Luận văn: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong suốt luận văn này luôn giả thiết R là một vành giao hoán, Noether, có đơn vị. Cho I là iđêan của R. Mặc dù đã có nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương Hi I(M) của một R-môđun M ứng với giá I, nhưng cho đến nay người ta vẫn biết rất ít thông tin về môđun này. Ngay cả khiM là hữu hạn sinh, môđun đối đồng điều địa phương vẫn không nhất thiết là hữu hạn sinh và cũng không nhất thiết là Artin. Thậm chí người ta còn không biết khi nào thì môđun này triệt...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  PHẠM MAI LAN MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE Chuyªn ngµnh: Đại số và lý thuyết số M· sè: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên, 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Ph¹m trï con Serre vµ mét sè chuÈn bÞ vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng 6 1.1 Ph¹m trï con Serre .................... 6 S 1.2 §iÒu kiÖn (CI ) trªn ph¹m trï con Serre S ......... 11 1.3 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng . . . . . . . . . . . . . . 15 S -chÝnh quy vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng 2 D·y 19 2.1 D·y S -chÝnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i 2.2 §iÒu kiÖn ®Ó HI (M ) ∈ S víi mäi cÊp i < n . . . . . . . . 27 2.3 S -®é s©u vµ mét sè ®Æc trng cña S -®é s©u . . . . . . . . . 35 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
2 Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn. Nh©n dÞp nµy t«i xin ch©n thµnh bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c« vµ gia ®×nh. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi GS. TSKH NguyÔn Tù Cêng, GS. TSKH Lª TuÊn Hoa, PGS. TS NguyÔn Quèc Th¾ng ë ViÖn To¸n häc Hµ Néi; TS. NguyÔn ThÞ Dung cïng toµn thÓ c¸c thÇy c« gi¸o khoa To¸n vµ Phßng §µo t¹o sau §¹i häc trêng §¹i häc S ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt thêi gian häc tËp t¹i trêng. T«i còng rÊt biÕt ¬n c¸n bé, gi¸o viªn trêng PTTH Phôc Hoµ, Së GD§T Cao B»ng, TØnh Cao B»ng n¬i t«i ®ang c«ng t¸c ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi nhÊt ®Ó t«i hoµn thµnh kÕ ho¹ch häc tËp cña m×nh. T«i còng xin bµy tá sù quý mÕn cña m×nh tíi gia ®×nh, bè mÑ, anh chÞ vµ chång t«i, c¸c b¹n t«i, nh÷ng ngêi ®· lu«n ®éng viªn, khuyÕn khÝch t«i hoµn thµnh c«ng viÖc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3 Lêi nãi ®Çu Trong suèt luËn v¨n nµy lu«n gi¶ thiÕt R lµ mét vµnh giao ho¸n, Noether, cã ®¬n vÞ. Cho I lµ i®ªan cña R. MÆc dï ®· cã nhiÒu nhµ to¸n i häc quan t©m nghiªn cøu m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng HI (M ) cña mét R-m«®un M øng víi gi¸ I , nhng cho ®Õn nay ngêi ta vÉn biÕt rÊt Ýt th«ng tin vÒ m«®un nµy. Ngay c¶ khi M lµ h÷u h¹n sinh, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng vÉn kh«ng nhÊt thiÕt lµ h÷u h¹n sinh vµ còng kh«ng nhÊt thiÕt lµ Artin. ThËm chÝ ngêi ta cßn kh«ng biÕt khi nµo th× m«®un nµy triÖt tiªu, trõ mét sè trêng hîp ®Æc biÖt ®îc chØ ra. MÆt kh¸c, c¸c tÝnh chÊt c¬ së cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng nh tÝnh triÖt tiªu, tÝnh h÷u h¹n sinh, tÝnh Artin, tÝnh chÊt h÷u h¹n cña gi¸ l¹i ®îc quan t©m ®Æc biÖt v× nh÷ng øng dông cña nã trong nhiÒu lÜnh vùc cña to¸n häc nh §¹i sè Giao ho¸n, H×nh häc §¹i sè, §¹i sè Tæ hîp. Ch¼ng h¹n, chiÒu vµ ®é s©u cña mét m«®un h÷u h¹n sinh M lµ nh÷ng bÊt biÕn quan träng cña M ®Òu ®îc ®Æc trng qua tÝnh triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng nh sau: §é s©u depth(I, M ) cña M trong i®ªan i I lµ cÊp i bÐ nhÊt sao cho HI (M ) = 0; Khi (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng i th× chiÒu dim M cña M lµ cÊp i lín nhÊt ®Ó Hm (M ) = 0. V× lÝ do ®ã, ngêi ta ®Æt ra nh÷ng c©u hái: Khi nµo th× m«®un ®èi ®ång ®iÒu triÖt tiªu? M«®un nµy h÷u h¹n sinh ë nh÷ng cÊp nµo? T×m ®iÒu kiÖn ®Ó nã lµ m«®un Artin. Khi nµo nã cã gi¸ h÷u h¹n?... C¸c c©u hái nµy ®· ®îc tr¶ lêi bé phËn bëi nhiÒu nhµ to¸n häc cho trêng hîp M lµ h÷u h¹n sinh. G. Faltings 1978 ®· chØ ra r»ng cÊp r bÐ r nhÊt ®Ó HI (M ) kh«ng h÷u h¹n sinh lµ min{depth(Mp ) + ht((I + p)/p) : p ⊇ I }. L. Melkersson 1995 tr×nh bµy mét kÕt qu¶ t¬ng tù nh cña Faltings, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
4 trong ®ã tÝnh h÷u h¹n sinh ®îc thay b»ng tÝnh Artin. ¤ng chØ ra r»ng n cÊp n bÐ nhÊt ®Ó HI (M ) kh«ng Artin lµ sè depth(IRp , Mp ) bÐ nhÊt víi .. p ∈ Supp(M/IM ) \ {m}. Sau ®ã Lu - Tang 2002 ®· chøng minh cÊp n nµy chÝnh lµ ®é s©u läc f-depth(I, M ) cña M trong I . TiÕp theo, Lª Thanh Nhµn 2005 ®· ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm ®é s©u suy réng cña M trong I , kÝ hiÖu lµ gdepth(I, M ), vµ chØ ra r»ng gdepth(I, M ) chÝnh lµ cÊp n n bÐ nhÊt ®Ó Supp HI (M ) v« h¹n (xem Ch¬ng II)... N¨m 2008, b»ng viÖc sö dông kh¸i niÖm ``ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un", M. Aghapournahr vµ L. Melkersson ®· nghiªn cøu mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c tÝnh chÊt c¬ së cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. Chó ý r»ng líp gåm mét m«®un 0, líp c¸c m«®un h÷u h¹n sinh, líp c¸c m«®un Artin, líp c¸c m«®un cã gi¸ h÷u h¹n,... ®Òu t¹o thµnh nh÷ng ph¹m trï con Serre. V× thÕ c¸c c©u hái nªu ë phÇn trªn cã thÓ quy vÒ mét c©u hái tæng qu¸t: Víi S lµ mét ph¹m trï con Serre cho tríc, khi i nµo HI (M ) ∈ S ? KÕt qu¶ mµ hä ®¹t ®îc trong bµi b¸o nµy lµ ®Æc trng n cÊp n bÐ nhÊt ®Ó HI (M ) ∈ S víi S lµ mét ph¹m trï con Serre vµ M lµ / R-m«®un (kh«ng nhÊt thiÕt h÷u h¹n sinh), ®ång thêi giíi thiÖu c¸c kh¸i niÖm S -d·y, S -®é s©u vµ ®Æc trng S -®é s©u nh mét sù tæng qu¸t hãa cña c¸c ®Æc trng ®· biÕt vÒ ®é s©u, ®é s©u läc, ®é s©u suy réng ... N¨m 2008, b»ng viÖc sö dông kh¸i niÖm ``ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un", M. Aghapournahr vµ L. Melkersson ®· nghiªn cøu mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c tÝnh chÊt c¬ së cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. Chó ý r»ng líp gåm mét m«®un 0, líp c¸c m«®un h÷u h¹n sinh, líp c¸c m«®un Artin, líp c¸c m«®un cã gi¸ h÷u h¹n,... ®Òu t¹o thµnh nh÷ng ph¹m trï con Serre. V× thÕ c¸c c©u hái nªu ë phÇn trªn cã thÓ quy vÒ mét c©u hái tæng qu¸t: Víi S lµ mét ph¹m trï con Serre cho tríc, khi i nµo HI (M ) ∈ S ? KÕt qu¶ mµ hä ®¹t ®îc trong bµi b¸o nµy lµ ®Æc trng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
5 n cÊp n bÐ nhÊt ®Ó HI (M ) ∈ S víi S lµ mét ph¹m trï con Serre vµ M lµ / R-m«®un (kh«ng nhÊt thiÕt h÷u h¹n sinh), ®ång thêi giíi thiÖu c¸c kh¸i niÖm S -d·y, S -®é s©u vµ ®Æc trng S -®é s©u nh mét sù tæng qu¸t hãa cña c¸c ®Æc trng ®· biÕt vÒ ®é s©u, ®é s©u läc, ®é s©u suy réng ... Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy l¹i c¸c kÕt qu¶ trªn cña Aghapour- nahr - Melkersson trong bµi b¸o Local cohomology modules and Serre subcategories, Journal of Algebra (2008). LuËn v¨n chia lµm 2 ch¬ng. Ch¬ng I nãi vÒ ph¹m trï con Serre vµ mét sè chuÈn bÞ vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. Ch¬ng II tr×nh bµy vÒ S -d·y, S -®é s©u vµ c¸c kÕt qu¶ vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng i nh»m tr¶ lêi mét phÇn cho c©u hái khi nµo HI (M ) ∈ S ?. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 Ph¹m trï con Serre vµ mét sè chuÈn bÞ vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Trong suèt luËn v¨n nµy, cho R lµ mét vµnh giao ho¸n Noether vµ M lµ R-m«®un. S 1.1 Ph¹m trï con Serre Cho S lµ líp kh¸c rçng nh÷ng R-m«®un. Ta gäi S lµ 1.1.1 §Þnh nghÜa. mét ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un nÕu víi mçi d·y khíp c¸c R-m«®un 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 ta cã M ∈ S khi vµ chØ khi M , M ∈ S. S R- 1.1.2 Bæ ®Ò. Gi¶ sö lµ mét ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c S m«®un. Khi ®ã ®ãng kÝn víi phÐp lÊy m«®un con, m«®un th¬ng vµ Exti (N, M ) ∈ S M ∈ S. R-m«®un h÷u h¹n sinh N víi mäi vµ mäi R Cho M ∈ S vµ N lµ h÷u h¹n sinh. Ta chØ cÇn chøng minh Chøng minh. Exti (N, M ) ∈ S . Do N h÷u h¹n sinh vµ R lµ vµnh Noether nªn N cã R mét gi¶i tù do . . . −→ F2 −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0, 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
7 trong ®ã mçi Fi lµ m«®un tù do h÷u h¹n sinh. T¸c ®éng hµm tö ph¶n biÕn Hom(−, M ) vµo gi¶i tù do cña N ë trªn ta ®îc ®èi phøc f0 f1 f2 0 −→ Hom(F0 , M ) −→ Hom(F1 , M ) −→ Hom(F2 , M ) −→ . . . . Theo ®Þnh nghÜa cña m«®un më réng ta cã Exti (N, M ) = Ker fi / Im fi−1 , ∀i = 0, 1, 2, . . . R i, v× Fi lµ tù do, h÷u h¹n sinh nªn Fi ∼ Rni . Do ®ã Víi mçi = ni Hom(Fi , M ) = Hom(Rni , M ) = Hom(R, M ) = M ni . ni , tõ d·y khíp 0 −→ M ni −1 −→ M ni −→ M −→ 0 B»ng quy n¹p theo M ni ∈ S . Do ®ã Hom(Fi , M ) ∈ S . Suy ra Ker fi ∈ S . Suy ra ta suy ra Exti (N, M ) ∈ S . R Víi mçi R-m«®un M , ta gäi gi¸ cña M , kÝ hiÖu bëi Supp M , lµ tËp Supp M = {p ∈ Spec R | Mp = 0}. C¸c líp sau lµ nh÷ng ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c 1.1.3 VÝ dô. R-m«®un. i) Líp gåm mét m«®un 0. ii) Líp c¸c R-m«®un Artin. iii) Líp c¸c R-m«®un Noether. iv) Líp c¸c R-m«®un M cã gi¸ lµ tËp h÷u h¹n. v) Líp c¸c R-m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n. (i). V× m«®un con vµ m«®un th¬ng cña 0 lµ 0 nªn kh¼ng Chøng minh. ®Þnh (i) lµ hiÓn nhiªn. (ii). Gi¶ sö M lµ Artin vµ N lµ m«®un con cña M. Khi ®ã mçi d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña N còng lµ d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña M , do ®ã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
8 nã ph¶i dõng. V× thÕ N lµ Artin. V× mçi d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña M/N t¬ng øng víi mét d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña M ch÷a N , v× thÕ d·y nµy ph¶i dõng. Do ®ã M/N lµ Artin. Ngîc l¹i, cho N lµ m«®un con cña M sao cho N vµ M/N lµ Artin. LÊy M0 ⊇ M1 ⊇ . . . lµ mét d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña M. Khi ®ã ta cã d·y gi¶m M0 ∩ N ⊇ M1 ∩ N ⊇ . . . c¸c m«®un con cña N vµ d·y gi¶m (M0 + N )/N ⊇ (M1 + N )/N ⊇ . . . c¸c m«®un con cña M/N. V× N vµ M/N lµ Artin nªn tån t¹i sè tù nhiªn k sao cho Mn ∩ N = Mk ∩ N vµ (Mn + N )/N = (Mk + N )/N víi mäi n ≥ k. Cho n ≥ k. Khi ®ã Mk ⊇ Mn . LÊy m ∈ Mk . Khi ®ã m + N ∈ (Mk + N )/N = (Mn + N )/N. Suy ra m + N = x + a + N = x + N víi x ∈ Mn , a ∈ N. Do ®ã m−x ∈ N ∩Mk = N ∩Mn . Suy ra m−x ∈ Mn . Do ®ã m ∈ Mn . Suy ra Mk = Mn víi mäi n ≥ k. V× thÕ M lµ Artin. VËy líp c¸c m«®un Artin lµ mét ph¹m trï con Serre. (iii) Chøng minh t¬ng tù nh (ii). (iv). Gi¶ sö M lµ mét R-m«®un vµ N lµ m«®un con cña M. DÔ dµng kiÓm tra ®îc Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N ). V× thÕ nÕu M cã gi¸ h÷u h¹n th× Supp N vµ Supp(M/N ) lµ h÷u h¹n, vµ ngîc l¹i, nÕu Supp N vµ Supp(M/N ) lµ h÷u h¹n th× Supp M lµ tËp h÷u h¹n. VËy líp c¸c m«®un cã gi¸ h÷u h¹n lµ mét ph¹m trï con Serre. (v). NÕu M cã ®é dµi h÷u h¹n th× mäi m«®un con vµ mäi m«®un th¬ng cña M còng cã ®é dµi h÷u h¹n. Ngîc l¹i, nÕu N lµ m«®un con cña M sao cho N vµ M/N cã ®é dµi h÷u h¹n th× (M ) = (N ) + (M/N ) < ∞. V× thÕ líp c¸c R-m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n lµ mét ph¹m trï con Serre. Nh¾c l¹i r»ng mét d·y i®ªan nguyªn tè p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn cña R sao cho pi = pi+1 víi mäi i ®îc gäi lµ n. mét d·y i®ªan nguyªn tè ®é dµi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
9 Ta gäi chiÒu Krull cña R, kÝ hiÖu lµ dim R, lµ cËn trªn cña c¸c ®é dµi cña c¸c d·y i®ªan nguyªn tè cña R, tøc lµ dim R = sup{n | tån t¹i mét d·y i®ªan nguyªn tè cña R ®é dµi n}. Víi mçi i®ªan I cña R, ta kÝ hiÖu Var(I ) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa I. Víi mçi R-m«®un M , ta ®Æt dim Supp M = sup{dim R/p : p ∈ Supp M }. Ta gäi dim Supp M lµ chiÒu cña gi¸ cña M . a) Gi¶ sö M lµ h÷u h¹n sinh. cña M , kÝ hiÖu 1.1.4 Chó ý. ChiÒu Krull lµ dim M , lµ chiÒu Krull cña vµnh R/ Ann M. V× M lµ h÷u h¹n sinh nªn Supp M = Var(Ann M ). Do ®ã ta cã dim Supp M = sup{dim(R/p) | p ∈ Supp M } = dim(R/ Ann M ). V× thÕ chiÒu cña gi¸ cña M chÝnh lµ chiÒu Krull cña M . Trong trêng hîp nµy ta viÕt dim M thay cho dim Supp M. b) Khi M = 0 lµ R-m«®un Artin th× Supp M lµ mét tËp h÷u h¹n gåm nh÷ng i®ªan tèi ®¹i cña R. V× thÕ dim Supp M = 0. PhÇn tiÕp theo lµ mét sè vÝ dô kh¸c vÒ ph¹m trï con Serre. Víi mçi sè tù nhiªn s, líp c¸c R-m«®un M sao cho dim Supp M 1.1.5 VÝ dô. s lµ mét ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un. Cho M lµ R-m«®un vµ N lµ m«®un con cña M . V× Supp M = Chøng minh. Supp N ∪ Supp(M/N ) nªn dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N )}. §iÒu nµy chøng tá r»ng dim Supp M s nÕu vµ chØ nÕu dim Supp N s vµ s. VËy líp c¸c m«®un M tháa m·n tÝnh chÊt dim Supp(M/N ) s lµm thµnh mét ph¹m trï con Serre. dim Supp M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
10 KÝ hiÖu Max R lµ tËp c¸c i®ªan tèi ®¹i cña R. Nh ®· nh¾c ë trªn, nÕu M lµ Artin th× Supp M ⊆ Max R vµ Supp M lµ tËp h÷u h¹n. Tuy nhiªn ®iÒu ngîc l¹i lµ kh«ng ®óng, tøc lµ cã nh÷ng m«®un M víi Supp M ⊆ Max R vµ Supp M lµ tËp h÷u h¹n nhng M kh«ng lµ m«®un Artin. Ch¼ng h¹n, kh«ng gian vÐct¬ v« h¹n chiÒu xÐt nh mét m«®un trªn mét trêng kh«ng lµ Artin nhng gi¸ cña nã gåm ®óng mét i®ªan tèi ®¹i. Sö dông VÝ dô 1.1.5 trong trêng hîp s = 0 ta ®îc ph¹m trï con Serre sau ®©y. Líp c¸c R-m«®un M víi Supp M ⊆ Max R lµ mét ph¹m 1.1.6 VÝ dô. trï con Serre. Ph¹m trï con Serre nµy chøa tÊt c¶ c¸c R-m«®un Artin, ta gäi nã lµ ph¹m trï c¸c R-m«®un nöa Artin (semiartinian modules). Nh¾c l¹i r»ng mét i®ªan nguyªn tè p cña R ®îc gäi lµ i®ªan nguyªn R-m«®un M nÕu tån t¹i m ∈ M sao cho tè liªn kÕt cña p = AnnR m = {r ∈ R | rm = 0}. TËp c¸c idean nguyªn tè liªn kÕt cña M ®îc kÝ hiÖu lµ Ass M . Chó ý r»ng Ass M ⊆ Supp M . H¬n n÷a, v× R lµ vµnh Noether nªn ta cã min Ass M = min Supp M. Cho Z lµ mét tËp con cña phæ nguyªn tè Spec R cña R. Ta nãi Z lµ nÕu p ∈ Z kÐo theo q ∈ Z víi mäi cÆp i®ªan ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa nguyªn tè p, q ∈ Spec R sao cho p ⊆ q. Gi¶ sö Z ⊆ Spec R lµ ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa. Khi ®ã 1.1.7 VÝ dô. líp c¸c R-m«®un M víi Ass M ⊆ Z lµ mét ph¹m trï con Serre. Cho M lµ R-m«®un vµ N lµ m«®un con cña M. V× R lµ vµnh Chøng minh. Noether nªn Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪ Ass(M/N ). V× thÕ, nÕu Ass N ⊆ Z vµ Ass(M/N ) ⊆ Z th× Ass M ⊆ Z. Ngîc l¹i, cho Ass M ⊆ Z. Khi ®ã Ass N ⊆ Z. Ta cÇn chøng minh Ass(M/N ) ⊆ Z. V× Ass M ⊆ Z vµ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
11 min Ass M = min Supp M nªn min Supp M ⊆ Z. Do Z ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa nªn ta cã Supp M ⊆ Z. V× Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N ) nªn Supp(M/N ) ⊆ Z. Suy ra Ass(M/N ) ⊆ Supp(M/N ) ⊆ Z. Víi mçi m«®un M , tËp Supp M lµ ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa. ThËt vËy, nÕu p, q ∈ Spec R, p ⊆ q vµ p ∈ Supp M th× 0 = Mp ∼ (Mq )pRq . = V× thÕ Mq = 0, tøc lµ q ∈ Supp M. Do ®ã theo VÝ dô 1.1.7 ta cã ph¹m trï con Serre sau ®©y. NÕu Z ⊆ Spec R lµ ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa th× líp c¸c 1.1.8 VÝ dô. R-m«®un M víi Supp M ⊆ Z lµ mét ph¹m trï con Serre. S §iÒu kiÖn (CI ) trªn ph¹m trï con Serre 1.2 Cho I lµ mét i®ªan cè ®Þnh cña R vµ cho M lµ R-m«®un. Chóng ta sÏ xÐt mét ®iÒu kiÖn h÷u Ých sau ®©y trªn c¸c ph¹m trï m«®un con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un. Nh¾c l¹i r»ng víi mçi R-m«®un M ta ®Þnh nghÜa (0 :M I n ), trong ®ã 0 :M I n = {m ∈ M | I n m = 0}. ΓI (M ) = n≥0 Cho S lµ ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un. 1.2.1 §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng S tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ) nÕu M ∈ S víi mäi R-m«®un M tháa m·n c¸c tÝnh chÊt M = ΓI (M ) vµ 0 :M I ∈ S . Tríc khi ®a ra mét tiªu chuÈn ®Ó mét ph¹m trï con Serre tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (CI ), chóng ta cÇn nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm liªn quan ®Õn m«®un néi x¹. Mét R-m«®un E ®îc gäi lµ nÕu víi mçi m«®un néi x¹ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
12 ®¬n cÊu f : N −→ M vµ mçi ®ång cÊu g : N −→ E , tån t¹i mét ®ång cÊu h : M −→ E sao cho g = hf. Cho E lµ mét R-m«®un vµ M lµ m«®un con cña E. Ta nãi E lµ mét cña M nÕu M ∩ L = 0 víi më réng cèt yÕu mäi m«®un con L = 0 cña E. Ta nãi E lµ bao néi x¹ cña M nÕu E lµ mét më réng cèt yÕu cña M vµ E lµ m«®un néi x¹. Chó ý r»ng mçi R-m«®un M ®Òu cã bao néi x¹ vµ bao néi x¹ cña M lµ x¸c ®Þnh duy nhÊt sai kh¸c mét ®¼ng cÊu. V× thÕ ta kÝ hiÖu bao néi x¹ cña M lµ ER (M ) hay E (M ). S R-m«®un. 1.2.2 Bæ ®Ò. Cho lµ ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c S S (CI ). NÕu lµ ®ãng víi phÐp lÊy bao néi x¹ th× tháa m·n ®iÒu kiÖn Gi¶ sö M lµ mét R-m«®un cã tÝnh chÊt M = ΓI (M ) vµ Chøng minh. 0 :M I ∈ S . Ta cÇn chøng minh M ∈ S . V× M = ΓI (M ) nªn bao néi x¹ E (M ) cña M chÝnh lµ bao néi x¹ E (0 :M I ) cña 0 :M I. V× 0 :M I ∈ S vµ S lµ ®ãng víi phÐp lÊy bao néi x¹ nªn E (0 :M I ) ∈ S . Suy ra E (M ) ∈ S . Chó ý r»ng M ⊆ E (M ). H¬n n÷a, S lµ ph¹m trï Serre. Do ®ã theo Bæ ®Ò 1.1.2 ta cã M ∈ S. Sau ®©y lµ mét tiªu chuÈn ®Ó mét ph¹m trï con Serre tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). S lµ ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un. Khi 1.2.3 Bæ ®Ò. Cho S M ∈S (CI ) R-m«®un ®ã tháa m·n ®iÒu kiÖn nÕu vµ chØ nÕu víi mäi M = ΓI (M ) vµ 0 :M x ∈ S M x nµo tháa m·n c¸c tÝnh chÊt víi phÇn tö I. ®ã trong Gi¶ sö S tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). Cho M lµ mét R-m«®un Chøng minh. cã tÝnh chÊt M = ΓI (M ) vµ 0 :M x ∈ S víi x ∈ I. V× 0 :M I ⊆ 0 :M x vµ S lµ ph¹m trï con Serre nªn theo Bæ ®Ò 1.1.2 ta cã 0 :M I ∈ S . Do S tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ) nªn M ∈ S . Ngîc l¹i, cho M lµ R- m«®un sao cho M = ΓI (M ) vµ 0 :M I ∈ S . ViÕt I = (x1 , . . . , xn ). §Æt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
13 M0 = M vµ Mi = 0 :M (x1 , . . . , xi )R víi i = 1, . . . , n. Ta chøng minh b»ng quy n¹p lïi theo i r»ng Mi ∈ S víi mäi i = n, . . . , 1, 0. Theo gi¶ thiÕt Mn = 0 :M I ∈ S , kÕt qu¶ ®óng cho i = n. Víi i < n, gi¶ thiÕt quy n¹p r»ng Mi+1 ∈ S . V× Mi+1 = 0 :Mi xi+1 ∈ S vµ xi+1 ∈ I nªn theo gi¶ thiÕt ta suy ra Mi ∈ S . VËy Mi ∈ S víi mäi i. Chän i = 0 ta cã M ∈ S. PhÇn cuèi cña tiÕt nµy, chóng ta xem xÐt xem trong c¸c ph¹m trï con Serre ë VÝ dô 1.1.3, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, ph¹m trï con nµo tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). C¸c ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un sau ®©y 1.2.4 VÝ dô. tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). i) Ph¹m trï con Serre gåm mét m«®un 0. ii) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c R-m«®un Artin. iii) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c R-m«®un M cã gi¸ Supp M lµ tËp h÷u h¹n. iv) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c R-m«®un nöa Artin (c¸c R-m«®un M sao cho Supp M ⊆ Max R). v) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c R-m«®un M víi dim Supp M s, trong ®ã s ≥ 0 lµ mét sè nguyªn cho tríc. vi) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c R-m«®un M víi Ass M ⊆ Z, trong ®ã Z ⊆ Spec R lµ mét tËp ®ãng díi phÐp ®Æc biÖt ho¸. (i) V× bao néi x¹ cña m«®un 0 lµ 0 nªn ph¹m trï con nµy Chøng minh. ®ãng víi phÐp lÊy bao néi x¹. V× thÕ theo Bæ ®Ò 1.2.2 ta cã kÕt qu¶. (ii) Theo Bæ ®Ò 1.2.2, ta chØ cÇn chøng minh bao néi x¹ cña mçi m«®un Artin lµ Artin. Gi¶ sö M lµ R-m«®un Artin. Khi ®ã Ass M ⊆ Max R vµ Ass M lµ tËp h÷u h¹n. ViÕt Ass M = {m1 , . . . , mt }. KÝ hiÖu E (M ) lµ bao néi x¹ cña M vµ Ei = E (R/mi ) lµ bao néi x¹ cña trêng thÆng d R/mi . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
14 Khi ®ã tån t¹i c¸c sè tù nhiªn n1 , . . . , nt sao cho ta cã ph©n tÝch tæng trùc tiÕp E (M ) = E1 1 ⊕ E2 2 ⊕ . . . ⊕ Etnt , n n Eini ®îc hiÓu lµ tæng trùc tiÕp cña ni m«®un, mçi m«®un ®Òu trong ®ã ®¼ng cÊu víi Ei . Chó ý r»ng mçi Ei ®Òu lµ m«®un Artin. Do ®ã E (M ) lµ Artin. V× thÕ ph¹m trï c¸c m«®un Artin lµ mét ph¹m trï con Serre tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). (iii), (iv), (v), (vi). Gi¶ sö M lµ mét R-m«®un. KÝ hiÖu E (M ) lµ bao néi x¹ cña M . Khi ®ã theo [SV] ta cã E (M ) ∼ Ei (R/p), = p∈Ass M i∈Λp trong ®ã Λp lµ nh÷ng tËp hîp (cã thÓ lµ v« h¹n hoÆc h÷u h¹n) vµ Ei (R/p) lµ bao néi x¹ cña R/p. V× thÕ ta cã Ass M = Ass E (M ). V× R lµ vµnh Noether nªn min Ass M = min Supp M vµ min Ass E (M ) = min Supp E (M ). Do ®ã Supp M = Supp E (M ). V× thÕ M lµ nöa Artin (t¬ng øng Supp M lµ tËp h÷u h¹n, s, Ass M ⊆ Z ) nÕu vµ chØ nÕu E (M ) dim Supp M nöa Artin (t¬ng øng Supp E (M ) lµ tËp h÷u h¹n, dim Supp E (M ) s, Ass E (M ) ⊆ Z ). Do ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh (iii), (iv), (v), (vi) ®îc suy ra tõ Bæ ®Ò 1.2.2. NÕu dim R > 0 th× tån t¹i i®ªan I cña R sao cho ph¹m trï 1.2.5 VÝ dô. con Serre c¸c R-m«®un Noether kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (CI ). ThËt vËy, chän m lµ i®ªan tèi ®¹i cña R sao cho ht m > 0. Chon E = E (R/m) lµ bao néi x¹ cña R/m. V× R lµ vµnh Noether nªn E lµ R-m«®un Artin. Do ®ã E lµ m-xo¾n, tøc lµ E = Γm (E ). V× E lµ Artin vµ m lµ cùc ®¹i nªn 0 :E m cã ®é dµi h÷u h¹n, v× thÕ nã lµ Noether. Do ht m > 0 nªn E kh«ng lµ m«®un Noether. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
15 NÕu dim R > 0 th× tån t¹i i®ªan I cña cña mét vµnh Noether 1.2.6 VÝ dô. R sao cho ph¹m trï con Serre c¸c R-m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (CI ). ThËt vËy, chän m lµ i®ªan tèi ®¹i cña R sao cho ht m > 0. Khi ®ã m«®un E = E (R/m) lµ m«®un Artin tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt E = Γm (E ) vµ 0 :E m cã ®é dµi h÷u h¹n. Tuy nhiªn E cã ®é dµi v« h¹n. Chó ý r»ng ph¹m trï Serre c¸c R-m«®un Noether xÐt trong VÝ dô 1.2.5 vµ ph¹m trï con Serre c¸c R-m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n xÐt trong VÝ dô 1.2.6 ®Òu kh«ng ®ãng víi phÐp lÊy bao néi x¹. Cô thÓ lµ víi m lµ i®ªan cùc ®¹i cña R sao cho ht m > 0 th× R/m lµ m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n vµ tÊt nhiªn còng lµ m«®un Noether, nhng bao néi x¹ cña nã kh«ng lµ m«®un Noether vµ v× thÕ nã cã ®é dµi v« h¹n. 1.3 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Trong suèt tiÕt nµy lu«n gi¶ thiÕt R lµ vµnh giao ho¸n Noether vµ M, N lµ c¸c R-m«®un. Cho I lµ i®ªan cña R. Víi mçi R-m«®un N ta ®Þnh 1.3.1 §Þnh nghÜa. (0 :N I n ). NÕu f : N −→ N lµ ®ång cÊu c¸c R- nghÜa ΓI (N ) = n ≥0 f ∗ : ΓI (N ) −→ ΓI (N ) cho bëi f ∗ (x) = f (x). m«®un th× ta cã ®ång cÊu Khi ®ã ΓI (−) lµ hµm tö khíp tr¸i, hiÖp biÕn tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c R-m«®un. ΓI (−) ®îc gäi lµ hµm tö I -xo¾n. Mét gi¶i néi x¹ cña N lµ mét d·y khíp 0 −→ N −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . . trong ®ã mçi Ei lµ m«®un néi x¹. Chó ý r»ng víi mçi m«®un ®Òu nhóng ®îc vµo mét m«®un néi x¹, v× thÕ, mçi m«®un ®Òu cã gi¶i néi x¹. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
16 Cho N lµ R-m«®un vµ I lµ i®ªan cña R. M«®un dÉn 1.3.2 §Þnh nghÜa. suÊt ph¶i thø n cña hµm tö I -xo¾n ΓI (−) øng víi N ®îc gäi lµ m«®un n I , kÝ hiÖu lµ HI (N ). Cô thÓ, nÕu n cña N ®èi ®ång ®iÒu thø víi gi¸ u u 0 1 0 −→ N −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . . lµ gi¶i néi x¹ cña N, t¸c ®éng hµm tö ΓI (−) ta cã ®èi phøc u∗ u∗ 0 1 0 −→ Γ(E0 ) −→ Γ(E1 ) −→ Γ(E2 ) −→ . . . HI (N ) = Ker u∗ / Im u∗ −1 lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña ®èi n Khi ®ã n n phøc trªn, m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i néi x¹ cña N. Cho I lµ i®ªan cña R. Nh¾c l¹i r»ng R-m«®un N ®îc gäi lµ I -xo¾n nÕu N = ΓI (N ). Sau ®©y lµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. N R-m«®un. C¸c ph¸t biÓu sau lµ ®óng. 1.3.3 MÖnh ®Ò. Cho lµ mét HI (N ) ∼ ΓI (N ). 0 = (i) i HI (N ) = 0 víi mäi i ≥ 1. N (ii) NÕu lµ néi x¹ th× i I -xo¾n th× HI (N ) = 0 víi mäi i ≥ 1. N (iii) NÕu lµ j i i HI (M ) lµ m«®un I -xo¾n víi mäi i. §Æc biÖt, HI (HI (M )) = 0 víi (iv) j > 0. mäi 0 −→ N −→ N −→ N −→ 0 1.3.4 MÖnh ®Ò. Cho lµ d·y khíp R-m«®un. n ng¾n c¸c Khi ®ã tån t¹i víi mçi sè tù nhiªn mét ®ång cÊu δn : HI (N ) −→ HI +1 (N ) sao cho ta cã d·y khíp dµi n n δ 1 0 0 −→ ΓI (N ) −→ ΓI (N ) −→ ΓI (N ) −→ HI (N ) δ 1 1 2 1 −→ HI (N ) −→ HI (N ) −→ HI (N ) −→ . . . C¸c ®ång cÊu δn trong MÖnh ®Ò 1.3.4 ®îc gäi lµ c¸c ®ång cÊu nèi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
17 n≥1 M = M/ΓI (M ). 1.3.5 MÖnh ®Ò. §Æt Khi ®ã víi mäi sè tù nhiªn HI (M ) ∼ HI (M ). n =n ta cã TÝnh chÊt trªn liªn quan ®Õn kh¸i niÖm phÇn tö chÝnh quy. Mét phÇn tö 0 = a ∈ R ®îc gäi lµ M -chÝnh 1.3.6 §Þnh nghÜa. phÇn tö nÕu am = 0 kÐo theo m = 0 víi mäi m ∈ M. Mét d·y c¸c phÇn quy tö a1 , . . . , an cña R ®îc gäi lµ M -d·y nÕu ai lµ phÇn chÝnh quy nghÌo tö chÝnh quy cña M/(a1 , . . . , ai−1 )M víi mäi i = 1, . . . , n. Mét d·y c¸c phÇn tö a1 , . . . , an ∈ R ®îc gäi lµ M -d·y nÕu a1 , . . . , an lµ chÝnh quy mét M -d·y chÝnh quy nghÌo vµ M/(a1 , . . . , an )M = 0. ViÖc sö dông MÖnh ®Ò 1.3.5 ®Ó chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng lµ mét kÜ thuËt quen thuéc. Cô thÓ, ®Ó chØ ra i mét tÝnh chÊt trªn m«®un HI (M ) khi M lµ h÷u h¹n sinh vµ M kh«ng cã phÇn tö chÝnh quy trong I , ngêi ta ¸p dông mÖnh ®Ò nµy ®Ó chuyÓn vÒ i tÝnh to¸n trªn m«®un HI (M ). Khi M kh«ng lµ I -xo¾n th× M lu«n cã phÇn tö chÝnh quy x ∈ I. Cho I lµ mét i®ªan cña R. Gi¶ sö M lµ h÷u h¹n sinh. Khi ®ã mçi d·y chÝnh quy cña M trong I cã thÓ më réng thµnh mét d·y chÝnh quy tèi ®¹i, vµ c¸c d·y chÝnh quy tèi ®¹i cña M trong I cã chung ®é dµi. §é dµi chung nµy ®îc gäi lµ ®é s©u cña M trong I vµ ®îc kÝ hiÖu lµ depth(I, M ). §é s©u cña c¸c m«®un h÷u h¹n sinh cã thÓ ®îc ®Æc trng qua tÝnh kh«ng triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng nh sau: M I R th× 1.3.7 MÖnh ®Ò. NÕu lµ h÷u h¹n sinh vµ lµ i®ªan cña i depth(I, M ) = inf {i : HI (M ) = 0}. KÕt qu¶ sau ®©y nãi r»ng chiÒu cña mét m«®un cã liªn quan trùc tiÕp tíi tÝnh triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
18 i I R. HI (M ) = 0 1.3.8 MÖnh ®Ò. Cho lµ i®ªan cña Khi ®ã víi mäi i > dim Supp M . H¬n n÷a, nÕu M (R, m) lµ vµnh ®Þa lµ h÷u h¹n sinh vµ m th× ph¬ng víi i®ªan cùc ®¹i duy nhÊt i dim M = sup{i : Hm (M ) = 0}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 2 S -chÝnh quy vµ m«®un ®èi ®ång D·y ®iÒu ®Þa ph¬ng Trong suèt ch¬ng nµy lu«n gi¶ thiÕt R lµ vµnh giao ho¸n Noether vµ M, N lµ c¸c R-m«®un. S -chÝnh quy 2.1 D·y Trong tiÕt nµy chóng ta sÏ tr×nh bµy kh¸i niÖm d·y S -chÝnh quy vµ c¸c tÝnh chÊt cña d·y nµy. Kh¸i niÖm d·y S -chÝnh quy thùc chÊt lµ mét sù tæng qu¸t ho¸ cña c¸c kh¸i niÖm ®· biÕt: Kh¸i niÖm d·y chÝnh quy (xem §Þnh nghÜa 1.3.6), kh¸i niÖm d·y läc chÝnh quy ®Þnh nghÜa bëi N.T. Cêng, P. Schenzel, N. V. Trung [CST], kh¸i niÖm d·y chÝnh quy suy réng ®Þnh nghÜa bëi Lª Thanh Nhµn [Nh], kh¸i niÖm d·y chÝnh quy theo chiÒu >s ®Þnh nghÜa bëi Lª Thanh Nhµn vµ M. Brodmann [BN]. Cho S lµ mét ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c 2.1.1 §Þnh nghÜa. R-m«®un vµ M lµ mét R-m«®un. Mét phÇn tö x ∈ R ®îc gäi lµ phÇn tö trªn M nÕu 0 :M x ∈ S . Mét d·y x1 , . . . , xn c¸c phÇn S -chÝnh quy tö cña R ®îc gäi lµ mét S -d·y trªn M nÕu xj lµ S -d·y trªn chÝnh quy M/(x1 , . . . , xj −1 )M víi mäi j = 1, . . . , n. Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt c¬ së cña S -d·y. 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn