Lý thuyết dao động - Chương mở đầu

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 11
download

Lý thuyết dao động - Chương mở đầu

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mét vμi kh¸i niÖm vμ ®Þnh nghÜa 1.1. C¸c qu¸ tr×nh thay ®æi kh¸c nhau cña c¸c ®¹i l−îng v« h−íng ®−îc chia thμnh hai d¹ng: C¸c qu¸ tr×nh dao ®éng vμ c¸c qu¸ tr×nh kh«ng dao ®éng. Qu¸ tr×nh dao ®éng ®−îc ®Æc tr−ng b»ng sù t¨ng hay gi¶m mét c¸ch lu©n phiªn cña c¸c ®¹i l−îng biÕn ®æi. Nã ®−îc m« t¶ b»ng c¸c ph−¬ng tr×nh to¸n häc. Dao ®éng trong ®ã c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng cña nã lμ tuyÕn tÝnh, gäi lμ dao ®éng tuyÕn tÝnh. Ng−îc l¹i, gäi lμ dao ®éng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết dao động - Chương mở đầu

Tr−êng ®¹i häc thuû lîi Bé m«n c¬ häc øng dông --- --- GS.TS NguyÔn Thóc An PGS.TS NguyÔn §×nh ChiÒu PGS.TS Khæng Do·n §iÒn Lý thuyÕt dao ®éng Hμ Néi 2003
Lêi nãi ®Çu Gi¸o tr×nh “C¬ häc Lý thuyÕt II – Lý thuyÕt Dao ®éng” – T¸c gi¶ PGS. PTS NguyÔn Thóc An, PTS NguyÔn §×nh ChiÒu, PTS Khæng Do·n §iÒn, xuÊt b¶n t¹i Tr−êng §¹i häc Thñy lîi, n¨m 1989, ®· ®¸p øng yªu cÇu gi¶ng d¹y cho sinh viªn ngµnh C«ng tr×nh, ngµnh Thuû ®iÖn vµ ngµnh M¸y X©y Dùng nh÷ng n¨m qua, trong ®ã ®Ò cËp ®Õn c¸c bµi to¸n dao ®éng cña hÖ mét bËc tù do, hai bËc tù do, v« sè bËc tù do vµ gi¶i quyÕt nguyªn lý cña bé t¾t chÊn ®éng lùc, triÖt tiªu dao ®éng cña mét vµi tr−êng hîp cô thÓ vµ c¸ch gi¶i quyÕt khi hÖ cã nguy c¬ xuÊt hiÖn hiÖn t−îng céng h−ëng. §Ó ®¸p øng yªu cÇu gi¶ng d¹y cho sinh viªn ngµnh M¸y X©y Dùng & TBTL vµ c¸c häc viªn Cao häc, Nghiªn cøu sinh mµ luËn ¸n cã ®Ò cËp ®Õn bµi to¸n ®éng lùc, chóng t«i biªn so¹n vµ ®−a vµo thªm: Ch−¬ng IV (Va ch¹m cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi vµ ¸p dông Lý thuyÕt va ch¹m vµo bµi to¸n ®ãng cäc); Ch−¬ng V (C¬ së cña Lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn) vµ cã ®−a vµo nh÷ng vÝ dô gÇn víi thùc tÕ tÝnh to¸n c«ng tr×nh cho ngµnh Thuû lîi. Tµi liÖu dïng ®Ó gi¶ng d¹y “ Lý thuyÕt dao ®éng” cho sinh viªn c¸c ngµnh C«ng tr×nh, Thuû ®iÖn, CÊp tho¸t n−íc, Tr¹m b¬m vµ gi¶ng d¹y m«n “ Dao ®éng kü thuËt” cho sinh viªn ngµnh M¸y X©y Dùng & ThiÕt BÞ Thuû Lîi. Tµi liÖu nµy còng cã thÓ dïng lµm tµi liÖu «n tËp thi tuyÓn Cao häc vµ Nghiªn cøu sinh cho c¸c ngµnh C«ng tr×nh, §éng lùc vµ lµm tµi liÖu häc tËp vµ tham kh¶o cho Nghiªn cøu sinh c¸c ngµnh cã liªn quan. Chóng t«i mong nhËn ®−îc nh÷ng ®ãng gãp ý kiÕn cña ®ång nghiÖp vµ b¹n ®äc ®Ó bæ xung, söa ch÷a cho tËp gi¸o tr×nh ngµy mét hoµn chØnh h¬n. Hµ Néi, th¸ng 10 n¨m 2003. C¸c t¸c gi¶ 1
Ch−¬ng më ®Çu §1. Mét vμi kh¸i niÖm vμ ®Þnh nghÜa 1.1. C¸c qu¸ tr×nh thay ®æi kh¸c nhau cña c¸c ®¹i l−îng v« h−íng ®−îc chia thµnh hai d¹ng: C¸c qu¸ tr×nh dao ®éng vµ c¸c qu¸ tr×nh kh«ng dao ®éng. Qu¸ tr×nh dao ®éng ®−îc ®Æc tr−ng b»ng sù t¨ng hay gi¶m mét c¸ch lu©n phiªn cña c¸c ®¹i l−îng biÕn ®æi. Nã ®−îc m« t¶ b»ng c¸c ph−¬ng tr×nh to¸n häc. Dao ®éng trong ®ã c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng cña nã lµ tuyÕn tÝnh, gäi lµ dao ®éng tuyÕn tÝnh. Ng−îc l¹i, gäi lµ dao ®éng kh«ng tuyÕn tÝnh (phi tuyÕn). 1.2. ChuyÓn ®éng dao ®éng ®−îc ®Æc biÖt quan t©m lµ nh÷ng dao ®éng cã chu kú. Hµm f*(t) m« t¶ qu¸ tr×nh dao ®éng cã chu kú, nÕu nh− tån t¹i gi¸ trÞ T > 0, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau: f * ( t ) = f * ( t ± T ) = f * ( t ± 2T ) = ... = f * ( t ± nT ) (1) Trong ®ã: T gäi lµ chu kú; n lµ sè nguyªn d−¬ng. Mét d¹ng ®Æc biÖt cña dao ®éng cã chu kú chiÕm vÞ trÝ quan träng trong thùc tÕ lµ dao ®éng ®iÒu hoµ. VÒ mÆt ®éng häc dao ®éng ®iÒu hoµ ®−îc miªu t¶ bëi hÖ thøc: q = A sin(kt + α) (2) ë ®©y: q lµ to¹ ®é cña ®iÓm dao ®éng tÝnh tõ vÞ trÝ trung b×nh cña nã (chän lµm gèc to¹ ®é); A lµ to¹ ®é cña q øng víi ®é lÖch lín nhÊt cña ®iÓm vÒ mét phÝa vµ ®−îc gäi lµ biªn ®é dao ®éng; (kt+α) lµ Argument cña sin gäi lµ pha dao ®éng; α lµ pha ban ®Çu; k lµ tÇn sè vßng (riªng) cña dao ®éng. TÇn sè riªng k liªn quan víi chu kú T bëi hÖ thøc: 2π k ( t + T) + α = kt + α + 2π , tõ ®ã: k = (rad / s) (3) T Sè lÇn dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: 1 k f= = (4) T 2π f ®−îc gäi lµ tÇn sè; ®¬n vÞ th−êng dïng lµ Hecz (Hz). §2. §éng n¨ng cña hÖ XÐt hÖ N chÊt ®iÓm cã n bËc tù do. Gäi to¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña hÖ: q1, q2 ..., qn (qi, i = 1, n ). Víi hÖ chÞu liªn kÕt dõng, vÞ trÝ cña mét ®iÓm Mk bÊt kú ®−îc biÓu diÔn: rk = rk (q 1 , q 2 , ..., q n ) 2
∂ rk • n d rk ∑ vk = = qi Tõ ®ã: (5) ∂q i dt i =1 1n ∑ m k v 2k §éng n¨ng cña hÖ x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc: T = 2 k =1 Thay (5) vµo biÓu thøc trªn víi chó ý: v 2 = v k . v k k 1n •• ∑1 A ij q i q j T= Ta cã: (6) 2 i , j= ë ®©y: Aij = Aji lµ c¸c hÖ sè chØ phô thuéc vµo c¸c täa ®é suy réng. Khai triÓn chóng theo chuçi lòy thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng (q i = 0; i = 1, n ) vµ chØ gi÷ l¹i sè h¹ng ®Çu, ta nhËn ®−îc biÓu thøc ®éng n¨ng cña hÖ ®· tuyÕn tÝnh ho¸: 1n •• ∑1 a ij q i q j T= (7) 2 i , j= Trong ®ã: a ij = a ji = (A ij ) 0 gäi lµ c¸c hÖ sè qu¸n tÝnh (thùc tÕ lµ khèi l−îng hoÆc m«men qu¸n tÝnh). 1 •2 NÕu hÖ cã mét bËc tù do (n = 1), ta cã: T = a q , trong ®ã a = A(0) (8) 2 NÕu hÖ cã hai bËc tù do (n = 2), ta ®−îc: 1⎛ •2⎞ •2 •• ⎜ a 11 q 1 + 2a 12 q 1 q 2 + a 22 q 2 ⎟ T= ⎜ (9) ⎟ 2⎝ ⎠ ë ®©y: a 11 = (A11 ) 0 ; a 12 = (A12 ) 0 ; a 22 = (A 22 ) 0 . C¸c hÖ sè cña d¹ng toµn ph−¬ng (7) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Xin-vec-tr¬ (x¸c ®Þnh d−¬ng), nghÜa lµ: a 11 a 12 ... a 1n a 11 a 12 a 11 > 0; > 0; ...; a 21 a 22 ... a 2 n > 0 a 21 a 22 a n1 a n 2 ... a nn §3. ThÕ n¨ng cña c¬ hÖ. Víi liªn kÕt dõng, thÕ n¨ng cña hÖ còng lµ hµm cña c¸c to¹ ®é suy réng: π = π(q1 , q 2 , ..., q n ) Trong hÖ b¶o toµn, t¹i vÞ trÝ c©n b»ng (q i = 0; i = 1, n ) , thÕ n¨ng cña hÖ cã gi¸ trÞ cùc trÞ nªn: 3
⎛ ∂π ⎞ ⎜ ⎟ = 0 Víi i = 1, n (10) ⎜ ∂q ⎟ ⎝i ⎠ q i =0 Theo ®Þnh lý Lagr¨ng-§iriclª th×: T¹i vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh cña hÖ b¶o toµn, thÕ n¨ng cña hÖ cùc tiÓu. Khai triÓn π theo chuçi luü thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh (q i = 0; i = 1, n) , ta cã: ⎞ ⎛ ∂π n 1n π = ( π) 0 + ∑ ⎜ ⎟ q i + ∑ c ij q i q j + .... (11) ⎟ ⎜ i =1 ⎝ ∂q i 2 i , j=1 ⎠0 NÕu chän vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh cña hÖ lµm gèc tÝnh π th× (π) 0 = 0 vµ do (10) nªn sè h¹ng thø hai trong (11) b»ng kh«ng. MÆt kh¸c víi hÖ tuyÕn tÝnh sÏ kh«ng chøa trong khai triÓn cña thÕ n¨ng c¸c thµnh phÇn bËc cao h¬n hai ®èi víi to¹ ®é suy réng. Do ®ã thÕ n¨ng π cña hÖ khi tuyÕn tÝnh ho¸ lµ d¹ng toµn ph−¬ng sau: 1n ∑ π= c ij q i q j (12) 2 i , j=1 ⎛ ∂2π ⎞ ë ®©y: c ij = c ji = ⎜ ⎟ gäi lµ c¸c hÖ sè cøng. ⎜ ∂q i ∂q j ⎟ ⎝ ⎠0 NÕu hÖ cã mét bËc tù do (n = 1), ta cã: 1 π = cq 2 , c = π′′(0) (13) 2 NÕu hÖ cã hai bËc tù do (n = 2), ta ®−îc: 1 π= (c11 q 1 + 2c12 q 1 q 2 + c 22 q 2 ) 2 (14) 2 2 ⎛2⎞ ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛2⎞ ⎟ ; c12 = ⎜ ∂ π ⎟ ; c 22 = ⎜ ∂ π ⎟ Trong ®ã: c11 = ⎜ ⎜ ∂q ∂q ⎟ ⎜ ∂q 2 ⎟ ⎜ ∂q 2 ⎟ ⎝ 1 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎠0 ⎝ 1 ⎠0 T−¬ng tù nh− phÇn §2, c¸c hÖ sè cij cña d¹ng toµn ph−¬ng (12) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh d−¬ng. §4. Hμm hao t¸n. Gi¶ sö hÖ chÞu t¸c dông lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc: R k = −β k . v k Trong ®ã: β k > 0 lµ hÖ sè c¶n (nhít); v k lµ vËn tèc cña chÊt ®iÓm thø k thuéc hÖ. Gäi to¹ ®é suy réng cña cña hÖ: q i (i = 1, n ) . C¸c lùc suy réng t−¬ng øng víi lùc c¶n b»ng: ∂ rk ∂r n n Q iΦ = ∑ R k = −∑ β k v k k ∂q i ∂q i k =1 k =1 4
• ∂ rk ∂ rr = • , ta cã: Khi sö dông ®ång nhÊt thøc Lagr¨ng: ∂q i ∂ qi • • ∂ ⎛n v2 ⎞ ∂ rk n ∂φ ∑ ∑ ⎜ βk k ⎟ Hay: Q i φ = − Q iΦ = − β k rk = (15) •⎜ 2⎟ • • ∂ q i ⎝ k =1 ⎠ ∂ qi ∂ qi k =1 v2 n ë ®©y ta ®Æt: φ = ∑ β k k (16) 2 k =1 φ ®−îc biÓu diÔn ë (16) gäi lµ hµm hao t¸n. Ta cã thÓ viÕt φ gièng nh− ®éng n¨ng T 1n •• ∑ trong täa ®é suy réng: φ = B ij q i q j (17) 2 i , j=1 Trong ®ã: B ij = B ji lµ c¸c hµm chØ cña to¹ ®é suy réng: q i (i = 1, n ) . Khai triÓn chóng theo chuçi luü thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng q i = 0; (i = 1, n ) vµ chØ gi÷ l¹i sè h¹ng ®Çu, ta nhËn ®−îc biÓu thøc cña hµm hao t¸n ®· tuyÕn tÝnh ho¸: 1n •• ∑ φ= b ij q i q j (18) 2 i , j=1 ë ®©y: b ij = b ji = (Bij ) 0 lµ c¸c hÖ sè c¶n suy réng. 1 •2 Khi hÖ cã mét bËc tù do (n = 1): φ = b q ; b = B(0) > 0 (19) 2 •2 •2 1 •• Khi hÖ cã hai bËc tù do (n = 2): φ = (b1 q1 + 2b12 q1 q 2 + b 22 q 2 ) (20) 2 Trong ®ã: b11 = (B11 ) 0 ; b12 = (B12 ) 0 ; b 22 = (B 22 ) 0 . C¸c hÖ sè b ij cña d¹ng toµn ph−¬ng (18) còng tho¶ m·n tiªu chuÈn x¸c ®Þnh d−¬ng. §5. Ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng. 5.1. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng theo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II. C¬ së lý thuyÕt cña nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu dao ®éng c¸c hÖ H«l«n«m nhiÒu bËc tù do lµ viÖc ¸p dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II. Ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ dao ®éng b»ng c¸ch sö dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II gäi lµ ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n. §èi víi hÖ H«l«n«m, cã n bËc tù do, x¸c ®Þnh bëi c¸c to¹ ®é suy réng ®éc lËp: q 1 , q 2 , ... q n (q i : i = 1, n ) , ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II cã d¹ng: ⎞ ⎛ ⎟ ∂T d ⎜ ∂T ⎟ − ∂q = Q i ; i = 1, n (21) dt ⎜ ∂ q • ⎟ ⎜ i ⎠ ⎝i 5
5.1a. NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ chØ lµ lùc cã thÕ. ∂π π Qi = Qi = − ; i = 1, n Ta cã: ∂q i Ph−¬ng tr×nh (21) trë thµnh: ⎞ ⎛ ∂π ⎟ ∂T d ⎜ ∂T ⎟ − ∂q = − ∂q ; i = 1, n (21a) dt ⎜ • ⎟ ⎜∂q i i ⎠ ⎝i §−a vµo hµm Lagr¨ng: L = T − π , ta ®−îc: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂L ⎟ ∂L ⎟ − ∂q = 0; i = 1, n (21b) dt ⎜ ∂ q • ⎜ ⎟ i ⎝i ⎠ 5.1b. NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ bao gåm c¶ lùc cã thÕ vµ lùc c¶n nhít ta cã: ∂φ ∂π π φ Qi = Qi + Qi = − − • ; i = 1, n ∂q i ∂ qi Ph−¬ng tr×nh (21) trë thµnh: ⎞ ⎛ ∂φ ⎟ ∂T d ⎜ ∂T ∂π ⎟ − ∂q = − ∂q − • ; i = 1, n (22) dt ⎜ • ⎟ ⎜∂q ∂ qi i i ⎠ ⎝i Khi chó ý ®Õn hµm Lagr¨ng L: ⎞ ⎛ ∂φ ⎟ ∂L d ⎜ ∂L ⎟ − ∂q + • = 0; i = 1, n (22a) dt ⎜ • ⎟ ⎜∂q ∂ qi i ⎠ ⎝i 5.1c. NÕu lùc t¸c dông lªn hÖ ngoµi c¸c lùc cã thÕ, vµ lùc c¶n nhít cßn cã c¸c ngo¹i lùc kh¸c (lùc kÝch ®éng) phô thuéc vµo thêi gian t; lùc suy réng cña nã ký hiÖu QiP, ta cã: π φ Q i = Q i + Q i + Q i ; i = 1, n P Vµ ph−¬ng tr×nh (21) viÕt ë d¹ng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ ⎟ − ∂q = − ∂q − • + Q i ; i = 1, n P (23) dt ⎜ • ⎜∂q ⎟ ∂ qi ⎝i ⎠ i i ThÝ dô 1: Con l¾c kÐp gåm hai thanh ®ång chÊt: AB = BC = 2L, träng l−îng P1 = P2 = P nèi víi nhau bëi b¶n lÒ B. Con l¾c thùc hiÖn dao ®éng nhá trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng xung quanh vÞ trÝ c©n b»ng Ay; ngoµi ra AB quay xung quanh trôc A; BC quay xung quanh b¶n lÒ B (H×nh 1). 6
Bµi gi¶i Gi¶ thiÕt c¸c thanh r¾n tuyÖt ®èi ; hÖ cã hai bËc tù do. Ta chän θ1, θ2 lµ c¸c gãc lÖch cña thanh víi ph−¬ng th¼ng ®øng Ay lµm täa ®é suy réng. T¹i vÞ trÝ c©n b»ng th× θ1 = θ2 = 0. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II viÕt cho hÖ kh¶o s¸t lµ: x d ⎛ ∂T ⎞ ∂T A ⎟− ⎜ = Q i ; i = 1, 2 (a) dt ⎜ ∂ θ ⎟ ∂θ i • ⎝ i⎠ θ 1 Chän hÖ trôc täa ®é Axy nh− h×nh vÏ. §éng n¨ng cña hÖ b»ng: P1 B ⎛ ⎞1 •2 •2 •2 •2 1 1 J Az θ1 + m BC ⎜ x D + y D ⎟ + J Dz θ 2 T = TAB + TBC = D ⎜ ⎟2 θ2 2 2 ⎝ ⎠ C P2 1P P 1P (2L) 2 , m BC = , J Dz = ( 2 L) 2 Ta cã: J Az = 3g g 12 g y H×nh 1 ⎧x D = L(2 sin θ1 + sin θ 2 ) ⎨ ⎩ y D = L(2 cos θ1 + cos θ 2 ) ⎡ •2 •2 ⎤ 2PL2 •• Ta cã: T = 4 θ1 + θ 2 + 3 θ1 θ 2 cos(θ1 − θ 2 )⎥ ⎢ 3g ⎣ ⎦ XÐt dao ®éng nhá: cos(θ1 − θ 2 ) ≈ 1 , ta nhËn ®−îc: 2PL2 • 2 • 2 •• T= (4 θ1 + θ 2 + 3 θ1 θ 2 ) (b) 3g ThÕ n¨ng cña hÖ b»ng c«ng träng l−îng c¸c thanh khi hÖ chuyÓn dÞch tõ vÞ trÝ kh¶o s¸t (θ1; θ2) tíi vÞ trÝ c©n b»ng th¼ng ®øng (θ1 = 0 ; θ2 = 0), ta cã: π = PL(1 − cos θ1 ) + PL[2(1 − cos θ1 ) + (1 − cos θ 2 )] π = PL(4 − 3 cos θ1 − cos θ 2 ) Rót gän: θ1 θ2 2 Víi θ1 , θ 2 nhá: cos θ1 ≈ 1 − ; cos θ 2 ≈ 1 − 2 2 2 PL π= (3θ1 + θ 2 ) 2 Ta cã: (c) 2 2 Thay (b) vµ (c) vµo (a), ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá cña hÖ: 16L •• 2L •• 2 L •• 4 L •• 3θ1 = − θ1 − θ 2 ; θ2 = − θ1 − θ2 3g g g 3g 7
5.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng theo ph−¬ng ph¸p §al¨mbe. Theo nguyªn lý §al¨mbe: ë mçi thêi ®iÓm c¸c lùc ho¹t ®éng t¸c dông lªn c¬ hÖ vµ c¸c ph¶n lùc liªn kÕt c©n b»ng víi c¸c lùc qu¸n tÝnh. Tõ ®ã: ⎧ F a + N + F qt = 0 ⎪∑ k ∑ k ∑ k ⎪k k k ⎨ () (24) ⎪∑ m O ⎛ Fk ⎟ + ∑ m O N k + ∑ m O ⎛ Fk qt ⎞ = 0 a⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎪k ⎝ ⎠k ⎝ ⎠ ⎩ k Trong ®ã: F qt = −m k Wk k 5.3. ¸p dông ph−¬ng ph¸p lùc ®Ó lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá (tr−êng hîp riªng cña ph−¬ng ph¸p §al¨mbe). Gi¶ sö cho mét dÇm ®µn håi cã g¾n mét sè h÷u h¹n khèi l−îng tËp trung m1 , m 2 , ..., m n . §Ó lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng (uèn) cña dÇm, thuËn lîi h¬n c¶ lµ dïng ph−¬ng ph¸p lùc. Khi nµy cÇn sö dông kh¸i niÖm dÞch chuyÓn ®¬n vÞ. C¸c dÞch chuyÓn theo h−íng i do lùc ®¬n vÞ t¸c dông theo h−íng k g©y ra gäi lµ dÞch chuyÓn ®¬n vÞ, ký hiÖu δik. C¸c dÞch chuyÓn ®¬n vÞ δik cßn gäi lµ c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng (H×nh 2). Pk = 1 m1 m2 m3 mn i k δik H×nh 2 §èi víi c¸c hÖ ®µn håi, theo h−íng k hÖ chÞu t¸c dông cña lùc Pk th× dÞch chuyÓn do nã g©y ra theo h−íng i sÏ tû lÖ víi lùc, nghÜa lµ: yi = Pkδik. Do ®ã, d−íi t¸c dông ®ång thêi cña c¸c lùc P1, P2, ..., Pn dÞch chuyÓn toµn phÇn x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: n ∑P δ yi = (25) k ik k =1 C«ng thøc (25) lµ c¬ së ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ theo ph−¬ng ph¸p lùc. Theo kÕt qu¶ trong gi¸o tr×nh SBVL, ta cã c¸c c«ng thøc x¸c ®Þnh hÖ sè ¶nh h−ëng δik sau ®©y: 8
5.3a. X¸c ®Þnh δik khi uèn cña thanh: Dïng c«ng thøc MO: L M i . M k . dx ∫ δ ik = ∑ (26) EJ 0 Trong ®ã: EJ lµ ®é cøng cña thanh khi uèn; M i ( x ) vµ M k ( x ) lµ c¸c m«men uèn do lùc ®¬n vÞ Pi = 1 vµ Pk = 1 g©y ra (H×nh 3). Pi = 1 Pk = 1 M i =(x) M k =(x) x x H×nh 3 5.3b. Sö dông phÐp nh©n biÓu ®å Vªrªsaghin: * Ω Mk δ ik = ∑ i (27) EJ * ë ®©y: Ω i lµ diÖn tÝch biÓu ®å M i , M k lµ tung ®é cña biÓu ®å M k t−¬ng øng hoµnh ®é träng t©m cña Ω i . Khi sö dông c«ng thøc (27) cÇn chó ý chia chiÒu dµi thanh sao cho trong mçi ®o¹n cña M k lµ ®−êng th¼ng. Theo ®Þnh lý Macxoen ta lu«n cã: δ ik = δ ki ThÝ dô 2: X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng trong tr−êng hîp dÇm chÞu c¸c träng t¶i tËp trung nh− h×nh vÏ (H×nh 4). P1 = 1 m m m 5L L/6 L/3 L/3 L/6 36 M1 L/6 5L/6 H×nh 5a H×nh 4 9
Bµi gi¶i: §Ó x¸c ®Þnh c¸c dÞch chuyÓn ®¬n vÞ (hÖ sè ¶nh h−ëng) δik (i, k = 1, 2, 3) ta x©y dùng c¸c biÓu ®å M«men uèn M 1 , M 2 , M 3 t−¬ng øng víi c¸c lùc ®¬n vÞ P1 = 1, P2 = 1, P3 = 1 vµ biÓu diÔn nh− trªn h×nh vÏ (H×nh 5a, b, c). P2 = 1 P3 = 1 L 5L 4 36 M2 M3 L/2 L/2 5L/6 L/6 H×nh 5b H×nh 5c Theo c«ng thøc nh©n biÓu ®å Vªrªsaghin, ta cã: 5 ⎞⎤ 1 ⎡⎛ 1 L 5 5 ⎞ ⎛1 5 5 δ11 = δ 33 = ⎢⎜ 2 . 6 . 36 L. 54 L ⎟ + ⎜ 2 . 6 L. 36 L. 54 L ⎟⎥ EJ ⎣⎝ ⎠⎝ ⎠⎦ 25L3 5 ⎛1 5⎞15 15 5 1 = . L. L⎜ L + L ⎟ = ⋅ ⋅L⋅ ⋅L⋅ ⋅L = = 75k EJ 54 36 ⎝ 12 12 ⎠ EJ 54 36 2 3888EJ L3 ë ®©y ta ®Æt: k = 9.1296EJ L3 L3 L3 1 ⎛1 L L L 1 L L L⎞ ⎜ . . . + . . . ⎟ = 2. = = 243. = 243k δ 22 = EJ ⎝ 2 2 4 6 2 2 4 6 ⎠ 96EJ 48EJ 9.1296EJ Thùc hiÖn tÝnh to¸n mét c¸ch t−¬ng tù, ta nhËn ®−îc: L3 L3 δ13 = δ 31 = 51 = 51k; δ12 = δ 21 = δ 32 = δ 23 = 117 = 117k 9.1296EJ 9.1296EJ §6. X¸c ®Þnh ®é cøng cña hÖ dao ®éng. C¸c tÝnh chÊt ®µn håi cña hÖ dao ®éng trong mçi tr−êng hîp cô thÓ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng hÖ sè cøng C. 6.1. Thanh ®µn håi 6.1.1. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng, chÞu kÐo nÐn (H×nh 6). 10
PL ΔL = Ta cã: EF ë ®©y: E lµ m«®un ®µn håi, F lµ diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang. EF P= .ΔL = C.ΔL Tõ ®ã: L L EF C= VËy, ta cã: (28) L 6.1.2. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng chÞu xo¾n (H×nh 7) th×: MxL Δϕ = GJ p Trong ®ã: G lµ m«®un tr−ît, JP lµ m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña ΔL P mÆt c¾t ngang. Suy ra: H×nh 6 GJ p Mx = Δϕ = C.Δϕ L GJ p C= VËy, nhËn ®−îc: (29) L Mx L P L f H×nh 7 H×nh 8 6.1.3. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng chÞu uèn. Khi nµy: HÖ sè cøng C cßn phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn biªn. Ta xÐt thanh chÞu uèn bÞ ngµm ë mét ®Çu (H×nh 8). §é vâng f b»ng: 1 PL3 3EJ f= , suy ra: P = 3 f = Cf 3 EJ L 3EJ C= ë ®©y: EJ lµ ®é cøng chèng uèn. VËy ®é cøng C b»ng: (30) L3 11
6.2. HÖ c¸c lß xo. 6.2.1. §èi víi hÖ lß xo m¾c song song (H×nh 9). Tõ biÓu thøc tÝnh lùc ®µn håi, ta cã: Fdh = C1 x + C 2 x = Cx C C1 C2 VËy, ta ®−îc: C = C1 + C2. NÕu hÖ cã n lß xo m¾c song song, t−¬ng tù nhËn ®−îc: n C = ∑ Ci (31) i =1 H×nh 9 6.2.2. §èi víi hÖ lß xo m¾c nèi tiÕp (H×nh 10). BiÓu thøc tÝnh lùc ®µn håi b»ng: Fdh = C1 x 1 + C 2 x 2 C1 C ë hÖ thay thÕ t−¬ng ®−¬ng hÖ sè cøng C, lß xo C2 x = x 1 + x 2 ; Fdh = Cx d·n mét ®o¹n: F1 F2 Fdh 1 1 1 x= + = ⇒= + Ta cã: C1 C 2 C C C1 C 2 H×nh 10 NÕu hÖ cã n lß xo m¾c nèi tiÕp, th× hÖ sè cøng C cña lß xo thay thÕ x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: n 1 1 =∑ (32) C i =1 C i Nãi chung ®é cøng C ®−îc tÝnh to¸n theo lý thuyÕt víi c¸c gi¶ thiÕt nhÊt ®Þnh vµ cã thÓ tra cøu trong c¸c sæ tay kü thuËt. Ta thèng kª mét sè c«ng thøc ë mét sè d¹ng c¬ b¶n th−êng dïng trong tÝnh to¸n (b¶ng 1). B¶ng 1. C«ng thøc x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cøng t−¬ng ®−¬ng STT S¬ ®å HÖ sè C Gd 4 C= Víi G: m«®un tr−ît cña 8iD 1 vËt liÖu; d: ®−êng kÝnh d©y lß xo; i, D: sè vßng vµ ®−êng kÝnh lß xo. C1 2 C = C1+ C2 C1 C2 C2 12
C1C 2 C= C1 3 C1 + C 2 C2 EJ EJ C=3 4 L3 L 3EJ(a + b) C= 5 a 2b2 a b 12EJ(a + b) 3 C= 6 a 3 b 2 (3a + 4b) b a 3EJ(a + b) 3 C= 7 a b a 3b3 3EJ C= 8 ( b + L) b 2 b L 12EJ C= 9 (4b + 3L)b 2 b L 24EJ C= L3 10 L (EJ lµ ®é cøng khi uèn cña mét trong hai lß xo ph¼ng) α 3 EJsh α L C= , α Lch α L − sh α L N 11 L N α= EJ α 2 EJsh ( α L ) C= L (α Lch α L − sh α L ) N 12 N L α= EJ 13
14