Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Sử dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán nhiễu loạn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn "Sử dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán nhiễu loạn" được tiến hành nhằm 2 mục tiêu chính: Tìm hiểu lí thuyết nhiễu loạn; tìm hiểu cách sử dụng phần mềm Mathematica vào việc giải một số bài toán nhiễu loạn. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Sử dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán nhiễu loạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== PHẠM TUẤN ANH SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NHIỄU LOẠN Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN THÁI HOA HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Trần Thái Hoa – Người thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian vừa qua. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường ĐHSP Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức cho tôi trong hai năm học tạo tiền đề cho tôi hoàn thành bản luận văn này. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè và cơ quan nơi tôi công tác đã động viên và giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Phạm Tuấn Anh
LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là học viên Phạm Tuấn Anh - Cao học K19 Trường ĐHSP Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “Sử dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán nhiễu”, là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, đề tài không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Phạm Tuấn Anh
Mục lục Mở đầu 1 1. Lý do chọn đề tài................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu..........................................................................2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.........................................................................2 4. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................2 5. Phương pháp nghiên cứu....................................................................2 Chương 1: Một vài nét về phần mềm mathematica 3 1.1 Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica.................................3 1.2 Giao diện tương tác của Mathematica.............................................3 1.3 Các tính năng của Mathematica........................................................4 Chương 2: Lí thuyết nhiễu loạn dừng 8 2.1 Giới thiệu về lí thuyết nhiễu loạn....................................................8 2.1.1 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến...............................9 2.1.2 Nhiễu loạn khi có suy biến...................................................12 2.2 Các bổ chính của năng lượng và hàm sóng...................................14 2.2.1 Bổ chính bậc 1 cho năng lượng.............................................14 2.2.2 Bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng.......................16 2.2.3 Bổ chính bậc 3 cho năng lượng và hàm sóng.......................18 Chương 3: Xây dựng chương trình bằng phần mềm mathematica để chạy một số bài toán nhiễu loạn 19 3.1 Bài toán 1........................................................................................19 3.2 Bài toán 2........................................................................................26 3.3 Bài toán 3........................................................................................33
Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong cơ học lượng tử việc giải phương trình Schrodinger để tìm năng lượng và hàm sóng về nguyên tắc thì ta hoàn toàn tìm được. Tuy nhiên, trong thực tế với nhiều trường hợp thì việc giải phương trình này gặp rất nhiều khó khăn và giải nó rất phức tạp. Ta đã biết trạng thái dừng của một hệ được mô tả bằng nghiệm của phương trình Schrodinger dừng: ˆ   . H (1) Ở đây, Hˆ là toán tử Hamilton và E là năng lượng của hệ. [1], [2] Nghiệm chính xác của phương trình chỉ có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất (trường colomb, trường đàn hồi, trường điện từ đều, ….) tương ứng với các hệ lý tưởng hóa phương trình (1) có thể cho. Sự phức tạp của việc giải phương trình này phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về dạng toán học, và không thể giải được nghiệm chính xác. Do đó, khi nghiên cứu các hệ thực nói chung thì phương trình (1) không cho nghiệm chính xác. Bởi vậy phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán, một trong những phương pháp đó là đi tìm một cách giải gần đúng các hàm riêng và trị riêng của nó – còn được gọi là lí thuyết nhiễu loạn mà nội dung cơ bản là: đưa các bài toán phức tạp này về những bài toán đơn giản có thể tìm nghiệm chính xác sau đó tìm những hiệu chỉnh tương ứng. Vì vậy, do có sự xuất hiện của máy tính điện tử nên các phương pháp giải gần đúng bằng số các bài toán cơ học lượng tử có tầm rất quan trọng. Cụ thể, việc đưa máy tính vào để nghiên cứu các quá trình tính toán trong vật lí, sử dụng các công cụ tính toán sẽ giúp cho việc xử lý các bài toán vật lí được nhanh chóng và thuận tiện. [7]
2 Để đáp ứng nhu cầu đó thì việc ứng dụng phần mềm toán học Mathematica là công cụ rất hữu ích, một giải pháp tối ưu đối với bậc đại học. Phần mềm dễ học, dễ sử dụng, độ chính xác cao, đáp ứng được nhu cầu của đa số giáo viên, giảng viên trong công tác giảng dạy. Năm 1988, hãng Wolfram cho ra đời phầm mềm Mathematica phiên bản đầu tiên. Mathematica là ngôn ngữ tích hợp đầy đủ nhất các tính toán kỹ thuật, [6], [7] là dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các số liệu đặc trưng. Dựa vào khả năng mô hình hóa và mô phỏng, Mathematica không những ứng dụng trong toán học, kỹ thuật, vật lý mà còn mở rộng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực phức tạp khác. Hiện nay, Mathematica được cải tiến và hoàn thiện qua nhiều phiên bản, phiên bản mới nhất là Mathematica 11.0.1. Trong bài viết này, tôi muốn nhấn mạnh việc sử dụng phần mềm toán học chạy số [5] - Mathematica - như một công cụ để giải quyết các bài toán nhiễu loạn. Vì vậy, tôi chọn đề tài “Sử dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán nhiễu loạn” làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu  Lí thuyết nhiễu loạn;  Tìm hiểu cách sử dụng phần mềm Mathematica vào việc giải một số bài toán nhiễu loạn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu  Tập trung tư liệu, nghiên cứu lý thuyết;  Lập trình bằng Mathematica để giải các bài toán nhiễu loạn. 4. Đối tượng nghiên cứu  Cơ học lượng tử;  Lí thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử. 5. Phương pháp nghiên cứu
3  Đọc và tìm hiểu các phần mềm chạy số đặc trưng, ngôn ngữ lập trình Mathematica, lí thuyết nhiễu loạn;  Sử dụng các phần mềm toán học chạy số để giải một số bài toán nhiễu loạn.
4 Chương 1 Một vài nét về phần mềm Mathematica 1.1 Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica Mathematica là ngôn ngữ tích hợp đầy đủ các tính toán kỹ thuật, là dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu tượng trưng. Khởi thủy của nguyên lý này là ngôn ngữ LIPS – ngôn ngữ nghiên cứu trí tuệ – nghiên cứu các vấn đề như xử lý tiếng nói tự nhiên, các hệ chuyên gia, các vấn đề logic trong kĩ thuật robot, điều khiển và tự động hóa. [7] Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên đó là Macsyms, Reduce… ra đời từ những năm 60 của thế kỉ XX. Các ngôn ngữ này chủ yếu dùng cho các bài toán vật lý năng lượng cao. Nhược điểm của chúng là chủ yếu được định hướng chạy trên các máy tính lớn. Thế hệ thứ hai là ngôn ngữ Maple so với thế hệ trước có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn, [6] bổ sung nhiều khả năng đại số, đồ thị hơn và nó có thể chạy trên máy tính cá nhân. Thế hệ thứ ba của dạng ngôn ngữ này chính là các ngôn ngữ Mathematica và MatLab, trong đó Mathematica có ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, khả năng vẽ đồ thị siêu việt cũng như khả năng xử lý dữ liệu không thua kém các môi trương ngôn ngữ tính toán khác. [7] Nhờ khả năng siêu việt của mình, Mathematica không chỉ được ứng dụng trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật tính toán mà còn mở rộng trong các lĩnh vực phức tạp khác như khoa học xã hội, sinh học, … Phiên bản đầu tiên của Mathematica được phát hành 23/6/1988. Bản 2.0 được phát hành năm 1991. Hiện nay, bản mới nhất của Mathematica là bản 11.0.1. 1.2 Giao diện tương tác của Mathematica
5 Mathematica đưa ra một giao diện rất thân thiện với người dùng được đặt tên là bản ghi (Notebook - thường được gọi tắt là nb). Các bản ghi là dạng cửa sổ biểu diễn một lượt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ các ghi chép cả về chương trình nguồn, cả về kết quả thực hiện trên cùng một bản ghi và được ghi lại dưới dạng file riêng của Mathematica có đuôi là .nb. Các bản ghi được tổ chức thành các ô (cells) một cách có trật tự và thứ bậc. Ta có thể nhóm một ô lại sao cho chỉ thấy ô đầu của nhóm ô đó (với số nhóm lồng tùy ý). Mathematica còn đưa ra một giao diện phụ là các bảng lệnh trong mục Palettes và các nút lệnh Button. Người sử dụng rất đơn giản chỉ cần nhấp chuột và có thể tùy biến theo ý mình. 1.3 Các tính năng của Mathematica 1.3.1 Khả năng tính toán a. Khả năng tính toán bằng số Mathematica cho phép tính một cách trực tiếp giống như dùng một calculator với độ chính xác bất kỳ một biểu thức nào bằng cách viết biểu thức cần tính và bấm tổ hợp phím Shift + Enter. Mathematica có khả năng chấp nhận các dữ liệu lớn bất kỳ và xử lý nó trong thời gian vài giây rất nhanh. [5] Ví dụ, ta có thể tính biểu thức sau đây nhanh chóng: 8100 = 2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636 140449354381299736336706183397376. 50!= 3041409320171337804361260816606476884437764156896051200000 0000000. b. Khả năng tính toán với biến tượng trưng
6 Mathematica cho phép giải các phương trình hay tính toán các biểu thức mà kết quả hay nghiệm được biểu diễn bằng các biến tượng trưng. Như tính tích phân bất định, nguyên hàm theo biến chữ x.   x  1 x  adx = 1 12    x  a a 8  3 x  8x  6x 3/2  3a 2Log  x  x  a  . 1.3.2 Khả năng đồ họa của phần mềm Mathematica Mathematica cho phép vẽ tất cả các dạng đồ thị có thể có của một hàm số với cấu trúc lệnh đơn giản nhất như đồ thị hai chiều, đồ thị 3 chiều, đồ thị mật độ, đồ thị đường viền… Ví dụ, vẽ đồ thị của hàm số cos2x+sin2x trong đoạn [ - 10, 10], ta sử dụng lệnh sau: Plot[Cos[2x] + Sin[2x], {x, - 10, 10}] (hình vẽ 1.1) 1.5 1.0 0.5 10 5 5 10 0.5 1.0 1.5 Hình 1.1 Hay ta có thể dùng lệnh sau đây để vẽ đồ thị ba chiều của hàm số sin  x  y 2  khi x và y nằm trong đoạn [ - 3, 3] và [ - 2, 2] (hình1.2). Plot3D[Sin[x+y2], {x, - 3, 3}, {y, - 2, 2}]
7 Hình1.2 1.4 Một số hàm thông dụng của mathematica Trong Mathematica Biểu thức toán Sqrt[x] x Log[x] Ln(x) Sin[x] Sin(x) Cos[x] Cos(x) Tan[x] Tan(x) ArcSin[x] Arcsin(x) Log[a, b] Logab Exp[x] ex Mod[n, m] n Số dư của m Factoria[n], n! n! FactorInteger Phân tích ra thừa số nguyên số của n Abs[x] Giá trị tuyệt đối của x
8 xy xy x1/n n x x*y hoặc x y x.y Pi Π Sum[Function, {i, imin, Tính tổng imax}] D[f(x), x] Tính đạo hàm Intergrate[f(x), x] Tính nguyên hàm Intergrate[f(x), {x, a, b}] Tính tích phân xác định Solve[f(x)==0, x] Giải phương trình Solve[fi==0, f==0, {x, y}] Giải hệ phương trình Plot[f(x), {x, a, b}] Vẽ đồ thị Plot3D[f(x), {x, a, b}] Vẽ đồ thị 3D Limit[f(x), x x0] Tính giới hạn DSolve[equation, y, x] Giải phương trình vi phân với biến độc lập x DSolve[equation_list, Giải một list các phương trình vi phân y_list, x] DSolve[equation, y, {x1, Giải phương trình đạo hàm riêng x2, …}] IdentityMatrix[n] Tạo ma trận đơn vị cấp n
9 Chương 2 Lí thuyết nhiễu loạn dừng 2.1 Giới thiệu về lí thuyết nhiễu loạn Bài toán trong cơ học lượng tử là giải phương trình Schrodinger   h2 2 r  H   ,     U  r, t     E.  2m  Để tìm nghiệm E và  . Nghiệm chính xác của phương trình chỉ có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất. Sự phức tạp của việc giải phương trình phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình phức tạp về dạng toán học, và không thể giải được chính xác. Do đó phải ứng dụng những phương pháp gần đúng hàm riêng và trị riêng của nó. Hiện nay, do sự xuất hiện máy tính điện tử, [1] các phần mềm tính số nên các phương pháp giải gần đúng bằng số các bài toán cơ học lượng tử có tầm rất quan trọng. Một trong các phương pháp tính gần đúng, đó là dựa vào các nghiệm chính xác của hệ lí tưởng hóa, hiệu chỉnh các nghiệm đó để được nghiệm gần đúng của hệ thực, trong các điều kiện mà hệ thực có thể coi như không khác nhiều so với hệ lí tưởng. Phương pháp tính các hiệu chỉnh như thế, dưới các điều kiện đặt ra được gọi là lí thuyết nhiễu loạn. Ta đặt điều kiện hạn chế cho bài toán nhiễu loạn. Trước hết ta xét lý thuyết nhiễu loạn cho các bài toán có phổ gián đoạn:  H  l   l . (l = 1, 2, 3…) (2.1)     Giả sử toán tử H có thể tách làm 2 thành phần: H  H0  V (2.2)  Trong đó: H 0 là toán tử Hamilton của bài toán đã lý tưởng hóa  và V được gọi là toán tử hiệu chính nhỏ hay toán tử nhiễu loạn.
10  Khi V là nhỏ nghĩa là các mức năng lượng và hàm sóng trong bài toán nhiễu loạn sẽ gần với các giá trị tương ứng của bài toán không nhiễu loạn, ta đặt:   V   W. (2.3) Với  là một thông số nhỏ, không thứ nguyên. Mặt khác, giả sử khi  biết các nghiệm  0 và l (l = 1, 2, 3…) của phương trình cho hàm riêng  và trị riêng của toán tử H 0 :   H0 l  E l l , (l = 1, 2, 3…) (2.4) đã được giải chính xác và giả thuyết các l này đã được trực chuẩn:    dq   (l, l’ = 1, 2, 3…) (2.5) * l l ll' .  Với các điều kiện hạn chế đó, việc giải phương trình: H    sẽ quy về việc giải phương trình sau để tìm  l và  l :      H 0   W   l  l  l . (2.6)     Để tìm  l và  l chúng ta giải phương trình (2.6) bằng cách hiệu chỉnh cho 0 l và l (l = 1, 2, 3, …) và sau khi hiệu chỉnh ta sẽ thu được  l và  l gần đúng cấp nào đó, và các giá trị hiệu chỉnh đó sẽ cho nghiệm đúng với (2.1), (2.4) hay (2.6). Khi ta xét bài toán nhiễu loạn dừng sẽ có 2 trường hợp xảy ra: + Trường hợp bài toán lí tưởng không có suy biến + Trường hợp bài toán lí tưởng có suy biến 2.1.1 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến Chúng ta nghiên cứu trường hợp mức năng lượng 0 l (l = 1, 2, 3, …) của hệ lý tưởng không bị suy biến, nghĩa là ứng với một giá trị năng lượng  0 l (l = 1, 2, 3, …) chỉ có một hàm riêng l và xem xét mức  0 l sẽ thay đổi như thế nào khi có nhiễu loạn. [1], [2], [3] Giả sử sau khi hiệu chỉnh cho 0 l và l ta thu được năng lượng  l và hàm sóng l nghiệm đúng (2.6).
11  Lấy hệ hàm riêng 1 , 2 ,... của H 0 làm cơ sở và khai triển:  l   C n n . (2.7) n Như vậy, việc tìm  l đưa về việc tìm các Cn (n = 1, 2, 3, …) tức là hàm sóng trong 0 - biểu diễn. Thay (2.7) vào (2.6) ta được:     H 0   W   Cn n  l  Cn l , (n = 1, 2, 3, …)   n   n      Cn H 0   W  l  l  Cn n .    n   n Nhân *m vào bên trái 2 vế rồi lấy tích phân theo các biến số không gian ta có:      n Cn  H0   W n dq   ml n Cn n  * * m      Cn 0n  *m n dq   Cn  *m Wn dq  l  Cn  *m n dq n n n    Cn 0n mn    Cn  *m Wm dq  l  Cn  mn , n n n mà C n n mn  Cm ,   Cm 0m    Cn  *m W n dq  lCm n (2.8)   l   0 m  Cm   Cn Wmn .  m, n  1, 2,3 n  Với Wmn   *m W n dq. (2.9)  Wmn : là phần tử  m, n  ma trận  W  của toán tử nhiễu loạn W trong 0 - biểu diễn. Hệ phương trình (2.8) hoàn toàn tương đương với phương trình (2.6). Nó chính là phương trình Schrodinger trong biểu diễn năng lượng. a. Khi   0
12 Ta có: W  0 khi đó phương trình (2.6) trở về phương trình (2.4) và   khi đó: H  H0 ,  l   l0  l . Từ (2.8)  l  0m  Cm  0. (m, l = 1, 2, 3, …) (2.10) C m  ml , Nghiệm của (2.10) là: l   0l . (2.11) Cm  ml , suy ra từ (2.4) trong 2 trường hợp: m  l  Cm  0,  Nếu m  l    C    .   l  n n l n b. Khi  nhỏ Các giá trị  l xê dịch khỏi giá trị  0l và các Cm sẽ lệch ra khỏi các giá trị C0m . Ta hi vọng độ lệch này sẽ nhỏ. Muốn vậy, ta khai triển Cm và  l (m, l = 1, 2, 3, …) theo chuỗi lũy thừa của  :  1 2  2 Cm  Cm  Cm   Cm  ... 0  1 2  2 l  l  l   l  ...  0 (2.12) Trong đó các giá trị tỉ lệ với  k là hiệu chỉnh bậc k tương ứng của Cm và  l . Thay (2.12) vào (2.8) ta có:  0 l 2   0m  l    2l   ... C0m  Cm   2Cm   ... 1 1 2    (m, l = 1, 2, 3…)    Wmn C0n  Cn    2Cn   ... . 1 2 n (2.13) So sánh các hệ số của lũy thừa  với 2 vế của (2.13). Trước hết với hệ số của  0 :  0l  0m  C0m  0, (m, l = 1, 2, 3, …) (2.14)  C m  0  m  1 0  0  C0m  ml . Cm  C1  m  1  0 Thay C0m  ml và C0n  nl vào (2.13) ta có
13  0 l  0m  l    2l   ...  ml  Cm   2Cm   ... 1 2  1 2  (m, l = 1, 2, 3, …) n     Wmn nl  Cn    2Cn   ... . 1 2  (2.15) Giả sử m=l            ... 1  C    C   ... l 1 l 1 2 l 3 l 1 2 l 2           C          C     C    ... 1 2 1 2 2 3 2 1 1 2 l l l l l l l l l   W    C    C   .... (l = 1, 2, 3…) 1 2 2 ln nl n n n Ta thu được phương trình: l1  Wll ,   2 a  l  l Cl    Wln Cl  , 1 1 1  n b 3  1C 2   2C1  W C 2  , (2.16)  l l l ll l n ln l c  l 4  l 3Cl1  l 2Cl 2   l1Cl 3   Wln Cl 3 .   d  n Giả sử m  l  0 l  0m  l    2l   ... Cm  Cm    2Cm   ... 1 2  1 2 3  1    0l  0m  Cm    l0  0m  Cm   l Cm  2 1 1   2  0l  0m  Cm   l Cm   l Cm   ... 3 1 2 2 1   (m, l = 1, 2, 3) n    Wmn nl  Cn   Cn  ... . 1 2  2  Ta thu được hệ phương trình:  0l  0m  Cm1  Wml ,   a'   0l  0m  Cm2  l1Cl1   Wmn Cn1 ,  n  b'   0 (2.17)  l   m  Cm  l Cm  l Cm   Wmn Cn ,  c'  0  3 1  2   2  1  2  n  0l  0m  Cm   l Cm   l Cm   l 3Cm1   Wmn Cn3 .  d  4 1 3 2 2 '  n Như vậy với cách biểu diễn thành các chuỗi như ở (2.12) ta thu được hệ phương trình (2.16) và (2.17), về nguyên tắc thì 2 hệ phương trình
14 này sẽ cho ta các bổ chính ở các bậc khác nhau của năng lượng và hàm sóng. 2.1.2 Nhiễu loạn khi có suy biến a. Sự giảm độ suy biến khi có nhiễu loạn. Xét trường hợp có suy biến tức là với một giá trị của năng lượng thì có nhiều hàm riêng khác nhau. Giả sử mức năng lượng El0 bị suy biến S lần (tức là có S hàm sóng (  11,  12,  13, …  1S). Khi đó để làm gần đúng cấp 0 của hàm sóng ta lấy tổ hợp tuyến tính của các hàm  lk (k = 1, 2, 3….S) tương ứng với các mức năng lượng El0 [1], [2], [4] s l   a k lk . (2.18) k l Trong đó  lk thỏa mãn phương trình Schodinger:  H0 lk  El0lk . (l = 1, 2, …, k = 1, 2, 3…S) ^ Thay (2.18) vào thương trình H l  El ta được:     s s  0 H   w   a k lk  E l  a k lk .   k l k l Nhân vào hai vế của phương trình trên với *lm (m = 1, 2, 3….s) sau đó tích phân theo các biến không gian: ^  lm  a k lk H dq   lma k El  a k lk dq * * k k ^   a k  *lk H lk dq   a k E lmk . k k ^ Ta đặt H mk   *lm H lkdq, suy ra   a k H mk   a k E l mk k s k (m = 1, 2, 3…s) (2.19)   a k (H mk  E lmk )  0. k l
15 Phương trình (2.19) là phương trình đại số bậc 1 tuyến tính thuần nhất bậc nhất với ẩn a1, a2, …as. Hệ phương trình có ẩn s. Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì các định thức của hệ phương trình phải bằng 0:  H11  E1  H12 H13 H1S H12  H12  E1  H 23 H 2S = 0. (2.20) HS1 HS2 H S3 HSS  E1 Khai triển định thức trên ta thu được phương trình bậc S đối với giá trị chưa biết 1 . Phương trình này được gọi là phương trình thế kỉ, nó có s nghiệm. Nếu s nghiệm thực của (2.20) khác nhau thì mức  0l suy biến bội s của bài toán không nhiễu sẽ tách ra làm s mức  lk khác nhau. Từ phương trình (2.20) sẽ cho ta nghiệm  l . Giả sử tìm được các nghiệm 11 , 12 , 13 , 1p Thay  li (i = 1, 2, 3, …, p) vào (2.19) ta được:     H mk   *lm Hlk dq   *lm  H 0  V lk dq      H mk   *lm Hlk dq   *lm Vlk dq  H mk  0mk  Vmk . Trong các a i tìm được ta thay vào phương trình (2.18) ta tìm được gần đúng cấp không của hàm sóng  l . Như vậy trong phép gần đúng cấp không ta tìm được: li ,  l (i = 1, 2, 3, …., p, p