Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài gồm 2 chương trình bày các công thức chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa và qua đầy đủ hóa; một số vấn đề về tiêu chuẩn Artin của Melkersson [Mel], tập iđêan nguyên tố gắn kết và môđun đối đồng điều địa phương. Chương 2 luận văn trình bày về hệ tham số, các lớp vành đặc biệt, một số bổ đề liên quan và chứng minh Định lý chính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LUẬN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG QUA ĐỊA PHƯƠNG HÓA VÀ ĐẦY ĐỦ HÓA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LUẬN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG QUA ĐỊA PHƯƠNG HÓA VÀ ĐẦY ĐỦ HÓA Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 604. 601. 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2016
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên,ngày 15 tháng 04 năm 2016 Học viên NGUYỄN THỊ LUẬN i
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô. Tôi xin gửi tới các thầy cô ở Viện Toán học Hà Nội, Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Thái Nguyên,ngày 15 tháng 04 năm 2016 Học viên NGUYỄN THỊ LUẬN ii
Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa và đầy đủ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tiêu chuẩn Artin cho các môđun . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Biểu diễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa. 16 2.1 Hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Các lớp vành đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Các bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa . . . . . . . . . 28 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 iii
Mở đầu Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d và A là R-môđun Artin. Với mọi p ∈ Spec R ta biết rằng AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR M, q ⊆ p}. Với A là R-môđun Artin, tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A, kí hiệu là AttR A, được định nghĩa bởi I. G. Macdonald [Mac] có vai trò quan trọng tương tự như vai trò của tập các iđêan nguyên tố liên kết của M . Ta đã biết rằng môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) là Artin với mọi i ≥ 0. Do đó một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu mối quan hệ tương tự giữa tập i−dim(R/p) AttRp HpRp (Mp ) và AttR Hmi (M ) có đúng không, tức là công thức i−dim(R/p) AttRp HpRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p} (1) có đúng với mọi p ∈ Spec(R) không? Trong [S], R.Y. Sharp đã chứng minh được rằng nếu R là vành thương của vành Gorenstein địa phương thì nguyên lý chuyển dịch qua địa phương hóa (1) là đúng. Tuy nhiên nguyên lý này không đúng trong trường hợp tổng quát (xem [BS, Ví dụ 11.3.14]). Kí hiệu R b và M c lần lượt là vành và R b-môđun đầy đủ của R và M theo tôpô m-adic, ta có mối quan hệ sau đây giữa tập AssR M và AssRb M c: [ AssR M = {P ∩ R | P ∈ AssRb M } và AssRb M = c c AssRb (R/ b pR). b p∈AssR M Vậy câu hỏi tiếp theo là với R-môđun Artin A thì mối quan hệ tương tự giữa tập AttR A và AttRb A có đúng không? Với R-môđun Artin A ta đã 1
biết rằng AttR A = {P ∩R | P ∈ AttRb A} (xem [BS]). Tuy nhiên mối quan hệ tương tự như công thức thứ hai là không đúng ngay cả khi A = Hmi (M ). Tức là quan hệ [ AttRb Hmi (M ) = AttRb (R/ b pR) b (2) i (M ) p∈AttR Hm nhìn chung không xảy ra. Chú ý rằng nếu R là vành thương của vành Gorenstein địa phương thì công thức (2) đúng với bất kì môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) (xem [CN]). Cuối năm 2014, trong bài báo "At- tached primes of local cohomology modules under localization and comple- tion" đăng trong tạp chí Đại số, L. T. Nhàn và P. H. Quý đã chứng minh được sự chuyển dịch qua địa phương hóa (1) và chuyển dịch qua đầy đủ hóa (2) là hai điều kiện tương đương với tính chất R là vành catenary phổ dụng và tất cả các thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay. Mục tiêu của luận văn là chứng minh lại kết quả trên của L. T. Nhàn và P. H. Quý: Định lý chính. Các điều kiện sau là tương đương: (i) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay; i−dim(R/p) (ii) AttRp HpRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p} với mọi R-môđun M hữu hạn sinh, số nguyên i ≥ 0 và p ∈ Spec R; (iii) AttRb Hmi (M ) = S AttRb (R/ b pR) b với mọi R-môđun M hữu i (M ) p∈AttR Hm hạn sinh và số nguyên i ≥ 0. Luận văn gồm 2 chương. Phần đầu Chương 1 nhắc lại các công thức chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa và qua đầy đủ hóa. Phần tiếp theo trình bày một số vấn đề về tiêu chuẩn Artin của Melkersson [Mel], tập iđêan nguyên tố gắn kết và môđun đối đồng điều địa phương. Chương 2 là chương chính của luận văn, trình bày về hệ tham số, các lớp vành đặc biệt, một số bổ đề liên quan và chứng minh Định lý chính. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Cho A là R-môđun Artin và L là một R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh hay Artin). Kí hiệu R b và M c lần lượt là đầy đủ của R và M theo tôpô m-adic. Ta cũng kí hiệu I là iđêan tùy ý của R và Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I . 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa và đầy đủ hóa Trong tiết này ta nhắc lại công thức chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết của R-môđun hữu hạn sinh M qua địa phương hóa và qua đầy đủ hóa. Các kết quả ở tiết này được tham khảo từ [Mat] và [S]. Định nghĩa 1.1.1. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho AnnR (x) = p. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M ). Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết. Tính chất 1.1.2. (i) Cho p ∈ Spec(R). Khi đó p ∈ AssR (M ) khi và chỉ khi M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p. 3
(ii) Cho p là phần tử tối đại của tập các iđêan có dạng AnnR (x) trong đó 0 6= x ∈ M . Khi đó p ∈ AssR (M ). Vì thế, M 6= 0 khi và chỉ khi AssR (M ) 6= ∅. (iii) Đặt ZD(M ) = {a ∈ R | tồn tại m 6= 0, m ∈ M sao cho am = 0}. Khi đó tập ZD(M ) các ước của không trong M chính là hợp của các iđêan nguyên tố liên kết của M . (iv) Cho 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp các R-môđun. Khi đó AssR M 0 ⊆ AssR M ⊆ AssR M 0 ∪ AssR M 00 . (v) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) và mỗi phần tử tối tiểu của SuppR (M ) đều thuộc AssR (M ). (vi) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì AssR (M ) là tập hữu hạn. Hơn nữa AssR (M ) ⊆ Var(AnnR M ). Vì thế Rad(AnnR M ) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M . (vii) Với S là tập đóng nhân trong R thì AssS −1 R (S −1 M ) = {S −1 q | q ∈ AssR M, q ∩ S = ∅}. Cho p ∈ Spec(R), suy ra S = R\p là một tập đóng nhân. Ta kí hiệu Rp := S −1 R và Mp := S −1 M . Khi đó ta có tính chất chuyển dịch của tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa như sau. Mệnh đề 1.1.3. AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR M, q ⊆ p}. Kết quả tiếp theo là tính chất chuyển dịch của tập iđêan nguyên tố liên kết qua đầy đủ hóa. Nhắc lại rằng, một dãy (xn ) ⊂ R được gọi là một dãy Côsi theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho xn − xm ∈ mk , với mọi m, n ≥ n0 . Dãy (xn ) ⊂ R được gọi là dãy không nếu 4
với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ mk ,với mọi n ≥ n0 . Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Côsi như sau : Hai dãy Côsi (xn ), (yn ) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn ) là dãy không. Kí hiệu R b là tập các lớp tương đương của các dãy Côsi. Chú ý rằng tổng và tích của hai dãy Côsi là một dãy Côsi, quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) và quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán trên R b và cùng với phép toán này R b làm thành một vành Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất là mR b. Vành R b vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R. Bằng cách tương tự ta có khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic cho R-môđun L tùy ý và được kí hiệu là L b . Nhưng chú ý rằng với p ∈ Spec(R) thì chưa chắc đã có pR b ∈ Spec(R). Mệnh đề 1.1.4. Các phát biểu sau là đúng S (i) AssRb M c= AssRb (R/ b pR) b . p∈AssR M (ii) AssR M = {P ∩ R | P ∈ AssRb M c}. Chứng minh. (i). Vì f : R → R b là đồng cấu tự nhiên và R b là phẳng trên R nên theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] ta có [ AssRb (M ⊗ R) b = AssRb (R/ b pR). b p∈AssR M b∼ Hơn nữa M ⊗ R =M c nên khẳng định (i) đã được chứng minh. (ii). Gọi f a : Spec(R) b → Spec(R) là ánh xạ cảm sinh của f , tức là f a (P) = f −1 (P) := P ∩ R với mọi P ∈ Spec(R) b . Vì f là ánh xạ phẳng hoàn toàn nên theo [Mat, Định lý 7.3(i)], f a là toàn ánh. Áp dụng [Mat, Định lý 23.2](ii) ta có 5
[ c} = f a (Ass b M {P ∩ R | P ∈ AssRb M c) = f a ( AssRb (R/ b pR)) b R p∈AssR M [ = f a (AssRb (R/ b pR)). b p∈AssR M Theo [Mat, Định lý 23.2](ii), f a (AssRb (R/ b = {p} với mỗi p ∈ Spec(R). b pR)) Vì thế {P ∩ R | P ∈ AssRb M c} = AssR M . 1.2 Tiêu chuẩn Artin cho các môđun Tiết này trình bày khái niệm và một số tính chất của môđun Artin, đặc biệt là tiêu chuẩn Artin của L. Melkersson [Mel]. Định nghĩa 1.2.1. Một R-môđun L được gọi là môđun Artin nếu mỗi dãy giảm các môđun con của L đều dừng, nghĩa là nếu L ⊇ L1 ⊇ L2 ⊇ . . . ⊇ Ln ⊇ . . . là một dãy giảm dần các môđun con của L thì tồn tại k ∈ N sao cho Lk = Ln với mọi n ≥ k . Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một R-môđun Artin, tức là mọi dãy giảm các iđêan của R đều dừng. Mệnh đề sau cho ta điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin. Mệnh đề 1.2.2. R-môđun L là môđun Artin nếu và chỉ nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con của L đều có phần tử tối tiểu. Tiếp theo là một tính chất hay dùng của môđun Artin. Mệnh đề 1.2.3. Cho 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp các R-môđun. Khi đó L là Artin nếu và chỉ nếu L0 , L00 là Artin. Phần cuối của tiết này đưa ra tiêu chuẩn Artin theo tính chất I -xoắn. Định nghĩa 1.2.4. Cho R-môđun L. Với mỗi số tự nhiên n, đặt (0 :L I n ) = {x ∈ L | I n x = 0}. 6
Khi đó (0 :L I n ) là một môđun con của L. Kí hiệu ΓI (L) = I n ). S n≥0 (0 :L Ta nói rằng L là I -xoắn nếu L = ΓI (L). Bổ đề 1.2.5. Cho a ∈ R và L là Ra-xoắn. Giả sử L0 , L00 là các môđun con của L sao cho L00 ⊆ L0 và ai (0 :L0 ai+1 ) = ai (0 :L00 ai+1 ) với mọi i. Khi đó L0 = L00 . Định lý 1.2.6. (Tiêu chuẩn Artin của Melkersson) L là Artin nếu và chỉ nếu tồn tại một iđêan I của R sao cho (0 :L I) là Artin và L là I -xoắn. Chứng minh. Giả sử L là Artin. Với I là iđêan tùy ý, vì (0 :L I) là môđun con của L nên nó là Artin. Lấy x ∈ L. Rõ ràng Rx là R-môđun hữu hạn sinh. Vì Rx là môđun con của L nên nó là Artin. Do đó `(Rx) < ∞. Vì thế tồn tại n sao cho mn x = 0, tức là x ∈ (0 :L mn ). Do đó L là m-xoắn. Ngược lại, giả sử tồn tại iđêan I của R sinh bởi t phần tử sao cho (0 :L I) là Artin và L = n≥0 (0 :L I n ). Ta sẽ chứng minh L là Artin bằng S phương pháp quy nạp theo t. Nếu t = 0 thì I = 0 và do đó L = (0 :L I) là Artin. Với t = 1, đặt I = Ra. Gọi L1 ⊇ L2 ⊇ . . . ⊇ Ln . . . là dãy giảm các môđun con của L. Ta chứng minh dãy đó phải dừng. Với mỗi i và với mỗi môđun con N của L, nếu x ∈ ai (0 :N ai+1 ) thì tồn tại y ∈ (0 :N ai+1 ) sao cho x = ai y . Ta có ax = a(ai y) = ai+1 y = 0. Suy ra ax = 0 hay x ∈ (0 :L a). Vậy ai (0 :N ai+1 ) ⊆ (0 :L a). Tiếp theo ta chứng minh ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai+1 (0 :Ln ai+2 ) với mọi i. Thật vậy, lấy x ∈ ai+1 (0 :Ln ai+2 ) tùy ý. Khi đó tồn tại y ∈ (0 :Ln ai+2 ) sao cho x = ai+1 y . Vì y ∈ (0 :Ln ai+2 ) nên ai+2 y = 0. Suy ra ai+1 (ay) = 0 hay ay ∈ (0 :Ln ai+1 ). Do đó tồn tại z ∈ (0 :Ln ai+1 ) sao cho ay = z . Ta có x = ai+1 y = ai z . Suy ra x ∈ ai (0 :Ln ai+1 ). Vậy ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai+1 (0 :Ln ai+2 ). Với mỗi n ≥ 1 ta có dãy giảm các môđun con của (0 :L a) (0 :Ln a) ⊇ . . . ⊇ ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai+1 (0 :Ln ai+2 ) ⊇ . . . 7
Vì (0 :L a) là Artin nên tồn tại kn ∈ N sao cho En = akn (0 :Ln akn +1 ) = ai (0 :Ln ai+1 ), ∀i ≥ kn . Ta có En = akn +kn+1 (0 :Ln akn +kn+1 +1 ) ⊇ akn +kn+1 (0 :Ln+1 akn +kn+1 +1 ) = En+1 . Vì thế E1 ⊇ . . . ⊇ En . . . là một dãy giảm các môđun con của (0 :L a). Do đó nó phải dừng, tức là tồn tại n0 để En = En0 với mọi n ≥ n0 . Với mọi i ≥ kn0 và n ≥ n0 ta có En0 = akn0 (0 :Ln0 akn0 +1 ) ⊇ ai (0 :Ln0 ai+1 ) ⊇ ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ En = En0 . Vậy En0 = ai (0 :Ln ai+1 ) với mọi i ≥ kn0 , n ≥ n0 . Với mỗi số nguyên i = 0, 1, . . . , kn0 − 1 ta có dãy giảm sau ai (0 :L1 ai+1 ) ⊇ . . . ⊇ ai (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai (0 :Ln+1 ai+1 ) ⊇ . . . các môđun con của (0 :L a), nên tồn tại u ≥ n0 để ai (0 :Ln ai+1 ) = ai (0 :Lu ai+1 ) với mọi n ≥ u, 0 ≤ i ≤ kn0 − 1. Theo Bổ đề 1.2.5, Ln = Ln+1 với mọi n ≥ u. Vậy L là Artin. Với t > 1. Giả sử I = (a1 , . . . , at ). Đặt J = (a1 , . . . , at−1 ) và N = (0 :L J). Khi đó N là Rat -xoắn và (0 :N at ) = (0 :L I). Do đó (0 :L I) là Artin nên (0 :N at ) cũng là Artin. Vì N là Rat -xoắn nên theo như trường hợp t = 1 ở trên thì N là Artin. Vì L là I -xoắn nên L là J -xoắn. Vì N = (0 :L J) là Artin với mọi J được sinh ra bởi t − 1 phần tử nên theo giả thiết quy nạp ta được L là Artin. 1.3 Biểu diễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin Các kiến thức ở mục này được tham khảo trong [Mac]. Định nghĩa 1.3.1. (i) Một R-môđun L được gọi là thứ cấp nếu L 6= 0 và với mọi x ∈ R ta có xL = L hoặc tồn tại n ∈ N để xn L = 0. Trong trường hợp này tập p = {x ∈ R | xn L = 0, với n ∈ N} là iđêan nguyên tố và ta gọi L là p-thứ cấp. 8
(ii) Cho L là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của L là một phân tích L = L1 + · · · + Lt thành tổng hữu hạn các môđun con, trong đó Li là pi -thứ cấp. Nếu L = 0 hoặc L có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói L là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi đôi một khác nhau và không có hạng tử Li nào là thừa, với mọi i = 1, . . . , t. Chú ý rằng nếu Li , Lj là hai môđun con p-thứ cấp của L thì Li + Lj cũng là môđun con p-thứ cấp của L. Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của L đều có thể đưa được về dạng tối tiểu. Khi đó tập {p1 , . . . , pt } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của L, kí hiệu là AttR L. Các hạng tử Li , với i = 1, . . . , t, được gọi là các thành phần thứ cấp của L. Nếu pi là tối tiểu trong AttR L thì Li được gọi là thành phần thứ cấp cô lập. Nếu A là R-môđun Artin thì A là biểu diễn được. Từ giờ đến hết tiết này ta luôn giả thiết A là R-môđun Artin. Mệnh đề 1.3.2. Các phát biểu sau đây là đúng. (i) AttR A 6= ∅ khi và chỉ khi A 6= 0. (ii) min AttR A = min Var (AnnR A). Đặc biệt dim (R/AnnR A) = max {dim (R/p) | p ∈ AttR A}. (iii) Nếu 0 → A0 → A → A00 → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì AttR A00 ⊆ AttR A ⊆ AttR A0 ∪ AttR A00 . Chú ý 1.3.3. Cho u ∈ A và cho rb ∈ R b. Gọi (rn )n∈N là dãy Côsi trong R đại diện cho lớp rb. Khi đó Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, do đó nó là môđun Artin. Chú ý rằng Ru là hữu hạn sinh. Vì thế Ru vừa 9
là môđun Artin, vừa là môđun Noether. Do đó Ru là môđun có độ dài hữu hạn. Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao cho mk u = 0. Vì rb ∈ R b, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi m, n ≥ n0 . Suy ra (rn − rm )u = 0 với mọi m, n ≥ n0 . Hay rn u = rn0 u với mọi n ≥ n0 . Do đó ta có thể định nghĩa tích vô hướng rbu = rn0 u. Dễ kiểm tra được đây là một tích vô hướng trên A. Do đó A có cấu trúc tự nhiên như R b-môđun. Với cấu trúc này, một môđun con của A xét như R-môđun nếu và chỉ nếu nó là môđun con của A xét như R b-môđun. Vì thế A là một Rb-môđun Artin. Nếu xem Rb-môđun A này như là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → R b thì ta được cấu trúc R-môđun ban đầu trên A. Như vậy tập iđêan nguyên tố gắn kết của A trên R và trên R b luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết này như sau. Bổ đề 1.3.4. AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttRb A}. Chứng minh. Giả sử A = (A11 + . . . + A1t1 ) + . . . + (An1 + . . . + Antn ) là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A xét như R b-môđun, trong đó Aij là pi1 ∩ R = . . . = b pij -thứ cấp và b b piti ∩ R = pi với mọi i = 1, . . . , n và các pi là đôi một phân biệt. Khi đó AttRb A = {b pij | i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , ti }. Đặt Ai = Ai1 + . . . + Aiti với i = 1, . . . , n. Khi đó A = A1 + . . . + An . Với mỗi i ∈ {1, . . . , n} và x ∈ pi ta có x ∈ b pij với mọi j = 1, . . . , ti . Do đó phép nhân bởi x trên Ai là toàn cấu. Suy ra Ai là pi -thứ cấp. Vì mỗi Aij đều không thừa nên Ai là không thừa mới mọi i. Vậy AttR A = {p1 , . . . , pn } = {b p∩R|b p ∈ AttRb A}. 10
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Trong tiết này ta nhắc lại khái niệm và một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương. Các thuật ngữ được tham khảo trong cuốn [BS]. Định nghĩa 1.4.1. Cho I là iđêan của R và L, N là các R-môđun. Đặt ΓI (L) = n≥0 (0 :L I n ). Cho f : L → N là đồng cấu các R-môđun thì ta S có đồng cấu cảm sinh f ∗ : ΓI (L) → ΓI (N ) cho bởi f ∗ (x) = f (x) với mọi x ∈ ΓI (L). Khi đó ΓI (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun. ΓI (−) được gọi là hàm tử I -xoắn. Định nghĩa 1.4.2. Một R-môđun L được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu f : N → N 0 và mỗi đồng cấu g : N → L, luôn tồn tại đồng cấu h : N 0 → L sao cho g = hf . Một giải nội xạ của R-môđun L là một dãy khớp các R-môđun α f0 f1 f2 0→L→ − E0 − → E1 − → E2 − → ··· trong đó mỗi Ei là một môđun nội xạ. Chú ý rằng mọi môđun đều có giải nội xạ. Định nghĩa 1.4.3. Cho L là R-môđun và I là iđêan của R. Môđun dẫn suất phải thứ i của hàm tử I -xoắn ΓI (−) ứng với M được gọi là môđun đối đồng điều thứ i của L với giá I . Kí hiệu là HIi (L). Cụ thể, nếu cho α f0 f1 f2 0→L→ − E0 − → E1 − → E2 − → ··· là giải nội xạ của L, tác động hàm tử I -xoắn vào ta được đối phức 0 f∗ 1 f∗ 2 f∗ 0 → ΓI (E0 ) − → ΓI (E1 ) − → ΓI (E2 ) − → ··· Khi đó HIi (L) = Ker fi∗ / Im fi−1 ∗ , với i ≥ 0. Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L. 11
Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.4.4. Cho L là R-môđun. Các khẳng định sau là đúng. (i) Nếu L là nội xạ thì HIi (L) = 0 với mọi i ≥ 1. (ii) ΓI (L) ∼ = HI0 (L). (iii) Nếu 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồn tại các đồng cấu nối HIi (L00 ) → HIi+1 (L0 ) với mọi i ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 → ΓI (L0 ) →ΓI (L) → ΓI (L00 ) → HI1 (L0 ) → HI1 (L) → HI1 (L00 ) → HI2 (L0 ) → . . . Một tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu trong mối quan hệ với tính I -xoắn, độ sâu và chiều của môđun. Đầu tiên là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương trong mối quan hệ với tính I -xoắn. Mệnh đề 1.4.5. Cho L là R-môđun. Các phát biểu sau là đúng. (i) HIi (L) là môđun I -xoắn với mọi i ≥ 0. (ii) Nếu L là I -xoắn thì HIi (L) = 0 với mọi i > 0. Đặc biệt với mỗi R-môđun L, ta có HIj (HIi (L)) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j ≥ 0. Mệnh đề trên cho ta ngay kết quả sau đây. Hệ quả 1.4.6. Với mỗi R-môđun L, đặt L = L/ΓI (L). Khi đó ta có HIi (L) ∼ = HIi (L) với mọi số tự nhiên i ≥ 1. Tiếp theo là tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương liên quan đến khái niệm dãy chính quy và độ sâu của môđun. 12
Định nghĩa 1.4.7. Cho L là R-môđun. Phần tử 0 6= a ∈ R được gọi là phần tử L-chính quy nếu (0 :L a) = 0 và L 6= aL. Một dãy các phần tử a1 , . . . , an của R được gọi là L-dãy chính quy nếu ai là phần tử L/(a1 , . . . , ai−1 )L-chính quy với mọi i = 1, . . . , n và L/(a1 , . . . , an )L 6= 0. Chú ý nếu (R, m) là vành địa phương, a1 , . . . , an ∈ m thì điều kiện thứ hai trong định nghĩa L-dãy chính quy là không cần, tức L/(a1 , . . . , an )L 6= 0 là luôn đúng. Từ nay đến hết tiết này, ta giả thiết (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có các kết quả sau. Định nghĩa 1.4.8. Mỗi dãy chính quy của M trong I đều có thể mở rộng thành một dãy chính quy tối đại và độ dài của của các dãy chính quy tối đại trong một iđêan I là bằng nhau. Độ dài này được gọi là độ sâu của môđun M trong I , kí hiệu là depthI (M ). Đặc biệt khi I = m thì ta viết là depth(M ). Độ sâu của môđun hữu hạn sinh có thể được đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau. Mệnh đề 1.4.9. Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và M 6= 0 thì depthI (M ) = min{i | HIi (M ) 6= 0}. Sau cùng là khái niệm chiều của môđun và tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương liên quan đến khái niệm chiều của môđun. Định nghĩa 1.4.10. Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn các iđêan nguyên tố của R được gọi là một dãy iđêan nguyên tố của R có độ dài n. Cận trên các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố của R được gọi là chiều (chiều Krull) của vành R, kí hiệu là dim R. Khi đó chiều (chiều Krull) của M là 13
chiều của vành R/ AnnR M , kí hiệu là dim M . Nếu M = 0 thì ta quy ước dim M = −1. Định lý 1.4.11. (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Với dim M = d, các khẳng định sau là đúng: (i) HIi (M ) = 0 với mọi số nguyên i > d và mọi iđêan I của R. (ii) Nếu M 6= 0 thì dim M = max{i | Hmi (M ) 6= 0}. Cuối tiết này ta trình bày tính chất Artin của môđun đối đồng điều địa phương. Để xét tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương trước hết ta cần mệnh đề sau. Mệnh đề 1.4.12. Cho x ∈ I là một phần tử M -chính quy. Khi đó với mọi i ∈ N ta có dãy khớp 0 → HIi (M )/xHIi (M ) → HIi (M/xM ) → (0 :HIi (M ) x). Định lý sau khẳng định môđun đối đồng điều đại phương cấp cao nhất với giá tùy ý và môđun đối đồng điều đại phương cấp tùy ý với giá cực đại luôn là Artin. Định lý 1.4.13. Cho (R, m) là vành địa phương , M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Khi đó (i) HId (M ) là Artin với mọi iđêan I . (ii) Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0. Chứng minh. (i). Ta sẽ chứng minh quy nạp theo d. Với d = 0 thì M có độ dài hữu hạn và do HI0 (M ) ∼ = ΓI (M ) vì thế HI0 (M ) là Artin. Cho d ≥ 1 và giả thiết rằng kết quả đúng với trường hợp chiều nhỏ hơn d. Do d > 0 nên theo Hệ quả 1.4.6 ta có HIi (M ) ∼ = HIi (M/ΓI (M )). Chú ý rằng dim(M ) ≥ 14
dim(M/ΓI (M )). Nếu dim(M/ΓI (M )) < d thì HId (M/ΓI (M )) = 0. Do đó HId (M ) = 0 và vì thế nó là môđun Artin. Giả sử dim(M/ΓI (M )) = d. Khi đó H i (M ) ∼ I = H i (M/ΓI (M )). Do M/ΓI (M ) có phần tử chính quy trong I I nên ta có thể giả thiết I chứa phần tử x là M -chính quy. Từ dãy khớp x. p 0 → M → M → M/xM → 0, theo Mệnh đề 1.4.12 ta có dãy khớp cảm sinh f x. HId−1 (M/xM ) → HId (M ) → HId (M ). Vì x là phần tử M -chính quy nên dim(M/xM ) = d − 1. Theo giả thiết quy nạp thì HId−1 (M/xM ) là Artin. Từ dãy khớp trên suy ra HId−1 (M/xM )/ Ker f ∼ = Im f = Ker(x.) = (0 :HId (M ) x). Vì HId−1 (M/xM )/ Ker f là Artin nên (0 :HId (M ) x) là Artin. Vì HId (M ) là môđun I -xoắn và x ∈ I nên HId (M ) là môđun Rx-xoắn. Do đó theo Định lý 1.2.6 ta suy ra HId (M ) là môđun Artin. (ii). Ta cũng chứng minh bằng quy nạp theo i. Với i = 0 ta có Hm0 (M ) ∼ = Γm (M ). Vì M là môđun Noether nên dãy (0 :M m) ⊆ (0 :M m2 ) ⊆ . . . phải dừng, tức tồn tại số tự nhiên r sao cho (0 :M mk ) = (0 :M mr ) với mọi k ≥ r. Do vậy Hm0 (M ) = (0 :M mr ). Suy ra mr ⊆ AnnR (Hm0 (M )). Vì thế dim(Hm0 (M )) ≤ dim R/mr = 0. Suy ra Hm0 (M ) có độ dài hữu hạn, do đó nó là Artin. Cho i > 0. Giả thiết kết quả đúng cho i − 1. Chú ý rằng Hmi (M ) ∼ = Hmi (M) với M = M/Γm (M ). Do đó tồn tại x ∈ m là x. p M -chính quy. Từ dãy khớp 0 → M → M → M/xM → 0 ta có dãy khớp δi−1 x. Hmi−1 (M/xM ) → Hmi (M ) → Hmi (M ). Suy ra Hmi−1 (M/xM )/ Ker δi−1 ∼ = Im δi−1 = Ker(x.) = (0 :Hmi (M ) x). Vì Hmi (M ) là môđun m-xoắn và x ∈ m nên Hmi (M ) cũng là môđun Rx- xoắn. Theo Định lý 1.2.6 ta suy ra Hmi (M ) là môđun Artin. 15