Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn này được trình bày làm ba chương. Chương một sẽ trình bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán và đối đồng điều địa phương. Trọng tâm của luận văn nằm ở chương hai và chương ba sẽ trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài báo khoa học Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals của PGS. TS. Trần Tuấn Nam và Nguyễn Minh Trí.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi. Mọi sự kế thừa và phát huy các kết quả của các nhà khoa học đều được trích dẫn rõ ràng và đúng quy định. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung và yêu cầu của đề tài cần nghiên cứu, chưa từng được công bố trong bất kỳ nghiên cứu nào khác. Học viên Trần Thị Thanh Thảo
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè. Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam. Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, cô Phạm Thị Thu Thủy, quý thầy cô đã tận tình dạy bảo và mở mang cho tôi nhiều kiến thức về Toán học, đặc biệt là kiến thức về chuyên ngành Đại số, làm nền tảng vững chắc để tôi học tập và nghiên cứu. Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số và Lí thuyết số Khóa 27 cũng như bạn bè và người thân đã hết lòng động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2018 Trần Thị Thanh Thảo
BẢNG KÍ HIỆU Spec  R  Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R SuppR  M  Giá của M AssR  M  Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M AnnR  M  Linh hóa tử của M H Ii  M  Môđun đối đồng điều địa phương thứ i H Ii , J  M  Môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo một cặp iđêan ExtRi Tích mở rộng n  chiều trên R Tori R Tích xoắn n  chiều trên R I   Hàm tử I  xoắn I ,J   Hàm tử  I , J   xoắn
MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .....................................................................................5 1.1. Một số kiến thức cơ bản ....................................................................................5 1.2. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I ............................................8 1.3. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan  I , J  ....................11 1.4. Bao nội xạ .........................................................................................................14 1.5. Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck ..................................................................14 Chương 2. Môđun Lasker yếu và môđun  I , J   Cofinite ..................................18 2.1. Môđun Lasker yếu và môđun  I , J   cofinite yếu .......................................18  2.2. Sự hữu hạn của tập Ass HomR R / I ; H I , J  M  s    .......................................24   2.3. Sự hữu hạn của tập AssR H Is, J  M  ............................................................. 28 2.4. Tính cofinite yếu của H Is, J  M  .......................................................................31 Chương 3. Phạm trù con Serre ..................................................................................34 3.1. Định nghĩa ......................................................................................................... 34 3.2. Tính chất của H Ii , J  M  trong phạm trù con Serre ...................................... 34 KẾT LUẬN ..................................................................................................................39 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 41
1 MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương chiếm một vị trí quan trọng trong Đại số hiện đại nói chung và Đại số giao hoán cũng như Hình học đại số nói riêng, hiện nay vẫn tiếp tục được nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Trong luận văn này, ta sẽ nghiên cứu sự hữu hạn của các tập   AssR  H Is, J  M   và AssR Hom  R I , H Is, J  M   , cũng như một vài tính chất của môđun đối đồng điều địa phương H Ii , J  M  theo quan điểm của phạm trù con Serre. Trong toàn bộ luận văn này, ta luôn giả thiết R là vành Noether giao hoán và I , J là các iđêan của vành R . Trong [1], các nhà toán học Takahashi, Yoshino và Yoshizawa đã giới thiệu về khái niệm của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan  I , J  , chính là sự mở rộng của định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I của Grothendieck. Cho M là  một R  môđun, khi đó môđun  I , J  M   x  M I n x  Jx, n  1 là môđun con  I , J   xoắn của M . Vì vậy tồn tại hàm tử hiệp biến  I , J từ phạm trù R  môđun vào chính nó. Hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan  I , J  , kí hiệu là H Ii , J , là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I , J . Nếu J  0 thì H Ii , J chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thông thường H Ii của Grothendieck. Trong [2], Grothendieck đã đưa ra giả thuyết: Với mọi iđêan I của vành R và với mọi R  môđun hữu hạn sinh M , môđun Hom  R I , H Ii  M   là hữu hạn sinh với mọi i . Một năm sau Hartshorne đã đưa ra một phản ví dụ cho giả thuyết của Grothendieck. Ông đã định nghĩa môđun I  cofinite và đặt câu hỏi: “Với vành R và iđêan I như thế nào thì môđun H Ii  M  là
2 môđun I  cofinite với mọi môđun hữu hạn sinh M ?”. Vấn đề đặt ra tương tự cho cặp iđêan  I , J  , môđun H Ii , J  M  cho ta được các kết quả như thế nào? Luận văn này được trình bày làm ba chương. Chương một sẽ trình bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán và đối đồng điều địa phương trong bài báo [1]. Trọng tâm của luận văn nằm ở chương hai và chương ba sẽ trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài báo khoa học Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals [3] của PGS. TS. Trần Tuấn Nam và Nguyễn Minh Trí. Trong đó chương hai sẽ giới thiệu về môđun Lasker yếu và môđun  I , J   cofinite yếu, từ đó rút ra một số kết quả quan trọng đặc biệt là tập các iđêan nguyên tố liên kết của H Is, J  M  và HomR  R I , H Is, J  M   , với s là số nguyên không âm cho trước. Chương ba sẽ giới thiệu về phạm trù con Serre, cung cấp cho ta một cái nhìn khác về môđun H Ii , J  M  và các tính chất của môđun này trong phạm trù đang xét. Cụ thể như sau: Phần (2.1.1) và (2.1.2), ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của môđun Lasker yếu dựa trên kết quả của hai tác giả K. Divaani- Aazar và A. Mafi trong bài báo [4]. Dựa vào định nghĩa về môđun  I , J   cofinite ở (2.1.3) mà A. Tehranian và A. Pour Eshmanan Talemi đã đề cập đến trong bài báo [5], kết hợp với định nghĩa môđun I  cofinite yếu của K. Divaani- Aazar và A. Mafi trong bài báo [6], ta được định nghĩa hoàn chỉnh và một số tính chất của môđun  I , J   cofinite yếu trong (2.1.4) và (2.1.5). Tiếp đến phần (2.1.6) và (2.1.7), ta thu được kết quả về tính Lasker yếu của môđun ExtRi  R I , M  với mọi i  s , trong đó s là số nguyên không âm cho trước.
3 Bằng việc chứng minh quy nạp hoặc sử dụng dãy phổ Grothendieck trong [7], ta có hai cách để chứng minh Định lý quan trọng (2.2.1) về tính Lasker yếu của HomR  R I , H Is, J  M   từ đó dễ dàng suy ra sự hữu hạn của   tập AssR Hom  R I , H Is, J  M   cũng như các Hệ quả 2.2.2 và 2.2.3. Trong Định lý 2.3, từ tính Lasker yếu của H Ii , J  M  ta suy ra được tập AssR  H Is, J  M   là hữu hạn. Ta cũng sẽ nghiên cứu về tính cofinite yếu của môđun H Is, J  M  trong Định lý 2.4.1 và từ đó ta được hai Hệ quả 2.4.2 và 2.4.3. Tiếp đến phần 3.1 trong chương ba, ta trình bày hai cách định nghĩa tương đương về phạm trù con Serre. Định lý 3.2.1, cho ta khẳng định nếu H Ii , J  M   với mọi i  s thì ExtRi  R I , M   với mọi i  s . Bổ đề 3.2.2 đã sử dụng một kết quả của M. Asgharzadeh và M. Tousi trong [8], cho ta Định lý 3.2.3 khi nào thì HomR  R m , H Is, J  M   thuộc phạm trù con Serre. Cuối cùng, ta nhận thấy lớp các R  môđun hữu hạn sinh là phạm trù con Serre ở Bổ đề 3.2.4, kết hợp thêm tính Artin trong bài báo [9] của C. Huneke trên vành địa phương  R, m  cho ta khẳng định HomR  R m , H Is, J  M   có độ dài hữu hạn trong Hệ quả 3.2.5. Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc hoàn thành luận văn nhưng do sự hạn hẹp trong kiến thức cũng như thời gian nên chắc chắn luận văn vẫn
4 còn có những sai sót không mong muốn. Rất mong nhận được sự đánh giá, nhận xét và phản hồi từ quý thầy cô và các bạn.
5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số kiến thức cơ bản Mệnh đề 1.1.1. Hàm tử Hom là một hàm tử khớp trái. Định nghĩa 1.1.2. Với M , N là các R  môđun và F:   Fn  sn  Fn1  sn 1  s2  F1  s1  F0   N  0 là phép giải xạ ảnh của N . Phức thu gọn tương ứng với F là: F:   Fn  sn  Fn1  sn 1  s2  F1  s1  F0  0 . Từ phức  HomR  F0 , M   0  f0  HomR  F1, M   f1  HomR  F2 , M   f2  Với mỗi số nguyên dương n , ta định nghĩa tích mở rộng n  chiều trên R là  ExtRn  N , M  : H n HomR F , M   Kerf n Im f n1 . Định lý 1.1.3. Đối với môđun cố định N , các hàm tử hiệp biến ExtRn  N ,   được lấy cùng với các đồng cấu  : ExtRn  N , M ''  Ext Rn1  N , M ' tự nhiên đối với các dãy khớp ngắn các môđun được đặc trưng chính xác tới một đẳng cấu tự nhiên bởi các tính chất sau: i. ExtR0  N , M   HomR  N , M  . ii. ExtRn  N , M   0 nếu N xạ ảnh hoặc M nội xạ, với mọi n  1. iii. Dãy sau là khớp  ExtRn  N , M '  ExtRn  N , M   Ext Rn  N , M ''   Ext Rn1  N , M '  
6 Mệnh đề 1.1.4. Hàm tử tenxơ là một hàm tử khớp phải. Định nghĩa 1.1.5. Với M , N là các R  môđun và F:   Fn  sn  Fn1  sn 1  s2  F1  s1  F0   N  0 là phép giải xạ ảnh của N . Phức thu gọn tương ứng với F là: F:   Fn  sn  Fn1  sn 1  s2  F1  s1  F0  0 . Từ phức   Fn R M  fn  Fn1 R M   f n 1   f1  F0 R M  0 Với mỗi số nguyên dương n , ta định nghĩa tích xoắn n  chiều trên R là   TornR  N , M  : H n F  R M  Kerf n Im f n1 . Định lý 1.1.6. Đối với môđun cố định N , các hàm tử hiệp biến TornR  N , M  được lấy cùng với các đồng cấu  : TornR  N , M   TornR1  N , M  tự nhiên đối với các dãy khớp ngắn các môđun được đặc trưng chính xác tới một đẳng cấu tự nhiên bởi các tính chất sau: i. Tor0R  N , M   N R M . ii. TornR  N , M   0 nếu N hoặc M xạ ảnh, với mọi n  1. Dãy sau là khớp  TornR  N , M '  TornR  N , M   TornR  N , M ''  TornR1  N , M '  Định nghĩa 1.1.7. Cho I là iđêan của vành R i. Tập V  I   p  Spec  R  I  p gọi là tập đại số xác định bởi I .
7 Spec  R  được gọi là phổ nguyên tố của vành R, V  I  là tập con của Spec  R  . ii. Cho V là tập con của tập Spec  R  , V được gọi là đóng trong Spec  R  nếu tồn tại iđêan I của R sao cho V  V  I  . Định nghĩa 1.1.8. Cho M là R  môđun. Một iđêan nguyên tố p  Spec  R  gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x  M \ 0 sao cho p  AnnR  x   a  R ax  0 . Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M ký hiệu là AssR  M  . Tính chất 1.1.9. Với p  Spec  R  , p  AssR  M  khi và chỉ khi tồn tại môđun con N của M sao cho N  R p .   Định nghĩa 1.1.10. Tập SuppR  M   p  Spec  R  M p  0 được gọi là giá của môđun M , trong đó M p  S 1M với S  R \p (được gọi là môđun địa phương hóa tại iđêan nguyên tố p ). Định lý 1.1.11. Cho I là iđêan của vành R . Khi đó SuppR  R I   V  I  . Định lý 1.1.12. [1, 9.2.7] Cho R là vành và M , M ' là hai R  môđun. Khi đó nếu M hữu hạn sinh thì SuppR  HomR  M , M '   SuppR  M   SuppR  M ' . Định lí 1.1.13. Cho 0   M1   M   M 2   0 là dãy khớp ngắn các R  môđun. Khi đó ta có: i. AssR  M1   AssR  M   AssR  M1   AssR  M 2  ii. SuppR  M   SuppR  M1   SuppR  M 2  .
8 Mệnh đề 1.1.14. Nếu M là R  môđun thì AssR  M   SuppR  M  . Hơn nữa nếu M có giá hữu hạn thì khi đó AssR  M N  là hữu hạn, với N là môđun con bất kì của M . Mệnh đề 1.1.15. Cho M 1 , M 2 là các môđun con của M , khi đó dãy sau đây là khớp:  M1  M1  M 2   0  f  M M 2  g  M  M1  M 2   0 Mệnh đề 1.1.16. Cho R là vành Noether và M là một R  môđun hữu hạn sinh. Khi đó AssR  M  là một tập hữu hạn. Mệnh đề 1.1.17. ([9]) Cho  R, m  là vành Noether địa phương và M là một R  môđun. Khi đó M là Artin khi và chỉ khi SuppR  M   {m} và soc  M  : HomR  R m , M  là hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.1.18. (Căn Jacobson): Căn Jacobson của R , ký hiệu là J  R  được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan cực đại của R . Mệnh đề 1.1.19. (Bổ đề Nakayama): Cho M là R  môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R nằm trong J  R  . Nếu IM  M thì M  0 . 1.2. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I Định nghĩa 1.2.1. Với mọi R  môđun M , ta định nghĩa tập I  M   0 : M I n   { x  M I n x  0 với n 1 nào đó}. Khi đó  I  M  là n môđun con của M .
9 Với đồng cấu R  môđun f : M  M ' , ta có f   I  M     I  M ' , ánh xạ  I  f  :  I  M    I  M ' được xác định. Do đó  I    là hàm tử cộng tính hiệp biến và gọi là hàm tử I  xoắn. Mệnh đề 1.2.2. Hàm tử I    là hàm tử khớp trái. Định nghĩa 1.2.3. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I được kí hiệu là H Ii và được gọi là hàm tử đối đồng điều thứ i theo iđêan I . Với R  môđun M , ta có H Ii  M  là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo iđêan I .  I  M  là môđun con I  xoắn của M . M là I  xoắn nếu  I  M   M . M là I  xoắn tự do nếu  I  M   0 . Tính chất 1.2.4. Cho M là R  môđun tùy ý. i. Để tìm được H Ii  M  , lấy phép giải nội xạ của M : 1 J  : 0   J 0   J 1     J i   J i 1   0 i s s s Vì vậy có đồng cấu  : M  J 0 thỏa dãy sau là khớp  0   M   J 0   J 1     J i   J i 1   0 i s s Tác động hàm tử I    vào phức J  ta được  I  J 0   0  I     s0  I  J i    I    I  J i1    si  và lấy môđun đối đồng điều thứ i của phức trên, ta có  H Ii  M   Ker  I  s i     Im  I  s i 1  . Việc làm này không phụ thuộc vào cách chọn phép giải nội xạ J  của M .
10 ii. H Ii  i   là hàm tử cộng tính hiệp biến (kế thừa từ tính chất của  I ). iii. H I0 tương đương tự nhiên với  I (do  I khớp trái). iv. Cho dãy khớp ngắn 0   M1  f  M  g  M 2   0 các R  môđun. Khi đó ta có dãy khớp dài:  I  M 1    I  M    I  M 2    H I1  M 1    H I1  M   I  H1 g 0    H Ii  M     H Ii  M 2    H Ii 1  M 1    Mệnh đề 1.2.5. i. Nếu I chứa một phần tử không là ước của không trong M thì M là I  xoắn tự do, tức là  I  M   0 . ii. Giả sử M hữu hạn sinh. Khi đó M là I  xoắn tự do khi và chỉ khi I chứa một phần tử không là ước của không trong M . Mệnh đề 1.2.6. Với mọi R  môđun M , M  I  M  là môđun I  xoắn tự do. Mệnh đề 1.2.7. Nếu M là một R  môđun I  xoắn, tức là M   I  M  thì mọi môđun con của M và ảnh các đồng cấu của M cũng đều là I  xoắn. Với mỗi R  môđun M , môđun đối đồng điều địa phương thứ H Ii  M  là R  môđun I  xoắn. Hơn nữa, nếu M là môđun I  xoắn thì H Ii  M   0 với mọi i . Mệnh đề 1.2.8. Cho J là môđun nội xạ, khi đó  I  J  cũng là môđun nội xạ. Mệnh đề 1.2.9. Cho J là môđun nội xạ. Khi đó dãy khớp sau là chẻ ra: 0  I  J   J  J I  J   0 . Mệnh đề 1.2.10. Cho M là môđun I  xoắn. Khi đó tồn tại một phép giải nội xạ của M mà mỗi thành phần là các môđun I  xoắn.
11 Mệnh đề 1.2.11. Cho R  môđun M , khi đó: i. H Ii  M   0 với mọi i  0 nếu M là I  xoắn. ii. H Ii   I  M    0 với mọi i  0 . iii. H Ii  M   H Ii  M  I  M   với mọi i  0 . 1.3. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan  I , J  Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R  môđun,  I , J   môđun con xoắn của  M là tập  I , J  M   x  M I n x  Jx với n 1 . Với đồng cấu f : M  M ' các R  môđun, dễ thấy f   I , J  M     I , J  M ' , và vì ánh xạ  I , J  f  :  I , J  M   I , J  M ' là xác định. Khi đó  I , J là hàm tử cộng tính hiệp biến từ phạm trù R  môđun vào chính nó, ta gọi  I , J là hàm tử  I , J   xoắn. Khi J  0 , hàm tử  I , J   xoắn  I , J trở thành hàm tử I  xoắn  I ở trên. Mệnh đề 1.3.2. Hàm tử  I , J    là hàm tử khớp trái. Định nghĩa 1.3.3. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I , J được kí hiệu là H Ii , J và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan  I , J  . Với R  môđun M , ta có H Ii , J  M  là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo cặp iđêan  I , J  . M là  I , J   xoắn nếu  I , J  M   M . M là  I , J   xoắn tự do nếu  I , J  M   0.
12 Chú ý: Nếu J  0 thì H Ii , J trở thành hàm tử đối đồng điều địa phương thông thường H Ii . Tính chất 1.3.4. i. H Ii , J  i  0  là hàm tử cộng tính hiệp biến. ii. H I0, J tương đương tự nhiên với  I , J . iii. Cho dãy khớp ngắn 0   M1  f  M  g  M 2   0 các R  môđun. Khi đó ta có dãy khớp dài:  I , J  M1   0   I , J  M    I , J  M 2    H I1, J  M1    H I1, J  M     H Ii , J  M     H Ii , J  M 2    H Ii , J1  M1    Định nghĩa 1.3.5. Kí hiệu W  I , J  là tập tất cả các iđêan nguyến tố p của R thỏa I n  J  p với số nghuyên n nào đó. Khi đó W  I , J   { p  Spec  R  I n  J  p với n 1 }. Chú ý: Nếu J  0 thì W  I , J  trùng khớp với V  I  tập tất cả các iđêan nguyên tố chứa I . Định lý 1.3.6. Cho M là R  môđun. Những mệnh đề sau là tương đương: i. M là  I , J   xoắn. ii. Min  M   W  I , J  . iii. Ass  M   W  I , J  . iv. Supp  M   W  I , J  . Hệ quả 1.3.7. Với x  M , những điều sau là tương đương:
13 i. x  I , J  M  . ii. Supp  Rx   W  I , J  . Hệ quả 1.3.8. Cho 0  M1  M  M 2  0 dãy khớp ngắn các R  môđun. Khi đó M là môđun  I , J   xoắn khi và chỉ khi M1 và M 2 là các môđun I, J   xoắn. Hệ quả 1.3.9. Nếu M là môđun  I , J   xoắn thì M JM là môđun I  xoắn. Chiều ngược lại xảy ra khi M là môđun hữu hạn sinh. Định lý 1.3.10. Với M là R  môđun, khi đó M  I , J  M  là  I , J   xoắn tự do. Mệnh đề 1.3.11. Với mỗi R  môđun M , môđun H Ii , J  M  đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo cặp iđêan  I , J  là  I , J   xoắn với mọi số nguyên i  0 . Định lý 1.3.12. Ta có Ass  M   W  I , J   Ass   I , J  M   , với R  môđun M . Đặc biệt,  I , J  M   0 khi và chỉ khi Ass  M   W  I , J    . Định lý 1.3.13. Cho M là môđun  I , J   xoắn. Khi đó tồn tại phép giải nội xạ của M mà mỗi thành phần là các R  môđun  I , J   xoắn. Định lý 1.3.14. Cho M là một R  môđun. i. Nếu M là môđun  I , J   xoắn thì H Ii , J  M   0 với mọi i  0. ii. H Ii , J   I , J  M    0 với mọi i  0 . iii. H Ii , J  M   H Ii , J  M  I , J  M   với mọi i  0 .
14 1.4. Bao nội xạ Định nghĩa 1.4.1. Một R  môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu với mỗi môđun con khác không của E giao với M là khác 0. Một mở rộng cốt yếu E  M được gọi là tối đại nếu không có môđun thật sự nào chứa E là mở rộng cốt yếu của M . Mệnh đề 1.4.2. Một R  môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M không có mở rộng cốt yếu thật sự nào. Mệnh đề 1.4.3. Mọi môđun M đều có một mở rộng cốt yếu tối đại. Định lý 1.4.4. Với môđun M  I , các phát biểu sau là tương đương: i. I là mở rộng cốt yếu tối đại của M . ii. I là nội xạ và là mở rộng cốt yếu của M . iii. I là nội xạ tối tiểu của M . Định nghĩa 1.4.5. Nếu I  M thỏa một trong ba điều kiện tương đương trong Định lý 1.4.4 thì I được gọi là bao nội xạ của M . Mệnh đề 1.4.6. Mọi môđun M đều có bao nội xạ và ta sẽ kí hiệu là E  M  . 1.5. Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck Định nghĩa 1.5.1. Với a là số nguyên không âm, dãy phổ (đối đồng điều) (bắt đầu bởi Ea, ) trong phạm trù các R  môđun, là một họ các môđun E  r p ,q ( r  a ), được nối với nhau bởi đồng cấu d rp ,q (từ trái sang phải): drp,q : Erp,q  Erpr ,q1r thỏa d r d r  0 và Erp,1q đẳng cấu với đối đồng điều của Er, tại Erp ,q : Erp,1q  Ker  drp ,q  Im  drpr ,qr 1  .