Phần 1: Thống kê cổ điển

Ố TH NG KÊ C ĐI N ươ ố ằ ị ổ ọ ỹ ạ Ổ Ể ng trình Liouville cân b ng th ng kê Hàm phân b th ng kê c a h không đ i d c theo qu đ o pha c a h . ủ ệ ủ ệ ố ố ể ể ộ ừ PH N I. Ầ 1. Đ nh lí Liouville và ph ị Đ nh lí : Ch ng minh : ứ ủ ệ Do các h t c a h chuy n đ ng không ng ng nên các đi m pha mô t ể ạ ủ ệ ừ ộ ổ ố ủ ừ ủ ể ả ố ộ ng trình liên t c cho quá trình này. Ph ể ộ c. Vì v y ta có th áp d ng ph ư ự ụ ươ ươ ụ ụ ể ậ ả ạ tr ng thái c a h cũng chuy n đ ng không ng ng trong không gian pha. Do t ng s các đi m pha không ể đ i nên chuy n đ ng c a các đi m pha gi ng nh s ch y d ng c a m t ch t l ng không nén ấ ỏ ổ đ ng trình liên t c có ượ d ng : ạ w ¶ +  jdiv (1) ¶

w=  = v ( ,..., ,...,  p ) 0=  j  v trong đó w là hàm phân b th ng kê và v iớ ậ ố ủ là v n t c c a  q 1   pq , 1 s

= 1

đi m pha trong không gian pha 2 t ố ố s chi u.ề ể Do đó ta có : (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ø Ø ¶ ¶ w w ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) = + + w +  jdiv w (  q ) w (  p )  q  p (cid:229) (cid:229) (cid:229) =œ Œ (2) +(cid:247) (cid:247) (cid:231) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ q p p q ł Ł ł Ł ß º

M t khác, khi di chuy n d c theo qu đ o pha c a h thì các ủ ệ ể ặ ọ ỏ ươ ng   p q p q i i ip th a mãn ph iq và ¶ ¶ = -=  q ,  p pqHH = ,( ) trình chính t c Hamilton : ắ v i ớ là hàm Hamilton c a h . ủ ệ ¶ ¶ H p

= 1

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ỹ ạ H q w w w w ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) + -  q  p (cid:229) (cid:229) Suy ra : (3) =(cid:247) (cid:247) (cid:231) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ p q q H p p H q ł Ł ł Ł

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) w w + - 0 (cid:229) (cid:229) (4) =(cid:247) =(cid:247) (cid:231) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶  p p  q q ł Ł ł Ł H pq i H qp i

= 1 i ồ

= 1 i ượ

{

}

= 1

{

c : Thay (3) và (4) vào (2), r i thay vào (1) ta đ w ¶ w + = , H 0 (5) ¶ t (cid:246) (cid:230) w w ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) w = - , H (cid:229) trong đó { và H ữ w g i là ngo c Poisson gi a ặ ọ (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ q H p p H q ł Ł w w ¶ w = = + tpqw ,( ), ,w M t khác, ta l i có : n u thì (6) ặ ạ ế ¶ d dt t

{

=w const 0= T (5) và (6) ta có : hay (7) ừ dw dt ố ủ ệ ổ ờ ọ ng trình (5) đ c vi V y d c theo qu đ o pha thì hàm phân b c a h là không đ i theo th i gian. ậ Ph ươ ỹ ạ ượ t l ế ạ w i là : w ¶ ¶ -= = ,w ,H hay (8) ¶ ¶ t t ị (8) là ph Trong tr ng thái cân b ng th ng kê thì giá tr các đ i l ng nhi ươ ạ ố ị ệ ộ ụ ng trình đ nh lí Liouville ằ th i gian. Do đó hàm phân b th ng kê s không ph thu c t ố ố ạ ượ ộ ườ ụ ờ ộ t đ ng s không ph thu c ẽ ng minh vào th i gian. Khi đó ta ờ w ¶ 0= ẽ } =wH , 0 có : . Theo c h c lí thuy t, m t đ i l ng không ph . K t h p v i (8) suy ra : ớ ế ợ ộ ạ ượ ơ ọ ế ụ ¶

ữ ặ ng minh vào th i gian và ngo c Poisson gi a hàm Hamilton v i đ i l c g i là tích phân chuy n đ ng. M t khác ta l ng đó đ ể ờ ượ ọ ớ ạ ượ t r ng đ i v i m t h c ố ớ ế ằ ộ E c a h ; 3 thành ph n ng t thu c t ộ ườ thì đ i l ạ ượ ặ thì ch có 7 tích phân chuy n đ ng đ c l p, đó là : năng l ỉ i bi ạ ủ ệ ộ ậ ng đó là b ng 0 ằ ộ ệ ơ ầ px, py và pz ượ ể ộ

 p ng ng ủ ượ ố ớ ệ ộ ượ ệ ; 3 thành Lx, Ly và Lz c a mômen đ ng l ế ị  L ủ ể E c a h . M t khác, ta l ặ ộ ủ ượ ng ệ H(q,p) chính là năng l ượ ng c a h ủ ố ớ ệ ằ ờ ố ố c a xung l ủ th ườ chú ý đ n năng l ế th i gian hàm phân b th ng kê c a h ch ph thu c vào năng l [ ủ ệ ỉ ụ w = w w ậ ng c a h : ]) ượ XH ( ộ = ) E X ( ) ( t đ ng, ta . Đ i v i các h nhi ộ ỉ ầ ng không xét chuy n đ ng t nh ti n và chuy n đ ng quay c a toàn b h . Do đó ta ch c n ộ ệ ộ ể t r ng hàm Hamilton không ph thu c vào i bi ụ ộ ế ằ ạ ệ H(q,p)=E. V y đ i v i h cân b ng nhi t đ ng thì ệ ộ ủ ệ

ắ ố ằ ệ ằ ng c a h b ng t ng năng l 2. Phân b chính t c Gibbs t t c là h n m cân b ng v i h đi u nhi Xét h đ ng nhi ệ ứ ệ ẳ ẫ ớ ệ ề ượ ủ t. Chia h thành hai h con C ệ ệ 1 ng thành ệ ằ ệ ổ ượ ệ ng t ầ ủ ỗ ệ ớ ượ ươ = + ) )

12U r t bé so v i năng

ng tác gi a hai h : ữ ) XH XH ( ( 1 1 ng t ượ ấ ớ

) ẫ ng c a t ng h là và l ượ ệ Vì C1 và C2 v n là h vĩ mô nên năng l ệ 1 XH ( ủ ừ + » )

1 và C2 là hai h đ c l p v i nhau nên áp d ng đ nh lí ớ

ươ ( 2 XH ) . Do đó năng l 2 XH XH ( ) ( 1 Đi u này có nghĩa là hai h con C và C2 sao cho C1 và C2 v n là h vĩ mô. Khi đó năng l ph n c a m i h v i năng l ệ + XH ( U 2 ng tác gi a hai h là ệ ữ ng c a h là : ượ ủ ệ ) XH ( 2 ệ ộ ậ ệ ụ ị ề nhân xác su t ta có : ấ w w ( dXH ) 2 = 2 = w dXH ) w ( ) dXH ( 1 1 w H H ). ( w (. )

Suy ra L y lôgarit Nêpe hai v ta đ ấ ế =

]

[

w w ượ ln H ) ln

])

( H )

L y vi phân hai v ph ế ươ ấ

[

= + dH dH dH w w w w . dX 1 H ( ) c : [ w ( ng trình trên ta đ ] H ) ( ( H )

] ) )

[

+ = + ) ( dH dH dH dH Hay

[ ln ( H c : ượ [ w H ( 1 w ( H w w

w w H ( 2 ( H w w

] H ) ( ( H )

] ) )

2 H ( 2 ( H

] ) )

1 ượ

1dH và

Cho c : ế

[

1 H ( 1 ( H 2dH ti n đ n 0 m t cách đ c l p ta đ ộ ] ' H ) ( ( H )

= = = dH dH dH 0 Khi thì hay ộ ậ w w ế [ w w w w w w H ( 2 ( H H ( 2 ( H

[

= = = dH 0 dH dH Khi thì hay w w w w w w

] H ) ( ) ( H ] ' H ) ( ( H )

] ) ) 2 ] ' ) )

H ( 1 ( H

] ) ) 2 ] ) )

H ( 1 ( H

0>q

w w [ = -= Suy ra v i ớ

] H ) ( ( H ) [ w w

w w 1 q

1 ] H ( ) 2 ( H ) ng trình :

w = w ( H V y hàm phân b ố ậ

] H ( ) 1 ( H ) 1 ) th a ph ỏ

ươ

( ) -= hay -= dH q w ( ) Hd w H ) ( 1 q w )

aXH ( ), q

c : L y tích phân hai v ph ượ ấ - -= + w ln H C ) ln ( hay w = w = ( ) X Ce ( X ) w Hd ( dH ( H ng trình trên ta đ ế ươ aXH ( ), q

) H q g i là môđun c a phân b . ố ủ ọ ng đi u ki n chu n hóa : c xác đ nh t Đây chính là phân b chính t c Gibbs, đ i l ạ ượ ố H s ẩ ị ắ ừ ề ệ ố C đ ượ ệ

aXH ( ), q

(

)

aXH ), ( q

aXH ( ), q

(

- = dXXw ) ( 1 = (cid:242) dX 1 (cid:242) hay eC ) ( X - - = w = Z dX 1 C = (cid:242) thì và khi đó ta có : . Đ t ặ ( X ) e 1= Z 1 Z e )

kT=q k là h ng s Boltzmann, ố ằ y là năng l do và ượ Khi đó bi u th c c a phân b chính t c Gibbs đ ố

( ), aXH kT

ằ ả ủ ớ ế ệ ộ -=y B ng cách so sánh v i k t qu c a nhi và trong đó ự c vi t đ ng l c h c ta có : ự ọ Z kT ln t đ tuy t đ i, T là nhi ệ ố ệ ộ Z là tích phân tr ng thái ạ i là : ượ ứ ủ t l ế ạ ể ng t ắ y - = w ) e

( ), aXH kT

q (

VTN ,

( aXHN ),

Đ i v i h g m ổ ạ ạ ị ( X ấ ạ ồ ễ ể ệ ể ể ạ ồ ứ ả ớ ị N! hoán v khác nhau nên khi đó phân b chính t c đ ớ ệ N h t đ ng nh t ta có ằ ạ ỏ ấ ạ ồ ố ị ố ớ ệ ồ N h t đ ng nh t thì vi c hoán v các h t không làm thay đ i tr ng thái c a ủ ố c bi u di n b ng các đi m pha khác nhau trong không gian pha. Do đó, đ i h m c dù chúng đ ượ ệ ặ ớ ệ N h t đ ng nh t ta ph i lo i b các đi m không gian pha ng v i phép hoán v khác nhau v i h ấ ắ ượ c c a các h t. V i h ạ ủ t l i là : vi ế ạ - w = ( X ) e 1 N ! 3. Phân b chính t c l n Gibbs ổ t có s h t thay đ i. T i m i th i đi m, s h t c a h là không đ i ể ổ ờ ỗ nên ta có th áp d ng phân b chính t c Gibbs cho h và khi đó hàm phân b c a h à : ắ ớ Kh o sát h đ ng nhi ệ ệ ẳ ố ụ ố ả ể ố ạ ắ ố ạ ủ ệ ố ủ ệ - ạ ệ ), aXHa ( ), w = (1) ( X ) e 1 N ! y ),( aq kT=q ng t do ) ng i ta ượ ự (v i ớ ườ ổ W dùng th nhi t đ ng ố ớ ệ ệ ộ ố ạ đ ượ ứ ị Đ i v i h có s h t thay đ i, thay cho năng l c xác đ nh b i công th c : ở ế y =W - Nm (2) y ¶ (cid:246) (cid:230) m = (cid:247) (cid:231) trong đó là th hóa h c c a h t ọ ủ ạ ế ¶ ł Ł - w = T (2) ta vi i (1) là : (3) ừ t l ế ạ ( X ) e

N kT

aXH ( ), kT

(

)

N kT

aXH ), ( kT

1 N ! ắ ớ Bi u th c (3) là hàm phân b chính t c l n Gibbs. ố Đi u ki n chu n hóa hàm phân b chính t c l n Gibbs là : ắ ớ ứ ệ ể ề ẩ - - W ố aXHN ( ), ¥ ¥ = = dX 1 e e dX 1 e (cid:229) (cid:229) (cid:242) (cid:242) hay 1 N ! 1 N ! e ) - ¥ = Z e dX (cid:229) (cid:242) Đ i l ng đ ạ ượ ượ ọ c g i là t ng th ng kê c a h . ủ ệ ố ổ 1 N !

kT ln

e ( X ) -=W

aXHN ( ),

(

XNFF = ( , ) đ Khi đó ta có : Đ i v i h có s h t thay đ i, tr trung bình c a m t đ i l ổ ố ớ ệ ố ạ ộ ạ ượ ủ ị ng b t kì ấ cượ xác đ nh theo công th c : ứ ị - ¥ = F ( dX (cid:229) (cid:242) 1 N ! eXNF , ) )

4. Các hàm nhi t đ ng và các đ i l ệ ộ ạ ượ ố (cid:252) (cid:236) t đ ng trong phân b chính t c ắ ệ ộ ) = - (cid:253) (cid:237) dX Z exp (cid:242) 1. Tích phân tr ng thái : tính theo t ạ ấ ả ủ t c các tr ng thái kh dĩ c a ả ạ (cid:254) (cid:238) ng nhi ( XH kT

X ) ( ệ ạ ồ

= 1

)

không gian pha. N u là h h t đ ng nh t thì : ế ấ (cid:252) (cid:236) ) = - (cid:253) (cid:237) exp Z (cid:213) (cid:242)  pdrd i i (cid:254) (cid:238) ( XH kT 1 hN !

X ( Z

-=y 2. Năng l ng t do : ượ ự kT ln y ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) Z -= = + (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) S k ln Z kT 3. Entropi : ¶ ¶ ł Ł ł Ł ln T

T y ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) Z -= = (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) p kT 4. Áp su t :ấ ¶ ¶ ł Ł ł Ł ln V V

¶ (cid:246) (cid:230) Z = y + = (cid:247) (cid:231) U TS kT 5. N i năng : ộ ¶ ł Ł ln T

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) Z Z (cid:247) (cid:231) + = = (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) kT C 2 kT 6. Nhi t dung: ệ (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ł Ł ł Ł ln T U T ln 2 T ł Ł

ø Ø ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) Z f = y + -= + = - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) pV kT ln Z kTV ln Z kT œ Œ 7. Th Gibbs : ế ¶ ¶ ł Ł ł Ł ln ln Z V ln V ß º

8. Entanpi : ø Ø ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) Z Z + = + = + (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) = UH pV kT kTV kT œ Œ ¶ ¶ ¶ ¶ ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł ln T ln V ln ln Z V ln ln Z T ß º

= 1

5. Khí lí t ngưở trong bình có th tích V và nhi t đ Xét h ệ N h t khí lí t ạ ể ở ệ ộ T. Khi đó hàm ồ ấ ở ưở N ng đ ng nh t N = = H H (cid:229) (cid:229) Hamilton c a h là : ủ ệ

= 1 ủ ệ

2 p i 2 m ạ

2 p i kTm i

H kT

= 1

(

Tích phân tr ng thái c a h có d ng : ạ ø Ø - - œ Œ = = = Z dX Z (cid:213) (cid:213) (cid:242) (cid:242) (cid:242)  erd i  pd i œ Œ 1 hN ! 1 hN ! 1 hN ! e ) ß º

2 p i kTm i

¥+

-  = i V rd = trong đó là tích phân tr ng thái c a m t h t. Ta có (cid:242) và Z ủ ạ ạ ộ (cid:242) (cid:242) erd i  pd i

2 p i kTm i

2 p x kTm i

2 y kTm i

2 p z kTm i

2 p k kTm i

+ ¥

¥+

- - - - - = = k = ( zyx ), , , . Dùng tích phân e dp e dp e dp e dp e (cid:213) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242)  pd i ¥ - ¥ - ¥ - ¥ -

2 p k kTm i

1 2

3 2

- p - = = = e ax dx Poisson , ta có : . Suy ra . e dp p 2 p 2( ) (cid:242) = (cid:242) kTm i kTm i Z V p 2( ) kTm i a ¥ - ¥ -

3 N 2

N TV

= 1

c tích phân tr ng thái c a h là : V yậ ta tìm đ ượ ạ ø Ø ủ ệ 3 2 = = l =œ Œ Z V p 2( ) V p 2( mkT ) (cid:213) kTm i 1 hN ! 1 hN ! ß º

N 3 2

l = trong đó và m là kh i l ng. ố ượ ng c a m t h t khí lí t ộ ạ ủ ưở p 2( mk ) 1 hN !

-= -= + l + kT ln Z NkT (ln V ln T ln ) Năng l ng t y do c a h : ượ ự ủ ệ 3 2 y ¶ ¶ ø Ø (cid:246) (cid:230) -= -= + + l - (cid:247) (cid:231) p NkT (ln V ln T ln ) , suy ra ph Áp su t c a h : ấ ủ ệ ngươ =œ Œ ¶ ¶ ß º ł Ł 3 2 V NkT V

pV = V NkT trình tr ng thái c a h là .

ủ ệ ạ Entropi c a h : ủ ệ y ¶ ¶ ø Ø (cid:246) (cid:230) -= -= + + l + + l + - (cid:247) (cid:231) S NkT (ln V ln T ln ) Nk (ln V ln T ln ) Nk =œ Œ ¶ ¶ ß º ł Ł 3 2 T 3 2 3 2

V ủ ệ

T N i năng c a h : ộ ø Ø = y + -= + + l + + + l + U TS NkT (ln V ln T ln T ) Nk (ln V ln T ln ) Nk NkT =œ Œ ß º 3 2 3 2 3 2 3 2 ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) = = =(cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) C NkT Nk Nhi t dung đ ng tích c a h : ệ ủ ệ ẳ ¶ ¶ ł Ł ł Ł 3 2 U T T 3 2

= 1 i E(X) và ng

6. Phân b Maxwell – Boltzmann ố ng tác v i nhau và n m trong tr ng thái cân b ng nhi ạ ồ ươ ấ ằ ớ Xét h ệ N h t đ ng nh t không t nhi t đ ng ạ ệ ộ T. Khi đó hàm Hamilton H (X,a) c a h trùng v i năng l ượ ệ t ằ E(X) và có d ngạ ủ ệ ớ đ ng ộ ở N = e e H (cid:229) là năng l trong tr ng thái có năng ượ ng c a h t th ủ ạ ứ i. Khi đó xác su t đ h ấ ể ệ ở ạ , v i ớ

= 1

trong y u t th tích l ượ ở - ế ố ể H - (cid:252) (cid:236) ủ H kT = = = e - (cid:253) (cid:237) dW ( X ) e dX const const exp dX . e . (cid:229) (cid:213)  . pdrd i i (cid:254) (cid:238) dX c a không gian pha là : 1 kT

i kT

= 1

ø Ø e (cid:252) (cid:236) = - (cid:253) (cid:237) dW ( X ) const . exp ) dW (cid:213) (cid:213) =œ Œ Hay (1)  pdrd i i  ,( pr i i (cid:254) (cid:238) ß º

i kT

e (cid:252) (cid:236) = - (cid:253) (cid:237) ) dW const . exp trong đó (2)  ,( pr i i  pdrd i i (cid:254) (cid:238)

Bi u th c (2) chính là xác su t đ h t th ấ ể ạ ứ i có năng l , có t a đ n m trong ộ ằ

e  + p và có xung l ng n m trong kho ng t ọ . ứ đ n ế kho ng t ả ượ ằ ả ng b ng ằ đ n ế ể  ừ ir  rd i ượ  ừ ip  pd i e ượ

2 x

2 z

2 y mkT

ộ ạ ộ ụ ộ ị µ) . Năng l ượ ng i ọ ộ ủ ng và t a đ c a + p p + . Do đó, phân b (2) đ i là : c vi h t là ạ t l ế ạ ượ ố zyxU ,( ), =e i  + r i Xét phân b (2) trong không gian pha 6 chi u c a m t h t (không gian ề ủ ố bi u th qua đ ng năng và th năng ph thu c vào xung l c a m t h t riêng l ế ẻ ể ộ ạ ủ + 2 2 p y z m 2 (cid:252) (cid:236) + + (cid:239) (cid:239) p p p = - - (cid:253) (cid:237) dW ,( ppzyx , , , , p ) const . exp dxdydzdp dp dp (3) (cid:239) (cid:239) 2 ,( ), zyxU kT (cid:254) (cid:238)

ố c vi Đây chính là phân b Maxwell – Boltzmann. Bi u th c (3) đ ứ ượ ể = i d t l i d ng : ế ạ ướ ạ dW ppzyx ,( , , , , p ) dW ( , dWp ). zyx ), ,( (4) pp , x

2 x

2 z

2 y mkT

(cid:252) (cid:236) + + (cid:239) (cid:239) p p p = - (cid:253) (cid:237) dW ( , p ) A exp dp dp dp Trong đó : (5) , pp x (cid:239) (cid:239) 2 (cid:254) (cid:238)

ng ố ượ (cid:252) (cid:236) = - (cid:253) (cid:237) dxdydz exp B dW ,( zyx ), (6) (cid:254) (cid:238) (5) là phân b Maxwell theo xung l ,( ), zyxU kT

(6) là phân b Boltzmann trong tr ố ườ ng l c ự + ¥ p = -

{ exp

} dx

ax Xét phân b Maxwell theo xung l ng, s d ng tích phân Poisson để ố ượ ử ụ (cid:242) a ¥ -

+ ¥

) 2

( A

2 p x mkT

2 y mkT

2 p z mkT

chu n hóa hàm phân b (5) : ẩ ố (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:239) (cid:239) p = = - - - (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) 1 A exp dp exp dp exp p 2 mkT dp (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:239) (cid:239) 2 2 2 (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ¥ - ¥ - ¥ - (cid:254) (cid:238)

(

- =

) 2 )

2 x

2 y

= + + = A dW dW , , ( ) ( hay  =  vmp p p p (mv ) . V y phân b p 2 mkT vvv , , y ậ ố

x (5) đ

2 z ậ ố

z ố

Mà Maxwell theo xung l và t thành phân b Maxwell theo v n t c : nên ng ượ ppp z y c vi ế ượ ở

3 2

(cid:252) (cid:236) (cid:246) (cid:230) = - (cid:247) (cid:231) (cid:253) (cid:237) dW ( , ) exp dv dv dv , vvv y ł Ł mv 2 kT (cid:254) (cid:238)

j m p 2 kT sin2= q v q dd dv dv dv dv , l y tích phân theo hai bi n , ấ ế q và j ệ ọ

Trong h t a đ c u thì khi đó phân b theo v n t c tr thành : ở ộ ầ ậ ố ố

3 2

(cid:252) (cid:236) (cid:246) (cid:230) = = w - (cid:247) (cid:231) (cid:253) (cid:237) dW )( v p 4 v dv )( dvv exp ł Ł mv 2 kT m p 2 kT (cid:254) (cid:238)

3 2

(cid:252) (cid:236) (cid:246) (cid:230) w = - (cid:247) (cid:231) là hàm phân b v n t c. v iớ ố ậ ố (cid:253) (cid:237) exp v v )( p 4 ł Ł (cid:254) (cid:238)

Xét phân b Boltzmann trong tr ố ưở ở ườ = = m p kT 2 ng l c ự ở ,( mv kT 2 (5) cho khí lí t ), zUzyxU )( mgz ng tr ng l c là ự ng tr ng l c. ọ (6) ườ ự ủ ạ ườ ọ ng trong tr nên phân b Boltzmann ố ở Th năng c a h t trong tr tr thành : ế ở (cid:252) (cid:236) - (cid:253) (cid:237) dW )( z = exp B dz (cid:254) (cid:238)

z + mgz kT

là : V i ớ N là t ng s h t c a h thì s h t ố ạ ủ ệ ố ạ ở ộ ổ mgz kT ừ z đ n ế đ cao t (cid:252) (cid:236) = = - (cid:253) (cid:237) dN )( z NdW )( z NB exp dz (cid:254) (cid:238)

t đ cao bi u trên suy ra : G i ọ n(z) và n0 l n l ầ ượ là m t đ khí ậ ộ ở ộ ừ ể (cid:252) (cid:236) = - (cid:253) (cid:237) )( zn n exp (cid:254) (cid:238)

t đ không đ i, áp su t c a khí t l v i m t đ khí nên n u g i ậ ộ ệ ộ ọ p(z) và p0 l n l ầ ượ t ế z và m t đ t thì t ặ ấ mgz kT ỉ ệ ớ bi u th c trên suy ra : ổ z và đ cao Khi nhi là áp su t c a khí ấ ủ ấ ủ m t đ t thì t ở ặ ấ ở ộ ừ ể (cid:252) (cid:236) = - (cid:253) (cid:237) )( zp p exp (cid:254) (cid:238)

ứ mgz kT do 7. Đ nh lí phân b đ u đ ng năng theo các b c t ố ề ộ ậ ự ị

Hàm Hamilton c a h có s b c t do bi u th qua hàm Lagrange nh sau : ủ ệ ậ ự ư ị

= 1

- qpH ( ),  ), qpL ( ể s = (cid:229)  qp i

[

- - + qUpT ) )( (

])( qUpT )

= 1

( (cid:229) Hay là  qp i

= 1

¶ = = ( pT ) p (cid:229) (cid:229) Suy ra  qp i ¶ 1 2 1 2 H p ¶ p Khi đó đ i l ng đ c g i là đ ng năng ng v i b c t do th ạ ượ ượ ọ ớ ậ ự ứ ộ ứ i. ¶ 1 2 H i p

+ ¥

= 1

(

)

= 1 i

j j

+ ¥

Đ nh lí : Giá tr trung bình c a đ ng năng ng v i b c t ị ớ ậ ự ủ ộ ứ ị do th i b ng ứ ằ kT 2 Giá tr trung bình c a đ ng năng ng v i b c t do th ớ ậ ự ủ ộ ứ ứ i có th tính đ ể ượ c ờ ứ ố y y - ¶ - ¶ ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) = = (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) dX p exp dp dp dq exp p p (cid:213) (cid:213) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) ¶ ¶ ¶ (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ( ), qpH kT 1 2 H p ),( qpH kT Ch ng minh : ị nh phân b chính t c Gibbs : ắ 1 1 H 2 2 p H p ¥ - „

)

exp

1 2

H p

,( qpH kT

+ ¥

- ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) Tích phân đ c tính b ng ph ượ ằ ươ ừ ng pháp tích phân t ng (cid:242) ¶ (cid:254) (cid:238) ¥ -

(

)

exp

(

)

exp

),( qpH kT

1 2

),( qpH kT

,( qpH kT

1) 2

1 2

H p

ph n : ầ + ¥ ø Ø - - - ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) - - - (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) œ Œ (cid:242) (cid:242) ¶ (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ß º ¥ - ¥ - ¥ -

H kT

+ ¥

- (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) + ¥ – ¥ ﬁ qpH ( ﬁ), 0 Khi thì nên . Do đó mà ep i =(cid:247) (cid:231) – ¥ ﬁ lim p ł Ł

)

exp

1 2

kT 2

),( qpH kT

,( qpH kT ớ ậ ự

- - ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:242) (cid:242) ¶ (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ¥ - ¥ -

+ ¥

)

exp

H p i V y tr trung bình c a đ ng năng ng v i b c t ủ ộ ậ y s 1 2

qpH ,( kT

kT 2

qpH ,( kT

kT 2

= 1

(

)

ứ - - ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:213) (cid:213) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) ¶ (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ị H p ứ i b ng : do th ằ y kT 2 ¥ - „

)

exp

= j 1 j i qpH ,( kT

(

)

- (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) (cid:242) (tích phân do đi u ki n chu n hóa) ệ ề ẩ (cid:254) (cid:238)

8. Đ nh lí virian ị ¶ q Đ i l ng đ do th ạ ượ ượ ọ c g i là virian ng v i b c t ứ ớ ậ ự ứ i. ¶ 1 2

+ ¥ – ¥ ﬁ qpH ( ﬁ), Đ nh lí : hàm Hamilton thì giá tr trung bình c a virian ị ủ ị H i q i N u ế khi

ng v i b c t ứ ớ ậ ự do th i b ng ứ ằ kT 2 do th c nh ứ Giá tr trung bình c a virian ng v i b c t ủ ớ ậ ự ứ ị ứ i có th tính đ ể ượ ờ phân b chính t c Gibbs : Ch ng minh : ắ ố

+ ¥

= 1

(

)

= 1 i

j j

+ ¥

y y - ¶ - ¶ ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) = = (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) q q exp dX q exp dq dq dp (cid:213) (cid:213) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) ¶ ¶ ¶ (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) 1 2 H q 1 2 H q ( ), qpH kT 1 2 H q ( ), qpH kT ¥ - „

)

exp

1 2

H q

,( qpH kT

+ ¥

- ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) Tích phân đ c tính b ng ph ượ ằ ươ ừ ng pháp tích phân t ng (cid:242) ¶ (cid:254) (cid:238) ¥ -

)

(

)

exp

(

)

exp

,( qpH kT

1 2

,( qpH kT

1) 2

1 2

H q

H kT

+ ¥

- (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) + ¥ – ¥ ﬁ qpH ( ﬁ), 0 Khi thì nên . Do đó mà eq i =(cid:247) (cid:231) – ¥ ﬁ lim q ł Ł

exp

1 2

kT 2

),( qpH kT

- - ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:242) (cid:242) ¶ (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ¥ - ¥ -

+ ¥

),( qpH kT ớ ậ ự s

)

exp

H q V y tr trung bình c a virian ng v i b c t ủ ậ y 1 2

kT 2

qpH ,( kT

kT 2

= 1

(

)

do th - - ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:213) (cid:213) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) ¶ (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ứ qpH ,( ) kT ị H p ứ i b ng : ằ kT 2 ¥ - „

)

exp

= 1 j i j qpH ,( kT

(

)

- (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) (cid:242) (tích phân do đi u ki n chu n hóa) ệ ề ẩ (cid:254) (cid:238)

)

,( pqH kT

NG T Ử TH NG KÊ L Ố ng t ắ ượ ƯỢ ử t, hàm phân b chính t c c đi n có d ng : PH N II. Ầ 1. Phân b chính t c l ố Xét h đ ng nhi ệ ẳ ệ ắ ổ ể ạ ố - (1) w = e

ˆ H

,( pq ) do c a h ủ ệ L ng t là năng l ta có toán t trong đó y w hóa ử ượ ng t ượ ự th ng kê : ử ố - (2) w = ˆ

})(qn

Kí hi u ệ { y ệ ử

n mn khi

ủ = y e là h hàm riêng c a toán t ˆ y H E ) suy ra (3) y n Hˆ . Ta có : = y E ( = (cid:236) Hamilton )ˆ( H 1 y = d = (cid:237) dqq )( và (4) (cid:242) y )(* q n „ 0 mn khi (cid:238)

Khi đó các y u t ế ố ậ y w )( dqq (5) ủ wˆ b ng : ma tr n chéo c a ằ (cid:242)= yw ˆ)(* q n

n S d ng khai tri n Taylor c a hàm mũ ta có th vi ể ế  m H kT

t (2) d i d ng : ử ụ ủ ể ướ ạ ¥ (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) = w - ˆ e (cid:229) (6) (cid:247) (cid:231) 1 m ! ł Ł

Thay (6) vào (5), k t h p v i (3) và (4) và phép bi n đ i Taylor, ta đ c : ế ợ ế ớ ổ ượ

* n

E n kT

E kT

* n

¥ ¥ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) y y w = y y = - - (cid:247) (cid:231) )ˆ )( Hq ( )( dqq )( eq )( dqq e (cid:229) (cid:229) (cid:242) (cid:242) (cid:247) (cid:231) ł Ł 1 m !  H kT 1 m ! 1 kT ł Ł - ¥ ¥ - (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) = = = y = - - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) e e e e y )( q )( dqq e (cid:229) (cid:229) (cid:242) ł Ł ł Ł 1 m !

E n kT V y hàm phân b th ng kê chính t c l ố ố ậ ắ ượ ng t y - E 1 n m ! kT = m có d ng : ạ ử E kT (7) = w e

nn ố ố

: ệ ề ẩ ử - Đi u ki n chu n hóa hàm phân b th ng kê chính t c l ắ ượ E n kT = w = w = = 1 ( E ) e ng t y Ze kT e (cid:229) (cid:229) (cid:229) (8)

En kT

- = Z e (cid:229) Đ i l ng đ c g i là t ng th ng kê c a h . Khi đó ta có : ạ ượ ượ ọ ủ ệ ố ổ

En kT

-=y kT ln Z (9) - = e Z (cid:229) T ng th ng kê l y theo t t c các tr ng thái kh dĩ là ấ ổ ố ấ ả ạ ả . Do đó n u m c năng ế ứ

nE suy bi n b i ộ

nEg (

E n kT

) ng thì t ng th ng kê c a h tr thành : l ượ ế ủ ệ ở ố ổ - = Z ( (cid:229) (10) ) eEg n

)

2. Phân b chính t c l n l ố ử ng t t và có s h t Xét h đ ng nhi ệ ẳ ắ ớ ượ ệ ắ ớ ổ ể ạ ổ ố - ố ạ N thay đ i, hàm phân b chính t c l n c đi n có d ng : ,( NpqHN (1) = w e

ˆ ˆ HN kT

Npq ,( , ) m là th hóa h c c a h t ọ ủ ạ ế là th nhi ế ta có toán t L ng t trong đó W w hóa ử t đ ng, ệ ộ th ng kê : ử ố ượ - (2) w e

Vì có th đo đ ể ố ạ ủ ệ

ử s h t Hˆ và toán Hamilton ử ố ạ Nˆ có chung h hàmệ

Hˆ và toán t ử Hˆ và Nˆ . Ta có : = m m ệ = y y y , y nN

nN y

nN m

N = E m = m m y - - - - ( ( ( ( EN ) (3)

ˆ y N , )ˆ ˆ HN = d d EN y và (4) (cid:242)

Khi đó các y u t ế ố ậ y w )( dqq (5) = ˆ ng và s h t c a h nên toán t c đ ng th i năng l ờ ượ ồ ượ ử ố ạ Nˆ giao hoán v i nhau. Do đó toán t Hamilton t s h t ớ ử })(qnN riêng. Kí hi u ệ { y là h hàm riêng chung c a toán t ủ ˆ ˆ = y H N nN N ˆ )ˆ y y ) HN suy ra n nN y )(* q )( dqq nN ủ wˆ b ng : ma tr n chéo c a ằ (cid:242)= yw ˆ)(* q nN

nN S d ng khai tri n Taylor c a hàm mũ ta có th vi ể ế  ˆ HN kT

i d ng : ử ụ ủ ể ướ ạ t (2) d m W ¥ (cid:246) (cid:230) m - (cid:247) (cid:231) = w ˆ e (cid:229) (6) (cid:247) (cid:231) 1 m ! ł Ł

Thay (6) vào (5), k t h p v i (3) và (4) và phép bi n đ i Taylor, ta đ c : ế ợ ế ớ ổ ượ

* nN

EN kT

* nN

W W ¥ ¥ (cid:246) (cid:230) m - (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) y m y w = y y = - (cid:247) (cid:231) ˆ )ˆ HNq )( ( )( dqq )( eq )( dqq e (cid:229) (cid:229) (cid:242) (cid:242) (cid:247) (cid:231) ł Ł 1 m !  ˆ HN kT 1 1 kTm ! ł Ł - - W W W ¥ ¥ m m - - (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) = = = y = (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) e e e e y )( q )( dqq e (cid:229) (cid:229) (cid:242) ł Ł ł Ł EN kT 1 m !

ng t EN kT V y hàm phân b th ng kê chính t c l n l ố ố ậ ắ ớ ượ - 1 m ! = 0 có d ng : ạ ử +W EN kT (7) = w w = E , N ) e

, Nn

ng t : ề ệ ẩ ử ( ố ố Đi u ki n chu n hóa hàm phân b th ng kê chính t c l n l m - W W ắ ớ ượ EN kT = w = w = = 1 ( E , N ) e e Ze kT (cid:229) (cid:229) (cid:229) (8)

EN kT

, Nn

- = Z e (cid:229) Đ i l ng đ c g i là t ng th ng kê c a h . Khi đó ta có : ạ ượ ượ ọ ủ ệ ố ổ

EN kT

-=W kT ln Z (9) - = Z e (cid:229) T ng th ng kê l y theo t t c các tr ng thái kh dĩ là . Do đó n u m c năng ấ ố ổ ấ ả ạ ả ứ ế

Nn , thì t ng th ng kê c a h tr thành :

nNE suy bi n b i ộ

nNEg (

EN kT

, Nn

) ng l ượ ế ủ ệ ở ổ ố - = Z ( Eg ) e (cid:229) (10)

3. Phân b Boltzmann l ng t ử ng tác. Năng l ng c a h b ng t ng năng l ệ ượ ạ ố ả ươ ượ ủ ệ ằ ổ ượ ng c a các ủ Kh o sát h các h t không t e E

(cid:229)=

: . Khi đó xác su t đ h trong tr ng thái v i năng l ng h t riêng l ạ ẻ ấ ể ệ ở ạ ớ ượ E b ng : ằ

i kT

(cid:252) (cid:236) y e - - (cid:229) (cid:239) (cid:239) = = = (cid:253) (cid:237) ( EW ) e exp (cid:213) (1) W i (cid:239) (cid:239) (cid:254) (cid:238)

iW là xác su t đ m t h t b t kì c a h ấ ể ộ ạ ấ

i kT

e Trong đó trong tr ng thái v i năng l ng : ủ ệ ở ạ ớ ượ - (2) = ae W i - - = = a Z e 1 e (cid:229) (cid:229) (cid:229) Đi u ki n chu n hóa : , ta đ . Trong ệ ề ẩ , đ t ặ c ượ = aW i 1= Z

i kT

- e = ) Z e ) ( e g (cid:229) tr ng thì . Khi đó (2) tr thành : ườ ng h p m c năng l ứ ợ ượ suy bi n b i ế ộ ở ( ig e

i kT

- ) g = (3) e W i e ( Z Đây chính là phân b Boltzmann l ng t ố ượ . ử

4. Th ng kê Fermi – Dirac ố ệ ươ

ng và s h t c a c h ; và ng tác. G i tr ng thái ọ E và N là năng i. Ta có : l ượ ố ạ ở ạ ả e ố ạ ủ ả ệ i ượ e E ộ ạ (cid:229)= N Kh o sát h các fermion (các h t có spin bán nguyên) không t ạ in là năng l ng m t h t và s h t (cid:229)= in in và

T ng th ng kê c a h là : ủ ệ ổ ố (cid:252) (cid:236)

[

]

[

]

[

]

, Nn

,...

nn , 1

n i

m e - ( n ) (cid:229) m m e m e - - - (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:239) (cid:239) ( n ) ( n ) = = = = (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) Z exp exp exp exp (cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:213) (cid:213) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) EN kT kT kT kT (cid:239) (cid:239) (cid:254) (cid:238)

Vì các fermion tuân theo nguyên lí Pauli nên s h t ể ỉ ị ố ạ in ch có th nh n hai giá tr 0 và 1. Do ậ

n i

đó ta có : m e m e - - (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) ( n ) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) exp += 1 exp (cid:229) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) kT

exp

kT V y t ng th ng kê c a h các fermion là : ủ ệ ậ ổ ố ø Ø - (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) (cid:213) œ Œ (cid:254) (cid:238) ß º

-=W

exp

1ln

exp

-=(cid:247)

t đ ng c a h b ng : Th nhi ế ệ ộ ủ ệ ằ (cid:246) (cid:230) ø Ø ø Ø - - (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:247) (cid:231) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:229) (cid:213) œ Œ œ Œ (cid:231) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ß º ß º ł Ł

, VT

i kT

S h t trung bình c a h : ủ ệ ố ạ m e - (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) exp (cid:246) (cid:230) ø Ø m e - (cid:246) (cid:230) ¶ W ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:254) (cid:238) 1 kT 1 (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) -= = + = (cid:253) (cid:237) N kT 1ln exp kT (cid:229) (cid:229) (cid:229) œ Œ (cid:247) (cid:231) =(cid:247) (cid:231) m kT e e m - - m m ¶ ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:254) (cid:238) ł Ł kT ß º ł Ł + + (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) 1 exp exp 1 (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) kT

(cid:229)=

M t khác t suy ra , so sánh bi u th c này v i bi u th c ngay trên ặ ừ ứ ở ứ ể ể ớ

i kT

ta có k t qu : ế ả 1 = n e m - (cid:252) (cid:236) + (cid:253) (cid:237) exp 1 (cid:254) (cid:238)

Đây chính là th ng kê fermi – Dirac. ố 5. Th ng kê Bose – Einstein ố ệ ươ ngượ

ả và s h t c a c h ; và ng tác. G i tr ng thái ọ E và N là năng l i. Ta có : ộ ạ ố ạ ở ạ e ố ạ ủ ả ệ i e Kh o sát h các boson (các h t có spin nguyên) không t ng m t h t và s h t N ạ in là năng l E ượ (cid:229)=

(cid:229)=

và

T ng th ng kê c a h là : ủ ệ ổ ố (cid:252) (cid:236)

[

]

[

]

[

]

, Nn

,...

nn , 1

n i

in có th nh n giá tr nguyên không âm b t kì. Khi đó

ố ạ ể ậ ấ ị ¥ e - m e - (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) Đ i v i các boson thì s h t ố ớ m n ) ( = > (cid:253) (cid:237) exp (cid:253) (cid:237) (cid:229) q exp 0 là t ng c a c p s nhân vô h n v i công b i . Đ c p s ủ ấ ố ạ ổ ớ ộ ể ấ ố (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) kT kT

m e - (cid:252) (cid:236) = e m (cid:219) ‡ (cid:253) (cid:237) q exp "< 1 0 < 0 nhân này h i t thì ta ph i có . T ng c a c p s nhân lùi vô ộ ụ ả ủ ấ ố ổ (cid:254) (cid:238) kT

¥ m e - (cid:252) (cid:236) ( n ) = (cid:253) (cid:237) exp (cid:229) 1 m e - (cid:252) (cid:236) (cid:254) (cid:238) kT nên suy ra h n v i công b i ạ ớ ộ q thì có giá tr b ng ị ằ . V yậ - (cid:253) (cid:237) 1 exp 1 q-1 (cid:254) (cid:238) kT

1 m

exp

(cid:213) - (cid:252) (cid:236) t ng th ng kê c a h các boson là : ủ ệ ổ ố - (cid:253) (cid:237) (cid:254) (cid:238)

-=W

1 m

exp

1ln

exp

1ln

exp

t đ ng c a h b ng : Th nhi ế ệ ộ ủ ệ ằ (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:229) (cid:213) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ł Ł ł Ł - (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) - - (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:229) (cid:229) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) ł Ł ł Ł

, VT

i kT

S h t trung bình c a h : ủ ệ ố ạ m e - (cid:252) (cid:236) - (cid:253) (cid:237) exp (cid:246) (cid:230) ø Ø m e - (cid:246) (cid:230) ¶ W ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:254) (cid:238) 1 kT 1 (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) = -= -= - (cid:253) (cid:237) N kT 1ln exp kT (cid:229) (cid:229) (cid:229) œ Œ (cid:247) (cid:231) -=(cid:247) (cid:231) m kT e e m - - m m ¶ ¶ (cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:254) (cid:238) ł Ł kT ß º ł Ł - - (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) 1 exp exp 1 (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) kT