Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố liên kết và tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho R là vành Noether, a là một iđêan của R, và M là R−môđun. Một vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i, Hi a (M) của M ứng với iđêan a là hữu hạn. Nếu R là vành địa phương chính quy chứa một trường, khi đó Hi a (R) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết với mọi i ≥ 0.... Mời các bạn cùng tham khảo luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố liên kết và tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ MAI LOAN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ MAI LOAN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2016
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm ... Người viết Luận văn Hà Mai Loan i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2016 Người viết luận văn Hà Mai Loan ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Môđun Ext và môđun Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết và tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương 13 2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 iii
2.2 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương . . . . 25 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iv
Mở đầu Cho R là vành Noether, a là một iđêan của R, và M là R−môđun. Một vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i, Hai (M ) của M ứng với iđêan a là hữu hạn. Nếu R là vành địa phương chính quy chứa một trường, khi đó Hai (R) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết với mọi i ≥ 0 (trong [10] và [13]). Trong [20] Singh đã đưa ra một ví dụ của một vành Noether R không địa phương và một iđêan a sao cho Ha3 (R) có vô hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Cũng trong [11] Katzman đã đưa ra một ví dụ của một vành địa phương Noether R với đặc số dương và một iđêan a sao cho Ha2 (R) có vô hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Trong [2, Định lý 2.2] Brodmann và Lashgari đã chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương không hữu hạn sinh đầu tiên Hai (M ) của một môđun hữu hạn sinh M ứng với một iđêan a chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Một R−môđun M được gọi là a-cofinite nếu SuppR (M ) ⊆ V(a) và ExtiR (R/a, M ) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0. Gần đây M. T. Dibaei và S. Yassemi đã mở rộng kết quả của Brodmann và Lashgari, cụ thể là 1
định lý sau: Định Lý 1 ([6, Định lý 2.1]) Cho a là một iđêan của vành Noether R. Cho s là một số nguyên không âm. Cho M là R−môđun sao cho ExtsR (R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu Hai (M ) là a−cofinite với mọi i < s, thì HomR (R/a, Has (M )) là hữu hạn sinh. Mặt khác, trong [12] Khashyarmanesh và Salarian đã chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương thứ t, Hat (M ) của một môđun hữu hạn sinh M ứng với một iđêan a có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết nếu SuppR (Hai (M )) là hữu hạn với mọi i < t. Gần đây, P. H. Quý đã kết hợp kết quả của Brodmann-Lashgari và kết quả của Khashyarmanesh- Salarian, cụ thể là định lý sau: Định lý 2 ([18, Định lý 3.2]) Cho a là một iđêan của vành Noether R, và cho M là một R−môđun hữu hạn sinh. Cho t ∈ N sao cho Hai (M ) là hữu hạn sinh hoặc SuppR (Hai (M )) là hữu hạn với mọi i < t. Khi đó AssR (Hat (M )) là tập hữu hạn. Trong phần tiếp theo ta tìm hiểu một số kiến thức căn bản về tính chất cofinite của môđun. Cho (R, m) là vành địa phương Noether, cho M là R−môđun hữu hạn sinh và a là iđêan của R, trong [6] Dibaei và Yassemi đã định nghĩa q(a, M ) là số nguyên nhỏ nhất n ≥ −1 sao cho các môđun Hai (M ) là m-cofinite với mọi i > n, và đưa ra kết quả về số nguyên q(a, M ), cụ thể là định lý sau: Định lý 3 ([6, Định lý 3.9]) Cho a là iđêan của R và i ≥ 0 là một số nguyên cho trước sao cho Hai (R/b) là m−cofinite với mọi iđêan b của R. Khi đó q(a, R/p) < i với mọi p ∈ Spec R. Đặc biệt, q(a, M ) < i với mỗi 2
R−môđun hữu hạn sinh M . Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết các chứng minh của các Định lý 1, 2, 3 như đã nêu trên, các chứng minh này dựa trên ba bài báo chính là [6], [17], [18]. Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 dành để trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên tố liên kết, biểu diễn thứ cấp, môđun Ext và Tor, môđun đối đồng điều địa phương, bao đầy đủ của môđun. Chương 2 là chương chính của luận văn dành để chứng minh chi tiết các Định lý 1, Định lý 2, Định lý 3 như đã nêu trên, bên cạnh đó một số hệ quả của các định lý và một số kiến thức căn bản về tính chất cofinite của môđun cũng được trình bày. 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, M là R−môđun và a là iđêan của R. 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn sách [14]. Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu có một phần tử 0 6= x ∈ M sao cho AnnR (x) = p. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M ) (hoặc Ass(M )). Định nghĩa 1.1.2. (Tập giá của môđun) Đặt SuppR (M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp 6= 0}. Khi đó SuppR (M ) được gọi là tập giá của M . Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết. 4
Mệnh đề 1.1.3. (i) Cho p ∈ Spec(R). Khi đó p ∈ AssR (M ) nếu và chỉ nếu M có một môđun con đẳng cấu với R/p. P (ii) Đặt = {AnnR (x) | 0 6= x ∈ M }. Nếu p là phần tử tối đại của P , thì p ∈ AssR (M ). Vì R là vành Noether nên M 6= 0 khi và chỉ khi AssR (M ) 6= 0. Đặt ZDR (M ) = {x ∈ M | ∃a 6= 0, a ∈ R, ax = 0} là tập S tất cả các ước của không của M , khi đó ZDR (M ) = p. p∈AssR (M ) (iii) Cho 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp các R−môđun. Khi đó AssR (M 0 ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M 0 ) ∪ AssR (M 00 ). (iv) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) và mỗi phần tử tối thiểu của tập SuppR (M ) đều thuộc vào tập AssR (M ). (v) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì AssR (M ) là tập hữu hạn. Hơn nữa AssR (M ) ⊆ V (AnnR (M )) và mỗi phần tử tối thiểu của p V (AnnR (M )) đều thuộc AssR (M ). Vì thế AnnR (M ) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M . (vi) AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR (M ), q ⊆ p}. 1.2 Biểu diễn thứ cấp Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I. G. Macdonald được xem như là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các môđun Noether. Các kiến thức sau đây được trích dẫn từ sách [3] và [14]. 5
Định nghĩa 1.2.1. (i) Một R−môđun M được gọi là thứ cấp nếu M 6= 0 và với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên M là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong trường hợp này tập p = {x ∈ R | xn M = 0, với n ∈ N} là iđêan nguyên tố và ta gọi M là p−thứ cấp. (ii) Cho M là R−môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích M = N1 + . . . + Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi −thứ cấp Ni . Nếu M = 0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi i = 1, . . . , n. Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về dạng tối thiểu. Khi đó tập {p1 , . . . , pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M , kí hiệu là AttR (M ) (hoặc Att(M )). Các hạng tử Ni , i = 1, . . . , n, được gọi là các thành phần thứ cấp của M . Nếu pi là tối tiểu trong AttR (M ) thì Ni được gọi là thành phần thứ cấp cô lập. Mệnh đề 1.2.2. ([3, Mệnh đề 7.2.11]) Cho M là R−môđun Artin và x ∈ R. Khi đó S (i) xM = M nếu và chỉ nếu x ∈ R \ p∈AttR (M ) p; và p T (ii) AnnR (M ) = p∈AttR (M ) p. 6
1.3 Môđun Ext và môđun Tor Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn sách [19]. Định nghĩa 1.3.1. (i) (Môđun xạ ảnh) Một R−môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu f : M → N và mỗi đồng cấu g : P → N , luôn tồn tại đồng cấu h : P → M sao cho g = f h. (ii) (Giải xạ ảnh) Một giải xạ ảnh của R−môđun M là một dãy khớp . . . → P2 → P1 → P0 → M → 0, trong đó Pi là R−môđun xạ ảnh với mọi i. Định nghĩa 1.3.2. (i) (Môđun nội xạ) Một R−môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f : N → M và mọi đồng cấu g : N → E , luôn tồn tại đồng cấu h : M → E sao cho g = hf . (ii) (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R−môđun M là một dãy khớp µ f0 f1 f2 0→M → − E0 − → E1 − → E2 − → ··· , trong đó Ei là các R−môđun nội xạ với mọi i ≥ 0. Chú ý 1.3.3. Giải nội xạ của một R−môđun M luôn tồn tại. Định nghĩa 1.3.4. (Môđun Ext) Cho N là R−môđun. Xét hàm tử Hom(−, N ) là phản biến, khớp trái. Cho M là R−môđun, lấy một giải xạ ảnh của M f2 f1 f0 µ ... − → P2 − → P1 − → P0 → − M → 0. 7
Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có đối phức 0 f∗ 1f∗ f∗ 2 0 → Hom(P0 , N ) − → Hom(P1 , N ) − → Hom(P2 , N ) − → .... Khi đó ExtiR (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1 ∗ được gọi là môđun mở rộng thứ i của M và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M . Định nghĩa 1.3.5. (Môđun Tor) Cho N là R−môđun. Xét hàm tử − ⊗ N là hiệp biến, khớp phải. Cho M là R−môđun, lấy một giải xạ ảnh của M f2 f1 f0 µ ... − → P2 − → P1 − → P0 → − M → 0. Tác động hàm tử − ⊗ N vào dãy khớp trên ta có phức f∗2 1 f∗ 0 f∗ ... − → P2 ⊗ N − → P1 ⊗ N − → P0 ⊗ N → 0. Khi đó TorR ∗ ∗ i (M, N ) = Ker fi−1 / Im fi được gọi là môđun xoắn thứ i của M và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M . Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext và Tor. Mệnh đề 1.3.6. (i) Nếu M là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì ExtiR (M, N ) = 0 với mọi i > 1. (ii) Nếu M hoặc N là xạ ảnh thì TorR i (M, N ) = 0 với mọi i > 1. (iii) Ext0R (M, N ) ∼ = Hom(M, N ) và TorR ∼ 0 (M, N ) = M ⊗ N . (iv) Nếu 0 → N 0 → N → N 00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (M, N 00 ) → Extn+1 0 R (M, N ) với mọi n > 0 sao cho ta có dãy 8
khớp dài 0 → Hom(M, N 0 ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N 00 ) → Ext1R (M, N 0 ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N 00 ) → Ext2R (M, N 0 ) → . . . (v) Nếu 0 → N 0 → N → N 00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (N 0 , M ) → Extn+1 00 R (N , M ) với mọi n > 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 → Hom(N 00 , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N 0 , M ) → Ext1r (N 00 , M ) → Ext1R (N, M ) → Ext1R (N 0 , M ) → Ext2R (N 00 , M ) → . . . . Hệ quả 1.3.7. Nếu M, N là các R−môđun hữu hạn sinh thì ExtiR (M, N ) và TorR i (M, N ) cũng là hữu hạn sinh với mọi i. Mệnh đề 1.3.8. (i) ([14, tr. 53]) Nếu R0 là R−môđun phẳng thì ta có ExtiR (R/a, M ) ⊗R R0 ∼ = ExtiR0 (R0 /aR0 , M ⊗R R0 ) với mọi i. (ii) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu S là tập đóng nhân của R thì ta có S −1 (ExtnR (M, N )) ∼ = ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N ), S −1 (TorR ∼ S −1 R (S −1 M, S −1 N ). n (M, N )) = Torn Đặc biệt, với mọi p ∈ Spec R ta có (ExtnR (M, N ))p ∼ = ExtnRp (Mp , Np ), (TorR ∼ Rp n (M, N ))p = Torn (Mp , Np ). 9
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Môđun đối đồng điều địa phương được định nghĩa bởi A. Grothendieck (vào những năm 1960). Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn sách [3] và [19]. Trước hết ta giới thiệu về hàm tử a−xoắn. Định nghĩa 1.4.1. (Hàm tử a−xoắn) Cho a là iđêan của R. Với mỗi R−môđun M, ta định nghĩa Γa (M ) = n≥0 (0 :M an ), dễ thấy nó là S môđun con của M . Nếu f : M → N là đồng cấu các R−môđun thì ta có đồng cấu cảm sinh f ∗ : Γa (M ) → Γa (N ) cho bởi f ∗ (m) = f (m). Khi đó Γa (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R−môđun đến phạm trù các R−môđun. Γa (−) được gọi là hàm tử a−xoắn. Định nghĩa 1.4.2. (Mở rộng cốt yếu) Một R−môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một R−môđun không tầm thường M nếu M ⊆ E và với mỗi môđun con khác không N của E luôn có N ∩ M 6= 0. Định nghĩa 1.4.3. (Bao nội xạ) Một R−môđun E được gọi là bao nội xạ của M nếu E là R−môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M . Chú ý 1.4.4. (i) Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E = ER (R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m (khi xem như R−môđun). Ta kí hiệu b = limR/mn và K R b lần lượt là đầy đủ m−adic của R và K đối với tôpô ← m−adic. Một vành R gọi là đầy đủ nếu R b = R. (ii) Kí hiệu D(−) = HomR (−, E) là hàm tử từ phạm trù các R−môđun và các R−đồng cấu vào chính nó. Với mỗi R−môđun K , ta gọi D(K) là 10
đối ngẫu Matlis của K . Định nghĩa 1.4.5. (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là R−môđun và a là iđêan của R. Lấy giải nội xạ của M µ f0 f1 f2 0→M → − E0 − → E1 − → E2 − → .... Tác động hàm tử a−xoắn vào dãy khớp trên ta được đối phức f∗ 0 1 f∗ 2 f∗ 0 → Γa (E0 ) − → Γa (E1 ) − → Γa (E2 ) − → .... Khi đó Hai (M ) = Ker fi∗ / Im fi−1 ∗ (với mọi i ≥ 0) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a. Tiếp theo ta xét một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.4.6. Cho M là một R−môđun. Khi đó các phát biểu sau là đúng. (i) Γa (M ) ∼ = Ha0 (M ). (ii) Nếu M là nội xạ thì Hai (M ) = 0 với mọi i ≥ 1. (iii) Nếu 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp ngắn, thì tồn tại các đồng cấu nối Han (M 00 ) → Han+1 (M 0 ) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 → Γa (M 0 ) → Γa (M ) → Γa (M 00 ) → Ha1 (M 0 ) → Ha1 (M ) → Ha1 (M 00 ) → Ha2 (M 0 ) → · · · Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử địa phương hóa. 11
Mệnh đề 1.4.7. Nếu S là tập đóng nhân của R, khi đó S −1 Han (M ) ∼ = HSn−1 a (S −1 M ). Đặc biệt, (Han (M ))p ∼ = HanRp (Mp ) với mọi iđêan nguyên tố p của R. Từ mệnh đề trên ta có kết quả sau. Mệnh đề 1.4.8. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có p ∈ AssR (Han (M )) nếu và chỉ nếu pRp ∈ AssRp (HanRp (Mp )). Sau đây là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương thông qua chiều môđun. Định lý 1.4.9. (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Nếu dim M = d, thì Hai (M ) = 0 với mọi i > d và mọi iđêan a. Một tính chất Artin của môđun đối đồng điều địa phương. Định lý 1.4.10. Cho (R, m) là vành địa phương, M là R−môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Khi đó Had (M ) là Artin với mọi iđêan a. 12
Chương 2 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết và tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương 2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương Trong phần này ta luôn giả thiết R là vành Noether, a là iđêan của R và M là R−môđun. Trước hết ta nhắc lại khái niệm môđun a−cofinite do Hartshorne [8] định nghĩa. Định nghĩa 2.1.1. (Môđun a-cofinite) Một R−môđun M được gọi là môđun a−cofinite nếu thỏa mãn các điều kiện SuppR (M ) ⊆ V(a) và ExtiR (R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh với mọi i. Kết quả chính thứ nhất của luận văn này chính là định lý sau đây của 13
M. T. Dibaei và S. Yassemi trong [6, Định lý 2.1]. Định lý 2.1.2. (Định lý 1) Cho a là một iđêan của vành Noether R. Cho s là một số nguyên không âm. Cho M là R−môđun sao cho ExtsR (R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu Hai (M ) là a−cofinite với mọi i < s, thì HomR (R/a, Has (M )) là hữu hạn sinh. Chứng minh. Ta sử dụng phương pháp quy nạp theo s. Trường hợp s = 0, thì Ha0 (M ) ∼ = Γa (M ). Ta có (0 :M a) ∼ = HomR (R/a, M ), thật vậy xét φ : (0 :M a) −→ HomR (R/a, M ) x 7−→ fx trong đó fx : R/a −→ M ¯ = α + a 7−→ αx α φ là đồng cấu vì với mọi x, x1 , x2 ∈ (0 :M a), với mọi α ¯ ∈ R/a và mọi r ∈ R ta có φ(x1 + x2 )(¯ α) = fx1 +x2 (¯ α) = α(x1 + x2 ) = αx1 + αx2 = fx1 (¯ α) + fx2 (¯ α) = φ(x1 )(¯ α) + φ(x2 )(¯ α), φ(rx)(¯ α) = frx (¯ α) = α(rx) = r(αx) = rfx (¯ α) = rφ(x)(¯ α). φ là đơn cấu vì Ker φ = {x ∈ (0 :M a)|fx = 0} = {0}. φ là toàn cấu vì với mọi f ∈ HomR (R/a, M ), tồn tại x = f (¯1) ∈ (0 :M a) thỏa mãn α) = φ(f (¯1))(¯ φ(x)(¯ α) = αf (¯1) = f (¯ α) = ff (¯1) (¯ α). 14