Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đối đồng điều địa phương của môđun a-Minimax

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn này sẽ trình bày khái niệm, tính chất của môđun a-minimax (viết tắt là a-minimax) và cho thấy rằng kết quả của Brodmann và Lashgari ở trên vẫn đúng cho lớp R-môđun a-minimax. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đối đồng điều địa phương của môđun a-Minimax

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Chƣơng Hoa Anh ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Chƣơng Hoa Anh ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2015
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN-SĐH của trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, GS.TS Bùi Xuân Hải và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khóa 24 của trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh. Cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Minh Trí (Đại học Đồng Nai) đã dành thời gian đọc toàn bộ luận văn và cho tôi nhiều nhận xét, góp ý rất quí báu để luận văn được hoàn thành tốt hơn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn. Tp.HCM, ngày 1 tháng 9 năm 2015 Chương Hoa Anh
BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT Spec R : Tập các iđêan nguyên tố của vành R. Ass(M) : Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M. V() : Tập các iđêan nguyên tố (trong vành R cho trước) chứa iđêan . HomR(M, N) : Tập tất cả các R-đồng cấu f : M ⟶ N. Supp(M) : Giá của môđun M. Gdim M : Chiều Goldie của môđun M. GdimM : Chiều Goldie -tương đối của môđun M. Hi ( M ) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan . E(M) : Bao nội xạ của môđun M.  (M ) : Môđun con -xoắn của môđun M. MP : Địa phương hóa của môđun M tại iđêan nguyên tố P.
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT MỤC LỤC MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................... 3 1.1 Hàm tử Ext ..................................................................................................... 3 1.2 Địa phương hóa .............................................................................................. 5 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết và giá ..................................................................... 9 1.4 Hàm tử -xoắn .............................................................................................. 12 1.5 Môđun đối đồng điều địa phương ............................................................... 14 1.6 Bao nội xạ ..................................................................................................... 16 1.7 Số Bass ......................................................................................................... 20 Chƣơng 2: MÔĐUN -MINIMAX VÀ CHIỀU GOLDIE ..................................... 21 2.1 Chiều Goldie ................................................................................................ 21 2.2 Môđun minimax ........................................................................................... 22 2.3 Môđun -minimax ........................................................................................ 24 Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX ....... 32 3.1 Môđun -cominimax và đối đồng điều địa phương ................................... 32 3.2 Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết ................................... 36 KẾT LUẬN................................................................................................................... 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 41
1 MỞ ĐẦU Cho R là một vành Noether giao hoán,  là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh. Một câu hỏi quan trọng trong đại số giao hoán được đưa ra là khi nào thì tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i là Hi  M  là hữu hạn. Brodmann và Lashgari [11, Định lý 2.2] đã chỉ ra rằng nếu cho M là R-môđun hữu hạn sinh và một số nguyên không âm t sao cho các môđun đối đồng điều địa phương H0  M  , H1  M  ,..., Ht 1  M  là hữu hạn sinh. Khi đó, Ass R Ht  M  là hữu hạn. Theo [5] thì một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn ( G dimM <  ) nếu M không chứa tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác không, hoặc bao nội xạ E(M) của M được phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con không phân tích được (nội xạ). Ngoài ra, một R-môđun M có chiều Goldie -tương đối hữu hạn nếu chiều Goldie của môđun con -xoắn Γ(M ) của M là hữu hạn. Ta gọi R-môđun M là -minimax nếu chiều Goldie -tương đối của bất kỳ môđun thương trong M là hữu hạn. Luận văn này sẽ trình bày khái niệm, tính chất của môđun -minimax (viết tắt là -minimax) và cho thấy rằng kết quả của Brodmann và Lashgari ở trên vẫn đúng cho lớp R-môđun -minimax. Cụ thể nội dung chính trong luận văn này là chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau đây: Định lý 3.2.2. Cho R là vành giao hoán Noether,  là một iđêan của R và M là một R-môđun -minimax. Cho t là một số nguyên không âm sao cho Hi  M  là - minimax với mọi i < t . Khi đó, với mọi R-môđun con -minimax N của Ht  M  thì
2   R-môđun Hom R R / ,Ht  M  / N là -minimax. Nói riêng, chiều Goldie của Ht  M  / N là hữu hạn và do đó Ass R (Ht  M  / N ) là hữu hạn. Nội dung của luận văn bao gồm 3 chương, có thể tóm tắt như sau: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái niệm và một số kết quả về hàm tử Ext, địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết và giá, hàm tử -xoắn, môđun đối đồng điều địa phương, bao nội xạ và số Bass. Chƣơng 2: Môđun -minimax và chiều Goldie. Chương này trình bày khái niệm về chiều Goldie, môđun -minimax và một số tính chất của môđun - minimax, trong đó có tính chất quan trọng là Mệnh đề 2.3.3 được áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2. Chƣơng 3: Đối đồng điều địa phƣơng của môđun -minimax. Chương này được chia 2 mục nhỏ là 3.1 và 3.2. Mục 3.1 trình bày khái niệm về môđun - cominimax và một số tính chất của nó, trong đó có tính chất quan trọng là Hệ quả 3.1.6 được áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2. Mục 3.2 sẽ cho thấy rằng kết quả của Brodmann và Lashgari trong [11, Định lý 2.2] vẫn đúng cho lớp R-môđun - minimax, đây cũng là phần chính của luận văn này. Trong Chương 1 thì vành R luôn là vành giao hoán, Chương 2 và Chương 3 thì vành R luôn là vành giao hoán Noether và có đơn vị khác không,  là một iđêan của R. Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo iđêan  được định nghĩa như sau: i i n H ( M ) = lim Ext R ( R / , M ). n≥1 Độc giả có thể tham khảo thêm trong [12, Định lý 1.3.8].
3 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm, tính chất, mệnh đề mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3, vành R trong chương này luôn là vành giao hoán. Chúng tôi không chứng minh chi tiết các tính chất, mệnh đề, định lý ở chương này, độc giả có thể tham khảo thêm ở một số tài liệu [1], [2], [3], [4], [7], [12], [15], [16]. 1.1 Hàm tử Ext Cho A, C là các R-môđun. Xét phép giải xạ ảnh của C n 1 X : ...  X n  X n-1  ...  X1  X 0  C  0 . Phức thu gọn tương ứng của X là: n 1 X : ...  X n  X n1  ...  X1  X 0  0 . Ta có dãy nửa khớp sau: 0 1  n 1 Hom( X , A) : 0  Hom( X 0 ,A)  Hom( X 1 ,A)  ...  Hom( X n 1 ,A)   n 1 n  Hom( X n ,A)  Hom( X n 1 ,A)  .... trong đó các đồng cấu  n  (1)n 1 *n 1 , với mọi n  0. Với mọi số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n của phức này là:   Hn Hom  X ,A  Kerδ n / Im δ n-1, gọi là tích mở rộng n-chiều của môđun A bởi C, kí hiệu là Ext nR (C,A). Khi vành R đã được chỉ rõ, ta kí hiệu đơn giản hơn là Extn(C,A). Mệnh đề 1.1.1. Cho A, C là các R-môđun. Khi đó
4 Ext0(C,A) ≅ Hom(C,A). Mệnh đề 1.1.2. Tích mở rộng n-chiều Extn là hàm tử của hai biến, phản biến theo biến thứ nhất và hiệp biến theo biến thứ hai. Nói riêng, Ext n (, B) (tương ứng Ext n ( A,  ) ) là các hàm tử phản biến (tương ứng hàm tử hiệp biến) từ phạm trù các môđun và các đồng cấu tới phạm trù Ab các nhóm Abel, với mọi môđun A (tương ứng mọi môđun B). Mệnh đề 1.1.3. Với mỗi R-môđun G và bất kì dãy khớp ngắn các R-môđun χ ζ 0   A   B   C   0 ta luôn có các khớp dài sau: * * ζ χ E ...   Ext n ( B,G )   Ext n ( A,G)  *  Ext n+1 (C,G)   ... , (1) χ ζ E ...  *  Ext n (G,B)  *  Ext n (G,C )  *  Ext n+1 (G,A)   ... . (2) Các dãy này được bắt đầu bởi các thành viên (bên trái) tương ứng là 0 ⟶ Hom(C,G) = Ext0(C,G) (đối với dãy (1)) và 0 ⟶ Hom(G,A) = Ext0(G,A) (đối với dãy (2)) và kéo dài về bên phải theo tất cả n = 0, 1, 2,…. Mệnh đề 1.1.4. Cho A là môđun bất kỳ trên vành R. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương (i) A là xạ ảnh. (ii) Ext( A, B)  0 với mọi môđun B trên vành R. (iii) Ext n ( A, B)  0 với mọi n > 0 và mọi môđun B trên vành R. Mệnh đề 1.1.5. Cho B là môđun bất kỳ trên vành R. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương (i) B là nội xạ. (ii) Ext( A, B)  0 với mọi môđun A trên vành R.
5 (iii) Ext n ( A, B)  0 với mọi n > 0 và mọi môđun A trên vành R. Mệnh đề 1.1.6. Cho họ các môđun {X i }iI và R-môđun A. Khi đó, ta có đẳng cấu Ext n ( A,  X i )   Ext n ( A,X i ). iI iI Mệnh đề 1.1.7. Cho A và B là các R-môđun tùy ý, 0M  P  A0 là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó P là môđun xạ ảnh trên R. Khi đó ta có Ext n ( A, B)  Ext n1( M , B) víi mäi n  1. Mệnh đề 1.1.8. Cho A và B là các R-môđun tùy ý, 0  B  J  B'  0 là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó J là môđun nội xạ trên R. Khi đó ta có Ext n ( A, B)  Ext n1( A, B ') víi mäi n  1. 1.2 Địa phƣơng hóa Vành R ở đây là vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0. Định nghĩa 1.2.1 ( Iđêan nguyên tố) Iđêan P của R được gọi là nguyên tố nếu P ≠ R và với mọi x,y ∈ R, từ xy ∈ P suy ra hoặc x ∈ P hoặc y ∈ P. Iđêan nguyên tố P của R được gọi là tối tiểu trên  nếu nó là iđêan nguyên tố thực sự nhỏ nhất chứa . Định nghĩa 1.2.2. Một tập S ⊂ R được gọi là tập con nhân của R nếu S thỏa 2 tính chất là: 1 ∈ S và với mọi x,y ∈ S thì xy ∈ S.
6 Giả sử S là tập con nhân của R. Trên tập A x S ta định nghĩa quan hệ hai ngôi ~ như sau: (a, s) ~ (a ', s ') khi và chỉ khi tồn tại t  S sao cho (as ' a ' s)t  0. Dễ thấy ~ là một quan hệ tương đương trên A x S . Kí hiệu tập thương ( A x S ) là ~ a S 1 A . Kí hiệu lớp tương đương của phần tử (a, s) là . Ta đặt s r  S 1R   | r  R , s  S . s  r r' r r' rs' + r's Với mọi ,  S 1R , ta định nghĩa * Phép cộng (+) : + = . s s' s s' ss' r r' rr' * Phép nhân (.) : . = . s s' ss' Khi đó ( S 1 R,+, .) là vành giao hoán có đơn vị, gọi là vành các thương của vành R theo tập con nhân S. Định nghĩa 1.2.3 (Địa phƣơng hóa của vành R) Cho P là iđêan nguyên tố của vành R. Tập S  R \ P là tập con nhân của R. Ta kí hiệu RP = S 1 R. Khi đó, vành RP là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là r  tập hợp S 1P =  | r  P , s  S  và được gọi là địa phương hóa của vành R theo s  iđêan nguyên tố P. Định nghĩa 1.2.4 (Môđun các thƣơng) Cho R-môđun M, S là tập con nhân của R. Trên tập M x S ta định nghĩa quan hệ hai ngôi ~ như sau: (m, s) ~ (m ', s ') khi và chỉ khi tồn tại t  S sao cho t (sm ' s ' m)  0. Dễ thấy ~ là một quan hệ tương đương trên M x S . Kí hiệu tập
7 m thương ( M x S ) là S 1M . Kí hiệu lớp tương đương của phần tử (m, s) là . Ta ~ s đặt m  S 1M =  | m  M , s  S . s  m m' a Với mọi ,  S 1M ,với mọi  S 1R ta định nghĩa s s' s m m' ms' + m's * Phép cộng (+) : + = . s s' ss' a m' am' * Phép nhân (.) : . = . s s' ss' Khi đó ( S 1M , ,.) là một S 1R -môđun gọi là môđun các thương của R- môđun M theo tập con nhân S. Hiển nhiên S 1M cũng là một R-môđun với phép m rm nhân ngoài r. = . s s Định nghĩa 1.2.5 (Địa phƣơng hóa của R-môđun M) Cho P là iđêan nguyên tố của vành R. Tập S  R \ P là tập con nhân của R. Ta kí hiệu S 1R = RP và S 1M = M P . Ta gọi RP và MP là địa phương hóa của vành R và môđun M theo iđêan nguyên tố P. Mệnh đề 1.2.6. Cho dãy khớp các R-môđun N  f  M  g L và giả sử S là một tập đóng nhân của R. Khi đó ta có dãy khớp các S -1R-môđun sau: 1 1 S 1N  S f  S 1M  S g  S 1L.
8 Mệnh đề 1.2.7. Cho N là một môđun con của R-môđun M và S là một tập đóng nhân của R thì ta có đẳng cấu S-1R-môđun S 1(M / N)  S 1M / S 1N. Mệnh đề 1.2.8. Cho f : N ⟶ M và g : M ⟶ L là những đồng cấu R-môđun. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) Dãy N  f  M  g L là khớp (ii) Dãy NP  f  M P  P g  LP P là khớp với mọi iđêan nguyên tố P của R. (iii) Dãy N  f  M  g L là khớp với mọi iđêan cực đại  của R. Mệnh đề 1.2.9 (Tính bảo toàn tổng qua địa phƣơng hóa). Cho {Mi}i∈I là một họ các môđun con của R-môđun M và S là một tập đóng nhân của R. Khi đó ta có S 1 ( M i )   S 1M i . iI iI Mệnh đề 1.2.10 (Tính bảo toàn tổng trực tiếp qua địa phƣơng hóa). Cho {Mi}i∈I là một họ các môđun con của R-môđun M và S là một tập đóng nhân của R. Khi đó ta có S 1(  M i )   S 1M i . iI iI
9 Mệnh đề 1.2.9 (Tính bảo toàn giao hữu hạn qua địa phƣơng hóa). Cho {M1,…,Mn} là một họ hữu hạn các môđun con của R-môđun M và S là một tập đóng nhân của R. Khi đó ta có n n S 1( M i )   S 1M i . i 1 i 1 Mệnh đề 1.2.10. Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R thì S 1M là một S 1R -môđun Noether. 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết và giá Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M ( x ≠ 0 ) sao cho P = Ann(x). Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssRM. Nếu vành R được chỉ rõ thì ta có thể kí hiệu đơn giản hơn là Ass(M) . Giá của môđun M, kí hiệu: SuppRM = { P ∈ Spec R | MP ≠ 0 }. Nếu vành R được chỉ rõ thì ta có thể kí hiệu đơn giản hơn là Supp(M). Đặt V() = { P ∈ Spec R |  ⊆ P } là tập các iđêan nguyên tố trong R chứa . Nếu R là vành Noether và  là một iđêan của R thì Supp(R / ) = V(). Mệnh đề 1.3.2. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và  là một iđêan của R. Khi đó Supp(M ) ⊂ V() khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho kM = 0. Định lý 1.3.3. Cho M là một R-môđun và  là một iđêan của R. Khi đó, ta có: (i) M ≠ 0 khi và chỉ khi Supp(M ) ≠ ∅. (ii) V() = Supp(R / ).
10 (iii) Nếu M = Σ Mi thì Supp(M ) = ∪ Supp(Mi ) . (iv) Nếu M là hữu hạn sinh thì Supp(M ) = V(Ann(M )). Mệnh đề 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh,  là một iđêan bất kì của R, khi đó: Supp(M / M ) = V(+AnnM ). Định lý 1.3.5. Cho R là vành Noether, M là R-môđun khác 0. Khi đó: (i) Phần tử tối đại của F = {Ann(x) | 0 ≠ x ∈ M } là iđêan nguyên tố liên kết của M. Hay AssRM ≠ ∅. (ii) Tập các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M. Mệnh đề 1.3.6. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một R-môđun bất kỳ. Khi đó : Ass(HomR(M, N )) = Supp(M ) ∩ Ass(N ). Mệnh đề 1.3.7. Cho M, N, P là các R-môđun và dãy khớp ngắn 0 ⟶ M ⟶ N ⟶ P ⟶ 0. Khi đó, ta có: (i) Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪ Ass(P). (ii) Supp(N ) = Supp(M ) ∪ Supp(P). Mệnh đề 1.3.8. Cho R là vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, ta có: (i) AssRM là tập hữu hạn. (ii) AssRM ⊂ Supp(M).
11 (iii) Tập các phần tử tối tiểu của AssRM và Supp(M) trùng nhau. Mệnh đề 1.3.9. Nếu N là một môđun con của một R-môđun M thì Ass(N ) ⊆ Ass(M ). Mệnh đề 1.3.10. Cho M là một R-môđun. Khi đó ta có các khẳng định sau đây: (i) Nếu M = 0 thì Ass(M) = ∅. (ii) Nếu M ≠ 0 và R là vành Noether thì Ass(M) ≠ ∅. (iii) Nếu P là một iđêan nguyên tố của vành R thì AssR( R / P ) = {P}. Mệnh đề 1.3.11. Nếu có một dãy lồng nhau các môđun con của M M  M n  M n1  ...  M 0  0 , thì n Ass( M )  Ass( M i / M i 1). i 1 Mệnh đề 1.3.12. Cho M là một R-môđun Artin khi đó Ass R ( M ) là tập hữu hạn. Định lý 1.3.13. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R, M  0 . Khi đó tồn tại một dãy các môđun con 0  M 0  M1  ...  M n  M và một họ các iđêan nguyên tố P1,..., Pn của R sao cho M i / M i 1  R / Pi với mọi i  1,...,n , đồng thời Ass(M )  {P1,..., Pn}  Supp(M ). Định lý 1.3.15. Cho ( M i )iI là một họ tùy ý các R-môđun với I là một tập khác rỗng. Khi đó
12 Ass(  M i )   Ass( M i ). iI iI 1.4 Hàm tử -xoắn Cho  là một iđêan của vành giao hoán R. Với m i R-môđun M, ta đặt:  M   n 0 : M n .  Trong đó: 0 :M n   {m  M , n m  0} , môđun   M  được gọi là môđun -xoắn của R-môđun M. Chú ý rằng   M  là môđun con của M. Mệnh đề 1.4.1. Gọi f : M ⟶ N là một đồng cấu giữa các R-môđun. Khi đó f    M      N . Do đó ta có đồng cấu   f  :  M    N là thu hẹp của f trên   M  . Khi đó,  là một hàm tử cộng tính hiệp biến từ phạm trù các R-môđun vào chính nó,  còn được gọi là hàm tử -xoắn. Thật vậy, nếu g : M  N và h : N  L là các đồng cấu R-môđun và r ∈ R, ta kiểm tra được   h f     h   f ,   Id M   Id  M  , (IdM là ánh xạ đồng nhất từ M vào M )   rf   r  f ,  f  g    f    g. Mệnh đề 1.4.2. Cho ,  là các iđêan của vành R. Với mỗi R-môđun M, ta có
13 Γ  Γ  M   = Γ +  M . Mệnh đề 1.4.3. Cho , là các iđêan của vành R. Khi đó,    khi và chỉ khi  . Mệnh đề 1.4.4. Cho R là vành Noether,  là một iđêan của R, M là một R-môđun. Khi đó, ta có : (i) 0 (M )  M và  R (M )  0. (ii) Nếu  thì  (M )   (M ). Định nghĩa 1.4.5. Cho R là vành giao hoán có đơn vị,  là iđêan khác không của R và M là R-môđun. Ta nói M là -xoắn tự do nếu Γ  M  = 0 và M là -xoắn khi Γ(M) = M. Mệnh đề 1.4.6. Cho R là vành giao hoán có đơn vị,  là một iđêan khác không của R. Khi đó với mỗi R-môđun M, ta có: Γ (M / Γ (M )) = 0 . Mệnh đề 1.4.7. Nếu M là R-môđun nội xạ thì  ( M ) cũng là R-môđun nội xạ. Mệnh đề 1.4.8. Cho I là một R-môđun nội xạ thì dãy khớp 0   (I )  I  I /  (I )  0 là dãy chẻ. Mệnh đề 1.4.9. Cholà một iđêan của vành Noether R. Cho M là một R-môđun - xoắn. Khi đó tồn tại một đơn cấu i : M ⟶ I sao cho I là môđun nội xạ và là môđun -xoắn. Mệnh đề 1.4.10. Với  là iđêan của R và với bất kỳ dãy khớp ngắn các R-môđun f g 0  N  M  L  0.
14 Dãy sau đây là khớp Γ (f) Γ (g) 0  Γ ( N )  Γ ( M )  Γ ( L) . Mệnh đề 1.4.11. Cho M là một R-môđun. Khi đó, ta có: (i) Ass( (M ))  Ass( M /  ( M ))   (ii) Ass(M )  Ass( (M )) Ass(M / (M )). 1.5 Môđun đối đồng điều địa phƣơng Định nghĩa 1.5.1 (Các hàm tử đối đồng điều địa phƣơng) Với mỗi i ∈ ℕ, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Γ được kí hiệu là Hi được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng với iđêan . Với mỗi R-môđun M, ta gọi Hi (M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo iđêan . Mệnh đề 1.5.2. Cho R là vành giao hoán Noether,  là iđêan của R và dãy khớp ngắn 0  M '  M  M ''  0. Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương 0  Γ (M' )  Γ (M )  Γ ( M'' )  H1 ( M' )  H1 ( M )  H1 ( M'')  H 2 ( M' )  ... ....  Hi (M )  Hi ( M'' )  Hi+1 ( M' )  .... Mệnh đề 1.5.3. Với mọi nhóm giao hoán G và với mọi a ∈ ℤ, ta có: Hi a (G)  0 với mọi i ≥ 2. Định lý 1.5.4. Với mọi R-môđun M và với mọi i ∈ ℕ, ta có i i n H ( M )  lim Ext R ( R / , M ). n≥1
15 Mệnh đề 1.5.5. Cho M là một R-môđun -xoắn. Khi đó, tồn tại một phép giải nội xạ của M : 0  M  I 0  ...  I n  ... trong đó I i là R-môđun -xoắn với mọi i  0. Mệnh đề 1.5.6. Cho R là vành giao hoán Noether,  là iđêan của R, M là R-môđun. Khi đó, nếu M là -xoắn thì Hi (M ) = 0 với mọi i  1. Mệnh đề 1.5.7. (i) Với mỗi R-môđun N thì Hi ( ( N ))  0 với mọi i  0 . (ii) Với mỗi R-môđun N thì toàn cấu chiếu  : N  N /  ( N ) cảm sinh các đẳng cấu  Hi ( ) : Hi ( N )  Hi ( N /  ( N )) với mọi i  0 . Mệnh đề 1.5.8. Cho M là một R-môđun -xoắn và một phép giải nội xạ của M d 1 d0 di I * : 0  I  I  ...  I  I i 1  ... . 0 1 i Khi đó phức  ( d 1 )  (d i )  ( I *) : 0   ( I 0 ) ...   ( I i )   ( I i 1)  ... cũng là một phép giải nội xạ của M. Mệnh đề 1.5.9. Cho ,  là hai iđêan của vành giao hoán R và M là một R-môđun -xoắn. Khi đó, ta có đẳng cấu Hi  ( M )  Hi ( M ) với mọi i ≥ 0. Mệnh đề 1.5.10. Cho  là iđêan của vành giao hoán Noether R, M là R-môđun. Nếu  được sinh bởi t phần tử thì Hi (M ) = 0 với mọi i  t.