CHUYÊN Đ : ỀPH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH VÔ TƯƠ Ả ƯƠ Ỉ
I. PH NG PHÁP BI N Đ I T NG Đ NG ƯƠ Ế Ổ ƯƠ ƯƠ
1. Bình ph ng 2 v c a ph ng trình ươ ế ủ ươ
a) Ph ng pháp ươ
Thông th ng n u ta g p ph ng trình d ng : ườ ế ặ ươ ạ
A B C D+ = +
, ta th ngườ
bình ph ng 2 v , đi u đó đôi khi l i g p khó khăn hãy gi i ví d sauươ ế ề ạ ặ ả ụ
( )
3 3 3 3
3 3
3 .A B C A B A B A B C+ = ⇒ + + + =
và ta s d ng phép th :ử ụ ế
3 3
A B C+ =
ta đ c ph ng trình : ượ ươ
3
3 . .A B A B C C+ + =
b) Ví d ụ
Bài 1. Gi i ph ng trình sau : ả ươ
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +
Gi i: Đk ả
0x
≥
Bình ph ng 2 v không âm c a ph ng trình ta đ c:ươ ế ủ ươ ượ
( ) ( ) ( )
1 3 3 1 2 2 1x x x x x+ + + = + +
, đ gi i ph ng trình này dĩ nhiên là không khóể ả ươ
nh ng h i ph c t p m t chút .ư ơ ứ ạ ộ
Ph ng trình gi i s r t đ n gi n n u ta chuy n v ph ng trình :ươ ả ẽ ấ ơ ả ế ể ế ươ
3 1 2 2 4 3x x x x+ − + = − +
Bình ph ng hai v ta có : ươ ế
2 2
6 8 2 4 12 1x x x x x+ + = + ⇔ =
Th l i x=1 th aử ạ ỏ
Nh n xét : ậN u ph ng trình :ế ươ
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +
Mà có :
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x k x+ = +
, thì ta bi n đ i ph ng trình v d ng :ế ổ ươ ề ạ
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x k x g x− = −
sau đó bình ph ng ,gi i ph ng trình h qu ươ ả ươ ệ ả
Bài 2. Gi i ph ng trình sau : ả ươ
3
2
11 1 3
3
xx x x x
x
++ + = − + + +
+
Gi i:ả
Đi u ki n : ề ệ
1x≥ −
Bình ph ng 2 v ph ng trình ?ươ ế ươ
N u chuy n v thì chuy n nh th nào? ế ể ế ể ư ế
Ta có nh n xét : ậ
3
2
1. 3 1. 1
3
xx x x x
x
++ = − + +
+
, t nh n xét này ta có l i gi i nhừ ậ ờ ả ư
sau :
3
2
1
(2) 3 1 1
3
xx x x x
x
+
⇔ − + = − + − +
+
Bình ph ng 2 v ta đ c: ươ ế ượ
3
2 2
1 3
11 2 2 0
31 3
x
xx x x x
xx
= −
+= − − ⇔ − − = ⇔
+= +
Th l i :ử ạ
1 3, 1 3x x= − = +
l nghi m ệ
Qua l i gi i trên ta có nh n xét : N u ph ng trình :ờ ả ậ ế ươ
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +
Mà có :
( ) ( ) ( ) ( )
. .f x h x k x g x=
thì ta bi n đ i ế ổ
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x k x g x− = −
2. Tr c căn th c ụ ứ
2.1. Tr c căn th c đ xu t hi n nhân t chung ụ ứ ể ấ ệ ử
a) Ph ng pháp ươ
1
M t s ph ng trình vô t ta có th nh m đ c nghi m ộ ố ươ ỉ ể ẩ ượ ệ
0
x
nh v y ph ngư ậ ươ
trình luôn đ a v đ c d ng tích ư ề ượ ạ
( )
( )
0
0x x A x− =
ta có th gi i ph ng trìnhể ả ươ
( )
0A x =
ho c ch ng minh ặ ứ
( )
0A x =
vô nghi m , ệchú ý đi u ki n c a nghi m c aề ệ ủ ệ ủ
ph ng trình đ ta có th đánh gía ươ ể ể
( )
0A x =
vô nghi mệ
b) Ví d ụ
Bài 1 . Gi i ph ng trình sau : ả ươ
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
Gi i: ả
Ta nh n th y : ậ ấ
( ) ( )
( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − −
v
( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2x x x x− − − + = −
Ta có th tr c căn th c 2 v : ể ụ ứ ế
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
− + −
=− + − +
− + + − +
D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a ph ng trình .ể ậ ấ ệ ấ ủ ươ
Bài 2. Gi i ph ng trình sau ả ươ (OLYMPIC 30/4 đ ngh )ề ị :
2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
Gi i: ảĐ ph ng trình có nghi m thì : ể ươ ệ
2 2
5
12 5 3 5 0 3
x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥
Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a ph ng trình , nh v y ph ng trình có th phânậ ấ ệ ủ ươ ư ậ ươ ể
tích v d ng ề ạ
( ) ( )
2 0x A x− =
, đ th c hi n đ c đi u đó ta ph i nhóm , tách nh sau :ể ự ệ ượ ề ả ư
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
÷
+ + + +
D dàng ch ng minh đ c : ễ ứ ượ
2 2
2 2 5
3 0, 3
12 4 5 3
x x x
x x
+ +
− − < ∀ >
+ + + +
Bài 3. Gi i ph ng trình :ả ươ
2 33
1 1x x x− + = −
Gi i :Đk ả
3
2x≥
Nh n th y x=3 là nghi m c a ph ng trình , nên ta bi n đ i ph ng trình ậ ấ ệ ủ ươ ế ổ ươ
( )
( )
( )
( )
2
2 3
3
2 3
2 2
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1 2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
− + +
+
− − + − = − − ⇔ − + =
− +
− + − +
Ta ch ng minh : ứ
( )
()
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<− +
V y pt có nghi m duy nh t x=3ậ ệ ấ
2.2. Đ a v “h t m “ư ề ệ ạ
a) Ph ng pháp ươ
N u ph ng trình vô t có d ng ế ươ ỉ ạ
A B C+ =
, mà :
A B C
α
− =
dây C có th là hàng s ,có th là bi u th c c a ở ể ố ể ể ứ ủ
x
. Ta có th gi i nh sau :ể ả ư
A B C A B
A B
α
−= ⇒ − =
−
, khi đĩ ta có h : ệ
2
A B C A C
A B
α
α
+ =
⇒ = +
− =
b) Ví d ụ
2
Bài 4. Gi i ph ng trình sau :ả ươ
2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +
Gi i:ả
Ta th y : ấ
( ) ( )
( )
2 2
2 9 2 1 2 4x x x x x+ + − − + = +
4x= −
không ph i là nghi m ả ệ
Xét
4x
≠ −
Tr c căn th c ta có :ụ ứ
2 2
2 2
2 8 4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
xx x x x x
x x x x
+= + ⇒ + + − − + =
+ + − − +
V y ta có h : ậ ệ
2 2
2
2 2
0
2 9 2 1 2 2 2 9 6 8
2 9 2 1 4 7
x
x x x x x x x x
x x x x x
=
+ + − − + =
⇒ + + = + ⇔
=
+ + + − + = +
Th l i th a; v y ph ng trình có 2 nghi m : x=0 v x=ử ạ ỏ ậ ươ ệ
8
7
Bài 5. Gi i ph ng trình : ả ươ
2 2
2 1 1 3x x x x x+ + + − + =
Ta th y : ấ
( ) ( )
2 2 2
2 1 1 2x x x x x x+ + − − + = +
, nh v y không th a mãn đi u ki n trên.ư ậ ỏ ề ệ
Ta có th chia c hai v cho x và đ t ể ả ế ặ
1
tx
=
thì bài toán tr nên đ n gi n h nở ơ ả ơ
Bài t p đ nghậ ề ị
Gi i các ph ng trình sau :ả ươ
1)
( )
2 2
3 1 3 1x x x x+ + = + +
2)
4 3 10 3 2x x− − = −
(HSG Toàn Qu c 2002)ố
3)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 5 2 10x x x x x− − = + − −
4)
23
4 1 2 3x x x+ = − + −
5)
2 33
1 3 2 3 2x x x− + − = −
6)
23
2 11 21 3 4 4 0x x x− + − − =
(OLYMPIC 30/4-2007)
7)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − +
8)
2 2
2 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = +
9)
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
3. Ph ng trình bi n đ i v tích ươ ế ổ ề
S d ng đ ng th c ử ụ ẳ ứ
( ) ( )
1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − =
( ) ( )
0au bv ab vu u b v a+ = + ⇔ − − =
2 2
A B=
Bài 1. Gi i ph ng trình : ả ươ
23
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +
Gi i:ả
( ) ( )
3 3
0
1 1 2 1 0 1
x
pt x x x
=
⇔ + − + − = ⇔ = −
Bi 2. Gi i ph ng trình : ả ươ
2 23 3
3 3
1x x x x x+ + = + +
Gi i:ả
+
0x=
, không ph i là nghi m ả ệ
3
