Lý thuyết dao động - Chương 2

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

143
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do Đ.2.1. Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động 2.1.1. Hệ nhiều bậc tự do. Thực tế các hệ cần tính toán dao động phần lớn là các hệ đàn hồi phức tạp, như: dầm, thanh có tiết diện không đổi hoặc thay đổi, các trục thẳng có gắn các đĩa, các trục khuỷu của động cơ đốt trong, các cánh và đĩa tuốc bin v.v... Để xác định đầy đủ biến dạng của hệ sinh ra do dao động, ta cần biết dịch chuyển của tất...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết dao động - Chương 2

Ch−¬ng II Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ nhiÒu bËc tù do §.2.1. Ph−¬ng ph¸p chung thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng 2.1.1. HÖ nhiÒu bËc tù do. Thùc tÕ c¸c hÖ cÇn tÝnh to¸n dao ®éng phÇn lín lµ c¸c hÖ ®µn håi phøc t¹p, nh−: dÇm, thanh cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi hoÆc thay ®æi, c¸c trôc th¼ng cã g¾n c¸c ®Üa, c¸c trôc khuûu cña ®éng c¬ ®èt trong, c¸c c¸nh vµ ®Üa tuèc bin v.v... §Ó x¸c ®Þnh ®Çy ®ñ biÕn d¹ng cña hÖ sinh ra do dao ®éng, ta cÇn biÕt dÞch chuyÓn cña tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña nã, nh÷ng hÖ ®µn håi nh− thÕ cã v« sè bËc tù do. Tuy nhiªn, trong nhiÒu tr−êng hîp viÖc nghiªn cøu dao ®éng ë c¸c hÖ phøc t¹p v« sè bËc tù do gÆp nhiÒu khã kh¨n vÒ to¸n häc. ViÖc tÝnh to¸n thùc tÕ kü thuËt ph¶i ®−a vµo c¸c s¬ ®å ®¬n gi¶n ®Ó tÝnh to¸n hÖ dao ®éng. Cã nhiÒu c¸ch ®¬n gi¶n ho¸ kh¸c nhau, mét trong c¸c c¸ch ®−îc sö dông réng r·i lµ: Thay hÖ phøc t¹p b»ng mét hÖ kh¸c ®¬n gi¶n h¬n víi khèi l−îng vµ ®é cøng ph©n bè kh¸c ®i, nh−ng gÇn hÖ ®· cho ë chç: Gi¸ trÞ tÝnh to¸n kh«ng kh¸c mÊy gi¸ trÞ thùc. HÖ nµy ®−îc gäi lµ hÖ thu gän (hay hÖ t−¬ng ®−¬ng). Ph−¬ng ph¸p nµy cho phÐp ta thay c¸c hÖ v« sè bËc tù do b»ng hÖ h÷u h¹n bËc tù do t−¬ng ®−¬ng. Ta minh ho¹ ý t−ëng tr×nh bµy trªn b»ng vÝ dô ®¬n gi¶n sau ®©y: T¶i A träng m ®−îc treo vµo ®iÓm A cè ®Þnh b»ng lß xo AB (H×nh 2-1). NÕu kÓ ®Õn sù ph©n bè khèi l−îng cña lß xo th× hÖ sÏ cã v« sè bËc tù do. Nh−ng nÕu khèi B l−îng cña t¶i träng m v−ît xa khèi l−îng cña lß xo vµ yªu cÇu chØ x¸c ®Þnh tÇn q m sè dao ®éng nhá nhÊt, ta cã thÓ bá qua khèi l−îng lß xo vµ chØ tÝnh ®Õn tÝnh ®µn håi cña nã. MÆt kh¸c chØ xÐt ®Õn dÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña t¶i träng m th× ta hoµn toµn cã thÓ xem hÖ cã mét bËc tù do, vÞ trÝ cña hÖ dao ®éng ®−îc H×nh 2-1 x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi to¹ ®é suy réng q. 2.1.2. Ph−¬ng ph¸p chung thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng. ViÖc lùa chän ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ nhiÒu bËc tù do phô thuéc vµo m« h×nh c¬ häc cña hÖ. §èi víi c¸c c¬ hÖ gåm c¸c chÊt ®iÓm, c¸c vËt r¾n, c¸c lß xo bá qua khèi l−îng, c¸c bÖ gi¶m chÊn ma s¸t, ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh dao ®éng. §èi víi c¸c kÕt cÊu ®µn håi, nh− dao ®éng uèn cña dÇm cã khèi l−îng tËp trung, ..., ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng ph¸p lùc, ... Trong phÇn tr×nh bµy nµy, ta nªu c¸ch ¸p dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ nhiÒu bËc tù do. XÐt hÖ N chÊt ®iÓm, cã n bËc tù do, chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã thÕ, c¸c lùc c¶n phô thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc vµ c¸c lùc kÝch ®éng lµ hµm bÊt kú cña thêi gian Pi(t) (i = 1, n ). 38
Gäi q1, q2, ... qn (qi, i = 1, n ) lµ c¸c to¹ ®é suy réng cña hÖ: Q iπ , Q φ , Q iP lµ c¸c lùc suy i réng cña c¸c lùc cã thÕ, c¸c lùc c¶n vµ c¸c lùc kÝch ®éng Pi(t), ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II viÕt cho hÖ cã d¹ng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T π φ ⎟ − ∂q = Q i + Q i + Q i ; i = 1, n Pi (2-1) dt ⎜ • ⎜∂q ⎟ ⎝i ⎠ i ∂π ∂φ ë ®©y: Q iπ = − ; Q φ = − • ; Q iPi = Q i (t ) ; i = 1, n ∂q i i ∂ qi XÐt víi dao ®éng nhá, ta cã: • • 1n n T= ∑ ∑ (a ij = a ji ) a ij q i q j 2 i =1 j =1 1n n ∑ ∑ π= (c ij = c ji ) c ij q i q j 2 i =1 j =1 • • 1n n ∑ ∑ φ= (b ij = b ji ) b ij q i q j 2 i =1 j =1 C¸c hÖ sè aij, cij, bij tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xin-vÐc-tr¬ vµ lµ c¸c h»ng sè. Thay c¸c biÓu thøc trªn vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II, ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ: •• • n n n ∑ a ij q j ∑ b ij q j + ∑ c ij q j = Q i (t ); i = 1, n (2-2) j=1 j=1 j=1 ViÕt cô thÓ hÖ (2-2) ta cã: ⎧ •• •• •• • • • a 11 q 1 + a 12 q 2 + ... + a 1n q n + b 11 q 1 + b 12 q 2 + ... + b 1n q n + c11 q 1 + c12 q 2 + ... + c1n q n = Q 1 (t ) ⎪ ⎪ •• •• •• • • • ⎪a 21 q 1 + a 12 q 2 + ... + a 2 n q n + b 21 q 1 + b 22 q 2 + ... + b 2 n q n + c 21 q 1 + c 22 q 2 + ... + c 2 n q n = Q 2 (t ) ⎨ ⎪....................................................................................................... ⎪ •• •• •• • • • ⎪a n1 q 1 + a n 2 q 2 + ... + a nn q n + b n1 q 1 + b n 2 q 2 + ... + b nn q n + c n1 q 1 + c n 2 q 2 + ... + c nn q n = Q n (t ) ⎩ (2-2a) HÖ (2-2a) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng ma trËn: •• • a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n c11 c12 ... c1n Q1 q1 q1 q1 •• • a21 a22 ... a2n b b ... b2n q 2 c21 c22 ... c2n q 2 Q2 q2 + 21 22 = + (2-2b) .................... ... .................... ... .................... ... ... •• • an1 an2 ... ann bn1 bn2 ... bnn cn1 cn2 ... cnn Qn qn q1 q1 39
HoÆc cho gän ta biÓu diÔn nã d−íi d¹ng vÐct¬: •• • A q + B q + C q = Q (t ) (2-2c) 2.1.3. Nh÷ng nguyªn t¾c gi¶i ph−¬ng tr×nh dao ®éng cña hÖ. NÕu nh÷ng lùc kÝch ®éng ngoµi thay ®æi theo quy luËt ®iÒu hoµ h×nh sin cã cïng tÇn sè vµ pha th× ®¬n gi¶n h¬n c¶ lµ sö dông ph−¬ng ph¸p trùc tiÕp, nghÜa lµ t×m chuyÓn ®éng ë d¹ng: qi = Aisin kt. Ph−¬ng ph¸p nµy cã thÓ ¸p dông cho c¸c bµi to¸n phøc t¹p h¬n, khi c¸c lùc kÝch ®éng thay ®æi theo chu kú. Trong tr−êng hîp nµy, cÇn ph©n tr−íc c¸c lùc kÝch ®éng ra c¸c thµnh phÇn ®iÒu hoµ. Ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t h¬n lµ ph©n nghiÖm theo c¸c d¹ng riªng cña dao ®éng. §iÒu chñ yÕu cña ph−¬ng ph¸p nµy lµ ë chç: Nhê nã mµ ta nhËn ®−îc nghiÖm cña bµi to¸n víi bÊt kú lùc kÝch ®éng ®· cho. Ta tr×nh bµy mét tr−êng hîp t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p trùc tiÕp. XÐt dao ®éng tù do cña hÖ thanh b¶o toµn (kh«ng c¶n), khi ®ã phÇn vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh (2-2a) b»ng kh«ng: Q i = 0 (i = 1, n) vµ c¸c hÖ sè b ij = 0 (i, j = 1, n) . Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ ®−îc m« t¶ b»ng hÖ n ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt: ⎧ •• •• •• a 11 q 1 + a 12 q 2 + .... + a 1n q n + c11 q 1 + c12 q 2 + ... + c1n q n = 0 ⎪ ⎪ •• •• •• ⎪a 21 q 1 + a 22 q 2 + ... + a 2 n q n + c 21 q 1 + c 22 q 2 + ... + c 2 n q n = 0 (2-3) ⎨ ⎪..................................................................................... ⎪ •• •• •• ⎪a n1 q 1 + a n 2 q 2 + ... + a nn q n + c n1 q 1 + c n 2 q 2 + ... + c nn q n = 0 ⎩ C¸c tÝch ph©n riªng cña hÖ t×m ë d¹ng: q i = A i cos(kt + α); i = 1, n (2-4) Thay (2-4) vµo (2-3) ta nhËn ®−îc: ⎧ ⎪(c 11 − a 11 k )A 1 + (c 12 − a 12 k )A 2 + ... + (c 1n − a 1n k )A n = 0 2 2 2 ⎪(c − a k 2 )A + (c − a k 2 )A + ... + (c − a k 2 )A = 0 (2-5) ⎨ 21 21 1 22 22 2 2n 2n n ⎪........................................................................................... ⎪ ⎩(c n1 − a n1 k )A 1 + (c n 2 − a n 2 k )A 2 + ... + (c nn − a nn k )A n = 0 2 2 2 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ tån t¹i c¸c nghiÖm A i (i = 1, n) kh«ng tÇm th−êng lµ: c 11 − a 11 k 2 c 12 − a 12 k 2 ... c 1n − a 1n k 2 c 21 − a 21 k 2 c 22 − a 22 k 2 ... c 2n − a 2n k 2 (2-6) =0 ................................................................... c n1 − a n1 k 2 c n 2 − a n 2 k 2 ... c nn − a nn k 2 (2-6) gäi lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Nã lµ ph−¬ng tr×nh bËc n ®èi víi k2. Khi gi¶i (2-6) ta nhËn ®−îc n tÇn sè riªng k2. Gi¶ sö ta ®−îc c¸c tÇn sè riªng kh¸c nhau: k1 < k2 < ... < kn, khi ®ã ta cã: 40
⎧q 1 = A 11 cos( k 1 t + α 1 ) + A 12 cos( k 2 t + α 2 ) + ... + A 1n cos( k n t + α n ) ⎪ ⎪q 2 = A 21 cos( k 1 t + α 1 ) + A 22 cos( k 2 t + α 2 ) + ... + A 2 n cos( k n t + α n ) ⎨ (2-7) ⎪....................................................................................................... ⎪q n = A n1 cos( k 1 t + α 1 ) + A n 2 cos( k 2 t + α 2 ) + ... + A nn cos( k n t + α n ) ⎩ Ta ®−a ra hÖ sè ph©n phèi: A ij μ ij = = f i (c rs − a rs k 2 ); i, j = 1, n (2-8) j A sj Trong ®ã víi Aij th× chØ sè ®Çu (i) chØ sè täa ®é suy réng; chØ sè thø hai (j) chØ tÇn sè riªng. Khi sö dông (2-8) ta viÕt nghiÖm cña (2-3) ë d¹ng: ⎧q 1 = A 1 cos(k 1 t + α1 ) + A 2 cos(k 2 t + α 2 ) + ... + A n cos(k n t + α n ) ⎪q = A μ cos(k t + α ) + A μ cos(k t + α ) + ... + A μ cos(k t + α ) ⎪2 1 21 1 1 2 22 2 2 n 2n n n ⎨ (2-9) ⎪.................................................................................................. ⎪q n = A 1μ n1 cos(k 1 t + α 1 ) + A 2 μ n 2 cos(k 2 t + α 2 ) + ... + A n μ nn cos(k n t + α n ) ⎩ C¸c h»ng sè Aj vµ α j (tÊt c¶ cã 2n h»ng sè) ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu: • q i 0 vµ q i 0 . §.2.2. Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ cã hai bËc tù do. 2.2.1. Dao ®éng tù do kh«ng cã c¶n. 2.2.1a. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng XÐt hÖ dao ®éng cã hai bËc tù do, chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã thÕ. Gäi to¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña c¬ hÖ lµ: q1, q2. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II trong tr−êng hîp nµy cã d¹ng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q ; i = 1, 2 (a) dt ⎜ ⎟ ⎝ ∂ qi ⎠ i i 1⎛ •2⎞ •2 •• ⎜ a 11 q 1 + 2a 12 q 1 q 2 + a 22 q 2 ⎟ Víi dao ®éng nhá: T = ⎜ ⎟ 2⎝ ⎠ 1 π= (c11 q 1 + 2c12 q 1 q 2 + c 22 q 2 ) 2 (b) 2 2 Thay (b) vµo (a) vµ rót gän ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ dao ®éng: ⎧ •• •• ⎪a 11 q 1 + a 12 q 2 + c11q1 + c12 q 2 = 0 ⎨ •• (2-10) •• ⎪a 12 q 1 + a 22 q 2 + c12 q 1 + c 22 q 2 = 0 ⎩ 41
2.2.1b. TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng, ph−¬ng tr×nh tÇn sè. HÖ (2-10) lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp II thuÇn nhÊt hÖ sè kh«ng ®æi. Theo (2-4) ta t×m nghiÖm cña nã d−íi d¹ng: q 1 = A 1 sin( kt + α); q 2 = A 2 sin( kt + α) (2-11) Trong ®ã: k lµ tÇn sè vßng (riªng); A1, A2 lµ c¸c biªn ®é; α lµ pha ban ®Çu. C¸c ®¹i l−îng nµy ®−îc x¸c ®Þnh trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n. Thay (2-11) vµo (2-10) ta nhËn ®−îc hÖ hai ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt ®èi víi c¸c biªn ®é A1 vµ A2: ⎧ A 1 (c11 − a 11 k 2 ) + A 2 (c12 − a 12 k 2 ) = 0 ⎨ (2-12) ⎩A 1 (c12 − a 12 k ) + A 2 (c 22 − a 22 k ) = 0 2 2 HÖ (2-12) chøa ba Èn sè A1, A2 vµ k. Ta bæ xung ph−¬ng tr×nh thø ba b»ng c¸ch sau: NÕu lo¹i trõ nghiÖm tÇm th−êng A1 = A2 = 0, ®Ó hÖ (2-12) cã hai nghiÖm sè ®èi víi A1, A2 kh¸c kh«ng th× ®Þnh thøc cña hÖ ph¶i b»ng kh«ng. Ta cã: c11 − a 11 k 2 c12 − a 12 k 2 =0 c12 − a 12 k 2 c 22 − a 22 k 2 (c11 – a11k2)( c22 – a22k2)( c12 – a12k2)2 = 0 Hay: (2-13) Ph−¬ng tr×nh (2-13) gäi lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Râ rµng lµ chØ víi c¸c gi¸ trÞ cña k tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh tÇn sè th× c¸c gi¸ trÞ A1, A2 vµ do ®ã míi tån t¹i c¸c ®¹i l−îng q1, q2 kh¸c kh«ng. Ph−¬ng tr×nh (2-13) lµ ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng, trong tr−êng hîp tæng qu¸t cã hai gi¸ trÞ ®èi víi k2. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai nghiÖm sè víi k2 lµ thùc vµ d−¬ng lµ: D¹ng toµn ph−¬ng cña ®éng n¨ng, thÕ n¨ng cña hÖ x¸c ®Þnh d−¬ng, nghÜa lµ: a11 > 0; a22 > 0; (a11a22 – a212) > 0 c11 > 0; c22 > 0; (c11c22 – c212) > 0 (c) Víi c¸c gi¸ trÞ trªn cña k2 th× q1, q2 lµ hµm biÓu diÔn sù phô thuéc cña hµm sin vµo thêi gian t. NÕu c¸c gi¸ trÞ cña k2 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn th× chuyÓn ®éng cña hÖ kh«ng dao ®éng. Ta xÐt hai tr−êng hîp: a). TÇn sè b»ng nhau: k1 = k2 = k trong tr−êng hîp nµy c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ (2-10) ®éc lËp nhau. NghiÖm cña chóng biÓu thÞ b»ng: q1=A1sin(kt + α1); q2 =A2sin(kt + α2) (2-14) C¸c hÖ sè A1, A2, α 1, α2 ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu t = 0; q1(0) = q10, q2(0) = q20; • • • • q 1 (0) = q 10 ; q 2 (0) = q 20 . VËy, khi tÇn sè nh− nhau hÖ thùc hiÖn dao ®éng ®iÒu hoµ, c¸c hµm q1, q2 thay ®æi theo quy luËt h×nh sin ®éc lËp nhau. 42
b). TÇn sè kh¸c nhau: Gi¶ sö k1 < k2, trong ®ã k1 gäi lµ tÇn sè c¬ b¶n. C¸c dao ®éng øng víi c¸c tÇn sè k1, k2 gäi lµ c¸c dao ®éng chÝnh cña hÖ. Ph−¬ng tr×nh dao ®éng chÝnh thø nhÊt (dao ®éng c¬ b¶n) cã d¹ng: q 11) = A 11 sin( k 1 t + α1 ); q (21) = A 21 sin( k 1 t + α 1 ) ( (2-15) Ph−¬ng tr×nh dao ®éng chÝnh thø hai cã d¹ng: q 12 ) = A 12 sin( k 2 t + α 2 ); q (22 ) = A 22 sin( k 2 t + α 2 ) ( (2-16) TÝch ph©n tæng qu¸t cña hÖ (2-10) ®−îc biÓu thÞ b»ng: ⎧q 1 = q 11) + q 12) = A 11 sin(k 1 t + α 1 ) + A 12 sin(k 2 t + α 2 ) ( ( ⎪ ⎨ (2-17) ⎪q 2 = q (21) + q (22 ) = A 21 sin(k 1 t + α 1 ) + A 22 sin(k 2 t + α 2 ) ⎩ Khi chó ý tíi (2-8), trong tr−êng hîp kh¶o s¸t ta cã: c − a 12 k 1 ⎫ c − a 11 k 1 q (21) A 21 2 2 μ 21 = = − 12 = = − 11 2⎪ c 22 − a 22 k 1 ⎪ c12 − a 12 k 2 q 11) A 11 ( ⎬ 2 (2-18) c11 − a 11 k 2 c12 − a 12 k 2 ⎪ q (22 ) A 22 μ 22 = (2) = =− =− 2 2 c 22 − a 22 k 2 ⎪ c12 − a 12 k 2 2⎭ A 12 q1 2 NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (2-10) khi tÝnh ®Õn hÖ sè ph©n phèi cã d¹ng: q 1 = A 1 sin( k 1 t + α1 ) + A 2 sin( k 2 t + α 2 ) ⎫ ⎬ (2-19) q 2 = A1μ 21 sin( k 1 t + α1 ) + A 2 μ 22 sin( k 2 t + α 2 )⎭ C¸c h»ng sè A1, A2, α1, α 2 ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu t = 0: q1(0) = q10; • • • • q2(0) = q20; q 1 (0) = q 10 ; q 2 (0) = q 20 . VËy, khi tÇn sè kh¸c nhau, dao ®éng nhá tù do cña hÖ hai bËc tù do ®−îc t¹o thµnh tõ tæng hai dao ®éng ®iÒu hoµ chÝnh víi tÇn sè k1, k2. 2.2.1c. C¸c to¹ ®é chÝnh. §Ó biÓu thÞ ®¬n gi¶n hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (2-10) vµ nghiÖm cña nã (2-19) ng−êi ta ®−a vµo kh¸i niÖm c¸c to¹ ®é chÝnh. C¸c to¹ ®é suy réng θ1, θ 2 ®−îc chän ®Æc biÖt sao cho biÓu thøc ®éng n¨ng T cña hÖ chØ chøa tæng b×nh ph−¬ng cña c¸c vËn tèc suy réng • π cña hÖ chØ chøa tæng b×nh ph−¬ng cña c¸c to¹ ®é suy θ i (i = 1, 2) cßn biÓu thøc thÕ n¨ng réng θi(i = 1, 2) th× c¸c to¹ ®é suy réng θ1, θ 2 ®−îc gäi lµ c¸c to¹ ®é chÝnh cña hÖ. Víi c¸c to¹ ®é chÝnh, th× c¸c ma trËn khèi l−îngvµ c¸c ma trËn ®é cøng tõ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng ®Òu cã d¹ng ®−êng chÐo. Theo ®Þnh nghÜa trªn, ta cã: §éng n¨ng, thÕ n¨ng cña hÖ biÓu thÞ b»ng: 1⎛ • •2⎞ ( ) 2 1 ⎜ a 1 θ1 + a 2 θ 2 ⎟; π = c1θ1 + c 2 θ 2 T= 2 (2-20) ⎜ ⎟ 2 2⎝ ⎠ 2 43
ë ®©y: a1, a2 lµ c¸c hÖ sè qu¸n tÝnh; c1, c2 lµ c¸c hÖ sè tùa ®µn håi. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ hai bËc tù do cã d¹ng: ⎧ •• ⎪ a 1 θ 1 + c 1 θ1 = 0 ⎨ •• (2-21) ⎪a 2 θ 2 + c 2 θ 2 = 0 ⎩ BiÕn sè trong c¸c ph−¬ng tr×nh nµy ®éc lËp, nªn cã thÓ thùc hiÖn tÝch ph©n tõng ph−¬ng tr×nh. NTQ cña (2-21) cã d¹ng: θ1 = B1sin(k1t+β1); θ2 = B2sin(k2t+β2) (2-22) c1 c2 Trong ®ã: k 1 = , k2 = lµ c¸c tÇn sè cña c¸c dao ®éng chÝnh (tÇn sè riªng) a1 a2 cña hÖ. C¸c h»ng sè B1, B2, β1, β 2 ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ®· biÕt. VËy, khi viÕt theo to¹ ®é chÝnh, ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ ®−a vÒ hÖ hai ph−¬ng tr×nh ®éc lËp gièng nh− trong tr−êng hîp tÇn sè b»ng nhau. ThÝ dô 2.1: Cho m« h×nh cña hÖ nh− h×nh vÏ (H×nh 2-2). HÖ chuyÓn dÞch kh«ng ma s¸t theo h−íng ngang. X¸c ®Þnh chuyÓn ®éng dao ®éng cña hÖ, gi¶ thiÕt r»ng t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu t¶i träng m2 nhËn ®−îc vËn tèc tøc thêi V0 h−íng vÒ bªn ph¶i. TÝnh tÇn sè dao ®éng chÝnh vµ c¸c hÖ sè ph©n phèi trong tr−êng hîp m1= m2 = m, C1= C2 = C. q1 q2 C1 C2 q m1 m2 H×nh 2-2 Bµi gi¶i: HÖ cã hai bËc tù do. Chän q1, q2 lµ c¸c to¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña hÖ. Trong qu¸ tr×nh dao ®éng, c¸c lß xo chÞu c¸c lùc ®µn håi lµ: F1 = C1q1, F2 = C2(q2 – q1). ThÕ n¨ng vµ ®éng n¨ng cña hÖ b»ng: C 1 q 1 C 2 (q 2 − q 1 ) 2 •2 •2 2 1 1 π= + ; T = m1 q 1 + m 2 q 2 (1) 2 2 2 2 Thay c¸c biÓu thøc trªn vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II: 44
⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π − =− ; i = 1, 2 (2) dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂q • ∂q i ⎜ ⎟ ⎝i ⎠ i ⎧ •• ⎪m 1 q + C 1 q 1 − C 2 ( q 2 − q 1 ) = 0 Ta nhËn ®−îc: ⎨ ••1 (3) ⎪m 2 q + C 2 ( q 2 − q 1 ) = 0 ⎩ 2 Ta thö tháa m·n ph−¬ng tr×nh (3) b»ng c¸c hµm: q1=A1sin(kt + α); q2 =A2sin(kt +α) (4) Thay (4) vµo (3), ta nhËn ®−îc hÖ: ⎧ ⎪− C 1 A 1 + C 2 ( A 2 − A 1 ) = m 1 A 1 k 2 ⎨ (5) ⎪− C 2 ( A 2 − A 1 ) = − m 2 A 2 k 2 ⎩ HÖ (5) chøa ba Èn sè: C¸c biªn ®é A1, A2 vµ tÇn sè k. Ta cã ph−¬ng tr×nh tÇn sè theo (2-13): C 1 + C 2 − m1 k 2 −C2 =0 −C2 C2 − m2k2 ⎛ C + C 2 C 2 ⎞ 2 C 1C 2 Hay: k 4 − ⎜ 1 ⎟k + + =0 (6) ⎜m m2 ⎟ ⎝ ⎠ m1m 2 1 Gi¶i (6), t×m ®−îc: ⎧ 2 1 ⎛ C1 + C 2 C 2 ⎞ 1 ⎛ C1 + C 2 C 2 ⎞ ⎪k = CC ⎜ ⎟− ⎜ ⎟− 12 + + 2 ⎜ m1 m2 ⎟ 4 ⎜ m1 m2 ⎟ ⎪1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m1m 2 ⎪ ⎨ (7) ⎪ 2 1 ⎛ C1 + C 2 C 2 ⎞ 1 ⎛ C1 + C 2 C 2 ⎞ CC ⎪k 2 = ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟− 12 + + 2 ⎜ m1 m2 ⎟ 4 ⎜ m1 m2 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m1m 2 ⎩ ⎧q = A 11 sin( k 1 t + α1 ) + A 12 sin(k 2 t + α 2 ) NTQ cã d¹ng: ⎨ 1 (8) ⎩q 2 = A 21 sin(k 1 t + α1 ) + A 22 sin(k 2 t + α 2 ) Tõ (3), ta cã: a11 = m1 ; a22 = m2 ; a12 = 0; c11 = C1 + C2 ; c22 = C2 ; c12 = − C2; Nªn c¸c hÖ sè ph©n phèi b»ng: C 1 + C 2 − m1 k 1 C1 + C 2 − m 2 k 2 2 μ 21 ; μ 22 = = 2 (9) C2 C2 Do ®ã cã thÓ viÕt NTQ (8) d−íi d¹ng: 45
⎧q 1 = A 1 sin(k 1 t + α 1 ) + A 2 sin(k 2 t + α 2 ) ⎨ (10) ⎩q 2 = μ 21 A 1 sin(k 1 t + α 1 ) + μ 22 A 2 sin(k 2 t + α 2 ) Chän gèc tÝnh q1, q2 t¹i vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh c¸c t¶i träng (lß xo ch−a biÕn d¹ng). §iÒu kiÖn ban ®Çu t = 0, viÕt ®−îc: • • • • q1(0) = q10 = 0; q2(0) = q20 = 0; q 1 (0) = q 10 = 0; q 2 (0) = q 20 = V0 Thay ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµo (10) vµ ®¹o hµm cña nã, ta cã hÖ sau: ⎧A 1 sin α1 + A 2 sin α 2 = 0 ⎪μ A sin α + μ A sin α = 0 ⎪ 21 1 1 22 2 2 ⎨ (11) ⎪A 1 k 1 cos α1 + A 2 k 2 cos α 2 = 0 ⎪μ 21 A 1 k 1 cos α1 + μ 22 A 2 k 2 cos α 2 = V0 ⎩ V0 V0 Gi¶i (11) ta cã: α1 = α2 = 0; A 1 = ; A2 = (12) k 1 (μ 21 − μ 22 ) k 2 (μ 22 − μ 21 ) Khi thay (7), (12) vµo (10) ta nhËn ®−îc kÕt qu¶ cuèi cïng cña bµi to¸n. Tr−êng hîp: m1 = m2 = m; C1 = C2 = C, tõ (7) vµ (9) ta cã: C ⎛3− 5 ⎞ 2 C ⎛3+ 5 ⎞ 1+ 5 1− 5 ⎜ ⎟; k2 = ⎜ ⎟ ; μ 21 = k1 = = 1,618 ; μ 22 = = −0,618 2 m⎜ 2 ⎟ m⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 2.2.2. Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng c¶n. 2.2.2a. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng. XÐt dao ®éng cña hÖ hai bËc tù do chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã thÕ vµ c¸c lùc kÝch ®éng ®iÒu hoµ h×nh sin. Gäi q1, q2 lµ c¸c to¹ ®é suy réng ®éc lËp cña hÖ. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng: ⎞ ⎛ ⎟ ∂T d ⎜ ∂T ∂π ⎟ − ∂q = − ∂q + Q i ; i = 1, 2 P (a) dt ⎜ • ⎟ ⎜∂q ⎠ ⎝i i i Trong tr−êng hîp dao ®éng nhá: 1⎛ •2⎞ ( ) •2 •• 1 ⎜ a 11 q 1 + 2a 12 q 1 q 2 + a 22 q 2 ⎟; π = c11 q 1 + 2c12 q 1 q 2 + c 22 q 2 T= 2 (b) ⎜ ⎟ 2 2⎝ ⎠ 2 Thay (b) vµo (a) vµ gi¶ thiÕt r»ng: C¸c lùc kÝch ®éng ®iÒu hoµ cã cïng tÇn sè p vµ pha ban ®Çu δ. C¸c lùc suy réng t−¬ng øng cña chóng b»ng: QiP = Hisin(pt+δ), i = 1, 2. Khi ®ã ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ hai bËc tù do: ⎧ •• •• ⎪ a 11 q 1 + a 12 q 2 + c11 q 1 + c12 q 2 = H 1 sin( pt + δ) ⎨ •• (2-23) •• ⎪a 21 q 1 + a 22 q 2 + c 21 q 1 + c 22 q 2 = H 2 sin( pt + δ) ⎩ 46
2.2.2b. TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng. NghiÖm tæng qu¸t cña hÖ (2-23) ®−îc t×m d−íi d¹ng tæng NTQ cña ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng vµ mét NR cña nã. Ta cã: ⎧ ⎪q 1 = C1 sin(k 1 t + β1 ) + C 2 sin( k 2 t + β 2 ) + q 1 ⎨ (2-24) ⎪q 2 = μ 21C1 sin(k 1 t + β1 ) + μ 22 C 2 sin(k 2 t + β 2 ) + q 2 ⎩ Trong ®ã: k1, k2 lµ c¸c tÇn sè dao ®éng chÝnh, ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh tÇn sè (2-13) μ21, μ22 lµ c¸c hÖ sè ph©n phèi ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (2-18). B©y giê ta t×m NR cña hÖ (2-23) x¸c ®Þnh dao ®éng c−ìng bøc thuÇn tuý d−íi d¹ng: q i = A iP sin(pt + δ); i = 1, 2 (2-25) •• Tõ ®ã cã: q i = A iP p 2 sin( pt + δ); i = 1, 2 (2-26) Thay (2-25), (2-26) vµo (2-23) ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh AiP; i = 1, 2 ⎧ (c11 − a 11 p 2 )A 1P + (c12 − a 12 p 2 )A 2 P = H 1 ⎨ (2-27) ⎩(c12 − a 12 p )A 1P + (c 22 − a 22 p )A 2 P = H 2 2 2 Gi¶i (2-27) nhËn ®−îc: ⎧ H 1 (c 22 − a 22 p 2 ) − H 2 (c12 − a 12 p 2 ) A 1P = ⎪ ⎪ (c11 − a 11 p 2 )(c 22 − a 22 p 2 ) − (c12 − a 12 p 2 ) 2 ⎨ (2-28) H 2 (c11 − a 11 p 2 ) − H 1 (c12 − a 12 p 2 ) ⎪A = ⎪ 2 P (c11 − a 11 p 2 )(c 22 − a 22 p 2 ) − (c12 − a 12 p 2 ) 2 ⎩ Thay (2-28) vµo (2-25) ta ®−îc ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh d¹ng dao ®éng c−ìng bøc thuÇn tóy cña hÖ. Ta cã mét sè nhËn xÐt sau: a). Dao ®éng c−ìng bøc trong tr−êng hîp kh¶o s¸t lµ ®iÒu hoµ víi tÇn sè lµ tÇn sè cña lùc kÝch ®éng. b). Biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc kh«ng phô thuéc vµo c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ ®−îc x¸c ®Þnh chØ b»ng c¸c tÝnh chÊt cña hÖ (khèi l−îng vµ ®é cøng) vµ c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ. §Ó cã biÓu thøc cuèi cïng nghiÖm cña bµi to¸n, c¸c h»ng sè C1, C2, β1, β2 trong NTQ ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu. 2.2.2c. HiÖn t−îng céng h−ëng. C¸c dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ trong tr−êng hîp kh¶o s¸t thùc hiÖn víi biªn ®é biÓu thÞ theo c¸c biÓu thøc (2-28). C¸c mÉu sè cña chóng lµ ®a thøc bËc hai ®èi víi p2. MÆt kh¸c tõ ph−¬ng tr×nh tÇn sè (2-13), ta cã thÓ thÊy: C¸c tÇn sè k12, k22 lµ nghiÖm cña ®a thøc trªn. Do ®ã cã thÓ biÓu diÔn: 47
(c11 – a11p2)(c22 – a22p2) – (c12 – a12p2)2 = (a11a22 – a122)(p2 – k12)(p2 – k22) C¸c biÓu thøc (2-28) trë thµnh: H 1 (c 22 − a 22 p 2 ) − H 2 (c12 − a 12 p 2 ) ⎫ A 1P = ⎪ (a 11a 22 − a 12 )(p 2 − k 1 )(p 2 − k 2 ) ⎪ 2 2 2 ⎬ (2-29) H 2 (c11 − a 11 p 2 ) − H 1 (c12 − a 12 p 2 ) ⎪ = A 2P (a 11a 22 − a 12 )(p 2 − k 1 )(p 2 − k 2 ) ⎪ 2 2 2 ⎭ Víi p = k1 hoÆc p = k2 (tÇn sè lùc kÝch ®éng b»ng mét trong c¸c tÇn sè riªng cña hÖ), c¸c biªn ®é dao ®éng c÷ng bøc theo (2-29) sÏ t¨ng v« h¹n theo thêi gian. C¸c gi¸ trÞ trªn cña tÇn sè lùc kÝch ®éng lµ c¸c gi¸ trÞ nguy hiÓm (tíi h¹n). Ta cã hiÖn t−îng céng h−ëng. Khi x¶y ra céng h−ëng, biÓu thøc (2-25) sÏ mÊt ý nghÜa. §Ó biÓu diÔn dao ®éng c−ìng bøc thuÇn tuý (NR) trong tr−êng hîp nµy, ta thö viÕt ph−¬ng tr×nh ë c¸c to¹ ®é chÝnh. BiÓu thÞ q1, q2 qua c¸c to¹ ®é chÝnh θ1, θ 2 ë d¹ng sau: q1 = θ1 + θ2; q2 = μ21θ1 + μ22θ2 (2-30) C¸c lùc suy réng cña c¸c lùc kÝch ®éng ngoµi theo c¸c to¹ ®é chÝnh ®−îc x¸c ®Þnh trªn c¬ së biÓu thøc tÝnh c«ng ¶o vµ cã: ⎧ Q1* = Q1 + μ 21Q P = (H 1 + μ 21 H 2 ) sin( pt + δ) P P ⎨P 2 (2-31) ⎩Q 2* = Q1 + μ 22 Q 2 = (H 1 + μ 22 H 2 ) sin( pt + δ) P P Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ dao ®éng viÕt cho to¹ ®é chÝnh cã d¹ng: H 1 + μ 21 H 2 ⎧•• ⎪θ1 + k 1 θ1 = sin(pt + δ) 2 ⎪ a1 ⎨•• (2-32) ⎪θ 2 + k 2 θ = H 1 + μ 22 H 2 sin( pt + δ) ⎪ 22 ⎩ a2 HÖ (2-32) cã thÓ tÝch ph©n ®éc lËp. Ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau ®©y: a). Khi p = k1: Ta t×m NR øng víi dao ®éng c−ìng bøc thuÇn tuý ë d¹ng: θ1 = C1tcos(pt+δ); θ2 = C2sin(pt+δ) (2-33) Thay (2-33) vµo (2-32) ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh C1, C2 vµ nhËn ®−îc: H 1 + μ 21 H 2 H +μ H C1 = − ; C 2 = 1 2 22 2 2 a 2 (k 2 − p ) 2k 1 a 1 H1 + μ 21H 2 H + μ 21H 2 π ⎧ ⎪θ1 = − 2k a t cos(pt + δ) = 1 t sin(pt + δ − ) ⎪ 2pa1 2 11 Do ®ã, ta cã: ⎨ (2-34) ⎪θ = H1 + μ 22 H 2 sin(pt + δ) ⎪ 2 a 2 (k 2 − p 2 ) ⎩ 2 48
ChuyÓn vÒ to¹ ®é cò q1, q2 ta ®−îc: H 1 + μ 21 H 2 π⎞ H +μ H ⎛ t sin⎜ pt + δ − ⎟ + 1 2 22 2 2 sin(pt + δ) q1 = 2 ⎠ a 2 (k 2 − p ) ⎝ 2pa 1 (2-35) μ 21 (H1 + μ 21 H 2 ) π ⎞ μ (H + μ H ) ⎛ t sin⎜ pt + δ − ⎟ + 22 1 2 222 2 sin(pt + δ) q2 = a 2 (k 2 − p ) 2⎠ ⎝ 2pa 1 b). Khi p = k2, mét c¸ch t−¬ng tù, ta t×m ®−îc: H 1 + μ 21 H 2 ⎧ ⎪θ1 = a (k 2 − p 2 ) sin(pt + δ) ⎪ 1 1 ⎨ (2-36) ⎪θ = H 1 + μ 22 H 2 t sin( pt + δ − π ) ⎪2 ⎩ 2pa 2 2 Do ®ã, ta cã: H 1 + μ 21 H 2 H + μ 22 H 2 π⎞ ⎛ q1 = sin( pt + δ) + 1 t sin⎜ pt + δ − ⎟ a1 (k1 − p ) 2⎠ ⎝ 2 2 2pa 2 (2-37) μ 21 (H1 + μ 21 H 2 ) μ 22 (H1 + μ 22 H 2 ) π⎞ ⎛ q2 = sin( pt + δ) + t sin⎜ pt + δ − ⎟ a1 (k1 − p 2 ) 2⎠ ⎝ 2 2pa 2 Nh− vËy, hÖ hai bËc tù do chÞu t¸c dông cña c¸c lùc ®iÒu hoµ cïng mét tÇn sè p vµ cïng mét pha δ, cã thÓ x¶y ra hai tr¹ng th¸i céng h−ëng (v× tÇn sè lùc kÝch ®éng cã thÓ b»ng mét trong hai tÇn sè riªng). Thùc tÕ, viÖc x¸c ®Þnh tr¹ng th¸i céng h−ëng x¶y ra ®èi víi hÖ nhiÒu bËc tù do (kiÓm tra hÖ vÒ céng h−ëng) lµ mét trong c¸c bµi to¸n quan träng nhÊt cña tÝnh to¸n kü thuËt vÒ dao ®éng. 2.2.3. Mét vµi bµi to¸n øng dông. 2.2.3a. Bé t¾t chÊn ®éng lùc kh«ng tÝnh ®Õn ma s¸t. a) NhËn xÐt: NÕu mét trong sè c¸c lùc kÝch ®éng triÖt tiªu, ch¼ng h¹n: Q2P = 0, cßn Q1P = H1sin (pt+δ): C¸c biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc theo (2-29) trë thµnh: ⎧ H1 (c 22 − a 22 p 2 ) A 1p = ⎪ (c11 − a 11 p 2 )(c 22 − a 22 p 2 ) − (c12 − a 12 p 2 ) 2 ⎪ ⎨ (2-38) H 1 (c12 − a 12 p 2 ) ⎪A = ⎪ 2 p (c − a p 2 )(c − a p 2 ) − (c − a p 2 ) 2 ⎩ 11 11 22 22 12 12 c 22 NÕu chän c¸c tham sè cña hÖ sao cho: c22 – a22p2 = 0 tøc lµ p 2 = th×: a 22 49
H1 A1P= 0; A 2 P = (2-39) c12 − a 12 p 2 c 22 Nh− vËy, khi p 2 = th× dao ®éng c−ìng bøc øng víi to¹ ®é suy réng thø nhÊt ®−îc a 22 hoµn toµn dËp t¾t. HiÖn t−îng nµy gäi lµ sù t¾t chÊn ®éng lùc cña dao ®éng mµ nã kh«ng cã ®−îc trong c¸c hÖ cã mét bËc tù do. b). Nguyªn lý t¹o ra bé t¾t chÊn ®éng lùc kh«ng cã ma s¸t. Gi¶ sö ta cã m« h×nh dao ®éng nh− h×nh vÏ (H×nh 2-3a), chÞu t¸c dông cña lùc kÝch ®éng Q(t). §Ó lµm t¾t dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ nµy, ta ®Æt mét khèi l−îng phô m2 trªn lß xo ®µn håi cã ®é cøng C2 (H×nh 2-3b). Khi ®ã nguyªn lý c¬ b¶n t¹o ra bé t¾t chÊn ®éng lùc ®−îc m« t¶ d−íi d¹ng sau: q2 m2 Q(t) C2 q1 m1 m1 Q(t) C1 C1 a) b H×nh 2-3 Hai khèi l−îng m1, m2 ®Æt trªn c¸c lß xo kh«ng khèi l−îng cã ®é cøng t−¬ng øng C1, C2. Cho lùc kÝch ®éng t¸c dông lªn khèi l−îng m1 mµ lùc suy réng cña nã biÓu thÞ b»ng: Q1P = H1sin (pt + δ) Cßn trªn khèi l−îng m2 kh«ng cã lùc kÝch ®éng, tøc lµ Q2P = 0. HÖ m« t¶ sÏ cã hai bËc tù do víi c¸c to¹ ®é suy réng lµ q1, q2 ta cã: 1⎛ •2⎞ [ ] •2 1 ⎜ m 1 q 1 + m 2 q 2 ⎟; π = c 1 q 1 + c 2 (q 2 − q 1 ) 2 T= ⎜ 2 ⎟ 2⎝ ⎠ 2 Vµ: a11= m1; a12 = 0; a22 = m2 c11 = C1+ C2; c12 = – C2; c22 = C2 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ dao ®éng cã d¹ng: ⎧ •• ⎪m 1 q 1 + (C 1 + C 2 )q 1 − C 2 q 2 = H 1 sin(pt + δ) ⎨ (2-40) •• ⎪m q − C q + C q = 0 ⎩22 21 22 50
BiÓu thÞ q i = A iP sin(pt + δ); i = 1, 2 ; cßn AiP x¸c ®Þnh theo (2-38). NÕu chän tham sè c 22 C 2 cña hÖ ®Ó cã: p 2 = = th×: a 22 m 2 ⎧q 1 = 0 ⎪ ⎨ (2-41) H1 H ⎪q 2 = sin(pt + δ) = − 1 sin(pt + δ) c 12 − a 12 p 2 ⎩ C2 Tøc lµ dao ®éng c−ìng bøc thø nhÊt cña t¶i träng m1 ®−îc dËp t¾t. ThËt vËy, thay q 2 võa t×m vµo ph−¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ (2-40) ta ®−îc: C1 + C 2 •• q1 + q1 = 0 (2-42) m1 Ph−¬ng tr×nh (2-42) m« t¶ dao ®éng tù do cña khèi l−îng m1 víi tÇn sè: C1 + C 2 k1 = m1 Thùc tÕ, ®Ó lo¹i trõ hiÖn t−îng xuÊt hiÖn biªn ®é lín ®¸ng kÓ cña dao ®éng khi thay ®æi tÇn sè lùc kÝch ®éng, th−êng ng−êi ta ®−a vµo bé gi¶m chÊn. 2.2.3b. Dao ®éng cña ¤-t«. Ta cã thÓ kh¶o s¸t dao ®éng cña « t« nh− mét hÖ cña c¸c vËt r¾n chÞu liªn kÕt ®µn håi (H×nh 2-4). ë s¬ ®å nµy vËt 1 lµ thïng xe, c¸c vËt 2 ÷ 5 lµ c¸c b¸nh xe; khèi l−îng cña chóng coi nh− tËp trung. M« h×nh nh− thÕ còng thuËn tiÖn khi kh¶o s¸t dao ®éng cña toa tÇu, ®Çu m¸y xe löa vµ c¸c ph−¬ng tiÖn vËn t¶i kh¸c thuéc lo¹i nµy. ChuyÓn ®éng cña hÖ nh− trªn trong qu¸ tr×nh dao ®éng ®−îc ®Æc tr−ng b»ng b¶y to¹ ®é: DÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña träng t©m thïng xe, c¸c dÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña träng t©m cña c¸c b¸nh xe, c¸c dÞch chuyÓn quay cña thïng xe ®èi víi trôc däc vµ trôc ngang. HÖ nh− thÕ cã b¶y bËc tù do. l y b a 5 4 1 C y2 yC ϕ y1 VÞ trÝ c©n b»ng tÜnh x h 3 2 L H×nh 2-4 H×nh 2-5 51
Tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n s¬ bé, ta cã thÓ x©y dùng m« h×nh tÝnh dao ®éng cña ¤-t« nh− hÖ cã hai bËc tù do. Trong tr−êng hîp nµy ta gi¶ sö r»ng c¸c lèp xe kh«ng biÕn d¹ng vµ kh¶o s¸t dao ®éng cña ¤-t« trong mÆt ph¼ng däc th¼ng ®øng. HÖ kh¶o s¸t trong tr−êng hîp nµy cã hai bËc tù do. To¹ ®é suy réng ®−îc chän: DÞch chuyÓn th¼ng ®øng yC cña träng t©m thïng xe vµ dÞch chuyÓn quay ϕ cña nã quanh trôc ngang qua träng t©m th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ (H×nh 2-5). B©y giê ta xÐt ¤-t« ®ang ch¹y trªn ®−êng kh«ng b»ng ph¼ng víi vËn tèc kh«ng ®æi V. Quy luËt nhÊp nh« cña mÆt ®−êng ®−îc cho bëi hµm tuÇn hoµn sau: 2πx* ⎞ h⎛ y* = ⎜1 − cos ⎟ 2⎝ L⎠ Ký hiÖu: m lµ khèi l−îng cña ¤-t«; JC lµ m«men qu¸n tÝnh cña nã ®èi víi trôc ®i qua khèi t©m C vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ; C1, C2 lµ ®é cøng lß xo (øng víi gi¶m xãc b¸nh tr−íc vµ b¸nh sau), l lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai b¸nh xe l = a+b. §éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cña hÖ ®−îc tÝnh theo biÓu thøc: 2 2 1• • 1 1 1 T = m y C + J C ϕ ; π = C 1 Δy 1 + C 2 Δy 2 2 2 2 2 2 2 ë ®©y: Δy1 vµ Δy2 lµ c¸c biÕn d¹ng cña lß xo, ta cã: Δy1 = yC - y1* - aϕ; Δy2 = yC - y2* + bϕ. 2πV §Æt Ω = , to¹ ®é c¸c ®iÓm tiÕp xóc gi÷a lß xo vµ mÆt ®−êng b»ng: L ⎧x1* = Vt ⎪ 2πx1* ⎞ h ⎨ h⎛ ⎪y1* = 2 ⎜1 − cos L ⎟ = 2 (1 − cos Ωt ) ⎝ ⎠ ⎩ ⎧x 2* = Vt + l ⎪ h ⎛ cos 2πx 2* ⎞ h ⎡ 2πl ⎞⎤ ⎨ ⎛ ⎪ y 2* = 2 ⎜1 − ⎟ = ⎢1 − cos⎜ Ωt + ⎟ L ⎠⎥ ⎝ ⎝ ⎠ 2⎣ ⎦ ⎩ L Thay c¸c gi¸ trÞ T vµ π vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II: ⎞ ⎛ ⎟ ∂T d ⎜ ∂T ∂π ⎟ − ∂q = − ∂q ; i = 1, 2; q1 = yC; q2 = ϕ. dt ⎜ • ⎟ ⎜∂q ⎠ ⎝i i i Ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña ¤-t«: ⎧ •• ⎪m y C + c11 y C + c12 ϕ = 2 (c11 − c13 cos Ωt + c14 s in Ωt ) h ⎨ •• (2-43) ⎪J C ϕ+ c 21 y C + c 22 ϕ = (c 21 − c 23 cos Ωt + c 24 s in Ωt ) h ⎩ 2 52
Trong ®ã: c11 = C1+ C2 ; c21 = c12; c12 = C2b – C1a; c22 = C2(a2+b2) ⎛ 2πl ⎞ ⎛ 2πl ⎞ c13 = C1 + C2cos ⎜ ⎟ ; c23 = – C1a + C2bcos ⎜ ⎟ (2-44) ⎝L⎠ ⎝L⎠ ⎛ 2πl ⎞ ⎛ 2πl ⎞ c14 = C2sin ⎜ ⎟ ; c24 = C2bsin ⎜ ⎟ ⎝L⎠ ⎝L⎠ Ph−¬ng tr×nh tÇn sè cã d¹ng: c 22 m + c11 J C c11c 22 − c 212 k −k + =0 4 2 (2-45) mJ C mJ C c 22 m + c11 J C ± (c 22 m + c11 J C ) 2 − 4mJ C (c11c 22 − c12 ) 2 = 2 Tõ ®ã: k (2-46) 1, 2 2mJ C NR cña hÖ (2-43) t×m ë d¹ng: ⎧ y C = A 0 + A 1 cos Ωt + A 2 sin Ωt ⎪ ⎨ (2-47) ⎪ϕ = B 0 + B1 cos Ωt + B 2 sin Ωt ⎩ Thay (2-47) vµo (2-43) vµ thùc hiÖn ®ång nhÊt ta nhËn ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh ®èi víi A0, A1, A2, B0, B1, B2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta cã: ⎧ h ⎪A 0 = 2 ⎪ h ⎛ c c − c13 (c 22 − J c Ω 2 ) ⎞ ⎪ A 1 = ⎜ 23 12 ⎟ ⎪ 2⎜ ⎟ Δ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ h ⎛ − c c + c14 (c 22 − J c Ω 2 ) ⎞ ⎪A 2 = ⎜ 24 12 ⎟ 2⎜ ⎟ ⎪ Δ ⎝ ⎠ ⎨ (2-48) ⎪B 0 = 0 ⎪ h ⎛ c13 c12 − c 23 (c11 − mΩ 2 ) ⎞ ⎪ ⎪B 1 = ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ Δ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪B 1 = h ⎜ − c14 c12 + c 24 (c11 − mΩ ) ⎟ 2 2⎜ ⎟ ⎪ Δ ⎝ ⎠ ⎩ Víi: Δ= (c11 – m Ω2)(c22 – JCΩ2) – c122. Ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh dao ®éng c−ìng bøc cña ¤-t« cã d¹ng: [ ] [ ] ⎧ h⎧ 1 ⎫ 1 ⎪ y C = 2 ⎨1 + Δ c 23 c12 − c13 (c 22 − J C Ω ) cos Ωt + Δ − c 24 c12 + c14 (c 22 − J C Ω ) sin Ωt ⎬ 2 2 ⎪ ⎩ ⎭ ⎨ {[ ] [ ] } ⎪ϕ = h c c − c (c − mΩ 2 ) cos Ωt + − c c + c (c − mΩ 2 ) sin Ωt ⎪ 2Δ ⎩ 13 12 23 11 14 12 24 11 (2-49) 53
HiÖn t−îng céng h−ëng x¶y ra khi Ω = ki (i = 1, 2) Lk i Ta cã vËn tèc giíi h¹n (Vgh) cña ¤-t« lµ: Vigh = (i = 1, 2) (2-50) 2π ThÝ dô 2-2: Mãng m¸y cã träng l−îng P1 = 1000 KN ®Æt trªn nÒn ®Êt ®µn håi vµ dao ®éng theo ph−¬ng th¼ng ®øng d−íi t¸c dông cña lùc kÝch ®éng biÕn ®æi theo quy luËt: F = 100sinωt (KN). §Ó khö c¸c dao ®éng céng h−ëng xuÊt hiÖn khi vËn tèc gèc cña trôc m¸y ω = 100 rad/s, ng−êi ta ®Æt trªn nÒn mãng mét bé gi¶m rung cã d¹ng mét bÖ nÆng ®Æt trªn c¸c lß xo ®µn håi (H×nh 2-6a). H·y x¸c ®Þnh träng l−îng P2 cña hÖ vµ ®é cøng tæng céng cña c¸c lß xo trong bé gi¶m rung sao cho biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc cña mãng triÖt tiªu khi trôc m¸y quay víi vËn tèc gãc cho ë trªn, cßn biªn ®é cña bé gi¶m rung kh«ng v−ît qu¸ A2 = 2 mm. Bµi gi¶i: P2 q2 P2 C P1 F(t) q1 P1 C a) b H×nh 2-6 M« h×nh tÝnh to¸n dao ®éng cña hÖ chØ ra trªn h×nh vÏ (H×nh 2-6b). T−¬ng tù nh− c¸ch thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh (2-40), ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ lµ: ⎧ •• ⎪m1 q 1 + (C1 − C 2 )q 1 + C 2 q 2 = −F0 sin ωt , F0 = 100KN ⎨ •• ⎪m 2 q 2 + C 2 q 1 − C 2 q 2 = 0 ⎩ Theo ®iÒu kiÖn bµi ra, khi thiÕt kÕ bé gi¶m rung ®¶m b¶o ®iÒu kiÖn q1 = 0, nªn ph−¬ng tr×nh trªn trë thµnh: ⎧C 2 q 2 = −F0 sin ωt ⎪ ⎨ •• ⎪m2 q 2 − C2q2 = 0 ⎩ P2 • • q 2 = C 2 q 2 = − F0 sin ωt Tõ ®ã suy ra: g Do bé gi¶m rung lµm viÖc víi biªn ®é A2 = 2 mm vµ tÇn sè ω = 100 rad/s, nªn nghiÖm q2 ta lÊy d¹ng: 54
•• q2 = A2sinωt ⇒ q 2 = −ω 2 A 2 sinωt Nh− vËy, ta cã: P2 2 ω A 2 sin ωt = −F0 sin ωt g Träng l−îng P2 cña bé gi¶m rung ph¶i b»ng: Fg 100.981 P2 = 0 2 = = 49KN A 2ω 0,2.10 4 C2 Khi xuÊt hiÖn céng h−ëng ω = k = nªn ®é cøng cña lß xo ®Æt trªn bé gi¶m rung m2 ph¶i cã: P2 ω 2 F g ω2 F 100 C2 = = 02 = 0= = 500KN / cm A 2ω g A 2 0,2 g §.2.3. Dao ®éng xo¾n cña trôc mang c¸c ®Üa. 2.3.1. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n. Ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Kh¶o s¸t dao ®éng xo¾n cña trôc ®µn håi mang c¸c ®Üa r¾n tuyÖt ®èi coi nh− c¸c khèi l−îng tËp trung (H×nh 2-7a). Ký hiÖu J1, J2, ..., Jn lµ c¸c m«men qu¸n tÝnh cña c¸c ®Üa ®èi víi trôc; C1, C2, ..., Cn-1 lµ c¸c hÖ sè cøng khi xo¾n cña c¸c ®o¹n trôc ®µn håi. Chän to¹ ®é suy réng lµ c¸c gãc quay cña c¸c ®Üa quanh trôc: ϕ1, ϕ2, ..., ϕn. C¸c m«men xo¾n t¸c dông ë c¸c tiÕt diÖn trôc phô thuéc vµo gãc quay t−¬ng ®èi gi÷a hai ®Üa kÒ nhau vµ ®−îc x¸c ®Þnh t−¬ng øng b»ng (H×nh 2-7b): C1(ϕ2 - ϕ1), C2(ϕ3 - ϕ2), ..., Cn - 1 (ϕn - ϕn- 1) Jn-1 J2 Jn J1 J3 C1 C2 Cn-1 H×nh 2-7a C1( ϕ2 − ϕ1) C2( ϕ3 − ϕ2 ) Cn-1(ϕn − ϕn-1) H×nh 2-7b 55
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng xo¾n cña hÖ ®−îc thiÕt lËp trªn c¬ së ph−¬ng ph¸p trùc tiÕp cã d¹ng: ⎧ •• C1 (ϕ 2 − ϕ1 ) = J 1 ϕ1 ⎪ ⎪ •• C 2 (ϕ 3 − ϕ1 ) − C1 (ϕ 2 − ϕ1 ) = J 2 ϕ 2 ⎪ ⎪ •• ⎪C 3 (ϕ 4 − ϕ 3 ) − C 2 (ϕ 3 − ϕ 2 ) = J 3 ϕ 3 ⎨ (2-51) ⎪........................................................ ⎪ •• ⎪C n −1 (ϕ n − ϕ n −1 ) − C n − 2 (ϕ n −1 − ϕ n − 2 ) = J n −1 ϕ n −1 ⎪ •• ⎪− C (ϕ − ϕ ) = J ϕ ⎩ n −1 n n −1 n n Khi trôc vµ ®Üa quay ®Òu nh− mét vËt r¾n tuyÖt ®èi, ph−¬ng tr×nh (2-51) tho¶ m·n nghiÖm: ϕ1 = ϕ2 = .... = ϕn = ϕ0 + ωt (2-52) NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2-51) t×m d−íi d¹ng: ϕi = Aisin ( kt +α); i = 1, n (2-53) Thay (2-53) vµo (2-51) ta sÏ nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt x¸c ®Þnh c¸c biªn ®é A1, A2, ... An. ⎧C 1 (A 2 − A 1 ) = − J 1 k 2 A 1 ⎪ ⎪C 2 (A 3 − A 2 ) − C 1 (A 2 − A 1 ) = − J 3 k A 2 2 ⎪ ⎪C 3 (A 4 − A 3 ) − C 2 (A 3 − A 2 ) = − J 3 k A 3 2 ⎨ (2-54) ⎪.......................................................... ⎪C (A − A ) − C (A − A ) = − J k 2 A ⎪ n −1 n n −1 n −2 n −1 n−2 n −1 n −1 ⎪− C n −1 (A n − A n −1 ) = − J n k A n 2 ⎩ HÖ (2-54) chøa (n+1) Èn (n Èn biªn ®é vµ 1 Èn tÇn sè riªng k). T−¬ng tù nh− c¸c phÇn trªn, ta bæ xung ph−¬ng tr×nh ®Ó gi¶i bµi to¸n b»ng ph−¬ng tr×nh tÇn sè: Do hÖ (2-54) lµ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt nªn ®Ó cã nghiÖm kh«ng tÇm th−êng cña c¸c biªn ®é th× ®Þnh thøc cña hÖ ph¶i b»ng kh«ng. XÐt hÖ cã ba ®Üa, ®iÒu kiÖn trªn cã d¹ng: − C1 + J1 k 2 0 C1 − C 2 − C1 + J 2 k =0 2 C1 C2 − C 2 + J3k 2 0 C2 Hay ph−¬ng tr×nh tÇn sè trong tr−êng hîp nµy lµ: ⎡J J J ⎤ ⎛ J + J3 J + J3 ⎞ 2 k2 ⎢ 1 2 3 k4 −⎜ 2 J 3 ⎟k + J 1 + J 2 + J 3 ⎥ = 0 J1 + 2 (2-55) ⎜C ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ C 1C 2 C2 ⎦ 1 56
NTQ cÇn viÕt d−íi d¹ng: ϕi = ϕ0 +ωt +Ai1sin(k1t + α1) + Ai2sin(k2t+α2)+...+Ai,n-1sin(kn-1t + αn -1); i = 1, n (2-56) Trong (2-56) cßn chøa c¸c h»ng sè ch−a biÕt. §Ó x¸c ®Þnh chóng, t−¬ng tù nh− tr−íc ®©y cÇn dùa vµo ®iÒu kiÖn ban ®Çu t¹i t = 0. 2.3.2. Ph−¬ng tr×nh dao ®éng xo¾n c−ìng bøc trôc mang c¸c ®Üa. Dao ®éng xo¾n c−ìng bøc cña trôc lµ do c¸c m«men quay biÕn ®æi t¸c dông lªn nã. C¸c m«men nµy cã ®Æc tÝnh chu kú, nh−: ¸p lùc khÝ trong c¸c xilanh, c¸c lùc qu¸n tÝnh cña c¸c phÇn chuyÓn ®éng. Ta kh¶o s¸t tr−êng hîp khi c¸c m«men biÕn ®æi ®· cho t¸c dông lªn c¸c ®Üa cña hÖ t−¬ng ®−¬ng (H×nh 2-7) lµ M1(t), M2(t),... Mn(t). NÕu bá qua c¸c lùc c¶n, ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng c−ìng bøc cña trôc cã d¹ng: ⎧ •• M 1 (t ) + C 1 (ϕ 2 − ϕ1 ) = J 1 ϕ1 ⎪ ⎪ •• ⎪M 2 (t ) + C 2 (ϕ 3 − ϕ1 ) − C 1 (ϕ 2 − ϕ1 ) = J 2 ϕ 2 ⎨ (2-57) ⎪............................................................ ⎪ •• ⎪M n (t ) − C n −1 (ϕ n − ϕ n −1 ) = J n ϕ n ⎩ ThÝ dô 2.3: Trªn h×nh trô tiÕt diÖn kh«ng ®æi dµi 2L = 50cm cã mét ®Çu bÞ ngµm ®−îc g¾n hai ®Üa nh− nhau, cã mét m«men qu¸n tÝnh J1 = J2 = J = 50 kgcm2. Mét trong hai ®Üa ®−îc g¾n ë gi÷a trôc, cßn ®Üa kia g¾n ë ®Çu tù do (H×nh 2-8 ). M«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña tiÕt diÖn trôc Jρ = 602cm4. M«®un tr−ît cña vËt liÖu lµm trôc G = 8,3.10 6N/cm2. Bá qua khèi l−îng trôc. a). x¸c ®Þnh tÇn sè k1, k2 vµ dao ®éng xo¾n tù do c¸c ®Üa. b). x¸c ®Þnh biªn ®é dao ®éng xo¾n c−ìng bøc cña c¸c ®Üa khi t¸c dông lªn ®Üa gi÷a m«men kÝch ®éng M = 200sin(400t) (Nm). J2 ϕ 2 J1 ϕ 1 C1 C2 L L H×nh 2-8 Bµi gi¶i: a). HÖ cã hai bËc tù do. Chän to¹ ®é suy réng lµ c¸c gãc quay c¸c ®Üa ϕ1, ϕ2. HÖ sè cøng khi xo¾n cña c¸c ®o¹n trôc ®−îc tÝnh theo c«ng thøc ®· biÕt (SBVL). 57