Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hai kiểu đường tròn apollonius và một số ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn trình bày về đường tròn Apollonius kiểu 1. Đồng thời xét bài toán về đường tròn tiếp xúc trong với 3 đường tròn bàng tiếp của tam giác− đường tròn Apollonius kiểu 2. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hai kiểu đường tròn apollonius và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LƯƠNG THỊ KIM TÂN HAI KIỂU ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LƯƠNG THỊ KIM TÂN HAI KIỂU ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2020
i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K12A trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12B đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020 Tác giả Lương Thị Kim Tân
ii Danh mục hình 1.1 Đường tròn Apollonius của đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Đường tròn (Oa ) trực giao với (ABC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 LO là trục của ba đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 P ∈ (Oa ) ⇔ ∆XY Z cân ở X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Điểm isodynamic P đẳng giác với điểm Fermat F . . . . . . . . . 7 1.6 Điểm isodynamic P10 là tâm tam giác đều A0 B 0 C 0 . . . . . . . . . . 8 1.7 Dựng điểm isodynamic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Tam giác Kiepert và tâm phối cảnh Kiepert K(θ) . . . . . . . . . 11 1.9 Đường tròn trực giao với các đường tròn bàng tiếp . . . . . . . . . 14 1.10 Ba đường tròn Apollonius và trục Lemoine . . . . . . . . . . . . . 16 1.11 Tam giác X1 Y1 Z1 có diện tích nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.12 Tournament of the Towns 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.13 Ba đường tròn đồng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.14 IIa là tiếp tuyến chung của ω1 và ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.15 All Russian MO, 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.16 ELMO 2013, G13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.17 Quỹ tích của P trong 2 trường hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.18 VMO 2000, Bài 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.19 VMO 1999, bài 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.20 Bài toán 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1 Dựng đường tròn Apollonius kiểu 2 theo các điểm Feuerbach . . . 29 2.2 Điểm Apollonius O0 ≡ X(181) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Dựng tâm và một điểm trên đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Dựng các tâm vị tự E1 và E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Một đường tròn trực giao với 5 đường tròn . . . . . . . . . . . . . 40
iii 3.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Dựng đường tròn (O1 ) tiếp xúc BC, (Ib ), (Ic ) . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Dựng đường tròn tiếp xúc 3 đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 ∆U V W và ∆ABC phối cảnh tại điểm H . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5 ∆U V W vị tự với ∆DEF , tâm vị tự J . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.6 Đường tròn Ka qua 3 điểm Ka,a , Kb,a , Kc,a . . . . . . . . . . . . . . 52 3.7 Ba đường tròn Ka , Kb , Kc đi qua Sp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
iv Mục lục Chương 1 Đường tròn Apollonius kiểu 1 1 1.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Tính chất của đường tròn Apollonius kiểu 1 . . . . . . . . . 3 1.1.2 Cặp điểm isodynamic (cặp điểm đẳng động) . . . . . . . . . 6 1.2 Tọa độ barycentric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Ký hiệu Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Đường tròn đẳng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Các bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 2 Đường tròn Apollonius kiểu 2 28 2.1 Định nghĩa, tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Tâm Apollonius, điểm Apollonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1 Dựng các điểm Ap , O0 bằng thước và com pa . . . . . . . . . 37 2.3.2 Đường tròn trực giao với 5 đường tròn . . . . . . . . . . . . 39 Chương 3 Một số vấn đề liên quan 42 3.1 Đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.1 Hai bài toán dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.2 Tam giác tạo bởi các cực tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Các đường tròn Apollonius khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Tài liệu tham khảo 58
1 Chương 1 Đường tròn Apollonius kiểu 1 1.1 Định nghĩa và các tính chất Apollonius là một nhà hình học lỗi lạc người Hy Lạp. Tên tuổi của ông gắn liền với một số bài toán nổi tiếng, đặc biệt là bài toán về đường tròn Apollonius. Có bốn định nghĩa khác nhau về một đường tròn có tên gọi là “đường tròn Apollonius”: (1) Quỹ tích tất cả các điểm (trên mặt phẳng) mà tỷ số khoảng cách từ đó đến 2 điểm cố định là một hằng số (Durell 1928, Ogilvy 1990). (2) Đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn bàng tiếp của tam giác (Kim- berling 1998, trang 102). (3) Một trong 8 đường tròn tiếp xúc với 3 đường tròn cho trước (tức là nghiệm của bài toán Apollonius). (4) Một trong ba đường tròn đi qua đỉnh tam giác và hai điểm đẳng giác của tam giác (Kimberling 1998, trang 68). Chương này trình bày về đường tròn Apollonius kiểu 1. Trước tiên ta giới thiệu về đường tròn Apollonius của đoạn thẳng đã được định nghĩa trong sách phổ thông, chẳng hạn trong [1], hoặc trong các Giáo trình hình học sơ cấp. Bổ đề 1.1.1. Trên mặt phẳng cho hai điểm A, B . Tập hợp các điểm P PA sao cho tỉ số = k không đổi (k > 0) là một đường tròn. PB
2 Chứng minh. Gọi C, D là hai điểm nằm trong và ngoài đoạn thẳng AB sao CA DA PA CA DA cho = = k . Khi đó = = nên C, D lần lượt là chân CB DB PB CB DB đường phân giác trong và ngoài của góc AP B . Suy ra CP \ D = 900 . Vậy P nằm trên đường tròn đường kính CD. Ngược lại giả sử P là điểm bất kì nằm trên đường tròn đường kính CD, khi đó CP\ D = 900 . Mặt khác, bốn điểm A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa, tức (ABCD) = −1 nên theo tính chất đường phân giác ta có C, D lần lượt là chân đường phân PA giác trong và ngoài của góc AP B . Từ đó = k . Như vậy tập hợp các PB điểm P là đường tròn đường kính CD. Hình 1.1: Đường tròn Apollonius của đoạn thẳng Định nghĩa 1.1. Đường tròn quỹ tích những điểm mà tỷ số các khoảng cách từ đó đến hai điểm cố định là một hằng số k được gọi là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng đó ứng với tỉ số k . Chú ý rằng khi k = 1, đường tròn Apollonius suy biến thành đường trung trực của đoạn thẳng. Từ định nghĩa đường tròn Apollonius của đoạn thẳng chúng ta định nghĩa đường tròn Apollonius của tam giác như sau. Định nghĩa 1.2. Đường tròn Apollonius kiểu 1 của tam giác ABC ứng với đỉnh A là đường tròn đi qua A và hai chân đường phân giác trong và ngoài của A. b
3 Như vậy trong một tam giác, có ba đường tròn Apollonius kiểu 1 ứng với ba đỉnh của tam giác. Ta gọi các đường tròn này là A−Apollonius, B−Apollonius và C−Apollonius, tương ứng. Rõ ràng các đoạn thẳng nối chân phân giác trong và chân phân giác ngoài là đường kính mỗi đường tròn Apollonius kiểu 1, tương ứng. Sau đây chúng ta tìm hiểu một số tính chất của các đường tròn này. 1.1.1 Tính chất của đường tròn Apollonius kiểu 1 Tính chất 1.1.1. Mỗi đường tròn Apollonius kiểu 1 trực giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh. Gọi D, E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài góc BAC của tam giác ABC , J là trung điểm DE . Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Do (BCDE) = −1 nên theo hệ thức Newton Oa A2 = Oa D2 = Oa B.Oa C hay Oa A là tiếp tuyến của (O). Điều đó có nghĩa là (Oa ) ⊥ (O). Hình 1.2: Đường tròn (Oa ) trực giao với (ABC) Từ tính chất trên ta thấy tâm của đường tròn Apollonius là giao của tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp kẻ từ một đỉnh tới cạnh đối diện. Ta nhắc lại rằng đường thẳng đối xứng với trung tuyến qua đường phân giác trong tại một đỉnh là đường đối trung của tam giác ấy. Trong một
4 tam giác, ba đường đối trung cắt nhau tại một điểm, điểm đó được gọi là điểm Lemoine hay điểm đối trung ký hiệu bởi L. Tính chất 1.1.2. Ba đường Apollonius kiểu 1 của tam giác thì đồng trục, trục đẳng phương của chúng là đường thẳng OL với L là điểm Lemoine. Chứng minh. Gọi (Oa ), (Ob ), (Oc ) lần lượt là các đường tròn A-Apollonius, B -Apollonius, C -Apollonius, X là giao điểm thứ hai của (Oa ) với (O). Do (Oc ) ⊥ (O) nên Oa A, Oa X là hai tiếp tuyến của (O). Suy ra tứ giác ABXC là tứ giác điều hoà hay AX là đường đối trung ứng với đỉnh A của ∆ABC . Như vậy AX đi qua điểm Lemoine L của tam giác ABC . Nghĩa là L nằm trên trục đẳng phương của (Oa ) và (O). Tương tự L nằm trên trục đẳng phương của (Ob ) và (O), của (Oc ) và (O) hay L có cùng phương tích đối với 3 đường tròn (Oa ), (Ob ), (Oc ). Mặt khác, phương tích của O đối với ba đường tròn Apollonius thì bằng nhau và bằng R2 . Vậy OL là trục đẳng phương của (Oa ), (Ob ), (Oc ). Ba đường tròn này đồng trục. Hình 1.3: LO là trục của ba đường tròn Hệ quả 1.1.1. Ba tâm các đường tròn Apollonius kiểu 1 thẳng hàng. Chứng minh. Vì OL là trục đẳng phương của ba đường tròn nên ta có OA OB ⊥ OL và OB OC ⊥ OL. Suy ra OA , OB , OC thẳng hàng.
5 Ta có thể mở rộng Tính chất 1.1.2 về ba đường tròn Apollonius của một tam giác đồng trục như sau. Mệnh đề 1.1. Cho tam giác ABC . Gọi (Oa ), (Ob ), (Oc ) lần lượt là đường tròn Apollonius của các đoạn thẳng BC, CA, AB theo tỉ số x, y, z sao cho xyz = 1. Khi đó (Oa ), (Ob ), (Oc ) đồng trục và tâm ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên trục của 3 đường tròn này. PC Chứng minh. Thật vậy, gọi P là giao của (Ob ), (Oc ). Khi đó = y, PA PA PC PB = z nên = yz hay = x. Điều này nghĩa là P ∈ (Oa ). Tương PB PB PC tự, với giao điểm thứ hai của (Ob ), (Oc ). Mặt khác, dễ thấy các đường tròn (Oa ), (Ob ), (Oc ) đều trực giao với (ABC), do đó tâm ngoại tiếp tam giác ABC có cùng phương tích đối với 3 đường tròn. Tính chất 1.1.3. Ba đường tròn Apollonius kiểu 1 giao nhau tại hai điểm mà là nghịch đảo của nhau qua phép nghịch đảo với đường tròn ngoại tiếp (O, R) là đường tròn nghịch đảo. Chứng minh. Theo Tính chất 1.1.2 thì ba đường tròn Apollonius đồng trục. Đồng thời phương tích từ L đến ba đường tròn là âm, phương tích từ O đến ba đường tròn là dương nên ba đường tròn trên phải giao nhau tại hai điểm J+ và J− . Ta có OJ+ .OJ− = R2 nên J+ và J− là hai điểm nghịch đảo của nhau qua đường tròn nghịch đảo (O). Ta gọi hai điểm nghịch đảo của nhau qua phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo (O) là hai điểm isodynamic (hay hai điểm đẳng động), ký hiệu là J+ và J− . Cho tam giác ABC và một điểm P , ký hiệu X, Y, Z là chân các đường vuông góc hạ từ P lần lượt xuống các cạnh (hay cạnh kéo dài) BC, CA, AB . Lúc đó ta gọi ∆XY Z là tam giác pedal của P đối với ∆ABC . Đặc biệt, khi P là trực tâm H thì tam giác pedal của P chính là tam giác trực tâm. Tính chất 1.1.4. Cho tam giác ABC và P là điểm bất kì trong mặt phẳng. Gọi XY Z là tam giác pedal của P đối với tam giác ABC . Điểm P thuộc đường tròn A−Apollonius khi và chỉ khi ∆XY Z cân tại X .
6 Chứng minh. Ta có XY = XZ khi và chỉ khi P C .sinACB \ = P B .sinABC \, PC sinABC \ AC hay = = . PB sinACB \ BC Điều này tương đương P thuộc đường tròn A−Apollonius, hình 1.4. Hình 1.4: P ∈ (Oa ) ⇔ ∆XY Z cân ở X 1.1.2 Cặp điểm isodynamic (cặp điểm đẳng động) Nhắc lại rằng theo tính chất 1.1.3, ba đường tròn Apollonius giao nhau tại hai điểm mà ta gọi là cặp điểm isodynamic. Sau đây là một số tính chất của cặp điểm này. Mệnh đề 1.2. Trong một tam giác, điểm isodynamic liên hợp đẳng giác với điểm Fermat. Chứng minh. Gọi P là điểm isodynamic thứ nhất, F là điểm liên hợp đẳng giác của P , XY Z là tam giác pedal của điểm P . Do XY Z là tam giác đều nên ZBP \+Y \CP = ZXP\ + Y\ XP = 600 . Ta suy ra: F \ BC + F\CB = 600 hay BF \ C = 1200 . Tương tự suy ra điểm F nhìn ba cạnh của tam giác ABC dưới cùng một góc 1200 hay F là điểm Fermat thứ nhất. Với điểm Fermat thứ hai làm tương tự.
7 Hình 1.5: Điểm isodynamic P đẳng giác với điểm Fermat F Mệnh đề 1.3. Giả sử ABC là một tam giác với P là điểm isodynamic. Khi đó một đỉnh bất kì A, B, C là điểm isodynamic của tam giác tạo bởi hai đỉnh còn lại và điểm P . Chứng minh. Theo định nghĩa điểm isodynamic và do P là giao của ba đường tròn Apollonius nên ta có P A.BC = P B.CA = P C.AB . Điều này nghĩa là vai trò của các điểm P, A, B, C là như nhau trong các đẳng thức trên. Như vậy ta có thể đảo lại vị trí của các đỉnh hay A là điểm isodynamic của tam giác P BC . Tương tự đối với B và C . Người ta gọi bộ bốn điểm A, B, C, P là bộ bốn điểm isodynamic. Sau đây ta xét một số tính chất đặc trưng của điểm isodynamic. Mệnh đề 1.4. Phép nghịch đảo với cực là điểm isodynamic, phương tích bất kì biến tam giác ABC thành một tam giác đều, đồng thời biến điểm isodynamic còn lại thành tâm của tam giác đều đó. Chứng minh. Xét phép nghịch đảo cực P , phương tích k , f (P, k) : A 7→ A0 , kAB kAC B 7→ B 0 , C 7→ C 0 . Suy ra A0 B 0 = ; A0 C 0 = ; B 0C 0 P A.P B P A.P C kBC AB AC = . Mà = nên A0 B 0 = A0 C 0 . Chứng minh tương tự suy P B.P C PB PC ra tam giác A0 B 0 C 0 đều. Mặt khác, gọi P1 là điểm isodynamic thứ hai,
8 kP1 A kP1 B P10 = f (P, k)(P1 ) thì P10 A0 = ; P10 B 0 = . Do đó, ta có P P1 .P A P P1 .P B P 1 A P1 B P1 A PA P10 A0 = P10 B 0 ⇔ = hay = , luôn đúng. PA PA PB PB Chứng minh tương tự suy ra P10 là tâm của tam giác A0 B 0 C 0 . Hình 1.6: Điểm isodynamic P10 là tâm tam giác đều A0 B 0 C 0 Mệnh đề 1.5. Cho tam giác đều ABC và điểm P bất kì trong mặt phẳng. Phép nghịch đảo cực P phương tích k bất kì biến A, B, C lần lượt thành A0 , B 0 , C 0 . Khi đó P, A0 , B 0 , C 0 lập thành một bộ điểm isodynamic. Chứng minh. Ta có tam giác ABC đều và theo tính chất của phép nghịch k.AB k.AC đảo A0 B 0 = , A0 C 0 = nên A0 B 0 .P C 0 = A0 C 0 .P B 0 khi và P A.P B0 P A.P C P C0 PB chỉ khi = . Điều này tương đương P C 0 .P C = P B 0 .P B = k , PB PC luôn đúng. Chứng minh tương tự suy ra A0 B 0 .P C 0 = A0 C 0 .P B 0 = B 0 C 0 .P A0 . Mệnh đề 1.6. Hai điểm isodynamic thẳng hàng với tâm đường tròn ngoại tiếp và cặp điểm J+ , J− nằm trên trục Brocard OL.
9 Chứng minh. Phép chứng minh hiển nhiên khi dùng tọa độ barycentric, xem chứng minh Mệnh đề 1.7. Có thể dựng các điểm J+ , J− theo 2 cách sau: C1 : Dựng theo định nghĩa. C2 : Dựng các tam giác đều A0 BC, B 0 CA, C 0 AB cùng hướng ra ngoài hoặc vào trong trên các cạnh của tam giác ABC . Lấy các điểm A00 , B 00 , C 00 đối xứng của các đỉnh A, B, C qua các cạnh BC, CA, AB tương ứng. Khi đó đường thẳng nối A0 A00 , B 0 B 00 , C 0 C 00 sẽ đồng quy tại các điểm isodynamic, Hình 1.7. Hình 1.7: Dựng điểm isodynamic
10 1.2 Tọa độ barycentric 1.2.1 Ký hiệu Conway Ký hiệu σ = 2S∆ABC . Với θ ∈ R ta ký hiệu σ .cotθ = σθ . Đặc biệt b2 + c2 − a2 c 2 + a2 − b 2 a2 + b 2 − c 2 σA = ; σB = ; σC = . 2 2 2 Với θ và ϕ tùy ý ta sẽ viết đơn giản là σθϕ thay cho cách viết σθ .σϕ . Tiếp theo ta sẽ sử dụng các hệ thức: Bổ đề 1.2.1. Với tam giác ABC , (i) σB + σC = a2 ; σC + σA = b2 ; σA + σB = c2 , (ii) σAB + σBC + σCA = σ 2 c2 + a2 − b2 a2 + b2 − c2 Chứng minh. (i). σB + σC = + = a2 . Tương tự 2 2 cho 2 đẳng thức còn lại. (ii). Vì A + B + C = 1800 nên cot(A + B + C) bằng vô tận hay cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA − 1 = 0. Từ đó, σAB + σBC + σCA = σA σB + σB σC + σC σA = S 2 [cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA] = σ2. Bổ đề được chứng minh. Ví dụ 1.2.1. Có thể biểu diễn các điểm theo ký hiệu Conway như sau 1 1 1 • Trực tâm H = : : = (σBC : σCA : σAB ). σA σ B σC Lúc này tổng các thành phần tọa độ: σAB + σBC + σCA = σ 2 . • Tâm đường tròn ngoại tiếp O = (a2 σA : b2 σB : c2 σC ). Ở dạng này, tổng các thành phần tọa độ: 2σ 2 . • Tâm đường tròn Euler O9 = (σ 2 + σBC : σ 2 + σCA : σ 2 + σAB ). Các tâm phối cảnh Kiepert
11 Cho tam giác ABC , dựng tam giác cân Y CA có góc ở đáy Y \ CA = Y \ AC = θ. Đỉnh Y sẽ có tọa độ (σC + σθ : −b2 : σA + σθ ). Tương tự, hai tam giác cân XBC, ZAB được dựng trên hai cạnh kia của ∆ABC (với cùng hướng), các đường thẳng AX, BY, CZ đồng quy tại điểm 1 1 1 K(θ) = : : σA + σ θ σB + σθ σC + σθ Ta gọi XY Z là tam giác Kiepert và K(θ) là tâm phối cảnh Kiepert theo tham số θ. Hình 1.8: Tam giác Kiepert và tâm phối cảnh Kiepert K(θ) 1.2.2 Đường tròn đẳng phương • Phương trình đường tròn. Mọi đường tròn C đều vị tự với đường tròn ngoại tiếp (ABC) qua phép vị tự, chẳng hạn h(T, k), trong đó T = (uA + vB + wC), coi như u + v + w = 1, là tâm vị tự của phép vị tự giữa C và (ABC). Từ đó tìm được mọi đường tròn đều có thể biểu diễn bởi phương trình sau a2 yz + b2 zx + c2 xy + (x + y + z)(px + qy + rz) = 0. (1.1)
12 Đường thẳng px + qy + rz = 0 là trục đẳng phương của C và đường tròn ngoại tiếp (ABC), có phương trình: a2 yz + b2 zx + c2 xy = 0. Ngược lại nếu p, q, r là phương tích của A, B, C tương ứng đối với C thì theo kết quả trong [7], (i) Phương trình đường tròn C : a2 yz + b2 zx + c2 xy + (x + y + z)(px + qy + rz) = 0, (ii) Tâm của C là (λ : µ : ν), λ = a2 σA + σB (r − p) − σC (p − q), µ = b2 σB + σC (p − q) − σA (r − p), ν = c2 σC + σA (q − r) − σB (r − p). G+H (iii) Bán kính ρ của C được cho bởi ρ2 = , trong đó 4σ 2 G = a2 b2 c2 − 2(a2 σA .p + b2 σB .q + c2 σC .r) H = σA (q − r)2 + σB (r − p)2 + σC (p − q)2 . • Đường tròn đẳng phương của 3 đường tròn. Xét 3 đường tròn C1 , C2 , C3 với các phương trình a2 yz + b2 zx + c2 xy + (x + y + z)(pi x + qi y + ri z) = 0, i = 1, 2, 3. Tâm đẳng phương P là điểm có cùng phương tích với cả 3 đường tròn Ci . Tọa độ của P là nghiệm của hệ phương trình p1 x + q1 y + r1 z = p2 x + q2 y + r2 z = p3 x + q3 y + r3 z.   p 1 q 1 r1 Nếu đặt M = p2 q2 r2  thì điểm P = (u : v : w) thỏa mãn   p 3 q 3 r3 p1 u + q1 v + r1 w = p2 u + q2 v + r2 w = p3 u + q3 v + r3 w = detM