Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các dạng bài tập

Chia sẻ: Trần Ngọc Trạng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu nghiên cứu với mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS đặc biệt là học sinh lớp 9.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các dạng bài tập

UBng QUẬN HOÀNG MAI TRƯƠNG THCS THỊNH LIỆT TIN BÀI: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các dạng bài tập Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn để tài: 1. Cơ sở lí luận: Trong giai đọạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin trện thế giới đang phát triến mạnh mẽ, nước ta Vẫn đang chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nỗ lực nhiều trong trong việc tìm kiếm kiến thửc, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất nước. Môn Tọán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triến hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng Và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiếu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lện THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh Vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiếu biết nhất định về Toán học. Chương trình Tọán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo Viện tổ chửc cho học sinh họạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viện cần phải hình thành cho học sinh những kiến thửc cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ. 2. Cơ sở thực tế: Trong vài năm trở lại đây, các trường PTTH, PTTH chuyên… đang ra sửc thi tuyến, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT, PTTH chuyện trong các đề thi tuyến học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thửc Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang. Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thửc Vi ét để giải. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết Vận dụng hệ thức Vi-e’t để giải các bài tọán bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trọng các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn để tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét đễ giãi các dạng bài tập”. II. Mục đích nghiên cứu: Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài tọán bậc hai có ửng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS đặc biệt là học sinh lớp 9.
Từ đó các em có thể tự tin làm tốt các bài tọán bậc hai trọng các kỳ thi học sinh Giỏi, tuyền sinh vào các trường PTTH, PTTH chuyền... Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thửc nhiều hớn nữa, không chỉ bài tọán bậc hai mà cả các dạng tọán khác. III. Đối tượng nghiên cứu, khảo sát thực nghiệm: Nghiền cửu học sinh đang học lớp 9 ở trường THCS. Nghiên cửu các ửng dụng của hệ thửc Vi-ét, trọng môn đại số lớp 9, tìm hiều các bài tọán bậc hai có ửng dụng hệ thửc Vi-ét. IV. Phương pháp nghiên cứu: Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cửu, tôi sử dụng các phương pháp nghiên cửu sau: - Phươngpháp nghỉên cứu tài lỉệu: Tôi đã nghiên cửu và lựa chọn ra 11 dạng bài toán bậc 2 có ửng dụng hệ thửc Vi-ét. - Phương pháp phỏng vấn, đỉều tra: Tôi hỏi điều tra học sinh sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các câu hỏi sau: @: Em thích các bài tọán bậc hai có ửng dụng hệ thửc Vi-ét không? @: Em hãy phân chia các dạng bài tập theo các nhóm ửng dụngcủa hệ thửc Vi ét ? ủ: Tìm m để Parbol (P):y = x2 và đường thẳng (d): y = x —m + 3 cắt nhau tại 2 điềm có tung độ lần lượt là yi và y; thỏa mãn: yi2 + yz2 = 1 %: Không giải phương trình, hãy nhấm nghiệm của các phương trình sau: a/x²+ Jỉx—Jỉ -1=0 b/ x² + 5x + 6 = 0 @: Cho phướng trình: x2 — 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm xi , x; (x1 > x2). Tính giá trị biếu thức A = (xl- x2)² theo m. - Phươngpháp thực nghỉệm sưphạm: Sau khi sắp xếp thành 11 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lện lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên. PHẨN 11: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận: Mục tiêu của giáo dục THCS “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiều biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề họặc đi vào cuộc sống lao động”. Để khắc phục mục tiêu trện, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực
hành bảo đảm vừa sửc, khả thi, giảm số tiết học trện lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa. Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết về hệ thửc Vi ét và ửng dung; 1 tiết lý thuyết : học sinh được học đinh lý Vi-ét và ửng dung hệ thửc Vi-ét đề nhấm nghiệm của phương trình bậc hai một ấn, lập phướng trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúngl tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học. Theo chương trình trện, học sinh được học Đinh lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ửng dung của hệ thửc Vi-ét nện các em nắm và vận dung hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viện tôi cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thệm kiến thửc phần này đề tìm ra các phướng pháp giải phù hợp với từng ửng dung bài tập. II. Tình hình thực tế: 1. Thực trạng : Nhiều năm cộng tác tại Trường THCS đặc biệt đối với trường nằm trên địa bàn kinh tế còn nhiều khó khăn, điều kiện học tập chưa đầy đủ, nhiều em không có thời gian học ở nhà, nhiều gia đình chưa quan tâm đến việc học của con em, vấn đề Xã hội hoá giáo duc chưa ngang tầm với giai đoạn hiện nay. Nên chất lượng học tập vẫn chưa được cao, số học sinh bị hổng kiến thửc còn nhiều, nhiều em còn có tâm lý sợ môn toán học. Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mửc đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. Các bài toán về hệ thửc Vi ét và ửng dụng rất quan trọng như đã nệu phần trước, song qua thực tế giảng dạy nhiều năm tội thấy với học sinh đại trả các em còn lười làm bài tập, khi nhìn thấy để dài hoặc hơi khác một chút là ngại đọc đề, ngại phân tích đề, đặc biệt là với dạng toán có lời văn. Cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiếm tra, bài thi của HS thì đa số HS chưa nắm chắc phương pháp giải, chưa vận dụng biến đỗi một cách linh hoạt sáng tạo vào từng bài cụ thể dẫn đến việc áp dụng vào các dạng toán khác còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng. 2. Kết quả của thực trạng Từ thực trạng trện chất lượng học qua bài kiểm tra 15 phút học kỳ II năm học 2017— 2018 như sau: Sĩ Kết quả , STT Lớp , A Giỏi Khá TB Yêu kém “’ SL% SL% SL% SL% SL% 1 9C 36 2 5,6 8 22,2 10 27,8 15 41,7 1 2,7 III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán, hay sai nhất trong cách trình bày lời giải, học sinh
còn lúng túng chưa biết cách biến đổi. Vì vậy để rèn kỹ năng cho các em nắm chắc kiến thửc trong quá trình dạy tội đã phân ra các ửng dung tương ửng với các phần bài tập. 1. Các giải pháp thực hiện 1.1 Hệ thống lại kiến thức lý thuyết. Giúp các em nắm vững kiến thửc và khắc sâu phần lý thuyết đã học. 1.2 Phân loại dạng các ứng dụng bài tập - Ứng dung 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phượng trình bậc hai một - Ứng dung 2: Dùng hệ thửc Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ấn cho biết trước một nghiệm - Ứng dung 3: Nhấm nghiệm của phượng trình bậc hai một ấn - Ứng dung 4: Lập phượng trình bậc hai . - Ứng dụng 5: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. - Ứng dụng 6: Tính giá trị của biều thửc đối Xửng giữa các nghiệm mà không giải phương trình . - Ứng dụng 7: Tìm hệ thửc liện hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số. - Ứng dụng 8: Tìm giá trị tham số của phướng trình thỏa mãn biểu thửc chửa nghiệm. - Ứng dung 9: Xác đinh dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. - Ứng dụng 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thửc nghiệm. - Ứng dung 11: Một vài ửng dung khác của hệ thức Vi-ét. 2. Các biện pháp tổ chức thực hiện 2.1 Biện pháp 1: Hệ thổng lại kiến thức lý thuyết. Để việc dạy học đạt hiệu quả GV phải vận dụng các phượng pháp củng cố, kiếm tra đánh giá để kiếm tra mửc độ nhớ lý thuyết và khả năng vận dụng của học sinh. Tôi đã áp dụng thông qua kiềm tra bài cũ, làm bài tập về nhà, đưa ra câu hỏi gợi mở khi làm bài tập. Ngoài ra khi áp dụng các bài toán khó hợn đòi hỏi các em phải nhớ một số kiến thức đã học ở lớp 8 như: Các hẳng đẳng thức đáng nhớ, các phép biến đổi Định lí Vì-ét: Nếu xl, X2 là hai nghỉệm cúa phương trình ax2 + bx + c = 0 ( x1 + x2 =- ầ a a #0) thì XIXZ _— a Áp dụng: * Nhờ đinh lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phướng trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia.
* Nếu phướng trình ax² + bx + c = 0 (a 7²0) có a + b + c = 0 thì phương trình có … ` ` … . , c mọt nghiem la X1 = 1, con nghiem kia la X; = — . a * Nếu phướng trình ax² + bx + c = 0 (a 7²0) có a - b + c = 0 thì phướng trình có mọt nghiem la X1 = - 1, con nghiem kia la X; = - —. ' A \ \ ' A ' \ c a Ả ~ Á '7 ~ u + V IS + ~ Á ! \ ~ ~ A ’7 * Neu hai so u, v thoa man thi hai so đo la hai nghiem cua phướng u.v = trình x² — sx + P = 0. (Điều kiện để có hai số u, v là s² - 4P 2 0) 2.2 Biện pháp 2: Phân loại các bài tập. Ứng dụng 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một Trước khi áp dụng đinh lí Vi-ét, ta cần kiềm tra điều kiện xem phương trình bậc hai một ấn có hai nghiệm hay không (Tức là kiếm tra a +0, A 20 ( A' zo) có thỏa mãn không). Ví du 1 (Bài 25/SGK-Trang 52): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình: a) 2X2- 17x+1=0 b) 25x²+10x+1=0 @ a)2x²- 17x+ 1 =O(a=2 =0,b=-17,c=1) Ta có: A =( - 17)² - 4.2.1 =281> 0 3 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x;. . b 17 c 1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: X1 + X2 =- - =-, Xl.X2 =- =-. a 2 a 2 b)25x²+10x+1=0(a=25 i0,b=2b’ =10,c=1) Ta có: Ạ' =5² - 25.1 =0 ² Phương trình có hai nghiệm xl, x;. Theo hệ thửc Vi-ét, ta có: X1 + X2 =- Ê =- E =- 3, Xl.X2 =Ệ =L. ' a 25 5 a 25 Ví du 2 (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rội tính tổng và tích các nghiệm theo m: a)x²-2x+m=O b)x²+2im-l)x+mz=O Giãi a) x²—2x+m=O(a=l =O,b=2b’ =-2,c=m). Ta có: A'=(-1)2 - l.m =1- m. Đề phương trình có nghiệm
Tacó: A'=[-(m- I)]Z- 1.m2 =m²- 2m+1- m² =1- 2m. ~ . 1 Đề phương trình có nghiệm @ A' 20 @ 1- 2m 20 @ m 53. . 1 . . Với m 53, phượng trình có hai nghiệm xi, x;. Theo hệ thửc Vi-ét, ta có: -2 m- 1 ² x1 + x2 =- Ê =ụ =2(1- m), xl.x2 =ỉ =m— =m2. a 1 a 1 Đây là dạng toán nhận biết cơ bản nhất mà bất kì đối tượng học sinh nào cũng phải làm được. Ứng dụng 2: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẫn cho biết trước một nghiệm Giả sử phương trình ax² + bx + c = 0 (a 7²0) cho biết một nghiệm Xl = m. Tìm nghiệm còn lại x; ? . b Ta làm như sau: Dùng hệ thửc Vi-ét XI + X; = - —. Thay xl = m vào hệ a b c thửc, ta có x2 =- —- X1 —- —- m hoặc ta dùng hệ thửc XIX2 =— a a a Ví du 1 (Bài 39/SBT-Trang 44): a) Chửng tỏ rằng phướng trình 3x2 + 2x - 21 = 0 có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia. b) Chửng tỏ rằng phương trình -4x2 - 3x + 115 = 0 có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia. ổ a) xl = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0. Vì 3(-3)² + 2.(-3) - 21 = 27 — 6 — 21 = 0. Cách 1 :Theo hệ thửc Vi-ét, ta có: b -2 -2 -2 2 7 x +x =-—=—àx =—-x =—-(-3)=3-—=— l ² a 3 ² 3 l 3 3 3 Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: c —21 7 xl.x2=—I—I-7=>x2=(-711x1=(-711(-31=— a 3 3 b) xl = 5 là một nghiệm của phương trình -4x2 - 3x + 115 = 0. Vì -4.52—3.5+ 115 =- 100— 15 +115=0. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: c -115 -115 -115 -23 xl.x2 =—=T=>xz= T :xl= T :5——
Ví du 2: a) Phướng trình x2 - 2px + 5 =0. Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. b) Phượng trình x2 + 5x + q =0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. c) Cho phướng trình : x2 - 7x +q =0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phượng trình. @ a) Thay xt =2 vào phướng trình ban đầu ta được : 4- 419 +5 =0 = P =ẫ 5 5 T ừ xtxz =5 suy ra xz IỈl ²3 c) Vì vai trò của xi và x; bình đẳng nện theo đề bài giả sử xi - xz =ll x1 - x2 =11 {xl =9 Theo Vi-et ta có xl + x2 ²7 => => =xx =-18 x1 + x2 =7 x2=-2 q 12 Ứng dụng 3: Nhẫm nghiệm của phương trình bậc hai một ẫn Ví du 1: Ví dụ 1 (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a — b + c = 0 đề tính nhấm nghiệm của mỗi phương trình sau: a)3sx²-37x+2=o b)x²-49x-so=o Giải a) Nhận thấy phướng trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0. . c 2 Do đó phướng trình có một nghiệm là xl = 1, Xz = - 23“ a c) Nhận thấy phướng trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0. . - 50 Do đó phương trình có một nghiệm là xl = - 1, x; = -3 =— % =50. a Ví du 2: (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44): Dùng hệ thửc Vi-ét đề tính nhấm nghiệm của mỗi phương trình: a)x²-7x+l2=O b)x²+óx+8=O Gìãì a) Ta thấy A =(— 7)2 - 4.1.12 =1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm : th : ~ xl+x2 =7 Ộ xl+x2 =3+4 XI va X² oa man xl.x2 =12 =3.4 xl.x2 =12 =3.4 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm xt = 3 và X2 = 4. b) Ta thấy Ạ' =32 - 1.8 =l > 0. Do đó phượng trình có hai nghiệm xi và Xz xl+x2 =-6 Ýg+X2 =1-21+1-41 thỏa mãn 1X1~X2 28 :(-2).(- 4) C) x,.x, =8 =( -2).(-4)
Vậy phướng trình đã cho có hai nghiệm xt = - 2 và x; = - 4. Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải phương trình bằng nhấm nghiệm là nhanh gọn hớn việc vận dung cộng thửc nghiệm (cộng thức nghiệm thu gọn) Ứng dụng 4: Lập phương trình bậc hai . 1. Lập phương trình bậc hai khi biểt hai nghiệm xl;x2 Ví dul: Cho xl 23; x2 =2 lập một phương trình bậc hai chửa hai nghiệm trên S =x1 + x2 =5 Theo hệ thửc Vi-et ta có vậy xl;x2 là nghiệm của phướng trình P =xlx2 =6 có dạng: x²- Sx+P =0hayx²- 5x+6=0 , _ _; _Jẩ+l. \V1du 2. ChOXI—Ỹ, X2—l+J ẫ Hãy lập phượng trình bậc hai có nghiệm: xi; x; ,. _ JỂ+1 _ _ 1 _ _32«|_ -1 GiaiTaco. Xt— 2 , X2_1+J3_ 11+JỂ11-Ỉ 3—1 : _Jẩ+l Nen xl.xZ— 2 .1+ l 7-3 _ = l 2 _«/3+1 l _ JỂ+l JỄ'1 _ X1+Xz——2 +1+JỂ — 2 + 2 _JỂ Vậy phướng trình có hai nghiệm xl; x; là: x2 -JỂ x +ẳ = 0 hay 2x²-2JỂ x+1 = 0 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thửc chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: 3. V í du : Cho phướng trình : x² - 3x + 2 =0 có 2 nghiệm phân biệt xl;x2, Không giải phương trình trện, hãy lập phượng trình bậc 2 có ấn là y thoả mãn : y1=x2 +_ và 3²2 le +— x1 x2 Cách 1: + Tính trực tỉếp ylạyọ bằng cách: Tìm nghỉệm xl:,x2 cúa phương trình đã cho rồi thay vào bỉểu thức tỉnh yl ;yg Phương trình x² — 3x+2 =O có a+b+c =l+C- 3)+2 =0 nện phượng trình có hai nghiệm là. xl =lgx2 =2 Tacóyt -x+L z xt -2+l1 -3yz -x+L lxz -l+l— 2 -ẫ 2 + LậPPhưong trình bậc hai bỉết hai nghỉệm y, ;y2 (dạng 2:14 3 9 S =yl + y2 =3+-—- 2 2 3 9 P= JÌ1JÌ2 =3.—= 2 —2
+ A A , 9 9 Phương trinh can lạp co dạng: y² - Sy +P =0 hay Ý - ỉy +Ĩ =O (hoặc 2y2 - 9y+9 =0) Cách 2: Không tỉnh yi ;y2 mà áp dụng Định lí Vỉ-et tínhS =yt +y2;P =ytyg sau đó lập phương trình bậc hai có các nghỉệm là ytặyọ Theo đinh lí Vi-et ta có: (x2 +L).(xl+ị)lex2 +1+1+ =2+1+1+lzẵ x1 x2 xle 2 2 1 1 1 1 x +x 3 9 ` S =yt +yz =sz +—+xt xl +- x2 =(xt +xz)+ —+— xl x2 =(xt +xz)+ể xlx2 =3+—=-Phương 2 2 trinh A A , 9 9 can lạp co dạng: y² - Sy+P =0 hay Ý - ỉy +Ĩ =O (hoặc 2y2 - 9y+9 =0) Nhận xét: Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm xlặxg là hữu tỉ do đó còn cách 2 có thể tính toán cho mọi trường hợp. - Ứng dụng 5: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. Ví dụ 1 (Bài 28/SGK-Trang 53): b) u + v = 2, u.v = 9 @ a) Ta có u+v= 32, u.v =231. Do đó u và v là 2 nghiệm của phướng trình: x2 - 32x + 231 = 0. A =(-32)² - 4.231 =100›0:› JẨ =J1oo =10 32+1o_ _32-10_ Phượng trình có hai nghiệm phân biệt: X1 = ịXg— 11. Vậyu=21,v= 11 hoặcu=ll,v=2l. b) Tacóu+v=2,uv=9 Do đó u và v là nghiệm của phướng trình: x2 - 2x + 9 = 0. A =( - 2)2 - 49 =- 32 < 0 => Phương trình vô nghiệm. Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trện. Ví dụ 2: Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và diện tích của hình chữ nhật bằng 54m². @ Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, (cm; u, v > 0). Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nện ta có phương trình: 2.(u+v)=30 ® u+v= 15 (1) Vì diện tích của hình chữ nhật bằng 54m², nện ta có phương trình: u.v = 54 (2) u+v=15 Từ (1) và (2), ta có hệ phướng trình: 1uv _54 . Do đó u, v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: x² -15x + 54 = 0. Ta có Ạ =(-15)2 - 4.54 =9 › o
² phướng trình có 2 nghiệm XI 16; X; ²9. Vậy hình chữ nhật có hai cạnh là ôm và 9m. Ví dụ 3. Giải các hệ phướng trình sau: x-y=lO x²+y² =12 xy =24 b) xy =-4 Gỉáỉ x-y210 X+(-y) I10 a) = . xy =24 x.( - y) =- 24 Do đó x và (-y) là nghiệm của phương trình: t² — lOt - 24 = 0. Ta có Ạ =(-10)² - 4.(-24) =196 >o=› JẨ =14. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ti = 12; t2 = -2. Suyrax=l2,-y=-2 ²x=l2,y=2 hoặcx=-2,-y=lZ ² x=-2,y=-12 Vậy hệ phượng trình có hai nghiệm (12; 2); (-2; -12). 2 2_ 2 _ 2_ X+yIZ b){X +y4—12{(X+y) 2xy-lZỘ{(x+y) _4 x+Y=-Z X 2“ :-4 :-4 y xy xy xy=-4 . X+y=2 . ° Vớix+y=2,tklcó hệ: xy __ 4 =«x,ylà nghiệm của phương trình: t²—2t-4=O=>tl=l+JỉtZII-JỄ =>x=l+J5,y=1-J5hoặcx=l-Jỉy=l+Jẵ . X+y=-2 . ° Vớix+y=-2, có hệ: xy __4 ='x,ylàngh1ệmcủaphươngtrình: t²+2t-4=o = t3 =-1+J5,t4 =-1- Jẫ. => x=-l+JỂ,y=-l- J5 hoặcx=-l- J5,y=-I+Jẵ Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm: (l+Jẫảl’Jẫ);11'Jẫịl’fJẫ);i’l+Jẫặ’l-Jẫ);1’l’Jẫệ’l+Jẫ) Nhân xét: Trong các ví dụ trện ta đã chuyển đội việc giải hệ phương trình sang giải phượng trình bậc hai một ấn; bến cạnh đó ta cần sử dụng thệm phép biến đổi tương đương cho hệ phương trình và kết hợp sử dụng hẳng đẳng thửc A2 +B2 =(A + B)2 - 2AB. Ngoài ra trong nhiều trường hợp chúng ta còn cần sử dụng tới ấn phụ như ví dụ 3 phần a) hay ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điều này. * Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài
- Ứng dụng 6: Tính giá trị cũa biễu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình . Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi biếu thửc nghiệm đã cho về biều thửc có chửa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp dung hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biếu thửc. Ví du 1: Biến đổi biếu thức để làm xuất hiện: x1 + x; và XL x; a/ x12 +x22 =1xf +2xlx2 +x221- 2x1x2 =(xl +x2)2 - 2x1x2 b/x13 +x23 I(xl +x2)1x12 ' xlx2 +x22) =(xl +x2)1(x1 +x2)2 ' 3xlx2 1 1 xl + x2 c/ _ + _ 2— xl x2 xlx2 d/ (xl - x2)2 =xl2 - 2xlx2 +x22 =(xf +2xlx2 +x221- 4xlx2 =(xl +x2)2 - 4x1x2 à xl- x2 =iJ(xl +x2)2- 4xlx2 Ví du 2: Cho phương trình x² — 6x + 8 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biều thửc: a)A=x12 +x,, 2 b)B=—+—; l 1 c)C=x12 - x,2 đ)D=lx,- le XI X2 Gz'áz' Phượng trình x² — 6x + 8 = 0 có & =(- 3)2 - 1.8 =9- 8 =1› 0 = phương trình có . . . . . SIXI+XZ 26 hai nghiệm phân biệt xt, Xz. Theo đinh lí Vi-ét ta có: P=xlx2 =8 a)A= Xf+xẳ = (x1 +x,)²- 2x1x2 =s²- 2P =6²—28=36—16=20. b )B_ L+L_Xt+xz_ẵ_Ể—ẫ , B 3 8 4“Vạy “ 2 P XI X2 X1X2 c) C= xỉ - xẳ =(xl +x2)(xl- x2) =S.(xl - x2) =6.(x1- x2)_ (x1 - x2)2 IxĨ +xị - 2xlx2 =(xl +x2)2 - 4xlx2 =s² - 4P =6² - 4.8 =4 => xl - x2 =ĩ2 Vậy C = i12. d)D = |x1 - x2| zffl =J4 =2. Ví du 3: Cho phượng trình 2x2 — 7x + 4 = 0, gọi hai nghiệm của là xi và Xz. Không giải phượng trình, hãy tinh giá trị các biêu thức sau: a) xi + Xz ; X1.Xz b) x13 + xf c) Jx—l + JỆ Giải
Phương trình 2x² — 7x + 4 = 0 có A =(- 7)2 - 4.2.4 =17 > 0 = phương trình có hai nghiem phan biet xi, x;. Theo đinh 11 V1-et: S =x1 + X2 IỆ’P =xlxz =2 7 a)xt+x;=S= Ệ,X1.XZIPIZ b) XĨ+XỄ =(Xt+Xz)ẵ- 3xlxz(xl+xz) =Sẵ- 3SP= — ›JxĩJĩ doS=xl+x2 Iẫ>O›PIX1X2 =2>0=> xl,x2>0, _ C_J—+ JX—ZI 7_+4J3 - Ứng dụng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số. Đế làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số đề phướng trình đã cho có hai nghiệm x1 và xg (thường là a # 0 và A 2 O) - Áp dung hệ thửc Vi-et viết S = xi + x; v à P = xi xa theo tham số - Dùng quy tắc cộng hoặc thể đề tính tham số theo xi và xz . Từ đó đưa ra hệ thửc liện hệ giữa các nghiệm xi và X2. Ví du 1: Cho phướng trình : (m- l)x² - 2mx+m- 4 ²0 có 2 nghiệm xlịxọ. Lập hệ thửc liện hệ giữa xlệxg sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Đề phương trình trện có 2 nghiệm x1 và x; th i : (m-liO {m =1 (m =1 mịl A'20 @ m²-(m-l)(m-4)2O CID 5m-420 «= m2Ể4 xl+x2 _2_m xl+x2 =2+ 2 (1) Theo hệ thức Vi- etta có : mIĨ1Ịll ² _l xl.x2 Iỉ xl.x2 =l- ỉ(2) 2 2 Rútmtừ(l)tacó: Ắle+x2-2Ộm-1IỆ (3) 3 3 Rútmtùz(2)tacó:ỉĩl'xtxz®m'lĩl_x1 (4) Động nhất các về của (3) và (4) ta có: ị = 3 2(1- xlx2) =3(xl +x2- 2) 3(x1 +x2) +2x1x2- 8 =0 xl+x2- 2 1- xlx2
~ ~ + 4 J ~ Ă J A A \ Vậy A = 0 với mọ1 m =1 va m Zg. Do đo bieu thưc A khong phu thuoc vao m Nhân xét:- Lưu ý điều kiện cho tham số đề phướng trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thửc Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó động nhất các về ta sẽ được một biều thửc chửa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. - Ứng dụng 8: Tìm giá trị tham số cũa phương trình thỏa mãn biễu thức chứa nghiệm. - Đặt điều kiện cho tham số đề phướng trình đã cho có 2 nghiệm xị và x; (thường là a $ 0 và A2 O). - Từ biều thức nghiệm đã cho, áp dung hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ấn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví du 1 Cho phướng trình: x²— (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm xị và x;thỏa mãn hệ thức: 3xịxz - Síxị + x2) +7 =0 Giải: Đề phượng trình trện có hai nghiệm xị và x; thì: Ạ' zẠ' =(2m +1)2 - 4(m² +2) zo =› m zẵ _ S=xl+x2 =2m+1 Theo hệ thửc Vi-ét,Ta có: P =xl.x2 =m2 +2 Vì 3x,x,-s(xl+xz)+7=o (giảthiết) m =2(TM) ^ 3 1 m²+2 ) -5(2m+1)+7=0= m=ẳ(KTM) Nen Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm xị và x; thỏa mãn hệ thửc: 3xlx2 - 5(xl +x21+7 =0 Ví du 2: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm xị, x; thỏa mãn điều kiện XI - X2 14. @ Phượng trình có hai nghiệm xị, X2 khi và chỉ khi: Ạ'20=› (-3)²- m=9- m20=› mí9. , . Xi + X2 26 (D Ap dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 1XịXz =m (2) Theo bài: Xị - X2 ²4 (3). Giá hệ gộm (1) và (3), ta được: 2Xị :10 © Xị ²5 ² X2 ²6 - Xị I6 - 5 11.
Thay xi = 5, x; = 1 vào (2), ta có: 51 = m ² m = 5 (thỏa mãn đỉều kỉện) Vậyvớim= 5thì Xị - X2 14. Nhận xét: Ngoài việc phải kết hợp Vcị điều kiện phướng trình có nghiệm để chọn giá trị m thì cần chú ý trong trường hợp bài toán còn có điều kiện ràng buộc khác ta cững cần đối chiếu giá trị của m để loại bỏ giá trị không thích hợp. - Ứng dụng 9: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Cho phương trình: ax² +bx +c =O (a # O) . Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x; x; S = x; + P=xlxg A Điều kiện chung 3412 tráỉdấu + + P0 cùngdương + + S>O P>O Ạ20 ẠZO;P>O,S>O cùngâm - - SO Ạ20 ẠZO;P>O,S
C = k_ B (trong đó A, B là các biều thửc không ấm ; m, k là hằng số) Thìtathấy; C2m (vì 420) = minC=m= A=O C sk (VìB 20) = maxC =k 0 với mọi m Theo đề bài ; A ²61² +xẳ - 6xixz =(xi +xz)² - 8xịxz A = (2m-1)² + 8m = (2m-3)² — 8 2-8 3 Suy ra: minA =- 8
Giải Phươngtrìnhx²-5x+4=Ocóa+b+c=1—5+4=0.Dođóphương trình có hai nghiệm xi = 1, x; = 4. Vì Vậy đa thức x² — 5x + 4 = (x —1)(x — 4). Ví du 2. (Bài 33/SGK-Trang 54).Phấn tích đa thức 2x² — 5x + 3 thành nhấn tử. ổ Phượngtrình2xz—5x+3=Ocóa+b+c=2—S+3 =0. Do đóphướngtrình . . 3 3 có ha1ngh1ệm xi = 1, x; = 3" Vì vậy đa thửc 2x² — 5x + 3 = 2(x—1)(x — 3). 2. Lập phương trình đường thẳng (d): y = ax + b (a 7²0) quan hệ với Parabol (P): y = mx2 (m 7²0). Ví du 1. Cho parabol (P) có phương trình: y = x². Gọi A và B là hai điềm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA = -1; xB = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua A và B. @ Gọi phướng trình đường thẳng đi qua A và B có dạng y = ax + b (AB). Phương trình hoành độ giao điềm của (AB) và (P) là: x²=ax+b=x²-ax-b=O (1). Ta có: xA = - 1; xB = 2 là nghiệm của phương trình (1) xA+xB=a (-1+2=a {a=l Áp dung hệ thửc Vi-ét, ta có: ( C3 C3 xAxB =- b (- l).2 =- b b =2 Vậy phướng trình đường thẳng đi qua A và B là: y = x + 2. 2 Ví du 2. Cho parabol (P): y =XĨ; điếm A thuộc (P) có hoành độ xA = 2. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A. Gỉáỉ Gọi phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A là (d): y = ax + b. Phương trình hoành độ giao điếm của (d) và (P) là: 2 XĨ=ax+b=x²-4ax-4b=o (*) Ta có: XA = 2 là nghiệm kép của (*) (xị = X; = xA ) Áp dụng hệ thức Vi-ét và bài ra, ta có: x1 + x2 =4a 4 =4a a =1 xlx2 =- 4b
, ` 5-x 5- V1dụl.G1a1phươngtrmh X. . X+ =6 (*) X+1 x+1 Điệu kiện: x7²-1. 5-X 5- 5-x UIX. u+v=x. + + X+1 X+1 x+1 u+v=5 Đặt (1)=> 5-x 5-x 5-x u.v=6 v= x+ u.v=x. . x+ X+1 X+1 x+l ² u, v là nghiệm của phương trình: t²— 5t + 6 = 0 ² tị 23; t2 IZ Dovậyu=3thìv=2hoặcu=2thìv=3 u_ -vci( VI 2 thì(l)trớthành: x2-2x+3=0 Ta có A' = 1 — 3 = - 2 < 0 ² Phượng trình vô nghiệm. - Với ( v _ 3 thì (1) trở thành: x²- 3x + 2 = 0 Tacóa+b+c=l—3+2=O ²xị=l;xg=2 Vậy phướng trình (*) có hai nghiệm xi = 1; x; = 2. Bài tâp áp dung: Bài 1 : Hãy tìm nhấm nghiệm của các phướng trình sau: 1. 35x2 - 37x+ 2 =0 2. 7x2 +500x- 507 =0 3. x2 - 49x- 50 =0 4. 4321x2 +21x- 4300 =0 5. x²—mx+m—I=O (mlàthamsố) 6. ax² +bx — (a +b ) = 0 (a, b là tham số; a=O) Bài 2 : 1. Cho phướng trình: 38 —x - 2m +5 = 0. Biết hiệu hai nghiệm bằng 1. Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình 2. Tìm nghiệm của phượng trình: a) 5x2 + 24x + 19 = 0 b) x²-(m+5)x+m+4 ỦLập phương trình bậc hai biết nghiệm của chúng là xi ; x; thỏa mãn : l. xị= 8 và xọ = -3 2. xi = 3a và x; = a 3. xị=36 và x;=-104 4. xị=l+Jỉ và x;=l-Jỉ Bài 4: Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dượng xi; x; mà xi < x; . Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : JẮÍ x2 - 1) và x211- xI) (Đề thi tuyển sỉnh vào 10 Lương Thế Vỉnh, năm học: 2008-2009) Bài 5: Tìm 2 số a và b biết tộng S và tich P 1.S=3 và P=2 2.S='3 và P=6 3.S=9 Và P=20 4.S=2x và P=x²'y2 Bài 6: Tìm 2 số a và b biết l.a'b=5 và ab=36 2.a²+b²=61 và ab=3O
ffl Cho phướng trình: x² - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm xi, x; (xị> xZ). Tính giá trị biếu thức : 4 =xfx2 - xlx23 theo m. Bài 8: 1/ Cho phượng trình: mx² +2 (m - 4)x + m + 7 =0 . Tìm m để 2 nghiệm xi và ›c thỏa mãn hệ thửc: xi - 2x2 =0 2/ Cho phướng trình: x²+ (m - 1)x + 5m - 6 =O . Tìm m để 2 nghiệm xi và ›c thỏa mãn hệ thửc: 4xi +3x2 =1 Ải9: Tìm m để phượng trình: 1. mx² - 2(m +2) x+3(m- 2) ²0 có 2 nghiệm cùng dấu. 2_ 317ch2 +2(2m +1) x +m =O có 2 nghiệm ấm. Bài 10 : Tìm m để phương trình x2 - 2(m- 4)x+m2 - 8 =0 có hai nghiệm xịặxg thỏa mãn:a) A 1961 + xz - 396196² đạt giá trị lớn nhất b) B :x,2 + x2² - xle đạt giá trị nhỏ nhất Bài 11: Phấn tích đa thửc x² — 7x + 12 thành nhấn từ Bài 12: Cho phướng trình x² +bx — c = 0. Tìm b, c đế phướng trình có 2 nghiệm phấn biệt xi, X2 và tích của chúng bằng 1 (Trỉch đề thi tuyển sỉnh vào lậ2 10 Hà Nội năm 2007) Bài 13: Cho phương trình x² — 2(m+l)x + m²+2 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm xi, x; thỏa mãn xị+ x; = 10. (Trỉch đề thi tuyển sỉnh vào lóp 10 Hà Nội năm 2009) Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx —1. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điếm có hoành độ xi, xi thỏa mãn x- ị²x2+ X1X22 — X1Xz =3.(Trích đề thi tuyển sỉnh vào lóp 10 Hà Nội năm 2010) Bài 15: Cho phương trình x2 — (4m-l)x + 3m²-2m = 0. Tìm m để phượng trình có 2 nghiệm xi, x; thỏa mãn xị²+ X22 = 7. (Trích đề thi tuyển sỉnh vào lóp 10 Hà Nội năm 2012) Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = Ễx² và đường thẳng (d): y = mx Ễ’” +m+l. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điếm có hoành đọ xl, ›ọ thỏa mãn lxi - le =2. (Trích đề thi tuyển sỉnh vào lóp 10 Hà Nội năm 2013) Bài 17: Cho phương trinh x2 - (m+5)x + 3m +6 = 0. Tỉm m để phương trình có 2 nghiệm xi, x; là độ dài 2 cạnh góc vuộng của tam giác vuộng có cạnh huyền bằng 5. (Trích đề thi tuyển sỉnh vào lớp 10 Hà Nội năm 2016) Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2 , và đường thẳng (d): y=3x+m²—i Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành đọ xi, ›ọ thỏa mãn (xị+l)(x2 +1) =1. (Trích đề thi tuyển sỉnh vào lớp 10 Hà Nội năm 2016) Bài 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=mx+5. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành đọ xị< ›ọ thỏa mãnlxil > |le .
(Trỉch đề thi tuyển sỉnh vào lóp 10 Hà Nội năm 2017) Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x² và đường thẳng (d): y=mx+5. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điếm phấn biệt có hoành độ là các số nguyên IV. KẾT QUẢ: 1. Kết quả thu được: Từ thực tế giảng dạy áp dung đề tài này vào giảng dạy tội thấy chất lượng được cải thiện rõ rệt qua khảo sát bài kiềm tra 15 phút toán 9 của học kỉ 11 năm học 2018- 2019, kết quả đạt được như sau: Sĩ Kết quả , STT Lớp , A Giỏi Khá TB Yêu kém “’ SL % SL % SL % SL % SL % 1 9A 40 10 25 16 40 13 32,5 1 2,5 0 0 2. Giải pháp mới cải tiên: Với đề tài này tội có thế áp dung cho từng đối tượng học sinh phù hợp với yêu cầu thực tế giảng dạy. Từ đó để từng bước nấng cao chất lượng đại trà cững như chất lượng học sinh khá giỏi. 3. Điều kiện và khả năng áp dụng: Đề tài này áp dung cho mọi đối tượng học sinh khối 9, đặc biệt là học sinh ôn thi vào 10. Đấy là một dạng bài tập mà hầu như năm nào trong đề thi vào 10 ở Hà Nội cững có, nện khi các em nắm chắc các dạng bài tập này thì đó là 1 hành trang vững chắc đề các em tự tin khi bước vào phòng thi. PHẨN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận: Qua tìm hiếu, trò chuyện với học sinh, tội nhận thấy đa số các em đã nhận thửc được tầm quan trọng của việc học ở phố thông chính là đòn bấy đưa các em đến tương lai tươi đep.Đa số các em học sinh khá, giỏi đều rất muốn được mở rộng, nâng cao kiến thức nhưng các em không biết bằng cách nào, đọc sách nào là tốt vì sách tham khảo rất nhiều loại.Vì vậy giáo viện cấn nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học ở nhà, tự chọn sách tham khảo,. .. Mong rằng để tài này : “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài tập” góp phần giúp các em thệm kiến thức , biết ửng dụng hệ thửc Vi-e’t vào giải các bài toán bậc hai đề các em thệm tự tin trong các kỳ thi tuyền. Trong đề tài này, tội còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các em học sinh. 2. Khuyến nghị:
Đối với giáo vỉên: Cần nghiền cửu kĩ đề tài, nắm chắc các phướng pháp giải từng dạng toán; chuẩn bị kĩ giáo án; tích cực nghiên cửu tài liệu và bắt tay giải toán như một học sinh. Đối với học sỉnh: Sáng kiến này áp dụng với học sinh khối 9 cho kết quả tốt thì học sinh nắm chắc phương pháp giải đối với các dạng toán và phát huy tính chủ động sáng tạo, chảm chỉ rèn luyện, làm nhiều bài tập luyện để nâng cao kĩ nảng giải toán. Nơi nhận: Thịnh Lỉệt, ngày 05 tháng 07 năm 2019 . Phòng VHTT quận; HIỆU TRƯỞNG - Lưu VP. (đã ký) Bùi Hoàng Yến