Luận văn Thạc sĩ Toán học: Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài nghiên cứu sẽ trình bày một vài khái niệm cơ bản cùng các kiến thức hỗ trợ và tập trung làm việc trên tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương Ass(HiR+ (M)n) để thấy rõ tính chất ổn định tiệm cận hoặc những tính chất khác của nó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012
Mục Lục Lời cảm ơn ....................................................................................................... 3 Phần mở đầu .................................................................................................... 4 Bảng kí hiệu ..................................................................................................... 8 Chương 1: Kiến thức cơ sở ............................................................................. 9 1.1. Iđêan nguyên tố liên kết ......................................................................... 9 1.2. Độ cao của một iđêan ........................................................................... 10 1.3. Chiều của một iđêan ............................................................................. 10 1.4. Độ sâu của mô đun ............................................................................... 11 1.5. Vành Cohen – Macaulay ...................................................................... 13 1.6. Vành phân bậc ...................................................................................... 13 1.7. Hàm tử xoắn ......................................................................................... 14 1.8. Mô đun đối đồng điều địa phương ....................................................... 16 1.9. Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương .................... 18 Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé ........................................... 20 2.1. Khái niệm về sự ổn định tiệm cận........................................................ 20 2.2. Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương. ........................................... 21 2.3. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc có đối chiều 1. 21 2.4. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc trong mô đun đối đồng điều nửa địa phương có số chiều 2......................................................... 28 KẾT LUẬN .................................................................................................... 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 36
Lời cảm ơn Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS. TS. Trần Tuấn Nam thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, T.S Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2012 Học viên Lê Đình Nghĩa
Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Cho R = ⊕ Rn trong đó họ (R n )n ≥0 là họ các vành Noether, R + = n≥0 ⊕ R n là một iđêan của R và M là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. n >0 HiR + (M) là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với R + được trang bị tính phân bậc tự nhiên. Với mỗi n ∈ ta có HiR + (M)n là thành phần ( ) phân bậc thứ n của mô đun HiR + (M) , tập hợp AssR 0 HiR + (M)n là tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của HiR + (M n ) . Trong quá trình nghiên cứu và tìm hiểu về mô đun đối đồng điều địa phương HiR + (M) các nhà toán học đã thu được nhiều kết quả hết sức thú vị và đặc biệt về mô đun HiR + (M) và một trong những tính chất thú vị đó là tính ổn định tiệm cận của tập hợp ( ) AssR 0 HiR + (M)n . Đi đầu trong việc nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của AssR 0 (H i R+ (M) ) n là nhà toán học M. Brodmann, M. Brodmann đã chứng minh được một số kết quả quan trọng: (1) [2.2.1] “ Nếu R – mô đun H Rj + (M) là hữu hạn sinh với mọi j < i, thì ta có ( sự ổn định tiệm cận thứ i của AssR 0 HiR + (M)n ”. ) (2) [2.2.2] “ Nếu R 0 là vành (nửa địa phương) địa phương và có dim(R 0 ) ≤ ( ) 1 thì chúng ta có tập hợp AssR 0 HiR + (M)n ổn định tiệm cận tại mọi i”, Vấn đề đặt ra ở đây là trong kết quả (2) khi mở rộng thêm giả thiết thì sự ổn định tiệm cận của AssR 0 HiR + (M)n ( ) thay đổi như thế nào? Trong
trường hợp R 0 không là địa phương thì chúng ta có sự ổn định tiệm cận hay không hoặc cần bổ sung những điều kiện gì nữa để tính ổn định tiệm cận vẫn còn? Trong trường hợp không có điều kiện địa phương thì cần những điều ( ) kiện gì của R 0 để cho AssR 0 HiR + (M)n vẫn ổn định tiệm cận? Năm 2003 trong một bài báo của M. Bordmann, S. Fumasoli, và C.S. Lim đã trả lời cho những câu hỏi trên một cách chính xác. Kết quả được thể hiện trong các định lý sau. Để mở rộng (2) trong trường hợp bỏ đi tính địa phương R 0 , chúng ta cần thêm một số điều kiện nhỏ thể hiện trong các kết quả sau: (3) [2.3.3] Giả sử R 0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền nguyên A 0 sao cho 0 với mỗi iđêan tối tiểu q0 của R 0 . Thì với mỗi i∈ . q0 ∩ A0 = (i) Τi =Τi (M) :={p∈ AssR (HiR + (M)) | ht(p ∩ R) ≤ 1} là hữu hạn. (ii) Τin =Τin (M) :={p0 ∈ AssR 0 (HiR + (M)n ) | ht(p0 ) ≤ 1} ổn định tiệm cận. (4) [2.3.6] Giả sử R 0 chủ yếu hữu hạn trong một trường. Thì với mỗi i∈ 0 . (i) Τi =Τi (M) :={p∈ AssR (HiR + (M)) | ht(p ∩ R) ≤ 1} là hữu hạn. (ii) Τin =Τin (M) :={p0 ∈ AssR 0 (HiR + (M)n ) | ht(p0 ) ≤ 1} ổn định tiệm cận. Trong trường hợp đặc biệt, khi dim(R 0 ) ≤ 1 ta có kết quả: (5) [2.3.9] Giả sử dim(R 0 ) ≤ 1 và R 0 hoặc là vành nữa đơn hoặc là mở rộng của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn trên một trường. Thì với mỗi i∈ . (i) AssR (HiR + ( M )) là hữu hạn. (ii) AssR (HiR + ( M )n ) ổn định tiệm cận. Ngoài ra còn có một hướng mở rộng (2) trong trường hợp dim ( R 0 ) =2 nhưng vẫn giữ nguyên tính địa phương của R 0 , ta có kết quả yếu hơn:
(6) [2.4.7] Giả sử R 0 là vành nửa địa phương với dim ( R 0 ) = 2 . Với i∈ . Thì HiR + (M) là thuần hóa. Đặc biệt, khi thêm vài điều kiện nhỏ thì ta có kết quả: (7) [2.4.8] Giả sử R 0 là vành nửa địa phương với dimR 0 ≤ 2 . Nếu R 0 hoặc mở rộng nguyên hữu hạn của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn ( ) trong một trường. Thì với mọi i∈ tập hợp AssR 0 HiR + (M)n ổn định tiệm cận. Những vấn đề trên có vai trong quan trọng trong chuyên ngành đại số, đại số giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. 2. Mục đích của đề tài Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau đó trình bày lại chi tiết các bài chứng minh cho các kết quả (3), (4). Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết quả (6), (7). 3. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Bài nghiên cứu sẽ trình bày một vài khái niệm cơ bản cùng các kiến thức hỗ trợ và tập trung làm việc trên tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương ( ) AssR 0 HiR + (M)n để thấy rõ tính chất ổn định tiệm cận hoặc những tính chất khác của nó. Đặc biệt là bài nghiên cứu dừng ở mức độ số chiều của R 0 thấp 0,1,2 cũng như chỉ thêm vào R 0 những điều kiện nhỏ và cần thiết. Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau. Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần này trình bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh các kết quả (3), (4) cùng với hệ quả liên quan. Phần 2 trình bày các bổ đề liên quan sau đó dẫn đến kết quả (6), (7).
Bảng kí hiệu  = {0,1,2...} - tập hợp các số tự nhiên  = {...,-1,0,1,2...} - tập hợp các số nguyên ⊕ R n - tổng trực tiếp của họ các vành R n n ≥0 R/p – vành thương của R theo p Spec(R) - tập hợp các iđêan nguyên tố của R V(a ) - tập hợp các iđêan nguyên tố chứa a S−1R - vành các thương của vành R theo tập con nhân S R p - vành địa phương tại p. SuppR 0 ( M ) = {p ∈ Spec(R 0 ) | M p ≠ 0} ( Var( m ) = Supp R m ) Ann(M) - linh hóa tử của M dim ( R 0 ) - số chiều của vành R 0 R 0 [l1 ,l2 ,...,lr ] - vành đa thức lấy hệ số trên R 0 ...} - cận dưới đúng của một tập hợp inf{i ∈ ...} - cận trên đúng của một tập hợp sup{i ∈ Hom ( A,B) - tập hợp tất cả các đồng cấu từ A đến B
Chương 1: Kiến thức cơ sở 1.1. Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) = p . (ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/ p . Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu Ass R (M). Tính chất 1.1.2. Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) | x ∈ M, x ≠ 0}. Thì p ∈ Ass R (M). Hệ quả 1.1.3. Ass R (M) = 0 ⇔ M = 0 Hệ quả 1.1.4. Giả sử S là tập con nhân của R. Đặt R ' = S−1R , M ' = S−1M . Thì AssR (M ') =f (AssR ' (M ')) =AssR (M) ∩ {p | p ∩ S =∅} Trong đó f :Spec(R ') → Spec(R) là một đồng cấu. Đặc biệt, AssR p ( M p ) = {qR p | q ∈ AssR (M), q ⊆ p} Định lý 1.1.5. Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun. Thì Ass R (M) ⊆ Supp R (M), và với mọi phần tử tối tiểu của Supp R (M) đều nằm trong Ass R (M). Hệ quả 1.1.6. Giả sử I là iđêan của vành R. Thì iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I.
Định lý 1.1.7. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh, M ≠ 0 . Thì tồn tại dãy các mô đun con (0) = M 0 ⊂ ... ⊂ M n −1 ⊂ M n = M sao Mi Mi−1 ≅ pi với mọi pi ∈ Spec(R),1 ≤ i ≤ n. cho R Bổ đề 1.1.8. Nếu 0 → M ' → M → M '' → 0 là một dãy khớp các R – mô đun thì khi đó Ass(M ') ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(M ') ∪ Ass(M '') . Tính chất 1.1.9. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Thì Ass R (M) là hữu hạn. Hơn nữa, AssR (M) ⊆ V(Ann(M)) và mỗi phần tử tối tiểu của V(Ann(M)) đều thuộc AssR (M) . Vì thế Ann(M) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M. Tính chất 1.1.10. Nếu N là R – mô đun con của M. Thì AssR (N) ⊆ AssR (M) ⊆ AssR (M / N) ∪ AssR (N) . 1.2. Độ cao của một iđêan Định nghĩa 1.2.1. Giả sử R là một vành. Một chuỗi hữu hạn của n + 1 iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ .... ⊃ pn được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n. Nếu p∈Spec(A) , thì cận trên của chuỗi nguyên tố với p = p0 được gọi là độ cao của p kí hiệu là: ht( p ). Nhận xét 1.2.2. (i) Nếu ht( p ) = 0 điều đó có nghĩa p là một iđêan nguyên tố tối tiểu của R. (ii) Nếu I là một iđêan của R. Độ cao của I là độ cao thấp nhất của iđêan nguyên tố chứa I. Tức= là: ht(I) inf{ht(p)|p ⊇ I} 1.3. Chiều của một iđêan
Định nghĩa 1.3.1. Cho R là vành, chiều của R được định nghĩa là cận trên của độ cao của các iđêan nguyên tố trong R. = dim(R) sup{ht(p) | p ∈ Spec(R)} Nếu dim(R) là hữu hạn thì nó chính là chiều dài của chuỗi nguyên tố dài nhất trong R. Nhận xét 1.3.2. = (i) ht(p) dim(R p ), p ∈ Spec(R) (ii) Với mọi iđêan I của R ta có: dim(R I ) + ht(I) ≤ dim(R) Tính chất 1.3.3. Giả sử M ≠ 0 là một R – mô đun khi đó số chiều của mô đun M được định nghĩa là chiều của vành thương R Ann(M) . Tức là: dim(M) = dim  R Ann(M)    Khi M = 0 ta qui ước dim(M) = -1. Tính chất 1.3.4. Với R là vành Noether và M ≠ 0 là hữu hạn trên R thì ta có các điều kiện tương đương sau: (i) M là một R – mô đun có chiều dài hữu hạn. (ii) Vành R Ann(M) là vành Artin. (iii) dim(M) = 0. 1.4. Độ sâu của mô đun Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh khác 0. Dãy các phần tử a1,...,a n ∈ R được gọi là dãy M – chính quy nếu: (i) M ≠0 (a1,...,a n )M
(ii) a i là phần tử M (a1,...,a n )M - chính quy, với mọi i = 1,..,n . Độ dài của M – dãy là số phần tử của dãy. M – dãy không có phần tử nào gọi là M – dãy có độ dài 0. Lưu ý 1.4.2. (i) a ∈ R là phần tử M – chính quy nếu a không là ước của 0 trong M. (ii) a1,...,a n ∈ R được gọi là M – dãy chính quy khi và chỉ khi ≠ 0 và a i ∉p với mọi p∈ AssR (M (a1,...,a n )M với mọi M ) (a1,...,a n )M i = 1,..,n . Định nghĩa 1.4.3. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M ≠ aM và a1,...,a n là M – dãy chính quy tối đại trong a nếu không tồn tại phần tử a n +1 ∈a sao cho a1,...,a n ,a n +1 là M – dãy chính quy có độ dài n + 1. Định nghĩa 1.4.4. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M ≠ aM . Khi đó mọi dãy chính quy của M trong a đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong a và các dãy chính quy tối đại của M trong a có cùng độ dài. Độ dài này gọi chung là độ sâu của M trong a . Kí hiệu là depth( a , M). Nhận xét 1.4.5. Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại m . Khi đó mọi M – dãy chính quy a1,...,a n phải có các phần tử thuộc m , đơn giản vì M ≠ (a1,...,a n )M . Chú ý ta có M ≠ mM theo bổ đề Nakayama. Do đó dãy các phần tử của R là M – dãy chính quy khi và chỉ khi nó là M – dãy chính quy trong m . Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là: depth(M).
1.5. Vành Cohen – Macaulay Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành Noether địa phương và M là R – mô đun hữu hạn sinh. M được gọi là Cohen – Macaulay (CM) nếu M ≠ 0 và depth(M) = dim M. Nếu R là R – mô đun Cohen – Macaulay thì R được gọi là vành Cohen – Macaulay. Định nghĩa 1.5.2. Cho R là vành Noether ta gọi R là vành CM nếu R m là vành CM địa phương với mọi iđêan tối đại m của R. Tính chất 1.5.3. Cho R là vành Noether địa phương. M là CM R – mô đun. Thì (i) Với mọi p ∈ Ass ( M ) , depth M = dim R/p. (ii) x = x 1 , x 2 ,…x n là một M – dãy nếu và chỉ nếu dim M/xM = dim M – r. Tính chất 1.5.4. R là vành Noether M là R – mô đun hữu hạn sinh. Giả sử x là một M – dãy. Nếu M là CM thì M/xM cũng CM. Đặc biệt, nếu R là vành địa phương và M/xM là CM thì M là CM. Tính chất 1.5.5. Cho M là CM và S là tập con nhân đóng trong R. Thì S−1M là CM S−1R - mô đun. Đặc biệt, Nếu p ∈ SuppM thì M p là CM R p - mô đun. Tính chất 1.5.6. Cho R là vành Noether và M là CM R – mô đun hữu hạn dim M dim M p + dim M / pM với mọi p ∈ Supp ( M ) . sinh. Thì = 1.6. Vành phân bậc Định nghĩa 1.6.1. Vành R được gọi là vành phân bậc nếu R có dạng: R = ⊕ R n trong đó R n R m ⊆ R n + m n ≥0
Định nghĩa 1.6.2. Một R - mô đun phân bậc là một R – mô đun M nếu M = ⊕ M n sao cho R n M m ⊆ M n + m n∈Z Nhận xét 1.6.3. Một đồng cấu của R – mô đun phân bậc là một đồng cấu f : M → N sao cho f (M n ) ⊆ N n với mọi n ≥ 0 . Một mô đun con N của M được gọi là mô đun con phân bậc nếu N= ⊕(N ∩ M n ) . Nếu N là mô đun con phân bậc của M thì M N cũng là R - mô đun phân bậc M N = ⊕ M n N ∩ M . n Nếu R là vành phân bậc thì R + = ⊕ R n là một iđêan của R. n >0 Tính chất 1.6.4. Cho R là vành phân bậc, các mệnh đề sau tương đương: (i) R là vành Noether. (ii) R 0 là vành Noether và R là R 0 – đại số hữu hạn sinh. Nhận xét 1.6.5. Cho R là một vành phân bậc R = ⊕ R n thì tồn tại các phần tử l1 ,l2 ,...,lr n ≥0 ∈ R1 sao cho R = R 0 [l1 ,l2 ,...,lr ] . Tính chất 1.6.6. Cho R là một vành Noether phân bậc và M là một R – mô đun phân bậc khi đó. (i) Mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M là iđêan phân bậc và tồn tại một phần tử thuần nhất x của M sao cho p = Ann(x). (ii) Với mỗi p∈ Ass(M) chúng ta có thể chọn một p – nguyên sơ phân bậc Q(p) sao cho (0) =  Q(p) . p∈Ass(M) 1.7. Hàm tử xoắn
Định nghĩa 1.7.1. Cho M là một R – mô đun, tập hợp Γa (M)=  (0 : a n )= {m ∈ M | ∃n ∈ , a n m= 0} là mô đun con của M. n∈N Nếu f : M → N là đồng cấu các R - mô đun. Thì ta có f Γa (M)  ⊆ Γa (N) Thật vậy với mọi x ∈Γa (M) ⇒ ∃n ∈  : a n x = 0 Khi đó a n f (x) = 0 ⇒ f (a n x) = 0. Ta định nghĩa ánh xạ = Γa (f ) f |Γa (M): Γa (M) → Γa (N) . Thì Γa (−) là một hàm tử hiệp biến trong phạm trù các R – mô đun. Ta gọi Γa (−) là hàm tử a – xoắn. Bổ đề 1.7.2. Cho a là một iđêan của vành Noether R. Giả sử M là hữu hạn sinh. Các phát biểu sau đây là đúng: (i) Γa (M) ≠ 0 nếu và chỉ nếu a ⊆ ZD(M) . Trong đó ZD(M) = {a ∈ R:∃0 ≠ m ∈ M sao cho a.m = 0} (ii) Ass ( Γa (M) ) = Ass(M)  V(a ) và Ass ( M / Γa (M) ) = Ass(M) \ V(a ) . Tính chất 1.7.3. Γa (−) bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn. Chứng minh Cho 0  → M  f → N  g → L là dãy khớp. Tác động Γa (−) và ta được Γa (f ) Γa (g) → Γa (M) → 0  Γa (N) → Γa (L) Khi đó Γa (f ) là đơn cấu. Ta chứng minh kerΓa (g) ⊇ ImΓa (f ) Thật vậy Γa (g)Γa (f ) = Γa (gf ) = 0 Giả sử x ∈ ker Γa (g) ⊆ ker g = Imf . ∃m ∈ M,n ∈  : f (m) = x, a= n x 0 Khi đó= 0 a= n = f (a n m) x a n f (m)
Do f đơn cấu nên a n m = 0 ⇒ m ∈Γa (M), x ∈Γa (f ) ⇒ kerΓa (g) =imΓa (f ) . 1.8. Mô đun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.8.1. Cho M là R – mô đun và a là iđêan của R. Cho giải nội xạ của M µ I1 → .... → Ii  → I → ..... 0 i 0  → M  → I0 → d d Tác động hàm tử a - xoắn Γa (−) vào dãy khớp trên ta được phức. Γa (d ) → Γa (I0 ) → .... → Γa (Ii )  → Γa (Ii +1 ) → ..... là dãy khớp i 0  Khi đó ker(Γa (d )) i là mô đun đối đồng điều thứ i của phức và Im(Γa (di−1)) được gọi là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a . Kí hiệu là Hai (M) = ker(Γa (d )) i . Im(Γa (di−1)) Nhận xét 1.8.2. (i) Nếu M là R – mô đun nội xạ thì Hai (M) = 0, ∀i > 0 (ii) Γa (M) ≅ Ha0 (M) . (iii) Mọi phần tử của Hai (M) linh hóa bởi a n với n nào đó. Tính chất 1.8.3. Cho R là vành Noether S là tập đóng nhân của R, M là R – mô đun, a là ideal của R. Thì S−1 (Γa (M)) = ΓS−1a (S−1M) S−1 (Hai (M)) ≅ HSi −1a (S−1M) với mọi i. Đặc biệt (Hai (M)) p ≅ Hai R p (M p ) với mọi iđêan nguyên tố p của R. Tính chất 1.8.4. Giả sử (R, m ) là vành địa phương, M là R – mô đun hữu hạn sinh. Thì Him (M) là mô đun Artin với mọi i.
Tính chất 1.8.5. Cho dãy khớp ngắn 0 → L  f → N  g → M → 0 khi đó với → Hai+1 (L) và những đồng cấu mỗi i∈ 0 . Tồn tại một đồng cấu nối Hai (N)  nối tạo nên một dãy khớp dài 0 → Ha0 (L)  0 0 Ha (f ) → Ha0 (M)  Ha (g) → Ha0 (N) 1 1  E → H1a (L)  Ha (f ) → H1a (M)  Ha (g) → H1a (N)  E → .... i i  E → Hai (L)  Ha (f ) → Hai (M)  Ha (g) → Hai (M)  E → Hai+1 (L)  → ... Định nghĩa 1.8.6. Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là  – phân bậc, R 0 là n ≥0 ⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R. vành Noether. R + = n >0 Giả sử M = ⊕ M n là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. n∈Z Với i∈ ta có HiR + (M) là mô đun đối đồng điều địa phương của M đối với iđêan R + . Khi đó HiR + (M) là R - mô đun phân bậc và HiR + (M) = ⊕ HiR + (M)n . n∈Z Tính chất 1.8.7. Giả sử (R, m ) là vành địa phương và M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Thì (i) Him (M)n = 0, ∀i ∈ và n đủ lớn. (ii) Him (M)n là R 0 – mô đun Artin với mọi i, với mọi n. Tính chất 1.8.9. Cho (R, m ) là vành Noether địa phương với số chiều d, a là một iđêan của R và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Thì ( ) (i) AssR Hai (M) = AssR HomR R / a,Hai (M) . ( ) ( ) (ii) AssR Hai (M) hữu hạn với i = 0,1. ( ) (iii) SuppR Hai (M) hữu hạn với mọi i nếu dim(R / a ) ≤ 1 .
Tính chất 1.8.10. Với mọi i ∈  thì R – mô đun HiR (Γ m0R (M) là mô đun + Artin. Định lý: Giả sử dim(R 0 ) ≤ 1 , với mọi i ∈  thì Γ m0R ( HiR M ) và + H1m R (HiR (M) là các R – mô đun Artin. 0 + Tính chất 1.8.11. Cho R là vành địa phương và M là R – mô đun hữu hạn ( ) sinh với số chiều d ≤ 3 . Thì AssR Hai (M) hữu hạn với mọi iđêan a của R. Tính chất 1.8.12. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có p∈ Ass ( Hai (M) ) ⇔ pR p ∈ Ass ( Hai R p (M p ) ) Tính chất 1.8.13. Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là  – phân bậc, R 0 là n ≥0 ⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R. vành Noether. R + = n >0 Giả sử M = ⊕ M n là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó với mỗi n∈Z i∈ ta có:   (  AssR HiR + (M) =)  n∈Z i  p0 + R + | p0 ∈  Ass R 0 (H R + (M)n )   1.9. Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.9.1. Cho M là R – mô đun. Một phần tử x của M được gọi là phần tử xoắn khi nó có một phần tử linh hóa khác không. Nếu R là miền nguyên, tập hợp các phần tử xoắn của M kí hiệu : T(M) là một R – mô đun xoắn con của M. Khi T(M) = M thì M được gọi là mô đun xoắn. Khi T(M) = 0 thì M được gọi là mô đun không xoắn. Định nghĩa 1.9.2. Cho R là một vành tùy ý, M là một R – mô đun, S là tập con nhân của R. Một phần tử m của M được gọi là phần tử S – xoắn nếu tồn tại s trong S linh hóa m.
Định lý 1.9.3. Cho R 0 là miền nguyên, giả sử s ∈ R 0 \{0} và giả sử i∈ . Thì R s (R 0 )s ⊗R 0 R và ( R = = s )+ R= +Rs ( R + )s ta có các mệnh đề tương đương sau: (i) HiR (M)s là (R 0 )s - mô đun không xoắn. + (ii) Hi(R ) (Ms ) là (R 0 )s - mô đun không xoắn. s + (iii) Nếu p∈ AssR (HiR + (M)) thì s∈ p hoặc p ∩ R 0 = 0 Bổ đề 1.9.4. Giả sử R 0 là một miền nguyên vô hạn với trường các thương K. = Nếu d dim K ⊗R R (K ⊗R 0 M) ≥ 0 và x1, x 2 ,..., x d là những phần tử bất kì. 0 Thì tồn tại phần tử t ∈ R 0 \{0} và một đồng cấu: ( R 0 )t  x  = ( R 0 )t  x1, x 2 ,...x d  → R t sao cho dim K x  (K ⊗(R 0 )t M t ) = d và Hi (R (M t ) ≅ Hi (R t )+ (M t ), ∀i ∈   0 )t  x  + Bổ đề 1.9.5. Giả sử R 0 là miền nguyên vô hạn với trường các thương K và =d dim K ⊗R R (K ⊗R 0 M) . 0 Thì tồn tại t ∈ R 0 \{0} sao cho Hi(R t )+ (M t ) = 0, ∀i > d Bổ đề 1.9.6. Giả = sử R R= x  R 0  x1, x 2 ,...x d  là vành đa thức trên miền 0 Noether R 0 với trường các thương K và giả sử M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó nếu K ⊗R 0 M là K ⊗R 0 R = K  x  - mô đun tự do thì tồn tại một phần tử s ∈ R 0 \{0} sao cho: Nếu i = d thì Hi(R ) (Ms ) là ( R 0 )s - mô đun tự do. s + Nếu i ≠ d thì Hi(R ) (Ms ) = 0 . s + Định lý 1.9.7. Giả sử R 0 là một miền nguyên. Thì tồn tại phần tử s ∈ R 0 \{0} sao cho HiR (M)s là ( R 0 )s - mô đun không xoắn ∀i ∈ . +