Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau đó trình bày lại chi tiết bài chứng minh cho kết quả. Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH CAO NGUYÊN HOÀNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH CAO NGUYÊN HOÀNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
2 MỤC LỤC Lời cảm ơn! ................................................................................................................ 3 Phần mở đầu .............................................................................................................. 4 Bảng ký hiệu .............................................................................................................. 7 Chương 1: Kiến thức cơ sở .................................................................................... 8 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết ............................................................................... 8 1.2 Độ cao của một iđêan ................................................................................... 9 1.3 Chiều của một iđêan ................................................................................... 10 1.4 Độ sâu của môđun ...................................................................................... 11 1.5 Hàm tử xoắn ............................................................................................... 12 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương .............................................................. 14 1.7 Vành và môđun phân bậc ........................................................................... 16 1.8 Các phép biến đổi iđêan ............................................................................. 20 1.9 Chiều hữu hạn của môđun .......................................................................... 22 Chương 2: Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương......................................... 24 2.1 Khái niệm về sự ổn định tiệm cận .............................................................. 24 2.2 Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương ............................................................. 24 2.3 Ổn định tiệm cận ở chiều hữu hạn.............................................................. 25 2.4 Một tính chất khác về tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương ....... 34 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 48
3 Lời cảm ơn! Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS. TS. Trần Tuấn Nam thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, TS. Trần Huyên, PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cám ơn Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu và tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn Chí Thanh nơi tôi công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành kế hoạch học tập của mình. Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Tác giả Cao Nguyên Hoàng
4 Phần mở đầu Cho R = ⊕ n≥0 Rn trong đó họ ( Rn ) n≥0 là họ các vành Noether, R+ = ⊕ n>0 Rn là một iđêan của R và M là một R – môđun phân bậc hữu hạn sinh. H Ri ( M ) là môđun + đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với R+ được trang bị tính phân bậc tự nhiên. Với mỗi n ∈  , ta có H Ri ( M ) n là thành phần phân bậc thứ n của môđun + ( ) H Ri + ( M ) , tập hợp AssR0 H Ri + ( M ) n là tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của H Ri + ( M ) n . Trong quá trình nghiên cứu và tìm hiểu về mô đun đối đồng điều địa phương H Ri ( M ) , các nhà toán học đã thu được nhiều kết quả hết sức thú vị và một + trong những tính chất thú vị đó là tính ổn định tiệm cận của tập hợp ( ) AssR0 H Ri + ( M ) n . Đi đầu trong việc nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của ( ) AssR0 H Ri + ( M ) n là nhà toán học M.Brodmann, M.Brodmann đã chứng minh được rằng: “Tồn tại r ∈  sao cho H Ri ( M ) = 0 với mọi i ∈  0 và mọi n ≥ r ; hơn thế nữa + H Ri + ( M ) là R0 - mô đun hữu hạn sinh với mọi i ∈  0 và mọi n ∈  ”. Tiếp sau đó M.Brodmann cũng chứng minh được rằng: “ AssR ( H Rf ( M ) n ) ổn định tiệm cận khi 0 + f : f R+ ( = n f thì AssR ( H Ri ( M ) n ) còn ổn định tiệm cận không? 0 + Năm 2002 trong một bài báo (xem [11]), M. Brodman, M. Katzman và R.Y. Sharp đã trả lời cho các câu hỏi trên một cách chính xác. Kết quả được thể hiện trong định lí sau:
5 (1) (Định lí 2.3.8) Cho R là vành phân bậc và là ảnh đồng cấu của vành Noether giao hoán chính quy, M = ⊕ n∈ M n là R-môđun phân bậc khác không, hữu hạn sinh và không là R+ -xoắn. Đặt f : f R+ ( = = M ) inf{i ∈  : H Ri + ( M ) không hữu hạn sinh} thì ( ) {p ∩ R0 : p ∈ Proj ( R ) và depthM p + ht ( p + R+ ) / p =f } AssR0 H Rf+ ( M )n = với mọi n f thì tập AssR ( H Ri ( M )n ) không ổn định tiệm cận khi n → −∞ , 0 + cụ thể họ thu được định lí sau: (2) (Định lí 2.4.15) Kí hiệu R / là vành  [ X , Y , Z ,U ,V ,W ] / [ XU + YV + ZW ] Cho −d ∈  với d ≥ 3 , p ∈  là số nguyên tố. Khi đó: ( ) i) p ∈ Ass H R3 ( R / )− d nếu và chỉ nếu p ∈ ∏ ( d − 2 ) / + = ii) / 0 ( AssR H R3 ( R / ) / −d + ) {( X ,Y , Z )}  {( q, X ,Y , Z ) : q ∈ ∏ ( d − 2 )} iii) Tập các số nguyên {( Ass ( H R0/ 3 R+/ (R ) / −j )) : j ≥ 3} không xác định iv) Các tập { j ∈  : j ≥ 3 và ( p, X ,Y , Z ) ∈ Ass ( H sau R0 3 R+/ (R ) / −j )} và { j ∈  : j ≥ 3 và ( p, X ,Y , Z ) ∉ Ass ( H ( R ) )} là vô hạn R0 3 R+/ / −j / 0 ( / + ) v) AssR H R3 ( R / )− n không ổn định tăng với n → −∞ Những vấn đề trên có vai trò quan trọng trong chuyên ngành đại số, đại số giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau
6 đó trình bày lại chi tiết bài chứng minh cho kết quả (1). Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết quả (2). Bài luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau. Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần này trình bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh kết quả (1). Phần 2 trình bày các bổ đề liên quan sau đó dẫn đến kết quả (2). Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
7 Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa 0 tập hợp số tự nhiên  tập hợp số nguyên ⊕ n ≥ 0 Rn tổng trực tiếp của họ các vành Rn R/I vành thương của R theo I Spec(R) tập hợp các iđêan nguyên tố của R *Spec(R) tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R V(I) tập hợp các iđêan nguyên tố chứa I S −1 R vành các thương của vành R Rp vành địa phương tại p dim( R) số chiều của vành R R l1 , l2 ,..., lr  vành đa thức lấy hệ số trên R { inf i ∈  ...} cận dưới đúng của một tập hợp sup {i ∈  ...} cận trên đúng của một tập hợp Hom(A,B) tập hợp tất cả các đồng cấu từ A đến B Supp(M) tập hợp các iđêan nguyên tố có M p ≠ 0 Ann(M) linh hóa tử của M Var(I) tập hợp Supp(R/I) Proj(R) { tập p ∈ *Spec( R) : p ⊇ / R+ }
8 Chương 1: Kiến thức cơ sở 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn tại một phần tử x ∈M sao cho Ann(x) = p . (ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/ p . Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu Ass R (M). Tính chất 1.1.2. Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) | x ∈M, x ≠ 0}. Khi đó p ∈ Ass R (M). Hệ quả 1.1.3. Ass R (M) = ∅ ⇔ M = 0 Hệ quả 1.1.4. Giả sử S là tập con nhân của R. Đặt R ' = S −1R , M ' = S −1M . Khi đó AssR ( M ') =f ( AssR ' ( M ')) =AssR ( M ) ∩ {p | p ∩ S =∅} Trong đó f : Spec( R ') → Spec( R) là một đồng cấu tôpô. Đặc biệt, AssR Mp = p ( ) { qRp | q ∈ AssR ( M ),q ⊆ p } Định lý 1.1.5. Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun. Khi đó Ass R (M) ⊆ Supp R (M), và với mọi phần tử tối tiểu của Supp R (M) đều nằm trong Ass R (M). Hệ quả 1.1.6. Giả sử I là iđêan của vành R. Khi đó iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I.
9 Định lý 1.1.7. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh, M ≠ 0 . Khi đó tồn tại dãy các mô đun con (0) = M0 ⊂ ... ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M sao cho Mi ≅R Mi−1 pi với mọi pi ∈ Spec( R),1 ≤ i ≤ n. Bổ đề 1.1.8. Nếu 0 → M ' → M → M '' → 0 là một dãy khớp các R – mô đun thì khi đó Ass( M ') ⊆ Ass( M ) ⊆ Ass( M ') ∪ Ass( M '') Tính chất 1.1.9. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Khi đó Ass(M) là hữu hạn. Hơn nữa, AssR ( M ) ⊆ V ( Ann( M )) và mỗi phần tử tối tiểu của V ( Ann( M )) đều thuộc AssR ( M ) . Vì thế Ann(M) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M. Tính chất 1.1.10. Nếu N là R – mô đun con của M. Khi đó AssR ( N ) ⊆ AssR ( M ) ⊆ AssR ( M / N ) ∪ AssR ( N ) 1.2 Độ cao của một iđêan Định nghĩa 1.2.1. Giả sử R là một vành, R ≠ 0 . Một chuỗi hữu hạn của n + 1 iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ .... ⊃ pn được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n. Nếu p∈ Spec( A) thì cận trên của chuỗi nguyên tố với p = p0 được gọi là độ cao của p kí hiệu là ht( p ). Nhận xét 1.2.2. (i) Nếu ht( p ) = 0 điều đó có nghĩa p là một iđêan nguyên tố tối tiểu của R.
10 (ii) Nếu I là một iđêan chính của R. Độ cao của I là độ cao thấp nhất của = iđêan nguyên tố chứa I. Tức là: ht(I ) inf{ht(p)|p ⊇ I} . 1.3 Chiều của một iđêan Định nghĩa 1.3.1. Cho R là vành, chiều của R được định nghĩa là cận trên của độ cao của các iđêan nguyên tố trong R. dim( R) sup{ht(p) | p ∈ Spec( R)} = Nếu dim(R) là hữu hạn thì nó chính là chiều dài của chuỗi nguyên tố dài nhất trong R. Nhận xét 1.3.2. (i) ht(p) dim( Rp ), p ∈ Spec( R) = (ii) Với mọi iđêan I của R ta có: dim( R ) + ht(I ) ≤ dim( R) I Tính chất 1.3.3. Giả sử M ≠ 0 là một R – mô đun khi đó số chiều của mô đun M được định nghĩa dim( M ) = dim  R   Ann( M )  Khi M = 0 ta qui ước dim(M) = -1. Tính chất 1.3.4. Với R là vành Noether và M ≠ 0 là hữu hạn sinh trên R thì ta có các điều kiện tương đương sau: (i) M là một R – mô đun có chiều dài hữu hạn. R Ann( M ) (ii) Vành là vành Artin.
11 (iii) dim(M) = 0. 1.4 Độ sâu của môđun Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh khác 0. Dãy các phần tử a1,..., an ∈ R được gọi là dãy M – chính quy nếu: (i) M / (a1,..., an )M ≠ 0 (ii) a i là phần tử M / (a1,..., an )M - chính quy, với mọi i = 1,.., n . Độ dài của M – dãy là số phần tử của dãy. M – dãy không có phần tử nào gọi là M – dãy có độ dài 0. Chú ý 1.4.2. (i) a ∈ R là phần tử M – chính quy nếu a không là ước của 0 trong M. (ii) a1,..., an ∈ R được gọi là M – dãy chính quy khi và chỉ khi M / (a1,..., an )M ≠ 0 và ai ∉p với mọi p∈ AssR ( M / (a1,..., an )M ) với mọi i = 1,.., n . Định nghĩa 1.4.3. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M ≠ aM và a1,..., an là M – dãy chính quy tối đại trong a nếu không tồn tại phần tử an+1 ∈a sao cho a1,..., an , an+1 là M – dãy chính quy có độ dài n +1. Định nghĩa 1.4.4. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M ≠ aM . Khi đó mọi dãy chính quy của M trong a đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong a và các dãy
12 chính quy tối đại của M trong a có cùng độ dài. Độ dài này gọi chung là độ sâu của M trong a , kí hiệu là depth( a , M). Nhận xét 1.4.5. Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại m . Khi đó mọi M – dãy chính quy a1,..., an phải có các phần tử thuộc m , đơn giản vì M ≠ (a1,..., an )M . Chú ý ta có M ≠ mM theo bổ đề Nakayama. Do đó dãy các phần tử của R là M – dãy chính quy khi và chỉ khi nó là M – dãy chính quy trong m . Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth(M). Tính chất 1.4.6. Giả sử a là iđêan của R và M là hữu hạn sinh. Khi đó depth(a, M ) inf{i | Hai ( M ) ≠ 0} = 1.5 Hàm tử xoắn Định nghĩa 1.5.1. Cho M là một R – mô đun, tập hợp Γa ( M )=  (0 : a n )= {m ∈ M | ∃n ∈ N ,a n m= 0} là mô đun con của M. n∈N Nếu f : M → N là đồng cấu các R - mô đun. Khi đó ta có f Γa ( M ) ⊆ Γa ( N ) Thật vậy với mọi x ∈Γa ( M ) ⇒ ∃n ∈ N : a n x = 0 Khi đó a n f ( x) = 0 ⇒ f (a n x ) = 0. Γa ( f ) Ta định nghĩa ánh xạ = f |Γa ( M ): Γa ( M ) → Γa ( N ) . Thì Γa (−) là một hàm tử hiệp biến trong phạm trù các R – mô đun.
13 Ta gọi Γa (−) là hàm tử a – xoắn. Bổ đề 1.5.2. Cho a là mộ iđêan của vành Noether R. Giả sử M hữu hạn sinh. Các phát biểu sau đây là đúng: (i) Γa ( M ) ≠ 0 nếu và chỉ nếu a ⊆ ZD( M ) Trong đó ZD( M ) = {a ∈ R:∃0 ≠ m ∈ M sao cho a.m = 0} ( ) (ii) Ass Γa ( M ) = ( Ass( M )  V (a ) và Ass M / Γa ( M ) = ) Ass( M ) \ V (a ) . Tính chất 1.5.3. Γa (−) bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn. Chứng minh Cho 0  f → M  g → N  → L là dãy khớp. Tác động Γa (−) và ta được Γa ( f ) Γa ( g ) 0 → Γa ( M ) → Γa ( N ) → Γa (L ) Khi đó Γa ( f ) là đơn cấu. Ta chứng minh kerΓa (g) ⊇ ImΓa ( f ) Thật vậy Γa (g)Γa ( f ) = Γa (gf ) = 0 Giả sử x ∈ ker Γa (g) ⊆ ker g = Imf . ∃m ∈ M , n ∈ N : f (= m) x,a= n x 0 0 Khi đó= n a= x a n f (= m) f (a n m) Do f đơn cấu nên a n m = 0 R = L  X ,Y , Z ,U ,V ,W  m ∈Γa ( M ), x ∈Γa ( f ) ⇒ kerΓa (g) =imΓa ( f ) . ■
14 Định nghĩa 1.5.4. (Xem [6, 1.2.1 Definition]) Cho R−môđun M. Khi đó ta định nghĩa: i) M là môđun không xoắn ⇔ Γa ( M ) =0 ii) M là môđun xoắn ⇔ Γa ( M ) =M Bổ đề 1.5.5. (Xem [6, 2.1.1 Lemma]) Cho M là R−môđun i) Nếu a chứa một phần tử khác uớc của không trên M thì M là môđun không xoắn ii) Giả sử M hữu hạn sinh. Khi đó M là môđun xoắn khi và chi khi a chứa một phần tử khác ước của không trên M. Bổ đề 1.5.6. (Xem [6, 2.1.7 Corollary]) i) Cho M là môđun xoắn. Khi đó Hai ( M ) = 0 với mọi i > 0 ii) Với mỗi R−môđun N, ta có Hai ( Γa ( N ) ) = 0 với mọi i > 0 iii) Với mỗi R−môđun N, tồn tại toàn cấu tự nhiên π : N → N / Γa ( N ) và đẳng cấu Hai (π ) : Hai ( N ) → Hai ( N / Γa ( N ) ) với mọi i > 0 Bổ đề 1.5.7. (Xem [6, 2.1.12]) Cho M là R−môđun. Ta có Ass ( Γa ( M ) ) ∩ Ass ( M / Γa ( M ) ) = Ass ( Γa ( M ) )  Ass ( M / Γa ( M ) ) ∅ và AssM = 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.6.1. Cho M là R – mô đun và a là iđêan của R. Cho giải nội xạ của M µ I1 → .... → Ii  → I → ..... 0 i 0  → M  → I0 → d d Tác động hàm tử a - xoắn Γa (−) vào dãy khớp trên ta được phức: Γa (d ) → Γa (I0 ) → .... → Γa (Ii )  → Γa (Ii +1 ) → ..... là dãy khớp i 0 
15 Khi đó ker(Γa (di )) là mô đun đối đồng điều thứ i của phức và Im(Γa (di−1)) được gọi là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a . Kí hiệu là Hai (M) = ker(Γa (di )) . Im(Γa (di−1)) Nhận xét 1.6.2. (i) Nếu M là R – mô đun nội xạ thì Hai (M) = 0, ∀i > 0 (ii) Γa (M) ≅ Ha0 (M) (iii) Mọi phần tử của Hai (M) linh hóa bởi a n với n nào đó. Tính chất 1.6.3. Cho R là vành Noether S là tập đóng nhân của R, M là R – mô đun, a là ideal của R. Thì S−1 (Γa (M)) = ΓS−1a (S−1M) S−1 (Hai (M)) ≅ HSi −1a (S−1M) với mọi i. Đặc biệt (Hai (M)) p ≅ Hai R p (M p ) với mọi iđêan nguyên tố p của R. Tính chất 1.6.4. Giả sử (R, m ) là vành địa phương, M là R – mô đun hữu hạn sinh. Thì Him (M) là mô đun Artin với mọi i. Tính chất 1.6.5. Cho dãy khớp ngắn 0 → L  f → N  g → M → 0 khi đó với mỗi → Hai+1 (L) và những đồng cấu nối tạo i ∈ N . Tồn tại một đồng cấu nối Hai (N)  nên một dãy khớp dài
16 0 → Ha0 (L)  0 0 Ha (f ) → Ha0 (M)  Ha (g) → Ha0 (N) 1 1  E → H1a (L)  Ha (f ) → H1a (M)  Ha (g) → H1a (N)  E → .... i i  E → Hai (L)  Ha (f ) → Hai (M)  Ha (g) → Hai (M)  E → Hai+1 (L)  → ... ( ) Định nghĩa 1.6.6. Ass R Hai (M) = {p∈ Spec(R)|∃x ∈ Hai (M) : Ann(x) = p} Tính chất 1.6.7. Cho (R, m ) là vành Noether địa phương với số chiều d, a là một iđêan của R và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Thì ( ) (i) Ass R Hai (M) = Ass R Hom R R / a,Hai (M) ( ) ( ) (ii) Ass R Hai (M) hữu hạn với i = 0,1. ( ) (iii) SuppR Hai (M) hữu hạn với mọi i nếu dim(R / a ) ≤ 1 . Tính chất 1.6.8. Cho R là vành địa phương và M là R – mô đun hữu hạn sinh với số ( ) chiều d ≤ 3 . Thì Ass R Hai (M) hữu hạn với mọi iđêan a của R. Tính chất 1.6.9. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có p∈ Ass ( Hai (M) ) ⇔ pR p ∈ Ass ( Hai R p (M p ) ) 1.7 Vành và môđun phân bậc Định nghĩa 1.7.1. Vành R được gọi là vành phân bậc nếu R có dạng: R = ⊕ R n trong đó R n R m ⊆ R n + m n ≥0 Định nghĩa 1.7.2. Cho R là vành phân bậc, một R - mô đun M là một R – mô đun phân bậc nếu M = ⊕ M n sao cho R n M m ⊆ M n + m n∈Z
17 Nhận xét 1.7.3. i) Một đồng cấu của R – mô đun phân bậc là một đồng cấu f : M → N sao cho f (M n ) ⊆ N n với mọi n ≥ 0 . ii) Một mô đun con N của M được gọi là mô đun con phân bậc nếu N= ⊕(N ∩ M n ) . iii) Nếu N là mô đun con phân bậc của M thì M N cũng là R - mô đun phân bậc M N = ⊕ M n N ∩ M . n iv) Nếu R là vành phân bậc thì R + = ⊕ R n là một iđêan của R. n >0 Tính chất 1.7.4. Cho R là vành phân bậc, các mệnh đề sau tương đương: (i) R là vành Noether. (ii) R 0 là vành Noether và R là R 0 – đại số hữu hạn sinh. Nhận xét 1.7.5. Cho R là một vành phân bậc R = ⊕ R n thì tồn tại các phần tử n ≥0 l1 ,l2 ,...,lr ∈ R1 sao cho R = R 0 [l1 ,l2 ,...,lr ] . Tính chất 1.7.6. Cho R là một vành Noether phân bậc và M là một R – mô đun phân bậc khi đó. (i) Mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M là iđêan phân bậc và tồn tại một phần tử thuần nhất x của M sao cho p = Ann(x). (ii) Với mỗi p ∈ Ass(M) chúng ta có thể chọn một p – nguyên sơ phân bậc Q(p) sao cho (0) =  Q(p) . p∈Ass(M)
18 Định nghĩa 1.7.7. Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là N 0 – phân bậc, R 0 là vành n ≥0 Noether, R + = ⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R. n >0 Giả sử M = ⊕ M n là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. n∈Z Với i ∈ N 0 ta có HiR + (M) là mô đun đối đồng điều địa phương của M đối với iđêan R + . Khi đó HiR + (M) là R - mô đun phân bậc và HiR + (M) = ⊕ HiR + (M)n . n∈Z Tính chất 1.7.8. Giả sử (R, m ) là vành địa phương và M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Thì (i) Him (M)n = 0, ∀i ∈ N và n đủ lớn. (ii) Him (M)n là R 0 – mô đun Artin với mọi i, với mọi n. Định nghĩa 1.7.9. Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là N 0 – phân bậc, R 0 là vành n ≥0 Noether. R + = ⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R. n >0 Giả sử M = ⊕ M n là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó với n∈Z mỗi i ∈ N 0 ta có   (  AssR HiR + (M) = )  n∈Z i  p0 + R + | p0 ∈  Ass R 0 (H R + (M)n )   Định nghĩa 1.7.10. (Xem [6, 13.1.2 Definition]) Cho R là vành phân bậc, giả sử R ' = ⊕ n∈ R 'n là vành phân bậc giao hoán và f : R → R ' là đồng cấu vành. Ta nói f thuần nhất nếu f ( Rn ) ⊆ R 'n với mọi n ∈ 
19 Giả sử M ' = ⊕ n∈ M 'n là R’−môđun phân bậc thì sự phân hoạch tổng trực tiếp dẫn đến R−môđun M ' R có cấu trúc như R−môđun phân bậc Vì vậy hàm  R :C ( R ' ) →C ( R ) có tính thu hẹp Do đó ta có thể viết M /  R = ( ) (M ) n / n Rn với mọi n ∈  Định lí 1.7.11. (Xem [6, 13.1.6 Theorem]) Giả sử R = ⊕ n∈ Rn là vành phân bậc và iđêan a cũng phân bậc, R ' = ⊕ n∈ R 'n là vành phân bậc Noether giao hoán Giả sử f : R → R / là đồng cấu vành thuần nhất. Khi đó: ( H ()  ) i a R/ R i∈ 0 ( ( )) và Hai   R i∈ 0 có tính thu hẹp Đẳng cấu Λ = λ i ( ) i∈ 0 ( : Hai R/ (  )  R ) i∈ 0 ≅  ( ( )) → Hai   R i∈ 0 có tính thu hẹp Do đó với mỗi i ∈  0 và mỗi R’−môđun M’ phân bậc tồn tại R−đẳng cấu λMi : Hai R M /  / ≅ ( ) → Hai M / / ( ) Định lí 1.7.12. (Xem [6, 13.1.8 Theorem]) Giả sử R = ⊕ n∈ Rn là vành phân bậc và iđêan a cũng phân bậc, R ' = ⊕ n∈ R 'n là vành phân bậc Noether giao hoán Giả sử f : R → R / là đồng cấu vành thuần nhất. Khi đó: ( H () ⊗ i a R R/ ) i∈ 0 ( và Hai R/ (() ⊗ R R/ )) i∈ 0 có tính thu hẹp Đẳng cấu ρ i( ) i∈ 0 ( : Hai (  ) ⊗ R R / ) i∈ 0 ≅  → Hai R/ ( (() ⊗ R R/ )) i∈ 0 có tính thu hẹp Do đó với mỗi i ∈  0 và mỗi R’−môđun M’ phân bậc tồn tại R’−đẳng cấu ρ Mi : Hai ( M ) ⊗ R R /  ≅ → Hai R ( M ⊗ R R ' ) / Định lí 1.7.13. (Xem [6, 15.1.2 Theorem]) Cho R là vành phân bậc và iđêan a cũng phân bậc, sinh bởi các phần tử có bậc dương. Giả sử p1 , p2 ,..., pn ∈ Spec ( R ) sao cho với mọi i = 1,2,..., n ta có a ⊄ pi thì tồn tại phần tử trong a \ ( p1  p2  ...  pn )