Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng
CÁC BÀI TẬP VECTOR THEO CHỦ ĐỀ
Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng
Chủ đề 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ
VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)
a)
AB CD AD CB
b)
AB CD AC DB
c)
AD BE CF AE BF CD
VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :
a)
AN BP CM O
b)
c)
AM BN CP O
VD3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B.
a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có :
2
IA IB IM
.
b) Với điểm N sao cho 2
NA NB
. CMR với I bất kì :
2 3
IA IB IN
c) Vơi điểm P sao cho
3
PA PB
. CMR với I bất ki :
3 2
IA IB IP
.
d) Tổng quát tính chất trên.
VD3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng
AG BG CG O
 
. Với I bất kì ta có :
3
IA IB IC IG
.
b) M thuộc đoạn AG và 1
4
MG GA
. CMR : 2
MA MB MC O

. Với I bki
2 4
IA IB IC IM
.
c) Tổng quát tính chất trên.
d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1. Chứng minh rằng :
+
1
3
AD BE CE GG

+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng
VD4. (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.
a) CMR :
AO BO CO DO O
 
, Với I bất kì
4
IA IB IC ID IO

b) M là điểm thoả mãn:
VD5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR :
a) 2
AD BC MN
b) 2
AC BD MN
c) Tìm vị trí điểm I sao cho
IA IB IC ID O

d) Với M bất kì, CMR :
4
MA MB MC MD MI
VD6. (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm 1 2
, ,...,
n
A A A
.
a) Gọi G là điểm thoả mãn 1 2 ... n
GA GA GA O

. CMR vơi bki M :
1 2 ... n
MA MA MA nMG

.
b) Gọi I là điểm thoả mãn
1 1 2 2 ... n n
n IA n IA n IA O
. CMR với M bất kì :
1 1 2 2 1
... ( .. )
n n n
n MA n MA n MA n n MI
VD7.
a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm.
b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC,
DE, FA. CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm.
c) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho :
' ' ' ' ' '
, ,
A B kAC BC kB A C A kC B
và
1
k
. CMR hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng
tâm.
Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng
d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác
ANP và CMQ cùng trọng tâm.
VD8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội
tiếp)
Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn
nội tiếp.
a) 3
OG OA OB OC

b)
OH OA OB OC

c) 2
HO HA HB HC

d)
aIA bIB cIC O
e) A tan
Tan HA TanBHB CHC O
f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : BCM ACM ABM
S IA S IB S IC O
(M nằm
ngoài thì không còn đúng).
VD9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung
điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.
a) CMR : 1 1
4 6
AK AB AC
. b) D là trung điểm BC. CMR : 1 1
4 3
KD AB AC
Chủ đề 2. Biểu diễn véc tơ
ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm
VD1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy
biểu diễn các véc tơ
AM
,
1 1 1
, , , ,
AG BC CB AB MB

qua hai véc tơ
,
AB AC
.
VD2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao
cho 5JB = 2JC.
Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng
a) Tính
,
AI AJ
theo hai véc tơ
,
AB AC
. Từ đó biểu diễn
,
AB AC
theo
,
AI AJ
. (Nhấn mạnh cách
tìm biểu diễn)
b) Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính
AG
theo
,
AI AJ
.
Chủ đề 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB kAC
.
Lưu ý : ,
AB mx ny AC kmx kny
thì
AB kAC
VD1. (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn). Cho tam giác ABC và M, N lần
lượt là trung điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
b) Gọi E, F thoả mãn : 1
3
ME MN
, 1
3
BF BC
. CMR : A, E, F thẳng hàng.
VD2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng.
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng
hàng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.
VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : 3
MB MC O
, 3
AN NC
,
PB PA O
. CMR : M, N, P thẳng hàng. ( 1 1 1
,
2 2 4
MP CB CA MN CB CA
).