Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về môđun đối đồng điều địa phương Artin

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Từ định nghĩa của môđun đồng điều địa phương suy rộng, luận văn nghiên cứu một số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin như tính artin, tính noether. Phần tiếp theo của luận văn sẽ tìm hiểu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương từ tính chất của môđun đồng điều địa phương thông qua đối ngẫu Matlis. Bên cạnh đó, luận văn còn mô tả chiều rộng Width MI, độ sâu depth MI của môđun M dựa vào đồng điều địa phương suy rộng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về môđun đối đồng điều địa phương Artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÊ THỊ PHƯƠNG NGA VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÊ THỊ PHƯƠNG NGA VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN Ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN ĐỖ MINH CHÂU THÁI NGUYÊN, NĂM 2018
Mục lục MỞ ĐẦU 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Vành catenary phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin . . . . . . . . . 6 1.3 Chiều, số bội và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin . . 8 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2 Môđun đối đồng điều địa phương Artin trong trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay 17 2.1 Trường hợp thương của vành Gorenstein địa phương . . . . . 17 2.2 Trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay . . . . . . . . 21 2.3 Chuyển qua đồng cấu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 3 Môđun đối đồng điều địa phương Artin thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố 37 3.1 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại . 37 3.2 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 1
LỜI CẢM ƠN Luận văn "Về môđun đối đồng điều địa phương Artin" được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy của TS. Trần Đỗ Minh Châu. Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Đồng thời, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn với những góp ý quý báu của cô để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy cô khoa Toán đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc và các đồng nghiệp Trung tâm HN và GDTX Tỉnh Quảng Ninh đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập của mình. Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập. 1
MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương được A. Grothendieck giới thiệu vào năm 1960. Sau đó lý thuyết này nhanh chóng phát triển và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trở thành công cụ nghiên cứu không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp,... Một trong những tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là tính Artin. Cho (R, m) là vành giáo hoán Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều d và I là iđêan của R. Năm 1971, I. G. Macdonald và R. Y. Sharp [16] đã chứng minh được môđun đối dồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) luôn là Artin với mọi i ≥ 0. Sau đó R. Y. Sharp [28] phát hiện ra lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin thứ hai là HId (M ). Nhiều thông tin về hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin này đã được phản ánh trong các công trình của R. Y. Sharp [27], M. Brodmann-Sharp [3], N. T. Cường, L. T. Nhàn... Theo I. G. Macdonald [15], tập iđêan nguyên tố gắn kết của R- môđun Artin, kí hiệu là AttR A, có vai trò quan trọng tương tự như tập iđêan nguyên tố liên kết đối với môđun hữu hạn sinh. Mục đích của luận văn là trình bày lại một số kết quả gần đây trong các bài báo [3], [24], [20], [22] về mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết, đặc trưng tính bão hòa nguyên tố và xây dựng công thức số bội của Hmi (M ) và HId (M ) khi R là thương của vành Cohen-Macaulay và các môđun này thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Nhắc lại rằng một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu AnnR (0 :A p) = p với mỗi iđêan nguyên tố p chứa AnnR A (xem [8]). 2
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được trình bày thành ba chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành catenary phổ dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin, chiều, số bội, tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin và môđun đối đồng điều địa phương Artin. Những kiến thức này liên quan đến các kết quả và chứng minh ở chương 2 và 3. Chương 2 trình bày các kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết và số bội của môđun đối đồng địa phương Hmi (M ) trong trường hợp vành cơ sở là thương của vành Cohen-Macaulay. Chương 3 trình bày đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin thông qua tính catenary của vành, từ đó mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết và xây dựng công thức bội liên kết cho hai lớp môđun này khi chúng thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, R b là vành đầy đủ m-adic của R, I là iđêan tùy ý của R. Ta cũng ký hiệu A là R-môđun Artin, M là R-môđun hữu hạn sinh có dim(M ) = d và N, L là các môđun tùy ý của R. Mục tiêu của chương này là giới thiệu những khái niệm và các tính chất cơ bản về vành catenary phổ dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội, tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin và môđun đối đồng điều địa phương Artin sẽ được sử dụng trong luận văn. 1.1 Vành catenary phổ dụng Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả của vành catenary phổ dụng. Chú ý rằng, do R là vành Noether địa phương nên với mọi cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q của R luôn tồn tại dãy các iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q có độ dài n p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn ⊂ q . Định nghĩa 1.1.1. Nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q của R, mọi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q đều có chung độ dài thì vành R được gọi là catenary. 4
Rõ ràng nếu R là catenary thì Rp là catenary với mọi p ∈ Spec(R). Ngoài ra vành catenary còn có tính chất sau. Mệnh đề 1.1.2. (Xem [30]) Các mệnh đề sau là đúng: (i) Nếu R là catenary thì vành thương của R cũng là catenary. (ii) R là catenary khi và chỉ khi dim(R/ q) = dim(R/ p) + ht(p / q) với mọi iđêan nguyên tố p, q thỏa mãn q ⊆ p . Một trong những loại vành catenary đặc biệt có tính chất quan trọng là vành catenary phổ dụng. Định nghĩa 1.1.3. (Xem [17]) Vành R được gọi là vành catenary phổ dụng nếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary. Nếu depth(R) = dim(R) thì R được gọi là vành Cohen-Macaulay địa phương. Theo định nghĩa của M. Nagata [19], vành R được gọi là tựa không trộn lẫn nếu dim(R/ b với mọi P ∈ min(Ass R). b P) = dim(R) b Định lý sau đây chỉ ra điều kiện để một vành là vành catenary phổ dụng thông qua tính không trộn lẫn và tính Cohen-Macaulay của vành. Định lý 1.1.4. (Xem [29, Định lý 17.9,31.6]) R là vành catenary phổ dụng nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: (i) R là tựa không trộn lẫn; (ii) R là thương của một vành Cohen-Macaulay. Định lý sau đưa ra một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng. Định lý 1.1.5. Các điều kiện sau là tương đương: (i) R là catenary phổ dụng; (ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary; (iii) R/ p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R). 5
1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I. G. Macdonald [15] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ. Từ biểu diễn thứ cấp, tập iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun được định nghĩa. Khái niệm này theo một nghĩa nào đó là tương tự với khái niệm iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.2.1. (i) Một R-môđun N được gọi là thứ cấp nếu N 6= 0 và với mỗi r ∈ R ta có rN = N hoặc tồn tại n ∈ N sao cho rn N = 0. Trong trường hợp này, tập hợp các phần tử r ∈ R sao cho phép nhân bởi r trên N là lũy linh làm thành một iđêan nguyên tố. chẳng hạn là p, và ta gọi N là p-thứ cấp. (ii) Cho N là R-môđun. Biểu diễn N = N1 + . . . + Nn , trong đó mỗi Ni là môđun con pi -thứ cấp N, được gọi là một biểu diễn thứ cấp của N. Nếu N = 0 hoặc N có biểu diễn thứ cấp thì ta nói N là biểu diễn được. Biểu diễn này gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và mỗi Ni là không thừa với mọi i = 1, . . . , n. Chú ý rằng, nếu N1 , N2 là các môđun con p-thứ cấp của N thì N1 + N2 cũng là môđun con p-thứ cấp của N. Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của N đều có thể đưa được về dạng tối tiểu bằng cách bỏ đi những thành phần thừa và gộp lại những thành phần cùng chung một iđêan nguyên tố. Tập hợp p1 , . . . , pn là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của N, kí hiệu là AttR N. Các hạng tử Ni , với i = 1, . . . , n, được gọi là các thành phần thứ cấp của N. Nếu pi là tối tiểu trong tập AttR N thì pi được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi là thành phần thứ cấp cô lập của N. 6
Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được. Định lý 1.2.2. [15, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được. Mệnh đề 1.2.3. (Xem [16]) Giả sử A là R-môđun Artin. Khi đó các phát biểu sau là đúng: (i) AttR A 6= ∅ khi và chỉ khi A 6= 0. (ii) min AttR A = min Var(AnnR A). Đặc biệt, dim(R/ AnnR A) = max dim(R/ p) | p ∈ AttR A . (iii) AttR A = {m} khi và chỉ khi A 6= 0 và `R (A) < ∞. Cho A là R-môđun Artin và rb ∈ R, b x ∈ A. Gọi (rn )n∈N là dãy Côsi trong R đại điện cho lớp rb. Vì Rx có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự nhiên k sao cho mk x = 0. Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi m, n ≥ n0 . Suy ra rn x = rn0 x với mọi n ≥ n0 . Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như R b-môđun với tích vô hướng rbx = rn x. Do đó, một môđun 0 con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của A xét như R b-môđun. Vì thế A là R b-môđun Artin. Ta cũng có thể xác định được cấu trúc R-môđun ban đầu trên A nếu xem R b-môđun A này như R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → R. b Như vậy, tập iđêan nguyên tố gắn kết của A trên R và R b luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết này như sau. Mệnh đề 1.2.4. [28, Bổ đề 2.1] AttR A = P ∩ R | P ∈ AttRb A . Tổng quát hơn, tính chất chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun Artin qua đồng cấu phẳng địa phương được phát biểu trong mệnh đề sau. 7
Mệnh đề 1.2.5. [23, Mệnh đề 2.3] Cho môđun A là R-môđun Artin và ϕ : (R, m) → (S, n) là đồng cấu địa phương phẳng giữa các vành Noether địa phương. Giả sử rằng dim(S/mS) = 0. Khi đó A ⊗R S là S -môđun Artin và AttR A = {ϕ−1 (S) | S ∈ AttS (A ⊗R S)}. 1.3 Chiều, số bội và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin Phần này dành để trình bày tính chất bão hòa nguyên tố môđun Artin và các bất biến quan trọng của nó bao gồm chiều Noether và số bội. Trong [25], R. N. Roberts đã giới thiệu khái niệm chiều Krull cho môđun tùy ý và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho các môđun Artin. Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các môđun hữu hạn sinh, D. Kirby [14] đã đổi thuật ngữ của Roberts thành chiều Noether. Khái niệm chiều Noether cho môđun Artin theo thuật ngữ của D. Kirby được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.3.1. Cho R-môđun Artin A, chiều Noether của A, kí hiệu bởi N-dimR A, được định nghĩa như sau: khi A = 0, đặt N-dimR A = −1. Bằng quy nạp, cho số nguyên d ≥ 0, đặt N-dimR A = d nếu N-dimR A < d là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆ A1 ⊆ . . . của A, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR (An+1 /An ) < d với mọi n > n0 . Như vậy N-dimR A = 0 khi và chỉ khi A 6= 0 và A là Noether. Trong trường hợp này, A có độ dài hữu hạn. Khi N-dimR A > 0, nếu chỉ dùng Định nghĩa 1.3.1 thì rất khó có thể xác định được N-dimR A. Hơn nữa, với mỗi R-môđun Artin A và mỗi iđêan q của R thỏa mãn `R (0 :A q) < ∞, D. Kirby [14] đã chỉ ra rằng tồn tại một đa thức ΘqA (n) với hệ số hữu tỷ sao cho `R (0 :A qn+1 ) = ΘqA (n) khi n đủ lớn. Đa thức này, theo một nghĩa nào đó, là đối ngẫu với đa thức Hilbert - Samuel của môđun hữu hạn sinh 8
và được gọi là đa thức Hilbert - Samuel của môđun Artin tương ứng với q . Trong [25], R. N. Roberts đã đưa ra kết quả quan trọng sau về chiều Noether của môđun Artin. N-dimR (A) = deg(`R (0 :A qn+1 )) = inf{t | ∃x1 , . . . .xt ∈ m : `R (0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞}. Kết quả này cho phép chúng ta có thể tính toán được chiều Noether, có thể định nghĩa các khái niệm hệ bội, hệ tham số, phần hệ tham số một cách tự nhiên và từ đó nghiên cứu số bội của môđun Artin. Kết quả này cũng cho ta thấy khái niệm chiều Noether trong nhiều khía cạnh có vai trò quan trọng đối với môđun Artin như vai trò của chiều Krull đối với môđun hữu hạn sinh. Kết quả sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa chiều Noether của môđun A và chiều Krull của vành R/ AnnR A. Mệnh đề 1.3.2. [8, Mệnh đề 2.5, Hệ quả 2.6] Các phát biểu sau là đúng: (i) N-dimR (A) = 0 nếu và chỉ nếu dim(R/ AnnR A) = 0. Trong trường hợp này A có độ dài hữu hạn và R/ AnnR A là vành Artin. (ii) N-dimR (A) ≤ dim(R/ AnnR A). Chú ý rằng, theo [8, Ví dụ 4.1], luôn tồn tại R-môđun Artin A sao cho N-dimR A < dim(R/ AnnR A). Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiện nào của vành R hoặc của môđun A ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A)? Mệnh đề 1.3.3. [8, Hệ quả 2.6] Nếu R đầy đủ thì N-dimR (A) = dim(R/ AnnR A). Chú ý rằng, A có cấu trúc tự nhiên như R b-môđun. Với cấu trúc này, mối quan hệ giữa chiều Noether của A trên R và R b như sau. 9
Mệnh đề 1.3.4. [8, Nhận xét 2.3, Hệ quả 4.8] Ta có N-dimR (A) = dim(R/ b Ann b A) = N-dim b (A). R R Định nghĩa 1.3.5. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và q là iđêan của R sao cho `R (M/ q M ) < ∞. Khi đó, với n đủ lớn, hàm `R (M/ qn+1 M ) theo biến nguyên dương n là một đa thức bậc d với hệ số hữu tỷ và được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với q và được biểu diễn dưới dạng Xq e(q, M ) d (n) = `R (M/ qn+1 M ) = n + đa thức có bậc nhỏ hơn d M d! khi n đủ lớn, trong đó e(q, M ) là một số nguyên dương và được gọi là số bội của M ứng với q (xem [5, Mệnh đề 4.5.2]). Lí thuyết bội có vai trò quan trọng trong nghiên cứu cấu trúc của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Công thức sau đây là một trong những tính chất cơ bản của số bội, được gọi là công thức liên kết của số bội (Xem [5, Hệ quả 4.6.8]): X e(q, M ) = `Rp (Mp )e(q, R/ p). (1) p∈SuppR M dim(R/ p)=d Với mỗi R-môđun Artin A, theo suy nghĩ đối ngẫu, chúng ta cũng định nghĩa được số bội thông qua đa thức Hilbert-Samuel của A. Cụ thể, theo D.Kirby [14], nếu q là iđêan của R sao cho `R (0 :A q) < ∞ thì khi n đủ lớn `R (0 :A qn+1 ) là một đa thức bậc N-dimR (A) với hệ số hữu tỷ. Ta ký hiệu đa thức này là ΘqA (n). Đặt N-dimR (A) = s. Ta có biểu diễn e0 (q, A) s ΘqA (n) := `R (0 :A qn+1 ) = n + đa thức có bậc nhỏ hơn s s! khi n đủ lớn, trong đó e0 (q, A) là một số nguyên dương, được gọi là số bội của A ứng với q (xem [3]). Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày tính chất bão hòa nguyên tố của môđun Artin. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Với mỗi 10
iđêan I của R, ký hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I . Khi đó, AnnR (M/ p M ) = p với mọi p ∈ Var(AnnR M ). Thật vậy, giả sử p ∈ Var(AnnR (M )). Hiển nhiên, ta có p ⊆ AnnR (M/ p M ). Vì Var(AnnR (M )) = SuppR (M ) nên Mp 6= 0. Theo Bổ đề Nakayama, Mp 6= p Rp Mp . Do đó (M/ p M )p 6= 0. Suy ra p ∈ SuppR (M/ p M ) = Var(AnnR (M/ p M )). Vì thế p ⊇ AnnR (M/ p M ). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là tính chất đối ngẫu sau đây có đúng cho mọi môđun Artin A không? AnnR (0 :A p) = p với mọi p ∈ Var(AnnR A) (*) Nếu R là đầy đủ tương ứng với tôpô m-adic thì sử dụng đối ngẫu Matlis ta chứng minh được tính chất (*) thỏa mãn cho mọi R-môđun Artin. Nhắc lại rằng, ký hiệu E = ER (R/m) là bao nội xạ của môđun R-môđun R/m và D là hàm tử khớp, phản biến, tuyến tính HomR (•, E) từ phạm trù các R-môđun C(R) vào chính nó. D(N ) được gọi là đối ngẫu Matlis của R-môđun N . Vì R là đầy đủ nên theo đối ngẫu Matlis, D(A) là R-môđun hữu hạn sinh. Kéo theo AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/ p D(A)) = p . Tuy nhiên, tồn tại các môđun Artin không thỏa mãn tính chất (*). Chẳng hạn, theo [8, Ví dụ 4.4], R-môđun Artin Hm1 (R) không thỏa mãn tính chất (*) nếu R là miền nguyên Noether địa phương chiều 2 được xây dựng bởi M. Ferrand và D. Raynaud (Xem [19, App. Ex. 2]) sao cho vành đầy đủ 11
m-adic R b có iđêan nguyên tố liên kết q chiều 1. Từ đây ta có định nghĩa sau [19, Định nghĩa 4.3]. Định nghĩa 1.3.6. Một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A. Rõ ràng AnnR (0 :A p) ⊇ p . Do đó A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố khi và chỉ khi AnnR (0 :A p) là bé nhất có thể, với mỗi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A. Những môđun Artin thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố có những tính chất khá đẹp về cấu trúc. Chẳng hạn chiều của môđun Artin có tính bão hòa nguyên tố được thể hiện rõ trong các Bổ đề và Định lý sau. Bổ đề 1.3.7. (Xem [8, Nhận xét 2.3, Hệ quả 4.8]) Cho R-môđun Artin A. Khi đó, N-dimR (A) ≤ dim(R/ AnnR A) và đẳng thức xảy ra nếu A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Hơn nữa, ta có N-dimR (A) = N-dimRb (A) = dim(R/ b Ann b (A)) R b P) : P ∈ Att b (A)}. = max{dim(R/ R 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu vào những năm 1960 và nhanh chóng phát triển, trở thành công cụ không thể thiếu trong nhiễu lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại số,... Khoảng những năm 1970, I. G. Macdonald và R. Y. Sharp đã phát hiện ra các lớp môđun đối đồng địa phương Artin và sử dụng lý thuyết biểu diễn thứ cấp để nghiên cứu các môđun này. Trong tiết này sẽ nhắc lại một số khái niệm và tính chất của môđun đối đồng điều địa phương. 12
Định nghĩa 1.4.1. Cho I là iđêan của R. Với mỗi R-môđun M, đặt [ ΓI (M ) = (0 :M I n ). n≥0 Nếu f : M → N là đồng cấu các R-môđun thì f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ). Do đó ta có đồng cấu ΓI (f ) : ΓI (M ) −→ ΓI (N ) x 7−→ f (x) Khi đó ΓI (•) là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù các R-môđun và được gọi là hàm tử I -xoắn. Định nghĩa 1.4.2. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I -xoắn được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với I và kí hiệu bởi HIi (•). Với mỗi R-môđun M, HIi (M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i ứng với giá I . Chú ý rằng nếu f : R → R0 là một đồng cấu vành và N là R0 -môđun thì N cũng là R-môđun cảm sinh bởi f với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi rn := f (r)n, trong đó r ∈ R, n ∈ N. Với phép nhân vô hướng i i 0 này, ta luôn xác định được các R-môđun HIR 0 (N ) và HI (N ), trong đó IR là iđêan của R0 sinh bởi f (I). Khi đó việc tính môđun đối đồng điều địa phương thứ i của N trên R và trên R0 là như nhau. Tính chất này được gọi là tính độc lập với vành cơ sở. Định lý 1.4.3. [2, Định lý 4.2.1] Cho f : R → R0 là một đồng cấu vành, N là R0 -môđun và I là một iđêan của R. Khi đó với mọi i ≥ 0 ta có đẳng cấu H i 0 (N ) ∼ IR = H i (N ) các R-môđun. I Khi f : R → R0 là đồng cấu phẳng, ta có tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương. Định lý 1.4.4. Giả sử đồng cấu vành R → R0 là đồng cấu phẳng, I là iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó, với mọi i ≥ 0 ta có R0 -đẳng cấu HIi (M ) ⊗R R0 ∼ i = HIR 0 0 (M ⊗R R ). 13
Một trong những tính chất quan trọng có nhiều ứng dụng là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (Xem [8, 6.1.2,6.1.4].) Định lý 1.4.5. (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của A. Grothendieck) Các khẳng định sau là tương đương: (i) Hmi (M ) = 0 với mọi i > dim(M ). (ii) Nếu M 6= 0 thì Hmd (M ) 6= 0. (iii) Nếu M 6= 0 thì depth(I, M ) = min{i | HIi (M ) 6= 0}. Trong trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá là iđêan tùy ý, Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne cho ta tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều của vành tại cấp cao nhất với giá tùy ý. Định lý 1.4.6. Giả sử dim(R) = n và I là một iđêan của R. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) HIn (R) = 0; (ii) Với mỗi iđêan nguyên tố P của R b thỏa mãn dim(R/ b P) = n ta có dim(R/(I b R b + P)) > 0. Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn sinh nhìn chung không hữu hạn sinh và cũng không Artin (xem [8, Hệ quả 7.3.3]). Vì thế, hai kết quả sau về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương chứng minh bởi I. G. Macdonald và R. Y. Sharp rất được quan tâm. Định lý 1.4.7. Các phát biểu sau luôn đúng: (i) Hmi (M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0; (ii) HId (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R. Tiếp theo là một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin. Trước hết là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại được cho bởi công thức sau. 14
Định lý 1.4.8. [16, Định lý 2.2] Cho M là R-môđun hữu hạn sinh khác không với dim(M ) = d. Khi đó Hmd (M ) 6= 0 và AttR (Hmd (M )) = {p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d}. Định lý sau đây được chứng minh bởi R. Y. Sharp [27, Định lý 4.8] và được gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu. Định lý 1.4.9. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, p ∈ SuppR (M ) sao cho dim(R/ p) = t. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tố với q ⊆ p sao cho q Rp ∈ AttRp (Hpi Rp (Mp )). Khi đó q ∈ AttR (Hmi+t (M )). Gần đây, L. T. Nhàn và P. H. Quý đã mở rộng kết quả trên cho trường hợp vành thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Mệnh đề 1.4.10. [23, Mệnh đề 2.7] Giả sử p ∈ Spec(R). Cho số nguyên i ≥ 0. Giả sử R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Khi đó i−dim(R/ p) (i) AttRp (Hp Rp (Mp )) = {q Rp | q ∈ AttR (Hmi (M )), q ⊆ p}; (ii) AttRb (Hmi (M )) = p∈AttR (Hmi (M )) AssRb (R/ S b p R). b Mệnh đề sau cho ta mô tả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun HId (M ) trên vành R. b Mệnh đề 1.4.11. (Xem [11, Hệ quả 4.9]) Cho I là iđêan thực sự của R. Khi đó q d AttRb (HI (M )) = P ∈ AssRb M c | dim(R/ b P) = d, IR b + P = mR b . Theo Định lý 1.4.7, các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i. Vì thế chiều của các môđun này cũng luôn xác định và có tính chất đã nêu. Hơn nữa, chiều của các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) còn có mối liên hệ với cấp của môđun này. Định lý 1.4.12. (Xem[8, Định lý 3.1, Hệ quả 3.6]) 15
(i) N-dimR (Hmi (M )) ≤ i. (ii) N-dimR (Hmd (M )) = dim(R/ AnnR (Hmd (M ))) = d. Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại và tính catenary của vành cơ sở. Định lý 1.4.13. (Xem [7]) Các mệnh đề sau là tương đương: (i) Hmd (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; (ii) Vành R/ AnnR (Hmd (M )) là catenary. 16
Chương 2 Môđun đối đồng điều địa phương Artin trong trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay Chương 2 dành để trình bày các kết quả gần đây về tập iđêan nguyên tố gắn kết và số bội của môđun đối đồng điều địa phương trong trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay và khi chuyển qua đồng cấu phẳng. Các kết quả này được trình bày trong các bài báo [3], [24]. 2.1 Trường hợp thương của vành Gorenstein địa phương Trong suốt mục này, ta luôn giả sử R là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein địa phương (R0 , m0 ) chiều n0 qua toàn cấu vành f : R0 → R. Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu R có chiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải nội xạ trong đó chỉ có hữu hạn môđun nội xạ khác 0. Khi R là thương của vành Gorenstein, Định lý đối ngẫu địa phương là một công cụ hữu hiệu để ta nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại. Ký hiệu E là bao nội xạ ER (R/m) của trường thặng dư R/m và D là hàm tử đối ngẫu Matlis HomR (•, E). Với mỗi số nguyên i, 17