zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

1.050
lượt xem 129
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

tài liệu tham khảo:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN

M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng CHUYÊN B I DƯ NG HS KHÁ , GI I MÔN TOÁN M TS PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH A TH C B C CAO M T N Hơn b n nghìn năm trư c ây, ngư i Hi L p ã bi t cách gi i các phương trình b c nh t và b c hai Phương trình b c 3 - Năm 1526 nhà toán h c I-ta-li-a là Phe-rô m i tìm ư c cách gi i phương trình b c 3 d ng x3 + ax = b v i a , b > 0 - Năm 1535 nhà toán h c Tac-ta-li-a ã tìm ư c cách gi i t ng quát phương trình x3 + ax + b = 0 v i m i giá tr c a a , b - Năm 1545 nhà toán h c Các- a-nô ã công b công th c tìm nghi m c a phương trình b c ba Phương trình b c 4 Năm 1545, nhà toán h c I-ta-li-a là phe-ra-ri ã tìm ra cách gi i t ng quát phương trình b c b n Phương trình b c cao hơn 4 Trong các th k 17 và 18 các nhà toán h c ã m t r t nhi u công s c tìm cách gi i t ng quát phương trình b c 5 , b c 6 nhưng không thành công n u th k 19 thì hai nhà toán h c ngu i Na-uy là A-ben và nhà toán h c ngu i Pháp là Ga-loa ã gi i quy t v n có th gi i phương trình b c cao hơn b n b ng căn th c hay không. - A-ben ã ch ng minh ư c r ng các phương trình b c cao hơn b n dư i d ng t ng quát không th gi i ư c b ng căn th c . T c là không th bi u th ư c các nghi m c a phương trình ó b ng các phép toán : c ng , tr , nhân , chia , lu th a và khai căn - Còn Ga-loa ch ra ư c d u hi u nh n bi t m t phương trình b c cao hơn b n có th gi i ư c b ng căn th c hay không , b ng m t lý thuy t c áo mà sau này mang tên ông : lý thuy t nhóm 1
M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng V y là các phương trình b c cao hơn b n dư i d ng t ng không th gi i ư c b ng căn th c M t khác i v i h c sinh l p 9 ã bi t gi i phương trình b c nh t và b c hai dư i d ng t ng quát . Còn cách gi i t ng quát c a phuơng trình b c ba và b c b n thì ph c t p i v i h c sinh ph thông Như v y không có phương pháp chung gi i t t c các phương trình b c cao mà ph i căn c vào t ng phương trình , tìm các gi i thích h p Sau ây xin c p n m t s phương pháp riêng gi i phương trình a th c b c cao hơn 2, nh m b i dư ng h c sinh khá gi i c a l p 9 M TS PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH ĐA TH C B C CAO I. Phương pháp bi n i v phương trình tích. M t trong các phương pháp riêng gi i phương trình a th c b c cao là phân tích a th c thành nhân t có b c th p hơn ưa vi c gi i phương trình ã cho v gi i m t phương trình tích 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 Ví d 1: Gi i phương trình sau: Gi i Nh n xét : N u phương trình trên có nghi m nguyên thì s này ph i là ư c c a 3. Ta th y a th c 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 có nghi m nguyên x = 1 . V y khi phân tích a th c này thành nhân t thì a th c này ch a nhân t x - 1. 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 ⇔ 5x3 - 5x2 - x2 + x - 3x + 3 = 0 ⇔ (x - 1)(x2 - x - 3) = 0 ⇔ x- 1 = 0 ho c x2 - x - 3 = 0 1 + 13 1 − 13 x2 - x - 3 = 0 ⇔ x = ho c x = 2 2 Phưong trình V y phương trình ã cho có ba nghi m 1 + 13 1 − 13 x1 = 1 x2 = x3 = 2 2 x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0 Ví d 2: Gi i phương trình : 2
M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng Gi i Nh n xét : Ta th y phương trình này không có nghi m nguyên x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0 ⇔ (x4 + 12x3 + 36x2) - (4x2 + 8x + 4) = 0 ⇔ (x2 + 6x)2 - (2x + 2)2 = 0 ⇔ (x2 + 8x +2)(x2 + 4x -2) = 0 ⇔ x2 + 8x + 2 = 0 ho c x2 + 4x - 2 = 0 x2 + 8x + 2 = 0 ⇔ x = − 4 + 14 ho c x = − 4 − 14 x2 + 4x - 2 = 0 ⇔ x = − 2 + 6 ho c x = − 2 − 6 V y phương trình ã cho có b n nghi m x1 = − 4 + 14 ; x2 = − 4 − 14 ; x3 = − 2 + 6 ; x4 = − 2 − 6 II. Phương pháp t n ph (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = 0 Ví d 3 : Gi i phương trình Gi i t x2 + x + 2 = y . Ta có phương trình y2 - 12y + 35 = 0 ⇔ y = 5 ho c y = 7 − 1 + 13 − 1 − 13 V i y = 5 ⇔ x2 + x - 3 = 0 ⇔ x = ho c x = 2 2 − 1 + 21 − 1 − 21 V i y = 7 ⇔ x2 + x -5 = 0 ⇔ x = ho c x = 2 2 V y phương trình ã cho có b n nghi m − 1 + 13 − 1 − 13 − 1 + 21 − 1 − 21 x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = 2 2 2 2 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 3 = 0 Ví d 4: Gi i phương trình Gi i 2 t x + 5x + 5 = y. Ta có phương trình (y - 1)(y + 1) - 3 = 0 ⇔ y2 = 4 ⇔ y = 2 ho c y = -2 − 5 + 13 − 5 − 13 V i y = 2 ⇔ x2 + 5x + 3 = 0 ⇔ x = ho c x = 2 2 V i y = -2 ⇔ x2 + 5x + 7 = 0 phưong trình này vô nghiêm vì ∆ < 0 3
M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng V y phương trình ã cho có hai nghi m − 5 + 13 − 5 − 13 x1 = ; x2 = 2 2 Ví d 5 : Gi i phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 Gi i (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 ⇔ (x2+ 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - 9 = 0 t x2 + 8x + 11 = y Ta có phương trình (y - 4)(y + 4) - 9 = 0 ⇔ y2 = 25 ⇔ y = 5 ho c y = -5 V i y = 5 ⇔ x2 + 8x + 6 = 0 ⇔ x = − 4 + 10 ho c x = − 4 − 10 V i y = -5 ⇔ x2 + 8x + 16 = 0 ⇔ (x + 4)2 = 0 ⇔ x = -4 V y phương trình ã cho có ba nghi m x1 = − 4 + 10 ; x2 = − 4 − 10 ; x3 = -4 Bài t p Bài 1: Gi i các phương trình sau: a) 3x4 - 22x2 - 45 = 0 b) x6 - 9x3 + 8 = 0 Bài 2: Gi i các phương trình sau: a) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = 0 b) x4 + x2 + 6x - 8 = 0 c) x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Hư ng d n: c) x4 + 4x3 + 3x2 - 2x - 1 = 0 ⇔ (x2 + 2x)2 - (x - 1)2 = 0 ⇔ (x2 + x + 1)(x2 + 3x - 1) = 0 Bài 3: Gi i các phương trình sau a) x(x2 - 1)(x + 2) + 1 = 0 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4 c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112 ---------------------------@------------------------ M TS D NG PHƯƠNG TRÌNH B C CAO C BI T I . Phương trình i x ng (phương trình thu n ngh ch) 4
M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng nh nghĩa: Phương trình có d ng anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 = 0 ( a ≠ 0). Trong ó các h s c a các s h ng cách u s h ng u và s h ng cu i b ng nhau ( an = a0 ; an-1 = a1; ...... ). G i là phương trình i x ng N u n là s ch n ta g i là phương trình i x ng b c ch n, còn n là s l ta g i là phương trình i x ng b c l . Ví d : Các phương trình sau là phương trình i x ng a) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (1) ( i x ng b c 4) b) 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 ( i x ng b c 5) 1. Phương trình i x ng b c c h n: a ) Cách gi i: n + Chia c hai v cho x ≠ 0 2 1 + tx+ =y (1) x 1 1  1  1 + Bi u di n: x k + =  x +  x k −1 + k −1  −  x k − 2 + k − 2  k  x  x  x x + Thay giá tr v a tìm ư c c a y tìm giá tr c a x b) Ví d : Gi i phương trình sau : 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (1) ( i x ng b c b n) Gi i Ta th y x = 0 không là nghi m c a phương trình . Chia c hai v cho x2 ≠ 0 ta có phương trình : 1 2 2x2 + 3x - 16 + 3 + 2 =0 x x 1 1 2  x 2 + 2  + 3 x +  = 16 = 0     x  x 1 1 ⇒  x 2 + 2  = y2 - 2 . = y (2) tx+    x x 5 Ta có phương trình 2y2 + 3y - 20 = 0 có nghi m y = -4 , y = . Th t thay y = -4 và 2 5 1 . vào (2) ta có x1 = -2 + y= 3 ; x2 = -2 - 3 ; x 3 =2 ; x 4 = 2 2 5
M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng 1 c) Lưu ý : N u m là nghi m c a phương trình i x ng b c ch n thì cũng là m nghi m c a phương trình ó . 2. Phương trình i x ng b c l a) Cách gi i : Vì x = -1 luôn là nghi m c a phương trình i x ng b c l . Nên phương trình ã cho tr thành phương trình (x + 1).f(x) = 0 Trong ó f(x) = 0 là m t phương trình i x ng b c ch n Do ó ta ưa vi c gi i phương trình d i x ng bâc l v gi i phương trình i x ng b c ch n f(x) = 0 và phương trình x + 1 = 0 b) Ví d : Gi i phương trình 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 Gi i Phương trình ã cho là phương trình i x ng b c 5 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ (x +1)(2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = 0 x + 1 = 0 ⇔4 3 2 2 x + x − 6 x + x + 2 = 0 i x ng b c ch n 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 Phương trình ã ư c gi i trên V y phương trình ã cho có năm nghi m 1 x1 = -2 + 3 ; x2 = -2 - ; x 3 =2 ; x4 = ; x5 = -1 3 2 Bài t p Bài 4: Gi i các phương trình sau a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + 1 = 0 b) x5 + 2x3 - 3x3 - 3x2 + 2x + 1 = 0 c) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = 0 c) 6x5 - 29x4 + 27x3 - 29x + 6 = 0 Bài 5: Gi i các phương trình sau a) x4 - 3x2 + 6x2 + 3x + 1 = 0 b) x5+ 4x4 + 3x2 - 4x + 1 = 0 Bài 6: Gi i phương trình 6
M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng a) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 b) 2x8 - 9x7 + 20x6 - 33x5 + 46x4 - 66x3+ 80x2 - 72x + 32 = 0 II. Phương trình d ng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax ( Trong ó ab = cd) ab t x+ a) Cách gi i : =y x b) Ví d : Gi i phương trình 4 (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x Hư ng d n 4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x ⇔ 4(x2 + 16x + 60) (x2 + 17x + 60) = 3x (1) Ta th y x = 0 không ph i là nghi m c a phương trình . Chia c hai v c a phương trình (1) cho x ≠ 0 . Ta ư c phương trình :  60  60  4  x + 16 +  x + 17 +  = 3  x  x 60 t x + 17 + =y x −1 3 Ta có phương trình 4(y - 1)y - 3 = 0 ⇔ 4y2 - 4y - 3 = 0 y= ho c y = ⇔ 2 2 −1 3 60 60 T ó ta gi i hai phương trình x + 17 + = và x + 17 + = 2 2 x x Bài t p Bài 7: Gi i các phương trình sau: a) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x b) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x III. Phương trình d ng: (x - a)4 + (x - b)4 = A a) Ví d : Gi i phương trình (x - 6)4 + ( x- 8)4 = 16 Gi i 6+8 tx- = x - 7 = y phương trình tr thành 2 (y - 1)4 + (y + 1)4 = 16 ⇔ y4 + 6y2 - 7 = 0 7
M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng t y2 = z ( z ≥ 0) phương trình tr thành z2 + 6z - 7 = 0 ⇒ z1 = 1 ; z2 = -7 (Lo i) V i z = 1 ⇒ y = 1 ho c y = -1 ⇒ x = 8 ho c x = 6. V y phương trình ã cho có hai nghi m x1 = 8 ; x2 = 6. 4 4 b) Lưu ý: Khi gi i phương trình b c b n d ng ( x + b ) + ( x + b ) = c ta thư ng tn a+b ph x + ưa phương trình ã cho v phương trình trùng phương =y 2 Bài t p Bài 8: Gi i các phương trình a) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 b) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 Bài 9: Gi i các phương trình a) (x + 1)4 + (x + 5)4 = 40 b) ( x- 2)6 - (x - 4)6 = 64 K t lu n: Nói chung là không có phưong pháp t ng quát chung nào gi i t t c các phương trình b c cao. Tuỳ d ng phương trình b c cao c th mà ta ch n phương pháp gi i riêng thích h p. trên ã nêu m t s d ng phương trình b c cao c bi t và cách gi i . Các em HS có th tìm m t s d ng phương trình b c cao c bi t khác và cách gi i nh ng phương trình ó ---------------------------H t----------------------- 8
M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng CÁC CHUYÊN B I DƯ NG HS GI I TOÁN H TH NG LÝ THUY T H TH NG BÀI T P G I M PHÁT TRI N Trư ng h p c bi t: Phương trình trùng phương + nh nghĩa: Phương ttrình có d ng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) + Cách gi i: - t x2 = y ≥ 0 - Gi i phương trình ay2 + by + c = 0. - Thay giá tri tìm ư c c a y ≥ 0 vào x2 = y tìm các giá tr c a x. + Ví d : Gi i phương trình: x4 + 2x2 - 3 = 0 Ph l c : Phương trình i x ng 9
M t s phương pháp gi i phương trình a th c b c cao m t n – Vũ ình Dũng I. Phương trình i x ng i x ng b c ch n 1. nh nghĩa: 2. Ta g i phương trình 2n ∑ aixi = 0 (a2nx2n + a2n-1x2n-1 + ... + an+1xn+1 + anxn + i =0 trong ó a2n ≠ 0 và ai = a2n-i . kn-i i = 0 ; 1; 2; ...; n-1 là phương trình thu n ngh c b c ch n 10

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.