BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH *****************************
Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01
Trần Thị Thu NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ NỬA CƯỠNG BỨC BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ CỦA PHƯƠNG TRÌNH TELEGRAPH PHI TUYẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ HOÀN HOÁ
Thành phố Hồ Chí Minh - 2007
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS Lê Hoàn
Hoá, khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm Tp.HCM, người thầy đã giảng dạy và
hướng dẫn tận tình cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm
Tp.HCM, các thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM đã
tham gia giảng dạy chúng tôi, và các thầy cô ở Phòng Khoa học công nghệ Sau đại
học đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học này.
Tôi cũng xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp đã giúp tôi vượt qua
những khó khăn trong quá trình học tập.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời tri ân đến thầy Nguyễn Thế Hùng và Ban Giám hiệu
trường Điện toán và Ngoại ngữ CADASA, Ban Giám hiệu và Công đoàn trường
THPT Long Trường đã động viên tinh thần và giúp đỡ cho tôi hoàn thành khóa học.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Ngày nay, việc tìm hiểu và trao đổi thông tin đã trở nên vô cùng dễ dàng nhờ
mạng Internet toàn cầu và các công cụ truyền thông hiện đại. Các công trình Toán
học nói chung và của ngành Giải tích hiện đại nói riêng cũng được các nhà khoa học
nghiên cứu và phổ biến rộng rãi bằng con đường này. Với mục đích tìm hiểu và tập
làm quen với các nghiên cứu khoa học đương đại, luận văn chọn đề tài về vấn đề tính
chất nghiệm bị chặn của một loại phương trình vi phân phi tuyến mà nhà toán học
người Bỉ J. Mawhin đề cập trong tài liệu tham khảo [20].
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu bài toán xét sự tồn tại nghiệm của phương trình telegraph
:
u t ( , )
(1) trong đó u(t,.) utt + cut – uxx + h(u) = f(t,x)
thỏa các điều kiện biên thích hợp trên một đoạn compact của R và bị chặn
trên R trong một chuẩn thích hợp của không gian hàm.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán (1) dẫn đến việc nghiên cứu các nghiệm bị chặn của các phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính – các phương trình vi phân thường - trong không gian Hilbert
.
.. u c u Au g t u
( , ) 0
dạng :
(2)
trong đó
(cid:31) u nhận giá trị trong không gian Hilbert H
(cid:31) c > 0
H là tự liên hợp, nửa xác định dương, có giải thức compac
(cid:31) A : D(A) H
(cid:31) g: R x H H, bị chặn và thỏa các điều kiện chính qui thích hợp.
Mặt khác, dạng phương trình vi phân tuyến tính (3)– trường hợp riêng của phương
trình (2):
.. . u c u Au
f
t ( )
(3) khi c >
0 và A là phép đẳng cấu xác định dương, đã được Ghidaglia và Team xem xét trong
[6] và [14]. Họ đã chứng minh được sự tồn tại một nghiệm của phương trình (3) bị
chặn trên R với chuẩn thích hợp. Tính xác định dương của A sẽ được thỏa mãn đối
với trường hợp đặc biệt của (1) khi u(t,.) thỏa các điều kiện biên Dirichlet. Trường
hợp của Neumann hay các điều kiện biên tuần hoàn thì dẫn tới A xác định nửa dương
và là trường hợp phức tạp hơn. Đây cũng là điều được xem xét trong luận văn này.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Định lý 1 chứng minh rằng, nếu P ánh xạ chiếu vào ker A, thì phương trình
g t u u ( ( , ), )
Pu
(
I P u )
(2) phân tán khi điều kiện nửa cưỡng bức
đúng cho mọi (t,u) R x H và các số dương , , nào đó.
. u
Định lý 2 chứng tỏ rằng từ sự phân tán của phương trình (2) suy ra sự tồn tại
một nghiệm u sao cho u và bị chặn trên R với chuẩn thích hợp.
Các chứng minh Định lý 1 và Định lý 2 đòi hỏi một số kết quả bước đầu là bài
toán Cauchy của phương trình (2) và phương trình (3) , điều này được trình bày trong
Chương 2.
Các Định lý 1 và 2 được dùng để chứng minh Định lý 3 - một điều kiện cần và
đủ để tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình (3) khi A xác định nửa dương.
2
f
t x dx ( , )
sup t R
0
h
(
)z
) :
h
(
)z
) :
Đối với phương trình telegraph (1) với các điều kiện biên Neumann trên x, với
h lim ( z
h lim ( z
và h sao cho : tồn tại,
2
2
2
u t x ( , )
u t x ( , )
x
u t x ( , ) t
dx
sup t R
0
thì sự tồn tại nghiệm u(t,x) thỏa
được chứng minh trong Định lý 4, khi f thỏa điều kiện Landesman-Lazer có dạng:
(
(
)
h
f
( , ) t x dx
f
( , ) t x dx
h
)
A L
A U
1
1
0
0
ở đây AL và AU tương ứng là các gía trị trung bình bé hơn hay giá trị trung bình lớn
hơn của một hàm liên tục bị chặn được Tineo giới thiệu trong [18]. Một điều kiện
tương tự cũng đã được giới thiệu đối với một phương trình vi phân thường cấp hai
trong [15], [16].
Kết thúc, luận văn trình bày một vài ứng dụng cho các phương trình đạo hàm
riêng và nêu một số điều kiện bị chặn khác của phương trình (1) có thể được nghiên
cứu thêm.
Luận văn bao gồm:
(cid:31) Chương 1, ghi lại các kiến thức chuẩn bị.
(cid:31) Chương 2, trình bày về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa nửa cưỡng
bức bậc hai ( phương trình (2) và phương trình (3)) trong không gian Hilbert
(cid:31) Chương 3, trình bày áp dụng lý thuyết của chương 2 vào việc nghiên cứu
nghiệm bị chặn của phương trình telegraph phi tuyến (phương trình (1)).
(cid:31) Phần kết luận nêu lại các kết quả đã đạt được và đặt vấn đề nghiên cứu bài toán
trong trường hợp điều kiện thay đổi.
Với khả năng còn rất hạn hẹp, qua luận văn này tôi hy vọng phần nào có thể
vận dụng các kiến thức đã được Thầy Cô truyền đạt vào việc tìm hiểu các tài liệu và
bước đầu tôi được làm quen với các nghiên cứu toán học đương đại.
Rất mong nhận được sự góp ý của quí Thầy Cô và các anh chị.
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Cho là tập con khác rỗng của Rn.
p
)( xu
dx
1. Với 0 < p < : ký hiệu Lp( )chỉ tập các hàm số
(1) u: R đo được sao cho:
u = 0 trong Lp( ) có nghĩa là u(x) = 0 a.e.
Mệnh đề :
(i)
1
p
u
xu(
)
)
Lp (
p dx
(ii) 0 < p < , Lp( ) là một không gian vectơ 1 p < , Lp( ) là một không gian Banach với chuẩn
)()( dxxvxu
) là một không gian Hilbert đối với tích vô hướng (u,v) Đặc biệt, p = 2, ta có L2(
=
2. Một hàm số u: R đo được trên được gọi là bị chặn cốt yếu (essentially
bounded) trên nếu :
R : /u(x)/ K a.e. x
:0
)( xu
.. xeaK
,
K
R bị chặn cốt yếu trên .
Đặt esssup/u(x)/ = inf K Ký hiệu L ( ) là tập các hàm số u:
u
xu )(
Mệnh đề : L ( ) là một không gian Banach đối với chuẩn
(
)
L
ess sup x
.
3. Cho u : R, ta định nghĩa giá của u (support) là tập hợp
suppu = bao đóng của tập {x : u(x) 0} trong Rn
- D( ) chỉ không gian các hàm số u : R khả vi vô hạn có giá compact
trong .
- Xét đa chỉ số = (1,…, n) Rn, // = 1 + …+ n
n
1
=
Với C//( ), ta ký hiệu :
... D 1
nD
x
...
x 1
n
x 1 1
n n
1
...
n
D
- Hội tụ trong D( ).
m hội tụ về 0 trong D( ), ký hiệu m
D( ). Ta nói rằng 0 Cho {m}
trong D( ) nếu:
m
m
K, tập K compact : supp
m(x)/
(i) (ii) Nn, sup/D 0 khi m
4. D’( ) là không gian các hàm phân bố trên (distribution) hay hàm suy rộng,
được xác định bởi
D’( ) = {T : D( ) R/ T tuyến tính, liên tục} (tập các phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên D( )).
)D( 0
R tuyeán tính trong )D( T(
)
0
m
i )( : T (ii) m
Nói khác đi T D’( )
Chú y : Ta thường viết T(m) =
< . , . > cặp tích đối ngẫu giữa D’( ) và D( )
- Đẳng thức trong D’( )
T1, T2 D’( ), T1 = T2
- Hội tụ trong D’( )
) (hay hội tụ theo nghĩa phân bố),
) Tm, T D’( , ta nói Tm hội tụ về T trong D’(
ký hiệu là Tm T trong D’( ) n ếu
> khi m
),
D( xf dxx )()( - Chú ý : Cho f L2( ), ta liên kết f với một phân bố Tf trên bởi : . Ta có kết quả: ) ) trù mật trong L2( ) còn gọi là phép nhúng chính tắc từ L2( ) D(
L2(
) D’( )
Anh xạ đồng nhất từ L2( ) vào D’( vào D’( Nếu fm ) và phép nhúng này là liên tục, nghĩa là :
f trong L2( ), khi đó fm f (Tfm Tf) trong D’( ) 5. Đạo hàm theo nghĩa phân bố Cho T D’( ), ta định nghĩa T
ix
T
ix
T
ix
: D( ) R bởi < , > = - < T, >, D( ) T
ix
Ta có thể nghiệm lại rằng D’( ) (đạo hàm của phân bố T theo biến xi) f
ix
- Chú ý rằng, nếu f là hàm khả vi liên tục trên , đạo hàm (đạo hàm của f theo nghĩa cổ điển) trùng với đạo hàm theo nghĩa phân bố. của T)
T,> = (-1)// > - Tổng quát, T D’( ), Nn là đa chỉ số nguyên
) R (đạo hàm cấp DT : D(
x
1
1 T
...
nx
n ) (DT= Như vậy một phân bố trên thì có đạo hàm ở mọi cấp theo nghĩa phân bố. Ta ) nghiệm lại được rằng : ), Tm T trong D’( Anh xạ T D T là tuyến tính, liên tục từ D’( ) vào D’( ) theo nghĩa sau:
Nếu T, Tm D’(
thì DTm DT trong D’( ) 6. Không gian Sobolev
Cho v L2( ), ta đồng nhất v với một phân bố trên vẫn ký hiệu là v, và ta có v
ix
, 1 i n mà nó cũng là các phân thể xác định các đạo hàm phân bố của nó: v
ix
bố trên . Tổng quát ta không có L2( ). Định nghĩa. Ta nói không gian Sobolev cấp 1 trên là không gian v
L2( ), 1 i n}
ix
H1( ) = {v L2( ): n . ) dx (
uv Ta trang bị H1( ) một tích vô hướng ) = u
x
v
x
i 1
i i (*) (u,v) H1( v vv
),( 1 H ( ) (1 H ) Chuẩn sinh bởi tích vô hướng tương ứng là : ) là không gian Hilbert đối với tích vố hướng (*) Định lý. H1( là 7. Không gian Sobolev Hm( ) Định nghĩa. m là số nguyên 1. Ta gọi không gian Sobolev cấp m trên không gian v L2( ),// m} Hm( ) = { v L2( ): D .
DuD vdx ) một tích vô hướng : Ta trang bị Hm( ) = (u,v) m,
= m (**) (u,v) Hm( v vv
),( m , v m
H ( ) m , và ký hiệu chuẩn tương ứng Định lý. Không gian Hm( ) là một không gian Hilbert tách được đối với tích vô hướng (**) . ..
u c u Au g t u ( , ) 0 Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong không gian Hilbert H có dạng: (2) trong đó: H là ánh xa, nửa xác định dương, có giải thức compact (cid:31) c > 0 (cid:31) A : D(A) H (cid:31) g : R x H H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó. Vấn đề đặt ra của Chương 2 là nghiên cứu xem phương trình (2) nói trên có tính chất tồn tại nghiệm bị chặn trên R hay có tính chất chất phân tán (dissipative). 2.1. Khái niệm và các tính chất cơ bản của nghiệm. A H H
I tồn tại và compact. Ta xét lớp các Cho A là một toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp trong một không gian 1 : . t u
( , ) 0 ..
u c u Au g
, với Hilbert H, sao cho với mỗi <0, c > 0 phương trình trong H có dạng (2): g t x
( , ) g t y
( , ) L x y
g : R x H H liên tục, Lipschitz liên tục theo biến u, nghĩa là : (4) với L>0 nào đó và với mọi x,y H, t R g t u
( , ) sup
t u RxH
( , )
và g bị chặn, nghĩa là : Ở đây là chuẩn theo tích vô hướng (.,.) trong H. 0 ...., ...
,
n
2 1
n im
l
n
Nếu n là dãy các giá trị riêng tương ứng với các vetơ riêng n , sao cho: thì ta xét không gian con của H 2 : ) u
( ,
n n V
1 n 1
u H
:
v
)( , u
( , ), u v
( , ) :
1
n
n n với tích n 1
1 2 u :
( u, v V1 ) u u
( , )
1 1 và có giả chuẩn : , (u V1 ) Nếu P là phép chiếu từ H vào KerA thì V1 là một không gian Hilbert với tích vô hướng (5) (u,v)1 + (Pu,Pv) 2 2 2 2 u R u P u 1
Theo [20], người ta đã chứng minh được rằng, tồn tại một hằng số R > 0, sao cho
,
với mọi u V1 (6) f t
( ) , sup
t R
Đặt BC(R, H) là tập tất cả các hàm số liên tục f : R H sao cho và BC(R, V1 x H) là tập tất cả các hàm số liên tục 2 2 2 u t
( ) Pu t
( ) v t
( ) , 1
sup
t R
(u,v) : R V1 x H sao cho t h s ds
( ) , sup
t R
0 Ta nói một hàm số h BC(R, H) có nguyên hàm bị chặn nếu và ký hiệu BP(R, H) là tập của các hàm có nguyên hàm bị chặn. Các trường hợp đặc biệt là BC(R, R ) và BP(R, R ) cũng sẽ được sử dụng. Cách đặt trên cho phép ta xây dựng khái niệm nghiệm của phương trình (2). Định nghĩa 1. Ta nói u(t) là một nghiệm của phương trình (2) nếu
u C(R , V1) C1(R ,H) 2 u t w c ) u t w
( ( ),
) g t u t w
( ( , ( )),
) 0
và với mỗi w V1 ta có u t w
( ( ),
)
1 2 ( ( ), d
dt d
dt (7) 2 1 1 2 2 u t w c ) u t w
( ( ),
) A u t A w
( ), g t u t w
( ( , ( )), ) 0
2 ( ( ), (theo nghĩa phân bố) hay d
dt d
dt Định nghĩa 2.
,u u + Ta nói rằng một nghiệm u(t) của phương trình (2) là bị chặn (hay bị chặn trên toàn
trục) nếu BC(R ,V1 x H). + Ta nói rằng một nghiệm u(t) của phương trình (2) là bị chặn ở vô cực nếu với mỗi 2 2 2 u t
( ) Pu t
( )
u t
( ) 1 sup
t
t
0
t0 R ta có Trường hợp mà tất cả các nghiệm của phương trình (2) đều bị chặn ở vô cực là khi mà phương trình này dissipative. Trong số các khái niệm khác nhau về dissipative của các phương trình tiến hoá (xem trong [6], [10], [11], [12], [19]) chúng ta sẽ xét một khái niệm sau đây. Định nghĩa 3. Phương trình (2) được gọi là phân tán (dissipative) nếu tồn tại một hằng số >0 và R , và mỗi nghiệm u(t) của một ánh xạ T : R+ R+ sao cho với mỗi M>0, mỗi t0 2 2 2 u t
( ) Pu t
( )
u t
( ) M 0 0 0 1 (2) mà 2 2 2 u t
( ) Pu t
( )
u t
( )
1 thì với mọi t T(M) + t0 Phần này nhắc lại kết quả về tính chất nghiệm của phương trình (2) được nêu trong [20] A H H
I
Với các giả thiết A là một toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp trong một 1 : tồn tại và compact, ta không gian Hilbert H, sao cho với mỗi <0, )
u c u Au f t
( ), xét bài toán với giá trị đầu J), u(t0)=u0,
u t
0( v
0 (t (8) với J là một đoạn bị chặn trong R f L2 (J,H) u0 V1 và v0H. Ta có kết quả phương trình (8) có một nghiệm duy nhất (xem [14]). Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin, sử dụng định lý cổ điển về các phương trình vi phân
u thường và bổ đề Gronwall, người ta suy ra không những sự tồn tại nghiệm duy nhất ) C(J, V1 x H) của phương trình (8) và tính liên tục của nó phụ thuộc vào u0,
(u,
v0 và f đối với tôpô mạnh của V, H và L2(J, H), mà tính liên tục của nó còn phụ thuộc vào các tôpô yếu nữa. Trong [20], ta có các kết quả sau:
u c u Au f t
( ),
u t
( ) Bổ đề 1. Cho u(t) là nghiệm của phương trình (8) và un(t) là nghiệm của n v
0 n 0 (t J), u(t0)=u0n, với fn(t) L2(J,H). Giả sử rằng f yếu trong L2(J,H) u0n u0 yếu trong V1, v0n v0 yếu trong H, fn
( )u t
nu t
( ) thì, với mỗi t J yếu trong H. un(t) u(t) yếu trong V1, ..
.
u c u Au f t
( ) 2 2 2 t
( ) 2
c u t
( )
u t
2 ( ( ), ( )) 2 ( ) c u t u t u t
2 ( ) Bổ đề 2. Cho u(t) là một nghiệm của phương trình (3): 1 1,1( ,
W J R ) và định nghĩa 2 2 t
( ) u t
( ) f t
( ),
u t
( ) u t
( )
2
1 2
c
c u t
( )
thì và
( )t theo nghĩa phân bố trên J. Chú ý rằng đạo hàm cũng có thể được hiểu theo nghĩa cổ điển. . ) ..
u c u Au g t u ( , ) 0 Liên quan đến phương trình (1) xét bài toán giá trị đầu: J), u(t0)=u0,
u t
0( v
0 (t (9) với J là khoảng bị chặn trong R , t0 J, u0 V1 và v0 H. Vẫn giả sử rằng H là ánh xạ, nửa xác định dương, có giải thức compact (cid:31) A : D(A) H (cid:31) g : R x H H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó. Với các điều kiện này, phương trình (9) cho một nghiệm duy nhất trong J (xem [17]). Bổ đề 3 sẽ cho thấy sự liên tục của nghiệm này trong tôpô yếu. ) Bổ đề 3. Cho u(t) là nghiệm của phương trình (9) và un là nghiệm của phương trình nu t
( 0 v
n
0 . Giả sử rằng: này với điều kiện đầu un(t0)=u0n, u0n u0 yếu trong V1, v0n v0 yếu trong H
nu t
( )
( )u t thì, với mỗi t J yếu trong H. un(t) u(t) yếu trong V1, 2.3 Sự phân tán (dissipative) Xét phương trình (2) . ..
u c u Au g t u ( , ) 0 H là ánh xạ, nửa xác định dương, có giải thức compact và vẫn giả sử rằng (cid:31) A : D(A) H (cid:31) g : R x H H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó. Định lý 1 sau đây khẳng định sự phân tán (dissipative) của phương trình (2) sẽ đạt được từ điều kiện nửa cưỡng bức trên g. Định lý 1. g t u u
( ( , ), ) Pu ( I P u
)
Giả sử rằng tồn tại các số , , > 0 sao cho (10) với mọi (t,u) R x H. thì phương trình (2) sẽ phân tán (dissipative). Hơn nữa, tồn 2 2 2 u t
( ) Pu t
( )
u t
( ) 2
0 0 0 1 tại >0 sao cho nếu u(t) là một nghiệm của phương trình (2) và 2 2 2 u t
( ) Pu t
( )
u t
( ) 2
với t0 R nào đó thì 1 với mọi t t0 2 2 2 2 u v
, 2
c u 2 ( , ) 2 c u v v 2 u :
Chứng minh. 1 Biểu thức : là một chuẩn trong V1 x H tương đương với chuẩn thông thường và có thể được dùng 2 t
( ) :
u t u t
, trong định nghĩa 3. Hàm : 2 2 2
)(
t u(t) - u(t)), u(t)
tutg
)(,)(,
tu
g(t, 1
2
c
)(
tuc
Từ sự bị chặn của g và bất đẳng thức (6) ta có : khả vi (xem Bổ đề 2) và 2 2 t
)( tu
)( tPu
)( tuR
)( (11) 2
u(t) - 1 1 ~
M2
c
tuc
)(
Mặt khác ta có : 2 2 2 x y x R y z
x lim
z
y
(cid:0)
M
c
,>0 sao cho nên tồn tại
2
(12)
t
t Từ (12) suy ra tồn tại t 0 t
0 0t sao cho
1
max 0,
u u ), (
)(
và Ta sẽ chứng tỏ
u t u t
, , với mọi t . Thật vậy, nếu điều này không đúng, khi đó tồn tại *t sao cho 2 * * , 2
u t
u t 2 2
u t u t
, và 0 với mọi t . Vì thế , mâu thuẫn với (12).
t * *,t 2.4. Nghiệm bị chặn. Ta sẽ sử dụng các kết quả nhận được trong phần trên để chứng minh Định lý 2, nói về sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) mà các nghiệm này bị chặn trên toàn trục. Nếu phương trình (2) là phân tán (dissipative) thì nó sẽ có một nghiệm u(t) sao cho Định lý 2.
u u
( , ) BC R V xH
, ( ) (13) 1 Gọi un(t) là nghiệm của phương trình (2) với các điều kiện đầu : u un(-n) = 0 , n(-n) = 0 Do định nghĩa, tồn tại T, >0 sao cho 2 2 2 2
(14) u t
( )
n Pu t
( )
n
u t
( )
n 1 với mọi t T – n. Ta có thể giả thiết, mà không làm mất tính tổng quát , rằng có u0 V1 và v0 H sao cho
nu (0) un(0) u0 yếu trong V1, v0 yếu trong H. Gọi u(t) là nghiệm của (2) với các điều kiện đầu:
(0)u u(0) = u0 , = v0 Áp dụng bổ đề 3 ta có với mỗi t R
nu t
( )
( )u t yếu trong H. un(t) u(t) yếu trong V1, Hơn nữa theo (14) thì 2 2 2 u t
( ) Pu t
( )
u t
( ) 2
với mọi t R 1 do đó ta có (13).(cid:0) Chúng ta sẽ áp dụng Định lý 2 để chứng minh sự tồn tại của một nghiệm bị ..
.
u c u Au f t
( ) BC(R , H), bài toán chặn của phương trình tuyến tính (3) với f này được nghiên cứu trong [6] và [14] khi 1>0. Trong trường hợp 1= 0 thì cần phải có thêm giả thiết. Ta sẽ xét cả hai trường hợp này trong Định lý 3 dưới đây, chứng minh của định lý này cần áp dụng Bổ đề 4 - một kết quả của Ortega trong [15] - đối với các phương trình vi phân tuyến tính bậc hai. Chứng minh. R liên tục và c 0. Khi đó phương trình y’’(t) + cy’(t) = p(t) (15) có một nghiệm bị chặn khi và chỉ khi p BP(R , R ). Chứng minh Điều kiện cần: Cho y là một nghiệm bị chặn của phương trình (15) (nghĩa là y và y’ bị chặn trên R ), và đặt t P t
( ) p s d
( ) s . (16) 0 Thì ta có y’(t) – y’(0) + c[y(t) – y(0)] = P(t). Vậy P bị chặn. Điều kiện đủ: Cho p BP(R, R ) và xét phương trình u’ (t) + cu(t) = P(t) (17) với P định nghĩa trong (16). Theo một kết quả trong [17], phương trình (17) có một nghiệm bị chặn duy nhất u. Từ phương trình này ta cũng thấy ngay rằng u’ bị chặn
khi P C1 và uC1 và thỏa phương trình (15). Bổ đề 4. Cho p : R Nếu 1 > 0, thì tất cả các nghiệm của phương trình (3) bị chặn ở vô cực và phương trình (3) có một nghiệm u(t) thỏa
( , )u u BC(R, V1 x H). Nếu 1 = 0, ta sẽ có kết quả tương tự nếu và chỉ nếu (18) Pf BP(R, ker A) Định lý 3. (cid:31) Nếu 1 > 0, thì điều kiện (10) với P = 0 đúng cho t
( ) , =1. g(t,u) = - f(t) khi = 1, = sup t R f
Áp dụng Định lý 1 suy ra phương trình (3) dissipative Do đó, theo Định lý 2 ta có đpcm. (cid:31) Nếu 1=0, và m = dimkerA, đặt Chứng minh. ~ , ,.... :
~
A là phần bù trực giao của ker A. Toán tử thu hẹp m m 1 2
H span ( ~
H D A
) trình xác định dương và ta suy ra rằng phương của A lên ( I P f
) t
( )
u c
~
u Au
~ ~
BC R V x H
, ( )
~ ~
u u
, ~
( )u t có một nghiệm bị chặn thỏa
1 ~
V ~
V H ) với với chuẩn
1 .
1 Mặt khác, theo Bổ đề 4, phương trình
u c u Pf t
( ) (19) trong không gian hữu hạn chiều ker A có một nghiệm bị chặn, ghi là u0(t), nếu và chỉ u t
( ) ~
u t
( ) là một nghiệm của phương nếu Pf BP(R ,ker A). Như vậy hàm u t
( )
0 Au
ucu
0 trình (3) và thỏa (13). Hơn nữa tất cả các nghiệm của phương trình là bị chặn ở vô cực và điều đó dẫn đến tất cả các nghiệm của (3) cũng bị chặn ở vô cực. Ngược lại, nếu phương trình (3) có một nghiệm bị chặn u(t), thì Pu(t) là một nghiệm bị chặn của (19). Vì điều kiện (18) là cần và đủ để tồn tại một nghiệm bị chặn của phương trình (19), nên ta có (18).(cid:0) Ta sẽ sử dụng các kết quả đã có ở Chương 2 để nghiên cứu sự bị chặn của các nghiệm của phương trình telegraph phi tuyến với các điều kiện bị chặn Neumann. (20) utt + cut - uxx + h(u) = f(t,x) (tR, x (0,)) (21) Với: - c là ux(t,0) = ux(t,)=0, (t R ) hằng số thực dương - h : R R là Lipschitz liên tục - f : R x(0,) R là một hàm số trong không gian BC(R,L2(0, )). Ta cũng giả sử rằng h bị chặn và tồn tại giới hạn h h z , (22) :
:
h
lim ( )
z
h z
lim ( )
z
Lý thuyết ở Chương 2 áp dụng trong trường hợp này với H=L2(0,) và toán tử Au= - uxx được định nghĩa bởi : D(A) = {u H2(0,): ux(0)=ux()=0} 1 1
A u
2 u Toán tử 2A được định nghĩa bởi và có miền xác định là không gian x V1 = H1(0,). Do đó, một nghiệm của phương trình (20) – (21) là một hàm u(t,x) thỏa u C(R ,H1(0,)) )). C1(R ,L2(0, sao cho với mỗi w H1(0,) ta có : 2 Không f , , , ( , t x w x dx
,
u t x w x dx c
u t x w x dx
u t x w x dx
h u t x w x dx
) x x 2 d
dt d
dt 0 0 0 0 0 gian ker A là không gian các hàm hằng trên (0,), và phép chiếu từ L2(0,) vào ker A được cho bởi công thức: Pu
u x dx , (u L2(0,)) 1
0 Khi hàm f(t,x) tuần hòan theo chu kỳ 2 theo t và x, thì trong [13], [8] đã chứng minh rằng phương trình (20) có ít nhất một nghiệm u(t,x) tuần hòan theo chu kỳ 2 theo t và x nếu điều kiện sau đây của dạng Landesman – Lazer được thỏa: 2 2
2 h ( f ) )
(
h
2
t x dxdt
, (23) 0 0 Để tìm một điều kiện tương tự như (23) để đảm bảo sự tồn tại một nghiệm bị chặn của bài tóan (20) – (21) khi f(t,x) bị chặn mà không cần tuần hoàn, chúng ta sẽ đưa ra các khái niệm giá trị trung bình nhỏ hơn và giá trị trung bình lớn hơn của một hàm cho trước e BP(R ,R ) + BC(R ,R) như trong [15] t e :
d
A e
L lim inf
t s r
r
t 1
s s t e :
d
A e
U lim sup
r
t s r t 1
s s hai giá trị trên bằng nhau nếu hàm e(t) tuần hoàn. Nếu e = e* + e** là sự phân tích nào đó mà e*BP(R ,R) và e**BC(R,R), thì ta có (Theo [17]): e
inf * ** e
sup ** (24)
**
A e
L A e
( )
L
A e
U
A e
U Bổ đề 5 là kết quả của Ortega và Tineo trong [16]. Bổ đề này sẽ được dùng trong chứng minh Định lý 4. là các số thực. Các mệnh đề sau tương đương: Bổ đề 5. Cho e BP(R, R ) + BC(R, R ) là một hàm cho trước và (i)
A e
L
A e
U (ii) Tồn tại một sự phân tích e = e* + e** với e* BP(R ,R ) và e** BC(R ,R) và e e inf ** sup **
(25) Nếu có (ii) thì sử dụng (24) ta có ngay (i). Ngược lại, nếu có (i), thì đặt e = e1 + e2 với e1 BP(R, R) e2 BC(R, R) t E t
( )
i e u du
( )
i và đặt , (i = 1,2) 0 E(t) = E1(t) + E2(t) Nếu t1, t2 R , áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange cho E – E1 ta có t
E t (26)
E t
1 2 b a t
1 2 E và a = E . Lấy > 0 sao cho với b = 2 1 L 2 L 2
2
,
A e
L
A e
U và T > 0 sao cho t
e u du A e
L , inf
t s r
t 1
s s t
e u du A e
U sup
t s r
t 1
s s Chứng minh với mọi r T. Khi đó ta có, với mọi t R , a e
u du (27) 1 t T
T t Tt )(
duue Đặt e**(t) = , e*(t)=e(t) – e**(t), 1
T t ta thấy rằng e**(t) BC(R ,R ) và ta có (25). Để chứng minh rằng e* BP(R ,R ), đặt t T
E t
*( ) E t
( )
E u d u . 1
T t thì (E*)’(t) = e(t) - 1 [E(t+T) – E(t)]
T t T
( )
e t
e u du e(t) – e**(t)= e*(t) 1
T t do đó E* là một nguyên hàm của e*. Bây giờ E*(t) = E(t) – E() ,t t T nào đó, và sử dụng (26) ta được với E t
*( ) b a t b aT với mọi t R ,điều này cho thấy rằng e* BP(R ,R )(cid:0) ( ) ) ) h f ( , )
t x dx f ( , )
t x dx )
(
h
A
L A
U Nếu (28) 1
(
1
(
0 0 Định lý 4. thì phương trình (20) – (21) dissipative và có một nghiệm u(t,x) sao cho 2 2 2 u t x
( , ) u t x
( , ) dx x u t x
( , )
t (29)
sup
t R
0 Vì ker A là một không gian một chiều, nên ta có thể dùng Bổ đề 5 để thấy rằng Pf có sự phân tích dạng Pf = f* + f**, với f*, f** BC(R, ker A) sao cho f* BP(R ,ker A) h ( f t
**( ) h ( ) )
và (30) inf
t R
t
sup **( )
f
t R
với mọi t R. Do đó ta có thể viết f = f* + f** + (I – P)f, và theo Định lý 3, sẽ tồn tại một nghiệm bị chặn t của phương trình f t
*( ) ( I P f
) t
( )
u c u Au
Đổi biến u = z + thì bài tóan (20) – (21) trở thành: t t
( )) f t
**( )
z c z A z h z
( ,
(31) Mặt khác, theo (22) và (30) thì tồn tại hai hằng số dương a và b sao cho Z(h(z) – f**(t) ) a/z/ - b với mọi z R suy ra với mọi u L2(0, ). u h u
( , ( ) f t
**( )) a b
I P u 2
L (0, )
2
L (0, )
Vì chúng ta đang giả thiết rằng , h và f** bị chặn, nên suy ra (10). Theo Định lý 1 ta có phương trình (31) phân tán và theo Định lý 2 thì phương trình(31) có một Chứng minh. nghiệm z(t) bị chặn trên toàn trục. Như vậy rõ ràng u(t) = (t) +z(t) là một nghiệm của (20) bị chặn trên toàn trục số.(cid:0) nghiệm bị chặn khi h thỏa h(- )< h(z) < h(+ ) với mọi z R , và đây là đặc tính của sự phân tán của phương trình (20) – (21) cho lớp bài toán này. Sau đây là một vài ví dụ trong [20] minh họa cho các kết quả đạt được Nhận xét 1. Điều kiện (28) cũng là điều kiện cần cho sự tồn tại của một Phương trình utt - cut – uxx + arctan u = (arctan t + sint2)(1 + 7cos7x) với điều kiện biên Neumann (21) là phân tán và có một nghiệm bị chặn nếu và chỉ nếu (32) // < 1 Để chứng minh điều này, cần chú ý rằng sint2 là một hàm Fresnel và bị chặn trên toàn
trục; và giá trị trung bình lớn hơn và nhỏ hơn của sint2 đều là 0. Mặt khác các giá trị và . Do đó điều kiện trung bình nhỏ hơn và lớn hơn của arctant lần lượt là
2
2 (28) trở thành điều kiện (32) và ta sẽ áp dụng Định lý 4 và Nhận xét 1. Ví dụ 1. utt+cut–uxx+ sin[(4m+1)arctanu]=(arctant+sint2)(1+cos7x)
2 với điều kiện biên Neumann (21) và m là số nguyên 0 là phân tán và có một nghiệm bị chặn nếu điều kiện (32) thỏa. Ví dụ 2. Phương trình (20) với các điều kiện bị chặn tuần hòan theo x trên [0, 2] (33) u(t,0) = u(t,2), ux(t,0) = ux (t,2), (t R ) hoặc đối với phương trình damped beam (34) utt + cut + uxxxx + h(x) = f(t,x) với các điều kiện bị chặn tuần hòan theo x trên [0,2] u(t,0) = u(t,2), ux(t,0) = ux(t,2) ), (t R ) uxx(t,0) = uxx(t,2), uxxx(t,0) = u xx(t,2 x Nhận xét 2. Các kết quả tương tự có thể nhận được đối với phương trình telegraph Các giả thiết trong định lý 4 đòi hỏi h(- ) < h(+ ) và ta có thể đặt vấn đề về sự tồn ). Trong [14] tại các định lý trong trường hợp h(- ) = h(+ ) (chẳng hạn h(u) = 2 u
1 u ta có một phương pháp riêng – phương pháp về các nghiệm yếu lớn hơn và nhỏ hơn –
cho các nghiệm bị chặn u L (R x T), của phương trình utt + cut – uxx = F(t,x,u) thỏa các điều kiện biên tuần hòan theo x trên [0,2], khi 2 F t x u
( ,
, ) F t x v
, )
( , với mọi u v. c
4
u v
Ta có kết quả : Nếu h Lipschitz với hằng số 2 L (35) c
4 Nhận xét 3. và nếu tồn tại R > 0 sao cho h(u)u 0 bất cứ khi nào /u/ R, thì bài tóan (20) – (33) có ít nhất một nghiệm u L (R x T) với mỗi f BC(R x T, 2
( , ) f ( , )
t x dx BP R R
R ) sao cho . 1
2
0 Chứng minh bằng cách đổi biến u = + v, với là nghiệm bị chặn duy nhất của bài tóan utt + cut – uxx = f(t,x) đây là nghiệm tuần hòan chu kỳ 2 theo x (nó tồn tại theo phần 2 của Định lý 3 và
thuộc về L (R x T) theo Định lý Sobolev), và chỉ ra rằng nó cũng là nghiệm của phương trình tương đương (theo điều kiện (36)) vtt + cvt – vxx + h( (t,x) + v)= 0 nếu R* > 0 đủ lớn , -R* là một nghiệm nhỏ hơn và R* là một nghiệm lớn hơn. Ta có bài tóan mở cần nghiên cứu trong trường hợp không có điều kiện (35). KẾT LUẬN Như vậy luận văn đã trình bày một số điều kiện để phương trình telegraph phi tuyến trong điều kiện Neumann ( điều kiện bị chặn) utt + cut – uxx + h(u) = f(t,x) có nghiệm bị chặn. Nếu điều kiện loại Landesman – Lazer (23) được thỏa cho f và f(t,x) tuần hoàn theo chu kỳ 2 theo t và x thì nghiệm của phương trình telegraph phi tuyến bị chặn trên R . Còn nếu f(t,x) không tuần hoàn thì điều kiện Landesman – Lazer (23) sẽ được thay bằng điều kiện “yếu hơn” là điều kiện Landesman – Lazer (28) h ( ) f dxxt
),( f dxxt
),( h ) (
A
L A
U 1
(
1
(
0 0 Mặc dù đã được giải quyết nhưng vẫn còn một số vấn đề được đặt ra, chẳng hạn trong ) > h(+ ) thì điều kiện sẽ thay đổi như thế nào. trường hợp h(- )= h(+ ) hoặc h(- 1. Đậu Thế Cấp (2003), Giải tích hàm, NXB Giáo dục. 2. Lê Hoàn Hoá, Giáo trình cao học giải tích phi tuyến. 3. Nguyễn Thành Long, Giáo trình cao học giải tích số . Tiếng Việt 4. Alonso J.M., Mawhin J. And Ortega R., Bounded solutions of second order semilinear evolution equations and applications to the telegraph equation, J. Math. Pures Appl. 78 (1999), 49 – 63 5. Alonso J.M. And Ortega R., Global asymptotic stability of a forced Newtonian system with dissipation, J. Math. Anal. Appl, 196 (1995), 965 – 986 6. Babin A.V. And Vishik M.I., Attractors of evolution equations, North-Holland, Amsterdam 1992. 7. Coppel W.A., Stability and asymptotic behavior of differential equations, Heath, Boston 1967. 8. Fucik S. And Mawhin J., Generalized periodic solutions of nonlinear telegraph equations, Nonlinear Anal. 2(1978), 609-617. 9. Ghidaglia J.M. And Temam R., Attractors for damped nonlinear hyperbolic equations, J.Math. Pure Appl. 66 (1987), 273-319. 10. Hale J.K., Asymptotic behavior of dissipative system, Mathematical Surveys and Monographs, Provindence 1988. 11. Haraux A., Systèmex dynamiques dissipatifs et applications, Masson, Paris 1991. 12. Ladyzhenskaya O., Atractors for semigroups and evolution equations, Lezioni Lincee, Cambridge University Press, Cambridge 1991. Tiếng Anh 13. Mawhin J., Periodic solutions of nonlinear telegraph equations, in:”Dynamical systems” (Eds. Bednarek and Cesari), Academic Press, New York 1977, 193-210. 14. Mawhin J., ORTEGA R., ROBLES-PÉREZA., A maximum principle for bounded solutions of the telegraph equations and applications to nonlinear forcing, J. Math Anal. Appl. 251 (2000) 695-709 15. Ortega R., A boundedness result of Landesman-Lazer type, Differentical and Intergral Equation 8 (1945) 729-743. 16. Ortega R. And Tineo A., Resmanee and non-resmanee in a problem of boundedness, Proc Amer Math Soc. 124(1996) 17. Temam R., Infinite demensional dynamical sestems in mechanics and physics, Springer-Verlag, New York 1988. 18. Tineo A., An interactive scheme for periodic solutions of ordinary differential equations, J. Differential Equations 116 (1995) 1-15 19. Vishik M.I., Asymptotic behavir of solutions of evolutionary equations, Lezioni Lincee, Cambridge University Press, Cambridge 1992. 20. J. Mawhin, Bounded solution of second order semicoercive evolution equations in a Hilbert space and of nonlinear telegraph equations, Vol 58, 3(2000) Partial Diff. Operator.Chương II: NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN
HÓA NỬA CƯỠNG BỨC BẬC HAI TRONG KHÔNG
GIAN HILBERT
2.2. Bài toán Cauchy
1
2
Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH TELEGRAPH PHI TUYẾN
MỘT SỐ NHẬN XÉT
TÀI LIỆU THAM KHẢO
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp phần lai tetrahydro-beta-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250816/vijiraiya/135x160/26811755333398.jpg)
