Luận văn: MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu cấu trúc của môđun thông qua nghiên cứu các tính chất của hàm độ dài xác định bởi độ dài môđun thương qua một hệ tham số nào đó là phương pháp nghiên cứu quan trọng trong Đại số giao hoán. Từ những năm 50 của thế kỷ trước, Serre đã chỉ ra có thể dùng phức Koszul để tính bội của một môđun đối với một hệ tham số, từ đó đưa ra mối liên hệ giữa hàm độ dài, số bội với độ dài của các môđun đối đồng điều Koszul....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------- NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY Chuyên ngành : Đại số và Lý thguyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------- NGUYỄN THỊ NHUNG MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc .............................. 2 Lêi nãi ®Çu 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 5 1.1 Lý thuyÕt béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 §èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 M«®un Cohen - Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 dd- D·y, läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt 10 2.1 C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña dd - d·y . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ hÖ tham sè tèt . . . . . . . . 12 3 M«®un Cohen - Macaulay d·y 20 3.1 M«®un Cohen - Macaulay d·y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 §Æc trng cña m«®un Cohen - Macaulay d·y . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tµi liÖu tham kh¶o 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 Lêi nãi ®Çu Nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un th«ng qua nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña hµm ®é dµi x¸c ®Þnh bëi ®é dµi m«®un th¬ng qua mét hÖ tham sè nµo ®ã lµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu quan träng trong §¹i sè giao ho¸n. Tõ nh÷ng n¨m 50 cña thÕ kû tríc, Serre ®· chØ ra cã thÓ dïng phøc Koszul ®Ó tÝnh béi cña mét m«®un ®èi víi mét hÖ tham sè, tõ ®ã ®a ra mèi liªn hÖ gi÷a hµm ®é dµi, sè béi víi ®é dµi cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu Koszul. C¸c mèi liªn hÖ ®ã ®îc tiÕp tôc nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña Auslander-Buchsbaum vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, dÉn ®Õn nh÷ng kÕt qu¶ mµ ngµy nay trë thµnh c¬ b¶n (R, m) trong §¹i sè giao ho¸n. Ta lu«n xÐt lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph¬ng, m, M R- Noether víi i®ªan cùc ®¹i lµ mét m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu dim M = d. Ký hiÖu x = x1 , x2 , . . . , xd ∈ m lµ mét hÖ tham sè cña M . Khi l(M/xM ) ≥ e(x, M ), trong ®ã l(∗) lµ hµm ®é dµi, e(x, M ) lµ ®ã ta lu«n cã M x. M sè béi cña ®èi víi hÖ tham sè Khi dÊu b»ng x¶y ra th× ®îc gäi lµ m«®un Cohen-Macaulay. Cã thÓ nãi m«®un Cohen-Macaulay lµ mét trong nh÷ng cÊu tróc ®îc nghiªn cøu kü vµ cã nhiÒu øng dông nhÊt trong §¹i sè giao ho¸n. Mét më réng tù nhiªn cña m«®un Cohen - Macaulay lµ m«®un Cohen- Macaulay d·y. TÝnh Cohen-Macaulay d·y lÇn ®Çu tiªn ®îc giíi thiÖu bëi Stanley cho c¸c m«®un ph©n bËc h÷u h¹n sinh. Sau ®ã N.T. Cêng, L.T. Nhµn [6] vµ P. Schenzel [9] ®· nghiªn cøu líp m«®un nµy trªn vµnh ®Þa ph¬ng. Ta D : D0 ⊂ D1 ⊂ M gäi lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y nÕu tån t¹i mét läc . . . ⊂ Dt = M l(D0 ) < ∞, M c¸c m«®un con cña sao cho mçi th¬ng Di /Di−1 lµ Cohen-Macaulay vµ 0 < dim(D1 /D0 ) < dim(D2 /D1 ) < . . . < dim(Dt /Dt−1 ) = d. M M NÕu lµ m«®un Cohen-Macaulay th× còng lµ m«®un Cohen-Macaulay D 0 = D0 ⊂ D1 = M . M d·y víi läc Mét läc cña ®îc gäi lµ läc chiÒu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 M Di−1 Di dim Di−1 < dim Di , i = cña nÕu lµ m«®un con lín nhÊt cña víi 0 1, 2, . . . , t, D0 = Hm (M ) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng thø kh«ng cña D M t=1 M m. ®èi víi NÕu trong läc chiÒu ë trªn, khi ®ã lµ Cohen-
4 Ch¬ng 3 lµ ch¬ng quan träng nhÊt cña luËn v¨n. Trong ch¬ng nµy chóng t«i nghiªn cøu m«®un Cohen-Macaulay d·y trªn vµnh ®Þa ph¬ng. PhÇn ®Çu ch¬ng tr×nh bµy tÝnh chÊt m«®un Cohen-Macaulay d·y qua hÖ tham sè tèt vµ dd-d·y. PhÇn tiÕp theo ®a ra c¸c ®Æc trng m«®un Cohen- Macaulay d·y vµ lµ kh¼ng ®Þnh ®óng cho c©u hái thø nhÊt. Víi c©u hái M thø hai chóng t«i chØ ra lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y nÕu vµ chØ nÕu 2 2 tån t¹i hÖ tham sè tèt x = x1 , . . . , xd cña M sao cho l (M/(x1 , . . . , xd )M ) = t 2di e(x1 , . . . , xdi , Di ). Chóng t«i chØ ra ®©y lµ kÕt qu¶ tèt nhÊt cã thÓ. §ång i=0 thêi øng dông ®Ó ®Æc trng ®îc líp m«®un Cohen-Macaulay xÊp xØ. LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña GS. TSKH. NguyÔn Tù Cêng. Nh©n dÞp nµy, t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n GS. TSKH. Lª TuÊn Hoa, PGS. TS. NguyÔn Quèc Th¾ng, PGS. TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn, PGS. TS. N«ng Quèc Chinh, TS. NguyÔn ThÞ Dung ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y gióp t«i n¾m ®ù¬c nh÷ng kiÕn thøc c¬ së. T«i xin c¶m ¬n c¸c b¹n vµ anh chÞ líp Cao häc K16 ®· cæ vò ®éng viªn t«i trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. Cuèi cïng t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi nh÷ng ngêi th©n trong gia ®×nh t«i. Sù ®éng viªn vÒ mÆt tinh thÇn vµ vËt chÊt ®Ó t«i hoµn thµnh b¶n luËn v¨n nµy. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch¬ng nµy chóng ta nh¾c l¹i mét sè ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ cÇn thiÕt sÏ ®îc sö dông trong luËn v¨n: lý thuyÕt béi [3], ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng [2]; [3], m«®un Cohen-Macaulay [3]. 1.1 Lý thuyÕt béi Tríc khi nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt hÖ béi, ta cã ®Þnh nghÜa sau. (R, m) M R- Cho lµ vµnh ®Þa ph¬ng, Noether, lµ mét §Þnh nghÜa 1.1.1. dim M = d. x = x1 , . . . , xr R m«®un h÷u h¹n sinh, Mét hÖ phÇn tö cña < +∞ sao cho lR (M/xM ) M. ®îc gäi lµ hÖ béi cña Khi ®ã kÝ hiÖu béi e(x, M ) M x r cña ®èi víi hÖ béi ®îc ®Þnh nghÜa quy n¹p theo nh sau: < +∞, e(∅, M ) = lR (M ) r≥1 r=0 th× lR (M ) nÕu ®Æt vµ nÕu th× ®Æt 0 :M x1 = {m ∈ M | mx1 = 0}. x2 , . . . , x r 0 :M x1 . DÔ thÊy lµ hÖ béi cña ¸p dông gi¶ thiÕt quy n¹p cho c¸c m«®un M/x1M vµ 0 :M x1, ta cã e(x, M ) = e(x2 , . . . , xr , M/x1 M ) − e(x2 , . . . , xr ; 0 :M x1 ). e(x, M ) cã c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n sau ®©y: Béi 0 −→ M −→ M −→ M ” −→ 0 R- i) Cho lµ d·y khíp c¸c Chó ý 1.1.2. x lµ hÖ béi cña M . Khi ®ã m«®un h÷u h¹n sinh vµ e(x, M ) = e(x, M ) + e(x, M ”). 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 n1 , . . . , nr . Khi ®ã ii) Víi mäi sè nguyªn d¬ng e(xn1 , . . . , xnr ; M ) = n1 . . . nr e(x, M ). r 1 Bæ ®Ò sau ®îc sö dông nhiÒu cho viÖc chøng minh c¸c kÕt qña cña ch¬ng tiÕp theo. (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, Noether [8, Bæ ®Ò Lªch 14.12] Cho Bæ ®Ò 1.1.3. d, M x1 , . . . , xd R, cã chiÒu lµ m«®un h÷u h¹n sinh, vµ lµ hÖ tham sè cña q = (x1 , . . . , xd ) lµ i®ªan sinh bëi hÖ nµy. Khi ®ã l(M/(xv1 , . . . , xvd )M 1 d e(q, M ) = lim . v1 . . . vd min(vi )→∞ 1.2 §èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng M . Cho Tríc hÕt chóng t«i nh¾c l¹i kh¸i niÖm d·y chÝnh quy cña m«®un (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, M x = x1 , . . . , x r lµ m«®un h÷u h¹n sinh, lµ d·y R. phÇn tö cña x ®îc gäi lµ d·y chÝnh quy cña M (x1 , . . . , xr )M = nÕu §Þnh nghÜa 1.2.1. M xi M/(x1 , . . . , xi−1 )M, i = vµ kh«ng lµ íc cña kh«ng cña m«®un 1, . . . , r §Þnh lý sau ®©y nãi vÒ tÝnh triÖt tiªu vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng rÊt h÷u Ých cho viÖc chøng minh c¸c kÕt qu¶ cña luËn v¨n. (R, m) [3, §Þnh lÝ 3.5.7 ( Grothendieck)] Cho lµ vµnh ®Þa §Þnh lý 1.2.2. M R - m«®un h÷u h¹n sinh, depth M = t, dim M = d. ph¬ng Noether, lµ Khi ®ã i Hm (M ) = 0 víi i < t, i > d. i) t d Hm (M ) = 0 vµ Hm (M ) = 0. ii) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 1.3 M«®un Cohen - Macaulay Trong môc nµy tr×nh bµy hÖ tham sè vµ mét sè tÝnh chÊt cña nã, m«®un Cohen-Macaulay. Tríc tiªn ta cã ®Þnh nghÜa sau. (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, M R - m«®un Cho lµ §Þnh nghÜa 1.3.1. x = x1 , . . . , xd ∈ m lµ dim M = d. d phÇn h÷u h¹n sinh, Khi ®ã hÖ gåm tö l(M/xM ) < ∞. hÖ tham sè nÕu x = x1 , . . . , xd ∈ m q = (x1 , . . . , xd ) Cho lµ mét hÖ tham sè vµ lµ i®ªan q gäi lµ i®ªan tham sè cña M . sinh bëi hÖ nµy. Khi ®ã x lµ hÖ tham sè ta cã mÖnh ®Ò sau. Khi (R, m) [3, §Þnh lý A.4] Cho lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, MÖnh ®Ò 1.3.2. R- m«®un h÷u h¹n sinh vµ x1 , . . . , xr ∈ m. Khi ®ã M lµ dim M/(x1 , . . . , xi )M ≥ dim M − i. x1 , . . . , xr M. DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi lµ hÖ tham sè cña x∈m M Cho lµ m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã phÇn tö lµ mét Bæ ®Ò 1.3.3. x∈P P ∈ Ass(M ) sao cho M / phÇn tö tham sè cña nÕu vµ chØ nÕu víi mäi dim R/P = d. x M n Chøng minh. Gi¶ sö lµ phÇn tö tham sè cña th× víi mäi nguyªn xn dim(M/xn M ) = d − 1, M. d¬ng còng lµ phÇn tö tham sè cña Khi ®ã dim(xn M ) = d dim M = max{dim(M/xn M ); dim(xn M )}. N v× Gäi lµ d. Khi ®ã xn M M N n m«®un con lín nhÊt cña cã chiÒu nhá h¬n víi mäi nguyªn d¬ng. Ta cã Supp(M/N ) = Var(Ann(M/N ) nªn Ann(M/N ) = Ass(M/N ) ⊆ Supp(M/N ) vµ P ∈Supp(M/N ) P . MÆt kh¸c ta cã M in(Ass(M/N )) = M in(Supp(M/N )). Suy ra x∈ / Ann(M/N ) = P. P ∈Ass(M/N ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 N Theo [2, Bæ ®Ò 7.3.1], cã tÝnh chÊt Ass(M/N ) = {P ∈ Ass(M )| dim R/P = d}. x∈P P ∈ Ass(M ) / dim R/P = d. Suy ra víi mäi tho¶ m·n §¶o l¹i ta x∈P P ∈ Ass(M ) tho¶ m·n / chøng minh b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö víi mäi dim R/P = d vµ dim M/xM = d. Suy ra tån t¹i P ∈ Ass(M/xM ) sao cho x∈P dim R/P = d. V× P = 0 :M η + xM η nµo ®ã cña M víi phÇn tö nªn dim M/xM < d nªn theo MÖnh ®Ò ®iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. Do ®ã dim M/xM = d − 1 vµ x lµ phÇn tö tham sè cña M . 1.3.2 ta cã N M . Khi ®ã nÕu dim(M/N ) < d Cho lµ mét m«®un con cña Bæ ®Ò 1.3.4. x∈ x lµ phÇn tö tham sè cña M Ann(M/N ). H¬n n÷a th× tån t¹i sao cho dim(M/N ) = d − t < d th× tån t¹i t phÇn tö tham sè x1 , . . . , xt M nÕu cña x1 , . . . , xt ∈ Ann(M/N ). sao cho Ann(M/N ) = P ∈Ass(M/N ) P vµ Bæ ®Ò 1.3.3 tån t¹i Chøng minh. Tõ x∈ x∈ P ∈Ass(M/N ) P mµ / Q∈Ass(M ),dim R/Q=d Q. Gi¶ sö ngîc phÇn tö ⊆ P ∈Ass(M/N ) P Q∈Ass(M ),dim R/Q=d Q. Theo §Þnh lý tr¸nh nguyªn tè l¹i P ∈ Ass(M/N ) vµ Q ∈ Ass(M ) víi dim R/Q = d sao cho P ⊆ Q. tån t¹i dim R/P = d. §iÒu nµy m©u thuÉn víi dim M/N < d, suy ra kh¼ng Suy ra dim(M/N ) = d − t < d, ®Þnh thø nhÊt ®óng. Gi¶ sö theo chøng minh x1 ∈ Ann(M/N ). x1 M trªn tån t¹i lµ phÇn tö tham sè cña sao cho Suy ra x1 M ⊆ N . t = 1 ®· t > 1, M1 = M/x1 M Víi chøng minh ë trªn. Víi ®Æt N1 = N/x1 M . Ta cã vµ dim M1 /N1 = dim M/N = d − t < d − 1 = dim M1 . x2 ∈ Ann(M1 /N1 ) = x2 M1 Suy ra tån t¹i lµ phÇn tö tham sè cña sao cho Ann(M/N ). Ta cã dim M/(x1 , x2 )M = dim M1 /x2 M1 = dim M1 − 1 = d − 2. x1 , x2 ∈ Ann(M/N ), x1 , x2 M Do ®ã lµ mét phÇn hÖ tham sè cña vµ suy (x1 , x2 )M ⊆ N . d−t < d−2 M2 = M/(x1 , x2 )M , N2 = ra NÕu th× ®Æt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 N/(x1 , x2 )M M1 , N1 . vµ lý luËn t¬ng tù nh B»ng quy n¹p t¹i bíc thø k, 1 ≤ k ≤ t − 1 xk+1 x1 , . . . , xk , xk+1 tån t¹i sao cho lµ mét phÇn cña hÖ x1 , . . . , xk+1 ∈ Ann(M/N ). M tham sè cña vµ VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, M R- m«®un h÷u h¹n Cho lµ §Þnh nghÜa 1.3.5. M dim M = depth M . sinh. Khi ®ã lµ m«®un Cohen - Macaulay nÕu TiÕp theo lµ mét sè tÝnh chÊt t¬ng ®¬ng cña m«®un Cohen-Macaulay. [3, §Þnh lý 4.4.6, §Þnh lý 4.6.10] C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ MÖnh ®Ò 1.3.6. t¬ng ®¬ng: M i) lµ m«®un Cohen-Macaulay. q sao cho e(q, M ) = l(M/qM ). ii) Tån t¹i i®ªan tham sè e(q, M ) = l(M/qM ) víi mäi i®ªan tham sè q cña M . iii) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 2 dd- D·y, läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt Môc ®Ých cña ch¬ng nµy giíi thiÖu kh¸i niÖm dd-d·y, läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu, hÖ tham sè tèt vµ mét sè kÕt qu¶ liªn quan ®Õn kh¸i niÖm nµy. (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, Noether, Trong luËn v¨n, chóng t«i lu«n gi¶ thiÕt M R- m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu d. lµ 2.1 C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña dd - d·y §Çu tiªn ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa d-d·y, d-d·y m¹nh. x = x1 , . . . , xr ∈ m. Cho mét d·y c¸c phÇn tö Ta gäi §Þnh nghÜa 2.1.1. x M (x1 , . . . , xi−1 )M : xj = (x1 , . . . , xi−1 )M : xi xj lµ d- d·y cña nÕu víi j ≥ i. Khi ®ã x1 , . . . , xr i = 1, . . . , r M mäi vµ lµ mét d-d·y m¹nh cña nÕu (xn1 , . . . , xnr ) lµ d- d·y víi mäi sè nguyªn d¬ng n1 , . . . , nr . r 1 x1 , . . . , x r ∈ m Mét d·y nh÷ng phÇn tö lµ dd-d·y cña §Þnh nghÜa 2.1.2. n (x1 , . . . , xi ) lµ mét d-d·y m¹nh cña m«®un M/(xi+1 , . . . , xnr )M i+1 M nÕu víi r n1 , . . . , nr ; i = 1, . . . , r. mäi sè nguyªn d¬ng Tõ ®Þnh nghÜa dd-d·y ta cã bæ ®Ò sau. xn1 , . . . , xnr x1 , . . . , xr M NÕu lµ mét dd- d·y cña th× mäi d·y Bæ ®Ò 2.1.3. r 1 M n1 , . . . , nr > 0. còng lµ dd- d·y cña víi 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 xm1 , . . . , xmi x1 , . . . , x r M Chøng minh. V× lµ mét dd- d·y cña nªn lµ d- 1 i m M/(xi+1 , . . . , xmr )M i+1 m 1 , . . . , m r > 0. d·y cña m«®un víi mäi Do ®ã r m ni+1 xm1 n1 , . . . , xi i ni m , . . . , xr r nr )M m i+1 M/(xi+1 lµ d-d·y cña m«®un víi mäi 1 ni+1 m n1 , . . . , nr > 0. Suy ra xn1 , . . . , xnr lµ d-d·y m¹nh cña M/(xi+1 i+1 , . . . , xnr mr )M . r r 1 n1 n VËy x1 , . . . , xr r lµ dd-d·y cña M . x = x1 , . . . , xr m. Cho c¸c phÇn tö trong C¸c kh¼ng ®Þnh sau Bæ ®Ò 2.1.4. lµ t¬ng ®¬ng: x lµ dd- d·y cña M . i) 1≤i≤k≤j≤r n1 , . . . , nr > 0, ta cã ii) Víi mäi vµ n n (xn1 , . . . , xi−−1 , xj +1 , . . . , xnr )M : xni xnk j +1 i r 1 1 ik n n = (xn1 , . . . , xi−−1 , xj +1 , . . . , xnr )M : xnk . j +1 i r 1 1 k 1≤i≤j≤r n1 , . . . , nr > 0, ta cã iii) Víi mäi vµ n n n (xn1 , . . . , xi−−1 , xj +1 , . . . , xnr )M : xni xj j j +1 i r 1 1 i n n n = (xn1 , . . . , xi−−1 , xj +1 , . . . , xnr )M : xj j . j +1 i r 1 1 (i) ⇔ (ii): ®îc suy ra tõ ®Þnh nghÜa dd- d·y. Chøng minh. (ii) ⇒ (iii): hiÓn nhiªn khi lÊy k = j . (iii) ⇒ (ii): 1 ≤ i ≤ j ≤ r, n1 , . . . , nr > 0. XÐt Dïng ®Þnh lý Giao Krull vµ tõ gi¶ thiÕt ta cã n n (xn1 , . . . , xi−−1 , xj +1 , . . . , xnr )M : xni xnk j +1 i r 1 1 ik n n (xn1 , . . . , xi−−1 , xk+1 , . . . , xnr )M : xni xnk i k+1 = r 1 1 ik nk+1 ,...,nj n n (xn1 , . . . , xi−−1 , xk+1 , . . . , xnr )M : xnk i k+1 = r 1 1 k nk+1 ,...,nj n n = (xn1 , . . . , xi−−1 , xj +1 , . . . , xnr )M : xnk . j +1 i r 1 1 k x lµ hÖ tham sè th× dd-d·y x cña M Khi cã ®Æc trng sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 x = x1 , . . . , xd M. [4, HÖ qu¶ 3.6] Cho lµ mét hÖ tham sè cña Bæ ®Ò 2.1.5. x lµ dd- d·y trªn M a0 , . . . , a d Khi ®ã nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i c¸c sè sao cho n1 , . . . , nd > 0, ta cã víi mäi d l(M/x(n)M ) = ai n1 . . . ni i=0 ai = e(x1 , . . . , xi ; (xi+2 , . . . , xd )M : xi+1 /(xi+2 , . . . , xd )M ). trong ®ã 2.2 Läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ hÖ tham sè tèt Trong môc nµy chóng t«i nghiªn cøu sù tån t¹i cña läc chiÒu, hÖ tham sè tèt vµ mét sè tÝnh chÊt cña nã. Ta cã ®Þnh nghÜa sau. M i) Ta nãi mét läc h÷u h¹n c¸c m«®un con cña §Þnh nghÜa 2.2.1. F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M, t < ∞ dim M0 < dim M1 < . . . < dim Mt = d. tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nÕu D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M ii) Mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu, ®îc M gäi lµ läc chiÒu cña nÕu 0 D0 = Hm (M ) m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng bËc kh«ng cña M a) ®èi m. víi Di−1 Di dim Di , i = b) lµ m«®un con lín nhÊt cña cã chiÒu nhá h¬n 1, . . . , t − 1, t. F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M Cho lµ mét läc tho¶ §Þnh nghÜa 2.2.2. x = x1 , . . . , x d M. m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ lµ mét hÖ tham sè cña §Æt di = dim Mi , i = 0, 1, . . . , t. x HÖ tham sè ®îc gäi lµ hÖ tham sè tèt ®èi F Mi ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0. víi läc nÕu Mét hÖ tham sè tèt ®èi víi läc M. chiÒu ®îc gäi ®¬n gi¶n lµ mét hÖ tham sè tèt cña I R, M R- lµ m«®un h÷u h¹n sinh vµ Cho lµ i®ªan cña lµ mét Bæ ®Ò 2.2.3. M . Gi¶ sö l(M/IM ) < ∞. Khi ®ã l(N/IN ) < ∞. N lµ mét m«®un con cña Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 l(M/IM ) < ∞ Ann(M/IM ) = m. Chøng minh. V× nªn MÆt kh¸c √ √ Ann(M/IM ) = Ann M + I . Ann M + I = m. Suy ra Do ®ã tån Ann M + I ⊇ mk . V× Ann N ⊇ Ann M k t¹i sè nguyªn d¬ng sao cho nªn Ann N + I ⊇ mk . Suy ra l(N/IN ) < ∞. Bæ ®Ò sau ®©y cho ta c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt. D M i) Läc chiÒu cña lu«n tån t¹i vµ duy nhÊt. H¬n n÷a, gäi Bæ ®Ò 2.2.4. N (p) = 0 lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi thiÓu cña m«®un 0 cña M . Khi p∈Ass M Di = N (p). ®ã dim(R/p)≥di+1 N ⊂ M, ii) Víi mçi m«®un con tõ ®Þnh nghÜa läc chiÒu suy ra tån t¹i D F: N ⊆ Di Di dim N = dim Di . trong sao cho vµ Khi ®ã mçi läc M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu, tån t¹i c¸c chØ sè Mj ⊆ Dij i0 < i1 < . . . < it dim Mj = dim Dij . sao cho vµ F xn1 , . . . , xnd x1 , . . . , xd iii) NÕu lµ mét hÖ tham sè tèt ®èi víi läc th× còng 1 d F n1 , . . . , nd > 0. lµ hÖ tham sè tèt ®èi víi víi x1 , . . . , xd lµ mét hÖ tham sè tèt cña M x1 , . . . , xd lµ mét hÖ tham vi) NÕu th× sè tèt ®èi víi läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu. i) Gäi Γ lµ tËp tÊt c¶ c¸c m«®un con cña M Chøng minh. cã chiÒu nhá h¬n Γ = ∅. d M M th× V× lµ m«®un Noether nªn lu«n tån t¹i phÇn tö cùc ®¹i Γ. Γ M” M + M” cña Gi¶ sö cã mét phÇn tö cùc ®¹i kh¸c lµ th× thùc sù f : M ⊕ M −→ M + M M1 M2 . chøa vµ Ta cã ¸nh x¹ x¸c ®Þnh bëi (n1 , n2 ) −→ n1 + n2 dim(M ⊕ M ) ≥ dim(M + M ). lµ toµn cÊu nªn 0 −→ M −→ M ⊕ M −→ M −→ 0. MÆt kh¸c ta cã d·y khíp Do dim(M + M ) ≤ dim(M ⊕ M ) = max{dim M , dim M } < dim M . ®ã M M Suy ra ®iÒu nµy m©u thuÉn víi tÝnh cùc ®¹i cña vµ . VËy phÇn tö cùc N∈Γ M Γ ΓN ®¹i cña lµ duy nhÊt. LÊy bÊt kú vµ gäi lµ tËp hîp tÊt c¶ ΓN = ∅ M N d. c¸c m«®un con cña chøa vµ cã chiÒu nhá h¬n Khi ®ã nªn ΓN lu«n cã phÇn tö cùc ®¹i. H¬n n÷a mäi phÇn tö cùc ®¹i cña ®Òu lµ phÇn M . Suy ra ΓN M M tö cùc ®¹i cña cã duy nhÊt phÇn tö cùc ®¹i lµ . V× vËy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 N ∈Γ d. chøa mäi vµ nã lµ m«®un con lín nhÊt cã chiÒu nhá h¬n Lý luËn M t¬ng tù ®èi víi vµ sau h÷u h¹n bíc quy n¹p lïi ta ®ù¬c d·y t¨ng chÆt M c¸c m«®un con cña D0 ⊂ D1 ⊂ . . . Dt−1 = M ⊂ Dt = M tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau: Di−1 Di dim Di−1 < dim Di , a) lµ m«®un con lín nhÊt cña sao cho víi i = 1, . . . , t. Di−1 M B»ng quy n¹p lïi ta chØ ra lµ m«®un con lín nhÊt cña dim Di−1 < dim Di , M tho¶ m·n vµ do ®ã nã chøa mäi m«®un con cña cã dim Di−1 . chiÒu nhá h¬n hoÆc b»ng dim D0 > 0 vµ nÕu m«®un con N M dim N < dim D0 b) cña tho¶ m·n th× dim N = 0. 0 Hm (M ) lµ m«®un con lín nhÊt cña M B©y giê ta chøng minh cã chiÒu b»ng Γm (M ) = Hm (M ) = (0 :M mn ) víi n lµ 0 0. V× M lµ m«®un h÷u h¹n sinh nªn mn ⊆ Ann(Hm M ), do ®ã dim(Hm M ) = 0. 0 0 sè nguyªn d¬ng nµo ®ã. Suy ra √ N chiÒu 0. Khi ®ã Ann N = m nªn tån t¹i Gi¶ sö lµ m«®un con cã mk ⊆ Ann N . N ⊆ (0 :M mk ) ⊆ k sè nguyªn d¬ng sao cho Suy ra 0 0 Hm (M ). Hm (M ) M 0. VËy lµ m«®un con lín nhÊt cña cã chiÒu Do ®ã tån 0 Hm (M ) = D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt−1 ⊂ Dt = M M t¹i lµ läc chiÒu cña vµ läc Di chiÒu nµy duy nhÊt. BiÓu diÔn cña ®îc suy ra [9, MÖnh ®Ò 2.2] ii) DÔ dµng suy ra b»ng quy n¹p lïi. iii) §Çu tiªn ta chøng minh xn1 , . . . , xnd (x1 , . . . , xd ) = I lµ hÖ tham sè. §Æt 1 d (xn1 , . . . , xnd ) = J In ⊆ J. n vµ th× tån t¹i sè nguyªn d¬ng sao cho Do 1 d mk ⊆ Ann(M ) + I l(M/IM ) < ∞ k nªn víi lµ sè nguyªn d¬ng nµo ®ã. Suy ra mnk ⊆ (Ann(M ) + I )n ⊆ Ann(M ) + I n ⊆ Ann(M ) + J. n1 nd l(M/JM ) < ∞ vµ do ®ã x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè cña M . V× Suy ra n i +1 Mi ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0 vµ (xdid+1 , . . . , xnd ) ⊆ (xdi +1 , . . . , xd ) víi i = d ndi +1 0, 1, . . . , t − 1 nªn Mi ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0. Suy ra (xn1 , . . . , xnd ) lµ hÖ nd 1 d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 F n1 , . . . , n d . tham sè tèt øng víi läc víi mäi sè nguyªn d¬ng iv ) Gi¶ sö (x1 , . . . , xd ) lµ hÖ tham sè tèt, vµ läc chiÒu D D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M, dim Di = di , i = 0, 1, . . . , t vµ F víi lµ läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M, dim Mj = dj , j = 0, 1, . . . , t . (ii) Mj Di víi Theo víi mçi tån t¹i mét Mj ⊆ Di Di ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0 Mj ∩ dj = di . sao cho vµ V× nªn (xdj +1 , . . . , xd )M = 0. (x1 , . . . , xd ) Suy ra lµ hÖ tham sè tèt øng víi läc F. Bæ ®Ò sau nãi r»ng ta cã thÓ tÝnh läc chiÒu th«ng qua hÖ tham sè tèt. D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M x= Cho lµ läc chiÒu vµ Bæ ®Ò 2.2.5. x1 , . . . , xd M. di = dim Mi . x1 , . . . , xdi lµ hÖ tham sè tèt cña §Æt Khi ®ã Di Di = 0 : xj di < j < di+1 , i = lµ hÖ tham sè tèt cña vµ víi mäi 0, 1, . . . , t − 1. Di ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0 (xdi +1 , . . . , xd )Di = 0. Chøng minh. V× nªn l(Di /(x1 , . . . , xi )Di ) = l(Di /(x1 , . . . , xd )Di ) < ∞ theo Bæ ®Ò 2.2.3. Suy ra D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ (x1 , . . . , xdi ) Di . Do ®ã lµ hÖ tham sè cña H¬n n÷a Di Di (x1 , . . . , xdi ) Di . lµ läc chiÒu cña nªn lµ hÖ tham sè tèt cña Ta cã xj Di ⊆ Di ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M = 0 j > di , i = 0, . . . , t. víi mäi Suy ra Di ⊆ 0 :M xj 0 :M xj ⊆ Di j > di . víi Do ®ã ta chØ cÇn chøng minh víi di < j ≤ di+1 . 0 :M xj Di . s Gi¶ sö tr¸i l¹i Gäi lµ sè nguyªn d¬ng lín Ds−1 . Khi ®ã i + 1 ≤ s ≤ t vµ 0 :M xj ⊆ Ds . Suy ra 0 :M xj nhÊt sao cho 0 :M xj = 0 :Ds xj . V× ds ≥ di+1 ≥ j xj Ds nªn lµ mét phÇn tö tham sè cña dim(0 :M xj ) < ds . Do tÝnh cùc ®¹i cña Ds−1 ta cã 0 :M xj ⊆ Ds−1 . §iÒu vµ 0 :M xj ⊆ Di di < j ≤ di+1 s. nµy m©u thuÉn víi c¸ch chän V× vËy víi vµ bæ ®Ò ®îc chøng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 Sù tån t¹i cña hÖ tham sè tèt ®îc chØ ra trong bæ ®Ò sau. M. Lu«n tån t¹i hÖ tham sè tèt cña Bæ ®Ò 2.2.6. D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M M Chøng minh. Cho lµ läc chiÒu cña dim Di = di . M, 0 = víi XÐt mét ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi thiÓu trong N (p). Di = N (p). Ni = Theo Bæ ®Ò 2.2.4(i), §Æt p∈Ass(M ) dim(R/p)≥di+1 N (p). Khi ®ã Di ∩ Ni = 0, nªn ta cã dim(R/p)≤di Di = Di /Di ∩ Ni (Di + Ni )/Ni ⊆ M/Ni , dim M/Ni ≥ dim Di = di . MÆt kh¸c tõ biÓu diÔn Ni suy ra ta cã Ass(M/Ni ) = {P ∈ Ass(M )| dim R/P ≤ di }, dim M/Ni = di . do ®ã Sö dông Bæ ®Ò 1.3.4 vµ quy n¹p lïi ®Ó chøng minh xdi +1 , . . . , xd ∈ Ann(M/Ni ), x = x1 , . . . , x d tån t¹i hÖ tham sè tho¶ m·n i = 0, 1, . . . , t − 1. i = t − 1, dim M/Nt−1 = dt−1 < d T¹i ta cã nªn theo Bæ ®Ò 1.3.4 tån t¹i xdt−1 +1 , . . . , xd ∈ (xdt−1 +1 , . . . , xd ) M lµ mét phÇn hÖ tham sè cña sao cho Ann(M/Nt−1 ). i = t − 2, (xdt−1 +1 , . . . , xd )M ⊆ Nt−1 ⊆ Nt−2 M1 = T¹i ta cã nªn ta ®Æt M/(xdt−1 +1 , . . . , xd )M vµ N1 = Nt−2 /(xdt−1 +1 , . . . , xd )M . Khi ®ã dim M1 /N1 = dim M/Nt−2 = dt−2 < dt−1 = dim M1 . Theo Bæ ®Ò 1.3.4 tån t¹i xdt−2 +1 , . . . , xdt−1 lµ mét phÇn hÖ tham sè cña M1 sao cho xdt−2 +1 , . . . , xdt−1 ∈ Ann(M1 /N1 ) = Ann(M/Nt−2 ). Suy ra xdt−2 +1 , . . . , xd lµ mét phÇn hÖ tham xdt−2 +1 , . . . , xd ∈ Ann(M/Nt−2 ). M t sè cña víi TiÕp tôc sau bíc quy xdi +1 , . . . , xd ∈ Ann(M/Ni ), i = x n¹p lïi tån t¹i hÖ tham sè tho¶ m·n 0, . . . , t − 1. (xdi +1 , . . . , xd )M ∩ Di ⊆ Ni ∩ Di = 0. x Suy ra Do ®ã lµ hÖ M. tham sè tèt cña KÕt qu¶ sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña Bæ ®Ò 2.2.6 vµ Bæ ®Ò 2.2.4 (ii). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M Cho lµ mét läc tho¶ m·n HÖ qu¶ 2.2.7. F. ®iÒu kiÖn chiÒu. Khi ®ã tån t¹i hÖ tham sè tèt ®èi víi läc F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M Cho lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu F. dim Mi = di , x = x1 , . . . , xd víi lµ hÖ tham sè tèt øng víi läc Khi ®ã x1 , . . . , xdi Mi . XÐt hiÖu lµ hÖ tham sè tèt cña t IF,M (x) = l(M/xM ) − e(x1 , . . . , xdi , Mi ), i=0 e(x1 , . . . , xdi , Mi ) e(x1 , . . . , xd0 , M0 ) = l(M0 ) trong ®ã lµ sè béi Serre vµ M0 nÕu h÷u h¹n. F M x= Cho lµ mét läc cña tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ Bæ ®Ò 2.2.8. F. Khi ®ã IF,M (x) ≥ 0. x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè tèt øng víi läc Chøng minh. XÐt läc F/xd F : (M0 + xd M )/xd M ⊂ . . . ⊂ (Ms + xd M )/xd M ⊂ M/xd M, s = t−1 dt−1 < d − 1 s = t−2 dt−1 = d − 1. trong ®ã nÕu vµ nÕu Mi /(Mi ∩ xd M ) (Mi + xd M )/xd M Theo ®Þnh lý ®¼ng cÊu, ta cã mµ Mi ∩ xd M = 0. i ≤ s. (Mi + xd M )/xd M Mi x= Suy ra víi §Æt x1 , . . . , xd−1 ; M = M/(x1 , . . . , xd−1 )M . l(M/xM ) = l(M /xd M ) Khi ®ã F/xd F Mi ∩ (xdi +1 , . . . , xd )M/xd M = 0. vµ V× thÕ läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn F/xd F. Ta cã x M/xd M chiÒu vµ lµ mét hÖ tham sè tèt cña ®èi víi s IF/xd F,M/xd M (x ) = l(M/xM ) − e(x , M/xd M ) − e(x1 , ..., xdi , Mi ) i=0 s = l(M/xM ) − e(x, M ) − e(x , 0 :M xd ) − e(x1 , ..., xdi , Mi ). i=0 dt−1 < d − 1 th× IF,M (x) − IF/xd F,M/xd M (x ) = e(x , 0 :M xd ) ≥ 0. NÕu NÕu dt−1 = d − 1, Mt−1 ∩ xd M Mt−1 ⊆ 0 :M xd , e(x , Mt−1 ) ≤ v× nªn do ®ã e(x , 0 :M xd ), IF,M (x) − IF/xd F,M/xd M (x ) = e(x , 0 :M xd ) − e(x , Mt−1 ) ≥ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 d ta thu ®îc IF,M (x) ≥ 0. VËy b»ng c¸ch quy n¹p theo Tõ chøng minh cña Bæ ®Ò 2.2.8 ta cã hÖ qu¶ sau. x = x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè øng läc F. Khi ®ã IF,M (x) ≥ Cho HÖ qu¶ 2.2.9. IF/xd F,M/xd M (x1 , . . . , xd−1 ). x(n) = xn1 , . . . , xnd . Ta cã thÓ Ta xÐt hÖ tham sè víi mét luü thõa nµo ®ã 1 d IF,M (x(n)) nh mét hµm sè theo n1 , . . . , nd . xem F : M0 ⊂ M1 ⊂ Cho mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu MÖnh ®Ò 2.2.10. F. . . . ⊂ Mt = M x = x1 , . . . , x d vµ lµ mét hÖ tham sè tèt ®èi víi Hµm IF,M (x(n)) lµ mét hµm kh«ng gi¶m, nghÜa lµ IF,M (x(n)) ≤ IF,M (x(m)) víi n1 ≤ m1 , . . . , nd ≤ md . mäi IF,M (x(n)) Chøng minh. V× kh«ng phô thuéc vµo thø tù c¸c phÇn tö trong ni ≤ mi , i = 1, . . . , d nªn ta cã hÖ tham sè víi IF,M (xn1 , xn2 , . . . , xnd ) ≤ IF,M (xm1 , xn2 , . . . , xnd ) ≤ 1 2 1 2 d d IF,M (xm1 , xm2 , . . . , xnd ) ≤ . . . ≤ IF,M (xm1 , xm2 , . . . , xmd ). 1 2 1 2 d d n Do ®ã ta chØ cÇn chøng minh hµm IF,M (x1 , . . . , xr , . . . , xd ) lµ mét hµm kh«ng n víi r ∈ {1, 2, . . . , d}. §Æt x(n) = x1 , . . . , xn , . . . , xd . Ta cã gi¶m theo r IF,M (x(n + 1)) − IF,M (x(n)) = l(M/x(n + 1)M ) − l(M/x(n)M ) − e(x1 , . . . , xdi , Mi ). di ≥r Theo [4, Bæ ®Ò 2.2 (ii)], suy ra l(M/x(n + 1)M ) − l(M/x(n)M ) = χ1 (xn+1 , M ) − χ1 (xn , M ) + e(xr , M ) r r ≥ e(xr , M ), M = M/(x1 , . . . , xr−1 , xr+1 , . . . , xd )M . Suy ra trong ®ã IF,M (x(n + 1)) − IF,M (x(n)) ≥ e(xr , M ) − e(x1 , . . . , xdi , Mi ). di ≥r Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn