Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Các ví dụ giải mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình
1 2 1
2 2 2 5 2.5
x x x x x
+ + −
+ + = + .
Hướng dẫn giải:
Ta có
1 2 1 2
1
2 2 2 5 2.5 2 2 .2 2 .2 5 2.5 .
5
x x x x x x x x x x+ + −
+ + = + ⇔ + + = +
( )
5
2
2 7 5
1 2 4 .2 1 .5 7.2 .5 5 log 5
5 5 2
x
x x x x
x
⇔ + + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ =
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 1 nghi
ệ
m là
5
2
x=
Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1) 2
3 2 1
2 16
x x x
+ − +
=
2) 2
4
1
3
243
x x− +
=
3)
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
2 2
3 2 1 3 2 4 4 2 2
2
2 16 2 2 3 2 4 4 6 0
3
x x x x x x
x
x x x x x x
+ − + + − +
=
= ⇔ = ⇔ + − = + ⇔ − − = →
= −
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m là x = 2 và x = –3.
2)
2 2
4 4 5 2
1
1
3 3 3 4 5
5
243
x x x x
x
x x x
− + − + −
= −
= ⇔ = ⇔ − + = − ⇔
=
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x =
−
1; x = 5.
3)
( )
10 5
10 15
16 0,125.8 , 1 .
x x
x x
+ +
− −
=
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
10 0 10
15 0 15
x x
x x
− ≠ ≠
⇔
− ≠ ≠
Do
4 3 3
1
16 2 ; 0,125 2 ; 8 2
8
−
= = = =
nên ta có
( )
10 5
4. 3.
3
10 15
10 5
1 2 2 .2 4. 3 3.
10 15
x x
x x
x x
x x
+ +
−
− −
+ +
⇔ = ⇔ = − +
− −
( )
2
0
4( 10) 60 5 150 15 150
20
10 15
x
xx x x x
x x
=
+
⇔ = ⇔ − − = − →
=
− −
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = 0; x = 20.
Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 9 27
.
3 8 64
x x
=
2)
1 2 1
4.9 3 2
x x
− +
=
3)
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
3 3
2 9 27 2 9 3 3 3
. . 3.
3 8 64 3 8 4 4 4
x x x x
x
= ⇔ = ⇔ = → =
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = 3.
2)
( )
2x 3 0
2x 1
x 1 3 2x
2
x 1 2x 1 2x 3 2x 3
2
2x 1
2
4.9 3 3 3
4.9 3 2 1 3 .2 1 3 . 2 1 1 x .
2
2 2
3.2
−
+
−−
−
− + − −
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
3
.
2
x
=
Cách khác:
2 3
1 2 1 1 2 1
81 81 18.81 9 9 3
4.9 3 2 16.81 9.2 16. 9.2.4 .
81 4 16 2 2 2
x x
x
x x x x x
x
− + − +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:
04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
3)
( ) ( )
( )
1
11
5 2 5 2 , 1 .
x
xx
−
−+
+ = −
Điều kiện:
1 0 1.
x x
+ ≠ ⇔ ≠ −
Do
( )( ) ( )
1
1
5 2 5 2 1 5 2 5 2
5 2
−
+ − = → − = = +
+
( ) ( )
1 1
1
1 1 1 1 0
2
1 1
xx
x x x
x x
−
=
⇔ − = ⇔ − + = ⇔
= −
+ +
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m là x = 1 và x = –2.
Ví dụ 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
( )
2
11
32
2 2 4
x
xx
−
+
=
2)
( ) ( )
2
5 6
3 2 3 2
x x−
+ = −
3)
(
)
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+ − −
− = −
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
( )
( )
2
11
32
2 2 4, 1 .
x
xx
−
+
=
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
0
1
x
x
>
≠
( )
(
)
( )
( )
( )
3 1
12
3 1
1 2 2 2 2 5 3 0 3 9.
1
x
x x
x
x x x x
x x
+
−
+
⇔ = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ =
−
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m x = 9.
2)
( ) ( )
( )
2
5 6
3 2 3 2 , 2 .
x x−
+ = −
Do
( )( ) ( ) ( ) ( )
1
1
3 2 3 2 1 3 2 3 2 .
3 2
−
+ − = → − = = +
+
( )
( ) ( )
25 6 2
2
2 3 2 3 2 5 6 0
3
x x x
x x x
− −
=
⇔ + = + ⇔ − + = ⇔
=
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
x
= 2 và
x
= 3.
3)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2
2 2 2 2
5 3 2 5 3 5 3.3 5 3 5 5 3.3 3
5 9 5 9
x x x x x x x x x x x x
+ − −
− = − ⇔ − = − ⇔ − = −
2 2
2 2
3
3 25 5 125 5 5
5 3 3.
5 9 3 27 3 3
x x
x x
x
⇔ = ⇔ = ⇔ = → = ±
V
ậy phương trình đã cho có nghiệm
3.
x= ±
Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ 1:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
1 2
7 7 7 342
x x x+ +
+ + =
b)
1 1
5 10.5 18 3.5
x x x
− +
+ + =
c)
1
7.5 2.5 11
x x−
− =
d)
2 2
14.7 4.3 19.3 7
x x x x
+ = −
Ví dụ 2:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a) 2 2 2 2
1 1 2
2 3 3 2
x x x x
− − +
− = −
b) 2
3 2 1
2 16
x x x
+ − +
=
c)
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=
d)
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −
Ví dụ 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ = −
b)
2
1 2 4
9 3
x x
+ −
=
c)
3
8
2
4
3
2 8
x
x
−
−
=
d)
( )
2
932 2
2 2 2 2
x
x x x x
−
− + = − +
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
e)
( )
1
cos cos
2 2
2 2
x
x x
x
x x
+
+ = +
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ MŨ
Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình:
25 30.5 125 0
x x
− + =
Hướng dẫn giải:
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng:
(
)
2
5 30.5 125 0
x x
− + =
.
Đặ
t
5
x
t
=
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n t > 0.
Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
2
5
30 125 0
25
t
t t t
=
− + = ⇔
=
+ V
ớ
i
5 5 5 1
x
t x
= ⇔ = ⇔ =
.
+ V
ớ
i
2
25 5 25 5 5 2
x x
t x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
3 3 10
x x
+ −
+ =
.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
( )
0
2
2
2
3 1 3
0
1
3 3 10 9.3 10 9. 3 10.3 1 0 1
2
33 3
9
x
x x x x x
xx
x
x
+ −
−
= = =
+ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⇔
= −
= =
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là
0, 2.
x x
= = −
Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
1
5 5 4 0
x x−
− + =
2)
2
3 8.3 15 0
x
x
− + =
3)
2 8 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
( )
1
5 5 4 0, 1 .
x x−
− + =
Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
≥
0.
( )
( )
2
5 1 0 0
5
1 5 4 0 5 4.5 5 0
1
51
5 5
x
x x x
xx
x x
x
x
= = =
⇔ − + = ⇔ + − = → ⇔ ⇔
=
=
=
C
ả
hai nghi
ệ
m
đề
u th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m x = 0 và x = 1.
2)
( ) ( )
(
)
( )
2
2
3
3
3 3 2
3 8.3 15 0 3 8. 3 15 0
log 5 log 25
3 5
x
xx x
x
x
x
x
==
− + = ⇔ − + = → ⇔
= =
=
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
3
2 ; log 25.
x x
= =
3)
4
2 8 5 2( 4) 4 2( 4) 4
4 2
3 3 3
3 4.3 27 0 3 4.3 .3 27 0 3 12.3 27 0
3 9 3 2
x
x x x x x x
x
x
x
+
+ + + + + +
+
=⇒= −
− + = ⇔ − + = ⇔ − + = →
= = ⇒= −
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m là x = –2 và x = –3.
Ví dụ 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
2
2 2 3.
x x x x− + −
− =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Đặ
t
2
2 ( 0).
x x
t t
−
= >
. Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành
4 1
43
1 ( ) 2
t x
tt L x
t
= = −
− = ⇔ ⇒
= − =
Ví dụ 5.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x− − − − −
− + =
.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Đặt
2
2
5
2
3
2 5 1
2 ( 0)
9
45 2
4
x x
x
t x x
t t tx
x x
− −
=
= − − =
= > ⇒ ⇒ ⇔
=
=
− − =
Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a) 2 2
1 1
9 3 6 0
x x+ +
− − =
b) 2 2
1 3
9 36.3 3 0
x x− −
− + =
c)
2 2
2 1 2
4 5.2 6 0
x x x x+ − − + −
− − =
d)
3 2 cos 1 cos
4 7.4 2 0
x x+ +
− − =
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
( )
2
6 10
0,2 5
x x x
−
−
=
2)
2
5 2 3
3 2
2 3
x x x
− − +
=
3)
(
)
(
)
4 1 2 3
3 2 2 3 2 2
x x
− +
+ = −
4)
( )
2
1
9. 3 81
x x
x
−
−
=
5) 2
5 4 1
10 1
x x− −
=
6)
2
2
3
1
1
x
x
ee
−
−
=
7)
( )
1
3
1
16. 4
8
x
x
−
=
8)
2
5 7
4 1 1
93
x
x x
−
− −
=
9)
1 4 2
1 2
1
27 .81
9
x x
x x
+ −
− +
=
10)
1 1
3 .
3 27
x x
x
=
11)
( ) ( )
3 2
5 3 2 1
10 3 19 6 10
x x x
− −
− = +
Bài 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1)
( )
3
1 1
x
x
−
+ =
2)
2
5
62
2 16 2
x x− + =
3)
( )
2
1
2
1 1
x
x x
−
− + =
4)
(
)
2
2
1
x
x x
−
− =
5)
( )
2
4
2
2 2 1
x
x x
−
− + =
6)
( ) ( )
2
5 10
2 2
x
x x
x x
+
− −
+ = +
Đ
/s:
x
= -1;
x
= 5
7)
( )
2
4
2
5 4 1
x
x x
−
− + =
Đ
/s:
5 13
2
2
x
x
±
=
= −
8)
( )
2
2
3 3
x x
x x
−
− = −
Đ
/s:
1
2
4
x
x
x
= −
=
=
9)
( )
3
1 1
x
x−
+ =
Đ
/s:
x
= 3
Bài 3:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1)
1 2
2 .3 .5 12
x x x− −
=
2)
4 6
3 4
5 25
x
x
−
−
=
Đ
/s :
7
5
x
=
3)
2 2 1
9.2 8. 3
x x
+
=
4)
5 17
7 3
32 0.25.128
x x
x x
− +
− −
=
Đ
/s :
x
= 13
5)
( ) ( )
4
4
10 3 10 3
x x
x x
−
+
+ = −
6)
( ) ( )
3
3
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −
7)
1 1 2 1 1 1
3.4 3 .9 6.4 2 .9
x x x x
+ − + + − +
+ = −
Đ
/s:
1
2
x
= −
8)
3 1
2 1
2 2
9 2 2 3
x x
x x
+ +
−
− = −
Đ
/s:
9
2
9
log
2 2
x
=
9)
1 1
2 2
2 2
5 9 3 5
x x
x x
+ −
−
− = −
Đ
/s:
3
2
x
=
10)
3 2 2 3
7 9.5 5 9.7
x x x x
+ = +
Đ
/s:
x
= 0
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương trình chia rồi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
3.9 7.6 6.4 0
x x x
+ − =
.
Hướng dẫn giải:
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng:
2
3 2
1
2 3
3 3
3. 7. 6 0
2 2 33 0
2
x
x x
x
x
=⇒= −
+ − = ⇔
= − <
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 1 nghi
ệ
m là x =
−
1.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =
b)
1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =
c)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x+ +
+ − =
d) (ĐH khối A – 2006):
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a (1) cho 9
x
ta
đượ
c
( )
2
2
4 4
12 16 4 4
1
3 3
1 64 84. 27. 0 27. 84. 64 0
2
9 9 3 3 4 16 4
3 9 3
x
x x x x
x
x
x
=
=
⇔ − + = ⇔ − + = → ⇔
=
= =
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
x
= 1 và
x
= 2.
b) Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
x
≠
0.
Đặ
t
( )
2
3 1 5
1 9 6 3 3 2 2
, 2 4 6 9 1 0 1 0
4 4 2 2 3 1 5
0
2 2
t
t t t t
t t t
t
t
x
+
=
− = ⇔ + = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔
−
= <
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c
31 5
22
3 1 5 1 5 1 3
log log .
2 2 2 2
t
t x t
+
+ +
= ⇔ = → = − = −
c)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0 81.9 45.6 36.4 0
x x x x x x+ +
+ − = ⇔ + − =
2
2
3 4 3
2 9 2
9 6 3 3
81. 45. 36 0 81. 45. 36 0 2.
4 4 2 2 31 0
2
x
x x x x
x
x
−
= =
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ → = −
= − <
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = –2.
d)
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
3 2
3 3
.2 2
12 18 27 3 3 3
3 4. 2. 0 2. 4. 3 0 1.
8 8 8 2 2 2 3
. 2 0
2
x
x x x x x x
x
x
=
⇔ + − − = ⇔ + − − = ⇔ → =
= − <
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = 1.
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:
04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng