Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nghiên cứu sâu thêm về tứ giác ngoại tiếp: Các điều kiện và tính chất của tứ giác ngoại tiếp thường ít được trình bày trong các sách hình học ở Việt nam, nếu có cũng chỉ nói đến Định lý Pithot, trong khi tính chất của tứ giác nội tiếp được giới thiệu thường xuyên. Ngoài ra, còn có lớp các tứ giác đặc biệt của tứ giác ngoại tiếp có nhiều ứng dụng trong giải toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- BÙI ĐỨC HUY TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- BÙI ĐỨC HUY TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2019
i Danh möc h¼nh 1.1 ành lþ Pithot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mët b§t ¯ng thùc h¼nh håc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Chùng minh ành lþ 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Chùng minh i·u ki»n c¦n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Chùng minh i·u ki»n õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 C¡c gâc trong °c tr÷ng Iosifescu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 i·u ki»n tù gi¡c ngo¤i ti¸p cõa Wu . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8 Hai ÷íng trán ti¸p xóc 2 c¤nh, 1 ÷íng ch²o . . . . . . . . . 15 1.9 C¡c ÷íng trán ti¸p xóc ð c¡c ph½a hai ÷íng ch²o . . . . . . . 16 1.10 C¡c ti¸p iºm cõa 4 ÷íng trán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11 Gi£ thuy¸t cõa Christopher Bradley . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12 °c tr÷ng Vainshtein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.13 1 + R1 R3 1 = 1 + R2 R4 1 ........................ . 22 1.14 C¡c ÷íng trán ngo¤i ti¸p cõa Christopher Bradley . . . . . . 23 1.15 i·u ki»n c¦n v õ thù 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.16 i·u ki»n c¦n v õ thù 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.17 i·u ki»n c¦n v õ thù 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 C¡c ÷íng cao h1, h2, h3, h4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Tù gi¡c ngo¤i ti¸p n y l mët tù gi¡c c¡nh di·u . . . . . . . . 36 2.3 ÷íng trán nëi ti¸p trong tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Bèn ÷íng trán nëi ti¸p trong c¡c tam gi¡c nhä . . . . . . . . 38 2.5 ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c èi di»n ¿nh C . . . . . . . . . 39 2.6 Bèn ÷íng trán b ng ti¸p bèn tam gi¡c nhä èi di»n ¿nh P . 40 2.7 Tù gi¡c song t¥m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 China Western Mathematical Olympiad 2003 . . . . . . . . . . 42 2.9 ABCD nëi ti¸p ÷ñc khi v ch¿ khi ∆IJK l tam gi¡c vuæng . 43 2.10 ÷íng th¯ng Newton cõa ABCD v W XY Z . . . . . . . . . . 44 2.11 H¼nh thang c¥n ngo¤i ti¸p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.12 Gâc α giúa c°p c¤nh èi di»n cõa tù gi¡c KLM N . . . . . . . 46 3.1 ë d i c¡c d¥y cung ti¸p xóc W X v Y Z . . . . . . . . . . . . 48 3.2 D¥y cung ti¸p xóc W X, Y Z i qua giao iºm 2 ÷íng ch²o . . 50
ii 3.3 Gâc ϕ giúa 2 d¥y cung W X v Y Z . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Tù gi¡c ti¸p xóc W XY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5 Chùng minh ành lþ Fuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.6 T½nh sin cõa mët nûa gâc A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7 V½ dö 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.8 V½ dö 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.9 V½ dö 3.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
iii Möc löc Líi c£m ìn iv Mð ¦u 1 1 ành lþ Pithot v c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng 3 1.1 Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 C¡c i·u ki»n v· c¤nh v ÷íng ch²o . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n 4 tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 °c tr÷ng v· gâc v ÷íng trán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Tù gi¡c c¡nh di·u v tù gi¡c song t¥m 31 2.1 Tù gi¡c c¡nh di·u v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 Mët sè h» thùc li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 C¡c i·u ki»n c¦n v õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n bèn tam gi¡c . . . . . . . . 36 2.2 Tù gi¡c song t¥m v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1 Mët sè °c tr÷ng cõa tù gi¡c song t¥m . . . . . . . . . 41 2.2.2 Hai °c tr÷ng mîi cõa tù gi¡c song t¥m . . . . . . . . . 42 3 C¡c v§n · li¶n quan 47 3.1 o¤n th¯ng ti¸p tuy¸n v d¥y cung ti¸p xóc . . . . . . . . . . . 47 3.2 Tù gi¡c ti¸p xóc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Tù gi¡c ngo¤i ti¸p v ph²p nghàch £o . . . . . . . . . . . . . . 55 T i li»u tham kh£o 61
iv Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11B (2017 - 2019) Tr÷íng ¤i håc khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn! H£i Pháng, th¡ng 5 n«m 2019 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Bòi ùc Huy
1 Mð ¦u 1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n Möc ½ch cõa · t i n y l : − Nghi¶n cùu s¥u th¶m v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p: C¡c i·u ki»n v t½nh ch§t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p th÷íng ½t ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c s¡ch h¼nh håc ð Vi»t nam, n¸u câ công ch¿ nâi ¸n ành lþ Pithot, trong khi t½nh ch§t cõa tù gi¡c nëi ti¸p ÷ñc giîi thi»u th÷íng xuy¶n. Ngo i ra, cán câ lîp c¡c tù gi¡c °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p câ nhi·u ùng döng trong gi£i to¡n. Giîi thi»u v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p còng c¡c tr÷íng hñp °c bi»t cõa nâ l lþ do chån · t i cõa tæi. − Sau khi tr¼nh b y g¦n 20 i·u ki»n c¦n v õ còng c¡c t½nh ch§t (công l c¡c i·u ki»n c¦n v õ) cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p, c¡c °c tr÷ng cõa tù gi¡c c¡nh di·u v cõa tù gi¡c song t¥m chóng tæi muèn kh¯ng ành sü phong phó v s¥u sc cõa h¼nh håc sì c§p khi chóng ta bi¸t têng hñp, khai th¡c c¡c kh½a c¤nh cõa kh¡i ni»m b¬ng c¡c cæng cö s®n câ. − Bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y c¡c chuy¶n · khâ ð tr÷íng THCS v THPT gâp ph¦n o t¤o håc sinh håc giäi mæn H¼nh håc. 2. Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t Tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v õ º mët tù gi¡c lçi l tù gi¡c ngo¤i ti¸p. Sau â x²t 2 tr÷íng hñp °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p: Tù gi¡c c¡nh di·u, tù gi¡c song t¥m v c¡c t½nh ch§t cõa chóng. Ph¡t biºu v chùng minh mët sè h» thùc li¶n quan. Nëi dung luªn v«n chia l m 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. ành lþ Pithot v c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng Sau khi ph¡t biºu v chùng minh ch°t ch³ ba ành lþ cì b£n cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p (tham kh£o v bê sung chi ti¸t trong [1], [6]) luªn v«n
2 tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v õ núa v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p chia l m c¡c d§u hi»u li¶n quan ¸n c¤nh, ÷íng ch²o, li¶n quan ¸n di»n t½ch, li¶n quan ¸n c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v b ng ti¸p,... Ch÷ìng n y bao gçm: 1.1. Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p 1.2. C¡c i·u ki»n v· c¤nh v ÷íng ch²o 1.3. C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n bèn tam gi¡c 1.4. °c tr÷ng v· gâc v ÷íng trán. Ch÷ìng 2. Tù gi¡c c¡nh di·u v tù gi¡c song t¥m ¥y l hai tr÷íng hñp °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p. Vîi nhúng gi£ thi¸t °c bi»t ta thu ÷ñc c¡c d§u hi»u °c tr÷ng cõa tù gi¡c c¡nh di·u v tù gi¡c song t¥m còng c¡c t½nh ch§t kh¡c. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc sau: 2.1. Tù gi¡c c¡nh di·u v c¡c t½nh ch§t 2.2. Tù gi¡c song t¥m v c¡c t½nh ch§t. Ch÷ìng 3. C¡c v§n · li¶n quan B¶n c¤nh kh¡i ni»m tù gi¡c ngo¤i ti¸p vîi c¡c tr÷íng hñp °c bi»t cõa nâ câ r§t nhi·u c¡c v§n · li¶n quan. Trong ch÷ìng n y ta · cªp ¸n c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t hay ÷ñc sû döng trong gi£i to¡n, â l : 3.1. o¤n th¯ng ti¸p tuy¸n v d¥y cung ti¸p xóc 3.2. Tù gi¡c ti¸p xóc 3.3. Tù gi¡c ngo¤i ti¸p v ph²p nghàch £o
3 Ch÷ìng 1 ành lþ Pithot v c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng 1.1 Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p Ta nhc l¤i tù gi¡c ngo¤i ti¸p ÷íng trán l tù gi¡c lçi m t§t c£ c¡c c¤nh ·u ti¸p xóc vîi mët ÷íng trán hay tù gi¡c ngo¤i ti¸p l tçn t¤i tçn t¤i mët ÷íng trán nëi ti¸p trong tù gi¡c. L÷u þ r¬ng ÷íng trán nëi ti¸p â l duy nh§t. Trong to n bë luªn v«n chóng tæi s³ sû döng tù gi¡c ngo¤i ti¸p ' thay cho c¡ch nâi tù gi¡c ngo¤i ti¸p mët ÷íng trán. D¹ th§y khæng ph£i måi tù gi¡c lçi ·u l tù gi¡c ngo¤i ti¸p. Do â, muèn mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p c¦n ph£i câ th¶m mët (ho°c mët sè) i·u ki»n n o â, m ta gåi l i·u ki»n c¦n v õ º mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p. D§u hi»u nhªn bi¸t mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p xu§t hi»n sîm v âng vai trá quan trång l ành lþ Pithot. Henri Pithot (1695-1771) l mët kÿ s÷ ng÷íi Ph¡p ¢ cæng bè i·u ki»n c¦n v công l i·u ki»n õ º mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p ngay tø n«m 1725, ph²p chùng minh ¦u ti¶n ÷ñc thüc hi»n bði nh to¡n håc Thöy s¾ Jakob Steiner (1796-1863) v o n«m 1846. ành lþ 1.1 (Pithot). Tù gi¡c ABCD vîi c¡c c¤nh a, b, c, d ngo¤i ti¸p ÷íng trán khi v ch¿ khi AB + CD = BC + DA, tùc l a + c = b + d. (1.1) Chùng minh. ([1]), Gi£ sû ABCD ngo¤i ti¸p ÷íng trán (I), c¡c ti¸p iºm thù tü tr¶n c¡c c¤nh AB, BC, CD, DA l M, N, P, Q. Suy ra:
4 AM = AQ, BM = BN , CN = CP, DP = DQ. Cëng v¸ vîi v¸ ta câ AB + CD = BC + DA. H¼nh 1.1: ành lþ Pithot Ng÷ñc l¤i, gi£ sû tù gi¡c ABCD AB + CD = BC + DA. thäa m¢n Khæng m§t t½nh ch§t têng qu¡t ta coi AB ≤ AD . Do AB + CD = BC + DA n¶n BC ≤ DC . Khi â tçn t¤i Q ∈ AD, P ∈ DC sao cho AB = AQ v CB = CP , suy ra DP = DQ. Tø â, c¡c tam gi¡c ABQ, CBP, DP Q l nhúng tam gi¡c c¥n v c¡c ÷íng cao tø ba ¿nh A, C, D l 3 trung trüc cõa tam gi¡c BPQ, çng quy t¤i mët iºm I . Ta câ I c¡ch ·u c¡c c¤nh AD, DC, CB, AB cõa tù gi¡c. Vªy tçn t¤i ÷íng trán t¥m I ti¸p xóc vîi c¡c c¤nh tù gi¡c. Chó þ. Ta cán câ k¸t qu£ m¤nh hìn ành lþ Pithot v công l c¡ch chùng minh kh¡c cõa ph¦n £o ành lþ Pithot: Gi£ sû ABCD l mët tù gi¡c tòy þ v câ ÷íng trán ti¸p xóc vîi AB, AD, BC çng thíi ct c¤nh DC t¤i hai iºm. Khi â AB + DC ≥ AD + BC . D§u b¬ng x£y ra khi ABCD l tù gi¡c ngo¤i ti¸p. Thªt vªy, kþ hi»u nh÷ H¼nh 1.2 th¼ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh x + y + z ≥ c + d. Ta nhc l¤i ành lþ ph÷ìng t½ch : Cho ÷íng trán (O; R) v iºm M cè ành. Mët ÷íng th¯ng thay êi qua M ct ÷íng trán t¤i hai iºm A v B. Khi â M A.M B = M O − R = d2 − R2 . 2 2
5 : Mët b§t ¯ng thùc h¼nh håc H¼nh 1.2 Theo ành lþ ph÷ìng t½ch ta câ c2 = z(y + z), d2 = x(x + y). Do â, ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc q q z(y + z) + x(x + y) ≤ x + y + z. Nh÷ng â ch½nh l h» qu£ trüc ti¸p cõa b§t ¯ng thùc AM-GM v¼ z+y+z 2z + y q z(y + z) ≤ = , 2 2 x+x+y 2x + y q z(x + y) ≤ = . 2 2 D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi y = 0. Þ ngh¾a cõa b§t ¯ng thùc n y l ð ché: k¸t qu£ têng qu¡t hìn ành lþ Pithot v ta câ b§t ¯ng thùc nghi¶m ng°t khi ÷íng trán ct mët c¤nh tù gi¡c. ành lþ 1.2 . ([6]) Tù gi¡c lçi ABCD vîi P = AC ∩ BD ngo¤i ti¸p mët ÷íng trán khi v ch¿ khi: 1 1 1 1 + = + . d(P, AB) d(P, CD) d(P, BC) d(P, DA)
6 hay vi¸t d÷îi d¤ng 1 1 1 1 + = + . (1.2) h1 h3 h2 h4 Trong â: d(P, AB), d(P, BC), d(P, CD), d(P, DA) l¦n l÷ñt l kho£ng c¡ch tø P ¸n c¡c o¤n th¯ng AB, BC, CD, DA. H¼nh 1.3: Chùng minh ành lþ 1.1 Chùng minh. Tr÷îc h¸t ta biºu di¹n (1.2) d÷îi d¤ng l÷ñng gi¡c. X²t c¡c h¼nh chi¸u vuæng gâc M, N, E, F cõa P l¦n l÷ñt tr¶n c¡c c¤nh AB , BC , CD, DA. Vîi AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, theo ành lþ Thales PM AP PF = = d(C, AB) AC d(C, AD) PM BP PN = = d(D, AB) BD d(D, BC) PN PC PE = = d(A, BC) AC d(A, DC) PM PF PM PN PN PE Ngh¾a l , = ; = ; = . b sin B c sin D d sin A c sin C a sin B d sin D H» thùc (1.2) trð th nh 1 1 1 1 + = + . PM PE PN PF Nh¥n c£ 2 v¸ vîi PM ta ÷ñc PM PM PM a sin A sin B d sin A b sin B 1+ = + ⇐⇒ 1 + = + PE PN PF c sin C sin D c sin C c sin D
7 : Chùng minh i·u ki»n c¦n H¼nh 1.4 Do â, (1.2) t÷ìng ÷ìng vîi a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A (1.3) B¥y gií ta chùng minh ABCD ngo¤i ti¸p ÷ñc n¸u v ch¿ n¸u câ (1.3). i·u ki»n c¦n. N¸u ABCD l tù gi¡c ngo¤i ti¸p th¼ câ mët ÷íng trán r. Khi â nëi ti¸p b¡n k½nh A B B C a = r cot + cot , b = r cot + cot 2 2 2 2 C D D A c = r cot + cot , d = r cot + cot . 2 2 2 2 Do â, A B A A B B a sin A sin B = r cot + cot .4 sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 A B B A A B = 4r cos sin + cos sin cos cos 2 2 2 2 2 2 A+B A B = 4r sin cos cos 2 2 2 C +D A B = 4r sin cos cos 2 2 2
8 D C C D A B = 4r cos sin + cos sin cos cos 2 2 2 2 2 2 C D A B C D = 4r tan + tan cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 T÷ìng tü, D A A B C D b sin B sin C = 4r tan + tan cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B A B C D c sin C sin D = 4r tan + tan cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 B C A B C D d sin D sin A = 4r tan + tan cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 Tø â suy ra h» thùc (1.3). i·u ki»n õ. Gi£ sû câ (1.3) v ABCD khæng l tù gi¡c ngo¤i ti¸p. Tr÷íng hñp 1. H¼nh 1.5 a). C¡c c¤nh èi cõa tù gi¡c khæng song song, ch¯ng h¤n AD ∩ BC = T. X²t ÷íng trán nëi ti¸p ∆ABT , ta düng mët ÷íng th¯ng song song vîi DC , ti¸p xóc vîi ÷íng trán, nâ ct BC ð C 0 , ct DA ð D0 . Gi£ 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 sû BC = b , C D = c , D A = d , C C = x, D D = y, D D = z , trong 00 00 0 00 00 â, D l iºm tr¶n C D sao cho C CDD l h¼nh b¼nh h nh. Chó þ b = b0 + x, c = c0 − y, d = d0 + z . V¼ ABC 0 D0 l tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¶n a sin A sin B + c0 sin C sin D = c0 sin C sin D = b0 sin B sin C + d0 sin D sin A (1.4) So s¡nh (1.3) v (1.4) cho a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A. K¸t qu£ thu ÷ñc −y sin C sin D = x sin B sin C + z sin D sin A hay y sin C sin D + x sin B sin C + z sin D sin A = 0. i·u n y m¥u thu¨n v¼ c£ 3 sè x, y, z ·u còng d§u v c¡c gi¡ trà l÷ñng gi¡c ·u d÷ìng. Tr÷íng hñp 2. H¼nh 1.5 b). ABCD câ mët c°p c¤nh èi song song, ch¯ng h¤n AD k BC . X²t ÷íng trán ti¸p xóc vîi c¡c c¤nh AB, BC v DA. Düng ÷íng th¯ng song song vîi DC , ti¸p xóc ÷íng trán, nâ 0 0 0 0 0 0 ct BC, DA t÷ìng ùng ð C , D . Gi£ sû C C = D D = x, BC = b v
9 H¼nh 1.5: Chùng minh i·u ki»n õ D0 A = d0 . Rã r ng b0 = b − x, d = d0 + x, C 0 D0 = CD = c. V¼ABC 0 D0 l tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¶n a sin A sin B + c sin C sin D = b0 sin B sin C = b0 sin B sin C + d0 sin D sin A (1.5) So s¡nh (1.5) vîi (1.3): b sin B sin C + d sin D sin A = b0 sin B sin C + d0 sin D sin A ⇔x(sin B sin C + sin D sin A) = 0. V¼ x 6= 0, sin A = sin B ; sin C sin D (hai gâc bò nhau) n¶n suy ra: 2 sin A sin C = 0. Væ lþ. ành lþ ÷ñc chùng minh ho n to n. Trong [6] Nicusor Minculete tr½ch d¨n mët °c tr÷ng l÷ñng gi¡c cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p do Marius Iosifescu cæng bè trong mët t¤p ch½ cô cõa Romanian (Iosifescu, Problem 1421, The Mathematical Gazette (in Romanian), N0 11, 1954). B£n th¥n Nicusor Minculete ch÷a åc ÷ñc ph²p chùng minh °c tr÷ng n y cõa Iosifescu v¼ khæng câ b£n ti¸ng Anh, æng công khæng x¡c ành ÷ñc ph²p chùng minh sau ¥y cõa æng câ gièng ph²p chùng minh cõa Iosifescu khæng. Câ thº coi °c tr÷ng Iosifescu sau ¥y l °c tr÷ng l÷ñng gi¡c cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p. ành lþ 1.3 (°c tr÷ng Iosifescu, [6]). Tù gi¡c lçi ABCD ngo¤i ti¸p khi v ch¿ khi x z y w tan . tan = tan . tan , (1.6) 2 2 2 2
10 trong â, x = ABD, \ y = ADB, \ z = BDC, \ w = DBC \. u 1 − cos u Chùng minh. Sû döng cæng thùc l÷ñng gi¡c tan2 = ta th§y 2 1 + cos u (1.6) t÷ìng ÷ìng vîi 1 − cos x 1 − cos z 1 − cos y 1 − cos w . − . . 1 + cos x 1 + cos z 1 + cos y 1 + cos w i·u â l¤i t÷ìng ÷ìng vîi (1 − cos x)(1 − cos z)(1 + cos y)(1 + cos w) = = (1 − cos y)(1 − cos w)(1 + cos x)(1 + cos z). (1.7) Nhc l¤i a = AB, b = BC, c = CD, d = DA v °t q = BD, ành lþ a2 + q 2 − d 2 cæ sin cho cosx = , cho n¶n 2aq d2 − (a − q)2 (d + a − q)(d − a + q) 1 − cos x = = 2aq (2aq) (a − q)2 − d2 (a − q + d)(a − q − d) 1 + cos x = = 2aq (2aq) Công b¬ng c¡ch nh÷ th¸: (a + d − q)(a − d + q) (d + q + a)(d + q − a) 1 − cos y = , 1 + cos y = (2dq) (2dq) (b + c − q)(b − c + q) (c + q + b)(c + q − b) 1 − cos z = , 1 + cos z = (2cq) (2cq) (b + c − q)(c − b + q) (b + q + c)(b + q − c) 1 − cos w = , 1 + cos w = (2bq) (2bq) Nh÷ vªy (1.7) t÷ìng ÷ìng vîi (d + a − q)(d − a + q)2 (b + c − q)(b − c + q)2 · · 2aq 2cq (d + q + a) (b + q + c) · · 2dq 2bq (a + d − q)(a − d + q)2 (c + b − q)(c − b + q)2 = · · 2dq 2bq (a + q + d) (c + q + b) · · . 2aq 2cq
11 : C¡c gâc trong °c tr÷ng Iosifescu H¼nh 1.6 i·u â l¤i t÷ìng ÷ìng vîi P.[(d − a + q)2 (b − c + q)2 − (a − d + q)2 (c − b + q)2 ] = 0 (1.8) (d + a + q)(b + c − q)(d + q + a)(b + q + c) trong â, P = l biºu thùc 16abcdq 4 d÷ìng do c¡c b§t ¯ng thùc tam gi¡c trong c¡c tam gi¡c ABD, BCD. Khai triºn (1.8) nhªn ÷ñc P.[(d − a + q)(b − c + q) + (a − d + q)(c − b + q)]× ×[(d − a + q)(b − c + q) − (a − d + q)(c − b + q)] = 0 ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi 4qP.(b + d − a − c)[q 2 − (a − d)(b − c)] = 0 (1.9) Sû döng b§t ¯ng thùc tam gi¡c ta câ q > a − d; q > b − c, vªy 2 q − (a − d)(b − c) > 0. Tø ¥y ta k¸t luªn ÷ñc x z y w tan · tan = tan · tan ⇐⇒ b + d = a + c 2 2 2 2 °c tr÷ng Iosifescu ÷ñc chùng minh theo ành lþ Pithot.
12 1.2 C¡c i·u ki»n v· c¤nh v ÷íng ch²o Mët trong nhúng con ÷íng t¼m ra c¡c i·u ki»n c¦n v õ º tù gi¡c lçi ngo¤i ti¸p l chùng minh c¡c i·u ki»n mîi n y t÷ìng ÷ìng vîi mët trong ba ành lþ cì b£n ð tr¶n. Sau ¥y l hai °c tr÷ng t÷ìng tü vîi ành lþ Pithot: M»nh · 1.1. N¸u ABCD l mët tù gi¡c lçi m c¡c c¤nh èi di»n AB v CD ct nhau ð P, AD v BC ct nhau ð Q th¼ ABCD ngo¤i ti¸p khi v ch¿ khi x£y ra 1 trong 2 i·u ki»n BP + BQ = DP + DQ; AP − AQ = CP − CQ. Chùng minh. i·u ki»n n y ÷ñc chùng minh b¬ng ph£n chùng. i·u ki»n c¦n. Gi£ sû tù gi¡c ABCD K, L, M, N l c¡c ngo¤i ti¸p. Gåi ti¸p iºm cõa ÷íng trán nëi ti¸p vîi l¦n l÷ñt c¡c c¤nh AB, BC, CD, DA. Khi â, BP + BQ = AP − AB + BC + CQ = (AP + CQ) + (BC − AB) = AQ + CP + CD − AD = DP + DQ; AP + CQ = AK + P K + QL − CL = AN + P M + QN − CM = AQ + CP. : i·u ki»n tù gi¡c ngo¤i ti¸p cõa Wu H¼nh 1.7
13 i·u ki»n õ. Ta chùng minh ch¯ng h¤n câ BP + BQ = DP + DQ th¼ ABCD l tù gi¡c ngo¤i ti¸p. X²t ÷íng trán ti¸p xóc vîi c¤nh BC v c¡c tia BA v CD. AD khæng ti¸p xóc Gi£ sû ÷íng th¯ng 0 0 vîi ÷íng trán. Gåi S l iºm tr¶n AQ sao cho Q S song song DD . 0 0 0 0 V¼ BP + BQ = DP + DQ v BP + BQ = D P + D Q , k²o theo QS + SQ0 = QQ0 . M¥u thu¨n. SXY Z ch¿ di»n t½ch ∆XY Z . Ta câ 3 i·u ki»n li¶n quan ¸n di»n t½ch. M»nh · 1.2. Tù gi¡c lçi ABCD vîi P = AC ∩ BD. C¦n v õ º ABCD ngo¤i ti¸p l câ mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng sau: a c b d • + = + (1.10) SAP B SCP D SBP C SDP A • a.SCP D + c.SAP B = b.SDP A + d.SBP C (1.11) • a.P C.P D + c.P A.P B = b.P A.P D + d.P B.P C. (1.12) 1 a a Chùng minh. Tø c¡c h» thùc = = ,... d(P, AB) a.d(P, AB) 2S(∆AP B) suy ra (1.10) t÷ìng ÷ìng vîi (1.2). Sü t÷ìng ÷ìng cõa (1.10), (1.11) v (1.12) rót ra tø c¡c ¯ng thùc 1 SAP B = P A.P B. sin ϕ, v.v..., ϕ l gâc giúa hai ÷íng ch²o vîi l÷u þ 2 1 2 r¬ng SAP B .SCP D = SBP C .SDP A = .P A.P B.P C.P D. sin ϕ. 4 1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n 4 tam gi¡c Trong mët b i b¡o n«m 2000, (Problem 10698, Amer. Math. Monthly, 105(1998) 995; solution, 107 (2000), 657-658 ), Wu Wei Chao ÷a ra mët °c tr÷ng kh¡c cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p: Gåi P l giao hai ÷íng ch²o ABCD v r1 , r2 , r3 , r4 l b¡n k½nh c¡c ÷íng trán nëi ti¸p cõa tù gi¡c lçi ∆AP B, ∆BP C, ∆CP D, ∆DP A, t÷ìng ùng. Khi â câ k¸t qu£ sau M»nh · 1.3. Tù gi¡c lçi ABCD ngo¤i ti¸p ÷ñc khi v ch¿ khi 1 1 1 1 + = + (1.13) r1 r2 r3 r4 Chùng minh. X²t tam gi¡c ABC tòy þ vîi c¤nh a, b, c ÷íng cao t÷ìng ùng l ha , hb , hc v b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p r. Tø c¡c cæng thùc
14 1 1 1 1 SABC = (a + b + c) · r = aha = bhb = chc ta suy ra: 2 2 2 2 1 a+b+c 1 b c 1 b c = = + + = + + . r aha ha aha aha ha bhb chc Ngh¾a l b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c quan h» vîi c¡c ÷íng cao bði h» thùc 1 1 1 1 = + + (1.14) r ha hb hc p döng ¯ng thùc â v o 4 tam gi¡c AP B, BP C, CP D, DP A ta câ: 1 1 1 1 = + + , r1 d(P, AB) d(A, BD) d(B, AC) 1 1 1 1 = + + , r2 d(P, BC) d(C, BD) d(B, AC) 1 1 1 1 = + + , r3 d(P, CD) d(C, BD) d(D, AC) 1 1 1 1 = + + , r4 d(P, AD) d(A, BD) d(D, AC) Tø â suy ra sü t÷ìng ÷ìng cõa (1.13) v (1.2). M»nh · 1.4. Tù gi¡c lçi l tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¸u v ch¿ n¸u hai ÷íng trán nëi ti¸p trong hai tam gi¡c t¤o bði mët ÷íng ch²o ti¸p xóc vîi nhau. Chùng minh. Trong tù gi¡c lçi ABCD, gi£ sû c¡c ÷íng trán nëi ti¸p c¡c tam gi¡c ABC, CDA, BCD, DAB l¦n l÷ñt ti¸p xóc vîi AC v BD ð X, Y, Z, W (H¼nh 1.8 ). Tr÷îc h¸t ta chùng minh: 1 ZW = |a − b + c − d| = XY. 2 Thªt vªy, sû döng t½nh ch§t ti¸p tuy¸n ngo i ta câ BW = a − w, BZ = b − z n¶n ZW = BW − BZ = a − w − b + z. Công b¬ng c¡ch nh÷ vªy, DW = d − w v DZ = c − z n¶n ZW = DZ − DW = c − z − d + w.