BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN THỊ ÁI PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2015
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI
Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng
Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015.
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài Trong lý thuyết và ứng dụng ta thƣờng gặp các bài toán cực trị có điều kiện (tìm cực đại và cực tiểu). Khi giải một bài toán cực trị ngƣời ta thƣờng tìm cách đƣa nó về các bài toán đơn giản hơn: với số biến hoặc số ràng buộc ít hơn, thậm chí không có ràng buộc. Ý tƣởng này đƣợc thể hiện rõ nét trong phƣơng pháp nhân tử Lagrange và trong một số phƣơng pháp tối ƣu khác.
Phƣơng pháp nhân tử Lagrange là một phƣơng pháp tìm cực trị của hàm số với các ràng buộc cho bởi phƣơng trình. Phƣơng pháp tƣơng đối hiệu quả, dễ áp dụng. Trong chƣơng trình toán đại học, phƣơng pháp này cũng đã đƣợc giới thiệu và áp dụng để giải một số bài toán cực trị có điều kiện. Tuy nhiên, hầu hết các giáo trình tiếng việt, chƣa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp nhân tử Lagrange. Trong chƣơng trình toán phổ thông, bài toán cực trị có điều kiện cũng xuất hiện dƣới dạng tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức với các điều kiện nào đó cho các ẩn số. Các bài toán dạng này thƣờng xuất hiện trong các tài liệu, trong các kỳ thi dành cho học sinh giỏi.
Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phƣơng pháp giải là cần thiết cho giáo viên và có thể đƣa vào giảng dạy bồi dƣỡng học sinh giỏi và học sinh trƣờng chuyên, giúp học sinh có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị của hàm nhiều biến. Góc nhìn này sẽ giúp các học sinh THPT giải các bài cực trị trong các kì thi học sinh giỏi và các đề thi Đại học. Việc nắm chắc cơ sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phƣơng pháp giải cũng giúp cho giáo viên có khả năng giải và sáng tạo ra các bài toán mới, điều này đặc biệt quan trọng khi ra đề thi học sinh giỏi.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán cực trị có điều
2
kiện, các phƣơng pháp giải cũng nhƣ cách sáng tạo ra các bài toán mới, tôi chọn đề tài “ Phƣơng pháp Lagrange cho bài toán cực trị có điều kiện và ứng dụng” để làm đề tài cho luận văn cao học của mình.
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài - Nắm đƣợc bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều
kiện cần và đủ của cực trị.
- Phƣơng pháp nhân tử Lagrange và ứng dụng để giải bài toán
cực trị của hàm nhiều biến.
- Sáng tạo đƣợc bài toán mới vận dụng phƣơng pháp này. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Sử dụng Phƣơng pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị trong hình học và đại số trong chƣơng trình toán ở cấp phổ thông và ở cấp đại học.
- Sáng tạo ra một số bài toán mới. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phân tích, tổng hợp các tài liệu trong nƣớc và ngoài nƣớc để
tìm hiểu những vấn đề liên quan đến đề tài. - Hệ thống hóa lý thuyết đã thu thập. - Thảo luận, trao đổi. - Dựa trên các kết quả đã đạt đƣợc để sáng tạo và giải một số
bài toán mới.
5. Cấu trúc luận văn: Phần mở đầu. Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Chƣơng 2. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC
PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
Chƣơng 3. ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN
3
CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN Một số khái niệm và tính chất cơ bản:
- Với mỗi số nguyên không âm n, tập là tập tất cả các
bộ n số thực có thứ tự. Một phần tử của đƣợc viết là:
.
- Trên ta định nghĩa phép cộng và phép nhân nhƣ sau: với
mọi và với mọi ,
, .
- Tập
trên tạo thành một không gian vectơ n chiều trên cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hƣớng ở và thƣờng đƣợc
gọi là không gian vectơ hoặc không gian cho ngắn gọn.
- Không gian vectơ có một cơ sở chính tắc:
. Khi
đó, một vectơ trong có thể đƣợc viết dƣới dạng: .
- Tích vô hƣớng trên là ánh xạ: xác
định bởi .
- Độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x đƣợc định nghĩa bởi:
.
- Không gian cùng với tính vô hƣớng tạo thành một
không gian Hilbert.
4
Định nghĩa 1.1.1. (Hình cầu mở và hình cầu đóng)
- Hình cầu mở tâm tại điểm và bán kính là tập
các điểm trong định nghĩa bởi
.
- Hình cầu đóng tâm tại điểm và bán kính là
tập các điểm trong định nghĩa bởi
.
Định nghĩa 1.1.2. (Tập mở trong
) Tập sao cho hình cầu mở với mỗi tồn tại là mở nếu .
)
Định lý 1.1.3. (Định lý về các tập mở trong 1. Tập rỗng là một tập mở.
là một tập mở.
2. 3. Hợp các tập mở là một tập mở. 4. Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở. Định lý 1.1.4. (Mọi tập mở là họ của các hình cầu mở) Giả sử
là một tập mở. Với mỗi chọn sao cho
. Khi đó .
Định nghĩa 1.1.5. (Tập đóng trong ) là đóng khi
và chỉ khi phần bù của trong : là tập mở.
Định lý 1.1.6. Ta có một số tính chất sau của các tập đóng: 1. Tập rỗng là một tập đóng.
là một tập đóng.
2. Toàn không gian 3. Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng. 4. Giao các tập đóng là một tập đóng. Định lí 1.1.7. (Các tập đóng trong
Giả sử là một tập đóng bất kì và các khoảng đóng) . Khi đó: trong
5
, với các số thực và tập chỉ số
nào đó.
Định nghĩa 1.1.8. (Tập bị chặn trong ) Tập
đƣợc gọi là bị chặn nếu nó chứa đƣợc trong một hình cầu (mở hay đóng) bán kính nào đó.
Định lý 1.1.9. (Cận trên và cận dưới của một tập trong 1. Giả sử
là một tập mở bị chặn và giả sử là cận trên nhỏ nhất của ) là một cận . Khi đó, và
dưới lớn nhất của . và
là một tập đóng bị chặn và giả sử
2. Giả sử cận dưới lớn nhất của và là cận trên nhỏ nhất của là một . Khi đó,
và .
Định nghĩa 1.1.10. (Heine – Tập Compact trong ) Tập
đƣợc gọi là Compact khi và chỉ khi đóng và bị chặn.
1.2. HÀM NHIỀU BIẾN
Định nghĩa 1.2.11. Cho . Khi đó, ánh xạ
xác định bởi
.
- Khi , đƣợc gọi là hàm thực nhiều biến.
- Khi , đƣợc gọi là hàm vectơ nhiều biến.
Tập A đƣợc gọi là miền xác định của hàm số, các số
đƣợc gọi biến số của hàm f.
Định nghĩa 1.2.12. (Giới hạn của hàm vectơ n biến) Cho hàm
vectơ và điểm .
Ta nói rằng hàm tiến đến giới hạn khi tiến đến
, hay là giới hạn của hàm tại , nếu với mọi cho trƣớc
tồn tại ( phụ thuộc vào ) sao cho với mọi thỏa mãn
6
ta có . Khi đó ta viết hay
khi .
là sự hội tụ theo tọa độ nên
Vì sự hội tụ trong không gian với ta còn dùng kí hiệu
.
Định nghĩa 1.2.13. (Hàm liên tục nhiều biến)
a. Hàm đƣợc gọi là liên tục tại một điểm
. trên A nếu
b. Hàm đƣợc gọi là liên tục trên nếu
.
liên tục tại mọi điểm c.Hàm đƣợc gọi là liên tục đều trên nếu với mọi
tồn tại (chỉ phụ thuộc vào ) sao cho với mọi
thỏa mãn ta đều có .
d. Hàm liên tục tại khi
và chỉ khi các hàm thành phần của nó liên tục tại .
Định nghĩa 1.2.14. (Hàm liên tục theo từng biến) Hàm
đƣợc gọi là liên tục theo biến tại điểm
nếu với mọi tồn tại sao cho với mọi
thỏa mãn
. ta đều có
Định lí 1.2.15. Cho hàm là hàm liên tục
trên . Nếu là tập Compact trong thì là tập Compact
trong .
7
Định lí 1.2.16. Nếu là hàm liên tục trên và
là tập Compact trong thì hàm đạt được cận trên đúng và
cận dưới đúng trên .
Định nghĩa 1.2.17. (Hàm bị chặn) Hàm
đƣợc gọi là bị chặn trên nếu là tập bị chặn trong , tức là
nếu tồn tại số sao cho với mọi .
1.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO
1.3.1. Đạo hàm riêng
Giả sử là cơ sở chính tắc trong không gian ,
là một tập hợp mở trong và là một hàm số của biến
số, .
Định nghĩa 1.3.18. Đạo hàm riêng cấp một: Xét giới hạn
,
Nếu nó tồn tại thì đƣợc gọi là đạo hàm riêng thứ của hàm
tại hay đạo hàm riêng theo biến của hàm tại và kí hiệu là
hay hoặc .
Định nghĩa 1.3.19. Đạo hàm riêng cấp cao: Cho tập hợp mở
và điểm . Giả sử là hàm số sao cho
tồn tại với mọi . Nhƣ thế ta có ánh xạ
.
Nếu hàm số có đạo hàm theo biến thứ tại tức là nếu
tồn tại thì đạo hàm này đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp hai
của tại theo các biến thứ các biến thứ và thứ hay theo các
biến và và đƣợc kí hiệu là hay
8
.
Định nghĩa 1.3.20. (Gradien của ): là hàm vectơ mà thành
phần là các đạo hàm riêng theo từng biến của . Kí hiệu
hoặc xác định bởi .
1.3.2. Đạo hàm của hàm hợp * Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp
Cho hàm :
.
* Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến
Giả sử là tập mở trong , và . Ta kí
hiệu toán tử
,
xác định nhƣ sau , ở đây ,
Và là luỹ thừa hình thức
.
Định lí 1.3.21. (Công thức Taylor) Giả sử là một tập mở
trong , và sao cho . Cho ,
khi đó với mọi tồn tại sao cho
9
.
1.3.3. Vi phân hàm nhiều biến Định nghĩa 1.3.22. (Vi phân cấp một)
Giả sử là tập mở trong , là hàm vectơ xác
định trên sao cho với mọi
Trong đó, là các hàm thành phần của
hàm vectơ , xác định trên .
Định nghĩa 1.3.23. (Vi phân cấp cao)
Cho tập hợp mở , , . Giả sử
. Nhƣ ta đã biết hàm khả vi tại và với
ta có
Mỗi đạo hàm riêng là một ánh xạ từ vào . Vì
có các đạo hàm riêng liên tục nên nó là hàm khả vi tại và với
ta có .
Biểu thức
Là một dạng song tuyến tính trên , ma trận của dạng
song tuyến tính là ma trận vuông . Ánh xạ song
10
tuyến tính từ
xác định bởi ma trận này đƣợc gọi là đạo
hàm cấp hai của tại , kí hiệu là hay .
Nếu lấy thì biểu thức
Đƣợc gọi là vi phân cấp hai của tại , kí hiệu là .
Thông thƣờng ta kí hiệu , khi đó vi phân cấp hai đƣợc viết
dƣới dạng .
Tƣơng tự nhƣ trên thì ta sẽ định nghĩa đƣợc các vi phân cấp
cao hơn của .
1.4. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM Định nghĩa 1.4.24. (Hàm lồi) Cho là một tập con lồi của
. Một hàm xác định trên một tập lồi đƣợc gọi là lồi nếu với
mỗi và mỗi , ta có:
.
Hơn nữa, nếu với mỗi và , ta có:
thì đƣợc gọi là
lồi chặt.
Định nghĩa 1.4.25. (Hàm lõm) Một hàm xác định trên một
tập lồi đƣợc gọi là lõm nếu hàm là lồi. Hàm là lõm
chặt nếu là lồi chặt.
Định nghĩa 1.4.26. (Ma trận xác định) Ma trận đƣợc gọi là xác định dƣơng (tƣơng ứng xác
định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ dạng
toàn phƣơng xác định bởi
11
chỉ nhận các giá trị dƣơng (tƣơng ứng chỉ nhận các giá trị âm;
nhận cả giá trị âm và giá trị dƣơng), tức là .
Nếu dạng toàn phƣơng chỉ nhận giá trị không âm (tƣơng ứng
chỉ nhận giá trị không dƣơng), ma trận đƣợc gọi là nửa xác định
dƣơng (tƣơng ứng nửa xác định âm) và ma trận không xác định chính
xác khi nó không là ma trận nửa xác định dƣơng hoặc ma trận nửa
xác định âm.
Mệnh đề 1.4.27. Cho và là những hàm lồi trên tập lồi
. Khi đó hàm là lồi trên .
Mệnh đề 1.4.28. Cho là một hàm lồi trên tập lồi . Khi
đó là hàm lồi với bất kì .
Từ hai mệnh đề trên chúng ta có thể nhận thấy rằng tổ hợp
của các hàm lồi cũng lồi.
Cuối cùng, chúng ta xét các tập xác định bởi các bất đẳng thức
ràng buộc cho hàm lồi.
Mệnh đề 1.4.29. Cho là một hàm lồi trên tập lồi . Tập
là lồi với mỗi số thực . Ta thấy rằng, vì
giao của các tập lồi cũng là tập lồi nên tập các điểm đồng thời thỏa là một mãn , Sao cho với mỗi
hàm lồi, xác định một tập lồi. Điều này rất quan trọng trong toán học, bởi vì tập ràng buộc thường được định nghĩa bằng cách này.
Mệnh đề 1.4.30. (Tính chất của hàm lồi khả vi) Cho .
Khi đó là lồi trên một tập lồi nếu và chỉ nếu
, với mọi .
Đối với hàm khả vi cấp hai liên tục thì có một đặc tính khác
trong tính lồi.
Mệnh đề 1.4.31. Cho . Khi đó là lồi trên tập lồi
12
.
chứa một điểm trong nếu và chỉ nếu ma trận Hessian F (ma trận của đạo hàm riêng cấp hai) là nửa xác định dương trong 1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
1.5.1. Cực trị tự do
Cho hàm . Bài toán cực trị tự do là bài toán: tìm
sao cho
hoặc
Nhƣ vậy, bài toán cực trị tự do là bài toán tìm để hàm f đạt
. Những giá trị đó chúng
giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên ta gọi là cực trị toàn cục (xem định nghĩa ở bên dƣới). Định nghĩa 1.5.32. (Cực trị địa phƣơng)
1. Một điểm
phƣơng của nếu tồn tại đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa với mọi sao cho
.
Nếu với mọi , thì đƣợc
gọi là điểm cực tiểu địa phƣơng thực sự của trên .
2. Một điểm nếu tồn tại đƣợc gọi là một điểm cực đại địa phƣơng . với mọi sao cho của
Nếu với mọi , thì đƣợc
gọi là điểm cực tiểu địa phƣơng thực sự của trên .
Định nghĩa 1.5.33. (Cực trị toàn cục)
1. Một điểm đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục
của nếu với mọi .
Nếu với mọi thì đƣợc gọi là
một điểm cực tiểu toàn cục thực sự của trên .
2. Một điểm đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục
13
của
nếu với mọi .
Nếu với mọi thì đƣợc gọi là
một điểm cực đại toàn cục thực sự của trên .
i. Điều kiện cần cấp một
Định lý 1.5.34. (Định lý Fermat) Cho hàm xác định
trên . Nếu là một điểm cực trị địa phương của trên thì
.
Định nghĩa 1.5.35. Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của
đều bằng 0 đƣợc gọi là điểm dừng của hàm. Hàm chỉ có thể đạt
cực trị tại các điểm dừng. Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần để có cực trị, nên điểm dừng chƣa chắc là điểm cực trị.
Điều kiện cần cho điểm cực trị địa phƣơng dẫn đến
trình (mỗi một phƣơng trình cho mỗi thành phần của phƣơng ẩn ) với
), trong nhiều trƣờng hợp có thể giải để xác
(các thành phần của định nghiệm. Chúng ta minh họa bằng ví dụ sau:
ii. Điều kiện cần cấp hai Mệnh đề 1.5.36. Giả sử là một điểm cực tiểu địa phương
trên của hàm . Khi đó, :
, i.
ii. , với mọi d. (1.5.2)
Để đơn giản chúng ta thường kí hiệu , ma trận
của đạo hàm riêng cấp hai của , ma trận Hessian của kí hiệu là
. Điều kiện (1.5.2) là tương đương với ma trận là nửa
xác định dương.
iii. Điều kiện đủ cấp hai
Mệnh đề 1.5.37. Cho là một hàm xác định trong .
14
Giả sử điểm
thỏa mãn các điều kiện
1. ,
2. xác định dấu.
Khi đó là một điểm cực tiểu địa phương thực sự của
nếu xác định dương và là một điểm cực đại địa phương
thực sự của nếu xác định âm. Nếu không xác định
thì
không phải là cực trị của f. Nhận xét 1.5.38. Chúng ta có thể dùng tiêu chuẩn sau để
nhận biết ma trận là xác định dương hay xác định âm:
1. Nếu tất cả các định thức con chính của đều dương
là điểm cực tiểu của nó.
thì điểm dừng 2. Nếu có các định thức con chính cấp lẻ âm và tất cả
là điểm
các định thức con chính cấp chẵn dương thì điểm dừng cực đại của nó.
Nhận xét 1.5.39. Đối với trường hợp hàm hai biến, chúng ta
có tiêu chuẩn chi tiết hơn như sau: Giả sử hàm đi từ
có điểm dừng . Gọi là định thức của ma trận
, tức là .
1. Nếu thì điểm dừng là điểm cực trị của hàm
số:
là điểm cực đại nếu ,
là điểm cực tiểu nếu .
2. Nếu thì không phải cực trị của hàm f .
3. Nếu ta không kết luận gì về cực trị tại .
(Muốn có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác).
1.5.2. Cực trị có điều kiện
15
Cho tập , hàm . Bài toán cực trị có
điều kiện là bài toán: tìm sao cho
hoặc .
Nhƣ vậy, bài toán cực trị có điều kiện là bài toán tìm để
hàm f đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên tập D. Những giá trị đó chúng ta gọi là cực trị toàn cục có điều kiện (xem định nghĩa ở bên dƣới).
Định nghĩa 1.5.40. (Cực trị địa phƣơng có điều kiện) Cho liên tục trên một tập Compact . Lúc đó, bài toán có
ít nhất một nghiệm.
1. Một điểm
đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng có nếu có tồn tại sao cho điều kiện của
với mọi .
Nếu với mọi , thì
đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực sự của
trên .
2. Một điểm
điều kiện của đƣợc gọi là một điểm cực đại địa phƣơng có nếu có tồn tại sao cho
với mọi .
Nếu với mọi .., thì đƣợc gọi là
một điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực sự của trên
.
Định nghĩa 1.5.41. (Cực trị toàn cục có điều kiện) 1. Một điểm
đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục có sao cho nếu có tồn tại điều kiện của
với mọi .
Nếu với mọi , thì đƣợc
16
gọi là một điểm cực tiểu toàn cục thực sự có điều kiện của
trên
.
2. Một điểm đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục có điều
kiện của nếu với mọi .
Nếu với mọi thì đƣợc gọi
là một điểm cục đại toàn cục thực sự có điều kiện của trên .
* Sự tồn tại nghiệm Định lý 1.5.42. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm (tối ưu) của
(P) là tồn tại sao cho tập
khác , đóng và bị chặn dưới.
Định lý 1.5.43. Cho là một hàm lồi xác định trên tập lồi
. Ký hiệu là tập tất cả các điểm cực tiểu của hàm . Khi đó
là tập lồi, và bất kì điểm cực tiểu địa phương nào của cũng là
cực tiểu toàn cục.
Định lý 1.5.44. Cho là hàm lồi trên tập lồi . Nếu
, có một điểm sao cho, với mọi ,
thì là một điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện của trên .
Định nghĩa 1.5.45. (Hƣớng chấp nhận đƣợc) là một tập lồi), một vectơ Cho ( là một hƣớng
chấp nhận đƣợc tại nếu có một thỏa mãn với
mọi
, Mệnh đề 1.5.46. (Điều kiện cần cấp một ) Cho là tập hợp
con của và cho là một hàm trên . Nếu là một
điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của trên , khi đó với bất
kì là một hướng chấp nhận được tại , ta có
mà
17
Mệnh đề 1.5.47. (Điều kiện cần cấp 2) Cho là một
tập con lồi của và cho là một hàm trên . Nếu là
một điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của trên , khi đó với
bất kì mà d là một hướng chấp nhận được tại . Ta có:
i. (1.5.4)
ii. Nếu thì khi đó (1.5.5)
Mệnh đề 1.5.48. (Điều kiện đủ) Cho là một tập con
lồi của và cho là một hàm trên . Nếu thỏa
mãn:
i. ;
ii. thỏa mãn .
thì x* là cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D.
CHƢƠNG 2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI
2.1. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Chúng ta xem xét Bài toán phi tuyến dạng:
(2.2.1)
trong đó và các hàm liên tục, và có các
18
đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Để kí hiệu đơn giản, chúng ta giới
thiệu hàm giá trị vectơ và (2.2.1) đƣợc viết lại
(2.2.2)
Với đƣợc xem nhƣ là hàm điều kiện, trong khi đó
điều kiện định, trong chƣơng này, chúng ta giả sử rằng là một điều kiện cố định. Bỏ qua điều kiện cố là cả không gian
hoặc nghiệm của (2.2.2) nằm ở phần trong của
. Một điểm mà thỏa mãn tất cả các hàm điều kiện thì đƣợc gọi là điểm chấp nhận đƣợc. Tập tất cả các điểm chấp nhận đƣợc gọi là tập điểm chấp nhận đƣợc.
Bài toán (2.2.2) là một trƣờng hợp đặc biệt của bài toán tìm
cực trị tổng quát ở mục 1.5.2. Vì ,
ta có bài toán (2.2.2) tƣơng đƣơng với bài toán tìm .
Định nghĩa 2.1.1. (Điểm chính quy) Một điểm thỏa mãn
điều kiện đƣợc gọi là điểm chính quy của điều kiện nếu
là độc lập tuyến các vectơ gradient
tính.
Chú ý rằng nếu là affine, thì sự chính quy
tƣơng đƣơng với có hạng là . Tại một điểm chính quy của
mặt S định nghĩa bởi thì không gian tiếp xúc là mặt
.
2.1.1. Điều kiện cần cấp một Định lý 2.1.2. Cho là một điểm chính quy của các điều
19
kiện
và là một điểm cực trị địa phương có điều kiện (một
điểm cực tiểu hoặc cực đại) của thỏa mãn các điều kiện này. Khi
đó tất cả thỏa mãn
, (2.2.3)
cũng phải thỏa mãn (2.2.4)
Định lý 2.1.3. Cho
kiện của với các điều kiện là một điểm cực trị địa phương có điều là một điểm chính quy và
của điều kiện này. Khi đó, có một sao cho
.
(2.2.5)
Từ Định lý 2.1.2 trước nếu là nghiệm của bài toán (2.2.2)
thì có một thỏa mãn và cùng với
điều kiện cho ta một hệ gồm phương trình với
ẩn gồm .
Từ đó, rất thuận lợi để giới thiệu hàm Lagrange kết hợp với
bài toán có điều kiện. Định nghĩa hàm Lagrange như sau
. (2.2.6)
Khi đó, các điều kiện cần có thể được biểu diển dưới dạng
, (2.2.7)
. (2.2.8)
Cách biểu diễn này là một sự trình bày đơn giản của các điều
kiện cần.
2.1.2. Điều kiện cần cấp hai
Trong suốt phần này, chúng ta giả sử .
Định lí 2.1.4. Giả sử và với kiện của là một cực tiểu địa phương có điều là một điểm chính quy của các điều
20
kiện này. Khi đó, tồn tại một
sao cho
. (2.2.9)
Nếu là không gian tiếp xúc , thì
khi đó ma trận
(2.2.10)
(ở đây F, H lần lượt là ma trận Hessian của f, h) là nửa xác
định dương trên , tức là với mọi .
2.1.3. Điều kiện đủ cấp hai Định lý 2.1.5. Giả sử có một điểm thỏa mãn ,
và một sao cho
. (2.2.14)
Cũng giả sử rằng ma trận xác
định dương trên , nghĩa là với
thì ta luôn có . Khi đó, là một cực
tiểu địa phương có điều kiện thực sự của với .
2.2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI
2.2.1. Chuyển về bài toán không dùng phƣơng pháp nhân
tử Lagrange
Với công cụ cấp trung học phổ thông, một trong những phƣơng pháp giải bài toán nhiều biến số là làm giảm dần các biến số bằng cách tìm cực trị theo từng phƣơng.
Nếu trong (2.2.1), từ các điều kiện ràng buộc ta biểu diễn lần
lƣợt biến dƣới dạng hàm ẩn
biến,… lần lƣợt thay vào (2.2.1) ta đƣợc bài toán mới chỉ có nhƣ vậy cho đến khi hết các điều kiện ràng buộc, thì bài toán cực tiểu có điều kiện nêu trên quy về bài toán cực trị tự do biến.
21
2.2.2. Phƣơng pháp nhân tử Lagrange Trƣớc tiên ta nhắc lại Bài toán (P):
(2.3.1)
(2.3.2) Với
là các hàm có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục.
Hàm Lagrange là hàm biến số với nhân tử Lagrange
:
Theo điều kiện cần đã nhắc ở phần trƣớc. Nếu bài toán đạt cực
trị tại thì tồn tại các số sao cho bộ
là nghiệm của hệ phƣơng số
trình:
Nói cách khác điều kiện cần để bài toán đạt cực trị tại
là tồn tại các số sao cho
là điểm dừng của hàm Lagrange.
Dùng điều kiện đủ cấp hai để kiểm tra xem các điểm dừng
có là điểm cực trị hay không.
Từ đó ta có phương pháp nhân tử Lagrange tổng quát như
sau: Bƣớc 1: Xây dựng hàm Lagrange
.
22
Bƣớc 2: Tính .
Và giải hệ phƣơng trình sau đây để tìm các điểm dừng
cùng với giá trị tƣơng ứng.
Bƣớc 3: Xác định vi phân cấp 2 của .
và tính ràng buộc:
Với mỗi điểm dừng và tìm đƣợc trong Bƣớc 2, xét
(phụ thuộc ).
Nếu với mọi không đồng thời bằng 0
thỏa thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại .
Nếu với mọi không đồng thời bằng 0
thỏa thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại .
Nếu dấu của A không xác định xét theo các
không đồng thời bằng 0 thỏa thì hàm f không đạt cực
trị tại .
23
CHƢƠNG 3 ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN
3.1. GIẢI TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG 3.1.1. Các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Ý tưởng chung là: Bước 1: Chuyển bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về bài
toán cực trị có điều kiện.
Bước 2: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài
toán cực trị có điều kiện.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây với mục đích của luận văn là trình bày một số ứng dụng của phương pháp nhân tử Lagrange nên chỉ trình bày phương pháp này đưa về bài toán cực trị có điều kiện.
3.1.2. Các bài toán bất đẳng thức Ý tưởng chung: Bước 1: Từ bất đẳng thức ta đưa về dạng
. (với là dấu bất đẳng thức bất kỳ
nào đó).
Bước 2: Chuyển về bài toán cực trị có điều kiện cho hàm .
Bước 3: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị có điều kiện sao cho giá trị nhỏ nhất tìm được phải lớn hơn hoặc bằng , còn giá trị lớn nhất tìm được phải nhỏ hơn hoặc . bằng 3.2. SÁNG TẠO BÀI TOÁN
Ý tưởng để sáng tạo ra bài toán như sau: Bước 1: Chọn một hàm f và các hàm ràng buộc cụ thể. Bước 2: Giải bài toán cực trị có điều kiện tương ứng. Bước 3: Trên cơ sở bước 1 và 2, chúng ta đặt ra các bài toán
mới về tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức,….
24
KẾT LUẬN
Luận văn “Phương pháp Lagrange cho bài toán cực trị có
điều kiện và ứng dụng” đã thực hiện đƣợc các vấn đề sau:
1. Hệ thống, phân loại các kiến thức liên quan để trình bày
khái niệm cực trị, điều kiện để tồn tại cực trị.
2. Trình bày bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phƣơng trình và xây dựng giải thuật: phƣơng pháp Nhân tử Lagrange với nhiều ví dụ minh họa.
3. Tìm hiểu ứng dụng của phƣơng pháp Nhân tử Lagrange đối với những bài toán đại số và hình học từ đó góp phần sáng tạo một số bài toán khác.
Hy vọng trong thời gian tới, nội dụng của luận văn đƣợc bổ sung và hoàn thiện hơn nhằm chứng tỏ sự ứng dụng đa dạng và hiệu quả của Phƣơng pháp Nhân tử Lagrange.
