Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
x
x
x
x
64
−
− 1 64
−
−
− 1 4
=
27
( 12 4
)
Giải:
3
3
x
x
x
x
− 1 4
4
− 1 4
27
Phương trình
Bài 1: Giải phương trình:
)
(
)
( 12 4
)
3
x
x
x
x
x
x
x
x
− − − = ⇔
1 − 4
1 − 4
1 − 4
( ( 1 − 3.4 .4 . 4
)
( 12 4
)
3
x
x
1 − 4
3 = 27 3
− − − = 27 +
2
x
x
x
x
=
( ⇔ − 4 ( ⇔ − 4 ⇔ − 4
) ) = ⇔ −
1 − 4
x
3.2 − = 4 0 3 4
x
2
2
1
x 3 .2
x x− = 6
4 = − 1 ⇔ 1 ⇔ = x 4 = 4
ðiều kiện:
1 x ≠ 2
2
2
x 1 x−
Phương trình
log
x 3 .2
⇔
=
log 6 3
3
2
x
2
x − 1 x
Bài 2: Giải phương trình Giải:
2
⇔ + = log 3 3 log 2 3 log 6 3
3
3
2
= .log 2 log (2.3) ⇔ + x
3
3
2
⇔ (2 x − 1 x − + 1) log 2 (2 = − + x 2 x x x
3
2
− ( − − 1)(log 2 1) 3 1 0 + = ⇔ − 2 x x x x 1) log 2 2 3
2
2 − ( − = ⇔ − 2 x x x 1).log 2 0 3
3
+ − − 1 log 2 = 0 ⇔ − ( x x x 1). 2
1 = x
3
9 8log 2 1 − ± +
x
x
7 4 3
+
+
7 4 3
−
=
14
4 ⇔ = x
)
(
)
x
x
x
+
−
7 4 3
+
=
t
t (
0)
7 4 3
x ( ) 7 4 3 . 7 4 3
Bài 3: Giải phương trình ( Giải: Do (
)
)
= nên ñặt ( 1
( > ⇒ −
)
1 = t
7 4 3
= + t
2
Thay vào phương trình ta ñược:
1 0
14 + = ⇔ −
1 t
7 4 3
= −
+ = ⇔
- Trang | 1 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
t t t 14 t
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
x
+ Với
t
= +
7 4 3
7 4 3
= +
7 4 3
⇔ = 1 x
−
x
+ Với
t
= −
7 4 3
7 4 3
= −
7 4 3
=
7 4 3
+
⇔ = − 1
x
(
) 1
( ⇒ + ( ⇒ +
) )
ðáp số:
x
x+ 1
4
−
3.2
+ = 8 0
x 1 = = − x 1
x
x
⇔ − 4
6.2
+ = 8 0
Phương trình x
ðặt 2
t= > , thay vào phương trình ta có: 2 6 t−
0
t
+ = 8 0
x
t
=
4
2
=
4
x
=
2
⇔
⇔
⇔
x
=
2
=
1
t
x
2
=
2
+
c os2
x
2
2
sin
x
c os
x
x
1 2
9
+
4.9
=
+ 13 9
−
c os2 3
Bài 4: Giải phương trình Giải:
2
−
2sin
x
2
2
2
sin
− 1 sin
x
x
x
3 2
−
− 1 2sin 3
⇔
9
+
+ 13 9
2
sin
x
⇔
+
9
−
=
13
+
2
2
2
Phương trình 36 sin
4.9 27 2sin
= 3 sin
x
x
x
9
9
2
x
t
sin9
=
≤ ≤ t
9
ðặt
9 )
( 1
Thay vào phương trình ta có:
t
+
−
= 13 0
−
39 t
27 2 t
1
2
27
0
3
−
3 ⇔ + t
26 t
9
= t = ⇔ = t = t
2
sin
0
=
=
x
x
π k
π k
2
sin
x
x
0
x
(
)
⇔
= ⇔ =
k Z ∈
x
cos
0
=
2
= x cos 2
x
sin
1 = ⇔ 2 1
=
+
k π
π π k + 4 2 π 2
= x
x sin .cos
x
Bài 5: Giải phương trình Giải:
16
+
− = 4 0
2
sin
6 π − x 4
4
Bài 6: Giải phương trình
2
−
2sin
sin 2
x
π − x 4
⇔
4
+
6.2
Phương trình
− = 4 0
−
x
π 2
x
sin 2
os 2 c
− − 1
Giải:
x
x
sin 2
sin 2
⇔ 4 + 6.2 − = 4 0
x
sin 2
⇔ 4 + 3.2 − = 4 0
x
sin 2
- Trang | 2 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
2 = 0 ⇔ ⇔ = ⇔ = sin 2 x 0 x ( ∈ k Z ) π k 2 = 2 1
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
x
x
x = 3 + 2 x + 1
Bài 7: Giải phương trình 3 .2 Giải:
x
Ta nhận thấy x = không là nghiệm của phương trình 1 2
x 3 (2
x x Do ñó phương trình ⇔ − = 1) 2 + ⇔ = 1 3 (*) 2 2 x x + − 1 1
x = ± 1
. Do ñó phương trình (*) có hai nghiệm
+∞
−∞ ;
v à
;
1 2
1 2
x
x
−
(
x
+
5).2
+
4(
x
+ = 0
1)
luôn ñồng biến, còn hàm số y = nghịch biến trên mỗi khoảng Ta thấy hàm số y = 3x 2 2 x x + − 1 1
Bài 8: Giải phương trình 4
ðặt 2
t= , t
> 0
−
(
x
+
t 5)
+
4(
x
+ = 0
1)
Khi ñó ta có phương trình 2 t
1
x
t = 4 ⇔ = + t x + Với t 4
2
x
= ⇒ = ⇔ = 2 4 x
x
t
x
1
2
2
x
+ Với = + ⇒ = + ⇔ − − = x 1 0 1 Ta nhận thấy phương trình có hai nghiệm là
x
=
0;
x
= 1
x
f x ( )
=
2
− − 1 x
Mặt khác xét hàm số:
x
Ta thấy:
f
x '( )
=
2 ln 2 1;
−
f
x '( )
= ⇔ =
0
x
log
= −
2
log ln 2 2
1 ln 2
x
2
f
x ''( )
=
2 (ln 2)
> ∀ ∈ x R
0,
x
Nên
− ñồng biến trên R
f
'( )
x =
x
=
x
f x lim ( ) →−∞ x
x
=
x
) − − = +∞ 1 ) − − = +∞ 1
2 ln 2 1 ( lim 2 →−∞ x ( f x lim ( ) lim 2 →+∞ →+∞ x x Bảng biến thiên:
- ∞
−
+ ∞
x
log ln 2 2
f
x '( )
- 0 +
+ ∞ + ∞
f x ( )
( f −
)
log ln 2 2
Từ bảng biến thiên ta thấy ñồ thị
f x cắt Ox không quá 2 ñiểm chứng tỏ phương trình
( )
x
f x ( )
2
1 0
x
=
− − = có không quá 2 nghiệm.
0
ðáp số:
1
= x = x
x
x
5
6
x
+
=
+ 2
Giải: x
x
2
6
Phương trình Ta nhận thấy
− 1
x ⇔ + 3 = x x 0;
− = 5 0 x = là nghiệm
- Trang | 3 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Bài 9: Giải phương trình 3 Giải:
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
x
x
Mặt khác xét hàm số
f x
5
6
x
= ( ) 3
+
−
− 2
x
x
Ta có:
f
− + '( ) 3 ln 3 5 ln 5 6
x =
2
2
x
f
x ''( ) 3 ln 3
x
0,
=
(
)
( 5 ln 5
)
x
x
=
−
= +∞
x lim '( ) f →+∞ x
+ lim 3 ln 3 5 ln 5 6 →+∞ x
x
x
=
−
= − 6
+ ( (
> ∀ ∈ x R ) )
lim '( ) x f →−∞ x Suy ra
x là hàm liên tục, ñồng biến và nhận cả giá trị âm, cả giá trị dương nên
f
'( )
0
+ lim 3 ln 3 5 ln 5 6 →−∞ x '( )
f
x = có nghiệm
duy nhất
0x
Do ñó ta có bảng biến thiên:
- ∞
x
0x + ∞
f
x '( )
- 0 +
f x ( )
Từ bảng biến thiên ta thấy ñồ thị
f x cắt Ox không quá 2 ñiểm chứng tỏ phương trình ( )
f x = 0 có tối ña
( )
x
0;
x
1
hai nghiệm. Chứng tỏ ngoài hai nghiệm
=
= thì phương trình không còn nghiệm nào khác.
Chú ý: Ta có thể chứng minh phương trình
f
'( )
0
x = có nghiệm như sau:
f
'(0)
Ta có
=
− < ln 3 ln 5 6 0
+
f
− > + '(1) 3ln 3 5ln 5 6 0
=
f
'(0).
f
'(1) 0
f x = 0 có nghiệm
(0;1)
⇒
< ⇒ phương trình ( )
x ∈ 0
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
- Trang | 4 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Hocmai.vn Nguồn:
