Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Xét các hàm số
( )
=
y f x
có đồ thị là (C), tập xác định D
1
và hàm số
( )
=
y g x
có đồ thị là (C’), tập xác định
là D
2
. Khi đó số nghiệm của phương trình
( ) ( )
=
f x g x
với
(
1 2
∈ ∩
x D D
chính là số giao điểm của hai đồ
thị đã cho.
Phương trình
( ) ( )
=
f x g x
hay
( ) ( ) 0 ( ) 0
− = ⇔ =
f x g x h x được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
hai đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: [ĐVH].
Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị cho dưới đây :
a)
( )
3
3 2
2
=−−
= −
y x x
y m x
b)
2 1
2
2
+
=
+
= +
x
yx
y x m
c)
( )
4 2
2
1
1 2
= + +
= − +
y x x
y m x m
Hướng dẫn giải:
a)
( )
3
3 2
2
=−−
= −
y x x
y m x
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
3 2
3 2 2 2 2 1 2 , 1
− − = − ⇔ − + + = −x x m x x x x m x
( ) ( ) ( )
22
2
1 2 1 0, 2
=
⇔
+ = ⇔ = + + − =
x
x m h x x x m
S
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1).
Do (1) là ph
ươ
ng trình b
ậ
c ba nên có t
ố
i
đ
a ba nghi
ệ
m, khi
đ
ó s
ố
giao
đ
i
ể
m t
ố
i
đ
a c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là 3.
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i 1
đ
i
ể
m khi (1) ch
ỉ
có m
ộ
t nghi
ệ
m.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) vô nghi
ệ
m, ho
ặ
c có nghi
ệ
m kép x = 2.
T
ừ
đ
ó ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ươ
ng
ứ
ng
( )
01 1 0 0
0
0.
0
21 2
2
′
∆ <
− − < ⇔ <
′
∆ =
⇔ ⇔ <
=
→
= − = − =
o
m m
m
mvn
b
xa
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i 2
đ
i
ể
m khi (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) có nghi
ệ
m kép khác x = 2, ho
ặ
c có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và trong
đ
ó m
ộ
t nghi
ệ
m là x = 2.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
00
2
2
00
9
2 0 9
′
∆ =
→ =
= − ≠
′
∆ >
>
⇔ → =
==
m
b
xa
mm
hm
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i 3
đ
i
ể
m khi (1) có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và
đề
u khác 2
( )
0
0
2 0
9
′
∆ >
>
⇔ ⇔
≠
≠
m
hm
Kết luận:
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi m < 0.
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m khi m = 0 ho
ặ
c m = 9.
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi m > 0 và m
≠
9.
b)
2 1
2
2
+
=
+
= +
x
yx
y x m
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
≠
−
2.
03. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( ) ( )
2
2 1
2 2 2 2 1 0 0, 1 .
2
+= + ⇔ + + + − = ⇔ =
+
xx m x m x m h x
x
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1).
Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2.
Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x =
−
2.
Ta có
( )
2
2
4 4 8 2 1 0
06 2 6 6 2 6
012 12 0
6 2 6 6 2 6.
6 2 6
2
26
2
24
+ + − − <
∆ <
− < < +
∆ =
− + =
⇔ ⇔ ⇔ − < < +
= ±
→
+
= − = −
=
− = −
o
m m m m
m m m
mvn
bm
xm
a
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi (1) có nghi
ệ
m kép khác
−
2 ho
ặ
c có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó m
ộ
t nghi
ệ
m
là x =
−
2.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( ) ( )
2
2
12 12 0 6 2 6
0
6 2 6
26
2
4
2
26 2 6
012 12 0 6 2 6
2 0 8 2 2 2 1 0 3 0
− + = = ±
∆ =
⇔ → = ±
+
≠
− ≠ −
= − ≠ −
⇔
> +
∆ >
− + >
⇔ →
< −
=− + + − =
=
o
m m mm
mm
b
xam
m m
vn
m
hm m
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và đều khác
−
2
Ta có điều kiện:
( ) ( )
2
6 2 6
012 12 0
6 2 6
6 2 6
2 0 8 2 2 2 1 0
6 2 6
3 0
> +
∆ >
− + > > +
⇔ ⇔ →
< −
≠− + + − ≠
< −
≠
m
m m m
m
hm m m
Kết luận:
+ Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi
6 2 6 6 2 6.
− < < +m
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi
6 2 6.
= ±m
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
6 2 6
6 2 6
> +
< −
m
m
c)
( )
4 2
2
1
1 2
= + +
= − +
y x x
y m x m
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
(
)
(
)
(
)
4 2 2 4 2
1 1 2 1 2 0 0, 1 .
+ + = − + ⇔ + + − = ⇔ =x x m x m x mx m h x
S
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1).
Do (1) là ph
ươ
ng trình b
ậ
c b
ố
n nên có t
ố
i
đ
a b
ố
n nghi
ệ
m, khi
đ
ó s
ố
giao
đ
i
ể
m t
ố
i
đ
a c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là 4.
Đặ
t
(
)
(
)
(
)
2 2
, 0 1 2 0, 2
= ≥ → = + + − =t x t h t t mt m
Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi (1) vô nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) vô nghi
ệ
m, ho
ặ
c có nghi
ệ
m kép âm, ho
ặ
c có hai
nghi
ệ
m âm phân bi
ệ
t.
+ (2) vô nghi
ệ
m khi
( ) ( )
2
2 2
0 4 1 2 0 8 4 0 4 20 4 2 5 4 2 5
∆ < ⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ + < ⇔ − − < < − +m m m m m m
+ (2) có nghi
ệ
m kép âm khi
2
08 4 0 4 2 5
4 2 5.
00
0
22
∆ =
+ − = = − ±
⇔ ⇔ → = − +
−
−
= < >
<
m m mm
bm
tm
a
+ (2) có hai nghi
ệ
m âm phân bi
ệ
t khi
2
1 2
1 2
4 2 5
4 2 5
0 8 4.0
1
0 0 0 4 2 5 .
2
1 2 0 1
0
2
> − +
< − −
∆ > + −
+ < ⇔ − < ⇔ > →− + < <
− >
>
<
m
m
m m
t t m m m
m
t t m
H
ợ
p ba kh
ả
n
ă
ng l
ạ
i ta
đượ
c
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau là
1
4 2 5 .
2
− − < <
m
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi (1) có m
ộ
t nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó ch
ỉ
x
ả
y ra khi nghi
ệ
m
đ
ó là x = 0.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Từ đó ta được kiện
1
1 2 0 .
2
− = ⇔ =
m m
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi phương trình (1) có hai nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép dương,
hoặc có hai nghiệm trái dấu.
+ (2) có nghiệm kép dương khi
2
08 4 0 4 2 5
4 2 5.
00
0
22
∆ =
+ − = = − ±
⇔ ⇔ → = − −
−
−
= > <
>
m m mm
bm
tm
a
+ (2) có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u khi
1 2
1
0 1 2 0 .
2
< ⇔ − < ⇔ >
t t m m
H
ợ
p hai kh
ả
n
ă
ng l
ạ
i ta
đượ
c
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m là
4 2 5
1
2
= − −
>
m
m
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m khi (1) có ba nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) có m
ộ
t nghi
ệ
m t = 0 và m
ộ
t nghi
ệ
m t > 0.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ẩ
y ra khi
( )
1 2
1
0 0 1 2 0
.
2
0
00
=− = =
⇔ ⇔ →
− >
+ >
<
o
hmm
vn
m
t t m
V
ậ
y không có giá tr
ị
nào c
ủ
a m
để
hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i 3
đ
i
ể
m.
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m khi (1) có b
ố
n nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, và hai
nghi
ệ
m
đề
u d
ươ
ng.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ẩ
y ra khi
2
1 2
1 2
4 2 5
4 2 5
0 8 4 0
0 0 0 4 2 5.
1 2 0 1
0
2
> − +
> − −
∆ > + − >
+ > ⇔ − > ⇔ < → < − −
− >
>
<
m
m
m m
t t m m m
m
t t m
Kết luận:
+) Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi
1
4 2 5 .
2
− − < <
m
+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi
1
.
2
=
m
+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
4 2 5
1
2
= − −
>
m
m
+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
4 2 5.
< − −m
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
a)
3 2
3
3 4
= + +
= +
y x x x
y x
b)
3
1
2 3
+
=
−
= −
x
yx
y x
Ví dụ 3: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị
3 2
( 1) 2 2
3 4
= + − + +
= −
y x m x mx
y x
theo tham s
ố
m.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị
2
1
1
+
=
−
= +
x m
yx
y mx
theo tham số m.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?
a)
( )
3
3
3
3
= − +
= −
x
y x
y m x
b)
( )
3
2 1
1
= − −
= −
y x x
y m x c)
1
1
2
+
=
−
= − +
x
yx
y x m
Bài 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?
a)
42
2
1
3
2 2
1
= − + +
= +
x
y x
y mx
b)
(
4 2
2
2 3 1
2
= − + + −
= − −
y x m x
y x c) 2
2
1
=
+
= − +
x
yx
y mx