Lý thuyết dao động - Chương 5

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

210
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuết dao động phi tuyến nghiên cứu các chuyển động tuần hoàn được mô tả bởi các phương trình vi phân phi tuyến. Nhiều hiện tượng quan sát được trong lĩnh vực kỹ thuật giao thông vận tải, động lực học máy, vô tuyến điện, động lực học nền móng v.v... phải được giải thích bằng dao động phi tuyến. Lý thuyết dao động phi tuyến phản ánh tính chất của chuyển động dao động đầy đủ và chính xác hơn. Thực tế, lớp các lực phi tuyến vô cùng phong phú. Tuy vậy, có thể tập hợp một...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết dao động - Chương 5

Ch−¬ng V C¬ së cña lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn Më ®Çu Lý thuÕt dao ®éng phi tuyÕn nghiªn cøu c¸c chuyÓn ®éng tuÇn hoµn ®−îc m« t¶ bëi c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn. NhiÒu hiÖn t−îng quan s¸t ®−îc trong lÜnh vùc kü thuËt giao th«ng vËn t¶i, ®éng lùc häc m¸y, v« tuyÕn ®iÖn, ®éng lùc häc nÒn mãng v.v... ph¶i ®−îc gi¶i thÝch b»ng dao ®éng phi tuyÕn. Lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn ph¶n ¸nh tÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng dao ®éng ®Çy ®ñ vµ chÝnh x¸c h¬n. Thùc tÕ, líp c¸c lùc phi tuyÕn v« cïng phong phó. Tuy vËy, cã thÓ tËp hîp mét sè tÝnh chÊt chung t¹o thµnh c¸c ®Æc tr−ng s¬ bé vÒ sù kh¸c nhau gi÷a hÖ phi tuyÕn vµ hÖ tuyÕn tÝnh: 1- Kh«ng thÓ ¸p dông nguyªn lý tæ hîp tuyÕn tÝnh ®èi víi c¸c hÖ phi tuyÕn. NghÜa lµ, kh«ng thÓ lËp NTQ cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ phi tuyÕn b»ng c¸c NR ®éc lËp. 2- Dao ®éng tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh bao giê còng t¾t dÇn. Dao ®éng tuÇn hoµn thùc sù cña nã chØ cã thÓ x¶y ra d−íi d¹ng dao ®éng c−ìng bøc xuÊt hiÖn do t¸c ®éng cña c¸c lùc kÝch ®éng tuÇn hoµn tõ bªn ngoµi. Trong hÖ phi tuyÕn cã thÓ x¶y ra c¸c dao ®éng tù do tuÇn hoµn æn ®Þnh (ngay c¶ khi cã c¶n), ch¼ng h¹n nh−: Dao ®éng cña con l¾c ®ång hå vµ nhiÒu hÖ dao ®éng kh¸c. 3- Dao ®éng c−ìng bøc trong hÖ tuyÕn tÝnh do c¸c lùc ®iÒu hßa g©y ra sÏ cã cïng tÇn sè vµ chu kú víi lùc, cßn trong hÖ phi tuyÕn cã thÓ x¶y ra víi chu kú lùc kÝch ®éng, nh−ng còng cã thÓ x¶y ra víi chu kú b»ng béi sè nguyªn hoÆc ph©n sè cña chu kú lùc kÝch ®éng. Do ®ã ®èi víi hÖ phi tuyÕn mét bËc tù do d−íi t¸c dông cña mét lùc ®iÒu hoµ cã thÓ x¶y ra nhiÒu chÕ ®é céng h−ëng. 4- TÇn sè riªng trong hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ®Çu vµ biªn ®é. PhÇn lín trong c¸c hÖ phi tuyÕn tÇn sè phô thuéc vµo biªn ®é dao ®éng. Ta minh ho¹ mét sè thÝ dô sau ®Ó lµm râ ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña hÖ kh¶o s¸t: ThÝ dô 1: Con l¾c to¸n häc: (H×nh 5-1) ta cã: O m w = mg + T ϕ L τ ChiÕu lªn ph−¬ng tiÕp tuyÕn τ, th×: T •• mw τ = −mg sin ϕ ⇒ L ϕ+ g sin ϕ = 0 mg g = k 2 , ta nhËn ®−îc: §Æt: L H×nh 5-1 •• ϕ+ k 2 sin ϕ = 0 (1) 124
ϕ3 ϕ3 •• Víi dao ®éng bÐ: sin ϕ = ϕ − ... do ®ã: ϕ+ k (ϕ − ) = 0 2 (2) 6 6 •• Khi tuyÕn tÝnh hÖ: ϕ+ k 2 ϕ = 0 (3) 2π L Nh− ®· biÕt, ë ph−¬ng tr×nh (3) ta cã dao ®éng ®iÒu hoµ víi chu kú T == 2π k g chØ phô thuéc vµo c¸c tham sè cña hÖ mµ kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ®Çu cña chuyÓn ®éng. Râ rµng tÝnh chÊt Êy sÏ kh«ng ®óng víi ph−¬ng tr×nh (2). ThÝ dô 2: ChÊt ®iÓm nÆng khèi l−îng m g¾n m vµo ®Çu thanh ®µn håi (H×nh 5-2). x Lùc ®µn håi cho bëi hµm y = f(x). Ph−¬ng tr×nh dao ®éng cã d¹ng: x •• m x + f (x) = 0 (4) y = f(x) ViÖc tuyÕn tÝnh ho¸ ph−¬ng tr×nh (4), tøc thay ®−êng cong y = f(x) bëi ®−êng th¼ng y = kx ®−îc y chÊp nhËn víi gi¸ trÞ rÊt nhá cña x vµ ta cã: O •• m x + kx = 0 (5) y = kx Víi x lín th× ph¶i xÐt ®Õn hµm f(x) d−íi d¹ng phi tuyÕn. ThÝ dô 3: XÐt hÖ chØ trªn h×nh vÏ: (H×nh 5-3) Gäi L lµ ®é dµi ban ®Çu cña lß xo, C lµ hÖ sè H×nh 5-2 cøng cña nã. Gi¶ sö khi t¶i träng ë vÞ trÝ trung b×nh lß x 2 + L2 − L vµ xo kh«ng c¨ng, khi t¶i träng lÖch mét kho¶ng x lß xo gi·n ra mét ®o¹n: ) ( lùc c¨ng cña lß xo lµ: N = C x 2 + L2 − L Thµnh phÇn ngang cña lùc x¸c ®Þnh ®Æc tÝnh ®µn håi cña hÖ sÏ b»ng: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ P ⎜ ⎟ q=x x 1 P=N = Cx⎜1 − ⎟ x 2 + L2 x2 ⎟ ⎜ 1+ 2 ⎟ ⎜ m ⎝ L⎠ q=x O Gäi x lµ nhá so víi L, cã thÓ lÊy: 2 1⎛ x ⎞ 1 ≈ 1− ⎜ ⎟ 2⎝L⎠ x2 1+ L2 H×nh 5-3 125
Cx 3 Nh− vËy, ®Æc tr−ng cña hÖ sÏ lµ phi tuyÕn vµ cã: P ≈ 2 (6) 2L NÕu lß xo cã søc c¨ng ban ®Çu N0, th× khi t¶i träng lÖch mét kho¶ng x, lùc c¨ng toµn phÇn b»ng: ) ( N = N 0 + C x 2 + L2 − L x Cx 3 x Vµ thµnh phÇn n»m ngang cña lùc nµy sÏ: P = N ≈ N0 + (7) L 2L2 x 2 + L2 ThÝ dô 4: Kh¶o s¸t nhÝp sau cña «-t« (H×nh 5-4). Gi¶ sö ngoµi nhÝp c¬ b¶n cßn cã c¸c nhÝp phô (nhÝp con). Khi thïng xe cã dÞch chuyÓn kh«ng lín, mót c¸c nhÝp phô kh«ng tiÕp xóc víi gèi tùa vµ chØ cã nhÝp c¬ b¶n lµm P viÖc. Sù phô thuéc vµo c¸c ¸p lùc P lªn nhÝp vµ ®é vâng q = y cã thÓ coi lµ tuyÕn tÝnh vµ ®−îc biÓu diÔn bëi ®o¹n ab. P c Khi cã dÞch chuyÓn lín cña thïng xe, mót c¸c nhÝp con tùa lªn gi¸ ®ì cña khung vµ ®é cøng t−¬ng ®−¬ng cña nhÝp trë nªn lín. Quan hÖ gi÷a P vµ q = y ®−îc biÓu diÔn b»ng b q=y ®o¹n bc. Nh− vËy ®Æc tÝnh chung cña nhÝp lµm viÖc lµ phi a tuyÕn: P = P(y). Gäi C1 lµ ®é cøng cña nhÝp c¬ b¶n, C2 lµ ®é H×nh 5-4 cøng t−¬ng ®−¬ng cña c¸c nhÝp phô th× ®é cøng trªn ®o¹n ab lµ C1, cßn trªn ®o¹n bc lµ C1+C2. §5.1. Dao ®éng tù do kh«ng c¶n cña hÖ mét bËc tù do víi ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lùc phôc håi. 5.1.1. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n c¬ b¶n vµ nghiÖm chÝnh x¸c cña nã. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng tù do kh«ng c¶n cña hÖ mét bËc tù do víi ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lùc phôc håi ®−îc thiÕt lËp t−¬ng tù nh− ®· tr×nh bÇy trong phÇn §1.1 cña ch−¬ng thø nhÊt, ë ®©y ta thay lùc phôc håi tuyÕn tÝnh b»ng lùc phôc håi phi tuyÕn: P = P(q) ta cã: •• •• m q + P (q ) = 0 ⇒ q + f ( q ) = 0 (5-1) P (q ) ë ®©y ®Æt: f (q) = (5-2) m • • • •• d q d q dq • d q q= = =q Ta biÓu diÔn gia tèc ë d¹ng: dt dq dt dq • • • • dq + f (q) = 0 ⇒ q d q = −f (q)dq Ph−¬ng tr×nh (5-1) trë thµnh: q dq 126
Khi tÝch ph©n hÖ thøc trªn, ta lÊy thêi ®iÓm ®Çu cã ®é lÖch lín nhÊt (qmax = a), cßn vËn ⎛• ⎞ tèc b»ng kh«ng ⎜ q = 0 ⎟ , ta cã: ⎝ ⎠ •2 • q• q q a • q ∫ q d q = − ∫ f (q)dq ⇒ = − ∫ f (q )dq = ∫ f (q )dq 2 0 a a q Quan hÖ nµy biÓu thÞ quy luËt b¶o toµn n¨ng l−îng: VÕ tr¸i lµ ®éng n¨ng tÝch luü • • trong qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ tõ vÞ trÝ biªn (q = a, q = 0 ) ®Õn vÞ trÝ bÊt kú (q, q ). Cßn vÕ ph¶i lµ thÕ n¨ng mÊt ®i trong qu¸ tr×nh ®ã. N¨ng l−îng nµy sÏ ®−îc biÓu thÞ b»ng phÇn g¹ch chÐo trªn ®å thÞ (H×nh 5-5). Tõ biÓu thøc cuèi ta nhËn ®−îc: a • f(q) dq = − 2 ∫ f (q)dq q= (5-3) dt q ë ®©y dÊu tr−íc c¨n lÊy dÊu ©m (-) v× trong q O kho¶ng kh¶o s¸t chuyÓn ®éng vËn tèc ©m (-). q a TÝch ph©n (5-3) cho ta thêi gian t lµ hµm cña dÞch chuyÓn: q a dq dq H−íng chuyÓn ®éng t = −∫ =∫ a a 2∫ f (q)dq 2∫ f (q)dq a q H×nh 5-5 q q NÕu tiÕn hµnh tÝch ph©n trong kho¶ng tõ q = 0 ®Õn q = a th× ®èi víi hÖ cã ®Æc tr−ng ®èi xøng sÏ t×m ®−îc thêi gian cña mét phÇn t− chu kú. Chu kú cña dao ®éng t−¬ng øng b»ng: a dq T = 2 2∫ (5-4) a 2 ∫ f (q)dq 0 q C«ng thøc (5-4) cho phÐp t×m sù phô thuéc chÝnh x¸c chu kú dao ®éng tù do vµo biªn ®é cña nã. XÐt tr−êng hîp ®Æc tr−ng ®èi xøng m« t¶ bëi quy luËt: f (q ) = αq 2 n −1 ; n = 1, 2, ... (5-5) ë ®©y α, n lµ c¸c h»ng sè. Do ®ã t×m ®−îc: ∫ f (q)dq = 2n (a ) α a − q 2n 2n q dξ 1 a dq q n1 ∫ ∫ = ; ξ= α a n −1 ( ) α 2n 1 − ξ 2n a a − q 2n 0 0 n 127
Theo c«ng thøc (4-4) ta nhËn ®−îc: dξ 1 n1 ∫ T=4 (5-6) α a n −1 1 − ξ 2n 0 Tõ ®ã ta thÊy: chØ khi n = 1 chu kú T kh«ng phô thuéc vµo biªn ®é dao ®éng (®Æc tr−ng tuyÕn tÝnh); trong c¸c tr−êng hîp cßn l¹i tån t¹i phô thuéc gi÷a chu kú vµ biªn ®é. Sù tån t¹i mèi liªn hÖ nµy lµ ®Æc tÝnh chung ®èi víi hÖ phi tuyÕn . B©y giê gi¶ sö xÐt dao ®éng cña hÖ ®èi víi ®Æc tr−ng bËc ba: f (q ) = αq 3 khi ®ã n = 2 tõ biÓu thøc (5-6) ta ®−îc: 4 2 1 dξ a a ∫ 1 − ξ4 T= 0 Sö dông b¶ng c¸c hµm ®Æc biÖt tÝnh tÝch ph©n EliptÝc ®−îc 1,8541/ 2 , do ®ã ta cã: 4 T= ⋅ 1,8541 aα 2π TÇn sè dao ®éng tù do b»ng: p = = 0,8472a α (5-7) T NghÜa lµ tÇn sè t¨ng bËc nhÊt víi sù t¨ng cña biªn ®é. 5.1.2. NghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh (5-1). MÆc dï c«ng thøc (5-4) cho ta biÓu diÔn chu kú dao ®éng tù do kh«ng c¶n cña hÖ mét bËc tù do ®èi víi ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lùc kh«i phôc vÒ nguyªn t¾c lµ chÝnh x¸c. Nh−ng thùc tÕ tÝnh to¸n rÊt cång kÒnh vµ th−êng kh«ng thÓ viÕt ë d¹ng kÝn. Khã kh¨n nµy cã thÓ ®−îc kh¾c phôc khi ta sö dông c¸c ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng d−íi ®©y: 5.1.2a. Ph−¬ng ph¸p ®¬n gi¶n nhÊt. LÊy dao ®éng cña hÖ kh¶o s¸t m« t¶ b»ng quy luËt nh− trong hÖ tuyÕn tÝnh, nghÜa lµ: q = a sin( pt + α) (5-8) Nh− ®· biÕt, biÓu thøc (5-8) chØ lµ nghiÖm chÝnh x¸c trong tr−êng hîp f(q) tuyÕn tÝnh. Trong tr−êng hîp tæng qu¸t khi thay (5-8) vµo (5-1) sÏ kh«ng ®−a nã trë thµnh ®ång nhÊt thøc. Ta “mÒm ho¸” tÝnh chÝnh x¸c víi ®iÒu kiÖn sao cho ph−¬ng tr×nh (5-1) tho¶ m·n ë thêi •• ®iÓm khi ®é lÖch q ®¹t cùc ®¹i (tøc b»ng a). Khi nµy gia tèc q còng sÏ cã gi¸ trÞ cùc ®¹i: •• q max = −ap 2 (5-9) Do ®ã, t¹i thêi ®iÓm trªn cÇn tho¶ m·n ®¼ng thøc sau: f (a ) − ap 2 + f (a ) = 0 ⇒ p 2 = a 128
HÖ thøc cuèi cïng x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng tù do p phô thuéc vµo biªn ®é a cña nã. MÆc dï c«ng thøc nµy kh«ng chÝnh x¸c, song nhê nã cã thÓ nhËn ®−îc c¸ch biÓu diÔn kh¸i qu¸t ®óng vÒ mèi liªn hÖ a(p2). ThÝ dô: Cho ®Æc tr−ng phi tuyÕn ë d¹ng: (p0, α lµ nh÷ng sè ®· cho). f ( q ) = p 0 q + αq 3 2 p 0 a + αa 3 2 Theo trªn, ta cã: p 2 = = p 0 + αa 2 2 a α=0 a α< 0 α>0 §å thÞ cña sù phô thuéc nµy biÓu diÔn trªn (H×nh 5-6). Râ rµng lµ: TÇn sè dao ®éng riªng t¨ng cïng víi biªn ®é khi α > 0 (gäi lµ ®Æc tr−ng ®µn håi cøng) vµ tÇn sè dao ®éng riªng gi¶m khi biªn ®é t¨ng víi α < 0 (gäi lµ ®Æc tr−ng ®µn håi p2 O mÒm). §−êng t−¬ng øng víi α = 0 ta quy −íc gäi lµ ®−êng 2 p0 cong x−¬ng sèng. H×nh 5-6 5.1.2. Ph−¬ng ph¸p tham sè bÐ. Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc tr×nh bµy vµ ®Æt c¬ së to¸n häc bëi A.Po¨ngcarª. C¬ së cña ph−¬ng ph¸p lµ ë chç: Gi¶ sö cho hÖ cã tÝnh phi tuyÕn gi¶m yÕu, ch¼ng h¹n xÐt hÖ mµ dao ®éng cña nã ®−îc miªu t¶ b»ng ph−¬ng tr×nh: •• q + p 0 q + αq 3 = 0 2 (5-10) NÕu th«ng sè α ®ñ nhá, trong tr−êng hîp nµy, nghiÖm sÏ ®−îc t×m ë d¹ng khai triÓn theo chuçi luü thõa tham sè bÐ: q = q 0 + αq 1 + α 2 q 2 + ... (5-11) ë ®©y: qo, q1, q2, ... lµ c¸c hµm ch−a biÕt cña thêi gian t cÇn x¸c ®Þnh. Ngoµi khai triÓn (5-11) ta còng dÉn ra khai triÓn hÖ sè p20: p 0 = p 2 + C1α + C 2 α 2 + ...... 2 (5-12) Trong ®ã: p2 lµ h»ng sè ch−a biÕt míi; C1, C2,... lµ c¸c h»ng sè ch−a x¸c ®Þnh mµ ta sÏ chØ ra ë d−íi. Thay (5-11) vµ (5-12) vµo (5-10) vµ giíi h¹n chØ ë c¸c thµnh phÇn khai triÓn ®· viÕt, ta cã: •• •• •• q 0 + α q 1 + α 2 q 2 + (p 2 + C1α + C 2 α 2 )(q 0 + αq 1 + α 2 q 2 ) + α(q 0 + αq 1 + α 2 q 2 ) 3 = 0 Khi chØ gi÷ l¹i c¸c thµnh phÇn chøa α kh«ng lín h¬n bËc hai, ta ®−îc: ⎛ •• ⎞ ⎛ •• ⎞ •• q 0 + p 2 q 0 + α⎜ q 1 + p 2 q 1 + C1q 0 + q 3 ⎟ + α 2 ⎜ q 2 + p 2 q 2 + C 2 q 0 + C1q 1 + 3q 0 q 1 ⎟ = 0 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 129
Ph−¬ng tr×nh nµy ®óng víi mäi α v× vËy c¸c hÖ sè cña α0, α1, α2, ... ph¶i b»ng kh«ng ®iÒu nµy dÉn ®Õn hÖ: ⎧•• ⎪q 0 + p q 0 = 0 2 ⎪•• ⎨q 1 + p q 1 = − C 1 q 0 − q 0 2 3 (5-13) ⎪•• ⎪q 2 + p 2 q 2 = −C 2 q 0 − C1q 1 − 3q 0 q 1 2 ⎩ CÊu tróc cña c¸c ph−¬ng tr×nh nhËn ®−îc chØ ra qu¸ tr×nh gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ®Çu cho ta t×m q0, sau ®ã ph−¬ng tr×nh thø hai cho ta t×m q1 vµ tõ ®ã t×m q2 tõ ph−¬ng tr×nh thø ba. • LÊy ®iÒu kiÖn ®Çu ë d¹ng sau: Khi t = 0 th× q = a, q = 0. Tõ (5-11) nhËn ®−îc: ⎧q 0 (0) + αq 1 (0) + α 2 q 2 (0) = a ⎪ ⎨• • • ⎪q 0 (0) + α q 1 (0) + α 2 q 2 (0) = 0 ⎩ §Ó c¸c ®¼ng thøc nµy tho¶ m·n víi mäi α cÇn ph¶i ®ång thêi tho¶ m·n s¸u ®iÒu kiÖn sau: ⎧ • q 0 (0) = a; q 0 (0) = 0 ⎪ ⎪ • ⎨q 1 (0) = 0; q 1 (0) = 0 (5-14) ⎪ • ⎪q 2 (0) = 0; q 2 (0) = 0 ⎩ Khi gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ (5-13) cã tÝnh ®Õn ®iÒu kiÖn ®Çu ë hÖ (5-14) ta cã: q 0 = a cos pt §Æt biÓu thøc nµy vµo ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ (5-13) ta ®−îc: ⎛ 3⎞ •• a3 q 1 + p 2 q 1 = −C 1 a cos pt − a 3 cos 3 pt = −⎜ C 1 a + a 3 ⎟ cos pt − cos 3pt (5-15) ⎝ 4⎠ 4 Gi¶ thiÕt r»ng hÖ sè cña cospt kh¸c kh«ng. Khi ®ã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy sÏ chøa sè h¹ng nh− ®· biÕt trong dao ®éng tuyÕn tÝnh: tsinpt (gäi lµ thµnh phÇn ®Æc tÝnh), trong ®ã coi t lµ thõa sè cña hµm l−îng gi¸c. Cã thÓ sö dông nghiÖm d¹ng céng h−ëng nµy chØ víi gi¸ trÞ t rÊt nhá. §Ó nghiÖm ®óng víi bÊt kú t cÇn lo¹i bá thµnh phÇn ®Æc tÝnh trong (5-15). 3 3 NghÜa lµ ®Æt: C1a + a 3 = 0 ⇒ C1 = − a 2 (5-16) 4 4 a3 NghiÖm cña (5-15) viÕt ®−îc ë d¹ng: q1 = C1cospt + C2sinpt + cos 3pt 32p 2 Sau khi x¸c ®Þnh c¸c h»ng sè C1, C2 tõ dßng thø hai cña ®iÒu kiÖn ®Çu (5-14), ta t×m ®−îc: 130
a3 q1 = (cos 3pt − cos pt ) 32p 2 Nh− vËy, trong c¸c khai triÓn (5-11), (5-12) hai sè h¹ng ®Çu ®−îc x¸c ®Þnh. NghiÖm chÝnh x¸c ®Õn sè h¹ng nhá bËc nhÊt cã d¹ng: αa 3 q = a cos pt + (cos 3pt − cos pt ) 32p 2 H¬n n÷a, t−¬ng øng víi (5-12) vµ (5-16) ta cã: 3 p 2 = p 0 + αa 2 2 (5-17) 4 Sau khi thay q0, q1 vµo ph−¬ng tr×nh thø ba cña hÖ (5-13) vµ còng tiÕn hµnh viÖc lÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn, ta nhËn ®−îc nghiÖm chÝnh x¸c ®Õn c¸c sè h¹ng nhá bËc hai: α 2a 5 2a 3 q = a cos pt + (cos 3pt − cos pt ) + (cos 5pt − 3 cos 3pt − 4 cos pt ) 32p 2 1024p 2 (5-18) 3α 2 a 4 3 p 2 = p 0 + αa 2 + 2 128p 2 4 Ta nhËn thÊy, ®Æc ®iÓm quan träng cña nghiÖm nhËn ®−îc lµ qu¸ tr×nh dao ®éng ®−îc m« t¶ kh«ng ph¶i b»ng mét ®iÒu hoµ mµ b»ng tæng c¸c ®iÒu hoµ, trong ®ã c¸c ®iÒu hoµ tiÕp theo cµng cã biªn ®é nhá ®i. Mét lÏ ®−¬ng nhiªn tÇn sè cña ®iÒu hoµ c¬ b¶n p phô thuéc vµo biªn ®é dao ®éng a. 5.1.2c. Ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin. Theo ph−¬ng ph¸p nµy ta cho tr−íc c«ng thøc x¸c ®Þnh nghiÖm cÇn t×m. C¸ch ®¬n gi¶n h¬n c¶, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (5-1) thö t×m ë d¹ng gièng nh− ®èi víi hÖ tuyÕn tÝnh: q = a cos(pt + α) (5-19) ë ®©y a, α, p lµ c¸c h»ng sè. Thay nghiÖm vµo (5-1), tÊt nhiªn kh«ng nhËn ®−îc ®¼ng thøc ®ång nhÊt kh«ng chõng nµo (5-19) kh«ng ph¶i lµ nghiÖm chÝnh x¸c cña ph−¬ng tr×nh (5-1). Theo ý t−ëng c¬ b¶n cña ph−¬ng ph¸p lµ ë chç: Yªu cÇu sao cho tÝch ph©n sau ®©y lÊy trong kho¶ng mét chu kú b»ng kh«ng: 2π p •• ⎡ ⎤ ∫ ⎢q + f (q)⎥qdt = 0 (5-20) ⎣ ⎦ 0 Thay (5-19) vµo (5-20), ta nhËn ®−îc: 2π ∫ {− ap cos(pt + α) + f [a cos(pt + α)]}cos(pt + α)dt = 0 p 2 (5-21) 0 131
2π p − πpa + ∫ f [a cos(pt + α)]cos(pt + α)dt = 0 Hay: 0 Ký hiÖu: pt + α = ψ , Ta nhËn ®−îc c«ng thøc ®èi víi b×nh ph−¬ng cña tÇn sè: 2π 1 πa ∫ p= f (a cos ψ ) cos ψ.dψ 2 (5-22) 0 ¸p dông: Tr−êng hîp f (q ) = p 0 q + αq 3 , khi ®ã: 2 f (a cos ψ) = ap 0 cos ψ + αa 3 cos 3 ψ 2 1 2π 2 πa ∫ Theo (5-22), ta cã: p 2 = (ap 0 cos ψ + αa 3 cos 3 ψ ) cos ψdψ 0 2π 2π 3 ∫ cos ψdψ = π; ∫ cos ψ dψ = π do ®ã nhËn ®−îc: 2 4 V×: 4 0 0 3 p 2 = p 0 + αa 3 2 4 KÕt qu¶ nµy trïng víi kÕt qu¶ nhËn ®−îc theo ph−¬ng ph¸p tham sè bÐ. Ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin cã thÓ cho phÐp x©y dùng nghiÖm gÇn ®óng cao h¬n. Khi nµy cÇn t×m nghiÖm kh«ng ph¶i chØ lµ mét hµm (5-19), mµ ë d¹ng chuçi hµm: q = a 1q1 + a 2 q 2 + ... ⎡•• ⎤ T Vµ sau ®ã ®Æt ®iÒu kiÖn sao cho tÝch ph©n: ∫ ⎢q + f (q)⎥ q i dt = 0; i = 1, 2, ... 0⎣ ⎦ 5.1.2d. ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ ®iÒu hoµ. Tr−êng hîp ®¬n gi¶n nhÊt cña ph−¬ng ph¸p N.M.Kr−l«p vµ N.N.Bogoliubop. Ta viÕt ph−¬ng tr×nh (5-1) ë d¹ng: •• q + p 2 q = p 2 q − f (q ) ë ®©y: p lµ tÇn sè dao ®éng ch−a biÕt. Thay vµo vÕ ph¶i ®¼ng thøc trªn c«ng thøc gÇn ®óng cña nghiÖm: q = acos(pt+α). Ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ tuyÕn tÝnh: •• q + p 2 q = F( t ) (5-23) F( t ) = ap 2 cos(pt + α) − f [a cos(pt + α)] , Trong ®ã: 2π lµ hµm chu kú víi chu kú b»ng . p 132
Khai triÓn F(t) thµnh chuçi Fuariª, ta nhËn ®−îc: F(t ) = a 0 + a 1 cos(pt + α) + a 2 cos 2(pt + α) + ... NÕu a1 kh¸c kh«ng th× sè h¹ng a 1 cos(pt + α) lµ nguyªn nh©n xuÊt hiÖn thµnh phÇn ®Æc tÝnh trong nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (5-23). §Ó lo¹i trõ nã cÇn ®Æt hÖ sè Fuariª a1 b»ng kh«ng, nghÜa lµ: T 2 a 1 = ∫ F( t ) cos(pt + α).dt = 0 T0 2π ∫ {ap } P cos(pt + α) − f [a cos(pt + α)] cos(pt + α)dt = 0 2 Hay: 0 Quan hÖ cuèi cïng trïng víi ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n nhËn ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin (5-21). 5.1.2e. Ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ trùc tiÕp. a). Tr−êng hîp f(q) ®èi xøng (h×nh 5-7). Thay f(q) kh«ng tuyÕn tÝnh bëi biÓu thøc tuyÕn tÝnh f*(q): f * (q ) = p 2 q (5-24) ë ®©y hÖ sè p2 ®−îc chän riªng, ®é lÖch r phô théc vµo to¹ ®é q: r = r(q), ta cã: r (q ) = f (q ) − f * ( q ) = f (q ) − p 2 q VÊn ®Ò lµ chän f*(q) sao cho rÊt gÇn f(q), nghÜa lµ r(q) tu©n theo ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña tÝch ph©n sau ®©y trªn toµn kho¶ng thay ®æi cña to¹ ®é q: a I = ∫ r 2 dq 0 TÝch ph©n nµy phô thuéc vµo viÖc chän th«ng sè p2 vµ v× vËy sù cùc tiÓu ®¹t ®−îc dI = 0. b»ng c¸ch x¸c ®Þnh th«ng sè nµy tõ ph−¬ng tr×nh d(p 2 ) Thùc tÕ trong c¸c bµi to¸n vÒ dao ®éng th−êng tån t¹i c¸c ®é lÖch r lín h¬n trong c¸c gi¸ trÞ cña to¹ ®é q lín, v× vËy mét c¸ch tù nhiªn ta xÐt ®é lÖch cã träng sè: rq = [f (q) − p 2 q]q ∫ {[f (q) − p q ]q} dq a 2 I1 = 2 Khi nµy bµi to¸n dÉn tíi t×m cùc tiÓu cña tÝch ph©n: −a dI1 =0 NghÜa lµ p2 x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh: (5-25) d(p 2 ) 133
Ph−¬ng ph¸p nµy gi¶ thiÕt r»ng: Sai sè g©y ra bëi ®é lÖch tû lÖ víi gi¸ trÞ to¹ ®é t−¬ng øng. Tõ ph−¬ng tr×nh (5-25) t×m ®−îc: a a 5 5 p = 5 ∫ f (q )q 3 dq = 5 ∫ f (q ).q 3 dq 2 (5-26) 2a − a a0 Sau khi x¸c ®Þnh ®−îc p2, bµi to¸n dÉn tíi ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ®· biÕt thay cho ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn ®· cho: •• q+ p2q = 0 Vµ p lµ tÇn sè cña dao ®éng tù do. f ( q ) = p 0 q + αq 3 2 §Ó minh ho¹ ®iÒu tr×nh bµy, ta lÊy: αa 7 ∫ (p q + αq )q dq = 5 2 5 a pa + 2 3 3 0 Vµ tÝnh : 0 7 0 5 p 2 = p 0 + αa 2 2 Theo c«ng thøc (5-26) ta ®−îc: (5-27) 7 So s¸nh ®é chÝnh x¸c c¸c kÕt qu¶ nhËn ®−îc theo c¸c ph−¬ng ph¸p kh¸c nhau trong tr−êng hîp p0 = 0, nghÜa lµ f(q) = αq3; ta cã: p = 0,845a α Theo (5-27): p = 0,866a α Theo (5-17); (5-22): p = 0,847a α Theo (5-7): f(q) f(q) r(q) f*(q) f*(q) a2 f(q) f(q) q q O a O Δ a1 H×nh 5-8 H×nh 5-7 134
b). Tr−êng hîp f(q) kh«ng ®èi xøng (H×nh 5-8). Gäi a1 lµ ®é lÖch ban ®Çu, a2 lµ ®é lÖch lín nhÊt ë phÝa kh¸c. Nãi chung a 1 ≠ a 2 liªn hÖ gi÷a c¸c ®é lÖch biªn nµy biÓu thÞ sù c©n b»ng thÕ n¨ng cña hÖ ë c¶ hai vÞ trÝ biªn vµ b»ng: a1 ∫ f (q)dq = 0 −a 2 VÞ trÝ trung b×nh, c¹nh nã hÖ thùc hiÖn dao ®éng tÝnh tõ gèc to¹ ®é vÒ bªn tr¸i b»ng: a −a Δ= 2 1 2 §Æc tr−ng tuyÕn tÝnh dÇn ra qua t©m dao ®éng cã ph−¬ng tr×nh: f * (q ) = p 2 (q + Δ ) r (q ) = f (q ) − p 2 (q + Δ ) §é lÖch lµ: Khi nµy cÇn x¸c ®Þnh cùc tiÓu cña tÝch ph©n sau: ∫ {[f (q) − p } a1 2 I= (q + Δ)](q + Δ) dq 2 −a 2 a1 dI 5 ∫ f (q)(q + Δ) = 0 , ta nhËn ®−îc: p 2 3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh dq (a 1 + a 2 ) 5 2 d(p ) −a 2 a1 + a 2 Ta ®−a ra biÕn sè: q1 = q + Δ vµ nöa kho¶ng dao ®éng: a = , ta cã c«ng thøc 2 cña p2: a 5 ∫ f (q1 − Δ).q 1 dq1 p2 = 3 (5-28) ( 2a ) 5 −a §5.2. Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng c¶n cña hÖ mét bËc tù do víi ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lùc phôc håi. Gi¶ sö lùc phôc håi F(q) bÊt kú (H×nh 5-9) vµ lùc kÝch ®éng ®iÒu hoµ h×nh sin. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cã d¹ng: F(q) •• F(q ) P0 q+ = sin ωt (5-29) m m F(a) q O Ph−¬ng tr×nh (5-29) kh«ng gi¶i ®−îc ë d¹ng kÝn. Ta gi¶i nã a b»ng c¸c ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng sau: 5.2.1. Ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin. T×m nghiÖm ë d¹ng chuçi hµm: q ( t ) = a 1q1 ( t ) + a 1q 2 ( t ) + ... H×nh 5-9 135
ë ®©y qi(t) lµ c¸c hµm ®−îc chän thÝch hîp, ai lµ c¸c hÖ sè ch−a biÕt, gi¸ trÞ cña chóng ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh: 2π ω •• ∫ [m q + F(q) − P0 sin ωt ]q i dt = 0 0 Ch¼ng h¹n, lÊy d¹ng nghiÖm q = a sin ωt , th× ta cã: 2π ∫ [− maω ] ω sin ωt + F(a sin ωt ) − P0 sin ωt sin ωtdt = 0 2 0 Khi thùc hiÖn tÝch ph©n ta ®−îc ph−¬ng tr×nh ®¹i sè kh«ng tuyÕn tÝnh ®èi víi biªn ®é dao ®éng a. 5.2.2. Ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ trùc tiÕp. Thay (5-29) b»ng ph−¬ng tr×nh: •• P q + p 2 q = 0 sin ωt (5-30) m P sin ωt PhÇn dõng cña nghiÖm cã d¹ng: q = 0 2 m( p − ω 2 ) P0 a= Cßn biªn ®é cña nã: (5-31) m( p − ω 2 ) 2 F(q) = p 0 q + αq 3 , th× nh− ®· t×m tr−íc ®©y ta cã: 2 NÕu, ch¼ng h¹n: m 5 p 2 = p 0 + αa 2 2 7 P0 Quan hÖ (5-31) cã d¹ng sau: a = 5 mp 0 + mαa 2 − mω2 2 7 5 mαa 3 + m(mp 0 − ω 2 )a = P0 2 Hay: (5-32) 7 Ph−¬ng tr×nh (5-32) cho phÐp x¸c ®Þnh biªn ®é a. 5.2.3. Ph−¬ng ph¸p §ufing. C¬ së cña ph−¬ng ph¸p nµy lµ lo¹i trõ sè h¹ng ®Æc tÝnh. Ta minh ho¹ b»ng ph−¬ng ph¸p b»ng c¸ch xÐt: F(q) = p 0 q + αq 3 2 m Ph−¬ng tr×nh (5-29) trë thµnh: •• P0 q + p 0 q + αq 3 = sin ωt 2 (5-33) m 136
LÊy gÇn ®óng ®Çu b»ng: q = a sin ωt (5-34) Vµ viÕt ph−¬ng tr×nh (5-33) ë d¹ng: •• P0 q + ω 2 q = ( ω 2 − p 0 )q − α q 3 + sin ωt 2 (5-35) m Thay (5-34) vµo (5-35), ta cã: P⎤ ⎡ •• 1 3 q + ω 2 q = ⎢(ω 2 − p 0 )a − αa 3 + 0 ⎥ sin ωt + αa 3 sin 3ωt 2 m⎦ ⎣ 4 4 NÕu biÓu thøc trong ngoÆc vu«ng kh¸c kh«ng th× nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh xuÊt hiÖn sè h¹ng ®Æc tÝnh vµ nã mang tíi hiÖn t−îng céng h−ëng. §Ó lo¹i trõ cÇn ®Æt: (ω ) P 3 − p 0 a − αa 3 + 0 = 0 2 2 (5-36) 4 m Quan hÖ nµy vÒ cÊu tróc gièng (5-32) vµ cã thÓ dïng ®Ó x¸c ®Þnh a. Khi tho¶ m·n (5-36) th× (5-35) ®−a vÒ d¹ng: •• 1 q + ω 2 q = αa 3 sin 3ωt 4 NR cña ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: αa 3 αa 3 sin 3αωt =− sin 3ωt 32ω2 ⎡ ⎛ 3ω ⎞ 2 ⎤ 4ω ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎢ ⎝ω⎠ ⎥ ⎣ ⎦ NTQ cña nã lµ: αa 3 sin 3ωt q = C 1 sin ωt + C 2 cos ωt − 32ω 2 αa 3 • T¹i t = 0: q(0) = a; q(0) = 0 , ta cã: C1 = a + ; C2 = 0 32ω 2 αa 3 (sin ωt − sin 3ωt ) Do ®ã: q = a sin ωt + 32ω2 Nh− vËy, ë gÇn ®óng nµy, lùc ®iÒu hoµ P0 sin ωt g©y ra trong dao ®éng phi tuyÕn kh«ng ph¶i chØ lµ mét tÇn sè ω, mµ c¶ tÇn sè cao h¬n. §Ó x©y dùng nghiÖm gÇn ®óng tiÕp theo, ta thay (5-32) vµo vÕ ph¶i cña (5-35), sau ®ã l¹i ®Æt hÖ sè cña sin ωt b»ng kh«ng v.v... ThÝ dô 5-1: Ng−êi ta g¾n tù do hai lß xo vµo khèi l−îng m (g¾n tù do lµ kh«ng cã lùc c¨ng ban ®Çu). Mçi lß xo cã ®é dµi L0 vµ ®é cøng C (H×nh 5-10a). Gi¶ thiÕt r»ng khèi l−îng m di chuyÓn trong mÆt ph¼ng n»m ngang víi ma s¸t nhá kh«ng ®¸ng kÓ. T×m sù phô thuéc gi÷a 137
tÇn sè vµ biªn ®é giao ®éng tù do cña khèi l−îng, biÕt r»ng ë thêi ®iÓm ban ®Çu (t = 0) khèi l−îng lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng kho¶ng c¸ch x0. Bµi gi¶i: L0 L0 L0 m x x T T L0 C L 0 + ΔL •• mx a) b) H×nh 5-10 HÖ mét bËc tù do, chän to¹ ®é suy réng xÐt chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m lµ q = x. Khi khèi l−îng m lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng kho¶ng c¸ch x, lùc ®µn håi trong lß xo b»ng (H×nh 5-10b). Cx 2 T = C.ΔL = C( L20 + x 2 − L 0 ) ≈ (1) 2L 0 ChiÕu c¸c lùc t¸c dông lªn khèi l−îng m theo trôc x, ta ®−îc: •• Cx 3 Tx m x = −2 =− 2 L0 L0 •• C x + kx 3 = 0; k = Hay: (2) mL20 • •• dy dy dx • dy dy §Æt: x = y ta cã: x = = =x =y dx dx dt dx dt Thay vµo ph−¬ng tr×nh (2) nhËn ®−îc: ydy = −kx 3 dx (3) • TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh (3) vµ chó ý tíi ®iÒu kiÖn ®Çu: t = 0; x = x 0 ; x = y = 0 k4 Ta cã: y 2 = (x 0 − x 4 ) . 2 • Do y = x , tõ hÖ thøc trªn suy ra: 138
2 1 dξ x dx 1 x t = −∫ ∫ = ; ξ= (4) k ξ 1− ξ x0 x0 4 k4 (x 0 − x 4 ) x0 2 V× lùc phôc håi cña lß xo x¸c ®Þnh tõ (1) lµ ®èi xøng nªn ®Ó x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng ta chØ cÇn xÐt mét phÇn t− chu kú lµ ®ñ, vËy chu kú dao ®éng tÝnh theo (5-4) b»ng: 2 1 dξ 1 k ∫ 1 − ξ4 T = 4⋅ (5) x0 0 dξ 1 BiÓu thøc (5) chøa tÝch ph©n EllÝptÝc toµn phÇn lo¹i mét: K = 2 ∫ (6) 1 − ξ4 0 TÝch ph©n (6) th−êng ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng chuÈn sau: dε 1 ∫ K (a , ϕ) = (7) (1 − ε 2 )(a ′ 2 + a 2 ε 2 ) cos ϕ π π ë ®©y: a = sinα , a′ = cosα. LÊy α = , ϕ = ta cã: 4 2 dε 1 K (π / 4) = 2 ∫ , tra b¶ng K=1,8541 1− ε4 0 4L m C Thay thÕ kÕt qu¶ vµo (5), víi chó ý: k = , ta ®−îc: T = 1,8541 0 2 x0 C mL 0 ThÝ dô 5-2: Cho biÕt khèi l−îng m ®−îc g¾n cøng vµo mét yÕu tè m ®µn håi phi tuyÕn víi ®Æc tr−ng F = (Cx + C1x3) (H×nh 5-11). C x LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng tù do cña khèi l−îng m, bá qua ma s¸t. a T×m sù phô thuéc gi÷a tÇn sè dao ®éng vµ biªn ®é, H×nh 5-11 biÕt r»ng ë thêi ®iÓm ban ®Çu ®é lÖch cña khèi l−îng ®èi víi vÞ trÝ c©n b»ng lµ A, vËn tèc chuyÓn ®éng b»ng 0. LÊy A = 1cm, C = 1N/cm, C1 = 0,5 N/cm, m = 1Ns2/cm. Bµi gi¶i: HÖ mét bËc tù do, chän to¹ ®é suy réng q = x. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m cã d¹ng: •• m x + F( x ) = 0 (1) •• x + p 2 x + Mx 3 = 0 Thay F(x) = Cx+C1x3 vµo ta ®−îc: (2) 139
C C ; μ = 1 tham sè bÐ. p2 = m m NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn t×m b»ng ph−¬ng ph¸p tham sè bÐ (d−íi d¹ng chuçi). x = x0 + μx1 + μm2x2 + ... (3) p2 = p12+ μ1a1+ μ2a2+ ... §Æt: (4) ë ®©y p1, a1, a2 lµ c¸c h»ng sè. Thay (3), (4) vµo (2) vµ chØ h¹n chÕ ë c¸c sè h¹ng chøa μ bËc nhÊt, ta ®−îc: ( ) •• x 0 + p1 x 0 + μ x1 + p1 x1 + a 1x 0 + x 0 = 0 2 2 3 (5) Ph−¬ng tr×nh (5) ph¶i tho¶ m·n víi gi¸ trÞ μ nhá tuú ý, v× vËy suy ra: •• x 0 + p1 x 0 = 0 2 (6) •• x 1 + p 1 x 1 = −(a 1 x 0 + x 3 ) 2 (7) 0 • Khi chó ý tíi ®iÒu kiÖn ®Çu t = 0, x0 = A, x 0 = 0 , ta t×m ®−îc nghiÖm ph−¬ng tr×nh (6) d−íi d¹ng: x0 = Acos p1t (8) Thay (8) vµo ph−¬ng tr×nh (7) ta ®−îc: ⎛ 3⎞ •• 1 x 1 + p1 x 1 = −⎜ a 1 A + A 3 ⎟ cos p1 t − A 3 cos 3p1 t 2 (9) ⎝ 4⎠ 4 NghiÖm ph−¬ng tr×nh (9) ph¶i giíi néi, nghÜa lµ cÇn lo¹i sè h¹ng ®Æc tÝnh, ta ph¶i cã: 3 a 1A + A 3 = 0 4 (Trong tr−êng hîp ng−îc l¹i tÇn sè lùc kÝch ®éng b»ng tÇn sè dao ®éng tù do vµ x1 --> ∞). Tõ trªn suy ra: 3 a1 = − A 2 (10) 4 Khi tÝnh ®Õn (10) vµ ®iÒu kiÖn ®Çu, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (9) cã d¹ng: A3 x1 = (cos 3p1 t − cos p1 t ) (11) 2 32p1 VËy tõ (8), (11) ë xÊp xØ bËc nhÊt, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2), theo (3) biÓu diÔn ë d¹ng: μA 3 x = A cos p 1 t + (cos 3p 1 t − cos p 1 t ) 2 32p 1 140
Trªn c¬ së hÖ thøc (10) vµ (4) ta t×m ®−îc tÇn sè dao ®éng tù do: C 3 C1 2 3 p1 = p 2 + μA 2 = + 2 A 4 m 4m Thay sè vµo ta cã: p1=1,17 rad/s ThÝ dô 5-3: Gi¶i bµi tËp theo vÝ dô 2 b»ng ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸, tøc lµ b»ng viÖc thay thÕ ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lß xo b»ng ®Æc tr−ng tuyÕn tÝnh nhê ®iÒu kiÖn cho ®é lÖch b×nh ph−¬ng gi÷a ®Æc tr−ng tuyÕn tÝnh vµ ®Æc tr−ng phi tuyÕn trë nªn cùc tiÓu. Bµi gi¶i: Thay ®Æc tr−ng phi tuyÕn F = Cx + C1x3 b»ng ®Æc tr−ng tuyÕn tÝnh F* = C0x, khi ®ã cÇn cã ®iÒu kiÖn: A ∫ [C 0 x − (Cx + C 1x )]dx = Min 3 0 TÝnh tÝch ph©n nãi trªn vµ lÊy ®¹o hµm biÓu thøc thu ®−îc theo tham sè cÇn t×m C0 ta cã: 3 C 0 = C + C1 A 2 5 Tõ ®ã ta t×m ®−îc tÇn sè dao ®éng tù do cña khèi l−îng: C0 C 3 C1 2 p= = + A m m 5m Thay c¸c gi¸ trÞ b»ng sè ta ®−îc p = 1,14 rad/s. (tõ kÕt qu¶ thÝ dô 2, ta cã p1= 1,17 rad/s). ThÝ dô 5-4: Ng−êi g¾n khèi l−îng m vµo ®Çu mót cña yÕu tè ®µn håi phi tuyÕn (lß xo) (H×nh 5-12). T×m sù phô thuéc gi÷a biªn ®é dao ®éng c÷ng bøc cña khèi l−îng vµ biªn ®é lùc kÝch ®éng ®iÒu hoµ P = P0sin ωt, gi¶ thiÕt ®Æc tr−ng cña lß xo cã d¹ng F = Cx + C1x3, ma s¸t kh«ng ®¸ng kÓ. TÝnh biªn ®é dao ®éng trong tr − êng hîp: F 0 = 20N, ω = 1 0rad/s, m = 10-1 Ns 2 /cm, C = 15N/cm; C1= 1 N/m3. Bµi gi¶i: m HÖ mét bËc tù do chän to¹ ®é suy réng q = x. Ph−¬ng C x tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ cã d¹ng: F •• m x + F( x ) = P( t ) (1) x Thay F(x) = Cx+C1x3, P(t) = P0sinωt H×nh 5-12 •• m x + Cx + C1 x 3 = P0 sin ωt Ta cã: (2) 141
Theo ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin. NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) t×m ë d¹ng: x1= x0sinωt (3) Thay (3) vµo (2) råi cho tÝch ph©n sau b»ng 0: 2π •• 3 I = ∫ [m x 1 + C 1 x1 + C 1 x1 − P0 sin ωt ]x1 dt = 0 3 (4) 0 2π Trong ®ã - chu kú dao ®éng. Sau khi lÊy tÝch 3 η ph©n ta ®−îc sù phô thuéc gi÷a x0 vµ F0: C1 x 3 + (C − mω 2 )x 0 − P0 = 0 2 3 η (5) 0 1 4 η 2 1 Ta gi¶i ph−¬ng tr×nh (5) b»ng ®å thÞ. Muèn vËy ta vÏ c¸c ®å thÞ cña hµm sè: x0 O 2 2,27 4 1 3 3 η1 = C1x 3 0 4 H×nh 5-13 η 2 = P0 − (C − mω )x 02 Giao ®iÓm cña hai ®å thÞ nµy cho ta nghiÖm ph−¬ng tr×nh (5). Theo h×nh vÏ (H×nh 5-13) nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x0 ≈ 2,27 cm. 142