1
x 2
x x 1 2
2 2
2 P x 1
0
m
m
1
, m
m
1 0
m
b) Ta có
1
" xảy ra khi
0
2 2 m Do đó min Vậy min Câu 12: Cho phương trình
2
x
m
2
P với 0
x m 2
( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai
0 2
x 2
x 1
1 2 1 P và dấu " 1m . 2 2x thỏa mãn
1x ,
nghiệm
Lời giải
1x ,
2x là
' 0
m
0
m
0
2 1 0 m 1) 0 2( 0 m 2
0
x 2
x 1 x x 1 2
2
m
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm
2
m
x 2
x 1 x x 1 2 2
2
1 Theo hệ thức Vi-ét:
2
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
Ta có
2
2 2 2 2 m m 2 m (thoả mãn) 0 Vậy
m
x
x m
0m là giá trị cần tìm. 1
1x ,
2x là hai nghiệm của phương đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
2007
0 A x x 2
2 1
2 x x 1 2
Câu 13: Cho phương trình ( m là tham số). Gọi
2
2
trình đã cho. Tìm giá trị của m để nhất đó. Lời giải
2 [-(m+1)]
m
0
0
Ta có 4 2 m 1 ( m 1) m m
m 1
2 1
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 7/38
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
2007
2007
x m x 2 1 x x m 1 2
x x 1 2
x 1
A x x 2
2 1
2 x x 1 2
x 2
2
2007
2 m m
2007
m
2.
m .
2006
m m
1
1 2
1 4
3 4
m
Ta có
8027 4
8027 4
21 2
m
m
, m
0
" xảy ra
1 2
1 2
Dấu "
A
m .
8027 4
2
với Vậy min
x
2
mx
2
m
1 2
1x ,
2x là hai nghiệm của phương
Câu 14: Cho phương trình
2 x x 1 2
1 0 A x x 2 Lời giải
2
2
2
2
m
m
4
m
8
m
4
m
đạt giá trị lớn nhất. trình đã cho. Tìm giá trị của m để ( m là tham số). Gọi 2 1
4
4.1. 2
1
m
0
0
Ta có
m 1
1 2 1
2
m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
1
x 2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
m
A x x 2
2 1
2 x x 1 2
x x 1 2
x 1 x x 1 2 x 1
x 2
2
2
2007
2
m
m
m
2
m
m
m
2
4
4
m m
1
1
1 2
2
2
m
2.
m .
m
4
4
Ta có
1 4
1 4
1 4
m
m
0
, m
" xảy ra
1 1 1 4 16 16 1 4
1 4
A
với
m .
Dấu "
1 4
Vậy m ax
x
m
x
2
m
1 4 2 2
1
5 0
Câu 15: Cho phương trình ( m là tham số).
2x thỏa mãn
1x ,
2
2
. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 x 1 x 2
1
4.1. 2
2
2
2
m
2.2 .3 9 13
13 0
m
m
3
2
, m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
2
m
2
a) Ta có 2 m m m 5 4 12 m 22 Lời giải
2
m
5
x 2
1 0
x 1 x x 1 2
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I)
1
0
1 0
1
1
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
x 1
x 2
1 0
x 1 x 2
2
2 0
1 0
0.
m
m
m
2
5
, đúng với mọi m .
Theo giả thiết (II)
2x thỏa mãn
. Thay (I) vào (II) ta có: 2 Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm 1 x 1 x 2
2 x mx m
1x , ( m là tham số).
0 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 8/38
Câu 16: Cho phương trình
a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
1x ,
2x của phương trình thỏa mãn
2 x 1 x 1
2 x 2 x 2
. b) Định m để hai nghiệm . 4 2 1 2 1
2
2
2
Lời giải
m 8 ( 4.( 2) 2) m m m m , m
a b c
m m
2
1
, m nên phương trình có 2 nghiệm
2
1 0 2
x
mx m
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 4 4 0 4 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m . b) Vì , x x , m . 1 1
2
2
1
2 Phương trình x mx m 2 2 x x 2 1 x x 1 2
2 ( m x 1 x ( 1
1) Ta có m m 4 4 2 . 4 4 1)( 1) x 2 1)( x 2 x 2 x 1 Vậy 2 1 2
2 0 2 mx m mx m 2 . 1 1 1 m là các giá trị cần tìm. 2 1 0 x mx a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. b) Gọi
1x ,
Câu 17: Cho phương trình (1) ( m là tham số).
2x là các nghiệm của phương trình (1): 2 x 1
2 x 2
1 1 Tính giá trị của biểu thức: P x 1 x 1 x 2 x 2 Lời giải
1.
1 0
a c .
, với m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với
1
1
a) Ta có
1x ,
2x là nghiệm của phương trình (1).
1
b) Ta có do mọi m . 2 x 1 2 x 2
mx 1 mx 2 1
2 x 1
2 x 2
1 1 1 mx 1 x 1 mx 2 x 2 Do đó P x 2 x 2 1 x 1 1 x 2
1
1
x m 1
0 .
1
1
1x ,
2x
2
2
m
2
x
1
1 ( m là tham số). 1 0
x m a) Tìm điều kiện của m để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt.
x 1 x 1 x m 2 m m vì 0 x 2 Vậy x 1 0P . Câu 18: Cho phương trình
2
x 1
x 2
x 1
x 23
1x ,
2x của phương trình 1 thỏa mãn:
. b) Định m để hai nghiệm
2
2
Lời giải
1
4 1
a) 2 m 4.1. m m 5
4
m
5 0
m
0
5 4
2
m
1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
2
1
2
3
4
4
x x 2 1 x x m 1 2 2
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
x 1
x 2
x 2
2
3
2
m
4
m
2
m
1 4
6 4
m
6
0
2
1
x 2
x 2
x 2
1
m 3 2
1
m
Ta có
3
2
2
m
m
m
1
Suy ra 1 x
1 1 0
2 m 1 3 . 2
m 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 9/38
Do đó (thỏa mãn điều kiện có nghiệm)
1
Vậy
2 2
1x ,
2x
( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt
1)
1 0 . 1) 8
m là các giá trị cần tìm. x m 2 2 2 x x ( 2 1
4.1.
2
m
8
m
22
1
thỏa mãn điều kiện Câu 19: Tìm m để phương trình x 2 2 x x ( 2 1 Lời giải
m
m
0
0
8
0
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
1
x 2 2
x 1 x x 1 2
2
(
(I) Theo hệ thức Vi-ét, ta có
1) 8
) 8
1)
m
x x 1 2
2 x 1
2 x 2
2 2 x x ( 1 2
2
2 (II)
2
8
2
)
(
x x 1 2
x x 1 2
x 1
2
m
2
m
m 3
2 0
1)
m
8
2 2 x x ( 2 1 2 x 2 Thay (I) vào (II) ta có: 2 2( 2 2
4 2
1
m
1 2 2
m
0m .
Ta có
2m là giá trị cần tìm.
So với điều kiện có nghiệm Vậy
x
x m
0
2 8 Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.
là nghiệm của phương trình. Câu 20: Xác định giá trị m trong phương trình để 4 3
Lời giải
4
3
3
0m
m
là nghiệm của phương trình nên thỏa:
x
13 0
2 8 x
*
'
4
1.13 3
2
Do 4 m Thay vào phương trình ta được phương trình: 3 2 8 4 13 0 13 13m
4 3 Phương trình * có hai nghiệm phân biệt là: 3 4 x 2 x 1
2
Vậy là giá trị cần tìm. 3 x 4
x
2 x m m
m
2
1 0
Câu 21: Cho phương trình ( m là tham số).
A
2
2
x 1
x 2
x 2
x 1
1 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Gọi 2x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho
1x ,
đạt giá
2
trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
2 m m
a) Ta có 4.1. m 2 5 0 , m .
2
m
2
1
x x 2 1 x x m m 1 2
A
2
2
5
2
9
2
2
x 1
x 2
x 2
x x 1 2
2 x 2
2 x 1
x x 1 2
x 1
x 2
9
2 m m
m
2 m m
11
2 2
x 1 2 1
Lời giải 1 1 Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . 1 b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 10/38
Ta có
2
2
m
2.
m .
11
m
1 2
1 4
1 4
1 2
45 4
45 4
m
m
0
, m
" xảy ra
1 2
1 2
Dấu "
A
m .
45 4
1 2
2
2
x
2
với Vậy min
mx m
1 0 2
Câu 22: Cho phương trình ( m là tham số).
'
2
a) Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau. c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. Lời giải
m
1.
m
0
2
1 2
1 2
a) , m .
x m 1
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
x m 2
2 2 2 2
2
2
b) Hai nghiệm của phương trình là
m
m
m
2
m
m
2
m
2 2
2 2
1 2
1 2
m
2 2
0
m 0
c) Theo định lý Pitago ta có:
2
2
Theo đề bài ta có
2
2 m
2 m m 2 m 4 0 8 0 9 2 2 2 2 2 m m
2 2
x m 3 0
8
3 x 1
x a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt 1x ,
x . Tính nghiệm còn lại. 3 2x thỏa mãn hệ thức x 2 Lời giải
1
x
x nên ta có:
2
3 0 6 0
Vậy là các giá trị cần tìm. m 2 m 2 Câu 23: Cho phương trình ( m là tham số). 1
2 2 3 0
có nghiệm x m m 6
m 2.( 1) ( 1)
2 2 x 2 x 2
1.
m
3
'
m
0
2
a) Vì phương trình m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 1 x Vậy b) 3 x 1 2 x . 6m và nghiệm còn lại là 3 2 2 m ' 1
3
x x 1 2 x x m 1 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 11/38
Ta có
3 x 2
3
8
3 x 1 ( x 1
3
) ( 3 ) 8 x 2
x 2 3.( m x x x 1 2 1 3).2 8
2 6( m 3) 0
3
2
2
3 0 m m (thỏa mãn điều kiện) 3 Vậy
x
2
m
x m
m là giá trị cần tìm. Câu 24: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
1 0
có hai nghiệm phân
1x ,
2x sao cho biểu thức
2 P x 1
1 2 đạt giá trị nhỏ nhất. x 2 Lời giải
2
2
2
m
4.1.
m
4
m
5
1
1
biệt
m
0
.
5 4
m
2
1
x 1
x 2
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
1
x
2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x x m 1 2 2
2 2
x 1
x x 1 2
2 P x 1
2
2
2
Ta có
1
2
m
1 1
2
m
2.
m
, m
2 m m 3 2 2 m
1
x 2 1 m 3 2 .1 1 1 (nhận) m 1 0
" xảy ra P khi 1
4 2 1
x
m
5
6 0
x m 2
( x là ẩn số)
m 1m . 2
Dấu " Vậy min Câu 25: Cho phương trình
35
2
2 x 2
2 x 1
2
. a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ,x x thỏa mãn: 1 Lời giải:
4.1. 2m 6
m
m
6
4. 2
m
m
24
25 8
m 1
m
0;
m
m
a) Δ m 5
25 2 10 2 m 2 21
1
2
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm. b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm ,x x thỏa hệ thức Vi-ét:
2
x S m 5; x 1 b a
35
2 x 2
2
35
x x 1 2
6
m
35
12 35 0
2 m 6
m
2 2 25 4 m 22 0 1
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 12/38
c P x x 1 2 a 2 Ta có: x 1 2 x x 1 2 25 m 2 10 m 2 6 m m
1.
22
9 22 31 0
31;
31
3
3
m 1
m 2
Vì
' 0 m
2
Vậy 31; 3 3
2 0
2
x
2 ' 3 nên phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt: 31 1 ( m là tham số) x m
a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm b) Tìm m để phương trình 1 có 2 là một nghiệm và tìm nghiệm còn lại
Câu 26: Cho phương trình
2
0
m 1
3m
2
Lời giải
6
x
8 0
x 2
*
1 8 9 0,
2 ' 1
1.
9
8
m vào phương trình 1 ta được phương trình:
'
3
a) Phương trình 1 có nghiệm : ' 0 0m 3 3m Vậy phương trình 1 có nghiệm khi b) Do phương trình 1 có 2 là một nghiệm nên thỏa: 22 2 0 m 2.2 m 6 0 m 6 Thay
' 0
2;
4
nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt:
x 1
x 2
1 3 1
1 3 1
Do
6
m và nghiệm còn lại là 4 là các giá trị cần tìm.
Vậy
2 x mx m
1 0
1 với x là ẩn số 2m
Câu 27: Cho phương trình
trình. Tính giá trị của biểu thức
2016
A
x 2
x 1
. a) Giải phương trình khi b) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . c) Gọi là nghiệm của phương 2 1 ,x x 1 2 2 1
2
x
x 2
Lời giải
2 1 0
1;
a) Khi m = 2, phương trình 1 trở thành:
2
a b c
1 2 1 0
nên phương trình 2 có hai nghiệm:
x 1
x 2
c a
2 1
Ta có
2m , tập nghiệm của phương trình 2 là
S
1; 2
2
2
m
4.1.
m
m
4
m
m
2
0;
Vậy khi
4
1
2
b) với mọi m .
2
1
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . c) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm ,x x thỏa hệ thức Vi-ét:
2
x m S x 1 b a
2
2
A
2016
m 1 c a
1
1
x 1
x 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 13/38
P x x 1 2 Ta có:
1
2016
A
x 1
x x 1 2
m
1
2 1 2 2 1 x 2 2016 1
2016
2016 A x 2 x 1
2
A A Câu 28: Cho phương trình
x
2
m
0
x m 2
với x là ẩn số; m là tham số. Tìm m để phương
A m 20 2016
2
1 x . Tìm nghiệm còn lại.
trình có nghiệm
m
0
2
x nên thỏa:
1 .2 2
2 2
m
0
m 4 4 m 2 0 2 m 2 2 m 1 Thay
1
m vào phương trình ta được phương trình:
x
2 0
2 3 x
*
Do phương trình có nghiệm Lời giải 22 m 2
1;
a b c
2 0
1
3
2
nên phương trình * có hai nghiệm:
x 1
x 2
c a
2 1
Ta có
1
2
2 x 1 1
x m
2 0
m
x
( x là ẩn số, m là tham số)
Câu 29: Cho phương trình
2
,x x 1 2 Vì x nên nghiệm còn lại là 2 m và nghiệm còn lại là 1 là giá trị cần tìm. Vậy 1 a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tính tổng và tích của hai nghiệm
6
2 A x 1
2 x 2
x x 1 2
2
2
m
4
2
m
c) Tính biểu thức ,x x của phương trình theo m 1 theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất
m
2
m
1 4
m
8
m
m
8
8 0
2 2
; với mọi m
m
m
9
2 2
m
21 21
1
a) m 4.1. 2 Lời giải
m 1
2
1
2
1
Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt ,x x với mọi m . b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm ,x x thỏa hệ thức Vi-ét:
2
m 1 x S x 1 b a
2
m
8
m
2
m 2 c a
m
2
m
1 8
m
16
6
21
x 1
x 2
x x 1 2
2 A x 1
x x 1 2
8 8
m
m
17
m
m
; với mọi m
2 x 2 2 6
2 6
9 8
2 8 23
3m .
P x x 1 2 c) Ta có
m
x
2 2
8 x m 4
( x là ẩn số, m là tham số).
1
m 3m MinA khi và chỉ khi 0 1 m .
a) Giải phương trình với b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 30: Cho phương trình: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy giá trị nhỏ nhất của A là:
2
Lời giải
1
x
4
m phương trình trở thành:
x 4
* 0
2
' 2
1.4
0
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 14/38
a) Với
' 0
nên phương trình * có nghiệp kép:
x 1
x 2
2 2 1
Vì
1
m , tập nghiệm của phương trình * là
' b a 2 S
Vậy với
2
2
m
4
m
m
m
1 4
m
2
m
1
b) Ta có
2 2
21
21m
1
' 0
m
m
m
0
' m 1. 4 m
1 1 0
m 2 1
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
2
1 0
2
x
m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 ( m là tham số)
x m
Vậy Câu 31: Cho phương trình
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m . c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x 1 x 23
2 0
2 ' 1
1.
1
2 1m
m
, với mọi m
2 1m
' 0
, với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
Lời giải 2 a) Ta có
2
Vì b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ,x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1
2
2
x S 2 x 1 b a
2
2
2
2
1 2 1 m 1 m 1 nên ta có hệ phương trình sau: P x x 1 2 c) Ta có 2 (do trên) và c a x x 1 x 1
0
x 2 3
0
x 2 3
x 1 x 1
x 2
x 1 x 1
x 2 x 3 2
x 1 x 1
x 2
1 2
3
2
*
1
2
1
x 1 x 2
x 2
x 1 2
2
1
m
ta được:
x x 1 2
2
2
m
m
m
1
2
x x 2 1 x 2 Thay * vào biểu thức
2
x 23 2
2
3 .1 m
2
x
2
( m là tham số)
1 0 a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi
13
x x 1 2
2 x 2
2 x 1
Vậy Câu 32: Cho phương trình: là các giá trị cần tìm. x m m
2
2
m
4.1.
m
,x x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có 1 Lời giải
m
4
m
4 4
m
4
2 8 0
m
, với mọi m .
22
1
0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
2
m
S
m
2
x 1
x 2
1
1
m
1
P x x 1 2
13
2
0
3
2
2
x 1
x 1
x x 1 2
x x 1 2
x x 1 2
x 2
x 2
a) Ta có
x x 1 2
2 x 2
13 0
2
3
m
Vì b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét: b a c m 1 a Theo đề bài, ta có: 2 x 13 1
13 0
m
22
1
2
4
m
m
m
4 3
1 3 13 0
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 15/38
m 2 3 m 13 0
2 m m
6
25
4.1.
* 6 0 1 24
5
2;
3
m 1
m 2
1 5 2.1
Do
21 25 0; 0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: 1 5 2.1
x
0
2
với m là tham số và x là ẩn số
x m a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Giả sử
10
2; Vậy là các giá trị cần tìm . m 2 m 1 3 2 Câu 33: Cho phương trình
2
3 x x 1 2
3 x x 1 2
21
4.1.
2m
8m
9 4
m
0
4
m
m
9
,x x là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 1 Lời giải
0
9 4
a) Ta có 1 4 9 4m Để phương trình có nghiệm
m thì phương trình có nghiệm .
9 4
m thì phương trình trên có hai nghiệm
1
2
Vậy
,x x thỏa hệ thức Vi-ét: b) Với
2
x S 1 x 1
10
10
1 1 2 m 2
3 x x 1 2
9 4 b a c m a 3 x x 1 2
x x 1 2
2 x 1
2 x 2
2
10 0
2
x x 1 2
x 1
x 2
x x 1 2
2
2.
m
2
10 0
1
1 .
4
m
10 0
4 10 0
P x x 1 2 Ta có 1
1 2 1 2 m 5 0 2 m m 5 2 5 m 2 5 2
2
Vậy
3 0
4
x a) Tìm m để phương trình có nghiệm
Câu 34: Cho phương trình m thì phương trình trên có nghiệm. ( x là ẩn) x m
51
2 x 1
2 x 2
2 2 x x 1 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm
2
' 2
1.
3m
4
3m
,x x 2 1 ,x x thỏa 2 1 Lời giải
1 m
m
1
0
a) Ta có
' 0 1m thì phương trình có hai nghiệm
2
1
m 1 ,x x thỏa hệ thức Vi-ét:
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 16/38
,x x 1 2 Để phương trình có nghiệm b) Theo câu a, ta có
2
2
2
S 4 x 1 x 2 4 1 3 m 3
51
x 2
x x 1 2
x x 1 2
2 x 1
2
2
2
3
3
4
m
2.
51 0
m
9 51 0
16 2
m
51 0 m 6
6
x 1
2
P x x 1 2 Ta có b a c m a 2 x 2 1 2 2 x x 1 2
m
2
' 2
32
36
1.
'
32 0
4
6
m * 4 32 36 0; Do ∆’ > 0 nên phương trình * có 2 nghiệm phân biệt:
;
4
8
(loại);
(nhận)
m 1
m 2
2 6 1
2
2
m
2 6 1 8 là giá trị cần tìm . x 3
1 0
m 3
m
2
x m
( x là ẩn số, m là tham số)
Vậy m Câu 35: Cho phương trình:
a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Tìm m để 1
A x x 1 2
x 2
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
2
2
2
m
6
m
m
m 3
m
3
1.
m
m 3
9
'
1
Lời giải
1 9
8m
' 0
m
m
m
8
9
9
a) Ta có
8 0
8 9
Để phương trình luôn có nghiệm với mọi m
m
8 9
m
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi .
8 9
2
m
3
S
m
3
2
x 1
x 2
2
1
2
m
m 3
1
P x x 1 2
Ta có
b) Theo câu a, với mọi thì phương trình luôn luôn có nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét:
1
b a c m a A x x 1 2
1 m 3 1 x 2
x x 1 2
x 1
x 2
m
m
1 2
m
3
2 3
m
m
1 2
m
6
2 m m
7
2 m m
2 3
1 4
27 4
x x 1 2 x 1 x 2
m
0
27 4
27 4
21 2
21 2
, với mọi m (vì m , với mọi m )
m .
1 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
MinA
m
1 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: khi và chỉ khi
1
Câu 36: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : x 1 0
2
27
A
5
2
A
x x 1 2
2 x 1
2 x 2
27 4 2 2 mx m 2 a) Chứng tỏ phương trình 1 luôn có nghiệm b) Đặt , tìm m sao cho
2
'
m
m
0
,x x với mọi giá trị của m 1
; với mọi m
m
1
m
2 2
1. 2
1
21
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 17/38
a) Ta có Lời giải m
' 0
2 ,x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1
2
,x x với mọi giá trị của m . 1
2
(với mọi m) nên phương trình 1 luôn có nghiệm Do b) Theo câu a, với mọi m thì phương trình 1 luôn có nghiệm P x x 1 2
5
2
A
m 2 S x x 1 b a 2 m 2 1 m 2 1 m 1 1
2
2
5
2
x 1
x 2
x x 1 2
x x 1 2
x x 1 2
2 x 2
2 x 1
2
5
2
9
m
m
4
2
28 m
18
m
9
2
2 2
9 2
1
x x 1 2
x 1
x 2
x x 1 2
x 1
x x 1 2
Ta có
4.4.
c a 2 x 2 Do A = 27 nên thỏa: 28 m 18 m 28 m 24 m
81 144 225 0;
225 15
27 9 m 18 18 0 9 m 9 0 29
* 9
Ta có
3;
0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt:
m 1
m 2
9 15 2.4
9 15 2.4
3 4
3;
Do
m 2
m 1
2
3 4 Câu 37: Cho phương trình
x
m
3
x m
5 0
( x là ẩn)
Vậy là các giá trị cần tìm.
11
4
4
2
2 x 2
2 x 1
x 2
x 1
2
9 4
20
m
m
m
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi ,x x là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 1
4.
m
m
5
2 6
4 0
25
m
m
4
4.1. 5 3
29
m
; với mọi m .
m
2 10 a) Ta có 2 10 m m m
1
2
3
m
m
3
S
x 2
x 1
1
5
m
5
b a c m a
1
2
4
11
2
4
4
11 0
P x x 1 2 Ta có 2 x 4 1
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
x 1
x 2
2 x 1
2 x 2
x 1
x 2
11 0
2
5
m
m
3
11 0
2 6
m
9 2
m
m
12 11 0
m
10 4
2 x 2 23 2 12
Lời giải 23 25 0 (với mọi m ) nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Vì b) Theo câu a, ta có với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ,x x thỏa hệ thức Viet:
m m
4 *
m
'
6
16
1.20 36 20 16 0;
'
4
20 0 2
Ta có
10;
2
m 1
m 2
6 4 1
6 4 1
Do ∆’ > 0 nên phương trình (6) có 2 nghiệm phân biệt:
Vậy 10; là các giá trị cần tìm. m 1 m 2
2
4 0
( x là ẩn số)
Câu 38: Cho phương trình: 2 2 x mx m
5
2
2 x 2
2 x 1
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 18/38
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m c) Gọi ,x x là hai nghiệm của phương trình. Định m để 1
0
m
m
4
m
m
16
; với mọi m .
2 8
24
2 4.1. 2
a) Ta có: Lời giải m
2
1
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm ,x x thỏa hệ thức Vi-ét:
S m x 1 x 2 b a
2
5 0
m
m
4
5 0
2 m 4 c a
5
2 2. 2
x 2
x x 1 2
2 x 1
2 x 2
2 4
m
8 5 0
P x x 1 2 Ta có
m
x 1 2 4 m
2
*
m 3 0
a b c
3 0
4
1
1;
3
nên phương trình * có hai nghiệm:
m 1
m 2
c a
3 1
Vì
Vậy 3 là các giá trị cần tìm. m 1 m 21;
x
1 0
2 2
( x là ẩn số)
2
2
12
2 x 1
2 x 2
x 1
x 2
x m 4 a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ,x x thỏa 2 1 Lời giải
2
'
1 4
2 4m
1m
1
1. 4
1m
Câu 39: Cho phương trình
a) Ta có
2 4
m
0
m
m
2
' 0
4
.
1 2
Để phương trình có nghiệm
m thì phương trình có nghiệm.
1 2
Vậy
m
0
thì phương trình có hai nghiệm
2
1 2
b) Theo câu a, với ,x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1
2
2
2 S x x 1 2 1 b a 4 1 4 m 1 m 1
2
2
12
2
2
12 0
2 x 1
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
x 1
x 2
P x x 1 2 Ta có c a 2 x 2
m
2.2 12 0
m
22
4 8
m
2 4 12 0
8
m
2 4
1
2 0
1 4
(thỏa)
m
1 4
Vậy là giá trị cần tìm.
4 – 4
mx
0
x
m
2
mx
8
m
5 0
2 – 2 ( x là ẩn) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m 2 b) Gọi x 1
2
Câu 40: Cho phương trình bậc hai:
2
2
m
m
m
4
'
m
m
4
2 4
1. 4
22
,x x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để 1
0, m
Lời giải
' 0, m
nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
2m
' 0
nên phương trình luôn có hai nghiệm
a) Ta có Do
2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 19/38
,x x thỏa hệ thức Vi- 1 b) Theo câu a) ét:
2
x 2 m S x 1 b a 4 4 m 4 c a m 2 1 m 4 1
2
4
m
4 0
2 x 1
mx 1
m
2
4
4
mx 1
mx
2
P x x 1 2 Do
1x là nghiệm của phương trình nên thỏa: * 2 x 1 m 8
Ta có
2 x 1
5 0 m 8
x
2 4 2
1
(do hệ thức Vi-ét)
2
2 4 m (do * ) 5 0 mx 2 12m 9 0 mx 1 2m x
2
2 2m.2m 12m 9 0 4m 12m 9 0 2m 3 0 2m 3
0 2m 3
m
m 3 2
là giá trị cần tìm.
3 2
Vậy
x
m
4
x m
6 0
2 2
Câu 41: Cho phương trình:
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
A
1 x
1 x 1
2
b) Tính theo m biểu thức rồi tìm m để A .
2
Lời giải
m
4
m
'
6
2
2
m
8
m
16
m
'
2
6
m
22
'
m
0,
m
'
7 2
9 m 29 2
' 0, m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
a) Ta có: ' m 4 m 6
' 0, m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
2
Do b) Theo câu a, ,x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1
m 4 2 m 4 2 m 8 x 1 x 2 2 b a
m 6 x x . 1 2 c a
2
2
m
6
4
2
6
m
2
m
2 m 6 12 8 Có: A m 6 m 8 2 6 m 1 x 2 1 x 1
6
m
6
m
6
6
4
4
x x 1 x x . 1 2 m
4
6m
6m Ư(4)=
4; 2; 1;1; 2; 4
suy ra
4 6m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 20/38
hay Để A thì
m
Lập bảng: 6m -4 -2 -1 1 2 4
2 4 5 7 8 10
m
2; 4;5; 7;8;10
Vậy thì A .
x
m
2
0
2 2
x m 2
1 với x là ẩn số.
Câu 42: Cho phương trình:
a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt ,x x 1 2
x 2
x 1
2 x 1
2
m
m
2
b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức .
m
m
4 2
m
2 4
m
3 0,
m
m
m
4
2 2
21
' 0, m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
a) Ta có: ' m 2 m 2 Lời giải 22
' 0, m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
2
Do b) Theo câu a, ,x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1
2
x S 2 m 2 2 m 2 2 m 4 x 1 b a
1
2 m c a
2
m
2
2
m
2
4
2
m
2
2
m
m
x 2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 2
x 1
2 x 1
4 2
2
m
4
x 1
x 1
x 1
m
4 2 2
2 m
1 2
P x x . 2 Ta có:
2
m
2
2
m
0
x 1
1
1
1
2 m
2 m
2 m
2
Thay vào 1 ,ta được:
2
2
2
0
2
2
m
m
4 2 m 4 0 m m 2
m 1 1 m m
1 4 4
3
2
2
2
m
0
1 2 m m 4 12 0
0
2 1 2 m 8 2 m 6 0 m 3
2
2
m 1 m 3
0
2
x
2
Câu 43: Cho phương trình: m 12 4 4 m m 2 3 m m 8 2 14 24 3 7 m m m 2 m m 2 2 2m Vậy m 2 là giá trị cần tìm. x m 2 1 với x là ẩn số.
2 x 1
x 24
. a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức
2
2
2
Lời giải
'
m
1 2
m
0, m
1
2
a) Ta có:
' 0, m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 21/38
Do
' 0, m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
2
b) Theo câu a, ,x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1
2
2
2
S x 2 x 1 b a
3
1
2 m c a P x x . 2
2 x 1
2 x 2
x 2 x 2 2
x 2 1 4 x 1
Có:
2
2
m
4 2 3 3
4
2
2
2
2 TH1: (vô lý) thay vào 3 .Ta được: 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 4 3 2 3 x 1
4
m
m
m
2
4
2
2
.
x 2 2
2
x 1 x 2
x 2
Vậy m
x 1 x 1 2 là giá trị cần tìm .
2
TH2: thay vào 3 . Ta được:
x
m 3
2
2 x m m
3 0
2
1 ,(với x là ẩn số).
Câu 44: Cho phương trình:
2
1
2
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . b) Gọi . ,x x là các nghiệm của 1 . Tìm m để x 23 x 1
2 m m
4 2
2
m 3
2
8
m
4
m
12
2
2
9
m
2 m 12
m
m
12
m
m
16
m
4
0,
2 8
m
4 8
4 2
a) Ta có: m 3 2 3 Lời giải
0, m
nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
Do
4m
0
nên phương trình luôn có hai nghiệm
2
b) Theo câu a, ,x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1
2
2 m m
m 3 2 m 3 2 x S x 1 b a
3 3
1
2
9
2
2
2 m m
3
6 3
m 4
m 4
m
m
2
2 m m
3
9
6 3
2
2
16 2 m
36
m
16
m
48
12 32
20
m
60 0
0
m
27 m 25 m 2 m 4 m m 2,
12 6
c P x x . 2 a Ta có hệ phương trình sau: 9 6 3 , thay vào 3 , ta được: m 3 2 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 m 4 m 3 4 x 1
2,
m
m
2
2
6 Câu 45: Cho phương trình:
Vậy
m
2
2
là giá trị cần tìm. x m
0 1
x
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 22/38
với x là ẩn số.
1
1
x 2
2 x x 1 2
2 x x 2 1
x 1
1
2
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm 2 .
2
2
2
0,
m
m
m
m
m
2
2
'
,x x thỏa mãn Lời giải 2 a) Ta có:
' 0, m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Do
' 0, m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
2
b) Theo câu a, ,x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1
2
2
S x 2 m 2 4 2 m x 1 b a
3
1
2
2
m c a
1 x 2
x 1
x x 1 2
x 2
2
2
m
m
m
2
m
x 2 x 1 4 2
2 x x 1 2 1 1
2 x x 2 1 4 2
2
2
3
2
m
2
m
2
5
0
2
0
5
m 3 2 m 2 2 m m 2
5 2 m 4 m 2 2 m 5 m 5 0 m 2 m 5 m 1
5 m 2
P x x . 2 Ta có: x 1 1 x x 1 2
m là giá trị cần tìm.
5 2
2
2
Vậy
m
3 0
1 ( với x là ẩn số)
2
Câu 46: Cho phương trình: 1
2
,x x thỏa mãn 1
2
2
14
x x m a) Tìm điều kiện để 1 có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
1
1
1
1
2 x 1
x 2
x 2
x 1
x 1
2 x 2
2
2
2
2
2
m
3
m
.
2
m
2
m
m
3
4m
1
1
' 2
4 0
m
m 2
m
2
a) Ta có: ' m 3 m Lời giải 2 1
nên phương trình luôn có hai nghiệm
2
Để 1 có nghiệm thì b) Theo câu a) ' 0 ,x x thỏa hệ thức Vi- 1
ét:
1
2
2
x S 2 m 2 m 2 x 1 b a
3 3
1
2
2
14
1
1
1
m c a
x 2
x 2
x 1
2 x 1
2 x 2
2
2
1 2
2
2
14
1
2
x x 1 2
x 1
x 2
x x 1 2
x 2
x 1
x 1
x 2
x x 1 2
4
2
14
2
2
x x 1 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
P x x . 2 Ta có: x 1 1
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 23/38
2
6
16 0
x 2
x 1
x 2
2
2
m
6
3
2
m
2
m
2
16 0
2
2
2
m
m
2 16 0
m
8
x x 1 2 4 6
x 1 18 2
6
m
36 0
m
4 m 22 m 2 3 m m m 3, Vậy
18 0 6 6m là giá trị cần tìm.
3 0
2 x mx
( m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn
2
Câu 47: Tìm m để phương trình 3 x 6 x 1 Lời giải
m
2 12
Ta có:
0
(1)
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì hoặc 2 3 2 3 m m
6 (2)
x m 2 x 2 3 (3)
x 1 x 1 x x 1 2
3
6
m
6
Kết hợp với hệ thức Viét ta có :
1 , 2 ta được
x 1
x 2
2
m 3 2
6
m
6
; Giải hệ
x 1
x 2
m 3 2
2
6
6
3
6
12
4m
6
m m 3
2
m m 3 2
Thay , vào 3 ta được :
2
2
Vậy
m
m
2
0
5
x
x m 6
1 ( m là tham số)
4m là giá trị cần tìm . 1 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
2
Câu 48: Cho phương trình
1.
2 x 1
x 2
2
2
2
2
, b) Gọi 1 x x là nghiệm của phương trình. Tìm m để 2
25
m
10
m
1 24
m
8
m
1
4 6
2
m
0,
m
m
2
m
1
21
a) Ta có: 5 m m 2 m Lời giải
0, m
nên phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Vì
2
5
m
m
1
5
m
1
m
1
b) Gọi ,x x là hai nghiệm của phương trình 1
m 3
2
m
; 1
x 2
x 1
1 2
2
2
2
2
2
2
2
Ta có:
1
2
m
1
x
6
m
1 4
m
1 0
m 9
m 3
1
x 1
2
2
13
m
6
m
0
;
0m
m
6 13
Theo đề bài:
0m ;
m
6 13
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 24/38
Vậy là giá trị cần tìm.
2 2(
Câu 49: Cho phương trình: x m 1) 1 3 0 x m
a) Chứng minh rằng phương trình 1 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi , là 2 nghiệm của phương trình 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 1 x 2
2 P x 1
2 x 2
.
1x và
2 x không phụ thuộc vào m .
c) Tìm hệ thức giữa
2
'
(
m
1)
m
3
Lời giải
2
m
2
m
1
'
m 3
2
m
m 3
'
4
2
2
2
m
2.
m .
'
4
3 2
3 2
3 2
m
0,
m
'
7 4
23 2
a) Ta có:
' 0, m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Do
2
1
b) Gọi ,x x là hai nghiệm của phương trình 1
1 2
2
S x 2 m x 1 b a Áp dụng định lý Vi-ét:
3 3
m c a P x x 1 2
P
2
2
2 x 1
2 x 2
x x 1 2
x x 1 2
P
2
2
x 1
x 2
x x 1 2
2
P
4
m
2
m
3
1
P
24 m
8
m
4 2
m
6
P
24 m
10
m
10
2
2
2
P
2
m
m 2.2 .
10
5 2
5 2
5 2
P
2
m
,
m
15 2
15 2
25 2
Theo đề bài ta có: 2 2 P x x 1 2
" xảy ra
m
m
2
5 0 4
5 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 25/38
Dấu "
m .
2 x 2
2 Min x 1
15 2
5 4
Vậy khi
1 2 3
m x x c) Từ 3
2
3 1
1 2 3
2
x 1
x 2
x x 1 2
x
2 – 2
Thay x 2 m x x 4 vào 2 , ta được: x 1 x x 1 2
Câu 50: Cho phương trình bậc hai (ẩn x , tham số m ):
mx m 2 Với giá trị nào của m thì phương trình 1 có hai nghiệm
1 1 0 x thỏa mãn 2
. , x 1 x 1 x 23
2
'
m
2
m
Lời giải
1
2
m
2
m
'
1
m
0,
'
m
2 1
Ta có:
1m thì phương trình 1 có hai nghiệm
Với , x 1 x 2
2 2
2
S x m x 1 b a Áp dụng Định lý Vi-ét:
1 3
2 m c a P x x 1 2
2
m
4
2
m
4
3
0
3
0
x 2
x 1 x 1
x 2 x 2
x 1
x 2
x 2 Giải hệ:
1
m 2
8
m
4 0
23 m
m 2 m 3 2 x 1
*
23 m 4
'
4
3.4
2
' 4
'
2 0
2;
Thay 4 vào 3 , ta được:
m 1
m 2
2 3
Nên phương trình * có 2 nghiệm phân biệt:
2;
là giá trị cần tìm.
m 1
m 2
2 3
Vậy
x
2 – 5
0
x m
Câu 51: Cho phương trình:
1 ( m là tham số). 6m .
3 .
a) Giải phương trình trên khi
x 1
x 2
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm , x 1 x thỏa mãn: 2
x
6m phương trình 1 trở thành
x * 6 0
a) Với Lời giải 2 – 5
25 – 4.6 1 0
. Suy ra phương trình có hai nghiệm:
3; 2. x 1 x 2
25 4m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 26/38
b) Ta có:
m
0
25 4
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm . , x 1 x thì 2
Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có :
x 2
1
1 , 3 :
4
x x m 1 2
5 1 2 3 3
x 1
x 2
x 1
4m . Thử lại thì thoả mãn.
5 4 . Giải hệ 3 4 x 1 x 1 x 2 x 2 1 x 1 x 2 x 1 x 2
Từ 2 và 4 suy ra:
4m là giá trị cần tìm.
x
2 – 2
Vậy
mx 1 4 0
Câu 52: Cho phương trình ẩn x :
a) Giải phương trình đã cho khi
3m . trị của m để phương
1 có hai nghiệm
2
2
. 2
1
1
x 1
x 2
trình thỏa mãn: b) Tìm giá , x 1 x 2
x 2 4 0
Lời giải 2 – 6 x a) Với m = 3 phương trình 1 trở thành:
5,
5
3
3
x 1
x 2
2
'
.
.
Giải 2 ra ta được hai nghiệm: b) Ta có: 4m
*
2 ' 0 Phương trình 1 có nghiệm -2 m m
2 m S x 2 x 1 b a Theo hệ thức Vi-ét ta có:
2
2
2
2
4 c a
0
2
1 2
2
1
x 1
x 2
2 x 1
2 x 2
x 1
x 2
x 1
2 x 2
2 x 1
x 2
2
x
2
m
2
0
m
2.4 2.2
0
24 m
4
m
8 0
1 2
2
x 2
x x 2 1 2
P x x 1 2
1
x 1
Ta có : x 1
0
2
2 m m
2
.
2
1 m 1 m 2 Đối chiếu với điều kiện * ta thấy chỉ có nghiệm Vậy
2
m là giá trị cần tìm. 2 – 2
x
2 m thỏa mãn.
mx 1 1 0
Câu 53: Cho phương trình ẩn x :
1x và 2x .
2
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
–
. 7
2 x 1
x 2
x x 1 2
b) Tìm các giá trị của m để:
2
Lời giải
1 0, m m '
1x và 2x .
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 27/38
a) Ta có: Do đó phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt
S 2 m x 1 x 2 b a b) Theo định lí Vi-ét:
2
2
3
7
3
1 x x 1 2 c a P
–
7
2
m 2
7 1
x 1
x 2
x x 1 2
2 x 1
x 2
x x 1 2
3 7
m 1
24 m Vậy
1
m là giá trị cần tìm. 2 –
x
x
0
Ta có:
m 1
1
Câu 54: Cho phương trình ẩn x :
a) Giải phương trình đã cho với 0m . b) Tìm các giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm , x 1 x thỏa mãn: 2
– 2
3
x x 1 2
x x 1 2
x 1
x 2
.
0m phương trình 1 trở thành
x 2 1 0
4.1.1
3 0
a) Với Lời giải 2 – x
, nên phương trình 2 vô nghiệm.
m
3 – 4
m
Ta có :
21
21 – 4 1
b) Ta có:
m 3
4 0
m
0
4 3
Để phương trình có nghiệm thì *
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
2
1 x S x 1 b a
P= m 1 x x 1 2 c a
3
m
m
.13
– 2
1
– 2
x 1
x 2
x x 1 2
x x 1 2
2
3
2 1 3
4
m 2
m
m
1
m m
– 1
2
m thỏa mãn.
Thay vào đẳng thức: ta được: 1
2
m là giá trị cần tìm.
4
2
2
Đối chiếu với điều kiện * suy ra chỉ có Vậy
Câu 55: Cho phương trình x ( m 4 ) m x 7 m 1 0 . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân
2
biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10 Lời giải
0
X x X
2
2
4
Đặt
Phương trình trở thành 4 ) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt dương
2
2
(
m
m 4 )
4(7
m
1) 0
0
2
1 0 m X m m X 7 ( (1)
m
4
m
0
0
7
m
1 0
0
S P
(I)
1X ,
2X .
Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương
X
1
X
x 3,4
2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 28/38
; Phương trình đã cho có 4 nghiệm x 1,2
2
2(
X
X
)
2(
m
m 4 )
2 x 1
2 x 2
2 x 3
2 x 4
1
2
2
2
5
Vậy ta có 2( m 4 ) 10 m m 4 m 5 m 1 5 0 m
1m , (I) thỏa mãn m , (I) không thỏa mãn. 1m là giá trị cần tìm.
Với Với Vậy
22 x
2
m
x m
1 0
. Không giải phương trình, tìm m để phương
Câu 56: Cho phương trình
1 1x ,
2x thỏa mãn
trình có hai nghiệm phân biệt 3 11 . x 1 x 4 2
2
m
4.2.
m
Lời giải.
0
0
2
1
1
1x ,
2x khi
3
0
24 m
4
m
1 8
m
8 0
24 m
12
m
9 0
m 2
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
m
1
1x ,
2x với mọi
3 2
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .
*
m 1 2 x 1 x 1 x 2 m 2 1 Theo định lí Vi-et, ta có: x x 1 2
11 4 m 2 x 2 x 1 4. 11 13 4 7 7 m 7 26 8 m 13 4 m 7 7 m m 7 26 8 3 x 2 3.
m
m
2
4,125
.
m
m
2
4,125
2
2
. Giải phương trình * ta được: So với điều kiện 1 , ta được:
x
2
m
3 0
x m
1
1
Câu 57: Cho phương trình: ( m là tham số).
0
2
2
2
2
a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm. b) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Lời giải.
m
m
8
4
4 4
m
2m .
12 0
1
4. m m 0 3 a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm. Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi 2
2m phương trình 1 luôn có nghiệm.
Vậy với
2m phương trình 1 có 2 nghiệm. Gọi a là một nghiệm thì nghiệm kia là 3a .
a 3
m
1
b) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Với
2 2
3
a a a m .3
Theo Vi-et, ta có:
Giải hệ phương trình trên, ta được: thỏa mãn điều kiện. 3 2 6 m
Vậy 3 2 6 m phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lân nghiệm
kia.
2 x mx m
1 0
.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 29/38
Câu 58: Cho phương trình:
2x là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
1x ,
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Gọi
P
x x 1 2 2
1
2 2 x 2
3 x x 1 2
2 x 1
thức: .
Lời giải.
0
m
2 4
0
0
m
22
1
m Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Phương trình luôn có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi
P
x x 1 2 2
1
2 2 x 2
3 x x 1 2
2 x 1
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
1
x m x 2 1 x x m 2. 1
. Theo Vi-et, ta có:
P
m 2
2 m
1 2 Tìm điều kiện để P có nghiệm theo ẩn
P
Khi đó:
. 1
1 2
2
Suy ra
1m , giá trị nhỏ nhất bằng
m .
khi
1 2
2
Vậy giá trị lớn nhất bằng 1 khi
m
4
m
1 0
2 x mx
1
2
3
2
3
2
2
1
m .
Câu 59: Cho phương trình
a) Giải phương trình 1 với
x 1
x 2
1 x
1 x 1
2
. b) Tìm m để phương trình 1 có 2 nghiệm thỏa mãn
1
m .
2
Lời giải.
1
x
x 2
. 9 0
m vào phương trình 1 ta được
a) Giải phương trình 1 với Thế
1 10 Giải phương trình này ta được: . 10 1 x 2 x 1
x 1
x 2
1 x
1 x 1
. b) Tìm m để phương trình 1 có 2 nghiệm thỏa mãn
8
2 0
0
m
m
*
2 1 4
2
. Để phương trình có 2 nghiệm thì
m
1 0
m 4
2
3
2
Để phương trình có nghiệm khác 0 thì:
0
4 3 2 m 1 Hay . ** 4 3 2 m 2
x 1
x 2
x x 1 2 1 0
x 1
x 2
x 2 1 0
1 x
x 1 x x 1 2
1 x 1
2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 30/38
Theo đề bài, ta có:
0 2 0 . 19 m 2 m 8 m 3 0 19 m m 4 m 4
** , ta được
2
x
m
5
x m
6 0
m 4 0 19 . m Kết hợp với điều kiện * và
.
1x ,
2x thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
Câu 60: Xác định các giá trị của tham số m để phương trình:
Có hai nghiệm a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. b) 13 . 2 x 1 x 3 2
2x thì
m
6
4
7 4 3
m
7 4 3
m
0
m
1x , 2 14
1 0
m
Lời giải. 0
m
25
*
Để phương trình có hai nghiệm
1
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
5
x 2 x 1 x x 1 2
Giả sử , theo Vi-et, ta có: . x 1 x 2
0
14
m
m
x 1 x m 2 m 6 thỏa mãn * . 13
3
2
Giải hệ trên ta được:
5
6
x 1 x 1 x x 1 2
b) Theo giả thiết ta có:
m
1
0
m
x 2 x m 2 m thỏa mãn * .
Giải hệ trên ta được:
x
m
x m
3 0
2 2
1
1 a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 1 mà không phụ thuộc vào m .
Câu 61: Cho phương trình:
2x là 2 nghiệm của phương trình 1 )
2 P x 1
2 x 2
1x , Lời giải.
0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của (với
m
3
0
2 3
m
a) Để phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt thì:
m
0
m
4 0
21
m
7 4
23 2 Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm với mọi m .
2
m
2
2
m
x 2
1
luôn đúng với mọi m .
2
m
6
.
3
x 1 x x 2 . 1 2
x x 2 1 x x m 1 2
b) Theo Vi-ét: .
d) Suy ra 2 4 hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 1 mà không x 1 x x 1 2
2
2
2
2
2
2
m
2
2
m
4
m
10
m
10
2
m
4 4
6
2 P x 1
2 x 2
x 1
x 2
x x 1 2
5 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 31/38
x 2 phụ thuộc vào m .
m .
5 4
2
4 P khi và chỉ khi Vậy min
2 m m
6 0
m
2
x
1
*
a) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm.
50
Câu 62: Cho ph-¬ng tr×nh:
x
1x ,
2x thỏa mãn
3 x 1
3 2
. b) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm
2
m
4
2 m m
6
0
0
25 0
2
1
Lời giải.
0
2 m m
6 0
a) Để phương trình * có hai nghiệm thì: Vậy phương trình * luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
0
1 0
2
m
x x . 2 1 x x 2 1
m
3
2
m
3
m
m
1 2
Vậy với
3
Để phương trình * có hai nghiệm âm thì:
25
m thì phương trình * luôn có hai nghiệm âm. 22;
3
3
2
50
b) Với suy ra x m 3 x m 1
m
2
m
3
50
x
3 x 1
3 2
5 3
5
m 1
Theo giả thiết, ta có: m m 3 7 50
2 m m
1 0
5
m 2
1 2 1 2
.
Câu 63: Bài 9. Cho phương trình có ẩn x :
2 ( m là tham số ) 1 0 x mx m 2x với mọi m . 1x ,
x
1. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm
2 2
2 A x 1
m
8
x x 6 . 1 2 2 8 a) Chứng minh A m b) Tìm m sao cho 8A . c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng. d) Tìm m sao cho .
2. Đặt
x 1 x 23
Lời giải.
2 4
m
0
0
m
0
m
22
1
2x thì
1x ,
2m phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.
1. Để phương trình có hai nghiệm
x
2 A x 1
2 2
x x 6 . 1 2
Vậy với 2.
A
8
m
m
2 8
m
m
2 8
8
1
2 x 1
2 x 2
x 1
x 2
x x 1 2
a)
m
m
0
m
b) Với
m
m
8
8
4
8A 2 8
8
A m
x x 6 . 1 2 2 8 m
c)
2 8 8 8 2 4m . A khi và chỉ khi
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 32/38
8 Vậy min
4
m 1
1
m 2
4 3
x m x 2 1 x x m 1 2 x x 3 1 2
2
1 0
d) Theo Vi-et, ta có: .
2 2 mx m 2x với mọi m .
2
5
A
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm Câu 64: Bài 10. Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : x 1x ,
2 x 1
x x 1 2
m
9
18 .
27
2. Đặt
2 x 2 28 a) Chứng minh A m b) Tìm m sao cho A c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất. d) Tìm m sao cho
. x 23 x 1
1x ,
2
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm
m
0
0
0
m 2
2
1x ,
2x với mọi m .
2
9
Để phương trình có 2 nghiệm thì Lời giải. 2x với mọi m . 24 m 1 4 2
A
A
5
2
2
x
2
5
A
2
2
x 1
x 2
x x 1 2
1
x 2
x x 1 2
x x 1 2
x x 1 2
2 x 1
2 x 2
2
m
2. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm
2
m
1
x 2
x 1 x x 1 2
2
2
A
m
m
8
m
18
m
9
Theo Vi-et, ta có: .
(đpcm).
2 2
9 2
1
3
m 1
a)
27
18
m
27
24 m
9
m
A
28 m
9
9 0
m 2
3 4
2
2
18
m
2 2
m
A m 8
9
b) Theo giả thiết, ta có: .
9 8
9 8
9 2 2
A khi
m .
c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất:
9 8
Vậy min
2
m
2
m 1
. d) Tìm m sao cho x 1
9 8 x 23 2 m
1
m 2
2 3
x 2 3 x 2
x 1 x x 1 2 x 1
x
m
5 0
Theo Vi-et, ta có: .
2 2
x m 2
1
1
Câu 65: Bài 11. Cho phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số ):
m theo tham số m .
1x ,
2x của
1. Giải và biện luận số nghiệm của
1x ,
2x thỏa mãn:
2. Tìm m sao cho
2.
x 1 x 2
a)
x 2 x 1
b) 2 6
c) x x 1 2 5. x 1 x 2 1 x 2 x 3 2
12 10x x 1 2
2 x 1
2 x 2
đạt giá trị lớn nhất. d) Tìm m sao cho
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 33/38
Lời giải.
1x ,
2x của 1 theo tham số m .
2
m
2
m
m
5
. 4
2
2m
2 1 0
2 4 0 - Nếu m Phương trình 1 vô nghiệm.
1. Giải và biện luận số nghiệm của
0
2 4 0 m
1
x .
- Nếu
2m
2
0
2 4 0 m
2
1
m 2 2 m Phương trình 1 có nghiệm duy nhất
5
x 2
2x thỏa mãn m x 1 2 x x m 1 2
0
Theo Vi-et, ta có: - - Nếu Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. 2. Tìm m sao cho 1x ,
m
*
5 2
- Điều kiện nghiệm khác
2
x 1 x 2
x 2 x 1
4
0
4
m
m
8
20 0
2
2
m
x 1
x 2
x x 1 2
2 x 1
2 x 2
x x 1 2
a)
4
m
2
10 6
2 1 1m
1
2 m
m
2
1
b) 2 6 x 1 x 2 x x 1 2
2
2
m 1
m 2
13 6
m 5 5
x 1 x x 1 2 x 2 1
c) Theo giả thiết, ta có:
2 x 1
2 x 2
2
m
5
4
m
đạt giá trị lớn nhất.
12 8
2
2 1
x 2 3 x 2 12 8x x 1 2
x 1
x 2
2 x 1
2 x 2
12 10x x 1 2
m
24
24 m
32
23
3
92
4
2
12 10x x 1 2 m
Ta có: d) Tìm m sao cho
Đẳng thức đạt giá trị lớn nhất bằng 92
3m .
2
2
khi
x
2
m
3 0
x m
( m là tham số )
1
4,
Câu 66: Bài 12. Cho phương trình:
2 x 2
2x là hai nghiệm của phương trình.
1x , Lời giải.
với a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 b) Tìm giá trị của m để x 1
0
2
4m
2m
m
1
2 2
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
m
m
3
3
1
4
x x 1 2 x x m 1 2 2 2 x x 2 1
b) Theo Vi-et, ta có:
2 x mx m
1 0
(1) ( m là tham số )
a) Chứng minh phương trình (1) có 2 nghiệm với mọi m . b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
. 2
2x thỏa mãn hệ thức
2 x x 1 2
2 x x 1 2
1x , Lời giải.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 34/38
Câu 67: Bài 13. Cho phương trình:
m
m
m
2 4
4
với mọi m .
2
a)
2
m
2
m
m
2
2 m m
2
. 1
0
2
0
m
1
2 x x 1 2
2 x x 1 2
x x 1 2
2 x 1
x 2
b)
x
2 2
mx m
3 0
2 a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m . c) Tìm m để
Câu 68: Bài 14. Cho phương trình:
2x là nghiệm của phương trình trên ).
3 2 ( 1x , x x 1 2 x 2 x 1
m
m
m
Lời giải.
3
2 2
2 0
m
2
a)
m
2
3
2 1 Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . x 2
x 1 x x 1 2
b) Theo Vi-et, ta có:
3m 2
m .
3 2
c) 2 3 x 1 x 2 x x 1 2
x
m
2
x
2
m
5 0
2 2
( x là ẩn số )
Câu 69: Bài 15. Cho phương trình:
1x ,
2x với mọi m .
a) Chứng tỏ phương trình trên có 2 nghiệm
A x x 1 2
2 x 1
2 x 2
đạt giá trị lớn nhất. b) Tìm m để
2
2
m
2
2
m
5
m
3
Lời giải.
0
a)
1x ,
2x .
2
2
2
Vậy với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm
2
m
5 4
m
2
2
m
A x x 1 2
2 x 1
2 x 2
x x 1 2
x 1
x 2
9 2
3 4
3 4
A
m .
b)
3 khi 4
9 4
2
Vậy max
m
0
2
x
x m
( m là tham số )
Câu 70: Bài 16. Cho phương trình:
2
2 A x 1
mx 2
x x 1 2
x 1
1 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm m để
2
2
2
m
2
m
4
m
4
m
8
m
4
đạt giá trị nhỏ nhất.
0
4
1
a) Lời giải. 1
1 2x x m
2
m 2 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Theo Vi-et, ta có: và 1 x 2
A
0m .
m 4
. Vậy min
3 A khi 2
3 2
2
Khi đó: x 1 3 2
x
2
m
3
2 x m m
1 0
( x là ẩn )
Câu 71: Bài 17. Cho phương trình:
5
2 B x 1
x x 1 2
2 x 2
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Cho tìm m để B đạt giá trị lớn nhất.
2
Lời giải.
2
m
3
4
2 m m
5m 8
1
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 35/38
a)
0
m .
5 8
B
7
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
x 1
x 2
x x 1 2
2
B
2
m
3
7
2 m m
1
2
B
3
m
49 36
49 12
25 6
b)
m .
49 12
5 6
2
2
khi Vậy max B
x
2
m
4
m
x m
3 0
1
2
Câu 72: Bài 18. Cho phương trình:
x x 1 2 Lời giải.
2
2
và giá trị của m tương ứng. a) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A x x 1 2
m
m
4
m
3
2
m
2
1
a)
1
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
2
m . 2 3 m 4
x 1
b) Theo Vi-et, ta có:
m
3 4
m
A m
2 4
0 x x m 1 2 2 1
1
1 và A m
x 2
m 1
Khi đó:
0m .
1 A khi Vậy min
22 x
2
m
x m
1 0
1
Câu 73: Bài 19. Cho phương trình:
1x ,
2x .
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm
4
1
b) Viết tổng và tích hai nghiệm theo m.
1 4
9
1x ,
2x của phương trình thỏa mãn:
x 1 x 2
x 2 x 1
2
3
2
4.2.
m
m
c) Tìm m để 2 nghiệm
0
1
m 2 1 Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm
a)
1
2
Lời giải. 2 2x .
x x 1 2
x 1
x 2
m 2
và \. b) Theo Vi-et, ta có:
1m
2
c) Điều kiện để
4
0
1 4
9
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
1x , m 1 2 2x khác 0 là x 1 2 x 1
1x và x 4 1 x 2
1
2
m
1 0
m
m
m
0
4
m
0
thỏa điều kiện 2
1m .
28 m
2
2 1
m 2
Theo giả thiết, ta có:
x
2
2 2
mx m
1 0
Câu 74: Cho phương trình
1x ,
2x với mọi m .
a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm
A
2
5
2 x 1
2 x 2
x x 1 2
b) Đặt . Tìm m sao cho A = 27.
2
Lời giải.
2 m m
2
m
0
1 2
7 4
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 36/38
a)
2
Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm với mọi m .
A
2
5
2
9
m 8
18
m
9
2
2 x 1
2 x 2
x x 1 2
x 1
x 2
x x 1 2
b)
27
18
m
27
18
m
m
m
3
A
28 m
9
28 m
18 0
.
3 4
Theo giả thiết, có:
x
mx m
2 0
2 2
1
Câu 75: Bài 21. Cho phương trình ( x là ẩn số)
2x của phương trình (1) thỏa mãn:
1x ,
2
2
2
1
1
x 1
x 2
x 2
x 1
2 x 1
2 x 2
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Định m để hai nghiệm
2
Lời giải.
2 m m
2
m
0
1 2
3 2
a)
2
2
2
x 1
2 x 1
2 x 2
x 2
x 2
x 1
x 1
2
m
m
1
0
.
2
24 m
2
m
0
2
x 1
x 2
x 1
x 2
1 2
Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m . b) Theo Vi-et, ta có: và m 2 Theo giả thiết, ta có: 1 1 x x m 1 2 2 x 2
2 x mx m
2 0
1
Câu 76: Bài 22. Cho phương trình: ( x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
1x ,
2x của 1 thỏa mãn:
2 x 1 x 1
2 x 2 x 2
2
2
m
m
m
2)
4.(
m
2
4 0
8
. b) Định m để hai nghiệm . 4 2 1 2 1
Lời giải. 2
2
2
2
4
và . 2 a) 4 m Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Theo Vi-et, ta có: x m 2 x x m 1 2 x 1
0
x 1
x 2
x x 1 2
x 1
x 2
2 x 2 x 2
22 m
m
2
4
m
0
2
m .
2 x 1 x 1 2
2
Theo giả thiết: 4 . 2 1 2 1
2
mx
x
0
1
1
2x là hai nghiệm của phương trình 1 . Tính giá trị của biểu thức:
1x ,
A
2
4
4
2
2
2 x 2
2 x 1
2 x 2
2 x 1
x 2
x 1
Câu 77: Cho phương trình ( x lầ ẩn số).
Lời giải.
2
2
mx
x
2 0
2
a) Chứng minh phương trình 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . b) Gọi
0
2
a) Phương trình 1 m
. Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . 2
A
4
4
2
2
2
b) Theo Vi-et, ta có: m 2 x 1 x 2
2 x 1
x 1
2 x 2
x 2
2 x 1
2 x 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 37/38
Theo giả thiết, ta có: và x x . 1 2
2
4
8
16
A
4
x x 1 2
x 1
x 2
x 1
x x 1 2
16
m
16
m
32
m
28
x 2 24 m
x x 1 2 24 m
A
32 4
A
.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 38/38
----------------------------- HẾT -----------------------------
