Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp Iđêan

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp Iđêan tập trung tìm hiểu về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan; tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan; tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp Iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Cao Cường MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Cao Cường MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè. Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam. Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải đã tận tình dạy bảo và cho tôi nhiều kiến thức về Đại Số cũng như kiến thức về học tập. Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số Khóa 22 cũng như các bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2013 NGUYỄN CAO CƯỜNG 1
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 1 MỤC LỤC ........................................................................................................................ 2 BẢNG KÍ HIỆU............................................................................................................... 3 MỞ ĐẦU........................................................................................................................... 4 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................... 6 1.1. Một số định nghĩa và bổ đề............................................................................................. 6 1.2. Bao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu ........................................................................... 7 1.3. Chiều và độ sâu ................................................................................................................ 8 1.4. Hàm tử dẫn xuất phải ................................................................................................... 10 1.5. Môđun đối đồng điều địa phương ................................................................................ 10 1.6. Môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan................................................ 12 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN .............................................................................................. 15 2.1. Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan ..................... 15 2.2. Tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan ................................................................................................................................ 21 2.3. Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan .................. 24 2.4. Tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan ........ 31 KẾT LUẬN .................................................................................................................... 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 37 2
BẢNG KÍ HIỆU Spec( R ) Tập các iđêan nguyên tố của R Supp ( M ) Giá của M Ass ( M ) Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M Ann ( M ) Linh hóa tử của M dim ( M ) Chiều Krull của M depth ( I , M ) Độ sâu của M trong I H Ii ( M ) Môđun đối đồng điều địa phương H Ii , J ( M ) Môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan µi ( p, M ) Số Bass thứ i của M theo p 3
MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương là lý thuyết tối cần thiết và là một công cụ quan trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số. Luận văn sẽ trình bày một số kết quả của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan (I, J), đây là một khái niệm tổng quát hơn khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan I. Cho R là vành Noether giáo hoán có đơn vị và I , J là hai iđêan của vành R , ta định nghĩa hàm tử (I, J)-xoắn Γ I , J : Mod R  → Mod R là mở rộng của hàm tử I-xoắn Γ I . Hơn nữa vì tính khớp trái của hàm tử Γ I , J , với mọi số tự nhiên i ta lấy dãy hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ I , J chính là H Ii , J - đây chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i cho cặp iđêan (I, J). Các khái niệm này được đưa ra bởi ba nhà toán học người Nhật là Ryo Takahashi, Yuji Yoshino và Takeshi Yoshizawa [16]. Luận văn được trình bày thành hai chương. Chương một sẽ trình bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán, đối đồng điều địa phương cho một iđêan và đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan. Chương hai là phần chính của luận văn, trình bày tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. Cụ thể như sau: Trong phần (2.1) của chương hai sẽ trình bày về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan  I , J  (định lý 2.1.1). Từ đó có đẳng thức: ) không Artin} inf {depthM p | p ∈ W ( I , J ) \ {m}} . inf {i | H Ii , J ( M= Phần (2.2) trình bày tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan. Đặt cd ( I , J , M )  sup i | H Ii , J  M   0 , gọi là chiều đối đồng điều địa phương của R  môđun M theo một cặp iđêan  I , J  khi đó: cd ( I , J , M ) = inf {i | H Ii , J ( R / p) = 0; ∀p ∈ SuppR M } − 1 . Phần (2.1) và (2.2) chủ yếu được trình bày lại từ các kết quả của hai tác giả Lizhong Chu và Qing Wang trong bài báo [4]. 4
Đến phần (2.3) sẽ giới thiệu về môđun  I , J   cofinite. Từ đó chứng minh được nếu t là số nguyên đầu tiên mà môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan không là  I , J   cofinite thì được môđun HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) hữu hạn sinh (đinh lý 2.3.3). Đồng thời phần này cũng nghiên cứu về tính hữu hạn sinh của các môđun Ext Ri ( R / I , H It , J ( M ) ) ; i = 1, 2 (định lý 2.3.4 và 2.3.5). Các kết quả của phần này được trình bày lại từ bài báo [17] của hai tác giả Tehranian và Pour Eshmanan Talemi. Cuối cùng là phần (2.4) dùng công cụ là môđun minimax để nghiên cứu tính hữu hạn sinh của môđun HomR ( R / I , H It , J ( M ) ) (định lý 2.4.4); đồng thời cũng nghiên cứu tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan (định lý 2.4.8). Từ đó có đẳng thức: inf {i |= { } H Ii , J ( M ) không Artin} inf i | SuppR ( H Ii , J ( M ) ) ⊄ {m} . Các kết quả của phần 2.4 được trình bày một phần trong bài báo [12] của hai tác giả Payrovi và Lotfi Parsa. Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do sự hạn hẹp trong kiến thức và thời gian nên có thể trong luận văn còn nhiều sai sót, rất mong được sự nhận xét và phản hồi của quý thầy cô và các bạn. 5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số định nghĩa và bổ đề Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một R-môđun. Ta định nghĩa các tập hợp con của tập Spec( R) các iđêan nguyên tố của R sau: Supp M = {p ∈ Spec( R ) | M p ≠ 0}. Ass M = {p ∈ Spec( R ) | ∃x ∈ M : p = Ann( x)}. Min M = {p ∈ SuppM | ∀q ∈ SuppM : q ⊆ p ⇒ q = p}. Tập Supp M được gọi là giá của M, tập Ass M được gọi là tập các iđêan nguyên tố liên kết của M. Tập Min M chính là tập hợp các phần tử tối tiểu của tập Supp M . Mệnh đề 1.1.2. Với mọi R -môđun M luôn có bao hàm thức : Min M ⊆ Ass M ⊆ Supp M . Định nghĩa 1.1.3. Cho I là một iđêan của R . Ta đặt: V (I ) = {p ∈ Spec( R ) | I ⊆ p} . Mệnh đề 1.1.4. [10, 9.3.17] Cho M là R − môđun hữu hạn sinh. Khi đó với bất kì R − môđun N nào thì ta luôn có: Ass ( HomR= ( M , N ) ) Supp ( M ) ∩ Ass ( N ) . Mệnh đề 1.1.5. Cho dãy khớp các R - môđun : 0 → L → M → N → 0 . Khi đó M là môđun Artin khi và chỉ khi L, N là môđun Artin. Mệnh đề 1.1.6. [10, 7.4.12] Cho M là R − môđun. Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M hữu hạn sinh và Artin. Mệnh đề 1.1.7. [10, 9.3.14] Cho M là R − môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là tương đương: (i) M có độ dài hữu hạn. (ii) Supp M chứa các iđêan tối đại. (iii) Ass M chứa các iđêan tối đại. (iv) Supp M = Ass M . 6
Mệnh đề 1.1.8. [10, 7.3.9] Cho M , N là các R − môđun với M là hữu hạn sinh và N là Artin. Khi đó M ⊗ R N là Artin. Mệnh đề 1.1.9. [10, 3.4.3] Cho I ⊂ R là một iđêan. Khi đó với bất kì R -môđun M ta luôn có đẳng cấu: M R R / I  M / IM xaI  ax  IM Định lý 1.1.10. (Gruson) Cho M là R − môđun. Khi đó bất kỳ R − môđun N đều tồn tại một lọc các môđun con: 0  N 0  N1    N t  N thỏa môđun thương N j / N j −1 là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp hữu hạn các bản sao của M , với j  1, 2,, t . 1.2. Bao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu Định nghĩa 1.2.1. Cho 0 ≠ M ⊆ N là các R-môđun. Môđun N được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu với mọi môđun 0 ≠ N ' ⊆ N ta đều có: N '∩ M ≠ 0 . Định lý-Định nghĩa 1.2.2. Cho M là một R-môđun. Khi đó tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) R-môđun nội xạ E là mở rộng cốt yếu của M. Ta gọi E là bao nội xạ của M và ký hiệu E = E ( M ) . Định nghĩa 1.2.3. Một R-môđun M ≠ 0 được gọi là môđun không phân tích được nếu M không là tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự. Định lý 1.2.4. (Matlis) Cho E là một R-môđun nội xạ thì ta có: i. Tồn tại duy nhất một cách phân tích: E = ⊕ Ei trong đó mỗi Ei là môđun nội xạ không phân i∈I tích được. ii. Nếu E là môđun nội xạ không phân tích được thì tồn tại p ∈ Spec( R ) sao cho E = E ( R / p) . Ngược lại E ( R / p) là môđun nội xạ không phân tích được với mọi p ∈ Spec( R ) . Mệnh đề 1.2.5. Cho vành R, p là một iđêan nguyên tố của R, M là một R-môđun. Khi đó ta có: 7
i. E ( R / p) là hạng tử trực tiếp của E ( M ) khi và chỉ khi p ∈ Ass( M ) . ii. Ass ( E ( R / p)) = {p} . Định nghĩa 1.2.6. Cho M là một R-môđun, phép giải nội xạ tối tiểu của M là một phép giải nội xạ của M: ε 0  → M  → E 0  → E1  → E 2  → ..... 0 1 d d = trong đó E 0 E= = ( M ), E1 E (coker ε ), E 2 E (coker d 1 ),.... Mỗi phép giải nội xạ tối tiểu là duy nhất (sai khác nhau một đẳng cấu). Theo định lý về phân tích môđun nội xạ ta có: E= i ⊕ E ( R / p) µi ( p,M ) p∈Spec ( R ) Trong đó µi (p, M ) là số bản sao của E ( R / p) trong tổng trực tiếp, ta gọi µi (p, M ) là số Bass thứ i của M theo p . Rp Định lý 1.2.7.(Bass) Cho p ∈ Spec( R ) , k (p) = và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi pRp đó ta có: µi (p, M ) dim = = i k ( p) Ext Rp ( k ( p), M p ) dim k ( p) (Ext iR ( R / p, M )) p . Hệ quả 1.2.8. M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó µi (p, M ) là hữu hạn với mọi p ∈ Spec( R ) và mọi i . 1.3. Chiều và độ sâu Định nghĩa 1.3.1. Cho vành R. Số chiều của R, ký hiệu dim(R) chính là supremum của độ dài những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong R: = dim R sup{n | ∃p0 ⊂ p1 ⊂ .... ⊂ pn , pi ∈ Spec( R= ) ∀i 0,1,..., n} Cho M là một R-môđun thì số chiều của M chính là supremum của độ dài những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong Supp(M): = dim M sup{n | ∃p0 ⊂ p1 ⊂ .... ⊂ pn , pi ∈ Supp(M), = ∀i 0,1,..., n} 8
Nếu M = 0 ta đặt dim M= –1. Mệnh đề 1.3.2. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh và J một là iđêan của R . Khi đó ta có: = = dim M dim ( R / Ann ( M ) ) sup dim ( R / p) . p∈AssM M / JM dim R / ( J + Ann ( M ) ) . dim= Mệnh đề 1.3.3. Cho M là R - môđun hữu hạn sinh, x là phần tử không khả nghịch. Khi đó dim ( M / xM ) ≥ dim M − 1 . Đẳng thức xảy ra khi x không là ước của không trong M . Định nghĩa 1.3.4. Cho M là R - môđun, x ∈ R không là ước của không trong M và xM ≠ M , khi đó x được gọi là phần tử chính quy trong M , hay M − chính quy. Định nghĩa 1.3.5. Cho M là một R-môđun. Dãy các phần tử x1 , x2 ,...., xn trong R được gọi là dãy M- chính quy nếu ( x1 , x2 ,...., xn ) M ≠ M và xi không là ước của không trong M với mọi i = 1, 2,...n . ( x1 , x2 ,...., xi −1 ) M Định nghĩa 1.3.6. Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R thỏa mãn IM ≠ M . Ta định nghĩa độ sâu của M trong I là: depth R ( I , M )  sup n | ( x1 ,..., xn ) là dãy M - chính quy trong I  Nếu ( R, m ) là vành địa phương thì ta ký hiệu: depth R M := depth R ( m, M ) . Định lý 1.3.7. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R thỏa mãn IM ≠ M . Ta có: = depth R ( I , M ) inf{i | Ext iR ( R / I , M ) ≠ 0} = inf{depth Rp M p |p ∈ V ( I )}. Mệnh đề 1.3.8. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R thỏa mãn = IM ≠ M . Ta có: depth Rp M p inf{i | µi (p, M ) ≠ 0} . 9
1.4. Hàm tử dẫn xuất phải Định nghĩa 1.4.1. Cho T :  →  là hàm tử cộng tính hiệp biến,  và  là hai phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ. Ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải R nT :  →  với mỗi n ≥ 0 như sau: Với mỗi vật B ta chọn một phép giải nội xạ E • ( B) : 0  → E 0  → E1  → E 2  → .... 0 1 d d Tác động hàm tử T vào phép giải, sau đó lấy đối đồng điều thứ n: Ker Td n = ( R nT ) B : H= n (T ( E • ( B )) Im Td n−1 Định nghĩa này là tốt, không phụ thuộc vào cách chọn phép giải nội xạ. Định lý 1.4.2. Cho T :  →  là hàm tử cộng tính hiệp biến và khớp trái,  và  là hai phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ. Dãy ( R nT ) n≥0 là dãy hàm tử dẫn xuất phải của T khi và chỉ khi thỏa mãn: i. Có đẳng cấu tự nhiên giữa hai hàm tử: R 0T ≅ T . ii. Với mọi E là vật nội xạ trong  , ta đều có: ( R nT ) E = 0 với mọi n ≥ 1 . iii. Với mọi dãy khớp ngắn trong  : 0 → L → M → N → 0 ta có dãy khớp dài với đồng cấu nối tự nhiên: 0 → ( R 0T ) L → ( R 0T ) M → ( R 0T ) N → ( R1T ) L → ( R1T ) M → .... .... → ( R n−1T ) N → ( R nT ) L → ( R nT ) M → ( R nT ) N → ( R n+1T ) L → .... 1.5. Môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành, I là một iđêan của R, M là một R-môđun. Đặt  I ( M )  {x  M | I n x  0, n  1} . 10
Ta thấy Γ I ( M ) là một R-môđun con của M. Mặt khác với mọi R-đồng cấu f : M → N thì f (Γ I ( M )) ⊆ Γ I ( N ) nên ta định nghĩa được Γ I ( f ) : Γ I ( M ) → Γ I ( N ) là thu hẹp của f lên Γ I (M ) . Với định nghĩa như trên có thể chứng minh được Γ I là một hàm tử cộng tính, R-tuyến tính và khớp trái. Hàm tử Γ I được gọi là hàm tử I-xoắn. R-môđun M được gọi là môđun I-xoắn nếu Γ I ( M ) = M . R-môđun M được gọi là môđun I- xoắn tự do nếu Γ I ( M ) = 0. Bây giờ ta xét các hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử khớp trái Γ I với mọi i ≥ 0 và ta gọi đây là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I: H Ii=: R i Γ I . Môđun H Ii ( M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I. Mệnh đề 1.5.2. Cho M là một R-môđun. Ta có Γ I (M ) =M ⇔ Supp(M ) ⊆ V ( I ) . Định lý 1.5.3. Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R. Ta có đẳng cấu tự nhiên sau với mọi i  0 : H Ii  M   lim Ext Ri  R / I n , M   n  Sau đây là định lý triệt tiêu và không triệt tiêu nổi tiếng của Grothendieck Định lý 1.5.4. (Grothendieck) Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R. Ta có: H Ii ( M ) = 0 với mọi i > dim M . Định lý 1.5.5. (Grothendieck) Cho ( R, m ) là một vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Ta có: H mn ( M ) ≠ 0 với n = dim M . Định lý 1.5.6. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Khi đó ta có: inf{i | H Ii = ( M ) ≠ 0} depth = R (I , M ) inf{depth M p | p ∈ V ( I )} . 11
Định lý 1.5.7. (Melkersson) Giả sử R − môđun M là I − xoắn và ( 0 :M I ) là Artin. Khi đó M là môđun Artin. Định lý 1.5.8. [2, 7.1.3] Cho ( R, m ) là một vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó R − môđun H mi ( M ) là Artin với mọi i ∈  0 . Định lý 1.5.9. [2, 7.1.6] Cho ( R, m ) là một vành địa phương, I là iđêan của R . M là một R- môđun hữu hạn sinh có dim M = n . Khi đó R − môđun H In ( M ) là Artin. Định lý 1.5.10. Cho ( R, m ) là một vành địa phương. M là một R-môđun hữu hạn sinh có dim M = n . Khi đó R − môđun H mn ( M ) là không hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.5.11. Cho I là một iđêan của vành R , M là một R − môđun. Khi đó sup {n ∈  | H In ( M ) ≠ 0} được gọi là chiều đối đồng điều địa phương của M theo cd R ( I , M ) = iđêan I . Mệnh đề 1.5.12. Cho I là một iđêan của vành R , M , N là các R − môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có: cd R ( I , M ) = cd R ( I , R / Ann ( M ) ) . Nếu SuppN ⊆ SuppM thì cd R ( I , N ) ≤ cd R ( I , M ) . 1.6. Môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định nghĩa 1.6.1.Cho M là một R-môđun; I, J là hai iđêan của R, ta định nghĩa tập: { x ∈ M | I n x ⊆ Jx, n  1} Γ I ,J (M ) = {x ∈ M | I n ⊆ Ann( x) + J , n  1} từ đây ta thấy I n x ⊆ Jx ⇔ I n ⊆ Ann( x) + J do đó Γ I , J ( M ) = ta có thể chứng minh được Γ I , J ( M ) là một R-môđun con của M. Cho f : M → N là một đồng cấu R-môđun. Ta có f (Γ I , J ( M )) ⊆ Γ I , J ( N ) và do đó ta định nghĩa R-đồng cấu Γ I , J ( f ) : Γ I , J ( M ) → Γ I , J ( N ) chính là thu hẹp của f trên Γ I , J ( M ) . Từ đây ta định nghĩa được hàm tử Γ I , J ( − ) . 12
Định nghĩa 1.6.2. Hàm tử Γ I , J : Mod R → Mod R là một hàm tử hiệp biến cộng tính, ta gọi đây là hàm tử (I,J)-xoắn. Với M là một R-môđun ta định nghĩa Γ I , J ( M ) là môđun (I, J)-xoắn của M. M ta nói M là môđun (I, J)-xoắn, Γ I , J ( M ) = Γ I ,J (M ) = 0 ta nói M là môđun (I, J)- xoắn tự do. Nhận xét rằng nếu J = 0 thì Γ I , J ≡ Γ I là hàm tử I-xoắn quen thuộc trong đối đồng điều địa phương. Bổ đề 1.6.3. Hàm tử (I,J)-xoắn Γ I , J (−) là hàm tử khớp trái. Định nghĩa 1.6.4. Với i là số tự nhiên, ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ I , J là H Ii , J : hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo một cặp iđêan (I,J). Với M là một R-môđun ta định nghĩa H Ii , J ( M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo (I,J). Nhận xét rằng nếu J = 0 thì Γ I ,0 ≡ Γ I do đó H Ii ,0 ≡ H Ii , hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan chính là mở rộng của hàm tử đối đồng điều địa phương quen thuộc. Mệnh đề 1.6.5. [16, 1.4] Cho I, J là các iđêan của vành R; i là số tự nhiên bất kỳ và M là một R-môđun. Ta có: H Ii + J , J ( M ) = H Ii , J ( M ) ; H Ii , J ( M ) = H i I , J ( M ) . Định nghĩa 1.6.6. Cho I, J là hai iđêan của R. Ta định nghĩa tập hợp sau: W( I , J )  p  Spec( R ) | I n  p + J , n  1 Nhận xét rằng khi J = 0 thì W( I , J ) = V ( I ) lại đưa về định nghĩa quen thuộc. Mệnh đề 1.6.7. [16, 1.7]Cho M là một R-môđun, các mệnh đề sau là tương đương. i. M là môđun (I, J)-xoắn. 13
ii. Min( M ) ⊆ W( I , J ) . iii. Ass ( M ) ⊆ W( I , J ) . iv. Supp ( M ) ⊆ W( I , J ) . Mệnh đề 1.6.8. [16, 1.10] Cho M là R  môđun. Khi đó Ass  M   W  I , J  =Ass  I , J  M  . Đặc biệt,  I , J  M   0 khi và chỉ khi Ass  M   W  I , J    . Mệnh đề 1.6.9. [16, 1.11] Cho p ∈ Spec( R ) , khi đó ta có: i. p ∈ W( I , J ) thì E ( R / p) là môđun (I, J)-xoắn. ii. p ∉ W( I , J ) thì E ( R / p) là môđun (I, J)-xoắn tự do. Mệnh đề 1.6.10. [16, 2.5]Cho I , J là các iđêan của vành R . Nếu R − mô đun M là J − xoắn thì H Ii , J ( M ) ≅ H Ii ( M ) với mọi i ∈  . Mệnh đề 1.6.11. [16, 4.2]Cho M là R − môđun hữu hạn sinh với ( R, m ) là vành địa phương và các iđêan I , J . Khi đó M là ( I , J ) − xoắn khi và chỉ khi H Ii , J ( M ) = 0 với mọi i ∈  0 . Định lý 1.6.12. [16, 4.3]Cho ( R, m ) là vành địa phương và M là R − môđun hữu hạn sinh. I , J là các iđêan của vành R và J ≠ R . Khi đó H Ii , J ( M ) = 0 với mọi i > dim M / JM . Định lý 1.6.13. [16, 4.7]Cho M là R − môđun hữu hạn sinh. I , J là các iđêan của vành R . Khi đó ta có: i. H Ii , J ( M ) = 0 với mọi số nguyên thỏa i > dim M . ii. H Ii , J ( M ) = 0 với mọi số nguyên thỏa i > dim M / JM + 1 . 14
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN 2.1. Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Định lý 2.1.1. Giả sử ( R, m ) là vành địa phương. Cho M là một R − môđun hữu hạn sinh với dim M = d . Khi đó H Id, J ( M ) là Artin. Chứng minh. Do M là R − môđun hữu hạn sinh nên có một lọc các môđun con của M 0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂  ⊂ M t = M sao cho M j / M j −1 ≅ R / p j với p j ∈ SuppM , j = 1,, t Với mỗi j = 1, 2,, t ta có dãy khớp ngắn các R − môđun 0 → M j −1 → M j → R / p j → 0 Từ đó ta thu được dãy khớp dài sau:  → H Id, J ( M j −1 ) → H Id, J ( M j ) → H Id, J ( R / p j ) →  Cụ thể như sau: Với j = 1 ta có 0 → H Id, J ( M 1 ) → H Id, J ( R / p1 ) → 0 , do đó H Id, J ( M 1 ) ≅ H Id, J ( R / p1 ) . Với j = 2 ta có  → H Id, J ( M 1 ) → H Id, J ( M 2 ) → H Id, J ( R / p2 ) →  Với j = t ta có  → H Id, J ( M t −1 ) → H Id, J ( M ) → H Id, J ( R / pt ) →  Do đó chỉ cần chứng minh H Id, J ( R / p j ) là môđun Artin với mọi j = 1, 2,, t .Đặt p j = p . Xét hai trường hợp sau: Nếu J ⊆ p thì Γ J ( R / p) = { x ∈ R / p| J n x = 0, n  0 = } { R / p , do đó x ∈ R / p| J n x ∈ p, n  0 = } R / p là J − xoắn. Khi đó Γ I ( R / p) = Γ I , J ( R / p) . Thật vậy, x ∈ Γ I ( R / p) ⇒ ∃n > 0 : I n x= 0 ⊂ Jx ⇒ x ∈ Γ I , J ( R / p) . Ngược lại x ∈ Γ I , J ( R / p) ⇒ ∃n > 0 : I n x ⊆ Jx , mặt khác R / p là J − xoắn nên J m x = 0, m  0 . 0 hay x ∈ Γ I ( R / p) . Do đó I m.n x ⊆ J m x = 15
Suy ra H Id, J ( R / p) ≅ H Id ( R / p) . Do dim R / p ≤ d , nên theo định lý 1.5.3 thì H Id ( R / p) = 0 là Artin. Do đó H Id, J ( R / p) = 0 là Artin. R / p) dim R / ( J + Ann ( R= Nếu J ⊄ p thì dim ( R / p) / J (= / p) ) dim R / ( J + p) < dim R / p ≤ d . Do đó theo định lý 1.6.12 thì H Id, J ( R / p) = 0 là Artin.  Nhận xét: Định lý này chính là sự mở rộng của định lý 1.5.9 tương ứng với môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan. Định lý 2.1.2. Giả sử ( R, m ) là vành địa phương. Cho I , J là hai iđêan của vành R sao cho m , M là R − môđun hữu hạn sinh. Nếu với số nguyên t mà H Ii , J ( M ) là Artin với I+J = mọi i > t thì khi đó H It , J ( M ) / JH It , J ( M ) là Artin. Chứng minh. Do I+J = m nên ta có = I + J ,J ( M ) H Ir, J ( M ) H= r H= r I + J ,J ( M ) H mr , J ( M ) với mọi r . Do đó có thể giả sử là I = m . Ta sẽ chứng minh định lý bằng phép quy nạp theo n := dim M . = Với = n dim M 0 thì M có độ dài hữu hạn, do đó = = AssM SuppM {m} . Ta có m n ⊆ 0 + m ⊆ J + m , n  1 nên m ∈ W ( m , J ) . Khi đó M là ( m, J ) − xoắn vì SuppM ⊆ W ( m , J ) . Theo mệnh đề 1.6.11 thì H mi , J ( M )= 0 ∀i > 0 . Mà H m0 ,J ( M ) là Artin theo định lý 2.1.1. Vậy H m0 , J ( M ) / JH m0 , J ( M ) là Artin. Với n  0 . Từ dãy khớp ngắn 0 → Γ J ( M ) → M → M / Γ J ( M ) → 0 , ta có dãy khớp dài  → H mt , J ( Γ J ( M ) ) → H mt , J ( M ) → H mt , J ( M / Γ J ( M ) ) → H mt +,1J ( Γ J ( M ) ) →  Vì Γ J ( M ) là J − xoắn nên theo mệnh đề 1.6.10 ta có H mi , J ( Γ J ( M ) ) ≅ H mi ( Γ J ( M ) ) với mọi i . Khi đó H mi , J ( Γ J ( M ) ) là Artin với mọi i vì H mi ( Γ J ( M ) ) là môđun Artin theo định lý 1.5.7. Do đó, từ dãy khớp dài ở trên ta có thể giả sử Γ J ( M ) = 0 . Lấy phần tử M − chính quy x ∈ J , do đó dim M / xM= n − 1 vì x không là ước của không trong M . 16
Khi đó từ dãy khớp 0 → M  x → M → M / xM → 0 , ta thu được dãy khớp dài sau  → H mt , J ( M )  x → H mt , J ( M )  α → H mt , J ( M / xM )  β → H mt +,1J ( M ) →  Do H mi , J ( M ) là Artin với mọi i > t , nên từ dãy khớp dài ở trên suy ra H mi , J ( M / xM ) là Artin với mọi i > t . Khi đó H mt , J ( M / xM ) / JH mt , J ( M / xM ) là Artin theo giả thiết quy nạp. Từ dãy khớp dài ở trên ta có hai dãy khớp ngắn sau 0 → Im α → H mt , J ( M / xM ) → Im β → 0 H mt , J ( M )  x → H mt , J ( M ) → Im α → 0 Tác động hàm tử ( R / J ⊗ − ) , với đẳng cấu ( R / J ) ⊗ M ≅ M / JM ta thu được hai dãy khớp sau Tor1R ( R / J , Im β ) → Im α / J Im α → H mt , J ( M / xM ) / JH mt , J ( M / xM ) → Im β / J Im β → 0 ( *) H mt , J ( M ) / JH mt , J ( M )  x → H mt , J ( M ) / JH mt , J → Im α / J Im α → 0 (**) Do x ∈ J nên Im x = 0 , suy ra H mt , J ( M ) / JH mt , J ( M ) ≅ Im α / J Im α . Mặt khác Im β là môđun con của H mt +,1J ( M ) nên Artin. Do ( R / J ) ⊗ Im β là Artin nên Tor1R ( R / J , Im β ) cũng Artin. Từ dãy khớp (*) do H mt , J ( M / xM ) / JH mt , J ( M / xM ) Artin nên Im β / J Im β Artin. Cũng theo dãy khớp ( *) thì H mt , J ( M ) / JH mt , J ( M ) ≅ Im α / J Im α là môđun Artin.  Định lý 2.1.3. Giả sử ( R, m ) là vành đại phương. M là một R − môđun hữu hạn sinh sao cho dim M / JM = t . Khi đó H It , J ( M ) / JH It , J ( M ) là Artin. Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp theo n := dim M . = Với = n dim M 0 thì dim M / JM = 0 . Theo định lý 2.1.1 thì H Idim ,J M ( M ) = H I0, J ( M ) là môđun Artin, nên suy ra H I0, J ( M ) / JH I0, J ( M ) là môđun Artin. Với n  0 . Từ dãy khớp 0 → Γ J ( M ) → M → M / Γ J ( M ) → 0 , ta có dãy khớp dài  → H It , J ( Γ J ( M ) ) → H It , J ( M ) → H It , J ( M / Γ J ( M ) ) → H It +, J1 ( Γ J ( M ) ) →  17
t nên H Ii , J ( Γ J ( M ) ) = Do dim ( Γ J ( M ) ) ≤ dim M / JM = 0 với i > dim ( Γ J ( M ) ) . Từ dãy khớp dài trên ta có thể giả sử Γ J ( M ) = 0 . Lấy phần tử M − chính quy x ∈ J , do đó dim M / xM= n − 1 vì x không là ước của không trong M . Khi đó từ dãy khớp 0 → M  x → M → M / xM → 0 , ta thu được dãy khớp dài sau  → H mt , J ( M )  x → H mt , J ( M )  α → H mt , J ( M / xM )  β → H mt +,1J ( M ) →  Do dim ( M / xM ) / J ( M / xM=) dim M / ( J + Rx ) M = dim M / JM = t nên theo giả thiết quy nạp thì H It , J ( M / xM ) / JH It , J ( M / xM ) là Artin. Từ dãy khớp dài ở trên ta có hai dãy khớp ngắn sau 0 → Im α → H It , J ( M / xM ) → Im β → 0 . H It , J ( M )  x → H It , J ( M ) → Im α → 0 . Tác động hàm tử ( R / J ⊗ − ) , với đẳng cấu ( R / J ) ⊗ M ≅ M / JM ta thu được hai dãy khớp sau: Tor1R ( R / J , Im β ) → Im α / J Im α → H It , J ( M / xM ) / JH It , J ( M / xM ) → Im β / J Im β → 0 ( *) H It , J ( M ) / JH It , J ( M )  x → H It , J ( M ) / JH It , J → Im α / J Im α → 0 (**) Do x ∈ J nên Im x = 0 , suy ra H It , J ( M ) / JH It , J ( M ) ≅ Im α / J Im α . Mặt khác Im β là môđun con của H It +, J1 ( M ) nên Artin. Do ( R / J ) ⊗ Im β là Artin nên Tor1R ( R / J , Im β ) cũng Artin. Từ dãy khớp (*) do H It , J ( M / xM ) / JH It , J ( M / xM ) Artin nên Im β / J Im β Artin. Cũng theo dãy khớp ( *) thì R − môđun H It , J ( M ) / JH It , J ( M ) ≅ Im α / J Im α là Artin.  Định lý 2.1.4. Cho M là một R − môđun hữu hạn sinh với số chiều hữu hạn. Nếu dim R M / JM = d thì H Id,+J1 ( M ) / JH Id,+J1 ( M ) = 0 Chứng minh. Nếu JM = M thì theo bổ đề Nakayama thì tồn tại a ∈ J sao cho (1 + a ) M = 0 . Do đó Jx = Rx với mọi x ∈ M ; suy ra M là ( I , J ) − xoắn. Khi đó Γ I , J ( M ) / J Γ I , J ( M ) = 0 . Nên ta giả sử rằng 18