Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chất I-cofinite của một số môđun đối đồng điều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính cofinite cho các môđun được giới thiệu bởi Hartshorne trên một bài báo đăng trên tạp chí nổi tiếng Inventiones Mathematica năm 1970, ở đó ông chứng minh rằng H j I (M) là I−cofinite với mọi j nếu R là vành chính quy địa phương đầy đủ và I là iđêan chính hoặc I là iđêan nguyên tố chiều bằng 1.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chất I-cofinite của một số môđun đối đồng điều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LƯƠNG THANH HUẾ VỀ TÍNH CHẤT I-COFINITE CỦA MỘT SỐ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LƯƠNG THANH HUẾ VỀ TÍNH CHẤT I-COFINITE CỦA MỘT SỐ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU Ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - 2019 i
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 23 tháng 04 năm 2019 Tác giả Lương Thanh Huế Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của cán bộ hướng dẫn khoa học ii i
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành vào tháng 05/2018 dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG- Giảng viên Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy ở Viện Toán học và tất cả các thầy cô ở Đại học Thái Nguyên với những bài giảng đầy nhiệt thành và tâm huyết. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học và các thầy cô trong Tổ đại số trường ĐH Sư phạm Thái Nguyên đã luôn quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo, anh, chị, bạn bè đồng nghiệp tại Trung tâm GDNN-GDTX Lạng Giang nơi tôi làm việc đã tạo mọi điều kiện, động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học và làm luận văn. Tôi xin được gửi cảm ơn tới tất cả thành viên trong gia đình đã tạo điều kiện cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, ngày 23 tháng 04 năm 2019 Tác giả Lương Thanh Huế iii ii
Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii MỞ ĐẦU 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun . . . . . . . 4 1.2 Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Đối đồng điều địa phương suy rộng . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Sơ lược về dãy chính quy và phức Koszul . . . . . . . . 12 2 Tính I -cofinite của một số môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 16 2.1 Sơ lược về các môđun I -cofinite và minimax . . . . . . . 16 2.2 Một số bổ đề hỗ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Chứng minh Định lý 0.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Chứng minh Định lý 0.0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Chứng minh Định lý 0.0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 iii iv
MỞ ĐẦU Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R và M , N là hai R-môđun hữu hạn sinh. Một R-môđun K được gọi là môđun I - cofinite nếu Supp (K) ⊆ V (I) và ExtjR (R/I, K) là hữu hạn sinh với mọi j ≥ 0. Bài toán nghiên cứu tính I -cofinite cho các môđun xuất hiện trong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà khoa học trên thế giới như A. Grothendieck, R. Hartshorne (những năm 1967), L. Melkersson, K. Kawasaki, K. Bahmanpour, Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Văn Hoàng, Lê Thanh Nhàn,... (những năm sau này). Việc nghiên cứu tính I -cofinite của một số môđun đặc biệt như môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương HIj (N ), môđun ExtjI (M, K) đã mang lại những thông tin quan trọng về cấu trúc vành và môđun. Năm 1970, trong luận án tiến sĩ khoa học của mình, J. Herzog đã định nghĩa và nghiên cứu lớp môđun đối đồng điều địa phương suy rộng HIj (M, N ) ∼ = lim j n −→n ExtR (M/I M, N ). Lớp môđun này bao hàm lớp môđun đối đồng điều địa phương và lớp môđun mở rộng nhưng nó vẫn có những tính chất khác biệt. Do vây, như một điều tự nhiên đã thúc đẩy ta tìm hiểu về tính I -cofinite cho lớp môđun này. Trong luận văn này, ta tập trung tìm hiểu câu hỏi: Với những điều kiện nào thì môđun HIj (M, N ) là I -cofinite?. Từ đó, ta thu được các tiêu chuẩn về tính I -cofinite của một lớp môđun đối đồng điều địa phương suy rộng và lớp môđun đối đồng điều địa phương (như những hệ quả). Định lý 0.0.1. ([5, Định lý 1.1]) Nếu I là iđêan chính thì HIj (M, N ) là I -cofinite với mọi R-môđun hữu hạn sinh M , N và mọi j ≥ 0. Kết quả này là sự mở rộng của [14, Định lý 2.8] vì ta không cần giả 1
thiết M có chiều hữu hạn. Hơn nữa, những lý luận của đối đồng điều địa phương được sử dụng trong chứng minh của K. I. Kawasaki [19, Định lý 1] là không thể áp dụng để chứng minh định lý này vì HIj (M, N ) là không triệt tiêu với mọi j > 1. Do vậy, ta cần dùng một tiêu chuẩn về tính cofinite đã được đưa ra bởi L. Melkersson trong [13]. Định lý sau đây là kết quả chính thứ hai của luận văn: Định lý 0.0.2. ([5, Định lý 1.2]) Cho t là số nguyên không âm sao cho dim Supp (HIj (M, N )) ≤ 1 với mọi j < t. Khi đó HIj (M, N ) là I -cofinite với mọi j < t và Hom (R/I, HIt (M, N )) là hữu hạn sinh. Trong [2, Định lý 2.6], K. Bahmanpour và R. Naghipour đã sử dụng tính chất cơ bản của đối đồng điều địa phương là H j (N ) ∼ I j = H (N/ΓI (N )) I với mọi j > 0. Từ đó chỉ ra ΓI (N ) = 0. Tuy nhiên điều này là không đúng khi HIj (M, N ) ∼ j = HI (M, N/ΓIM (N )) với mọi j > 0, trong đó IM = annR (M/IM ). Do đó ta cần tới Bổ đề 2.2.3 chỉ ra rằng cho t, k là các số nguyên không âm, nếu dim Supp (HIj (M, N )) ≤ k , với mọi j < t thì dim Supp HIj (M, N/ΓIM (N )) ≤ k . Hơn nữa, ta cũng cần tới các Bổ đề 2.2.2 và 2.2.4 về môđun minimax. Đặc biệt, Bổ đề 2.4.4 giúp ta thay vì nghiên cứu tính cofinite đối với iđêan I của HIj (M, N ) thì ta chỉ cần xét tính cofinite đối với iđêan IM . Xét trường hợp số chiều nhỏ, trong [17, Bổ đề 3.1] đã chứng minh rằng nếu dim(N ) ≤ 2 thì thương bất kì của HIj (M, N ) đều chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết với mọi j ≥ 0. Ta có một kết quả mạnh hơn sau đây Định lý 0.0.3. ([5, Định lý 1.3]) Giả sử dim(M ) ≤ 2 hoặc dim(N ) ≤ 2. Khi đó HIj (M, N ) là I -cofinite với mọi j . Từ Định lý này, ta có một hệ quả trực tiếp về tính cofinite của một số môđun đối đồng điều địa phương (xem Bổ đề 2.5). Kết hợp Định lý 0.0.2 2
và 0.0.3, ta có được kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của ExtiR (R/I, HIj (M, N )) với mọi i, j ≥ 0 khi (R, m) là vành địa phương Noether và dim(N ) ≤ 3 hoặc dim(M ) ≤ 3. Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết lại các chứng minh của các Định lý 0.0.1, 0.0.2 và 0.0.3 đã nêu ở trên. Các chứng minh này dựa trên bài báo chính là [5] của N. T. Cuong, S. Goto and N. V. Hoang năm 2015, On the cofiniteness of generalized local cohomology modules, Kyoto Journal of Mathematics 55(1), 169–185. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị về tập Ass, tập Supp, môđun Ext, đối đồng điều địa phương, đối đồng điều địa phương suy rộng, dãy chính quy, độ sâu, phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul. Chương 2 trình bày kết quả chính của luận văn về chứng minh chi tiết cho các Định lý 0.0.1, 0.0.2 và 0.0.3. Sau mỗi định lý ta trình bày các hệ quả quan trọng thu được. 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R và M, N là các R-môđun. 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử 0 6= x ∈ M sao cho (0 : x)R = AnnR (x) = p. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M ) hoặc Ass (M ). Định nghĩa 1.1.2. (Giá của môđun) Kí hiệu Supp (M ) = {p ∈ Spec (R)|Mp 6= 0}, ta gọi là tập giá của môđun M . Đặt V (I) = {p ∈ Spec (R)|I ⊆ p}. Khi đó Supp (R/I) = V (I). Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp (M ) = V (Ann (M )). Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun. 4
Mệnh đề 1.1.3. (i) Nếu p là phần tử tối đại của tập {Ann (x)|0 6= x ∈ M } thì p ∈ Ass (M ). Do đó Ass (M ) 6= ∅ khi và chỉ khi M 6= 0. (ii) Cho p ∈ Spec (R). Khi đó p ∈ Ass (M ) nếu và chỉ nếu M có một môđun con đẳng cấu với R/ p. (iii) Tập các ước của không của M , kí hiệu ZdvR (M ) = {a ∈ R | ∃x ∈ M, x 6= 0, ax = 0} là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M . Hay [ ZdvR (M ) = p. p∈Ass (M ) Mệnh đề 1.1.4. (i) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Ass (M ) là tập hữu hạn. Hơn nữa, Ass (M ) ⊆ V (Ann (M )) và mỗi phần tử tối tiểu p \ của V (Ann (M )) đều thuộc Ass (M ). Do đó Ann (M ) = p. p∈Ass (M ) (ii) Ass (M ) ⊆ Supp (M ). Hơn nữa, mỗi phần tử tối tiểu của tập Supp (M ) đều thuộc tập Ass (M ). (iii) AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ Ass (M ), q ⊆ p}. Mệnh đề 1.1.5. Cho 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp các R-môđun. Khi đó (i) Ass (M 0 ) ⊂ Ass (M ) ⊂ Ass (M 0 ) ∪ Ass (M 00 ). (ii) Supp (M ) = Supp (M 0 ) ∪ Supp (M 00 ). 5
1.2 Môđun Ext Định nghĩa 1.2.1. (Môđun mở rộng Ext) Cho n là số tự nhiên và M, N là R-môđun. Hàm dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến HomR (M, −) được gọi là hàm tử mở rộng thứ n, kí hiệu ExtnR (M, −). Khi đó ExtnR (M, N ) được gọi là môđun mở rộng thứ n của M và N . Cụ thể hơn, môđun mở rộng ExtnR (M, N ) được xác định bằng cách như α 0 u 1 u2 u sau: Lấy 0 → N → − E0 − → E1 − → E2 − → · · · là một giải nội xạ của N . Tác động hàm tử HomR (M, −) vào dãy khớp trên ta được đối phức 0 u∗ 1 u∗ 2 u∗ 0 → HomR (M, E0 ) − → HomR (M, E1 ) − → HomR (M, E2 ) − → ··· Khi đó, với n ≥ 1, ta đặt ExtnR (M, N ) = Ker u∗n / Im u∗n−1 . Đặc biệt, do HomR (M, −) là khớp trái nên Ext0R (M, N ) = Ker u∗0 /0 ∼ = HomR (M, N ). Nhận xét 1.2.2. (i) Xây dựng môđun Ext không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của N . (ii) Môđun ExtnR (M, N ) có thể được xây dựng theo hai cách: nó vừa là môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến HomR (M, −) ứng với môđun N , vừa là môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử phản biến HomR (−, N ) ứng với môđun M . Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext. Hệ quả 1.2.3. Cho P là môđun xạ ảnh và E là môđun nội xạ. Khi đó ExtnR (M, E) = 0 và ExtnR (P, M ) = 0 với mọi R-môđun M và mọi số tự nhiên n ≥ 1. Mệnh đề 1.2.4. (i) Nếu M, N là các R-môđun hữu hạn sinh thì ExtnR (M, N ) 6
cũng là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0. (ii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N 0 → N → N 00 → 0. Khi đó với mỗi n ≥ 0, tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (M, N 00 ) → Extn+1 0 R (M, N ) sao cho ta có dãy khớp dài cảm sinh 0 → Hom(M, N 0 ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N 00 ) → Ext1R (M, N 0 ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N 00 ) → Ext2R (M, N 0 ) → · · · (iii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N 0 → N → N 00 → 0. Khi đó với mỗi n ≥ 0, tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (N 0 , M ) → Extn+1 00 R (N , M ) sao cho ta có dãy khớp dài cảm sinh 0 → Hom(N 00 , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N 0 , M ) → Ext1R (N 00 , M ) → Ext1R (N, M ) → Ext1R (N 0 , M ) → Ext2R (N 00 , M ) → · · · 1.3 Đối đồng điều địa phương Đối đồng điều địa phương đã được giới thiệu bởi A. Grothendieck vào những năm đầu thập kỉ 60 của thế kỉ trước. Mục này nhằm nhắc lại định nghĩa và một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương. Kiến thức sau đây được trích theo tài liệu số [2]. Trước tiên, ta giới thiệu khái niệm hàm tử và môđun I -xoắn. Định nghĩa 1.3.1. (Môđun I -xoắn) Cho I là iđêan của R, hàm tử I - [ xoắn kí hiệu là ΓI (−), được xác định bởi ΓI (N ) = (0 :N I n ) với mọi n≥0 R-môđun N ; và đồng cấu ΓI (f ) : ΓI (M ) → ΓI (N ), x 7→ ΓI (f )(x) = f (x) với đồng cấu f : M → N . Khi đó hàm tử ΓI (−) là hiệp biến, khớp trái. 7
Hơn nữa, ΓI (N ) gọi là môđun con I -xoắn của N . Một R-môđun N được gọi là môđun I -xoắn nếu ΓI (N ) = N , và N được gọi là môđun không I -xoắn nếu ΓI (N ) = 0. Sau đây, ta sẽ trình bày một số tính chất của ΓI (−) được dùng trong chương 2. Mệnh đề 1.3.2. (i) Γ0 (N ) = N và ΓR (N ) = 0. (ii) Nếu I ⊆ J thì ΓJ (N ) ⊆ ΓI (N ). (iii) AssR (ΓI (N )) = AssR (N ) ∩ V (I) với N là R-môđun Noether. (iv) AssR (M/ΓI (M )) = AssR (M ) \ V (I), với R là Noether. Từ đây, ta có định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương như sau. Định nghĩa 1.3.3. (Môđun đối đồng điều địa phương) Với mỗi số nguyên i ≥ 0, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI (−) kí hiệu bởi HIi (−) được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với I . Cho N là R-môđun. Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của N đối với I kí hiệu là HIi (N ) được xác định bằng cách: Lấy một giải nội xạ α 0 u1 2 u u của N là 0 → N → − E0 − → E1 − → E2 − → · · · . Tác động hàm tử ΓI (−) vào dãy khớp trên ta được đối phức 0u∗ 1 u∗ 2u∗ 0 → ΓI (E0 ) − → ΓI (E1 ) − → ΓI (E2 ) − → ··· Khi đó, với mỗi i ≥ 1, đặt HIi (N ) = Ker u∗n / Im u∗n−1 . Đặc biệt, do ΓI (−) là khớp trái nên HI0 (N ) = Ker u∗0 /0 ∼ = ΓI (N ). Sau đây, là một số tính chất cơ bản về môđun đối đồng điều địa phương. Hệ quả 1.3.4. (i) Cho E là môđun nội xạ. Khi đó HIi (E) = 0. 8
(ii) Cho 0 → N 0 → N → N 00 → 0 là dãy khớp ngắn. Khi đó với mọi i ≥ 0 luôn tồn tại đồng cấu nối HIi (N 00 ) → HIi+1 (N 0 ) sao cho dãy sau là khớp 0 → ΓI (N 0 ) → ΓI (N ) → ΓI (N 00 ) → HI1 (N 0 ) → HI1 (N ) → HI1 (N 00 ) → HI2 (N 0 ) → · · · . Mệnh đề 1.3.5. (i) Nếu N là I -xoắn thì HIi (N ) = 0 với mọi i > 0. (ii) HIi (N ) = HIi (N ) với mọi i > 0, trong đó N = N/ΓI (N ). (iii) HI0 (N ) 6= 0 khi và chỉ khi tồn tại p ∈ Ass (M ) sao cho I ⊆ p. Định lý 1.3.6. (Grothendieck). Với mỗi i ≥ 0, ta có HIi (N ) ∼ = lim −→ Exti R (R/I n , N ). n Định lý sau đây cho thấy môđun đối đồng điều địa phương không phụ thuộc vào vành cơ sở (xem [3, Định lý 4.2.1 ]). Định lý 1.3.7. (Tính độc lập với vành cơ sở). Cho R0 là R-đại số và N 0 là R0 -môđun. Khi đó, với mọi i ≥ 0 ta có các đẳng cấu H i 0 (N 0 ) ∼ = IR HIi (N 0 ) khi xem như các R-môđun. Khi R0 là R-đại số phẳng, ta có định lý sau (xem [3, Định lý 4.3.2 ]). Định lý 1.3.8. (Định lý đổi cơ sở phẳng). Cho R0 là R-đại số phẳng và N là R-môđun. Khi đó ta có đẳng cấu HIi (N ) ⊗R R0 ∼ i = HIR 0 0 (N ⊗R R ) giữa những R0 -môđun với mọi i ≥ 0. Hai định lý sau đây được chứng minh bởi A. Grothendieck là một trong những kết quả sớm nhất và có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết đối đồng điều địa phương (xem [3, Định lý 6.1.2 và Định lý 6.1.4]). 9
Định lý 1.3.9. (Định lý triệt tiêu Grothendieck). HIi (N ) = 0 với mọi i > dim N và mọi iđêan I . Định lý 1.3.10. (Định lý không triệt tiêu Grothendieck). Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether và N là R-môđun hữu hạn sinh khác không có chiều n. Khi đó, Hmn (N ) 6= 0. Định lý sau đây cho ta biết rằng một môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại hoặc có cấp cao nhất sẽ là môđun Artin. Định lý 1.3.11. Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó (i) Hmi (N ) là R-môđun Artin với mọi i ≥ 0. (ii) Nếu dim M = d thì HId (N ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I . 1.4 Đối đồng điều địa phương suy rộng Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được nghiên cứu đầu tiên bởi J. Herzog vào năm 1970. Nó trở thành một công cụ cần thiết trong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học đại số thế giới. Dưới đây là định nghĩa của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của J. Herzog. Định nghĩa 1.4.1. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R. Với mỗi số nguyên j không âm, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ j của M và N ứng với iđêan I , kí hiệu là HIj (M, N ) được xác định bởi HIj (M, N ) ∼ = lim j n −→ ExtR (M/I M, N ). n 10
Nhận xét 1.4.2. Định nghĩa trên là một mở rộng của khái niệm môđun đối đồng điều địa phương, vì nếu cho M = R thì ta được HIj (M, N ) = HIj (R, N ) = HIj (N ). Tiếp theo là các tính chất cơ bản được suy ra từ định nghĩa. Mệnh đề 1.4.3. Cho 0 → N 0 → N → N 00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó với mỗi R-môđun M ta có dãy khớp dài cảm sinh · · · → HIj (M, N 0 ) → HIj (M, N ) → HIj (M, N 00 ) → HIj+1 (M, N 0 ) → · · · Khi cố định biến thứ hai của hàm tử HIj (−, −), J. Herzog đã chứng minh kết quả sau đây cho trường hợp I = m, sau đó được M. H. Bijan Zadeh mở rộng ra Iđêan tùy ý [xem 21, Bổ đề 5.1]. Mệnh đề 1.4.4. Cho 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó với mỗi R-môđun N ta có dãy khớp dài cảm sinh · · · → HIj (M 00 , N ) → HIj (M, N ) → HIj (M 0 , N ) → HIj+1 (M 00 , N ) → · · · Mặc dù lớp môđun đối đồng điều địa phương suy rộng là sự tổng quát hóa của lớp môđun đối đồng điều địa phương nhưng nó vẫn có những tính chất khác biệt. Sau đây, ta giới thiệu tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng HIj (M, N ) khi j đủ lớn. N. Suzuki đã chứng minh cho trường hợp M, N là các R-môđun hữu hạn sinh và M có chiều xạ ảnh hữu hạn thì Hmj (M, N ) = 0 với mọi j > pd M + dim N . Sau đó, M. H. Bijan-Zadeh đã mở rộng kết quả trên với iđêan I bất kì (xem [1, Bổ đề 5.1]. Cùng với những giả thiết này, S. Yassemi đã đưa ra kết quả sau. 11
Định lý 1.4.5. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh. Nếu pd M < ∞ thì HIj (M, N ) = 0 với mọi j > pd M + dim(M ⊗R N ). Các nhà nghiên cứu đại số đã không ngừng mở rộng tính triệt tiêu này. Năm 2003, J. Herzog và N. Zamani đã đưa ra kết quả mới trong bài báo của mình như sau (xem [16, Định lý 3.2]). Định lý 1.4.6. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh. Nếu pd M < ∞ thì Hmj (M, N ) = 0 với mọi j > dim R. Gần đây nhất, vào năm 2008, N. V. Hoàng đã mở rộng định lý trên từ iđêan cực đại m tới trường hợp iđêan I bất kì như sau: Định lý 1.4.7. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh. Nếu pd M < ∞ thì HIj (M, N ) = 0 với mọi j > dim R. 1.5 Sơ lược về dãy chính quy và phức Koszul Phần này được tham khảo trong tài liệu [3], [23] và [4]. Trước hết ta nhắc lại định nghĩa phần tử M -chính quy và M -dãy chính quy. Định nghĩa 1.5.1. Một phần tử x ∈ R được gọi là M -chính quy nếu xm 6= 0 với mọi 0 6= m ∈ M . Một dãy các phần tử (x1 , . . . , xn ) của R được gọi là một M -dãy chính quy (hay M -dãy) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) xj là phần tử M/(x1 , . . . , xj−1 )M -chính quy với mọi j = 1, . . . , n. (ii) M/(x1 , . . . , xn )M 6= 0. Một M -dãy (x1 , . . . , xn ) các phần tử trong I được gọi là M -dãy cực đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho (x1 , . . . , xn , y) là M -dãy. 12
Định lý sau đây cho ta độ dài của một M -dãy chính quy cực đại trong iđêan I . Định lý 1.5.2. Cho N là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM 6= M . Khi đó, mọi M -dãy chính quy cực đại trong I có cùng độ dài là n được xác định bởi n = inf{i| ExtiR (R/I, N ) 6= 0}. Từ định lý trên ta có định nghĩa độ sâu của M trong I như sau. Định nghĩa 1.5.3. Độ dài của chung của các M -dãy chính quy cực đại trong I được gọi là độ sâu của M trong I và kí hiệu là depth (I, M ). Nếu IM = M thì ta quy ước depth (I, M ) = ∞. Phần còn lại của mục này nhằm trình bày lại một số kiến thức về phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul. Định nghĩa 1.5.4. (i) Một phức C• là một dãy các R-môđun và các đồng cấu R-môđun d i+2 di+1 id d i−1 C• : · · · −−→ Ci+1 −−→ Ci − → Ci−1 −−→ · · · sao cho di di+1 = 0 với mọi i. (ii) Một đối phức C• là một dãy các R-môđun và các đồng cấu R-môđun di−2 di−1 di di+1 C• : · · · −−→ C i−1 −−→ C i − → C i+1 −−→ · · · sao cho di di−1 = 0 với mọi i. Ta gọi các đồng cấu di và di tướng ứng là các vi phân của phức C• và đối phức C• . 13
Với mỗi i, ta đặt Zi = Ker(di ) và Z i = Ker(di ). Đặt Bi = Im(di+1 ) và B i = Im(di−1 ). Khi đó, môđun Hi (C) = Zi /Bi gọi là môđun đồng điều thứ i của phức C• và môđun H i (C) = Z i /B i gọi là môđun đối đồng điều thứ i của đối phức C• . Định nghĩa 1.5.5. (Phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul) (i) Cho phần tử x ∈ R. Khi đó phức x ··· → 0 → 0 → R → − R→0 gọi là phức Koszul sinh bởi x trên R và được kí hiệu là K(x; R). (ii) Cho dãy x = x1 , . . . , xn các phần tử của R. Ta định nghĩa phức Koszul sinh bởi x = x1 , . . . , xn trên R, kí hiệu là K• (x1 , . . . , xn ; R) (hoặc K• (x; R)) như sau n d 2 dn−1 1 d d 0 → Kn (x; R) −→ Kn−1 (x; R) −−→ · · · − → K1 (x; R) − → K0 (x; R) → 0, trong đó K0 = K0 (x; R) = R, Kp = Kp (x; R) = 0 với mọi p < 0 hoặc L p > n; và nếu 1 ≤ p ≤ n thì Kp = Kp (x; R) = Rei1 i2 ...ip là R-môđun tự do có hạng là np có một cơ sở là {ei1 i2 ...ip | 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n}. Khi đó với 1 ≤ p ≤ n và bộ số 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n, có các vi phân dp : Kp → Kp−1 xác định bởi công thức p X dp (ei1 i2 ...ip ) = (−1)h−1 xh ei1 ...ibh ...ip . h=1 (iii) Cho M là R-môđun và dãy x = x1 , . . . , xn các phần tử của R. Với mỗi i = 0, . . . , n, ta gọi môđun đồng điều của phức K• (x; R) ⊗R M : · · · → Ki+1 (x; R) ⊗R M → Ki (x; R) ⊗R M · · · . 14
kí hiệu là Hi (x1 , . . . , xn ; M ) (hoặc Hi (x; M )) là môđun đồng điều Koszul thứ i của M ứng với dãy x. (iv) Cho M là R-môđun và dãy x = x1 , . . . , xn các phần tử của R. Với mỗi i = 0, . . . , n, ta gọi môđun đối đồng điều của đối phức Hom(K• (x; R), M ) : · · · → Hom(Ki−1 (x; R),M ) → Hom(Ki (x; R), M ) · · · . kí hiệu là H i (x1 , . . . , xn ; M ) (hoặc H i (x; M )) là môđun đối đồng điều Koszul thứ i của M đối với dãy x. Ta có mối quan hệ giữa đồng điều và đối đồng điều Koszul như sau. Mệnh đề 1.5.6. Cho dãy x = x1 , . . . , xn và M là R-môđun. Khi đó ta có các đẳng cấu (i) H i (x; M ) ∼ = Hn−i (x; M ). (ii) Hn (x; M ) ∼ = (0 :M x). 15