Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về môđun đối đồng điều địa phương Artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————–

LÊ THỊ PHƯƠNG NGA

VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————–

LÊ THỊ PHƯƠNG NGA

VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN

Ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8 46 01 04

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN ĐỖ MINH CHÂU

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mục lục

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Vành catenary phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin . . . . . . . . . 6

1.3 Chiều, số bội và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin . . 8

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin . . . . . . . . . . . . . 12

Chương 2 Môđun đối đồng điều địa phương Artin trong

trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay 17

2.1 Trường hợp thương của vành Gorenstein địa phương . . . . . 17

2.2 Trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay . . . . . . . . 21

2.3 Chuyển qua đồng cấu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chương 3 Môđun đối đồng điều địa phương Artin thỏa mãn

tính bão hòa nguyên tố 37

3.1 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại . 37

3.2 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với

giá tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

LỜI CẢM ƠN

Luận văn "Về môđun đối đồng điều địa phương Artin" được thực

hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành

dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy của TS. Trần Đỗ Minh Châu. Tác

giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn

khoa học của mình. Đồng thời, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới GS. TS.

Lê Thị Thanh Nhàn với những góp ý quý báu của cô để luận văn được

hoàn thiện hơn.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư

phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy

cô khoa Toán đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả

học tập và nghiên cứu.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc và các đồng nghiệp

Trung tâm HN và GDTX Tỉnh Quảng Ninh đã tạo điều kiện cho tôi hoàn

thành nhiệm vụ học tập của mình.

Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động

viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập.

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được A. Grothendieck giới thiệu

vào năm 1960. Sau đó lý thuyết này nhanh chóng phát triển và thu hút sự

quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trở thành công cụ nghiên

cứu không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại

số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp,...

Một trong những tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa

M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều d và I là iđêan của R. Năm 1971,

phương là tính Artin. Cho (R, m) là vành giáo hoán Noether địa phương,

I. G. Macdonald và R. Y. Sharp [16] đã chứng minh được môđun đối dồng

m(M ) luôn là Artin với mọi i ≥ 0. Sau

điều địa phương với giá cực đại H i

đó R. Y. Sharp [28] phát hiện ra lớp môđun đối đồng điều địa phương

I (M ). Nhiều thông tin về hai lớp môđun đối đồng điều

Artin thứ hai là H d

địa phương Artin này đã được phản ánh trong các công trình của R. Y.

Sharp [27], M. Brodmann-Sharp [3], N. T. Cường, L. T. Nhàn...

Theo I. G. Macdonald [15], tập iđêan nguyên tố gắn kết của R-

môđun Artin, kí hiệu là AttR A, có vai trò quan trọng tương tự như tập

iđêan nguyên tố liên kết đối với môđun hữu hạn sinh. Mục đích của luận

văn là trình bày lại một số kết quả gần đây trong các bài báo [3], [24],

[20], [22] về mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết, đặc trưng tính bão hòa

m(M ) và H d

I (M ) khi R là

nguyên tố và xây dựng công thức số bội của H i

thương của vành Cohen-Macaulay và các môđun này thỏa mãn tính bão

hòa nguyên tố. Nhắc lại rằng một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn

tính bão hòa nguyên tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mỗi iđêan nguyên tố p

chứa AnnR A (xem [8]).

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận

văn được trình bày thành ba chương:

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành catenary phổ

dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin, chiều, số bội, tính

bão hòa nguyên tố của môđun Artin và môđun đối đồng điều địa phương

Artin. Những kiến thức này liên quan đến các kết quả và chứng minh ở

chương 2 và 3.

Chương 2 trình bày các kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết và

m(M ) trong trường hợp vành cơ

số bội của môđun đối đồng địa phương H i

sở là thương của vành Cohen-Macaulay.

Chương 3 trình bày đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của hai lớp

môđun đối đồng điều địa phương Artin thông qua tính catenary của vành,

từ đó mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết và xây dựng công thức bội liên

kết cho hai lớp môđun này khi chúng thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, luôn giả thiết (R, m)

là vành giao hoán Noether địa phương, (cid:98)R là vành đầy đủ m-adic của R, I

là iđêan tùy ý của R. Ta cũng ký hiệu A là R-môđun Artin, M là R-môđun

hữu hạn sinh có dim(M ) = d và N, L là các môđun tùy ý của R.

Mục tiêu của chương này là giới thiệu những khái niệm và các tính

chất cơ bản về vành catenary phổ dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều,

số bội, tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin và môđun đối đồng điều

1.1 Vành catenary phổ dụng

địa phương Artin sẽ được sử dụng trong luận văn.

Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả của

vành catenary phổ dụng. Chú ý rằng, do R là vành Noether địa phương

nên với mọi cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q của R luôn tồn tại dãy các iđêan

nguyên tố bão hòa giữa p và q có độ dài n

p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn ⊂ q .

Định nghĩa 1.1.1. Nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q của R, mọi

dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q đều có chung độ dài thì vành R

được gọi là catenary.

Rõ ràng nếu R là catenary thì Rp là catenary với mọi p ∈ Spec(R).

Ngoài ra vành catenary còn có tính chất sau.

Mệnh đề 1.1.2. (Xem [30]) Các mệnh đề sau là đúng:

(i) Nếu R là catenary thì vành thương của R cũng là catenary.

(ii) R là catenary khi và chỉ khi dim(R/ q) = dim(R/ p) + ht(p / q)

với mọi iđêan nguyên tố p, q thỏa mãn q ⊆ p .

Một trong những loại vành catenary đặc biệt có tính chất quan trọng

là vành catenary phổ dụng.

Định nghĩa 1.1.3. (Xem [17]) Vành R được gọi là vành catenary phổ

dụng nếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary.

Nếu depth(R) = dim(R) thì R được gọi là vành Cohen-Macaulay

địa phương. Theo định nghĩa của M. Nagata [19], vành R được gọi là tựa

không trộn lẫn nếu dim( (cid:98)R/P) = dim( (cid:98)R) với mọi P ∈ min(Ass (cid:98)R). Định

lý sau đây chỉ ra điều kiện để một vành là vành catenary phổ dụng thông

qua tính không trộn lẫn và tính Cohen-Macaulay của vành.

Định lý 1.1.4. (Xem [29, Định lý 17.9,31.6]) R là vành catenary phổ dụng

nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

(i) R là tựa không trộn lẫn;

(ii) R là thương của một vành Cohen-Macaulay.

Định lý sau đưa ra một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng.

Định lý 1.1.5. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) R là catenary phổ dụng;

(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary;

(iii) R/ p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R).

1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I. G.

Macdonald [15] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ.

Từ biểu diễn thứ cấp, tập iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun được

định nghĩa. Khái niệm này theo một nghĩa nào đó là tương tự với khái

niệm iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh.

r trên N là lũy linh làm thành một iđêan nguyên tố. chẳng hạn là p, và

Định nghĩa 1.2.1. (i) Một R-môđun N được gọi là thứ cấp nếu N (cid:54)= 0 và với mỗi r ∈ R ta có rN = N hoặc tồn tại n ∈ N sao cho rnN = 0. Trong trường hợp này, tập hợp các phần tử r ∈ R sao cho phép nhân bởi

ta gọi N là p-thứ cấp.

(ii) Cho N là R-môđun. Biểu diễn N = N1 + . . . + Nn, trong đó mỗi Ni là môđun con pi-thứ cấp N, được gọi là một biểu diễn thứ cấp của N. Nếu N = 0 hoặc N có biểu diễn thứ cấp thì ta nói N là biểu diễn được.

Biểu diễn này gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và mỗi Ni là không thừa với mọi i = 1, . . . , n.

N1 + N2 cũng là môđun con p-thứ cấp của N. Vì thế mọi biểu diễn thứ

Chú ý rằng, nếu N1, N2 là các môđun con p-thứ cấp của N thì

cấp của N đều có thể đưa được về dạng tối tiểu bằng cách bỏ đi những

thành phần thừa và gộp lại những thành phần cùng chung một iđêan

nguyên tố. Tập hợp p1, . . . , pn là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp

tối tiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của N, kí

hiệu là AttR N. Các hạng tử Ni, với i = 1, . . . , n, được gọi là các thành

phần thứ cấp của N. Nếu pi là tối tiểu trong tập AttR N thì pi được gọi

là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi là thành phần thứ

cấp cô lập của N.

Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được.

Định lý 1.2.2. [15, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được.

Mệnh đề 1.2.3. (Xem [16]) Giả sử A là R-môđun Artin. Khi đó các phát

biểu sau là đúng:

dim(R/ AnnR A) = max (cid:8)dim(R/ p) | p ∈ AttR A(cid:9) .

(i) AttR A (cid:54)= ∅ khi và chỉ khi A (cid:54)= 0. (ii) min AttR A = min Var(AnnR A). Đặc biệt,

(iii) AttR A = {m} khi và chỉ khi A (cid:54)= 0 và (cid:96)R(A) < ∞.

Cho A là R-môđun Artin và (cid:98)r ∈ (cid:98)R, x ∈ A. Gọi (rn)n∈N là dãy Côsi trong R đại điện cho lớp (cid:98)r. Vì Rx có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự nhiên k sao cho mkx = 0. Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn − rm ∈ mk với

mọi m, n ≥ n0. Suy ra rnx = rn0x với mọi n ≥ n0. Khi đó A có cấu trúc

tự nhiên như (cid:98)R-môđun với tích vô hướng (cid:98)rx = rn0x. Do đó, một môđun con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của A xét như

(cid:98)R-môđun. Vì thế A là (cid:98)R-môđun Artin. Ta cũng có thể xác định được cấu

trúc R-môđun ban đầu trên A nếu xem (cid:98)R-môđun A này như R-môđun

xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → (cid:98)R. Như vậy, tập iđêan nguyên tố gắn

kết của A trên R và (cid:98)R luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tập

iđêan nguyên tố gắn kết này như sau.

AttR A = (cid:8)P ∩ R | P ∈ Att

(cid:98)R A(cid:9) .

Mệnh đề 1.2.4. [28, Bổ đề 2.1]

Tổng quát hơn, tính chất chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của

một môđun Artin qua đồng cấu phẳng địa phương được phát biểu trong

mệnh đề sau.

ϕ : (R, m) → (S, n) là đồng cấu địa phương phẳng giữa các vành Noether

Mệnh đề 1.2.5. [23, Mệnh đề 2.3] Cho môđun A là R-môđun Artin và

AttR A = {ϕ−1(S) | S ∈ AttS(A ⊗R S)}.

1.3 Chiều, số bội và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin

địa phương. Giả sử rằng dim(S/mS) = 0. Khi đó A ⊗R S là S-môđun Artin và

Phần này dành để trình bày tính chất bão hòa nguyên tố môđun

Artin và các bất biến quan trọng của nó bao gồm chiều Noether và số bội.

Trong [25], R. N. Roberts đã giới thiệu khái niệm chiều Krull cho

môđun tùy ý và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho các môđun

Artin. Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các môđun hữu

hạn sinh, D. Kirby [14] đã đổi thuật ngữ của Roberts thành chiều Noether.

Khái niệm chiều Noether cho môđun Artin theo thuật ngữ của D. Kirby

được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.3.1. Cho R-môđun Artin A, chiều Noether của A, kí hiệu

bởi N-dimR A, được định nghĩa như sau: khi A = 0, đặt N-dimR A = −1. Bằng quy nạp, cho số nguyên d ≥ 0, đặt N-dimR A = d nếu N-dimR A < d là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆ A1 ⊆ . . . của A, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d với mọi n > n0.

Như vậy N-dimR A = 0 khi và chỉ khi A (cid:54)= 0 và A là Noether. Trong

trường hợp này, A có độ dài hữu hạn. Khi N-dimR A > 0, nếu chỉ dùng

Định nghĩa 1.3.1 thì rất khó có thể xác định được N-dimR A. Hơn nữa, với

mỗi R-môđun Artin A và mỗi iđêan q của R thỏa mãn (cid:96)R(0 :A q) < ∞,

A(n) với hệ số hữu tỷ

D. Kirby [14] đã chỉ ra rằng tồn tại một đa thức Θq

A(n) khi n đủ lớn. Đa thức này, theo một nghĩa

sao cho (cid:96)R(0 :A qn+1) = Θq

nào đó, là đối ngẫu với đa thức Hilbert - Samuel của môđun hữu hạn sinh

và được gọi là đa thức Hilbert - Samuel của môđun Artin tương ứng với

q . Trong [25], R. N. Roberts đã đưa ra kết quả quan trọng sau về chiều

N-dimR(A) = deg((cid:96)R(0 :A qn+1))

= inf{t | ∃x1, . . . .xt ∈ m : (cid:96)R(0 :A (x1, . . . , xt)R) < ∞}.

Noether của môđun Artin.

Kết quả này cho phép chúng ta có thể tính toán được chiều Noether, có

thể định nghĩa các khái niệm hệ bội, hệ tham số, phần hệ tham số một

cách tự nhiên và từ đó nghiên cứu số bội của môđun Artin. Kết quả này

cũng cho ta thấy khái niệm chiều Noether trong nhiều khía cạnh có vai

trò quan trọng đối với môđun Artin như vai trò của chiều Krull đối với

môđun hữu hạn sinh.

A và chiều Krull của vành R/ AnnR A.

Kết quả sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa chiều Noether của môđun

Mệnh đề 1.3.2. [8, Mệnh đề 2.5, Hệ quả 2.6] Các phát biểu sau là đúng:

(i) N-dimR(A) = 0 nếu và chỉ nếu dim(R/ AnnR A) = 0. Trong

trường hợp này A có độ dài hữu hạn và R/ AnnR A là vành Artin.

(ii) N-dimR(A) ≤ dim(R/ AnnR A).

N-dimR A < dim(R/ AnnR A). Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiện

Chú ý rằng, theo [8, Ví dụ 4.1], luôn tồn tại R-môđun Artin A sao cho

nào của vành R hoặc của môđun A ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A)?

N-dimR(A) = dim(R/ AnnR A).

Mệnh đề 1.3.3. [8, Hệ quả 2.6] Nếu R đầy đủ thì

Chú ý rằng, A có cấu trúc tự nhiên như (cid:98)R-môđun. Với cấu trúc này,

mối quan hệ giữa chiều Noether của A trên R và (cid:98)R như sau.

N-dimR(A) = dim( (cid:98)R/ Ann

(cid:98)R A) = N-dim

(cid:98)R(A).

Mệnh đề 1.3.4. [8, Nhận xét 2.3, Hệ quả 4.8] Ta có

Định nghĩa 1.3.5. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và q là iđêan của R sao cho (cid:96)R(M/ q M ) < ∞. Khi đó, với n đủ lớn, hàm (cid:96)R(M/ qn+1 M ) theo biến nguyên dương n là một đa thức bậc d với hệ số hữu tỷ và được gọi là

nd + đa thức có bậc nhỏ hơn d

(n) = (cid:96)R(M/ qn+1 M ) =

đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với q và được biểu diễn dưới dạng

e(q, M ) d! khi n đủ lớn, trong đó e(q, M ) là một số nguyên dương và được gọi là số

(cid:88)q M

bội của M ứng với q (xem [5, Mệnh đề 4.5.2]).

Lí thuyết bội có vai trò quan trọng trong nghiên cứu cấu trúc của

môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Công thức sau đây là một

trong những tính chất cơ bản của số bội, được gọi là công thức liên kết

của số bội (Xem [5, Hệ quả 4.6.8]):

e(q, M ) =

(cid:96)Rp(Mp)e(q, R/ p).

p∈SuppR M dim(R/ p)=d

(cid:88) (1)

Với mỗi R-môđun Artin A, theo suy nghĩ đối ngẫu, chúng ta cũng

định nghĩa được số bội thông qua đa thức Hilbert-Samuel của A. Cụ thể,

theo D.Kirby [14], nếu q là iđêan của R sao cho (cid:96)R(0 :A q) < ∞ thì khi n

đủ lớn (cid:96)R(0 :A qn+1) là một đa thức bậc N-dimR(A) với hệ số hữu tỷ. Ta

A(n). Đặt N-dimR(A) = s. Ta có biểu diễn

ns + đa thức có bậc nhỏ hơn s

Θq

A(n) := (cid:96)R(0 :A qn+1) =

e(cid:48)(q, A) s!

ký hiệu đa thức này là Θq

khi n đủ lớn, trong đó e(cid:48)(q, A) là một số nguyên dương, được gọi là số bội

của A ứng với q (xem [3]).

Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày tính chất bão hòa

nguyên tố của môđun Artin. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Với mỗi

AnnR(M/ p M ) = p với mọi p ∈ Var(AnnR M ).

iđêan I của R, ký hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I. Khi đó,

Thật vậy, giả sử p ∈ Var(AnnR(M )). Hiển nhiên, ta có p ⊆ AnnR(M/ p M ).

Mp (cid:54)= p RpMp. Do đó (M/ p M )p (cid:54)= 0. Suy ra

Vì Var(AnnR(M )) = SuppR(M ) nên Mp (cid:54)= 0. Theo Bổ đề Nakayama,

p ∈ SuppR(M/ p M ) = Var(AnnR(M/ p M )).

Vì thế p ⊇ AnnR(M/ p M ).

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là tính chất đối ngẫu sau đây có

đúng cho mọi môđun Artin A không?

AnnR(0 :A p) = p với mọi p ∈ Var(AnnR A)

(*)

Nếu R là đầy đủ tương ứng với tôpô m-adic thì sử dụng đối ngẫu Matlis ta

chứng minh được tính chất (*) thỏa mãn cho mọi R-môđun Artin. Nhắc

lại rằng, ký hiệu E = ER(R/m) là bao nội xạ của môđun R-môđun R/m

và D là hàm tử khớp, phản biến, tuyến tính HomR(•, E) từ phạm trù

R-môđun N . Vì R là đầy đủ nên theo đối ngẫu Matlis, D(A) là R-môđun

các R-môđun C(R) vào chính nó. D(N ) được gọi là đối ngẫu Matlis của

AnnR(0 :A p) = AnnR(D(0 :A p))

= AnnR(D(A)/ p D(A)) = p .

hữu hạn sinh. Kéo theo

Tuy nhiên, tồn tại các môđun Artin không thỏa mãn tính chất (*). Chẳng

m(R) không thỏa mãn tính chất

hạn, theo [8, Ví dụ 4.4], R-môđun Artin H 1

(*) nếu R là miền nguyên Noether địa phương chiều 2 được xây dựng bởi

M. Ferrand và D. Raynaud (Xem [19, App. Ex. 2]) sao cho vành đầy đủ

m-adic (cid:98)R có iđêan nguyên tố liên kết q chiều 1. Từ đây ta có định nghĩa

sau [19, Định nghĩa 4.3].

Định nghĩa 1.3.6. Một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A.

Rõ ràng AnnR(0 :A p) ⊇ p . Do đó A thỏa mãn tính bão hòa nguyên

tố khi và chỉ khi AnnR(0 :A p) là bé nhất có thể, với mỗi iđêan nguyên tố

p ⊇ AnnR A. Những môđun Artin thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố có

những tính chất khá đẹp về cấu trúc. Chẳng hạn chiều của môđun Artin

có tính bão hòa nguyên tố được thể hiện rõ trong các Bổ đề và Định lý

sau.

Bổ đề 1.3.7. (Xem [8, Nhận xét 2.3, Hệ quả 4.8]) Cho R-môđun Artin A.

N-dimR(A) = N-dim

(cid:98)R(A) = dim( (cid:98)R/ Ann = max{dim( (cid:98)R/P) : P ∈ Att

(cid:98)R(A)) (cid:98)R(A)}.

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin

Khi đó, N-dimR(A) ≤ dim(R/ AnnR A) và đẳng thức xảy ra nếu A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Hơn nữa, ta có

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu vào những năm

1960 và nhanh chóng phát triển, trở thành công cụ không thể thiếu trong

nhiễu lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại

số,... Khoảng những năm 1970, I. G. Macdonald và R. Y. Sharp đã phát

hiện ra các lớp môđun đối đồng địa phương Artin và sử dụng lý thuyết

biểu diễn thứ cấp để nghiên cứu các môđun này. Trong tiết này sẽ nhắc

lại một số khái niệm và tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.

Định nghĩa 1.4.1. Cho I là iđêan của R. Với mỗi R-môđun M, đặt

(0 :M I n).

ΓI(M ) =

n≥0 Nếu f : M → N là đồng cấu các R-môđun thì f (ΓI(M )) ⊆ ΓI(N ). Do đó ta có đồng cấu

ΓI(f )

: ΓI(M ) −→ ΓI(N )

x (cid:55)−→ f (x)

(cid:91)

Khi đó ΓI(•) là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù các R-môđun và được gọi là hàm tử I-xoắn.

i của hàm tử I-xoắn được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với I và kí hiệu bởi H i I(M ) được gọi là

I(•). Với mỗi R-môđun M, H i

Định nghĩa 1.4.2. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, hàm tử dẫn xuất phải thứ

môđun đối đồng điều địa phương thứ i ứng với giá I.

Chú ý rằng nếu f : R → R(cid:48) là một đồng cấu vành và N là R(cid:48)-môđun

thì N cũng là R-môđun cảm sinh bởi f với phép nhân vô hướng được định

nghĩa bởi rn := f (r)n, trong đó r ∈ R, n ∈ N. Với phép nhân vô hướng

IR(cid:48)(N ) và H i

I(N ), trong đó IR(cid:48) là iđêan của R(cid:48) sinh bởi f (I). Khi đó việc tính môđun đối đồng điều địa

này, ta luôn xác định được các R-môđun H i

phương thứ i của N trên R và trên R(cid:48) là như nhau. Tính chất này được

gọi là tính độc lập với vành cơ sở.

I(N ) các R-môđun.

IR(cid:48)(N ) ∼= H i

Định lý 1.4.3. [2, Định lý 4.2.1] Cho f : R → R(cid:48) là một đồng cấu vành, N là R(cid:48)-môđun và I là một iđêan của R. Khi đó với mọi i ≥ 0 ta có đẳng cấu H i

Khi f : R → R(cid:48) là đồng cấu phẳng, ta có tính chất cơ bản của

môđun đối đồng điều địa phương.

H i

IR(cid:48)(M ⊗R R(cid:48)).

I(M ) ⊗R R(cid:48) ∼= H i

Định lý 1.4.4. Giả sử đồng cấu vành R → R(cid:48) là đồng cấu phẳng, I là iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó, với mọi i ≥ 0 ta có R(cid:48)-đẳng cấu

Một trong những tính chất quan trọng có nhiều ứng dụng là tính

triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (Xem [8, 6.1.2,6.1.4].)

Định lý 1.4.5. (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của A. Grothendieck)

m(M ) = 0 với mọi i > dim(M ).

m(M ) (cid:54)= 0.

Các khẳng định sau là tương đương:

I(M ) (cid:54)= 0}.

(i) H i (ii) Nếu M (cid:54)= 0 thì H d (iii) Nếu M (cid:54)= 0 thì depth(I, M ) = min{i | H i

Trong trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá là iđêan

tùy ý, Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne cho ta tính triệt tiêu của

môđun đối đồng điều của vành tại cấp cao nhất với giá tùy ý.

Định lý 1.4.6. Giả sử dim(R) = n và I là một iđêan của R. Các mệnh

(i) H n đề sau là tương đương: I (R) = 0;

(ii) Với mỗi iđêan nguyên tố P của (cid:98)R thỏa mãn dim( (cid:98)R/P) = n ta

có dim( (cid:98)R/(I (cid:98)R + P)) > 0.

Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn

sinh nhìn chung không hữu hạn sinh và cũng không Artin (xem [8, Hệ quả

7.3.3]). Vì thế, hai kết quả sau về tính Artin của môđun đối đồng điều địa

phương chứng minh bởi I. G. Macdonald và R. Y. Sharp rất được quan

tâm.

Định lý 1.4.7. Các phát biểu sau luôn đúng:

m(M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0; I (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R.

(i) H i (ii) H d

Tiếp theo là một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của các

môđun đối đồng điều địa phương Artin. Trước hết là tập các iđêan nguyên

tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại được cho

bởi công thức sau.

m(M ) (cid:54)= 0 và

AttR(H d

m(M )) = {p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d}.

Định lý 1.4.8. [16, Định lý 2.2] Cho M là R-môđun hữu hạn sinh khác không với dim(M ) = d. Khi đó H d

Định lý sau đây được chứng minh bởi R. Y. Sharp [27, Định lý 4.8]

(Mp)). Khi đó q ∈ AttR(H i+t

và được gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu.

m (M )).

p Rp

Định lý 1.4.9. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, p ∈ SuppR(M ) sao cho dim(R/ p) = t. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tố với q ⊆ p sao cho q Rp ∈ AttRp(H i

Gần đây, L. T. Nhàn và P. H. Quý đã mở rộng kết quả trên cho

trường hợp vành thương của vành Cohen-Macaulay địa phương.

i ≥ 0. Giả sử R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Khi đó

m(M )), q ⊆ p};

p Rp m(M )) = (cid:83)

p∈AttR(H i

(Mp)) = {q Rp | q ∈ AttR(H i (cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R). m(M )) Ass

Mệnh đề 1.4.10. [23, Mệnh đề 2.7] Giả sử p ∈ Spec(R). Cho số nguyên

(i) AttRp(H i−dim(R/ p) (cid:98)R(H i (ii) Att

H d

I (M ) trên vành (cid:98)R.

Mệnh đề sau cho ta mô tả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun

Mệnh đề 1.4.11. (Xem [11, Hệ quả 4.9]) Cho I là iđêan thực sự của R.

Khi đó

Att

(M )) =

I (cid:98)R + P = m (cid:98)R

(cid:98)R(H d

(cid:98)R (cid:99)M | dim( (cid:98)R/P) = d,

(cid:27) (cid:26) (cid:113) P ∈ Ass

Theo Định lý 1.4.7, các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực

m(M ) là Artin với mọi số nguyên i. Vì thế chiều của các môđun này

đại H i

cũng luôn xác định và có tính chất đã nêu. Hơn nữa, chiều của các môđun

m(M ) còn có mối liên hệ với

đối đồng điều địa phương với giá cực đại H i

cấp của môđun này.

Định lý 1.4.12. (Xem[8, Định lý 3.1, Hệ quả 3.6])

m(M )) ≤ i. m(M )) = dim(R/ AnnR(H d

m(M ))) = d.

(i) N-dimR(H i (ii) N-dimR(H d

Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa tính bão hòa nguyên tố của

môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại và tính

catenary của vành cơ sở.

Định lý 1.4.13. (Xem [7]) Các mệnh đề sau là tương đương: m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

m(M )) là catenary.

(i) H d (ii) Vành R/ AnnR(H d

Chương 2

Môđun đối đồng điều địa phương

Artin trong trường hợp thương của

vành Cohen-Macaulay

Chương 2 dành để trình bày các kết quả gần đây về tập iđêan nguyên

tố gắn kết và số bội của môđun đối đồng điều địa phương trong trường

hợp thương của vành Cohen-Macaulay và khi chuyển qua đồng cấu phẳng.

2.1 Trường hợp thương của vành Gorenstein địa phương

Các kết quả này được trình bày trong các bài báo [3], [24].

Trong suốt mục này, ta luôn giả sử R là ảnh đồng cấu của vành

Gorenstein địa phương (R(cid:48), m(cid:48)) chiều n(cid:48) qua toàn cấu vành f : R(cid:48) → R.

Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu R có

chiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải nội xạ trong đó chỉ có hữu hạn

môđun nội xạ khác 0.

Khi R là thương của vành Gorenstein, Định lý đối ngẫu địa phương

là một công cụ hữu hiệu để ta nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương

R/m và D là hàm tử đối ngẫu Matlis HomR(•, E). Với mỗi số nguyên i,

với giá cực đại. Ký hiệu E là bao nội xạ ER(R/m) của trường thặng dư

M . Định lý đối ngẫu địa phương được phát

R(cid:48) (M, R(cid:48)) là K i

ta ký hiệu Extn(cid:48)−i

R(cid:48)(M, R(cid:48)) là R-môđun hữu hạn

biểu như sau.

H i

m(M ) ∼= HomR(K i

M , E) = D(K i

M ) với mọi i ≥ 0.

Định lý 2.1.1. (Xem [27, Hệ quả 3.5]) Exti sinh và ta có R-đẳng cấu

Công cụ chủ yếu được sử dụng để chứng minh kết quả chính của tiết

này là khái niệm giả giá và giả chiều thứ i của M . Khái niệm này được

định nghĩa như sau.

R(M ), được cho bởi công

Định nghĩa 2.1.2. Cho i (cid:54)= 0 là một số nguyên. (i) Giả giá thứ i của M , ký hiệu là Psuppi

Psuppi

(Mp) (cid:54)= 0

R(M ) =

p Rp

thức (cid:111) (cid:110) p ∈ Spec(R) | H i−dim(R/ p)

(ii) Giả chiều thứ i của M , ký hiệu là psdi(M ), được cho bởi công

psdi(M ) = sup

dim(R/ p) : p ∈ Psuppi

R(M )

thức (cid:110) (cid:111)

Nhắc lại rằng, nếu q là một iđêan m-nguyên sơ thì đa thức Hilbert-

M ∈ Q[X] có bậc là dim(M ), sao

Samuel của M ứng với q là đa thức (cid:80)q

(n) = (cid:96)R(M/ qn+1 M ) với mọi n (cid:29) 0.

cho

(cid:88)q M

Mệnh đề sau cho ta kết quả về số bội của môđun đối đồng điều địa phương

với giá cực đại.

Mệnh đề 2.1.3. Cho i là một số nguyên không âm. Các phát biểu sau là

K i M

m(M ) = (cid:80)q (i) Θq . H i m(M ) (cid:54)= 0 khi và chỉ khi K i (ii) H i

M (cid:54)= 0, và trong trường hợp này

e(cid:48)(q, H i

m(M )) = e(q, K i

M ).

đúng.

R(M ) = Supp(K i

R(M ) là tập con

M ), và vì vậy Psuppi

(iii) Psuppi

Psuppi

(Mp) có

đóng của Spec(R) đối với tôpô Zariski.

M ) khi và chỉ khi Rp-môđun H i−dim(R/ p)

p Rp

(iv) Mỗi iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) là thành phần tối tiểu của R(M ) = Supp(K i

độ dài khác không và hữu hạn. Hơn nữa, trong trường hợp này

(Mp)) = (cid:96)Rp

M )p

(cid:96)Rp(H i−dim(R/ p) p Rp

(cid:17) (cid:16) (K i

m(M ) (cid:54)= 0 thì (cid:88)

(v) Nếu H i

e(cid:48)(q, H i

(Mp))e(q, R/ p).

m(M )) =

(cid:96)Rp(H i−dim(R/ p) p Rp

p∈Psuppi

R(M )

dim(R/ p)=psdi(M )

(2)

Chứng minh.

m(M ) ∼= D(K i

M ). Vì thế, sử dụng đối

(i) Theo Định lý 2.1.1, ta có H i

K i

0 :H i

0 :D(K i

M / qn+1 K i M

M ) qn+1 (cid:17) ∼= D

(cid:16) (cid:16) (cid:16) (cid:17) ngẫu Matlis ta có các đẳng cấu sau m(M ) qn+1 (cid:17) ∼=

với mỗi n ∈ N. Tiếp tục áp dụng tính chất của đối ngẫu Matlis ta có

(cid:96)

= (cid:96)

K i

0 :H i

M / qn+1 K i M

(cid:16) (cid:16) (cid:17)

m(M ) qn+1 (cid:17) m(M ) = (cid:80)q Điều này dẫn đến Θq H i (cid:17) = (cid:96)(K i M )

. K i M M ) nên H i

m(M ) (cid:54)= 0 khi và chỉ khi K i D(K i M (cid:54)= 0. Ký hiệu d là bậc của đa thức (cid:80)q và ad là hệ số cao nhất của đa thức K i M này. Theo chứng minh ở phần (i), trong trường hợp này ta cũng có d là bậc của Θq m(M ). Suy ra H i

e(cid:48)(q, H i

m(M )) = ad.d! = e(q, K i

M ).

(cid:16) (ii) Vì (cid:96)

(iii) Cho p ∈ Spec(R) và đặt t = dim(R/ p). Giả sử R(cid:48) là vành Gorenstein địa phương có chiều n(cid:48) và f : R(cid:48) → R là toàn cấu vành. Ký hiệu p(cid:48) = f −1(p). Khi đó R(cid:48) p(cid:48) là vành Gorenstein địa phương và dim(R(cid:48)/ p(cid:48)) = t. Do R(cid:48) là vành Gorenstein địa phương nên R(cid:48) là vành Cohen-Macaulay địa

dim(R(cid:48)

p(cid:48)) = dim(R(cid:48)) − dim(R(cid:48)/ p(cid:48)) = n(cid:48) − t.

phương. Theo [17, Trang 31], ta có

p(cid:48) → Rp là toàn cấu vành cảm sinh từ toàn cấu f sao cho p(cid:48) là vành

Extn(cid:48)−i

= (K i

(Mp, R(cid:48)

M )p.

Gọi f (cid:48) : R(cid:48) f (r(cid:48)/s(cid:48)) = f (r(cid:48))/f (s(cid:48)) với mọi r(cid:48) ∈ R(cid:48), s(cid:48) ∈ R(cid:48) \ p(cid:48). Chú ý rằng R(cid:48)

(cid:17) R(cid:48) (M, R(cid:48)) Gorenstein và ta có Rp-đẳng cấu (cid:16) p(cid:48)) ∼= Extn(cid:48)−i R(cid:48) p(cid:48)

Vì thế, theo Định lý 2.1.1 và lập luận trên ta có các đẳng cấu như Rp- môđun

p(cid:48) )−(i−t)

Ext

(Mp, R(cid:48)

(Mp) ∼= HomRp

H i−t p Rp

(cid:16)

(Mp, R(cid:48)

dim(R(cid:48) R(cid:48) p(cid:48) Extn(cid:48)−i R(cid:48) p(cid:48)

(cid:16)

(K i

= HomRp ∼= HomRp

(cid:16) (cid:17) p(cid:48)), ERp(Rp/ p Rp) (cid:17) p(cid:48)), ERp(Rp/ p Rp) (cid:17) M )p, ERp(Rp/ p Rp)

(Mp) = 0. Giả sử (K i

(K i

Nếu (K i (cid:16)

M )p (cid:54)= 0. Chú ý rằng (cid:54)= 0, và do đó M )p (cid:54)= 0. Do M )) nên

M ) = Var(AnnR(K i

M )p = 0 thì H i−t p Rp ERp(Rp/ p Rp) (cid:54)= 0 nên HomRp (Mp) (cid:54)= 0. Suy ra H i−t H i−t p Rp p Rp đó Psuppi M ). Vì Supp(K i R(M ) = Supp(K i Psuppi

R(M ) là một tập đóng của Spec(R) đối với tôpô Zariski. (iv) Với mỗi p ∈ Spec(R), p là iđêan nguyên tố tối tiểu của Psuppi

R(M )

M ), nghĩa là nếu và chỉ M )p là khác không và có độ dài hữu hạn. Vì đối ngẫu (Mp) nên theo đối ngẫu (Mp) là hữu hạn và ta

(cid:17) M )p, ERp(Rp/ p Rp) (Mp) (cid:54)= 0 khi và chỉ khi (K i

nếu và chỉ nếu p là phần tử tối tiểu của Supp(K i nếu Rp-môđun (K i M )p trên vành Rp đẳng cấu với H i−t Matlis của (K i p Rp Matlis, điều này tương đương với độ dài của H i−t p Rp

H i−dim(R/ p)

(K i

(Mp)

= (cid:96)Rp

M )p

p Rp

(cid:96)Rp (v) Giả sử H i

m(M ) (cid:54)= 0. Thay các kết quả ở trên vào công thức (1)

có (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)

e(cid:48)(q, H i

m(M )) = e(q, K i

ta có

M ) (cid:88)

e(q, R/ p)

(K i

(cid:96)Rp

M )p

M )

(cid:17) (cid:16)

p∈Supp(K i dim(R/ p)=dim(K i (cid:88)

H i−dim(R/ p)

e(q, R/ p).

(Mp)

(cid:96)Rp

p Rp

p∈Psuppi

R(M )

dim(R/ p)=psdi(M )

(cid:16) (cid:17)

2.2 Trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay

Mục tiêu của phần này là chỉ ra công thức (2) cũng đúng cho trường

hợp khi R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R là

Cohen-Macaulay. Chú ý rằng trong [13, Hệ quả 1.2], Kawasaki đã chứng

minh được R là thương của vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi R là

catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Trước hết ta

có bổ đề quan trọng sau. Nhắc lại rằng, một tập con của Spec(R) được

gọi là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa nếu với hai iđêan nguyên tố bất kì

p, q của R thỏa mãn p ⊆ q và p ∈ T ta luôn có q ∈ T.

R(M ) là đóng với phép đặc biệt hóa.

R(M ). Khi đó

Bổ đề 2.2.1. [3, Bổ đề 2.2] Giả sử R là vành catenary và i là số nguyên không âm. Khi đó, Psuppi

(Mp) (cid:54)= 0. Chú ý rằng ta luôn có Rp-đẳng cấu

p Rp

∼= (Rq)p Rq.

(Mp) (cid:54)= 0 nên theo Mệnh đề 1.2.3(i), ta có

p Rp (cid:17)

Chứng minh. Cho p, q ∈ Spec(R) với p ⊆ q và p ∈ Psuppi H i−dim(R/ p)

H i−dim(R/ p)

(Mp)

(cid:54)= ∅. Vì dim(Rq/ p Rq) = ht q / p nên theo Định

p Rp

(cid:16)

Vì Rp-môđun Artin H i−dim(R/ p) AttRp lý 1.4.9, suy ra

H i−dim(R/ p)+ht q / p

(cid:54)= ∅.

(Mq)

AttRq

q Rq

(cid:16) (cid:17)

(Mq) (cid:54)= 0. Vì R là vành catenary nên

q Rq

dim(R/ p) − ht q / p = dim(R/ q).

(Mq) (cid:54)= 0. Do đó q ∈ Psuppi

R(M ).

Do đó H i−dim(R/ p)+ht q / p

Suy ra H i−dim(R/ q) q Rq

Bổ đề 2.2.2. [3, Định lý 2.1] Cho h : (R, m) → (B, n) là đồng cấu

phẳng địa phương giữa các vành địa phương sao cho B/mB là vành Cohen-

Macaulay có chiều d. Khi đó, với mỗi R-môđun N, và mỗi số nguyên j ta

H j

N ⊗R B

m(N ) ⊗R B

H d+j n (cid:17)

có (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) ∼= H d

(cid:54)= 0 khi và chỉ khi H j

m(N ) (cid:54)= 0.

N ⊗R B

(cid:16) và H d+j n

Với mỗi p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec( (cid:98)R) sao cho P ∩ R = p, đồng cấu

tự nhiên R → (cid:98)R cảm sinh ra đồng cấu địa phương h(cid:48) : Rp → (cid:98)RP. Khi đó vành thớ (cid:98)RP ⊗ (Rp/ p Rp) ∼= (cid:98)RP/ p (cid:98)RP của đồng cấu h(cid:48) trên iđêan cực đại

(M ⊗R (cid:98)R) khi và chỉ khi p ∈ Psuppi

R(M ).

p Rp của Rp được gọi là thớ hình thức của R ứng với p và P.

Mệnh đề 2.2.3. [3, Mệnh đề 2.3] Cho i ∈ Z với i ≥ 0, p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec( (cid:98)R) sao cho P ∩ R = p . Giả sử h(cid:48) : Rp → (cid:98)RP là đồng cấu phẳng địa phương cảm sinh từ đơn cấu R → (cid:98)R. Giả sử rằng R là catenary phổ dụng với các thớ hình thức (cid:98)RP/ p (cid:98)RP là Cohen-Macaulay. Khi đó P ∈ Psuppi (cid:98)R

Chứng minh. Theo [29, Bổ đề 8.1], ta có

dim

= dim( (cid:98)RP) − dim(Rp) = ht P − ht p .

(cid:16) (cid:17) (cid:98)RP/ p (cid:98)RP

(Mp) (cid:54)= 0 khi và chỉ khi

p Rp

Chú ý rằng, theo Định lý 2.2.2, H i−dim(R/ p)

H i−dim(R/ p)+ht P−ht p

(cid:54)= 0.

Mp ⊗Rp (cid:98)RP

P (cid:98)RP

(cid:16) (cid:17)

∼= M ⊗R (Rp ⊗Rp (cid:98)RP)

Mp ⊗Rp (cid:98)RP

∼= (M ⊗R Rp) ⊗Rp (cid:98)RP ∼= M ⊗R (cid:98)RP ∼= (M ⊗R (cid:98)R) ⊗

∼= M ⊗R ( (cid:98)R ⊗ ∼= (cid:99)M ⊗

∼= (cid:99)MP.

(cid:98)R (cid:98)RP

(cid:98)R (cid:98)RP) (cid:98)R (cid:98)RP

Hơn nữa, ta luôn có các đẳng cấu giữa các (cid:98)RP-môđun

Vì R là catenary phổ dụng nên theo Định lý Ratliff [17, Định lý 31.7] ta

i − dim(R/ p) + ht P − ht p = i − dim( (cid:98)R/P).

có đẳng thức dim(R/ p) + ht p = dim( (cid:98)R/P) + ht P. Do đó

(M ⊗R (cid:98)R).

(M ⊗R (cid:98)R)P. Vậy P ∈ Psuppi (cid:98)R

P (cid:98)RP

Suy ra H i−dim( (cid:98)R/P)

Định lý 2.2.4. [3, Định lý 2.4] Giả sử vành địa phương R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay. Cho i ∈ Z với i ≥ 0 và q là iđêan m-nguyên sơ của R.

R(M );

(M ⊗R (cid:98)R);

(i) Giả sử p ∈ Spec(R) và P là iđêan nguyên tố tối tiểu của p (cid:98)R.

H i−dim(R/ p)

(Mp)

p Rp

(cid:16) (cid:17) là khác không và hữu hạn. Khi đó, những khẳng định sau là tương đương: (a) p là phần tử tối tiểu của Psuppi (b) P là phần tử tối tiểu của Psuppi (cid:98)R (c) (cid:96)Rp

Hơn nữa, khi những điều kiện này được thỏa mãn, ta có

H i−dim( (cid:98)R/P)

H i−dim(R/ p)

(Mp)

((M ⊗R (cid:98)R)P)

= (cid:96)Rp

p Rp

(cid:96) (cid:98)RP

P (cid:98)RP

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:96) (cid:98)RP/ p (cid:98)RP

R(M ) của Spec(R) là đóng và chiều của nó

psdi(M ) bằng chiều của R-môđun Artin H i

m(M ).

(ii) Tập con Psuppi

m(M ) (cid:54)= 0. Khi đó số bội e(cid:48)(q, H i

m(M )) của môđun

(iii) Giả sử rằng H i

Artin H i

m(M ) tương ứng với q thỏa mãn (cid:16)

e(q, R/ p).

H i−dim(R/ p)

e(cid:48)(q, H i

(Mp)

(cid:96)Rp

m(M )) =

p Rp

p∈Psuppi

R(M )

dim(R/ p)=psdi(M )

R(M ) khi và chỉ

(M ⊗R (cid:98)R) theo Định lý 2.2.3.

(cid:17) (cid:88)

Chứng minh. (i) Chú ý rằng P ∩ R = p, vì vậy p ∈ Psuppi khi P ∈ Psuppi (cid:98)R

R(M ), Q ∈ Psuppi (cid:98)R

(M ⊗R (cid:98)R) và Q ⊂ P. Khi đó Q ∩ R ∈ Psuppi R(M ) theo Định lý 2.2.3. Hơn nữa, Q ∩ R ⊆ P ∩ R = p . Nếu Q ∩ R = p thì p (cid:98)R ⊆ Q trái với giả thiết P là phần tử tối tiểu của p (cid:98)R. Vì thế Q ∩ R ⊂ p . Điều này mâu thuẫn với tính chất tối tiểu của p. Do đó P là phần tử tối tiểu của Psuppi (cid:98)R Ngược lại, giả sử P là phần tử tối tiểu của Psuppi (cid:98)R

(M ⊗R (cid:98)R). (M ⊗R (cid:98)R) và tồn tại q ∈ Psuppi R(M ) với q ⊂ p . Vì đồng cấu cảm sinh R → (cid:98)R là hoàn toàn phẳng nên tồn tại Q ∈ Spec( (cid:98)R) sao cho Q ⊆ P và Q ∩ R = q . Hơn nữa, q ⊂ p nên ta có Q ⊂ P. Mặt khác, Q ∈ Psuppi (M ⊗R (cid:98)R) theo Định lý (cid:98)R 2.2.3. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với tính chất tối tiểu của P. Do đó p là phần tử tối tiểu của Psuppi

R(M ).

Giả sử p là phần tử tối tiểu của Psuppi

H i−dim( (cid:98)R/P)

(M ⊗R (cid:98)R) khi và chỉ khi (cid:96)

((M ⊗R (cid:98)R)P)

(cid:98)RP

(cid:16)

P (cid:98)RP

Mặt khác, theo [17, Định lý 29.4(ii)], ta có (cid:98)R là ảnh đồng cấu của một vành chính quy địa phương, do đó (cid:98)R là ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein địa phương. Vì thế, theo Mệnh đề 2.1.3(iv), ta có P là phần tử (cid:17) tối tiểu của Psuppi (cid:98)R

là khác không và hữu hạn. Hơn nữa, P là phần tử tối tiểu của p (cid:98)R nên theo [17, Định lý 31.7], dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p) và

AnnR( (cid:98)R/ p (cid:98)R)P =

AnnR (cid:98)RP/(p (cid:98)R)P

(cid:113) (cid:113) P (cid:98)RP =

(p (cid:98)R)P =

(cid:113) (cid:113) p Rp (cid:98)RP

H i−dim( (cid:98)R/P)

((M ⊗R (cid:98)R)P) ∼= H i−dim( (cid:98)R/P)

(Mp ⊗Rp (cid:98)RP)

P (cid:98)RP

(Mp ⊗Rp (cid:98)RP)

(Mp) ⊗Rp (cid:98)RP.

P (cid:98)RP ∼= H i−dim( (cid:98)R/P) p Rp (cid:98)RP ∼= H i−dim( (cid:98)R/p) p Rp

Do đó theo Định lý 1.4.4 cho đối đồng điều địa phương, ta có (cid:98)RP-đẳng cấu

H i−dim( (cid:98)R/P)

((M ⊗R (cid:98)R)P)

(cid:16) (cid:17) Vì h(cid:48) là đồng cấu hoàn toàn phẳng và (cid:96)( (cid:98)RP/ p Rp (cid:98)RP) là hữu hạn trên (cid:98)RP nên theo [5, 1.2.25], (cid:96) là khác không và hữu

(cid:98)RP P (cid:98)RP (cid:16) H i−dim( (cid:98)R/p)

(Mp)

p Rp

(cid:17) là khác không và hữu hạn và

hạn khi và chỉ khi (cid:96)Rp trong trường hợp này

(cid:96)

H i−dim( (cid:98)R/P)

H i−dim( (cid:98)R/p)

(Mp)

( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP).

((M ⊗R (cid:98)R)P)

= (cid:96)Rp

p Rp

(cid:98)RP

(cid:96) (cid:98)RP

P (cid:98)RP (ii) Theo Bổ đề 2.2.1, Psuppi R(M ) là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa. Vì thế, để chứng minh Psuppi R(M ) đóng đối với tôpô Zariski ta chỉ cần chứng minh tập này có hữu hạn các phần tử tối tiểu. Lấy p là một phần tử tối tiểu của Psuppi R(M ). Giả sử P là iđêan nguyên tố tối tiểu của p (cid:98)R. (cid:92)(R/ p) nên P ∩ R ∈ Ass(R/ p). Khi đó, P ∈ Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R). Vì (cid:98)R/ p (cid:98)R ∼= Do Ass(R/ p) = {p} nên P ∩ R = p . Theo phần (i), P là một phần tử tối tiểu của Psuppi (M ⊗R (cid:98)R). Chú ý rằng, (cid:98)R là ảnh đồng cấu của một vành (cid:98)R chính quy địa phương, theo [17, Định lý 29.4], do đó (cid:98)R cũng là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein. Theo Mệnh đề 2.1.3(iii), ta có Psuppi (M ⊗R (cid:98)R) (cid:98)R

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)

là tập con đóng của Spec( (cid:98)R), vì thế nó chỉ có hữu hạn phần tử tối tiểu. Vậy Psuppi R(M ) có hữu hạn phần tử tối tiểu theo khẳng định (i) ở trên.

Áp dụng Mệnh đề 2.2.3 và Mệnh đề 2.1.3 ta có

psdi

R(M ) = psdi

(cid:98)R

(cid:98)R(M ⊗R (cid:98)R) = dim

M ⊗R (cid:98)R

(cid:17) (cid:16) K i

m(M ) có cấu trúc tự nhiên như (cid:98)R-môđun nên theo Định lý 1.4.4, ta

Do H i

H i

(M ⊗R (cid:98)R),

m(M ) ∼= H i

. Suy ra

m(M ) ⊗R (cid:98)R ∼= H i m (cid:98)R với m (cid:98)R là iđêan tối đại của (cid:98)R. Theo Mệnh đề 2.1.3(i), ta đã chứng minh được Θq H i

= (cid:80)q (cid:98)R K i

m(M ) = Θq (cid:98)R

H i

(M ⊗R (cid:98)R)

M ⊗R (cid:98)R

m (cid:98)R

N-dim

(cid:98)R(H i

m(M )) = N-dim (cid:16)

(M ⊗R (cid:98)R)) (cid:17)

= deg

(M ⊗R (cid:98)R)

m (cid:98)R

có

= deg

(cid:98)R(H i m (cid:98)R Θq (cid:98)R H i (cid:16)(cid:88)q (cid:98)R K i

M ⊗R (cid:98)R

(cid:17)

= dim

K i

(cid:98)R

M ⊗R (cid:98)R

(cid:16) (cid:17)

m(M )) = psdi(M ).

Vì vậy N-dimR(H i

n ∈ Z với n > 0, ta có

(iii) Giả sử N là một R-môđun hữu hạn sinh bất kỳ. Khi đó, với mọi

= (cid:96)

(cid:96)R(N/ qn N ) = (cid:96)

(N/ qn N ) ⊗R (cid:98)R

(cid:98)R

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (N ⊗R (cid:98)R)/(q (cid:98)R)n(N ⊗R (cid:98)R)

Kéo theo e(q, N ) = e(q (cid:98)R, N ⊗R (cid:98)R). Vì vậy e(q, R/ p) = e(q (cid:98)R, (cid:98)R/ p (cid:98)R) với mọi p ∈ Spec(R). Áp dụng công thức liên kết của số bội, ta suy ra

(cid:96)

e(q (cid:98)R, (cid:98)R/ p (cid:98)R) =

( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)

(cid:98)RP

P∈Supp

(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R)

dim( (cid:98)R/P)=dim(R/ p) (cid:88)

(cid:96)

( (cid:98)R/ p (cid:98)R)Pe(q (cid:98)R, (cid:98)R/P).

(cid:98)RP

P∈Supp

(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R)

dim( (cid:98)R/P)=dim(R/ p)

. Vì thế

(cid:88)

m(M ) = Θq (cid:98)R

H i

(M ⊗R (cid:98)R)

m (cid:98)R

Chú ý rằng Θq H i

e(cid:48)(q, H i

(M ⊗R (cid:98)R)

m(M )) = e(cid:48)(cid:16)

m (cid:98)R

(cid:17) q (cid:98)R, H i

Đặt s := psdi(M ). Khi đó, theo chứng minh ở phần (ii), ta cũng có s = psdi (cid:98)R(M ⊗R (cid:98)R). Áp dụng Định lý Cấu trúc của Cohen ([17, Định lý 29.4]ii), và Mệnh đề 2.1.3(v) ta được

e(cid:48)(cid:16)

(M ⊗R (cid:98)R)

m (cid:98)R (cid:88)

(cid:96)

((M ⊗R (cid:98)R)P))e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P).

(cid:98)RP

(H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP

P∈Psuppi

(cid:98)R(M ⊗R (cid:98)R)

dim( (cid:98)R/P)=s

(cid:17) q (cid:98)R, H i

R(M ) sao cho dim(R/ p) = s, ta có

Áp dụng phần 2.2.4(i), Mệnh đề 2.2.3 và các kết quả chứng minh ở trên, suy ra với mỗi p ∈ Psuppi

(cid:96)

((M ⊗R (cid:98)R)P))e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)

(cid:98)RP

(H i−s P (cid:98)RP

P∈Psuppi

(cid:98)R(M ⊗R (cid:98)R) dim( (cid:98)R/P)=s,P∩R=p

(cid:88)

(Mp))(cid:96)

( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)

(cid:96)Rp(H i−s p Rp

(cid:98)RP

P∈Psuppi

(cid:98)R(M ⊗R (cid:98)R) dim( (cid:98)R/P)=s,P∩R=p

(cid:88)

(Mp))

( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)

= (cid:96)Rp(H i−s p Rp

(cid:96) (cid:98)RP

P∈Psuppi

(cid:98)R(M ⊗R (cid:98)R) dim( (cid:98)R/P)=s,P∩R=p

(Mp))e(q, R/ p),

= (cid:96)Rp(H i−s p Rp

(Mp))e(q (cid:98)R, (cid:98)R/ p (cid:98)R) = (cid:96)Rp(H i−s p Rp

(cid:88)

Do đó,

e(cid:48)(q, H i

H i−dim(R/ p)

e(q, R/ p).

(Mp)

(cid:96)Rp

m(M )) =

p Rp

p∈Psuppi(M ) dim(R/ p)=psdi(M )

2.3 Chuyển qua đồng cấu phẳng

(cid:16) (cid:17) (cid:88)

Mục tiêu chính của tiết này là trình bày mối liên hệ giữa tập iđêan

( (cid:99)MP).

p Rp

(Mp) và H i+rP P (cid:98)RP

nguyên tố gắn kết và số bội của H i

rP := dim( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP).

( (cid:99)MP) theo Định

(Mp) ⊗Rp (cid:98)RP

Ký hiệu 2.3.1. [24, Ký hiệu 3.1] Với mỗi P ∈ Spec( (cid:98)R) sao cho p = P∩R, ta ký hiệu

∼= H i+rP p Rp P (cid:98)RP (Mp) (cid:54)= 0. Khi đó, ta có

p Rp

Chú ý rằng, nếu rP = 0 thì H i lý 1.4.4. Giả sử rP > 0 và H i

dim

Supp

(H i

= rP > 0.

(Mp) ⊗Rp (cid:98)RP)

p Rp

(cid:98)RP

(cid:16) (cid:17)

(Mp) ⊗Rp (cid:98)RP không là (cid:98)RP-môđun Artin. Do đó trong trường ( (cid:99)MP). Tuy nhiên, ta có đẳng cấu sau.

p Rp

(Mp) ⊗ (cid:98)RP (cid:54)∼= H i+rP P (cid:98)RP

Vì thế H i p Rp hợp này, H i

H rP

(Mp) ⊗ (cid:98)RP) nếu i ≥ rP

Bổ đề 2.3.2. Cho P ∈ Spec( (cid:98)R) với p = P ∩ R. Nếu R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương thì

(H i−rP p Rp

P (cid:98)RP

H i

( (cid:99)MP) ∼=

P (cid:98)RP

 

nếu i < rP.  0

(Mp) (cid:54)= 0 với mọi i ≥ rP.

( (cid:99)MP) (cid:54)= 0 khi và chỉ khi H i−rP p Rp

P (cid:98)RP

Hơn nữa, H i

Chứng minh. Do R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương nên

depth( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP) = rP.

thớ hình thức (cid:98)RP/ p (cid:98)RP là Cohen-Macaulay. Vì thế

depth

( (cid:99)MP) = depth

(Mp ⊗Rp (cid:98)RP)

(cid:98)RP

= depthRp(Mp) + depth( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP) ≥ rP.

Chú ý rằng, ánh xạ Rp → (cid:98)RP là phẳng hoàn toàn. Theo [5, Mệnh đề 1.2.16](a) ta có

( (cid:99)MP) = 0 với mọi i < rP. Khẳng định còn lại là hiển nhiên

P (cid:98)RP

Vì vậy, H i

theo Bổ đề 2.2.2.

Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa tập iđêan nguyên tố gắn kết

( (cid:99)MP).

p Rp

(Mp) với tập iđêan nguyên tố gắn kết của H i+rP P (cid:98)RP

của H i

Định lý 2.3.3. [24, Định lý 3.3] Cho R là thương của vành Cohen-

(Mp)) =

( (cid:99)MP))

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

Macaulay địa phương. Giả sử P ∈ Spec( (cid:98)R) và p = P ∩ R. Khi đó, với mọi số nguyên i ≤ dim(Mp), ta có (cid:110) (cid:111) . Q (cid:98)RP ∩ Rp | Q (cid:98)RP ∈ Att

Ass( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP).

( (cid:99)MP)) =

(cid:98)RP

p Rp (H i+rP P (cid:98)RP

(Mp))

q Rp∈AttRp (H i

p Rp

(cid:83) (i) AttRp(H i (ii) Att

( (cid:99)MP)) khi và chỉ khi q Rp ∈ AttRp(H i

p Rp

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

(iii) Với mọi Q ∈ Spec( (cid:98)R) sao cho Q ⊆ P và q = Q ∩ R, ta có (Mp)) và Q (cid:98)RP ∈ Att

p Rp

Q ∈ min Var(q (cid:98)R).

(Mq)).

Chứng minh. (i) Giả sử q Rp ∈ AttRp(H i (Mp)). Chú ý rằng Rp là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Do đó, theo Mệnh đề 1.4.10 ta có

q Rq

q Rq ∈ AttRq(H i−dim(Rp/ q Rp)

(H i−dim(Rp/ q Rp)

(Mq)) ⊗Rq (cid:98)RQ

(Mq ⊗Rq (cid:98)RQ)

q Rq

q (cid:98)RQ

∼= H i−dim(Rp/ q Rp) ∼= H i−dim(Rp/ q Rp)

( (cid:99)MQ).

Q (cid:98)RQ

(H i−dim(Rp/ q Rp)

(cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ

(H i−dim(Rp/ q Rp)

Vì ánh xạ tự nhiên R → (cid:98)R là đồng cấu phẳng nên nó thỏa mãn tính chất going down. Do q ⊆ p với P ∩ R = p nên tồn tại Q ∈ min(Var(q (cid:98)R)) sao cho Q ⊆ P. Áp dụng Định lý chuyển cơ sở 1.4.4 ta được

( (cid:99)MQ)). Theo Mệnh đề 1.4.10(i) suy ra

(cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ

(H i−dim(Rp/ q Rp)+dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

Vì ϕ : Rq → (cid:98)RQ là đồng cấu phẳng địa phương và dim( (cid:98)RQ/ q (cid:98)RQ) = 0, do Q ∈ min(Var( (cid:99)q R)), nên theo Mệnh đề 1.2.5 tồn tại iđêan nguyên tố gắn kết Q1 (cid:98)RQ ∈ Att ( (cid:99)MQ)) sao cho q Rq = Q1 (cid:98)RQ ∩ Rq. Suy ra Q1 ⊆ Q và Q1 ∩ R = q . Do Q ∈ min(Var(q (cid:98)R)) nên Q = Q1. Vậy Q (cid:98)RQ ∈ Att

( (cid:99)MP)).

(cid:98)RP

P (cid:98)RP

Q (cid:98)RP ∈ Att

rP = dim( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP) = dim( (cid:98)RP/P1 (cid:98)RP).

Giả sử P1 ∈ min(Var(p (cid:98)R)) sao cho P1 ⊆ P và

Vì R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương nên R/ p và R/ q

dim( (cid:98)R/Q) = dim(R/ q)

là không trộn lẫn theo định nghĩa của M. Nagata [19]. Bởi vậy,

dim( (cid:98)R/P1) = dim(R/ p).

và

i− dim(Rp/ q Rp) + dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

= i − dim(R/ q) + dim(R/ p) + dim( (cid:98)R/Q) − dim( (cid:98)R/P)

= i + dim(R/ p) − dim( (cid:98)R/P)

= i + rP.

( (cid:99)MP)). Chú ý rằng q Rp = Q (cid:98)RP ∩ Rp. Do đó,

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

Do đó rP = dim( (cid:98)R/P1) − dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p) − dim( (cid:98)R/P). Chú ý rằng R và (cid:98)R là catenary, vì thế ta có

(Mp)) ⊆ {Q (cid:98)RP ∩ Rp | Q (cid:98)RP ∈ Att

( (cid:99)MP))}.

AttRp(H i

p Rp

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

Suy ra Q (cid:98)RP ∈ Att ta có

( (cid:99)MP)). Khi đó Q ⊆ P. Với mỗi

(cid:98)RP

m(M ) ∼= H j

(H i+rP P (cid:98)RP số nguyên j ≥ 0, theo Định lý 1.4.4 ta có đẳng cấu giữa các (cid:98)R-môđun H j ( (cid:99)M ). Vì thế theo Mệnh đề 1.4.10(i) suy ra

m (cid:98)R

Ngược lại, giả sử Q (cid:98)RP ∈ Att

(M )).

( (cid:99)M )) = Att

(cid:98)R(H i+rP+dim( (cid:98)R/P)

m (cid:98)R

(M )) sao cho Q ∈ Ass( (cid:98)R/ q (cid:98)R).

Q ∈ Att

(Mp)).

Vì R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương nên theo Mệnh đề 1.4.10(ii) tồn tại q ∈ AttR(H i+rP+dim( (cid:98)R/P) Suy ra

q Rp ∈ AttRp(H i+rP+dim( (cid:98)R/P)−dim(R/ p) p Rp

rP = dim(R/ p) − dim( (cid:98)R/P).

p Rp

Từ tính không trộn lẫn của vành R/ p, ta có thể kiểm tra rằng

). Đặt q = Q ∩ R. Chứng minh

Do đó q Rp ∈ AttRp(H i (Mp)). Hơn nữa, vì Q ∈ Ass( (cid:98)R/ q (cid:98)R) nên ta có q = Q ∩ R và Q (cid:98)RP ∈ Ass( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP). Theo tính phẳng của ánh xạ tự nhiên Rp → (cid:98)RP và áp dụng [17, Định lý 23.2(i)] ta có Q (cid:98)RP ∩ Rp = q Rp. Vậy khẳng định (i) được chứng minh.

(H i+rP P (cid:98)RP

(Mp)) và

p Rp

(cid:98)RP tương tự phần (i), ta có thể chỉ ra rằng q Rp ∈ AttRp(H i Q (cid:98)RP ∈ Ass( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP).

(ii) Giả sử Q (cid:98)RP ∈ Att

p Rp

q Rq

(Mp)) và lấy iđêan nguyên tố Q (cid:98)RP ∈ Ass( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP). Khi đó ta có q ⊆ p, Q ⊆ P và Q ∈ Ass (cid:98)R( (cid:98)R/ q (cid:98)R). Vì R/ q là không trộn lẫn nên Q ∈ min(Var(q (cid:98)R)). Hơn nữa, q = Q ∩ R. Theo Mệnh đề 1.4.10 suy ra q Rq ∈ AttRq(H i−dim(Rp/ q Rp) (Mq)). Chú ý rằng Q ∈ min(Var(q (cid:98)R)), vì thế áp dụng khẳng định (i) ta được

(H i−dim(Rp/ q Rp)+rQ

Ngược lại, giả sử q Rp ∈ AttRp(H i

( (cid:99)MQ)).

(cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ ∈ Att

(H i−dim(Rp/ q Rp)+rQ+dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

Vì vậy, theo Mệnh đề 1.4.10 ta suy ra rằng

( (cid:99)MP)).

(cid:98)RP

P (cid:98)RP

Q (cid:98)RP ∈ Att

(cid:98)R( (cid:98)R/ q (cid:98)R), nên ta có

dim( (cid:98)R/Q) = dim(R/ q).

Do R/ q là không trộn lẫn và Q ∈ Ass

i− dim(Rp/ q Rp) + rQ + dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

= i − dim(R/ q) + dim(R/ p) + dim( (cid:98)R/Q) − dim( (cid:98)R/P)

= i + dim(R/ p) − dim( (cid:98)R/P) = i + rP.

Vì vậy rQ = dim( (cid:98)RQ/ q (cid:98)RQ) = 0. Theo tính catenary của R và (cid:98)R suy ra

( (cid:99)MP)).

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

Vậy QRP ∈ Att

( (cid:99)MP)) khi và chỉ khi q Rp ∈ AttRp(H i

p Rp

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

(iii) Lấy Q ∈ Spec( (cid:98)R) với Q ⊆ P và q = Q ∩ R. Khi đó, theo (ii) (Mp)) ta có Q (cid:98)RP ∈ Att

( (cid:99)MP)) khi và chỉ khi q Rp ∈ AttRp(H i

p Rp

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

và Q (cid:98)RP ∈ Ass( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP). Chú ý rằng Q (cid:98)RP ∈ Ass( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP) khi và chỉ khi Q ⊆ P và Q ∈ Ass( (cid:98)R/ q (cid:98)R). Hơn nữa, R/ q là không trộn lẫn. Bởi vậy, Q ∈ Ass( (cid:98)R/ q (cid:98)R) khi và chỉ khi Q ∈ min(Var(q (cid:98)R)). Vậy Q (cid:98)RP ∈ Att (Mp)) và

Q ∈ min(Var(q (cid:98)R)).

Theo Mệnh đề 1.2.3(ii), chiều của môđun Artin chính bằng giá trị

lớn nhất trong các chiều của các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin

đó. Vì thế, ta có thể sử dụng Định lý 2.3.3 để so sánh chiều của các môđun

( (cid:99)MP) với nhau. Cụ thể ta

p Rp

(Mp) và H i+rP P (cid:98)RP

đối đồng điều địa phương H i

có Định lý sau.

Định lý 2.3.4. [24, Định lý 3.4] Cho R là thương của vành Cohen-

rP = dim( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP).

Macaulay địa phương. Giả sử P ∈ Spec( (cid:98)R) với p = P ∩ R. Đặt

dim

(Mp)).

( (cid:99)MP)) = rP + dimRp(H i

p Rp

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

p Rp

Khi đó, với mọi số nguyên i ≥ 0 ta có

(Mp) = 0. Bởi vậy, (Mp) = 0 thì Định lý hiển nhiên đúng vì cả hai vế của đẳng thức

p Rp đều bằng −∞.

Chứng minh. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên. Theo Bổ đề 2.3.2(i) và Mệnh đề 1.2.3(i) ta có H i+rP ( (cid:99)MP) = 0 khi và chỉ khi H i P (cid:98)RP nếu H i

(Mp) (cid:54)= 0. Đặt k = dimRp(H i

p Rp

(Mp)) sao cho k = dim(Rp/ q Rp). Lấy

(Mp)). Khi đó, ta có k ≥ 0. Theo khẳng định (ii) của Mệnh đề 1.2.3, tồn tại iđêan nguyên tố gắn kết q Rp ∈ AttRp(H i p Rp Q (cid:98)RP ∈ Ass( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP) sao cho

dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = dim( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP)

= dim((Rp/ q Rp) ⊗Rp (cid:98)RP)

= dim(Rp/ q Rp) + dim( (cid:98)R/P (cid:98)RP).

Giả sử H i

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

dim

( (cid:99)MP)) ≥ dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = k + rP.

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

Suy ra dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = k + rP theo [29, Bổ đề 8.1]. Khi đó, theo Định lý ( (cid:99)MP)). Do đó, theo Mệnh đề 1.2.3(ii) 2.3.3(ii) ta có Q (cid:98)RP ∈ Att

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

( (cid:99)MP)). Vì H i+rP P (cid:98)RP

( (cid:99)MP))

(cid:98)RP

(Mp))

p Rp

( (cid:99)MP) (cid:54)= 0 theo Bổ đề (H i+rP 2.3.2 nên t ≥ 0. Theo Mệnh đề 1.2.3(ii), tồn tại Q (cid:98)RP ∈ Att P (cid:98)RP sao cho t = dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP). Đặt q = Q∩R. Khi đó q Rp ∈ AttRp(H i và Q ∈ min(Var(q (cid:98)R)) theo Định lý 2.3.3. Vì R/ q và R/ p là không trộn lẫn nên

dim( (cid:98)R/Q) = dim( (cid:98)R/Q) + dim( (cid:98)RQ/ q (cid:98)RQ) = dim(R/ q)

Ngược lại, đặt t = dim

và dim(R/ p) − dim( (cid:98)R/P) = rP. Chú ý rằng, R và (cid:98)R là catenary. Bởi vậy,

(Mp)) + rP ≥ dim(Rp/ q Rp) + rP

dimRp(H i

p Rp

= dim(R/ q) − dim(R/ p) + rP

= dim( (cid:98)R/Q) − dim( (cid:98)R/P)

= dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = t.

theo Mệnh đề 1.2.3(ii) và Mệnh đề 1.1.2(ii) ta có

Hệ quả trực tiếp của Định lý 2.3.4 là kết quả sau về tính triệt tiêu,

tập iđêan nguyên tố gắn kết và chiều của môđun đối đồng điều địa phương

(H i

(Mp) ⊗Rp (cid:98)RP).

p Rp

P (cid:98)RP

(Mp) (cid:54)= 0. Khi đó, môđun đối

p Rp

(Mp ⊗Rp (cid:98)RP) (cid:54)= 0 khi và chỉ khi n = rP. (Mp) ⊗Rp (cid:98)RP) là (cid:98)RP-môđun Artin có chiều

p Rp

P (cid:98)RP

(Mp)) và có tập iđêan nguyên tố gắn kết là

cấp cao nhất H rP

p Rp

Att

(H rP

(H i

(Mp) ⊗Rp (cid:98)RP))

p Rp

(cid:98)RP

P (cid:98)RP

(M ))}.

( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP) | q ∈ AttR(H i+ht(p / q)

(cid:98)RP

( (cid:99)MP)

P (cid:98)RP

(Mp) ⊗Rp (cid:98)RP) ∼= H i+rP P (cid:98)RP

(H i

(H i p Rp (Mp) ⊗Rp (cid:98)RP) là (cid:98)RP-môđun Artin. Chú ý rằng H i

p Rp

P (cid:98)RP

= {Q (cid:98)RP ∈ Ass Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3.2, H rP nên H rP (Mp) là một Rp-môđun Artin. Vì thế, môđun này là giới hạn thuận của một hệ thuận {An}, trong đó An là Rp-môđun có độ dài hữu hạn. Do ánh xạ tự nhiên Rp → (cid:98)RP là phẳng hoàn toàn và vành (cid:98)RP/ p (cid:98)RP là Cohen-Macaulay chiều rP nên mỗi môđun An ⊗Rp (cid:98)RP là (cid:98)RP-môđun hữu hạn sinh, Cohen- Macaulay và có chiều rP. Vì vậy H n (An ⊗Rp (cid:98)RP) = 0 với mọi n (cid:54)= rP. Suy ra với mọi n (cid:54)= rP ta có

H n

(H i

(Mp) ⊗Rp (cid:98)RP) = H n

An ⊗Rp (cid:98)RP)

p Rp

P (cid:98)RP

(lim −→

= H n

(An ⊗Rp (cid:98)RP))

(lim −→

P (cid:98)RP (H n

(An ⊗Rp (cid:98)RP)) = 0.

P (cid:98)RP

= lim −→

Hệ quả 2.3.5. Cho R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương, P ∈ Spec( (cid:98)R) và p = P ∩ R. Giả sử H i đồng điều địa phương H n p Rp Hơn nữa, H rP (H i bằng rP + dimRp(H i

Theo Bổ đề 2.3.2 và Định lý 2.3.3, 2.3.4 ta có điều phải chứng minh.

Cho P ∈ Spec( (cid:98)R). Đặt p = P ∩ R. Ta có thể sử dụng Định lý 2.3.3

và công thức liên kết về số bội trong Định lý 2.2.4 để suy ra mối liên hệ

( (cid:99)MP).

p Rp

(Mp) và số bội của H i+rP P (cid:98)RP

giữa số bội của H i

Định lý 2.3.6. [24, Định lý 3.6] Cho R là thương của vành Cohen-

( (cid:99)MP)) = e(cid:48)(IRp, H i

(Mp)).e(A (cid:98)RP, (cid:98)RP/ p (cid:98)RP).

p Rp

e(cid:48)(I (cid:98)RP, H i+rP P (cid:98)RP

Macaulay địa phương và IRp là iđêan p Rp-nguyên sơ của Rp. Giả sử A (cid:98)RP là iđêan của (cid:98)RP sao cho (cid:98)RP/(A (cid:98)RP + p (cid:98)RP) có độ dài hữu hạn. Đặt I (cid:98)RP = I (cid:98)RP + A (cid:98)RP. Khi đó I (cid:98)RP là iđêan P (cid:98)RP-nguyên sơ của (cid:98)RP và

I (cid:98)RP ⊇ ((cid:112)IRp) (cid:98)RP = (p Rp) (cid:98)RP = p (cid:98)RP. Từ đó ta có

Chứng minh. Vì IRp là iđêan p Rp-nguyên sơ nên (cid:112)IRp = p Rp. Suy ra (cid:113)

I (cid:98)RP

(cid:113) (cid:114)(cid:113) (cid:113) (cid:113) I (cid:98)RP = A (cid:98)RP + I (cid:98)RP = A (cid:98)RP +

⊇

= P (cid:98)RP.

(cid:113) (cid:114)(cid:113) A (cid:98)RP + p (cid:98)RP ⊇ A (cid:98)RP + p (cid:98)RP

(cid:113)

p Rp

Vì thế Nếu H i

(Mp)). Suy ra k ≥ 0. Ký hiệu

(Mp) (cid:54)= 0. Đặt k := dimRp(H i

p Rp

(Mp)) | dim(Rp/ q Rp) = k}.

T := {q Rp ∈ AttRp(H i

p Rp

I (cid:98)RP = P (cid:98)RP và do đó I (cid:98)RP là iđêan P (cid:98)RP-nguyên sơ của (cid:98)RP. (Mp) = 0 thì H i+rP ( (cid:99)MP) = 0 theo Bổ đề 2.3.3(i). Vì thế hai vế P (cid:98)RP của đẳng thức cần chứng minh đều bằng không và do đó bằng nhau. Giả sử H i

T (q) = {Q (cid:98)RP | Q ∈ min(Var(q (cid:98)R)), Q ⊆ P}.

Khi đó T (cid:54)= ∅. Với mỗi q ∈ Spec(R) sao cho q Rp ∈ T, ta đặt

dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = dim( (cid:98)R/Q) − dim( (cid:98)R/P) = k + rP.

Vì R/ q là không trộn lẫn nên dim( (cid:98)R/Q) = dim(R/ q) = k + dim(R/ p), với mọi Q (cid:98)RP ∈ T (q). Do đó

với mọi Q (cid:98)RP ∈ T (q). Theo Định lý 2.3.3(iii) và Định lý 2.3.4 ta có

T (q) = {Q (cid:98)RP ∈ Att

( (cid:99)MP)) | dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = k + rP}

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

q Rp∈T

= {Q (cid:98)RP ∈ Att

( (cid:99)MP)) | dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = dim

( (cid:99)MP))}.

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

( (cid:99)MP)) theo

q∈T T (q). Khi đó Q (cid:98)RP ∈ min Att

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

(cid:91)

Att

(H i+rP−dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

( (cid:99)MQ))

(cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ

= {B (cid:98)RQ | B ∈ Att

( (cid:99)M )), B ⊆ Q (cid:98)RP}

(cid:98)RP

(H i+rP P (cid:98)RP

= {(Q (cid:98)RP) (cid:98)RQ} = {Q (cid:98)RQ}.

(cid:98)RQ

(H i−k Q (cid:98)RQ

Lấy Q (cid:98)RP ∈ (cid:83) Mệnh đề 1.2.3. Vì vậy theo Mệnh đề 1.4.10(i)

(cid:96)

( (cid:99)MQ)) = (cid:96)

(Mq) ⊗Rq (cid:98)RQ)

(cid:98)RQ

(H i−k Q (cid:98)RQ

(Mq))(cid:96)

( (cid:98)RQ/ q (cid:98)RQ).

(H i−k q Rq (cid:98)RQ = (cid:96)Rq(H i−k q Rq

(cid:98)RQ

( (cid:99)MP) (xem [24, Mệnh đề

Chú ý rằng i + rP − dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = i − k. Suy ra (cid:96) ( (cid:99)MQ)) < ∞ theo Mệnh đề 1.2.3(iii). Vì Q ∈ min(Var(q (cid:98)R)) và ánh xạ Rq → (cid:98)RQ là phẳng hoàn toàn nên theo Định lý 2.2.4 ta có

( (cid:99)MP))

e(cid:48)(I (cid:98)RP, H i+rP P (cid:98)RP (cid:88)

(cid:96)

(H i+rP−dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

( (cid:99)MQ)).e(I (cid:98)RP, (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

(cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ

Q (cid:98)RP∈Att

( (cid:99)MP))

(cid:98)RP

i+rP P (cid:98)RP

Áp dụng công thức liên kết cho số bội của H i+rP P (cid:98)RP 2.5]) ta được

dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)=k+rP (cid:16) (cid:88) (cid:88)

(cid:96)

( (cid:99)MQ)).e(I (cid:98)RP, (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

(cid:98)RQ

(H i−k Q (cid:98)RQ

Q (cid:98)RP∈T (q)

(cid:17)

q Rp∈T (cid:88)

(Mq))(cid:96)

( (cid:98)RQ/ q (cid:98)RQ).e(I (cid:98)RP, (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

(cid:96)Rq(H i−k q Rq

(cid:98)RQ

(cid:17) (cid:16) (cid:88)

q Rp∈T (cid:88)

(cid:96)

(Mq))

( (cid:98)RQ/ q (cid:98)RQ).e(I (cid:98)RP, (cid:98)RP/Q (cid:98)RP)

Q (cid:98)RP∈T (q) (cid:96)Rq(H i−k q Rq

(cid:98)RQ

q Rp∈T

Q (cid:98)RP∈T (q)

(cid:17) (cid:16) (cid:88)

dim( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP) = dim(Rp/ q Rp ⊗Rp (cid:98)RP)

= dim(Rp/ q Rp) + dim( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP)

= k + rP.

Với mỗi q ∈ Spec(R) sao cho q Rp ∈ T, chú ý rằng

Điều này dẫn đến Q (cid:98)RP ∈ T (q) khi và chỉ khi Q (cid:98)RP ∈ Ass( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP) và dim( (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = dim( (cid:98)RP/ q (cid:98)RP). Theo công thức liên kết cho số bội của (cid:98)RP/ q (cid:98)RP, ta có

(cid:96)

( (cid:98)RQ/ q (cid:98)RQ).e(I (cid:98)RP/Q (cid:98)RP) = e(I (cid:98)RP, (cid:98)RP/ q (cid:98)RP).

(cid:98)RQ

Q (cid:98)RP∈T (q)

(cid:88)

e(I (cid:98)RP, (cid:98)RP/ q (cid:98)RP) = e(I (cid:98)RP + A (cid:98)RP, Rp/ q Rp ⊗Rp (cid:98)RP)

= e(IRp, Rp/ q Rp).e(A (cid:98)RP, (cid:98)RP/ p (cid:98)RP).

Vì ánh xạ Rp → (cid:98)RP là phẳng hoàn toàn nên lập luận tương tự trong chứng minh của [6] ta được

(Mp) suy ra

p Rp

( (cid:99)MP))

Vì thế, từ công thức liên kết cho số bội của H i

e(cid:48)(I (cid:98)RP,H i+rP P (cid:98)RP (cid:16) (cid:88)

(Mq)).e(IRp, Rp/ q Rp)

e(A (cid:98)RP, (cid:98)RP/ p (cid:98)RP)

(cid:96)Rq(H i−k q Rq

q Rp∈T = e(cid:48)(IRp, H i

(Mp)).e(A (cid:98)RP, (cid:98)RP/ p (cid:98)RP).

p Rp

(cid:17)

Ví dụ sau chỉ ra rằng các phát biểu trong Định lý 2.3.3, 2.3.4, 2.3.6

không còn đúng nếu ta bỏ đi giả thiết R là thương của vành Cohen-

Macaulay địa phương.

Ví dụ 2.3.7. Cho (R, m) là miền nguyên Noether chiều 3 sao cho (cid:98)R cũng là miền nguyên và tồn tại q ∈ Spec(R) sao cho R/ q là không trộn lẫn (những

miền nguyên như vậy luôn tồn tại theo [4]). Giả sử Q ∈ Ass( (cid:98)R/ q (cid:98)R) sao cho dim( (cid:98)R/Q) < dim(R/ q). Khi đó Q ∩ R = q và ta có các tính chất sau

(H i

q Rq

(cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ

(i) Att

( (cid:98)R)), q ∈ AttR(H 2

m(R)), dim

(cid:98)R(H 2 m (cid:98)R

( (cid:98)RQ)) = {Q (cid:98)RQ} và AttRq(H 0 (Rq)) = ∅. Đặc biệt, nếu ta chọn i = 0 và P = Q thì P ∩ R = q, rP = 1 và khẳng định của Định lý 2.3.3 và Định lý 2.3.4 không đúng. (cid:98)R(H 2 m (cid:98)R

( (cid:98)R)) = 1 và m(R)) (cid:54)= 1. Đặc biệt, nếu chọn i = 2 và P = m (cid:98)R thì P ∩ R = m,

dimR(H 2 rP = 0 và khẳng định của Định lý 2.3.3 và Định lý 2.3.4 không đúng.

(ii) Q ∈ Att

Q (cid:98)RQ

(cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ

q Rq

Chứng minh. (i) Dễ thấy rằng dim(R/ q) = 2 và dim( (cid:98)R/Q) = 1. Giả sử 0 (cid:54)= a ∈ q . Vì R là miền nguyên nên dim(R/aR) = 2. Điều này

dẫn đến q ∈ min(AssR(R/aR)). Chú ý rằng Q ∈ Ass( (cid:98)R/ q (cid:98)R), ta có Q ∈ Ass( (cid:98)R/ q (cid:98)R) theo [17, Định lý 23.2]. Do đó Q (cid:98)RQ ∈ Ass( (cid:98)RQ/a (cid:98)RQ). Suy ra, depth( (cid:98)RQ) ≤ 1. Vì (cid:98)R là miền nguyên nên a là (cid:98)RQ-chính quy. Suy ra depth( (cid:98)RQ) = 1. Vì thế H 1 ( (cid:98)RQ) (cid:54)= 0. Do (cid:98)RQ là miền nguyên nên nó thỏa mãn điều kiện Serre (S1). Bởi vậy theo [9, 4.1,4.4], dimRQ(H 1 ( (cid:98)RQ)) = 0. Q (cid:98)RQ (H 1 Áp dụng Mệnh đề 1.2.3(iii), ta có Att ( (cid:98)RQ)) = {Q (cid:98)RQ}. Chú ý rằng Rp là miền nguyên chiều 1. Do đó H 0 (Rq) = 0. Điều này dẫn đến AttRq(H 0 (Rq)) = ∅. Hơn nữa (cid:98)R là miền nguyên suy ra R/ q là tựa không trộn lẫn theo định nghĩa của M. Nagata [19]. Nghĩa là mọi iđêan

nguyên tố gắn kết tối tiểu của (cid:98)R/ q (cid:98)R đều có chiều bằng dim(R/ q). Do đó Q /∈ min(Ass( (cid:98)R/ q (cid:98)R)). Vì thế rQ = 1.

( (cid:98)RQ)) và dim( (cid:98)R/Q) = 1 nên theo Mệnh ( (cid:98)R)). Do đó

(H 1 Q (cid:98)RQ (cid:98)R(H 2 m (cid:98)R

dim

( (cid:98)R)) ≥ dim( (cid:98)R/Q) = 1

(cid:98)R(H 2 m (cid:98)R

m(R)) theo Mệnh đề 1.2.4. m(R)) ≥ dim(R/ q) = 2. Do (cid:98)R là miền nguyên nên nó thỏa

(ii) Vì Q (cid:98)RQ ∈ Att (cid:98)RQ đề 1.4.10 ta suy ra Q ∈ Att

( (cid:98)R)) ≤ 1.

(cid:98)R(H 2 m (cid:98)R

theo Mệnh đề 1.2.3(ii) và q = Q ∩ R ∈ AttR(H 2 Vì vậy dimR(H 2 mãn điều kiện Serre (S1). Vì thế dim

Chương 3

Môđun đối đồng điều địa phương

Artin thỏa mãn tính bão hòa

nguyên tố

Mục tiêu của chương này là trình bày đặc trưng tính bão hòa nguyên

tố của môđun đối đồng điều địa phương Artin, từ đó xây dựng công thức

bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phương Artin khi môđun này

thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Nội dung chương 3 được tham khảo

3.1 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá cực

đại

trong hai bài báo [20], [22].

Trong tiết này, chúng ta tiếp tục sử dụng kỹ thuật giả giá để đặc

trưng tính bão hòa nguyên tố cho môđun đối đồng điều địa phương với

m(M ) thông qua mối liên hệ giữa Var(Ann(H i

m(M ))) và

Psuppi

R(M ). Công thức bội liên kết của môđun này khi nó thỏa mãn tính

giá cực đại H i

bão hòa nguyên tố được trình bày ở cuối tiết.

Định lý 3.1.1. [20, Định lý 3.1] Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó,

những khẳng định sau là tương đương:

m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

(i) H i

m(M )) = Psuppi

R(M ).

(ii) Var(AnnR(H i

m(M )) và

Trong trường hợp này, psdi(M ) = psdi( (cid:99)M ) = N-dimR(H i

(cid:110) (cid:111) R(M ) : dim(R/ p) = psdi(M )

p ∈ Psuppi (cid:110) (cid:111) ( (cid:99)M ), dim( (cid:98)R/P) = psdi( (cid:99)M ) P ∩ R : P ∈ Psuppi (cid:98)R

Chứng minh. Cho i ≥ 0 là một số nguyên.

p R p

m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Cho (Mp) (cid:54)= 0. Vì vậy tồn tại một iđêan (Mp)) sao cho q ⊆ p . Theo m(M )).

m(M )). Vì thế p ⊇ q ⊇ AnnR(H i

R(M ). Khi đó H i−dim(R/ p) p ∈ Psuppi nguyên tố gắn kết q Rp ∈ AttRp(H i−dim(R/ p) Định lý 1.4.9, ta có q ∈ AttR(H i Suy ra, Psuppi

R(M ) ⊆ Var(AnnR(H i

(i)⇒(ii). Giả sử H i

m(M ) thỏa mãn tính bão hòa

Giả sử p ∈ Var(AnnR(H i

m(M ))). m(M ))). Vì H i m(M ) p) = p, do đó

min Var(AnnR(0 :H i

m(M ) p) = {p}.

m(M ) p). Khi đó q ⊇ p . Do q(0 :(0:Hi

m(M )p) q) = 0 nên m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố

nguyên tố nên AnnR(0 :H i

m(M )p) q). Vì H i m(M ) q) = q . Do đó

AnnR(0 :H i

m(M ) q) ⊆ AnnR(0 :(0:Hi

m(M )p) q).

m(M ) q). Suy ra x ∈ H i

m(M ) và q x = 0. Do q ⊇ p nên p x = 0 m(M )p) q). Điều này dẫn đến

Giả sử q ⊇ AnnR(0 :H i q ⊆ AnnR(0 :(0:Hi nên AnnR(0 :H i

m(M ) q) ⊆ (0 :(0:Hi

m(M ) p). Suy ra x ∈ (0 :(0:Hi m(M )p) q). Vì thế, ta có

AnnR(0 :H i

m(M ) q) ⊇ AnnR(0 :(0:Hi

m(M )p) q).

Lấy x ∈ (0 :H i nghĩa là x ∈ (0 :H i (0 :H i

m(M ) q) = q .

m(M )p) q) = AnnR(0 :H i

Và do đó

AnnR(0 :(0:Hi m(M ) p) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Theo Bổ đề 1.3.7,

Suy ra, (0 :H i

dim(R/ p) = dim(R/ AnnR(0 :H i

m(M ) p))

= N-dimR(0 :H i

= dim( (cid:98)R/ Ann

m(M ) p))

m(M ) p) (cid:98)R(0 :H i

= max{dim (cid:98)R/P : P ∈ Att

m(M ) p)}.

ta có

(cid:98)R(0 :H i m(M ) p) sao cho dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p).

(cid:98)R(0 :H i

Suy ra, tồn tại P ∈ Att

m(M )).

mM p) ⊇ Ann

(cid:98)R(H i (cid:98)R(0 :H i m(M ))) và P ∩ R ⊇ p . Hơn nữa, P là iđêan tối

Khi đó

P ⊇ Ann (cid:98)R(H i

m(M ) ∼= H i m (cid:98)R ) = Var(Ann

))

( (cid:99)M ) = Supp

( (cid:99)M ) như một (cid:98)R-môđun, nên (cid:98)R(K i

Psuppi (cid:98)R

M ⊗ (cid:98)R

(cid:98)R(K i = Var(Ann

(M ⊗ (cid:98)R))) = Var(Ann

m(M ) ⊗R (cid:98)R)))

(cid:98)R(H i

= Var(Ann

M ⊗ (cid:98)R (cid:98)R(H i m (cid:98)R (cid:98)R(H i m(M ))).

( (cid:99)M ) và do đó H i−dim( (cid:98)R/P)

( (cid:99)MP) (cid:54)= 0. Vì P là iđêan

Vì thế, P ∈ Var(Ann tiểu của p (cid:98)R. Mặt khác, vì H i

P (cid:98)RP

Vì vậy P ∈ Psuppi (cid:98)R

H i−dim(R/ p)

(Mp ⊗ (cid:98)RP)

(Mp) ⊗ (cid:98)RP

p Rp

( (cid:99)MP) (cid:54)= 0.

∼= H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP ∼= H i−dim( (cid:98)R/P) P (cid:98)RP

nguyên tố tối tiểu của p (cid:98)R và dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p) nên theo Định lý 1.4.4, ta có

(Mp) (cid:54)= 0 suy ra p ∈ Psuppi

R(M ). Vì vậy,

p Rp

Var(AnnR(H i

m(M ))) ⊆ Psuppi

R(M ). m(M ))) = Psuppi m(M )). Khi đó, H i−dim(R/ p)

p Rp

Do đó, H i−dim(R/ p)

H i−dim( (cid:98)R/P)

(M ⊗R (cid:98)R)P

(Mp ⊗ (cid:98)RP)

P (cid:98)RP

(Mp) ⊗R (cid:98)RP (cid:54)= 0.

∼= H i−dim(R/ p) p Rp (cid:98)RP ∼= H i−dim(R/ p) p Rp

(ii)⇒(i) Giả sử Var(AnnR(H i R(M ) và p là iđêan nguyên tố thỏa mãn p ⊇ AnnR(H i (Mp) (cid:54)= 0. Lấy P ∈ Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R) sao cho dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p). Suy ra P ∩ R = p và P là iđêan nguyên tố tối tiểu của p (cid:98)R. Chú ý rằng ánh xạ cảm sinh Rp → (cid:98)RP là phẳng hoàn toàn. Bởi vậy, theo Định lý 1.4.4, ta có

(M ⊗R (cid:98)R) = Var(Ann

(cid:98)R(H i

m(M ) có thể xem là (cid:98)R-môđun Artin nên H i

(cid:98)R(H i

(cid:98)R(0 :H i

m(M ) P). Khi đó y ∈ H i

m(M ) P). Suy ra

m(M ))). Điều này kéo theo m(M ) m(M ) P) = P. thỏa mãn tính chất bão hòa nguyên tố, nghĩa là Ann Lấy r ∈ AnnR(0 :H i m(M ) p) và (cid:98)r là ảnh của r qua R → (cid:98)R. Gọi {rn} là dãy Côsi đại điện cho (cid:98)r. Suy ra tồn tại n0 sao cho rn = r với mọi n ≥ n0. Giả sử y ∈ (0 :H i m(M ) và Py = 0. Vì p (cid:98)R ⊂ P nên p (cid:98)Ry = 0. Với mỗi a ∈ p thì (cid:98)a ∈ p (cid:98)R nên (cid:98)ay = ay = 0. Suy ra (cid:98)R(0 :H i y ∈ (0 :H i

m(M ) p). Do đó (cid:98)r ∈ Ann

Do đó, P ∈ Psuppi (cid:98)R m(M )). Vì H i P ⊇ Ann

m(M ) P) ∩ R = P ∩ R = p .

m(M ) p) ⊆ Ann

(cid:98)R(0 :H i

m(M ) thỏa mãn tính chất bão hòa

m(M ) p) = p . Vậy H i

p ⊆ AnnR(0 :H i

Vì thế, AnnR(0 :H i nguyên tố.

N-dimR(H i

m(M )) = dim(R/ AnnR(H i

m(M ))). Chú ý rằng,

N-dimR(H i

m(M )) = dim( (cid:98)R/ Ann

m(M ))) = N-dim

m(M )).

(cid:98)R(H i

Cuối cùng, giả sử điều kiện (i) và (ii) thỏa mãn. Theo Định lý 1.3.7,

Do đó,

psdi

dim(R/ p) | p ∈ Psuppi

R(M ) = max

R(M )

(cid:111) (cid:110)

= max

m(M ))

m(M )) = N-dim

m(M ))

dim(R/ p) | p ⊇ AnnR(H i (cid:98)R(H i

= N-dimR(H i = psdi(M ⊗R (cid:98)R).

(cid:110) (cid:111)

m(M )) = s. Theo lập luận trên, ta có

psdi(M ) = psdi(M ⊗R (cid:98)R) = s.

R(M ) sao cho dim(R/ p) = s. Khi đó p ∈ Var(AnnR H i

Đặt N-dimR(H i

Lấy p ∈ Psuppi m(M )) theo (ii). Lập luận tương tự như chứng minh (i)⇒(ii) suy ra tồn tại

(M ⊗R (cid:98)R) thỏa mãn điều kiện

m(M )) = Psuppi (cid:98)R

(cid:98)R H i P ∩ R = p và dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p) = s.

iđêan P ∈ Var(Ann

(cid:98)R(H i

Psuppi (cid:98)R

Ngược lại, lấy P ∈ Psuppi (M ⊗R (cid:98)R) sao cho dim (cid:98)R/P = s. Vì (cid:98)R (cid:98)R(H i m(M ))). m(M ))) nên P ∈ Var(Ann (M ⊗R (cid:98)R) = Var(Ann

m(M )) ∩ R ⊇ AnnR(H i

m(M )) nên

(cid:98)R(H i

Đặt p = P ∩ R. Vì Ann

m(M )).

p = P ∩ R ⊇ AnnR(H i

R(M ) theo (ii). Hơn nữa,

s = dim( (cid:98)R/P) ≤ dim( (cid:98)R/ p (cid:98)R) = dim(R/ p) ≤ s.

Suy ra, p ∈ Psuppi

m(M )) = s.

Vậy dim(R/ p) = s.

R(M ), đặt

Định lý 3.1.2. [20, Hệ quả 3.3] Cho i ∈ Z, i ≥ 0, N-dimR(H i Với mỗi p ∈ Psuppi

T (p) =

( (cid:99)M ) : dim( (cid:98)R/P) = dim(R/ p), P ∩ R = p

(cid:110) (cid:111)

P ∈ Psuppi (cid:98)R

m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Khi đó, những

R(M ) là tập đóng.

R(M ) với dim(R/ p) = s khi đó T (p) (cid:54)= ∅,

Giả sử rằng, H i

(Mp)

(cid:96)Rp

p Rp

(cid:17) (cid:16) là khác không và hữu hạn, và với mọi P ∈ T (p), khẳng định sau là đúng: (i) Psuppi (ii) Nếu p ∈ Psuppi H i−dim(R/ p)

(cid:96)

H i−dim( (cid:98)R/P)

H i−dim(R/ p)

(Mp)

( (cid:99)MP)

( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP).

= (cid:96)Rp

p Rp

(cid:98)RP

(cid:96) (cid:98)RP

P (cid:98)RP

(cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16)

m(M ) (cid:54)= 0.

(iii) Cho q là iđêan m-nguyên sơ của R. Giả sử rằng H i

m(M ) ứng với q thỏa mãn

Khi đó số bội e(cid:48)(q, H i

m(M )) của H i (cid:88)

e(q, R/ p).

H i−dim(R/ p)

e(cid:48)(q, H i

(Mp)

(cid:96)Rp

m(M )) =

p Rp

p∈Psuppi

R(M )

dim(R/ p)=psdi(M )

(cid:17) (cid:16)

m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên theo R(M )

R(M ) = Var(AnnR(H i

R(M ))), do đó Psuppi

Chứng minh. (i) Do H i Định lý 3.1.1, ta có Psuppi

là một tập đóng.

(M ⊗ (cid:98)R). Lặp lại tương tự chứng minh của Định lý 2.2.4(i)(b)⇒(c),

R(M ) với dim(R/ p) = s, theo Định lý 3.1.1 tồn tại P ∈ Psuppi (M ⊗ (cid:98)R) sao cho P ∩ R = p và dim(R/P) = s. Vì thế (cid:98)R T (p) (cid:54)= ∅. Cho P ∈ T (p). Theo Định lý 3.1.1, P là phần tử tối tiểu của Psuppi (cid:98)R

(ii) Giả sử p ∈ Psuppi

ta có điều phải chứng minh.

(iii) Theo Định lý 3.1.1,

T (p) =

( (cid:99)M ) : dim( (cid:98)R/P) = s

p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=s

(cid:110) (cid:111) (cid:91) P ∈ Psuppi (cid:98)R

R(M ) với dim(R/ p) = s thì

Hơn nữa, nếu p ∈ Psuppi

T (p) =

(cid:110) (cid:111) P ∈ Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R) : dim( (cid:98)R/P) = s

Vì vậy, áp dụng Định lý 3.1.2(ii), Định lý 2.2.4(iii) và [17, Định lý 14.7],

e(cid:48)(q, H i

(M ⊗ (cid:98)R)) (cid:17)

ta được

m(M )) = e(cid:48)(q (cid:98)R, H i (cid:88)

(cid:96)

m (cid:98)R H i−dim( (cid:98)R/P)

( (cid:99)MP)

e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)

(cid:98)RP

P (cid:98)RP

P∈Psuppi

(cid:16)

(cid:98)R( (cid:99)M ) dim( (cid:98)R/P)=s (cid:88)

H i−dim(R/ p)

(Mp)

( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)

(cid:96)Rp

p R p

(cid:96) (cid:98)RP

P∈T (p)

(cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:88)

p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=s (cid:88)

H i−dim(R/ p)

(Mp)

( (cid:98)RP/ p (cid:98)RP)e(q (cid:98)R, (cid:98)R/P)

(cid:96)Rp

p R p

(cid:96) (cid:98)RP

P∈Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R) dim( (cid:98)R/P)=s

(cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:88)

p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=s (cid:88)

H i−dim(R/ p)

(Mp)

e(q (cid:98)R, (cid:98)R/ p (cid:98)R)

(cid:96)Rp

p R p

(cid:17) (cid:16)

p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=s (cid:88)

e(q, R/ p).

H i−dim(R/ p)

(Mp)

(cid:96)Rp

p R p

p∈Psuppi R(M ) dim(R/ p)=s

(cid:17) (cid:16)

Theo [7], N. T. Cường, N. T. Dung và L. T. Nhàn đã đưa ra đặc

trưng tính chất bão hòa nguyên tố cho môđun đối đồng điều địa phương

cấp cao nhất với giá cực đại thông qua tính catenary của tập giá không

trộn lẫn của M. Tập giá không trộn lẫn của M , ký hiệu là UsuppR(M ),

là tập SuppR(M/UM (0)), trong đó UM (0) là môđun con lớn nhất của M

với chiều nhỏ hơn d. Chú ý rằng

Var(p).

UsuppR M = Var(AnnR(H d

m(M ))) =

p∈AssR(M ) dim(R/ p)=d

(cid:91)

Với khái niệm này ta có hệ quả sau về số bội của môđun đối đồng điều địa

phương cấp cao nhất với giá cực đại.

Hệ quả 3.1.3. [20, Hệ quả 3.4] Cho q là iđêan m-nguyên sơ của R. Các

R(M ) là tập đóng;

khẳng định sau là tương đương

m(M )) là

(i) Psuppd (ii) UsuppR(M ) là catenary, nghĩa là vành R/ AnnR(H d

catenary;

m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; m(M ))) = Psuppd

R(M ).

R(M )

(iii) H d (iv) Var(AnnR(H d

e(cid:48)(q, H d

(Mp))e(q, R/ p).

(cid:96)Rp(H 0

m(M )) =

p Rp

p∈Psuppd R(M ) dim(R/ p)=d

Hơn nữa, nếu những điều kiện này thỏa mãn thì UsuppR(M ) = Psuppd và (cid:88)

Chứng minh. Theo Định lý 3.1.1 ta có ngay (iii)⇒(iv). Theo [7, Định lý

dim(R/ p) + ht

< d.

4.1] ta có (ii)⇒(iii). Hơn nữa, ta luôn có (iv)⇒(i). Vì thế ta chỉ còn phải chứng minh (i)⇒(ii). Giả sử rằng R/ AnnR(H d m(M )) không là catenary. Theo Định lý 1.4.8, R/ AnnR(H d m(M )) là đẳng chiều với chiều d, do đó theo McAdam và Ratliff [18] tồn tại iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR(H d m(M )) sao cho (cid:16) p / AnnR(H d (cid:17) m(M ))

m(M )) và do đó

dim(R/ p) + ht(p / AnnR(H d

m(M ))) = d.

Ta chứng minh dim(R/ p) + dim(Mp) < d. Giả sử điều này không đúng. Khi đó, tồn tại một iđêan nguyên tố q sao cho AnnR(M ) ⊆ q ⊆ p và dim(R/ p) + ht(p / q) = d. Suy ra, dim(R/ q) = d và do đó q ∈ Ass M. m(M )). Vì thế q ⊇ AnnR(H d Kéo theo q ∈ AttR(H d

dim(Mp) < d − dim(R/ p).

(Mp) = 0 theo Định lý 1.4.5, nghĩa là p /∈ Psuppd

R(M ). m(M )) thỏa mãn p1 ⊆ p . Khi m(M )) và do đó p1 ∈ Ass M và dim(R/ p1) = d. Áp dụng R(M ). Vì

(Mp1) (cid:54)= 0, tức là p1 ∈ Psuppd

p1 Rp1

Điều này là mâu thuẫn. Vậy dim(R/ p) + dim(Mp) < d. Suy ra

R(M ) không đóng, mâu thuẫn với giả thiết (i).

3.2 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

với giá tùy ý

Do đó H d−dim(R/ p) p Rp Lấy iđêan nguyên tố p1 ∈ min Var(AnnR H d đó p1 ∈ AttR(H d Định lý 1.4.4, suy ra H d−dim(R/ p1) thế Psuppd

Phần này dành để đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của môđun đối

đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý thông qua tính catenary

của vành. Kết quả cho thấy, khi môđun này thỏa mãn tính bão hòa nguyên

tố, tập iđêan nguyên tố gắn kết và số bội của nó đẹp như trong trường

hợp vành cơ sở là đầy đủ. Trước hết, ta có Bổ đề sau về tập iđêan nguyên

tố gắn kết của M.

(cid:98)R (cid:99)M = (cid:83) p∈Ass M Ass (cid:110) P ∩ R | P ∈ Ass (ii) AssR M =

(i) Ass

Bổ đề 3.2.1. Xem [1, Bổ đề 2.1.2]Cho R-môđun hữu hạn sinh M , khi đó: (cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R); (cid:111) (cid:98)R (cid:99)M

p∈AssR M N (p) là một phân tích nguyên sơ thu

Trong suốt tiết này, ta sẽ sử dụng ký hiệu sau.

Ký hiệu 3.2.2. Cho 0 = (cid:84) gọn của môđun con 0 của M. Ta đặt

AssR(I, M ) =

(cid:110) (cid:111) p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, (cid:112)I + p = m

và N = (cid:84) p∈AssR(I,M ) N (p). Chú ý rằng, AssR(I, M ) ⊆ min(AssR M ). Vì thế N không phụ thuộc vào sự lựa chọn phân tích nguyên sơ thu gọn của

môđun con 0.

Định lý sau đây đặc trưng tính chất bão hòa nguyên tố của môđun

đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá bất kỳ.

Định lý 3.2.3. Cho R-môđun N xác định như trong Kí hiệu 3.2.2. Khi

I (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

đó các mệnh đề sau là tương đương:

I (M ) là catenary và với mọi p ∈ AttR(H d

I (M ) ta có

√

I + p = m;

(i) H d (ii) R/ AnnR H d

m(M/N ).

I (M ) là vành catenary và H d

I (M ) ∼= H d

(iii) R/ AnnR H d

√

Chứng minh. Giả sử H d

I + p = m. Theo Bổ đề 3.2.1, tồn tại P ∈ Ass

dim(R/P) = d và (cid:98)R(H d

I (M )). Do đó H d P ∈ Att AssR(I, M ) = ∅. Kéo theo N = M. Suy ra H d cả ba mệnh đề của Định lý đều đúng. Vì thế ta có thể giả sử H d

I (M ) = 0 và AssR(I, M ) (cid:54)= ∅. Lấy p ∈ AssR(M ) (cid:98)R (cid:99)M thỏa mãn I (cid:98)R + P = m (cid:98)R. Áp dụng Định lý 1.4.11 ta có I (M ) (cid:54)= 0. Điều này là mâu thuẫn. Suy ra m(M/N ) = 0 và hiển nhiên I (M ) (cid:54)= 0.

sao cho (cid:113)

Att

I (M ) ⊆ {P ∈ Ass

(cid:98)R H d

(cid:98)R( (cid:99)M ) | dim( (cid:98)R/P) = d}.

I (M ) là R-môđun Artin không trộn lẫn theo Mệnh đề 1.2.3. Chú I (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên theo Định lý ??

(i)⇒(ii) Theo Mệnh đề 1.4.11,

I (M ) là catenary.

Vì thế, H d ý rằng, H d vành R/ AnnR H d

I (M ) I) nên ta có

I (M ) ⊆ AnnR(0 :H d (cid:113)

Vì I + AnnR H d

I + AnnR H d

AnnR(0 :H d

I (M ).

I (M ) I) ⊇

I (M ). Do H d I (M ) I) ⊆ AnnR(0 :H d

I (M ) thỏa mãn I (M ) q) = q .

(cid:113)

Lấy q ∈ Spec(R) sao cho q ⊇ I + AnnR H d tính bão hòa nguyên tố nên AnnR(0 :H d Suy ra

I + AnnR H d

AnnR(0 :H d

I (M ).

I (M ) I) ⊆

I (M )

q∈Spec(R) q⊇I+AnnR H d (cid:113)

(cid:113) (cid:113) (cid:92) q =

I + AnnR H d

AnnR(0 :H d

I (M ). Do H d

I (M ) I) =

(cid:113)

I (M ) là R-môđun I (M )

I (M ) I) là Artin. Mặt khác, theo [10, Định lý 3], H d

Vì thế Artin nên (0 :H d

I (M ) I) < ∞. Vì thế AnnR(0 :H d

I (M ) là m-nguyên sơ. Lấy p ∈ AttR H d

√

I (M ) I) là R-môđun hữu hạn sinh. Điều này dẫn I (M ) I) là iđêan m-nguyên sơ I (M ). I + p = m với

I (M ) theo Mệnh đề 1.2.3(ii). Suy ra

I (M )).

là I-cofinite. Suy ra (0 :H d đến lR(0 :H d của R và do đó I + AnnR H d Khi đó p ⊇ AnnR H d mọi p ∈ AttR(H d

p∈AssR M N (p) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của M và ký hiệu N = (cid:84)

p∈AssR(I,M ) N (p), trong đó

(ii)⇒(iii) Như trong Kí hiệu 3.2.2, giả sử 0 = (cid:84)

AssR(I, M ) =

(cid:110) (cid:111) p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, (cid:112)I + p = m

∅ (cid:54)= AssR(N +N (q)/N (q)) ∼= AssR(N/N ∩N (q)) ⊆ AssR(M/N (q)) = {q} .

Theo tính chất của phân tích nguyên sơ ta có AssR(M/N ) = AssR(I, M ). Lấy q ∈ AssR M sao cho q /∈ AssR(I, M ). Do phân tích nguyên sơ của N là thu gọn nên N +N (q)/N (q) (cid:54)= 0. Hơn nữa N +N (q)/N (q) ∼= N/N ∩N (q) suy ra

Kéo theo AssR(N/N ∩ N (q)) = {q} và N ∩ N (q) là môđun con nguyên sơ của N. Do các thành phần N (q) là không thừa trong phân tích nguyên

sơ của môđun con 0 của M nên

0 =

N ∩ N (p)

p∈AssR M \AssR(I,M )

(cid:16) (cid:17) (cid:92)

H d

I (N ) → H d

I (M ) → H d

I (M/N ) → 0.

là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của N . Điều này dẫn đến AssR N = AssR M \ AssR(I, M ). Tác động hàm tử H d I (•) vào dãy khớp 0 → N → M → M/N → 0 ta được dãy khớp

I (N ). Kéo theo P ∈ Ass

Giả sử H d

(cid:98)R (cid:99)M . Vì thế P ∈ Att

(cid:98)R H d

dim( (cid:98)R/P) = d và (cid:98)R (cid:99)M nên P ∈ Ass (cid:98)R (cid:98)N ⊆ Ass Ass đề 1.4.11. Đặt p = P ∩ R. Khi đó p ∈ AttR H d √ I + p = m. Vì P ∈ Ass Từ giả thiết (ii), ta có

I (M ) (cid:54)= 0. Theo Định lý 1.4.5 ta có dim(N ) = d. Theo Mệnh (cid:98)R H d (cid:98)R (cid:98)N , I (cid:98)R + P = m (cid:98)R theo Mệnh đề 1.4.11 Hơn nữa, do I (M ) theo Mệnh I (M ) theo Mệnh đề 1.2.4. (cid:98)R( (cid:99)M ) và dim( (cid:98)R/P) = d

đề 1.2.3, tồn tại iđêan ngyên tố P ∈ Att (cid:113)

(cid:98)R(H d

I (N ) = 0 suy ra H d

p∈AssR(I,M )

√

I + p0 = m

(cid:84) Lấy q ∈ Spec(R) sao cho q ⊇ I + nên theo Bổ đề 3.2.1(i) ta có p ∈ AssR M và dim(R/ p) = d. Suy ra p ∈ AssR(I, M ). Mặt khác, vì P ∈ Att I (N )) nên p ∈ AssR N theo Bổ đề 3.2.1(i) và do đó p ∈ AssR M \ AssR(I, M ) theo chứng minh trên. Điều I (M ) ∼= H d này dẫn đến mâu thuẫn. Vì thế H d I (M/N ). p . Do AssR(I, M ) là tập hữu

I +

p∈AssR(I,M )

hạn nên q ⊇ I và q ⊇ p0 với p0 ∈ AssR(I, M ). Vì thế q ⊇ và ta có (cid:115) (cid:92) p = m.

p∈AssR(I,M )

(cid:84) Do đó I + p là m-nguyên sơ. Vì AssR(M/N ) = AssR(I, M ) nên

AnnR(M/N ) =

p∈AssR(I,M )

(cid:113) (cid:92) p .

H d

m(M/N ).

I (M/N ) ∼= H d

I+AnnR(M/N )(M/N ) ∼= H d

Suy ra I + AnnR(M/N ) là m-nguyên sơ. Vì thế, theo Định lý 1.4.3, ta có

m(M/N ).

I (M ) ∼= H d (iii)⇒(i) Vì H d

m(M/N ) nên ta có

I (M ) ∼= H d

AnnR(H d

m(M/N )).

I (M )) = AnnR(H d

I (M ) là catenary nên vành R/ AnnR H d

m(M/N ) cũng m(M/N ) thỏa mãn tính bảo hòa nguyên

Vậy H d

I (M ) cũng thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố.

Do vành R/ AnnR H d là catenary. Theo Định lý 1.4.13, H d tố và do đó H d

Hệ quả 3.2.4. Cho AssR(I, M ) như trong Kí hiệu 3.2.2. Khi đó ta có

I (M ). Đặc biệt, nếu AssR(I, M ) (cid:54)= ∅ thì

H d

I (M ) (cid:54)= 0.

(i) AssR(I, M ) ⊆ AttR H d

I (M ) thỏa mãn tính bão hòa

(ii) Giả sử AssR(I, M ) (cid:54)= ∅. Khi đó H d

I (M ) = 0.

√

nguyên tố khi và chỉ khi H d

q∈AssR(M ) Ass

I + p = m. Giả sử P ∈ Ass (cid:98)R( (cid:98)R) = (cid:83)

thế P ∩ R = p . Vì Ass Chứng minh. (i) Lấy p ∈ AssR(I, M ). Khi đó p ∈ AssR M, dim(R/ p) = d (cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R) sao cho dim( (cid:98)R/P) = d. Vì và (cid:98)R( (cid:98)R/ q (cid:98)R) nên theo [17,

√

I + p = m. Kéo theo

(cid:98)R( (cid:99)M ). Chú ý rằng

I (cid:98)R + P = m (cid:98)R. Do đó P ∈ Att

I (M )) theo Mệnh đề 1.4.11. Vì vậy

(cid:98)R(H d

Định lý 23.3(ii)] ta có P ∈ Ass (cid:113)

I (M )) theo Mệnh đề 1.2.4. Điều này dẫn đến

AssR(I, M ) ⊆ AttR H d

I (M ).

I (M ) (cid:54)= ∅. Kéo theo H d

I (M ) (cid:54)= 0

p ∈ AttR(H d

Đặc biệt, nếu AssR(I, M ) (cid:54)= ∅ thì AttR H d theo Mệnh đề 1.2.3.

(ii) Giả sử AssR(I, M ) (cid:54)= ∅. Rõ ràng, nếu H d

√

mãn tính bão hòa nguyên tố. Giả sử H d p ∈ AttR(H d dim(R/ p) = d theo Mệnh đề 1.2.4 và 1.4.11. Nếu H d

I (M ) = 0 thì nó thỏa I (M ) (cid:54)= 0. Suy ra tồn tại iđêan I (M )) theo Mệnh đề 1.2.3. Điều này dẫn đến p ∈ AssR(M ) và I (M ) thỏa mãn tính I + p = m theo Định lý 3.2.3 và điều này là mâu

bão hòa nguyên tố thì

thuẫn với giả thiết AssR(I, M ) (cid:54)= ∅.

AttR H d

I (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì I (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, (cid:112)I + p = m}.

I (M ) theo Hệ quả 3.2.4(i). Lấy p ∈ AttR(H d

Hệ quả 3.2.5. Nếu H d

AttR H d

I (M ) = AssR(I, M )

= {p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, (cid:112)I + p = m}.

Chứng minh. Giả sử AssR(I, M ) được xác định như trong Ký hiệu 3.2.2. Khi đó, mỗi phần tử của Ass(I, M ) đều là iđêan nguyên tố gắn kết của H d I (M )). Do đó p ∈ AssR(M ) và dim(R/ p) = d. Vì H d I (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên √ I + p = m theo Định lý 3.2.3. Vì thế p ∈ Ass(I, M ). Điều này dẫn đến

I (M )), được cho bởi công thức

I (M ), kí hiệu là CosR(H d

Định nghĩa 3.2.6. Cho N được xác định như trong Kí hiệu 3.2.2. Tập đối giá của H d

(M/N )p (cid:54)= 0

CosR(H d

I (M )) =

p Rp

(cid:110) (cid:111) p ∈ Spec(R) | H d−dim(R/ p)

I (M )) và

Bổ đề sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa tập đối giá CosR(H d

I (M )).

tập Var(AnnR H d

I (M )) ⊆ Var(AnnR H d

I (M )).

I (M )). Khi đó ta có H d−dim(R/ p)

p Rp

I (M ) theo Hệ quả 3.2.4(i) và do đó q ⊇ AnnR H d

Bổ đề 3.2.7. CosR(H d

I (M )).

Chứng minh. Giả sử AssR(I, M ) và N xác định như trong Kí hiệu 3.2.2. Lấy p ∈ CosR(H d (M/N )p (cid:54)= 0. Theo Mệnh đề 1.2.3(i), tồn tại q Rp ∈ AttRp(H d−dim(R/ p) (M/N )p). Áp dụng Định lý 1.4.9 ta suy ra q ∈ AttR H d m(M/N ). Vì thế q ∈ AssR(M/N ) theo Định lý 1.4.8 và . Chú ý rằng AssR(M/N ) = AssR(I, M ) nên q ∈ AssR(I, M ). Suy ra q ∈ AttR H d I (M ) theo Mệnh đề 1.2.3(ii). Chú ý rằng q ⊆ p . Vậy p ∈ Var(AnnR H d

Bổ đề dưới đây được suy ra từ Định nghĩa 3.2.6, cho ta mối liên hệ

giữa khái niệm đối giá với khái niệm tập giả giá của M. Brodmann và R.

Y. Sharp đã được nhắc lại ở chương 2.

Bổ đề 3.2.8. Cho N được xác định như trong Kí hiệu 3.2.2. Đặt UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Khi đó, ta có

I (M )) = Psuppd m(M )) = Psuppd

R(M/N ). R(M/UM (0)) = Psuppd

R(M ).

(i) CosR(H d (ii) CosR(H d

Chứng minh. (i) Theo định nghĩa tập đối giá ta có

(M/N )p (cid:54)= 0

CosR(H d

I (M )) =

p Rp

= Psuppd

R(M/N ).

(cid:110) (cid:111) p ∈ Spec(R) | H d−dim(R/ p)

AssR(m, M ) = (cid:8)p ∈ AssR(M ) | dim(R/ p) = d(cid:9)

= AssR M/UM (0).

m(M )) = Psuppd

(ii) Thay I = m, trong Kí hiệu 3.2.2, ta được

0 → UM (0) → M → M/UM (0) → 0

Suy ra N = UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Do đó CosR(H d R(M/UM (0)). Chuyển qua địa phương hóa dãy khớp

0 → (UM (0))p → Mp → (M/UM (0))p → 0.

ta được dãy khớp

(Mp) → H d−dim(R/ p)

(M/UM (0))p → 0.

0 → H d−dim(R/ p) p Rp

p Rp

(Mp) ∼= H d−dim(R/ p)

(M/UM (M ))p.

p Rp

Theo chứng minh trên UM (0) là môđun con có chiều nhỏ hơn d nên dim(UM (0))p < d − dim(R/ p). Do đó ta có dãy

R(M ).

Vì thế ta có Rp-đẳng cấu H d−dim(R/ p) R(M/UM (0)) = Psuppd Do đó Psuppd

I (M ))).

I (M ) ∼= H d

(i) H d (ii) CosR(H d Định lý 3.2.9. Các mệnh đề sau là tương đương: I (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; I (M )) = Var(AnnR(H d

Chứng minh. (i)⇒(ii). Giả sử AssR(I, M ) và N được xác định như trong Kí hiệu 3.2.2. Vì H d I (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên ta có đẳng m(M/N ) theo Định lý 3.2.3. Suy ra H d cấu H d m(M/N ) cũng thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Vì thế theo Định lý 3.1.1 và Bổ đề 3.2.8 ta

có

Var

= Psuppd

AnnR H d

R(M/N ) = CosR(H d

I (M )).

(cid:16) (cid:17) m(M/N )

= CosR(H d

AnnR H d

q Rq

(cid:16) (cid:16) Do đó Var (cid:17) I (M )

(cid:17) m(M/N ) I (M )). = Var I (M )). Khi đó q ∈ CosR(H d (ii)⇒(i). Cho q ⊇ AnnR(H d I (M )) theo giả thiết (ii) và do đó H d−dim(R/ q) (M/N )q (cid:54)= 0. Lấy Q ∈ Ass( (cid:98)R/ q (cid:98)R) sao cho dim( (cid:98)R/Q) = dim(R/ q). Khi đó Q ∩ R = q và Q iđêan nguyên tố tối tiểu của q (cid:98)R. Vì ánh xạ cảm sinh Rq → (cid:98)RQ là phẳng hoàn toàn nên ta có

H d−dim( (cid:98)R/Q)

((cid:92)M/N )Q

(M/N )q ⊗ (cid:98)RQ (cid:54)= 0.

∼= H d−dim(R/ q) q Rq

p∈AssR(M ) N(p) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của 0. Khi p∈AssR(I,M ) N (p). Với mỗi p ∈ AssR M , vì Ass(M/N (p)) = {p}

Q (cid:98)RQ Giả sử 0 = (cid:84) đó N = (cid:84) nên theo Bổ đề 3.2.1 ta có

Ass

(3)

(cid:98)R( (cid:99)M /(cid:91)N (p)) = Ass (cid:91)N (p) có phân tích nguyên sơ thu gọn là

(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R). (cid:91)N (p) =

K(p, P),

P∈Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R)

(cid:84) Vì thế

trong đó K(p, P) là môđun con P-nguyên sơ của (cid:99)M . Vì R → (cid:98)R là đồng

K(p, P) và

p∈AssR(I,M )

p∈AssR(I,M ) P∈Ass( (cid:98)R/ p (cid:98)R) (cid:16)

(cid:91)N (p) = (cid:84) cấu phẳng hoàn toàn và mỗi N (p) đều là môđun con của M nên theo [17, Định lý 7.4] ta có (cid:98)N = (cid:84)

0 =

N (p)

N (p) ⊗R (cid:98)R

⊗R (cid:98)R =

p∈AssR M

p∈AssR M (cid:92)

(cid:17) (cid:17) (cid:92) (cid:16) (cid:92)

K(p, P).

p∈AssR M

P∈Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R)

(cid:92) (cid:91)N (p) =

Ass

(cid:98)R (cid:99)M / (cid:98)N = {P ∈ Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R) | p ∈ AssR(I, M )}.

là phân tích nguyên sơ thu gọn của (cid:98)N và 0. Kí hiệu K1 là giao của tất cả (cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R) sao cho các thành phần nguyên sơ K(p, P) trong đó P ∈ Ass dim( (cid:98)R/P) = d và p ∈ AssR(I, M ). Rõ ràng K1 ⊇ (cid:98)N . Kí hiệu U (cid:99)M / (cid:98)N (0) là môđun con lớn nhất của (cid:99)M / (cid:98)N có chiều nhỏ hơn d. Theo Bổ đề 3.2.1, vì AssR(I, M ) = AssR(M/N ) nên

Kéo theo

K(p, P)/ (cid:98)N = K1/ (cid:98)N .

(cid:99)M / (cid:98)N (0) = U

P∈Ass

p∈AssR(I,M ) (cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R),dim( (cid:98)R/P)=d

(cid:92)

0 → (K1/ (cid:98)N )Q → ( (cid:99)M / (cid:98)N )Q → ( (cid:99)M /K1)Q → 0.

Vì thế dim(K1/ (cid:98)N )Q ≤ dim(K1/ (cid:98)N )−dim( (cid:98)R/Q) < d−dim( (cid:98)R/Q). Chuyển qua địa phương hóa dãy khớp 0 → K1/ (cid:98)N → (cid:99)M / (cid:98)N → (cid:99)M /K1 → 0 ta được dãy khớp

Tác động hàm tử đối đồng điều địa phương vào dãy khớp này ta được đẳng

H d−dim( (cid:98)R/Q)

((cid:92)M/N )Q

( (cid:99)M /K1)Q.

Q (cid:98)RQ

∼= H d−dim( (cid:98)R/Q) Q (cid:98)RQ

cấu

Từ (3) ta suy ra

H d−dim( (cid:98)R/Q)

( (cid:99)M /K1)Q (cid:54)= 0

Q (cid:98)RQ

(4)

Như trong Kí hiệu 3.2.2, đặt

Ass

I (cid:98)R + P = m (cid:98)R}.

(cid:98)R(I (cid:98)R, (cid:99)M ) = {P ∈ Ass

(cid:98)R (cid:99)M | dim( (cid:98)R/P) = d,

(cid:113)

Ass

(cid:98)R(I (cid:98)R, (cid:99)M )

Khi đó theo Bổ đề 3.2.1(ii) ta có

= {P ∈ Ass

I (cid:98)R + P = m (cid:98)R}.

(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R) | p ∈ AssR M, dim( (cid:98)R/P) = d,

(cid:113)

K(p, P). Bởi vì

I (cid:98)R + P = m (cid:98)R với mọi iđêan

P∈Ass

(cid:98)R(I (cid:98)R, (cid:99)M )

(cid:113) (cid:84) Đặt K2 =

Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R) nên ta suy ra

p∈AssR(I,M )

Ass

(cid:98)R(I (cid:98)R, (cid:99)M ) ⊇ {P ∈ Ass

(cid:98)R( (cid:98)R/ p (cid:98)R) | p ∈ AssR(I, M ), dim( (cid:98)R/P) = d}.

(cid:83) P ∈

dim(K1/K2)Q ≤ dim(K1/K2) − dim( (cid:98)R/Q) ≤ d − dim( (cid:98)R/Q).

Do đó K2 ⊆ K1. Vì dim(K1) ≤ d nên ta có

0 → K1/K2 → (cid:99)M /K2 → (cid:99)M /K1 → 0

Chuyển qua địa phương hóa dãy khớp

ta được dãy khớp 0 → (K1/K2)Q → ( (cid:99)M /K2)Q → ( (cid:99)M /K1)Q → 0. Tác động hàm tử đối đồng điều địa phương vào dãy khớp này ta được đẳng

H d−dim( (cid:98)R/Q)

( (cid:99)M /K1)Q.

( (cid:99)M /K2)Q

∼= H d−dim( (cid:98)R/Q) Q (cid:98)RQ

Q (cid:98)RQ

cấu

Q (cid:98)RQ

Do đó từ (4) ta suy ra H d−dim( (cid:98)R/Q)

Cos

(cid:17)

( (cid:99)M )) ( (cid:99)M ) ∼= H d

( (cid:99)M ) thỏa mãn

I (M ) và H d I (cid:98)R

( (cid:99)M /K2)Q (cid:54)= 0. Điều này dẫn đến ( (cid:99)M )). Vì H d (cid:98)R(H d ( (cid:99)M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên I (cid:98)R I (cid:98)R (cid:16) (cid:98)R(H d theo chứng minh (i)⇒(ii). Kéo Ann ( (cid:99)M )) = Var I (cid:98)R ( (cid:99)M )). Do H d (cid:98)R(H d I (cid:98)R I (cid:98)R tính bão hòa nguyên tố nên ta có

Ann

I (M ) Q) = Ann

(cid:98)R(0 :H d

( (cid:99)M ) Q) = Q.

I (cid:98)R

Q ∈ Cos (cid:98)R(H d I (cid:98)R theo Q ⊇ Ann

Do đó

I (M ) q) ⊆ Ann

I (M ) Q) ∩ R = Q ∩ Q = q .

(cid:98)R(0 :H d

I (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên

I (M ) q) = q. Vậy H d

q ⊆ AnnR(0 :H d

Suy ra AnnR(0 :H d tố.

Hệ quả 3.2.10. Giả sử q là iđêan m-nguyên sơ. Cho AssR(I, M ) và N xác định như trong Kí hiệu 3.2.2. Nếu H d I (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên

tố thì

e(cid:48)(q, H d

H 0

e(q, R/ p).

(M/N )p

(cid:96)Rp

I (M )) =

p Rp

p∈CosR(H d

I (M ))

dim(R/ p)=d

(cid:16) (cid:17) (cid:88)

Trong trường hợp này,

e(cid:48)(q, H d

(cid:96)Rp(Mp)e(q, R/ p).

I (M )) = e(q, M/N ) =

p∈AssR(I,M )

m(M/N ). Do đó H d

I (M ) ∼= H d

I (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên theo Định m(M/N ) thỏa mãn tính bão R(M/N ) theo Bổ đề

I (M )) = Psuppd

(cid:88)

e(cid:48)(q, H d

m(M/N )) (cid:16)

Chứng minh. Vì H d lý 3.2.3 ta có H d hòa nguyên tố. Chú ý rằng CosR(H d 3.2.8. Vì thế, theo Hệ quả 3.1.3 ta có

I (M )) = e(cid:48)(q, H d (cid:88)

H 0

e(q, R/ p).

(M/N )p

(cid:96)Rp

p Rp

p∈CosR(H d

I (M ))

dim(R/ p)=d

I (M )). Vì vậy p ∈ AttR H d

(Mp) ∼= H 0

p Rp

(cid:17)

p Rp

AssR(M/N ) = AssR(I, M ) = {p ∈ CosR(H d

I (M )) | dim(R/ p) = d}

Lấy p ∈ CosR(H d I (M )) sao cho dim(R/ p) = d. Theo Định lý 3.2.9 ta có p ∈ min Var(AnnR H d I (M ) theo Mệnh đề 1.2.3(ii) và do đó p ∈ AssR(I, M ) theo Hệ quả 3.2.5. Theo chứng minh trên ta có AssR(N ) = AssR(M ) \ AssR(I, M ). Vì thế p /∈ AssR(N ). Do dim(R/ p) = d nên p /∈ SuppR N. Vì thế H 0 (M/N )p. Chú ý rằng q là iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của M nên (cid:96)Rp(Mp) < ∞. Suy ra H 0 (Mp) = Mp. Kết hợp những tính chất trên với chú ý rằng

khẳng định còn lại được suy ra ngay từ công thức bội liên kết e(q, M/N )

của M/N tương ứng với q .

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày lại một số kết quả gần đây trong các bài báo

[3], [24], [20], [22] về tập iđêan nguyên tố gắn kết, tính bão hòa nguyên tố

và số bội của môđun đối đồng điều địa phương Artin.

Trong trường hợp vành cơ sở R là thương của vành Cohen-Macaulay,

luận văn đã trình bày công thức số bội của môđun đối đồng điều địa phương

với giá cực đại (Định lý 2.2.4) và chỉ ra mối liên hệ giữa tập iđêan nguyên tố

(Mp)

p Rp

( (cid:99)MP) (Định lý 2.3.6). Trong chương 3, luận văn trình bày đặc

gắn kết, số bội của hai môđun đối đồng điều địa phương Artin H i

và H i+rP P (cid:98)RP

trưng tính chất bão hòa của các môđun đối đồng điều địa phương Artin

và mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết, xây dựng công thức số bội khi các

môđun này thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố (Hệ quả 3.1.3, 3.2.11, ).

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] T. Đ. M. Châu (2014), Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối

Tiếng Anh

đồng điều địa phương, Luận án tiến sĩ, Đại học Sư phạm Huế.

[2] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic

introduction with geometric applications, Cambridge University Press.

[3] M. Brodmann and R. Y. Sharp (2002), On the dimension and multi-

plicity of local cohomology modules, Nagoya Math. J., 167, 217-233.

[4] M. Brodmann and C. Rotthaus (1983), A peculiar unmixed domain,

Proc. AMS., (4)87, 596-600.

[5] W. Bruns and J. Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge

University Press.

[6] N. T. Cuong, D. T. Cuong and H. L. Truong (2010), On a new invari-

ant of finitely generated modules over local rings, Journal of Algebra

and Its Applications. 9, 959-976.

[7] N. T. Cuong, N. T. Dung, L. T. Nhan (2007), Top local cohomology

and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated

module, Comm. Algebra. 35, 1691-1701.

[8] N. T. Cuong, L. T. Nhan (2002), On the Noetherian dimension of

Artinian modules, Vietnam J. Math. 30 (2) 121-130.

[9] N. T. Cuong, L. T. Nhan, N. T. K. Nga (2010), On psuedo supports an

non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module, J. Algebra.

323, 3029-3038.

[10] D. Delfino, T. Marley (1997), Cofinite modules and local cohomology,

J. Pure Appl. Algebra, 121, 45-52.

[11] K. Divaani-Aazar and P. Schenzel (2001), Ideal topology, local coho-

mology and connectedness, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 131, 211-

226.

[12] N. S. Gopalakrishnan (1984), Commutative Algebra, Oxonian Press

Pvt. Ltd.

[13] T. Kawasaki (2001), On arthmetic Macaulayfication of Noetherian

rings, Trans. Amer. Math. Soc., 354, 123-149.

[14] D. Kirby (1990), Artinian modules and Hilbert polynomials, Quart. J.

Math. Oxford., (2)24, 47-57.

[15] I. G. Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a

commutative ring, Symposia Mathematica, 11, 23-43.

[16] I. G. Macdonald and R. Y. Sharp (1972), An elementary proof of the

non-vanishing of certawin local cohomology modules, Quart. J. Math.

Oxford, (2)23, 197-204.

[17] H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge Univer-

sity Press.

[18] S. McAdam, L. J. Ratliff (1977), Semi-local taut rings, Indiana Univ.

Math. J. 26,73-79.

[19] M. Nagata (1962), Local ring, Interscience. New York.

[20] L. T. Nhan, T. N. An (2009), On the unmixedness an the universal

catenaricity of local rings and local cohomology modules, J. Algebra.

321, 303-311.

[21] L. T. Nhan, T. N. An (2010), On the catenaricity of Noetherian local

rings and quasi unmixed Artinian modules, Comm. Algebra. 38, 3728-

3726.

[22] L. T. Nhan, T. D. M. Chau (2012), On the top local cohomology mod-

ules, J. Algebra. 349, 342-352.

[23] L. T. Nhan, P. H. Quy (2014), Attached primes of local cohomology

modules under localization and completion, J. Algebra. 420, 475-485.

[24] L. T. Nhan, T. N. An, L. P. Thao (2018), Local cohomology modules

via certain flat extension rings, J. Algebra. 503, 340-355.

[25] R. N. Roberts (1975), Krull dimension for Artinian modules over quasi

local commutative rings, Quart. J. Math. Oxford, 26, 269-273.

[26] R. Y. Sharp (1990), Steps in Commutative Algebra, Cambridge Uni-

versity Press.

[27] R. Y. Sharp (1975), Some results on the vanishing of local cohomology

modules, Proc. London Math. Soc., 30, 177-195.

[28] R. Y. Sharp (1981), On the attacked prime ideal of certain Artinian

local cohomology modules, Proc. Endinburgh Math. Soc., 24, 9-14.

[29] Shiro Goto (2016), Homological methods in commutative Algebra, Viet-

nam Academy of Sience and Technoloy Institute of Mathematics.

[30] L. J. Ratliff (1971), Characterizations of catenary rings, Amer. J.

Math., 93, 1070-1108.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về môđun đối đồng điều địa phương Artin

Ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8 46 01 04

Mục lục

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương 2

Môđun đối đồng điều địa phương

Artin trong trường hợp thương của

vành Cohen-Macaulay

Chương 3

Môđun đối đồng điều địa phương

Artin thỏa mãn tính bão hòa

nguyên tố

KẾT LUẬN

Tài liệu tham khảo

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Chế tạo và nghiên cứu tính chất điện, từ của vật liệu multiferroic Ba₀.₇Ca₀.₃TiO₃/ NiFe₂O₄

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu vật liệu biến hóa dạng chuỗi một chiều chế tạo từ kim loại đồng trên đế FR-4 hoạt động tại tần số MHz ứng dụng trong truyền năng lượng không dây

Luận văn Thạc sĩ: Đánh giá khả năng tác động tới môi trường biển của việc xả nước thải từ sự cố nhà máy điện hạt nhân Fukushima sử dụng công cụ ERICA

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng mô hình đầu dò nơtron và gamma sử dụng nhấp nháy EJ-276 ghép nối với mảng nhân quang silicon

Luận văn Thạc sĩ: Đánh giá khả năng ảnh hưởng của bức xạ ion hóa đến sức khỏe cư dân khu vực mỏ đất hiếm Đông Pao, xã Bản Hon, huyện Tam Đường, tỉnh Lai Châu

Luận văn Thạc sĩ: Sử dụng phương pháp nhiễu xạ neutron khảo sát cấu trúc tinh thể và pha trật tự từ trong vật liệu Pr2FeCrO6

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu phân lập, xác định cấu trúc và hoạt tính ức chế NO của các hợp chất thứ cấp từ chủng vi nấm biển Aspergillus sp. CL251

Luận văn Thạc sĩ: Phân tích một số hợp chất bisphenol thôi nhiễm từ bao bì nhựa lên một số mẫu thực phẩm nền tinh bột

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và đánh giá hoạt tính kháng khuẩn, kháng nấm của loài hoa mộc (Osmanthus fragrans (Thunb.) Lour.) ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và đánh giá tác dụng kháng viêm của loài côi Turpinia montana (Blume) Kurz

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đặc trưng tính chất vật liệu composite có cấu trúc nano chitosan–cyclodextrin/TiO₂–Ag

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu chế tạo và khảo sát một số tính chất của màng phủ trên cơ sở nhựa epoxy gốc nước và khung cơ kim - ZIF

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất napthoquinone chứa nguyên tố flo bằng phản ứng đa thành phần

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu điều chế vật liệu Bioglass và tổ hợp lai với polymer ALG-F127 định hướng ứng dụng trong điều trị nội nha

Luận văn Thạc sĩ: Khảo sát thành phần hóa học và hoạt tính ức chế enzyme α-glucosidase trên một số hợp chất phân lập từ thịt quả bình bát nước (Annona glabra L.).

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp chất lai chứa khung tetrahydro-β-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất của benzazole

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu chiết tách lignin từ vỏ sầu riêng Ri6 (Durio zibethinus Murr.) và tổng hợp vật liệu biocomposite định hướng ứng dụng trong bảo quản sau thu hoạch

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hạt nano bạc phủ acid hyaluronic mang doxorubicin định hướng ứng dụng trong điều trị ung thư

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và hoạt tính kháng viêm của loài rau dừa nước (Ludwigia adscendens)

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok