Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
333
TÍNH ĐỘ DẪN ĐIỆN TRONG MÔI TRƯỜNG VẾT NỨT
BÃO HÒA SỬ DỤNG PHÂN BỐ FRACTAL
Nguyễn Văn Nghĩa, Lương Duy Thành
Trường Đại học Thủy lợi, email: nghia_nvl@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Những vết nứt nẻ rất phổ biến trong môi
trường địa chất và chúng đóng vai trò quan
trọng trong nhiều ứng dụng khoa học như
dòng chảy ngầm, sự vận chuyển chất, thăm
dò dầu mỏ, khoáng sản và tính chất dẫn điện
của môi trường. Các phương pháp địa vật lý
có thể cung cấp thông tin về cấu trúc, đo độ
dẫn điện và tính chất vật lý của môi trường
vết nứt (MTVN) hay đá nứt nẻ [1, 4]. Do
vậy, mục đích của nghiên cứu này là tính độ
dẫn điện (ĐDĐ) trong MTVN ở điều kiện
bão hòa hoàn toàn (BHHT) hay chứa đầy
nước trong các vết nứt bằng phương pháp sử
dụng phân bố fractal. Với mục đích đó, xét
MTVN như hệ các khe mao dẫn (KMD) song
song BHHT tuân theo phân bố fractal. Điện
trở suất của khoáng chất trong MTVN
thường rất cao và thành của chúng đóng vai
trò cách điện. Do đó, sự dẫn điện trong
MTVN chứa chất lỏng bão hòa chủ yếu xảy
ra thông qua các KMD chứa đầy nước do sự
di chuyển của các ion. Ngoài ra, sự dẫn điện
này cũng có thể gây ra trên bề mặt khoáng
chất tiếp xúc với nước và được đặc trưng bởi
ĐDĐ bề mặt. ĐDĐ của mô hình này phụ
thuộc vào các thông số cấu trúc vi mô của
MTVN, ĐDĐ của bề mặt chất rắn và ĐDĐ
của nước. Kết quả nhận được từ mô hình này
được so sánh với số liệu thực nghiệm (SLTN)
[5] cho kết quả khá phù hợp.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chúng ta biết, các KMD trong môi trường
địa chất tồn tại trên một phạm vi rộng, từ
micromet đến hàng nghìn km [1, 4]. Để tính
ĐDĐ trong MTVN, xét mô hình ở đây là các
KMD được tạo thành giữa các lớp đá. ĐDĐ
bề mặt đá thường nhỏ hơn nhiều so với ĐDĐ
của nước trong KMD, do đó lớp đá có thể coi
là không dẫn điện và không có sự trao đổi
chất lỏng qua nó. Chúng tôi xét một phần tử
thể tích đặc trưng (REV) dạng khối lập
phương có chiều dài Lo (m), Lτ là chiều dài
thực của KMD, τ = Lτ/Lo là độ uốn (không
thứ nguyên) của KMD và tiết diện A (m
2)
như trong hình 1. Chúng tôi quan niệm các
vết nứt của REV là một hệ KMD song song
có khẩu độ a (m) khác nhau và độ rộng w
(m), theo phân bố fractal [2, 4] ta có:
ff
--1
f max min max
() DD
f
w=Dw w ,w w w (1)
trong đó Df là hệ số fractal (không đơn vị)
với 1 Df 2 [4], wmin (m) và wmax (m) lần
lượt là độ rộng nhỏ nhất và lớn nhất của
KMD trong REV, tương ứng với giới hạn
dưới và giới hạn trên của phân bố fractal. Do
đó, số KMD có độ rộng từ w đến w + dw
được cho bởi f(w)dw [4]. Tổng số KMD từ
wmin đến wmax cho bởi:

max f
min
tot max min
=()d
wD
w
Nfwww/w
(2)
Hình 1. Sơ đồ của một môi trường vết nứt
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
334
Chia phương trình (1) cho phương trình
(2), thu được hàm mật độ xác suất:
ff
--1
rfmin
()= () = DD
fw fw/N Dw w
tot (3)
Với khẩu độ a được liên hệ với độ rộng w
của KMD theo [4] là:
a = βw (4)
trong đó: β (không có đơn vị) là hệ số tỉ lệ.
Độ xốp của REV chứa đầy nước trong các
KMD được định nghĩa là:
max
min
()()()d
w
w
p
to
aw L f w w
V
==
VLA
(5)
Thay (1) và (4) vào (5) thu được độ xốp là
fmax
min
1 -
fmax
2
2 -
max
d
(1- )
(2 - )
f
f
DwD
w
D
f
f
βτDw ww
A
βτDw α
AD

(6)
trong đó: α = wmin/wmax, Vp và Vt lần lượt là
thể tích KMD và tổng thể tích của REV. Với
mục đích đơn giản hóa, chiều dài KMD được
giả định là không thay đổi theo chiều rộng
của nó; do đó, τ được coi là không đổi trên
REV và nó không ảnh hưởng bởi độ bão hòa
của nước.
Theo Thanh et al. (2021) [3], tổng ĐDĐ
trong một KMD bão hòa hoàn toàn có xét
đến ĐDĐ bề mặt được tính bằng:
2
ws
2(1 )
() ww
w=
A
τAτ

f (7)
với:
w (S/m) và s (S) là ĐDĐ của nước và
ĐDĐ bề mặt tại mặt phân cách giữa chất rắn
và nước.
Do đó, tổng ĐDĐ của MTVN xét trong
điều kiện BHHT thu được bằng:
max
min
=()()d
w
f
w
σσwfw w
(8)
Thay các phương trình (1) và (7) vào (8)
thu được kết quả như sau:
max ff
min
max ff
min
-+1
wfmax
-
sfmax
=d
2Σ (1+ ) d
wDD
w
wDD
w
σβ
σDw w w
Aτ
β
+Dwww
A
τ
Tính toán giải tích đối với tích phân này,
chúng ta thu được biểu thức:
ff
f
ff
f
22
wmaxmin
fmax
f
11
smaxmin
fmax
f
=2
2Σ (1+ )
1
-D -D
D
-D -D
D
σβ ww
σDw
Aτ-D
βww
+Dw
Aτ-D


hay:
f
f
f
2
2
fmax
f
1
sf
w2
max f
=(1-)
2
2Σ (1+ ) 21-
11-
-D
-D
-D
βD
σwα
AτD
βDα
σβwDα

(9)
Thay A từ phương trình (6) vào phương
trình (9), thu được ĐDĐ của MTVN là:
f
f
1
sf
w2
2
max f
2Σ (1+ ) 21-
=11-
-D
-D
βDα
σσ
τβwDα

(10)
Phương trình (10) cho thấy ĐDĐ
của
MTVN ở điều kiện BHHT phụ thuộc vào các
thông số cấu trúc của MTVN (Df, ,
,
,
wmax, τ), ĐDĐ của nước
w, ĐDĐ bề mặt s.
3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
Để thấy rõ sự phù hợp của ĐDĐ của
MTVN, ở mục này chúng tôi so sánh kết quả
nhận được từ mô hình đề xuất từ các số liệu
cho bởi [2] với SLTN cho bởi [5].
Hình 2. Sự biến thiên của ĐDĐ theo Df
với α = 0,001 và α = 0,005
Hình 2 biểu diễn sự biến thiên của ĐDĐ
trong MTVN theo hệ số fractal (Df) với α
khác nhau, kết quả cho thấy ĐDĐ càng tăng
nhanh khi tỉ số độ rộng của KMD giảm. Từ
mô hình đề xuất cho bởi phương trình (10)
(đường liền nét) với α = 0,001 và (đường nét
đứt) với α = 0,005 cùng các tham số đầu vào
cho bởi bảng 1.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
335
Bảng 1. Tham số đầu vào của MTVN
cho bởi Moore et al. (2007) [2]
Tham số Giá trị Đơn vị
ϕ* 0,009 Không đơn vị
Τ 2 Không đơn vị
Σs 0,17.10-10 S
Df 1,8 Không đơn vị
Β 0,01 Không đơn vị
0,001 Không đơn vị
Hình 3 biểu diễn sự biến thiên của ĐDĐ
trong MTVN theo ĐDĐ của nước từ SLTN
[5] (ký hiệu bởi các điểm hình tròn) cho bởi
Wildenschild et al. (2000) [5] trong bảng 2 và
đường liền nét cho bởi phương trình (10) từ
mô hình đề xuất này với các tham số Df =
1,8, β = 2 và α = 0,001 cho bởi Moore et al.
(2007) [2] trong bảng 1. Độ lệch bình
phương trung bình (RMSD) của mô hình đề
xuất là 0,098 so với SLTN [5]. Do vậy, có
thể thấy mô hình đề xuất của chúng tôi
(RMSD = 0,098) là khá phù hợp.
Hình 3. Sự biến thiên của ĐDĐ
trong MTVN theo ĐDĐ của nước
cho bởi MTVN được đề xuất bởi
phương trình (10) và SLTN cho bởi [5]
Bảng 2. Số liệu thực nghiệm
cho bởi Wildenschild et al. (2000) [5]
Độ dẫn điện
của nước σw (S/m)
Độ dẫn điện của môi
trường xốp σ (S/m)
0,088.10-3 0,294.10
-3
5,095.10-3 1,617.10-3
50,472.10-3 14,207.10-3
203,823.10-3 55,948.10-3
920,146.10-3 199,305.10-3
4. KẾT LUẬN
Trong bài báo này đã xây dựng một mô
hình tính ĐDĐ trong MTVN với điều kiện
BHHT. Cụ thể, từ sự phân bố fractal tính được
hàm mật độ xác suất. Từ hàm mật độ xác suất
và ĐDĐ cho một KMD ở điều kiện BHHT,
tính ĐDĐ trong MTVN với điều kiện BHHT.
Mô hình này phụ thuộc vào các tham số cấu
trúc của MTVN (Df, ,
,
, wmax, τ), ĐDĐ
của nước
w và ĐDĐ bề mặt s. Các kết quả
từ mô hình này được áp dụng với các tham số
đầu vào cho bởi Moore et al. (2007) [2] trong
bảng 1 phù hợp tốt với SLTN [5] cho bởi
Wildenschild et al. (2000) [5] trong bảng 2.
Mô hình đề xuất này mở ra những khả năng
mới để dự đoán tính dẫn điện của vật liệu xốp.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Guarracino, L. (2006) A fractal constitutive
model for unsaturated flow in fractured hard
rocks. J. Hyd., 324 (1), 154-162.
[2] Moore, J. R. & Glaser, S. D. (2007) Self-
potential observations during hydraulic
fracturing. Journal of Geophysical Research:
Solid Earth, 112 (B2), B02204.
[3] Thanh, L. D., Jougnot, D., Do, P. V., Hue, D.
T. M., Thuy, T. T. C. & Tuyen, V. P. (2021)
Predicting electrokinetic coupling and
electrical conductivity in fractured media using
a fractal distribution of tortuous capillary
fractures. Applied Sciences, 11 (11), 5121.
[4] Thanh, L. D., Nghia, V. N., Do, V. P., Du,
T. P. & Jougnot, D. (2023) A unified model
for the permeability, electrical conductivity
and streaming potential coupling coefficient
in variably saturated fractured media.
Geophy. Pros., 71, 279 - 291.
[5] Wildenschild, D., Roberts, J. J. & Carlberg,
E. D. (2000) On the relationship between
microstructure and electrical and hydraulic
properties of sandclay mixtures, Geophys.
Res. Lett., 27 (19), 3085-3088.