Luận văn Thạc sĩ Toán học: Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

---OOO---

TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ S Ố : 1.01.01

NGƯỜI THỰC HIỆN : HOÀNG ANH TUẤN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

---OOO---

TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ S Ố : 1.01.01

NGƯỜI THỰC HIỆN : HOÀNG ANH TUẤN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn:

Phó giáo sư Tiến sĩ TRẦN HỮU BỔNG

Khoa Toán

Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Người phản biện 1:

Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN

Khoa Giáo dục Tiểu học

Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Người phản biện 2:

Phó tiến sĩ ĐẬU THẾ CẤP

Khoa Khoa học Cơ bản

Trường Cao đẳng Kỹ thuật Vinhempic

Người thực hiện:

HOÀNG ANH TUẤN

Khoa Thống kê - Toán Kinh tế - Tin học

Đại học Kinh Tế Tp Hồ Chí Minh

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI

HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH.

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin kính gửi đến Phó Giáo sư Tiến sĩ TRẦN

HỮU BỔNG - Khoa Toán Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình

hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc.

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quí thầy : Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN Khoa

Giáo dục Tiểu học Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phó tiến sĩ ĐẬU THẾ CẤP

Khoa Khoa học Cơ bản Trường Cao đẳng Kỹ thuật Vinhempic

đã đọc bản thảo, phê bình và phản biện cho luận văn.

Xin chân thành cảm ơn Quí Thầy cô trong Khoa Toán đã tận tình truyền đạt kiến

thức cho tôi trong suốt quá trình học tập và Quí Thầy cô thuộc Phòng Nghiên cứu Khoa học

trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi

trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này.

Xin cảm ơn gia đình, bạn hữu, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành

luận văn này.

Thành phố Hồ chí Minh, 1997

Hoàng Anh Tuấn

MỤC LỤC

KÝ HIỆU

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH ........... 1

I Phổ của toán tử tuyến tính ............................................................................................... 1

II Cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính ....................................................................... 1

III. Ứng dụng. ......................................................................................................................... 3

CHƯƠNG 2: SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH........................................................................................................................................ 9

I Hàm liên tục đều bị chặn. .................................................................................................. 10

II Hàm đầu tuần hoàn ........................................................................................................... 10

III Hàm truy đồi.................................................................................................................... 11

IV Các bổ đề ......................................................................................................................... 12

V Điều kiện tồn tại toán tử ngược. ....................................................................................... 22

CHƯƠNG 3: VỀ SỰ BẢO TOÀN TÍNH FREDHOLM CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH ........................................................................................................................ 33

I Định nghĩa và kết quả. ....................................................................................................... 33

II Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa hội tụ tích phân tại vô cực. .................................. 34

III Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa đinh vị tại vô cực ..................................... 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 51

KÝ HIỆU

R, p là tập hợp các số thực và số phức. Rn(Pn) là không gian thực (phức) với chuẩn

Mn là không gian (vành) các ma trận thực cấp n với chuẩn

C(Rn),C(Pn) là không gian Banach phức của các hàm liên tục, bị chặn trên R, có giá trị

trong Rn, pn với chuẩn :

C1(Rn) là không gian Banach phức các hàm liên lục, bị chặn x(t ) có đạo hàm

cấp 1 (t) liên tục, bị chặn trên R ( C(Rn) ) với chuẩn

C*(Rn) là không gian con của C(Rn) gồm tất cả các hàm liên tục đều. bị chặn trên R, có giá trị trong Rn. C(Mn) là không gian Banach các hàm ma trận A(t ) liên tục, bị chặn với chuẩn

C*(Mn) là không gian Banach các hàm ma trận A(t ) liên tục đều, bị chặn với chuẩn như trên.

MỞ ĐẦU

Lý thuyết toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn trên trục số đã được nhiều tác

giả quan tâm, bắt đầu từ những công trình cổ điển của Bohl P. , Person O. , Favard J. ... về

sau lý thuyết này được các nhà toán học nghiên cứu theo những hướng khác nhau : Về tính

chất nghiệm, về dáng điệu nghiệm, về tính giải được của phương trình không thuần nhất ... và

cũng được xét trên những không gian hàm khác nhau.

Luận văn của chúng tôi nghiên cứu về toán tử vi phân tuyến tính có dạng

với A(t) là ma trận hàm liên tục bị chặn trên trục số và phương trình thuần nhất

Từ tính chất của toán tử L ta sẽ thu được những tính chất của phương trình không

thuần nhất

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 nghiên cứu cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính L. (Định lý 1.1)

Chúng tôi đã thiết lập các mối liên hệ giữa khái niệm khả qui và hầu khả qui của phương

trình thuần nhất. Kết quả chính của chương là định lý 1.2, có thể xem như một ứng dụng, xác

định một điều kiện cần và đủ dưới dạng phổ để phương trình (2) hầu khả qui về phương trình

có hệ số hằng.

Chương 2 trình bày về điều kiện tồn tại toán tử ngược của toán tử vi phân tuyến tính.

Chúng tôi đã nhắc lại các khái niệm hàm hầu tuần hoàn, hàm truy hồi và các hàm cùng nhau

truy hồi và chứng minh ba bổ đề mang tính chất kỹ thuật. Kết quả chính của chương là chỉ ra

rằng toán tử

L:C1(Rn) C(Rn)

có toán tử ngược bị chặn trong hai trường hợp sau :

(a) Hệ số ma trận hàm A(t) là truy hồi (hay hầu tuần hoàn) và tất cả các phương trình

giới hạn thuần nhất không có nghiệm khác không bị chặn trên R. (Định lý 2.1, 2.2)

(b) Toán tử L là giải chuẩn tắc và A là ma trận hàm truy hồi. (Định lý 2.4)

Ngoài ra với một vài giả thiết bổ sung, chúng tôi cũng xác định được tính chất nghiệm

của phương trình không thuần nhất Lx = f (Định lý 2.3)

Chương 3 nói về sự bảo toàn tính Fredholm của toán tử L phụ thuộc tham số bé dựa

trên hai khái niệm : ma trận hệ số hội tụ tích phân tại vô cực và định vị tại vô cực. Kết quả

chính của chương là chỉ ra với α > 0 đủ bé thì Lα

Fredholm trong hai trường hợp sau đây :

(a) Ma trận hàm A(t,α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α⟶0. (Định lý 3.1) (b) Ma trận hàm A(t,α) định vị tại vô cực khi α⟶0 và với mỗi dãy { ̃ },

- hội tụ đến ma trận B không có giá trị riêng thuần ảo. (Định lý 3.2)

̃ với αk⟶ 0 tồn tại dãy con , ̃ Trong chương còn có hai hệ quả, có thể xem như phần ứng dụng, khá thú vị suy ra từ các kết

quả chính trên. (Hệ quả 3.1,3.2)

Phương pháp chứng minh trong hai chương 2 và 3 dựa trên phương pháp của

Mukhamadiev[4] mà cơ sở là sử dụng toán tử giới hạn tại vô cực xuất phát từ toán tử L ban

đầu

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

I Phổ của toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.1. Cho không gian Banach phức E và toán tử tuyến tính liên tục

L : E - > E

Số phức λ, gọi là giá trị chính qui của toán tử L nếu toán tử

L - λ I

có toán tử ngược liên tục, xác định trên toàn bộ E.

Một số phức không phải là giá trị chính qui của L gọi là giá trị phổ của L. Tập

hợp tất cả các giá trị phổ của L gọi là phổ của L, đó là phần bù (L) trong P của các

giá trị chính qui của L.

Đinh nghĩa 1.2. Các toán tử tuyến tính L1, L2 gọi là đồng dạng

nếu tồn tại một toán tử tuyến tính U liên tục và khả nghịch liên tục sao cho

Mệnh đề 1.1. Các toán tử đồng dạng có cùng phổ.

II Cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính

L là toán tử vi phân tuyến tính từ C1Rn) vào C ( R n ) định bởi :

Xét phương trình thuần nhất:

Bổ đề 1.1, Với số thực α, toán tử Lα định bởi

đồng dạng với toán tử L trong C( Pn ).

1

CHỨNG MINH Xây dựng toán tử Uα trong C(Pn) như sau :

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Thì Uα là toán tử tuyến tính, liên tục, khả nghịch liên tục. Với y C(Pn)

Vậy L và Lα đồng dạng, do đó chúng có cùng phổ.

Bổ đề được chứng minh. □

Đinh lý 1.1. Phổ của toán tử L gồm các đường thẳng song song với trục ảo trong mặt phẳng

CHỨNG MINH

phức.

Giả sử L có giá trị phổ α + iβ trong P. Ta chứng minh rằng α + iβ/ cũng là giá trị

phổ của L

Theo bể đề 1.1 , α + iβ cũng là giá trị phổ của Lβ

nên Lp - (a + ip)l không có toán tử ngược liên tục. Mặt khác

do đó Lβ/ - ( α + iβ/ ) I không có toán tử ngược liên tục suy ra α + iβ/ là giá trị phổ của Lβ/ Theo bổ đề 1.1, α + iβ/ cũng là giá trị phổ của L.

Vậy phổ của toán tử L gồm các đường thẳng song song với trục ảo trong mặt phẳng phức.

2

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Định lý được chứng minh.

III. Ứng dụng.

Phần này trình bày một điều kiện cần và đủ về phổ của toán tử vi phân tuyến tính để

phương trình thuần nhất (1) hầu khả qui về phương trình thuần nhất có hệ số hằng.

Đinh nghĩa 1,3, Phép biến đổi tuyến tính

x(t) = U(t)y(t) gọi là phép biến đổi Liapunov nếu U(t) là hàm ma trận khả nghịch thỏa U C1(Mn) và U-1 C ( M n ) .

Đinh nghĩa 1.4. Cho hai phương trình thuần nhất:

Phương trình (1) gọi là khả qui về phương trình (2) nếu (1) có thể đưa về (2) bằng một phép

biến đổi Liapunov

Khi đó x(t) = U(t)y(t).

Gọi L và L 1 là các toán tử từ C 1 ( R n ) vào C( R n ) tương ứng với các phương trình

(1) và (2), định bởi :

Mệnh đề 1.2. Hai toán tử L và L 1 đồng dạng với nhau.

Do đó, theo bổ đề 1.1, chúng có cùng phổ.

Định nghĩa 1.5, Cho hai phương trình thuần nhất :

(1)

(2)

Phương trình (1) gọi là hầu khả qui về phương trình (2) nếu với mỗi > 0, tồn t ạ i phép biến

đổi Liapunov

x(t) = U (t)y(t)

3

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

chuyển (1) về phương trình sau

(3)

trong đó

Gọi L, L1, L là các toán tử từ C 1 ( R n ) vào C ( R n ) tương ứng với các phương trình

(1), (2), (3) định bởi :

D là toán tử từ C 1 ( R n ) vào C( R n ) định bởi :

Ta có

Với ɛ > 0 cố định thì phương trình (1) khả qui về phương trình (3)

Theo định nghĩa 1.4

Theo mệnh đề 2.1, L1 + Dɛ và L có cùng phổ.

Bổ để 1.2. Phổ toán tử L là tập con của phổ toán tử L1 .

CHỨNG MINH

Do mệnh đề 1.2, hai toán tử L và Lɛ đồng dạng, do đó chúng có cùng phổ. Nếu là

một lân cận bất kỳ của phổ (L1)(lân cận này gồm các đường thẳng song song với trục ảo).

Khi đó với khá bé, ta có (L1 +Dɛ) , cho nên (L) . Từ bao hàm thức cuối suy ra

(L) (L1) .

Bổ đề được chứng minh. □

4

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Đinh lý 1.2. Phương trình (1) hầu khả qui về phương trình (2) với hệ số hằng khi và chỉ khi

CHỨNG MINH

phổ của toán tử L gồm hữu hạn các đường thẳng song song với trục ảo.

Điều kiên cần.

Giả sử phương trình (1) hầu khả qui về phương trình (2) với hệ số là ma trận hằng A 1

Gọi λk, k = là các giá trị riêng của ma trận A1.

Theo định lý Bohl, phổ của L 1 trùng với tập các đường thẳng

Reλk (k = )

Do đó, theo bổ đề 1.2, phổ của toán tử L gồm một số hữu hạn các đường thẳng song song với

trục ảo.

Điều kiên đủ.

Giả sử phổ của L gồm một số hữu hạn các đường thẳng song song với trục ảo

α k , k =

trong đó α1 α2 αr

Ta chứng minh rằng phương trình (1) hầu khả qui về một phương trình có hệ số là ma

trận hằng.

Chon > 0 sao cho

Với mỗi k =

Với mỗi k =

Vậy αk+ , αk- k = là các giá trị chính qui của L.

Do đó các toán tử

trong C(Rn) có toán tử ngược bị chặn.

5

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Theo định lý về lưỡng phân mũ (Demidovich [1] ), không gian nghi ệmX của

(1) là không gian n chi ều được phân tích thành t ổngtrực tiếp

với X k, k= là không gian con có s ố chiều là

sao cho với nghiệm x X k thỏa mãn ước lượng

(5)

Từ (5) suy ra (Demidovich [1]) t ồn tại α 0 > 0 sao cho

(6)

Trong đó x , y , x , y , k 1 k 2 Giả sử { +1, + 2,…. } là cơ sở trong không gian Xk+1 (k = 0,1,…r-1, n0 = 0, nr = n ). Khi đó

X(t) = [X1(t), X2(t),…Xr(t)]

= [ x1(t), x2(t),…, (t),…, xn(t)] là ma trận cơ bản của phương trình (1)

Gọi G[X(t)] và G[X k + 1(t)], k = 0, 1, ... , r-1 là những định thức Grama của

hệ các vectơ

Khi đó từ (6) suy ra ước lượng

(7)

Từ (7) suy ra (Krasnocelski [2]) t ồn tại phép biến đổi Liapunov

x = Q(t)y

chuyển (1) về phương trình ̇ + B(t)y = 0

với B(t) = diag[B 1(t) ,B 2(t),...,Br(t)]

trong đó B k(t) là h à m ma trận tam giác cấp n k- n k - 1 , k =

Ngoài ra bất kỳ nghiệm khác không y k ( t ) của phương trình

6

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

(8) dựa vào (5) thỏa mãn ước lượng (9)

Gọi Uk(t,s) là ma trận Cauchy của phương trình (8) (Uk(s,s)= Ik ) yk(t)=Uk(t,s)y k(s) vớit > s Từ (9) suy ra các ước lượng sau đối với ma trận Cauchy Uk(t,s) (Uk (s,s)= I k ) của phương trình (8)

Ma trận Uk(t,s) có dạng Uk(t,s) = Vì hệ phương trình (8) có dạng tam giác, nên các phần tử uij (t,s) của Uk(t,s) được xác định bởi công thức với bij(t)là các phần tử của ma trận Bk(t) và bij(t) = 0 khi i > j Do

(10)

từ bất đẳng thức (10) suy ra ước lượng sau

Kết hợp hai bất đẳng thức cuối, ta có với t s

7

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Từ ( 11) với ɛ’ 0 tùy ý, ta chọn

và dựa vào kết quả trên suy ra các phần tử trên đường chéo bjj(t) của ma trận Bk(t) là khả

tích gần đến số αk (Zabreiko,Krasnocelski, Strưgin [3]), do đó tất cả các hệ (8) là hầu khả qui

đến hệ phương trình với hệ số hằng. Vậy phương trình (1) h ầ u khả qui đến phương trình với

hệ số hằng.

Định lý được chứng minh. □

8

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN

TUYẾN TÍNH

Chương này trình bày một điều kiện đủ để phương trình không thuần nhất

hay

có nghiệm duy nhất trong C1(Rn), với A C*(Mn) là hàm hầu tuần hoàn hay truy hồi.

Nói cách khác là trình bày một điều kiện tồn tại toán tử ngược của toán tử L tương ứng từ C1(Rn) vào C( Rn) định bởi

Trong trường hợp đó (Mukhamadiev [4]) sẽ tồn tại các tập :

theo thứ tự là tập hợp các ma trận hàm giới hạn (theo nghĩa hội tụ đều trên từng khoảng hữu

hạn của R) của tất cả các dãy ma trận hàm dạng {A(t + hk)}.

Đặt H(A) = H+(A) H_(A) thì

Cùng với (1) và L, xét các phương trình giới hạn thuần nhất

Hay

với ̃ là toán tử tương ứng từ C1( Rn) vào C( Rn) định bởi

̃ gọi là toán tử giới hạn tại vô cực xuất phát từ toán tử L

Favard [5] đã khảo sát tính chất của nghiệm phương trình không thuần nhất với định lý sau

đây:

9

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Định lý Favard [5]. Giả sử

(i) Ma trận hàm A(t) hầu tuần hoàn,

(ii) Tất cả các phương trình (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên

R.

(iii) Phương trình không thuần nhất

(3) ̇ +A(t)x = f

có nghiệm x khác không bị chặn trên R với mỗi hàm f hầu tuần hoàn. Khi đó x sẽ hầu

tuần hoàn.

Định lý Favard được nhiều tác giả mở rộng theo nhiều hướng khác nhau, song

Mukhamadiev.E đã phát hiện giả thiết "tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình (3)" là thừa.

Việc tiếp tục mở rộng lý thuyết Favard - Mukhamadiev đã đạt được những kết quả lý

thú trong các công trình của Shubin M.A [8], Kurbatov V.G [9], Sljusartruc V.E [10], Trần

Hữu Bổng [11] và các tác giả khác.

Ở đây ta xét các kết quả của Mukhamadiev đối với toán tử (1).

I Hàm liên tục đều bị chặn.

Mệnh đề 2.1. Nếu f C*(Rn) thì tồn tại các tập :

H+(f) và H_(f)

theo thứ tự là tập hợp các hàm giới hạn (theo nghĩa hội tụ đều trên từng khoảng hữu hạn của

R) của tất cả các dãy hàm dạng {f(t + hk)}

Mệnh đề 2.2. Nếu g H(f) thì H(g) H(f).

II Hàm đầu tuần hoàn

10

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Định nghĩa 2.1. Hàm f C(Rn) gọi là hầu tuần hoàn ( theo nghĩa Bochner ) nếu từ mọi dãy

{f(t + hk)}, hk R

có thể chọn ra một dãy con hội tụ đều trên R. Nói cách khác, hàm f là hầu tuần hoàn nếu họ

các hàm

{f(t + h)/t,h R}

là tập compac trong C(Rn) theo nghĩa hội tụ đều.

Định nghĩa 2.2. Hàm ma trận F(t) = (fij(t))n C ( M n ) gọi là hầu tuần hoàn nếu các phần tử

fij, i,j =

đều hầu tuần hoàn. Mệnh đề 2.3. Mọi hàm hầu tuần hoàn đều thuộc C*(Rn).

III Hàm truy đồi

Định nghĩa 2.3. (Millionshikov [7]

Hàm f C*(Rn) gọi là truy hồi nếu :

• f H(f)

• Với mọi ̃ H(f), ta có H(f) = H( ̃)

Định nghĩa 2,4. Hàm ma trận A C*(Mn) gọi là truy hồi nếu :

• A H(A)

• Với mọi à H(A), ta có H( ̃) = H(A)

Mệnh đề 2.4. Mọi hàm hầu tuần hoàn đều là hàm truy hồi.

Mệnh đề 2.5. Giả sử f C*(Rn) là hàm truy hồi. Khi đó các hàm ̃ H(f)cũng truy hồi.

Chú ý rằng tính truy hồi của các hàm vectơ nói chung không suy ra được từ tính truy

hồi của các thành phần của nó.

Định nghĩa 2.5. Cho một họ hữu hạn các hàm

11

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Các h à m n à y gọi là cùng nhau truy hồi nếu h à m vectơ

truy hồi.

IV Các bổ đề

Xét toán tử L với A C (Mn) và dãy các toán tử vi phân dạng

(4)

Bổ đề 2.1. Giả sử các toán tử Lk có các toán tử ngược bị chặn

và

⟶ ‖ k(t) – A ‖ = 0

thỏa điều kiện

đều trên từng khoảng hữu hạn.

Khi đó với mọi f C(Rn), phương trình

Lx = f có ít nhất một nghiệm X f C1(Rn). CHỨNG MINH

Cho f C(Rn). Theo giả thiết, phương trình

Có nghiệm

Với mọi t R, mọi k N

Vậy dãy hàm {xk} bị chặn đều.

Vì xk thỏa đẳng thức

12

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

nên xk cũng thỏa đẳng thức

Với mọi t, s R, mọi k N

Vậy dãy hàm {xk } liên tục đồng đều.

Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {xk} là tập compac tương đối theo tôpô hội tụ đều trên từng khoảng hữu hạn, nên dãy đó chứa một dãy con hội tụ đến hàm x0 trên C(Rn). Không

giảm tính tổng quát có thể giả sử dãy con đó chính là dãy hàm {xk}.

Với t R

nên dãy hàm {xk(t)} hội tụ đến hàm x0(t) đều trên R và do đó đều trên từng khoảng hữu hạn.

Mặt khác

13

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

suy ra dãy hàm {Ak(t)xk} hội tụ đến hàm A(t)x0 đều trên từng khoảng hữu hạn.

Với mỗi t R, tồn tại một khoảng hữu hạn [-a,a] chứa đoạn [0,t], do đó lấy giới

hạn hai vế đẳng thức

khi k⟶ , ta được

Hàm x0 có đạo hàm

liên tục trên R do f, A, X đều liên tục và

nên ̇ C(Rn) do đó x0 C1(Rn).

Vậy x0 là nghiệm bị chặn trên R của phương trình Lx = f.

Bổ đề được chứng minh. □

Bổ đề 2.2. Giả sử :

(i) Phương trình thuần nhất (7)

và tất cả các phương trình giới hạn

đều không có nghiệm khác không bị chặn trên R.

(ii) Tồn tại một dãy các ma trận hàm {Ak} trong C(Mn), mỗi

Ak tuần hoàn với chu kỳ k thỏa

và một dãy số {Tk} thỏa

sao cho

(9)

14

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Khi đó tồn tại số k0 > 0 sao cho với mọi k k0, các toán tử

có toán tử ngược bị chặn và

CHỨNG MINH

Ta chứng minh

Thật vậy, với mọi t R, mỗi k N

nhưng Ak, tuần hoàn với chu kỳ k, nên

Từ (9) suy ra

do đó

Theo Demidovich [ 1 ] và Krasnocelski [2], để toán tử Lk với hệ số tuần hoàn Ak có toán tử

ngược thì điều kiện cần và đủ là các phương trình thuần nhất

không có nghiệm khác không bị chặn trên R.

Ta chứng minh rằng tồn tại số k0 > 0 sao cho với mọi k k0, các phương trình thuần

nhất

không có nghiệm khác không bị chặn trên R bằng phản chứng.

Giả sử với mỗi i, tồn tại ki i sao cho phương trình

15

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

có nghiệm xi khác không bị chặn trên R.

1=1. Vậy ta có thể giả sử

Do tính tuyến tính của , nếu x i là nghiệm khác không của phương trình

‖ cũng là nghiệm khác không, hơn nữa ||y i|| C

y i =

rằng tồn tại dãy hàm {x i} trong C 1(R n) và dãy số {k i}, k i i sao cho với

1=1

mọi i

||x i|| C

1=1 suy ra tồn tại 0 > 0 sao cho

(10)

Từ (10) và ||y i|| C

1 0 0 với mọi i

||xi||C

Thật vậy

với mọi i

Do và xi liên tục nên tồn tại

Nếu thì t i G R sao cho

tồn tại số nguyên m i thỏa

Khi đó, xét dãy hàm {y i} với y i(t) = x i (t + m i ) với mọi i và Đặt i = t i - m i thì

16

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Do ma trận hàm Akj (t) tuần hoàn với chu kỳ . Nên Mặt khác

Vì vậy không giảm tính tổng quát có thể coi rằng tồn tại

sao cho

Bây giờ xét dãy hàm {yi} xác định bởi

thì với mọi i

đồng thời dãy hàm {yi} bị chặn đều và liên tục đồng đều.

Thật vậy, với mọi i N, mọi t R

Vậy dãy hàm {yi} bị chặn đều.

Vì xi thỏa đẳng thức (10)

17

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Với mọi i N, mọi t, s R

Vậy dãy hàm {yi} liên tục đồng đều.

Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {yi} là tập compac tương đối nên chứa một dãy con hội tụ đến hàm y0 trên C(Rn); ta có thể giả sử rằng dãy con đó chính là dãy hàm {yi}. Do đó dãy

{yi (t)} hội tụ đến y0(t) đều trên R, nên cũng đều trên từng khoảng hữu hạn. Bây giờ xét dãy { i} ●Nếu dãy { i} bị chặn thì dãy đó chứa một dãy con hội tụ, do đó không giảm tính

tổng quát có thể coi như dãy { i} hội tụ đến 0 khi đó dãy {A(t + i) hội tụ đến A(t +

k = + mà ki nên

k = =

= +

0) với mọi t R. Với mỗi t R , vì

+ chứa [0,t] và từ (9) suy ra do đó với 0, tồn tại số i0 sao cho *

khi i > i0 vì i * + suy ra dãy hàm { }

hội tụ đến hàm A( ) đều trên từng khoảng hữu hạn

Từ bất đẳng thức

18

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Suy ra dãy hàm { } hội tụ đến hàm A(t+ 0)y0(t) đều trên từng khoảng hữu hạn Hàm yi thỏa đẳng thức

Cho i ⟶ , ta được

Hàm y0 có đạo hàm

Liên tục và

do đó ̇ C ( R n ) v à y0 C1(Rn). Ngoài ra

19

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

A(t+ i) đều trên từng khoảng hữu hạn nên dãy hàm { } hội tụ đến ̃(t) đều trên từng khoảng hữu hạn. Suy ra dãy hàm { } hội tụ đến ̃(t)y0(t) đều trên từng khoảng hữu hạn. Xét đẳng thức

Cho i , ta được

Chứng minh tương tự như trên, y0 là nghiệm khác không bị chặn trên R của phương trình (8)

.

Mâu thuẫn với giả thiết (i) của bổ đề.

Vậy tồn tại số k0 > 0 sao cho với mọi k k0 các toán tử Lk có toán tử ngược

là toán tử bị chặn

Cố định k, với mọi x C1(Rn)

Vậy Lk là toán tử tuyến tính bị chặn nên

Do đó

Bổ đề được chứng minh. □

Bổ đề 2.3. Giả sử tồn tại dãy số { }

Sao cho

Đều trên từng khoảng hữu hạn của (- ]

Khi đó tồn tại các ma trận hàm {Ak}, mỗi Ak tuần hoàn với chu kỳ k và dãy số {Tk}

thỏa

20

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Sao cho

CHỨNG MINH

Vì nên có thể giả sử 0 với mọi k N với mỗi k cố định, chon

Tk như sau:

ta xác định được một dãy số {Tk} thỏa

cũng có thể giả sử rằng Tk [0, k] và + Tk k với mọi k

Do điều kiện (12) suy ra

(14)

Với mỗi k cố định, ta định nghĩa ma trận hàm Ak xác định trên R, tuần hoàn với chu

kỳ k như sau :

Rõ ràng Ak là hàm liên tục trên R.

Ta chứng minh rằng dãy {Ak} thỏa (13). Thật vậy, do tính tuần hoàn của Ak, ta có:

21

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

≤ ωk – Tk ≤ t + ωk ≤ ωk do đó

vì –Tk ≤ t ≤ 0 nên

Mặt khác

khi k thì t 0, do (12) và tính liên tục của A(t) suy ra

Do đó, ta có đẳng thức (13)

Bổ đề được chứng minh.

22

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

V Điều kiện tồn tại toán tử ngược.

Định lý 2.1. Giả sử :

(i) Hệ số ma trận hàm A(t) của toán tử L là hầu tuần hoàn.

(ii) Tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất

(2)

không có nghiệm bị chặn khác không trong C1Rn).

Khi đó với mỗi hàm fC(Rn), phương trình (6) có duy nhất nghiệm khác không bị chặn

trên R

Định lý 2.1 là trường hợp riêng của định lý 2.2, do đó ta không chứng minh.

Chú ý rằng trong Krasnocelski [2] đã chứng minh rằng : nếu với mỗi f hầu tuần hoàn,

phương trình (6) có ít nhất một nghiệm bị chặn trên R thì tất cả các phương trình thuần nhất

(2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R. Vậy điều kiện của định lý 2.1 là điều kiện cần và đủ để phương trình (6) giải được đơn trị, tức toán tử L từ C1Rn) vào C(Rn) có toán tử

ngược bị chặn nếu và chỉ nếu tất cả các phương trình (2) không có nghiệm khác không bị

chặn trên R.

Mở rộng định lý 1 là

Định lý 2.2. Giả sử :

(i) Hệ số ma trận hàm A(t) của toán tử L là truy hồi.

(ii) Tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất

(2)

không có nghiệm khác không bị chặn trên R.

Khi đó với mỗi hàm f  C(Rn), phương trình (6) có duy nhất nghiệm khác không bị

chặn trên R.

Nói cách khác, toán tử L từ C1Rn) vào C(Rn) có toán tử ngược bị chặn.

CHỨNG MINH

Giả sửAC(Mn)là truy hồi.

Khi đó A H(A) = H+(A) H_(A).

• Trường hợp AH+(A)

Tồn tại dãy { k} thỏa

23

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

sao cho

đều trên từng khoảng hữu hạn của R, cũng như của (- ,0].

nên dựa vào bổ đề 2.3, tồn tại dãy các ma trận hàm {Ak}, mỗi Ak tuần hoàn với chu kỳ k và

dãy số {Tk}thỏa

sao cho

Theo giả thiết (ii) và A H+(A) thì phương trình

không có nghiệm khác không bị chặn trên R nên theo bổ đề 2.2 tồn tại số k0 0 sao cho với

và

mọi k k0, các toán tử

các toán tử bị chặn

Dựa vào bổ đề 2.1 suy ra phương trình không thuần nhất

(15)

có ít nhất một nghiệm x1 khác không bị chặn trên R.

Tính chất duy nhất của nghiệm đó suy ra từ điều kiện A  H+(A). Thật vậy, giả sử x2

là một nghiệm bị chặn khác không của phương trình (15). Khi đó x1 - x2 hiển nhiên là một

nghiệm bị chặn của phương trình

nhưng theo trên, phương trình này không có nghiệm bị chặn khác không do đó x1-x2=0 hay x1 = x2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khác không bị chặn trên R. Nói cách khác, toán tử L có toán tử ngược L-1 . Vì L là toán tử bị chặn nên L-1 bị chặn.

24

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

● Trường hợp A  H_(A) Tồn tại dãy {hk} thỏa

sao cho

đều trên từng khoảng hữu hạn của R.

Xét hàm ma trận A'(t) và dãy { k } định bởi

A’(t) = A(-t) với mọi t  R

k = - hk

với mọi k thì A'C*(Mn) và = = +

Ta chứng minh A'H + (A') . Thật vậy

A’(t) = A(-t)= =

đều trên từng khoảng hữu hạn.

Ta chứng minh rằng nếu A gH(A) thì tồn tại A f e H (A f) sao

cho ̃(t) = ̃'(-t), t  R và ngược lại.

Thật vậy, vì ̃ H(A) nên tồn tại dãy {pk} thỏa

Sao cho

Đều trên từng khoảng hữu hạn.

Xét dãy {qk} định bởi qk = -Pk với mọi k thì

với một ̃'H(A’) nào đó.

Phần ngược lại được chứng minh tương tự.

Do giả thiết (ii), với ̃  H(A’) thì phương trình

với ̃  H(A) nào đó không

có nghiệm khác không bị chặn trên R.

Bây giờ xét phương trình

(6)

25

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Đ ặ t f ' ( t ) = f ( - t ) , t  R thì f '  C ( R n )

Dùng kết quả của trường hợp trên, phương trình

̇ (t) + A’(t)x(t)=f’(t)

có nghiệm x'0 duy nhất khác không bị chặn trên R.

Đặt x0(t) = x'0(-t), ta được

Vậy x0 là nghiệm duy nhất khác không bị chặn trên R của (6).

Định lý được chứng minh. □

Đinh lý 2.3. (về tính chất nghiệm của phương trình Lx = f)

Giả sử:

(i) Hệ số ma trận hàm A(t) của toán tử L là truy hồi.

(ii) Tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất

không có nghiệm khác không bị chặn trên R.

(iii) Ma trận hàm A(t), hàm f  C(Rn) cùng nhau truy hồi. Khi đó nghiệm x của

phương trình

Lx = f

cũng truy hồi. Hơn thế nữa, các hàm vectơ x , f và ma trận hàm A(t) cùng nhau truy hồi.

CHỨNG MINH

Với giả thiết (i), (ii), theo định lý 2.2, phương trình

Lx = f

có nghiệm duy nhất x trong C1Rn).

• Ta chứng minh x H(x).

Do giả thiết (iii), vì (A, f)  H(A, f) nên tồn tại dãy {hk} thỏa

sao cho

(16)

26

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

đều trên từng khoảng hữu hạn.

Hàm xk(t) = x(t + h k ) thỏa đẳng thức

(17)

Với mọi k

Dãy hàm {xk} bị chặn đều và liên tục đồng đều trong C1Rn). Thật vậy, với mọi

k N, mọi tR

vậy dãy hàm {xk} bị chặn đều.

Đẳng thức (17) tương đương với đẳng thức

Với mọi k  N, mọi t, s  R

vậy dãy hàm{xk} liên tục đồng đều.

Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {xk} là tập compac tương đối nên chứa một dãy con hội tụ về hàm xk trong C(Rn); không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng dãy con đó

chính là dãy hàm {xk} . Do đó dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) đều trên R nên cũng đều trên từng

khoảng hữu hạn.

Chuyển qua giới hạn hai vế của đẳng thức

27

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

và do (16), ta được

suy ra x0 là nghiệm khác không bị chặn của phương trình (15). Vì nghiệm bị chặn của (15)

là duy nhất nên

x0(t) = x(t)

tức

• Giả sử ̃ H(x), ta chứng minh H( ̃) = H(x).

Theo mệnh đề 2.2, vì ̃ H(x) nên H( ̃) H(x) .

Ta chứng minh x  H( ̃).

Vì ̃ H (x ) nên tồn tại dãy {qk} thỏa

sao cho

đều trên từng khoảng hữu hạn. Vì A và f cùng nhau truy hồi nên từ dãy {qk} có thể chọn ra

một dãy con { } sao cho

đều trên từng khoảng hữu hạn. Ta có thể giả sử rằng chính dãy {qk} cũng thỏa tính chất trên,

tức các giới hạn

là đều trên từng khoảng hữu hạn.

Hàm x(t) thỏa đẳng thức

nên

28

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Cho k , ta được hàm ̃(t) là nghiệm của phương trình

với một cặp ( ̃, ̃) H(A,f).

Vì A và f cùng nhau truy hồi, nên

do đó tồn tại dãy { k} thỏa

sao cho

đều trên từng khoảng hữu hạn. Hàm ̃(t + k) thỏa mãn phương trình

nên chứng minh tương tự như trên, hàm giới hạn x0 của dãy hàm { ̃ (t - k )} là nghiệm của

phương trình (15)

Do tính chất duy nhất của nghiệm bị chặn, ta có

nên x  H( ̃), suy ra H(x) H( ̃) Vậy ta đã chứng minh nghiệm của phương trình (15) truy hồi.

• Ta chứng minh x, f, A cùng nhau truy hồi.

Trước hết chứng minh (x, f, A)  H(x, f, A).

Theo chứng minh trên, tồn tại dãy{hk} thỏa

sao cho

ta đã suy ra

Vậy (x, f, A)  H(x, f, A).

Bây giờ, với mọi ( ̃, ̃, ̃)  (x,f,A), ta chứng minh

H( ̃, ̃, ̃)) = H(x,f,A)

29

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

không có nghiệm khác không bị chặn trên R.

Theo phần đầu của định lý, phương trình

* Theo mệnh đề 2.5, vì A truy hồi nên mọi ̃ H ( A ) cũng truy hồi. Vì A, f cùng nhau truy hồi nên mọi ( ̃ , ̃ ) H(A,f) cũng cùng nhau truy hồi. Ngoài ra do giả thiết (iii), với ̃̃  H ( ̃ ) = H(A), tất cả các phương trình giới hạn

có nghiệm duy nhất ̃ khác không bị chặn, ̃ truy hồi và ỹ  H ( x ) .

Ta chứng minh ỹ  H(x). Vì A và f cùng nhau truy hồi, nên

H( ̃ ̃ ) = H(A,f) do đó tồn tại dãy {qk} thỏa

đều trên từng khoảng hữu hạn. Hàm x là nghiệm của phương trình (15) suy

ra x(t + q^) thỏa đẳng thức

nên chứng minh tương tự như trên, hàm giới hạn x0 của dãy hàm { x(t+qk )là

nghiệm của phương trình

Do tính chất duy nhất nghiệm của phương trình này, ta được

sao cho

Vậy ỹ H(x). Ta chứng minh (x,f,A) H( ̃, ̃, ̃).

Vì ( ̃, ̃, ̃) H(x,f,A) nên ̃ H(x). Tương tự như trên, tồn tại một cặp ( ̃ ̃ , ) H(A,f)

sao cho ̃ thỏa đẳng thức

Do ̃ ̃ , cùng nhau truy hồi nên

do đó tồn tại các dãy {pk},{qk} thỏa

30

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

sao cho

đều trên từng khoảng hữu hạn.

Có thể giả sử rằng

Dãy hàm {x^ + Pk)} thỏa

Tương tự như trên, hàm giới hạn x0 của dãy hàm {x(t + Pk)} thỏa

Phương trình này có nghiệm duy nhất là x nên

đều trên từng khoảng hữu hạn. Suy ra

đều trên từng khoảng hữu hạn.

Chú ý rằng

nên với các trường hợp còn lại của giới hạn hai dãy {pk},{qk},chứng minh được thực hiện

tương tự. suy ra (x,f,A)  H( ̃, ̃, ̃), do đó H(x,f,A) H( ̃, ̃, ̃)

Vậy H(x,f,A) = H( ̃, ̃, ̃)

Kết luận x, f, A cùng nhau truy hồi.

Định lý được chứng minh. □

Định lý2.4. Giả sử :

(i) Toán tử L lừ C1( Rn) vào C(Rn) là giải chuẩn tắc.

(ii) A là ma trận hàm truy hồi.

Khi đó L có toán tử ngược bị chặn L-1 từ C(Rn ) đến C1Rn).

31

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

CHỨNG MINH

Toán tử L là giải chuẩn tắc nếu

(Krein[6]) L(C1(Rn)) =

Theo Mukhamadiev [4], L là giải chuẩn tắc khi và chỉ khi tất cả các phương trình (2)

không có nghiệm khác không bị chặn trên R. Áp dụng định lý 2.2, toán tử L có toán tử ngược bị chặn L-1 từ C(Rn)đếnC1(Rn).

Định lý được chứng minh.

32

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 3 VỀ SỰ BẢO TOÀN TÍNH FREDHOLM CỦA TOÁN TỬ VI

PHÂN TUYẾN TÍNH

I Định nghĩa và kết quả.

Đinh nghĩa 3.1. (Krein [6])

Toán tử L từ C1( R n ) vào C( R n ) gọi là Predholm nếu :

• miền giá trị của L là đóng ie LC1Rn) =

• dim KerL <

• dim CokerL < và với mỗi a cố định thuộc (0,aj), ma trận hàm A(t, a)= Aa(t) liên tục đều theo t

Mệnh đề 3.1. (Mukhamadiev [4])

Toán tử L từ C1Rn) vào C ( R n ) có dạng

là Fredholm khi và chỉ khi tất cả các phương trình giới hạn

không có nghiệm khác không bị chặn liên R

Xét họ các toán tử L từ C1(Rn) vào C(Rn) định bởi

(1)

trong đó ma trận hàm A(t, a) thỏa mãn điều kiện

và với mỗi α cố định thuộc (0, α1), ma trận hàm A(t, α)= A α (t) liên tục đều theo t trên R. Do đó A(. , α)  C*(Mn). Xét toán tử L0 từ C1(Rn) vào C( R n ) định bởi

(2)

với A0(t)= A(t,0)  C*(Mn).

Giả sử L0 Predholm. Vấn đề đặt ra là với điều kiện nào thì toán tử Lα cũng

Fredholm với α khá bé.

33

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Ở đây, ta xét hai lớp hàm số của A(t,α). Do giả thiết đối với A α ( t ) = A ( t , α ) thì tồn t ạ i

t ậ p H ( A α ) .

II Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa hội tụ tích phân tại vô cực.

Định nghĩa 3.2. Ma trận hàm A(t,α) gọi là hội tụ tích phân tại vô cực đến hàm A0(t)

khi α⟶ 0 nếu với mọi > 0, tồn tại = ( ) > 0 sao cho với mọi α (0, ), bất đẳng thức

sau được thỏa

Định lý 3.1. Giả sử A(t, α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α ⟶ 0. Khi đó tồn tại α0

(0, α1) sao cho với mọi α (0, α0) toán tử Lα Fredholm.

CHỨNG MINH

Vì LoFredholm nên tất cả các phương trình thuần nhất

(3)

không có nghiệm khác không bị chặn trên R

Để chứng minh định lý, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại α 0(0,α1) sao cho với mọi α

(0,α0), tất cả các phương trình thuần nhất

(4)

α1. Giả sử với mỗi k k0, tồn tại αk ( ) và ̃ (., αk )  H không có nghiệm khác không trong C1(Rn)bằng phản chứng. Tồn tại số k0 > 0 thỏa 0 <

( ) sao cho phương trình

có nghiệm xk khác không bị chặn trên R.

1 = 1

cũng là nghiệm Nếu xk là nghiệm khác không của phương trình trên thì

khác không || yk ||C

34

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Vậy ta có thể giả sử rằng tồn tại các dãy số {αk}, dãy hàm {xk} trong C1(Rn), dãy ma

trận hàm {Ã(.,αk)/Ã(.,αk)H(Aαk)} thỏa

(5)

Đối với mỗi Ã(.,(αk) H(Aαk ) , tồn tại dãy {hkj} thỏa

(6)

đều trên từng khoảng hữu hạn. Với mọi k N, mọi t R

Sao cho

Cho j⟶ , ta được

Vậy dãy hàm {Ã(., αk)} bị chặn đều. Từ (5) và tương tự như chứng minh của bổ đề 2.2,

chương 2, suy ra tồn tại > 0 sao cho

Vì xk liên tục và nên tồn tại t0 R sao cho

nếu t 0 ta xét hàm

khi đó

35

và mặt khác

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

nên yk là nghiệm của phương trình (5).

Vậy không giảm tính tổng quát, có thể giả sử rằng

Vì A(t,α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α⟶0 nên với ⟶0, tồn tại =

( ) > 0 sao cho với mọi α (0, ) ta có

Vì

} thỏa

nên với > 0, tồn tại k0 > 0 sao cho αk khi k > k0, ta có thể giả sử rằng 0 < αk < với

mọi k. Suy ra tồn tại dãy {

sao cho với mọi k

(7)

Do | | nên với mỗi k , chọn j(k) sao cho

do (6), tồn tại k0 > 0 sao cho khi k > k0, ta có

36

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

ta có

(8)

từ (7), với

Nên với mọi k

(9)

Không giảm tính tổng quát, có thể coi rằng tồn tại ̃  E H (A0) thỏa

(10)

Khi k > k0. Kết hợp ba bất đẳng thức (8), (9), (10) ta có

37

-1

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Như vậy với <

suy ra

đều trên từng khoảng hữu hạn. Do đó, với mỗi t cố định, chia đoạn [0,t] thành một số hữu hạn các đoạn nhỏ có chiều dài không quá 1 và áp dụng kết quả trên, ta có

(11)

Ta chứng minh dãy {xk} hội tụ trong C(Rn). Với mọi k  N, mọi t  R Vậy dãy hàm {xk} bị chặn đều. Vì xk thỏa đẳng thức (5) nên xk cũng thỏa đẳng thức

Do đó với mọi kN, mọi t,s  R

38

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

vậy dãy hàm {xk} liên lục đồng đều.

Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {xk} là tập compac tương đối nên chứa một dãy con

hội tụ đến hàm x0 trong C(Rn). Không giảm tính tổng quát, ta có thể coi rằng dãy con đó

chính là dãy hàm {xk}. Với t  R, vì

nên dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) đều trên R, do đó đều trên từng khoảng hữu hạn. Vì

đều trên từng khoảng hữu hạn. Nên dãy ,∫ ̃ - hội tụ về ∫

Cũng từ (5) ta có

(12)

lấy giới hạn hai vế của (12) khi k ⟶ ta được

Tương tự như chứng minh của bổ đề 2.2, chương 2, x0 là nghiệm khác không bị chặn

trong C1Rn) của phương trình

Mâu thuẫn với giả thiết L0 Fredholm.

Định lý được chứng minh. □

39

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

ỨNG DỤNG. Xét toán tử Lα từ C1Rn) vào C(Rn) định bởi

(13)

với α > 0 và A  C*(Mn).

Định nghĩa 3.3. Ma trận A  C*(Mn) gọi là trung bình hóa tại vô cực nếu tồn tại hai ma trận

A+ và A_ sao cho

(14)

Nhờ khái niệm này và dựa vào định lý 1, ta có thể suy ra được một tiên chuẩn hết sức hiệu

nghiệm cho tính Fredholm của các toán tử (13) với α khá bé.

Hệ quả 3.1. Giả sử

(i) Ma trận A(t) trung bình hóa tại vô cực;

(ii) Phần thực của các giá trị riêng của ma trận A+ và A_ khác không.

Khi đó với α > 0 khá bé, toán tử (13) Fredholm.

CHỨNG MINH

Cùng với toán tử (13), xét toán tử

Đặt

Khi đó Uα là toán tử tuyến tính liên tục và khả nghịch liên tục. Ngoài ra

nên

40

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Cho nên toán tử (13) Ficdholm nếu và chỉ nếu toán tử (15) Fredholm (Krein [6])

Xác định ma trận hàm

(16)

Ta chứng minh A α , A 0 C* (Mn ), thật vậy Ma trận hàm A(t,α)  C*(Mn) vì A(t)  C*(Mn). Ngoài ra

Nếu t, s 1 hoặc t, s 0 thì A0(t) liên tục đều.

Nếu 0 t, s 1 thì

và s < 0 thì A0(s) = A0(0),còn s > 1 thì A0(s) = A0(l) nên A0(t)e C*(Mn)

Ta chứng minh rằng ma trận hàm Aa(t) hội tụ tích phân tại vô cực đến ma trận hàm A0(t)

khi a ⟶ 0 nghĩa là với mọi > 0, tồn tại 0 = 0 ( ) > 0 sao cho với mọi α  (0, 0) ta có

41

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Xét trường hợp h → +

suy ra

(17)

Tồn tại h0 > 0 sao cho

+ h với mọi  [ 0,1]

khi h > h0. Khi đó

=

(18)

Do α 0 và 1 nên α

Từ giả thiết (14) suy ra tồn tại T0> 0 sao cho

42

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

[ 0,1], nên có thể giả sử khi h > h0

do đó

(19)

Từ (17), (19) với α  (0, 0), t a c ó

suy ra

Trường hợp h⟶ , chứng minh tương tự.

Vậy ma trận hàm Aα(t) hội tụ tích phân tại vô cực đến hàm A0(t) khi α⟶ 0 .

Ta chứng minh toán tử K0 định bởi

43

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Fredholm nghĩa là chứng minh các phương trình thuần nhất

không có nghiệm khác không bị chặn trên R, bằng phản chứng. Giả sử tồn tại ̃ H(A0) và x0 khác không bị chặn trên R thỏa

Vì ̃ H(A0) nên tồn tại dãy {hk} thỏa

sao cho

đều trên từng khoảng hữu hạn.

Cố định t R và xét trường hợp = +

Tồn tại k0 > 0 sao cho t + hk 1 khi k > k0. Khi đó

và xo là nghiệm khác không bị chặn của phương trình

Vì phần thực của các giá trị riêng của A+ khác không nên mọi nghiệm khác không của

phương trình trên không bị chặn. Mâu thuẫn.

Chứng minh tương tự cho trường hợp = -

Vậy toán tử K0 Fredholm.

Hệ quả được chứng minh. □

III Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa đinh vị tại vô cực

Định nghĩa 3,4, Ma trận hàm A(t,α) gọi là định vị tại vô cực khi 0 nếu với mọi >

0, tồn tại = ( ) > 0 sao cho với mọi  (0, ) bất đẳng thức sau được thỏa mãn

(20)

Định lý 3.2. Giả sử

44

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

(i) Ma trận h à m A(t,α) định vị t ạ i vỗ cực k h i α⟶0

(ii) Đối với mỗi dãy { ̃ } ( ̃ ( ̃ )) t h ỏ a

= 0

} hội tụ đến ma trận B và các giá trị riêng của ma trận B không nằm

tồn tại dãy con { ̃ trên trục ảo.

Khi đó tồn tại α0 (0,α1) sao cho với mọi α (0,(α0), toán tử Lα Fredholm.

CHỨNG MINH

Ta chứng minh rằng tồn tại α0 (0,α1) sao cho với mọi α (0,(α0), tất cả các phương

trình giới hạn thuần nhất dạng

không có nghiệm khác không bị chặn trên R bằng phản chứng.

Tương tự như chứng minh của định lý 3.1, ta được các kết quả:

•Tồn tại dãy số {αk}, dãy ma trận hàm { ̃ }, ̃ H( )

và dãy hàm {xk} trong C1Rn) thỏa

(21)

• Với mọi H( )

• Tồn tại số 0 > 0 sao cho

• Không giảm tính tổng quát, có thể coi rằng

• Dãy hàm {xk}hội tụ đến hàm x0 trong C( Rn), nên dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) đều trên R,

do đó đều trên từng khoảng hữu hạn.

Theo giả thiết (ii) vì

45

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

nên ta có thể coi rằng dãy { ̃ } hội tụ đến B

(22)

Ta chứng minh dãy { ̃ (t)} hội tụ đến B đều trên từng khoảng hữu hạn. Thật vậy, vì Aα định vị tại vô cực khi α⟶0 nên với ɛ > 0,

tồn tại = (ɛ) > 0 sao cho với mọi α (0, )

} thỏa

Ta có thể giả sử rằng 0 < αk < với mọi k

Khi đó tồn tại dãy {

sao cho

Mặt khác, đối với H( ̃ ), tồn tại dãy { } thỏa

(23)

sao cho

đều trên lừng khoảng hữu hạn.

Đối với mỗi k, chọn j(k) sao cho

ta có

(24)

Từ (23), với

nên

Từ bất đẳng thức này và (24), suy ra

46

– 1

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Như vậy với

do đó

đều trên từng khoảng hữu hạn.

Dựa vào đó và từ (22), xét một khoảng hữu hạn [-a,a] và t [-a,a], chia đoạn [0,t] thành một số hữu hạn các đoạn nhỏ có chiều dài không quá 1, ta suy ra dãy { ̃(t, )} hội tụ đến B đều trên từng khoảng hữu hạn. Do đó dãy { ̃(t, )xk(t)} hội tụ về Bx0(t) đều trên từng khoảng hữu hạn.

Vì xk thỏa đẳng thức (21) nên cũng thỏa đẳng thức

47

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

khi k → ∞ ta được

hay x 0 thỏa phương trình

Tương tự như chứng minh của định lý 3. 1 , x0 là nghiệm khác

không bị chặn trên R của phương trình trên

Vì các giá trị riêng của B không nằm trên trục ảo nghĩa là phần thực

của chúng khác không nên m ọi nghiệm khác không của phương trình trên

không bị chặn.

Mâu thuẫn này chứng minh định lý 2. ỨNG DỤNG Xét toán tử nhiễu loạn kỳ dị K α từ Cl(Rn) vào C(R n) định bởi

(25)

trong đó A  C*(M n).

Giả sử λ 1(t), λ 2(t),… λ n(t) là các giá trị riêng của A(t).

Ký hiệu + ( _) là tập các điểm giới hạn của các hàm

λ 1(t), λ 2(t),… λ n(t) khi t t

Từ định lý 2 suy ra hệ quả sau :

Hệ quả 3.2. Giả sử tập + - không cắt trục ảo.

Khi đó với α > 0 khá bé, toán t ử K α Fredholm.

CHỨNG MINH

Cùng với toán tử K α , xét toán tử M α định bởi

(26)

Đặt

thì U α là toán tử tuyến tính liên tục và khả nghịch liên tục. Ngoài

ra

48

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Cho nên toán tử Kα Fredholm nếu và chỉ nếu toán tử Mα Fredholm (Krein [6]) Đặt

Rõ ràng là A α , A 0  C*(Mn). Ta chứng minh Mα thỏa giả thiết (i) của định lý 3.2. Thật vậy,

vì A C*(Mn) nên với ɛ > 0, tồn tại ) sao cho

khi | t - s | < . Với α  (0, ) và  [0,1] thì

nên với mọi h  R

Vậy ma trận hàm A(αt) định vị tại vô cực khi α⟶ 0.

Ta chứng minh Mα thỏa giả thiết (ii) của định lý 3.2. Thật vậy, xét dãy { ̃ }

̃ H( ) thỏa

Với ɛ > 0 tồn tại k0 sao cho khi k k0, ta có

} thỏa

Với mỗi k, tồn tại dãy {

sao cho

49

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Với k = 1, tồn tại jo(l) > 0 sao cho với mọi j > jo(l), ta có

chọn j(l) = j0(l).

Giả sử đã chọn được j(k - 1) với k > 1.

Tồn tại j0(k) > 0 sao cho với mọi j j0(k), ta có

Chọn j(k) = max { j(k -1), j0(k), k}

Ta được dãy {j(k)} thỏa

Khi đó với k k0, ta có

Nghĩa là

Cho k⟶ ta được

Vậy các giá trị riêng của ma trận B không nằm trên trục ảo.

Hệ quả được chứng minh. □

50

CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] DEMIDOVICH B.P , Bài giảng về l ý thuyết toán ổn định, N X R Khoa

học M. 1967, 472 trang.

[2] KRASNOCELSKI M.A. VÀ NHỮNG NGƯỜI KHÁC, Dao động hầu tuần hoàn

phi tuyến, NXB Khoa học M. 1970

[3] ZABREIKO P.P , KRASNOCELSKI M.A., STRƯGIN V.V. , về nguyên lý bài

biến của phép quay, Thông báo của các trường Đại học

Toán (Liên Xô) N° 5, 1972.

[4] MUKHAMADIEV E. , về lính khả ngược của toán tử vi phân trong không gian

các hàm bị chặn và liên tục trên trục số, Báo cáo của Viện Hàn lâm (Liên Xô) ( 196,

N° 1, 1971, 47 - 49 ).

[5] FAVARD J. , Sur les équations différentielles a coefficients presque- périodique,

Acta Math 1927 , V. 51 , p 31 - 81.

[6] KREIN S. G., Phương trình tuyến tính trong không gian Banach, NXB Khoa học,

M. 1971 , 104 trang.

[7] MILLIONSHIKOV V.M. , về nghiệm hầu tuần hoàn và truy hồi củahệ không

ôtônôm, tập "Phương trình vi phân", 1968 , T. 4 , N° 9 , 1555 -1559.

[8] SHUBIN M. A. , Lý thuyết Favard - Mukhamadiev và toán tử giả vi phân, Báo

cáo Viện Hàn lâm Khoa học (Liên Xô), 1975 , T. 225 , N° 6 , 4 6 - 4 8 .

[9] KURBATOV V. G. , về sự khả ngược của toán tử hầu tuần hoàn,"Tuyên tập toán

học" (Liên Xô) 1989 , T. 180 , N° 7 , 913 - 923.

[10] SLUSARTRUC V. E. , Sự khả nghịch của toán tử hàm C-liên tục hầu tuần hoàn,

"Tuyển tập toán học" (Liên Xô), 1981 , T. 116 , N° 4 , 4 8 3 - 5 0 1 .

[11] TRẦN HỮU BỔNG, về một số điều kiện khả ngược của toán tử vi phân hàm C-

liên tục, "Báo cáo Viện Hàn lâm Khoa học" (Nga) 1993 , T. 329 , N° 3 , 278 - 280.