Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022
Phương pháp phần tử hữu hạn đa giác bình phương nhỏ nhất mới cho
bài toán level set
Nguyễn Trần Bá Đình1, Nguyễn Hoàng Sơn2,3
và Phan Đức Huynh4,*
1 Công ty TNHH công nghệ và kỹ thuật Nhật Bản, Việt Nam
2 Viện Khoa học Tính toán, Trường Đại học Tôn Đức Thắng, Việt Nam
3 Khoa xây dựng, Trường Đại học Tôn Đức Thắng, Việt Nam
4 Khoa xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Việt Nam
*Email: huynhpd@hcmute.edu.vn
Tóm tắt. Trong nghiên cứu này, một phương pháp phần tử hữu hạn đa giác bình phương nhỏ nhất
(LS-PFEM) mới được sử dụng để giải quyết bài toán level set (LS) đối lưu-khuếch tán không ổn
định. Để ổn định các nghiệm số mà không có các dao động phi vật lý (gradient dốc), cả quá trình
tiến hóa và tái khởi tạo của hàm LS đều được giải bằng cách tối thiểu hóa điều kiện ổn định bình
phương nhỏ nhất. Phương pháp này cung cấp các tính chất toán học tốt như sự khuếch tán số tự
nhiên và tính đối xứng xác định dương của các hệ phương trình đại số thu được. So với phần tử
tam giác (T3) và tứ giác (Q4) thông thường, phần tử đa giác có khả năng cung cấp tính linh hoạt
cao hơn trong việc tạo lưới cho các mô hình bài toán phức tạp cũng như mang lại kết quả tính toán
chính xác hơn. Trong bài báo này, phương pháp đề xuất được áp dụng để khảo sát một số bài toán
chuẩn như: vòng quay của đĩa Zalesak, dòng chảy của xoáy đơn đảo ngược theo thời gian. Kết quả
chỉ ra rằng cách tiếp cận được đề xuất có hiệu quả cao với tỷ lệ hội tụ tuyệt vời so với các phần tử
T3 và Q4.
Từ khóa: Phần tử đa giác, Phương pháp level set, Phương pháp bình phương nhỏ nhất, Phương
trình đối lưu-khuếch tán, Tái khởi tạo.
1. Mở đầu
Trong những thập kỷ qua, phương pháp level set (LSM) đã được phát triển và áp dụng cho
nhiều lĩnh vực kỹ thuật, chẳng hạn như hình học tính toán, tối ưu hóa, xử lý hình ảnh và động lực học
chất lỏng tính toán. Ý tưởng cơ bản của phương pháp này là giải một phương trình đạo hàm riêng LS
Hamilton-Jacobi cho một hàm phụ 𝜙𝜙 có giá trị hàm LS bằng 0 xác định cho hình dạng của giao diện
(interface) tự do [1, 2].
Trong quá trình giải một bài toán LS điển hình bằng LSM, hàm LS ban đầu được khởi tạo như
một hàm khoảng cách có dấu (SDF) sao cho nó thỏa mãn phương trình Eikonal [2]. Trong suốt quá
trình phát triển của giao diện, hàm LS không đảm bảo đặc tính SDF và trở nên quá phẳng hoặc quá
dốc do các sai số tích lũy. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các kỹ thuật tái khởi
tạo [3, 4, 5, 6]. Sussman và cộng sự (1994) [3] đã trình bày một phương pháp tái khởi tạo trong đó một
phương trình đạo hàm riêng hypebol được giải đến trạng thái ổn định. Kết quả của họ cho thấy rằng
hàm LS cần phải được tái khởi tạo sau mỗi bước thời gian để giữ cho nghiệm chính xác. Tuy nhiên,
phương pháp này dẫn đến sự dịch chuyển đáng kể của giao diện và thời gian đạt đến trạng thái ổn định
là quá lâu. Elias và cộng sự (2007) [6] đã đề xuất một phương pháp mới để tính toán các hàm khoảng
cách trong lưới phi cấu trúc bởi áp đặt sự thỏa mãn của phương trình Eikonal ở cấp phần tử. Phương
pháp này dễ thực hiện và có thể được sử dụng dễ dàng trong các bộ giải phần tử hữu hạn vì tất cả
thông tin cần thiết đều có sẵn hoặc được xây dựng sẵn dưới dạng các cấu trúc dữ liệu.
Lưu ý rằng hầu hết các nghiên cứu trên đều tập trung vào các phần tử T3 và Q4 để giải quyết
các bài toán LS. Trong khi đó, cả hai phần tử này đều tồn tại những ưu, nhược điểm nhất định. Các
phần tử T3 thích hợp để tạo lưới có dạng hình học phức tạp, nhưng độ chính xác và độ hội tụ của
401
Nguyễn Trần Bá Đình, Nguyễn Hoàng Sơn và Phan Đức Huynh
nghiệm thấp. Ngược lại, độ chính xác và độ hội tụ nghiệm của phần tử Q4 cao nhưng khả năng tạo
lưới cho các mô hình bài toán phức tạp của nó vẫn còn nhiều hạn chế. Trong những năm gần đây,
phương pháp phần tử hữu hạn đa giác với rất nhiều tính năng tốt đã được ứng dụng rộng rãi trong các
bài toán cơ học. Tuy nhiên, việc sử dụng nó vào LSM vẫn còn nhiều hạn chế. So với các phần tử T3
và Q4, phần tử đa giác có khả năng cung cấp tính linh hoạt cao hơn trong việc tạo lưới cho các mô
hình bài toán phức tạp cũng như mang lại kết quả tính toán chính xác hơn [7, 8].
Trong khuôn khổ của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) cho LSM, sử dụng phương pháp
Galerkin tiêu chuẩn để rời rạc miền không gian là phương pháp đơn giản và phổ biến nhất. Tuy nhiên,
phương pháp này dễ gây ra hiện tượng dao dộng của nghiệm [4]. Để giải quyết vấn đề này, phương
pháp bình phương nhỏ nhất tiêu chuẩn [1, 4] sẽ được áp dụng trong nghiên cứu này. Điều khác biệt ở
đây là chúng ta không chỉ giới hạn trong việc sử dụng phần tử T3 và Q4 mà còn mở rộng ra cho cả
phần tử đa giác. Hiệu quả của phương pháp này được khảo sát bởi một số bài toán chuẩn như: vòng
quay của đĩa Zalesak, dòng chảy của xoáy đơn đảo ngược theo thời gian.
Phần còn lại của bài viết này được tổ chức như sau: phần tiếp theo trình bày lý thuyết của
phương pháp LS thông thường. Phần 3 tập trung vào việc xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn đa
giác (Poly-FEM) cho các bài toán LS. Các kết quả số được trình bày và thảo luận trong phần 4. Sau
cùng, một số kết luận sẽ được rút ra trong phần 5.
2. Phương pháp level set
2.1. Quá trình tiến hóa của hàm level set
Trong LSM [4], ta giả sử một miền tính toán 𝒟𝒟⊂ℝ2 chứa một miền con 𝛺𝛺 sao cho 𝛺𝛺⊂𝒟𝒟. Với
một điểm bất kỳ 𝒙𝒙∈𝒟𝒟, ta xác định một hàm LS 𝜙𝜙=𝜙𝜙(𝒙𝒙) để biểu diễn cho một bề mặt, như được mô
tả như trong Hình 1 sao cho
�𝜙𝜙(𝒙𝒙)< 0 ⇔∀𝒙𝒙∈𝛺𝛺\𝜕𝜕𝛺𝛺
𝜙𝜙(𝒙𝒙)= 0 ⇔∀𝒙𝒙∈𝜕𝜕𝛺𝛺
𝜙𝜙(𝒙𝒙)> 0 ⇔∀𝒙𝒙∈𝒟𝒟\(𝛺𝛺∪𝜕𝜕𝛺𝛺)
(1)
Hình 1. Hình minh họa hàm level trong thiết kế 2D: (a) bề mặt level set, và (b) các miền và giao diện
tính toán
Phần giao nhau giữa 𝛺𝛺 và 𝒟𝒟 được gọi là giao diện, 𝜕𝜕𝛺𝛺. Nó được biểu thị một cách ngầm định
bởi giá trị bằng 0 của hàm LS trong Eq. (1), tức là {∀𝒙𝒙∈𝒟𝒟∶𝜙𝜙(𝒙𝒙)= 0}. Sự phát triển của giao diện
402
Phương pháp phần tử hữu hạn đa giác bình phương nhỏ nhất mới cho bài toán level set
được xác định bằng cách giải một phương trình đạo hàm riêng LS Hamilton-Jacobi [1] dưới một
trường vận tốc 𝓿𝓿=𝓿𝓿(𝒙𝒙,𝑡𝑡) sao cho
∀𝒙𝒙∈𝒟𝒟, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 +(𝓿𝓿∙∇)𝜙𝜙= 0 với𝜙𝜙(𝒙𝒙, 0)=𝜙𝜙0(𝒙𝒙) (2)
trong đó 𝜙𝜙0(𝒙𝒙) là một hàm LS khởi tạo, 𝑡𝑡 là biến thời gian. Việc giải Eq. (2) thường cho kết quả có sự
dao động của nghiệm (nghiệm yếu). Để giải quyết vấn đề này, Osher và Fedkim (2003) [9] đã đề xuất
một phương pháp độ nhớt nhân tạo được thực hiện bằng cách thêm một điều kiện khuếch tán 𝜀𝜀∇2𝜙𝜙
vào vế bên phải của Eq. (2), với 𝜀𝜀 là hệ số nhớt rất nhỏ. Do đó, phương trình LS (2) có thể được viết
lại dưới dạng một phương trình đạo hàm riêng đối lưu-khuếch tán LS như sau:
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 +(𝓿𝓿∙∇)𝜙𝜙−𝜀𝜀∇2𝜙𝜙= 0 trong 𝒟𝒟×𝒯𝒯 (3)
𝜙𝜙(𝒙𝒙, 0)=𝜙𝜙0(𝒙𝒙)trong 𝒟𝒟 × {0} (4)
trong đó 𝒯𝒯 là khoảng thời gian cho sự phát triển của hàm LS. Để giải Eq. (3), phương pháp Crank-
Nicolson [10] được áp dụng để rời rạc biến thời gian của Eq. (3):
𝜙𝜙(𝑛𝑛+1)+∆𝜕𝜕
2�𝓿𝓿(𝑛𝑛+1)∙∇𝜙𝜙(𝑛𝑛+1)−𝜀𝜀∇2𝜙𝜙(𝑛𝑛+1)�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
𝔏𝔏�𝜕𝜕(𝑛𝑛+1)�=𝜙𝜙(𝑛𝑛)−∆𝜕𝜕
2�𝓿𝓿(𝑛𝑛)∙∇𝜙𝜙(𝑛𝑛)−𝜀𝜀∇2𝜙𝜙(𝑛𝑛)�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
𝔣𝔣�𝜕𝜕(𝑛𝑛)� (5)
trong đó ℚ𝜕𝜕={𝜙𝜙∶𝜙𝜙(𝒙𝒙,𝑡𝑡)∈ℍ1(𝒟𝒟), 𝑡𝑡∈𝒯𝒯 } là không gian vô hạn chiều của nghiệm phụ thuộc thời
gian; ∆𝑡𝑡 là bước thời gian; 𝜙𝜙(𝑛𝑛), 𝜙𝜙(𝑛𝑛+1), 𝓿𝓿(𝑛𝑛), và 𝓿𝓿(𝑛𝑛+1) là các giá trị của hàm LS và trường vận tốc
đối lưu tại thời điểm 𝑡𝑡(𝑛𝑛)=�𝑡𝑡(0)+𝑛𝑛∆𝑡𝑡� và 𝑡𝑡(𝑛𝑛+1)=�𝑡𝑡(𝑛𝑛)+∆𝑡𝑡�, tương ứng.
2.2. Quá trình tái khởi tạo hàm level set
Trong suốt quá trình phát triển của giao diện, hàm LS không đảm bảo đặc tính SDF như hàm LS
khởi tạo do các sai số tích lũy. Để giải quyết vấn đề này, một quá trình tái khởi tạo nên được thực hiện
bằng cách giải một phương trình Eikonal [3, 4, 9]. Trong nghiên cứu này, phương pháp độ nhớt nhân
tạo cũng được áp dụng cho quá trình tái khởi tạo. Do đó, ta có:
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 +(𝓬𝓬∙∇)𝜓𝜓−𝜀𝜀∇2𝜙𝜙=𝓈𝓈(𝜙𝜙)trong 𝒟𝒟×𝒯𝒯𝜕𝜕 (6)
𝜓𝜓(𝒙𝒙, 0)=𝜙𝜙(𝒙𝒙)trong 𝒟𝒟 × {0} (7)
trong đó 𝜏𝜏 là biến thời gian ảo, 𝒯𝒯𝜕𝜕 là khoảng thời gian ảo của quá trình tái khởi tạo, 𝜓𝜓=𝜓𝜓(𝒙𝒙,𝜏𝜏) là một
hàm LS đã hiệu chỉnh, 𝓬𝓬(𝜙𝜙;𝒙𝒙,𝜏𝜏)∶=𝓈𝓈(𝜙𝜙)𝒏𝒏(𝒙𝒙,𝜏𝜏) là trường vận tốc đặc trưng với 𝒏𝒏(𝒙𝒙,𝑡𝑡)=
∇𝜕𝜕(𝒙𝒙,𝜕𝜕)
max(10−8,|∇𝜕𝜕(𝒙𝒙,𝜕𝜕)|) là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra, 𝓈𝓈(𝜙𝜙)∶=𝜕𝜕
�𝜕𝜕2+𝜚𝜚2 là hàm dấu làm mịn, và 𝜚𝜚=
2ℎ là kích thước của vùng làm mịn (ℎ là kích thước phần tử). Eq. (6) là một phương trình phi tuyến vì
trường vận tốc đặc trưng 𝓬𝓬(𝜙𝜙;𝒙𝒙,𝜏𝜏) phụ thuộc vào thời gian ảo 𝜏𝜏. Để tuyến tính hóa điều kiện đối lưu
𝓬𝓬(𝜙𝜙;𝒙𝒙,𝜏𝜏), phương pháp bước phân số Euler lùi [10] được áp dụng để tách Eq. (6) thành hai phương
trình rời rạc theo thời gian như sau:
𝜕𝜕(∗)−𝜕𝜕(𝑘𝑘)
∆𝜕𝜕+�𝓬𝓬(𝑘𝑘)∙∇�𝜓𝜓(∗)−𝜀𝜀∇2𝜓𝜓(∗)= 0 trong 𝒟𝒟×�𝜏𝜏(𝑘𝑘),𝜏𝜏(𝑘𝑘+1)� (8)
𝜕𝜕(𝑘𝑘+1)−𝜕𝜕(∗)
∆𝜕𝜕=𝓈𝓈(𝜙𝜙)trong 𝒟𝒟×�𝜏𝜏(𝑘𝑘),𝜏𝜏(𝑘𝑘+1)� (9)
trong đó ∆𝜏𝜏 là bước thời gian ảo tăng dần; 𝜓𝜓(𝑘𝑘) và 𝜓𝜓(𝑘𝑘+1) lần lượt là các giá trị LS tại thời điểm ảo
𝜏𝜏(𝑘𝑘) và 𝜏𝜏(𝑘𝑘+1); 𝜓𝜓(∗) là một giá trị LS trung gian tại 𝜏𝜏(∗)∈�𝜏𝜏(𝑘𝑘),𝜏𝜏(𝑘𝑘+1)�.
403
Nguyễn Trần Bá Đình, Nguyễn Hoàng Sơn và Phan Đức Huynh
3. Phương pháp phần tử hữu hạn đa giác cho các bài toán level set
3.1. Hàm dạng trên một phần tử đa giác bất kỳ
Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả chỉ tập trung vào việc sử dụng hệ tọa độ Wachspress [11,
12] với ánh xạ đẳng tham số trên một phần tử tham chiếu [13] để xây dựng các xấp xỉ phù hợp trên các
cấu trúc chia lưới. Trong khuôn khổ của Poly-FEM, ta giả định rằng 𝛺𝛺⊂ℝ2 đã được phân vùng thành
𝑛𝑛𝑒𝑒 phần tử đa giác không chồng chéo 𝛺𝛺𝑒𝑒 sao cho ≈𝛺𝛺ℎ≔∑𝛺𝛺𝑒𝑒
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1 . Với mỗi phần tử đa giác 𝛺𝛺𝑒𝑒 bất
kỳ, ta ký hiệu 𝒙𝒙𝑎𝑎(𝑎𝑎= 1, … , 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑒𝑒) là các đỉnh của nó và được sắp xếp ngược chiều kim đồng hồ, với 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑒𝑒
là số nút của phần tử 𝛺𝛺𝑒𝑒, 𝒆𝒆𝑎𝑎 là cạnh nối giữa 𝒙𝒙𝑎𝑎 với 𝒙𝒙𝑎𝑎+1, và 𝒏𝒏𝑎𝑎 là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra
cạnh 𝒆𝒆𝑎𝑎. Với bất kỳ điểm 𝒗𝒗∈𝛺𝛺𝑒𝑒, ta gọi 𝑑𝑑𝑎𝑎(𝒙𝒙) là khoảng cách vuông góc của 𝒗𝒗 tới cạnh 𝒆𝒆𝑎𝑎 như trong
Hình 2. Các hàm dạng Wachspress có thể được xác định bởi
𝑁𝑁𝑎𝑎(𝒙𝒙)=𝓌𝓌𝑎𝑎(𝒙𝒙)
∑𝓌𝓌𝑏𝑏(𝒙𝒙)
𝑛𝑛
𝑏𝑏=1 với𝓌𝓌𝑎𝑎(𝒙𝒙)=det(𝓹𝓹𝑎𝑎−1,𝓹𝓹𝑎𝑎) (10)
Hình 2. Hình minh họa tọa độ Wachspress được xác định bởi các khoảng cách vuông góc
trong đó 𝓹𝓹𝑎𝑎=𝒏𝒏𝑎𝑎/𝑑𝑑𝑎𝑎(𝒙𝒙). Hàm dạng Wachspress thỏa mãn các thuộc tính của một hàm dạng cơ bản
như Kronecker-delta, phân vùng thống nhất, không âm và độ chính xác tuyến tính [7]. Gradient của nó
được tính bởi công thức:
∇𝑁𝑁𝑎𝑎(𝒙𝒙)=𝑁𝑁𝑎𝑎�𝓻𝓻𝑎𝑎−∑𝑁𝑁𝑏𝑏𝓻𝓻𝑏𝑏
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑒𝑒
𝑏𝑏=1 �với𝓻𝓻𝑎𝑎=𝓹𝓹𝑎𝑎−1+𝓹𝓹𝑎𝑎 (11)
3.2. Poly-FEM cho phương pháp level set
3.2.1. Poly-FEM cho quá trình tiến hóa của hàm level set
Chúng ta giả sử 𝕎𝕎∈ℍ1(𝒟𝒟) là một không gian của hàm kiểm tra không phụ thuộc thời gian. Ta
gọi ℜ(𝑤𝑤)=𝔏𝔏(𝑤𝑤)−𝔣𝔣�𝜙𝜙(𝑛𝑛)� là một hàm dư sao cho ℜ(𝑤𝑤)∶𝕎𝕎→ℝ2. Với một hàm kiểm tra tùy ý
𝑤𝑤∈𝕎𝕎, bằng cách áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất tiêu chuẩn, chúng ta thấy rằng
∀𝑤𝑤∈𝕎𝕎,∫𝔏𝔏(𝑤𝑤)𝔏𝔏�𝜙𝜙(𝑛𝑛+1)�d𝒟𝒟
𝒟𝒟=∫𝔏𝔏(𝑤𝑤)𝔣𝔣�𝜙𝜙(𝑛𝑛)�d𝒟𝒟
𝒟𝒟 (12)
trong đó 𝔏𝔏(𝑤𝑤)=� 𝑤𝑤 �
Điều kiện Galerkin + ∆𝜕𝜕
2�(𝓿𝓿∙∇)𝑤𝑤−∇∙(𝜀𝜀∇𝑤𝑤)�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện ổn định �. Sử dụng tích phân từng phần và
định lý phân kỳ, chúng ta có thể viết lại dạng yếu (12) thành dạng thu gọn như sau: với 𝜙𝜙(𝑛𝑛)∈ℚ𝜕𝜕 cho
trước, tìm 𝜙𝜙(𝑛𝑛+1)∈ℚ𝜕𝜕 sao cho ∀𝑤𝑤∈𝕎𝕎,
𝛺𝛺ℯ
𝒙𝒙
𝒏𝒏
404
Phương pháp phần tử hữu hạn đa giác bình phương nhỏ nhất mới cho bài toán level set
𝒜𝒜�𝑤𝑤,𝜙𝜙(𝑛𝑛+1)�
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện Galerkin + ℬ�𝑤𝑤,𝜙𝜙(𝑛𝑛+1)�
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện ổn định = 𝒜𝒜�𝑤𝑤,𝜙𝜙(𝑛𝑛)�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện Galerkin + ℬ�𝑤𝑤,𝜙𝜙(𝑛𝑛)�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện ổn định (13)
với
𝒜𝒜�𝑤𝑤,𝜙𝜙(𝜕𝜕)�=∫𝑤𝑤𝜙𝜙(𝜕𝜕)d𝒟𝒟
𝒟𝒟 + 𝛼𝛼∆𝜕𝜕
2∫𝑤𝑤(𝓿𝓿∙∇)𝜙𝜙(𝜕𝜕)d𝒟𝒟
𝒟𝒟 + 𝛼𝛼∆𝜕𝜕
2∫𝜀𝜀∇𝑤𝑤∙∇𝜙𝜙(𝜕𝜕)d𝒟𝒟
𝒟𝒟 (14)
ℬ�𝑤𝑤,𝜙𝜙(𝜕𝜕)�=∆𝜕𝜕
2∫𝜙𝜙(𝜕𝜕)(𝓿𝓿∙∇)𝑤𝑤d𝒟𝒟
𝒟𝒟 + 𝜀𝜀∆𝜕𝜕
2∫∇𝜙𝜙(𝜕𝜕)∙∇𝑤𝑤d𝒟𝒟
𝒟𝒟+
𝛼𝛼�∆𝜕𝜕
2�2∫(𝓿𝓿∙∇)𝑤𝑤(𝓿𝓿∙∇)𝜙𝜙(𝜕𝜕)d𝒟𝒟
𝒟𝒟 (15)
trong đó 𝛼𝛼=� 1 if 𝑡𝑡=𝑛𝑛+ 1
−1if 𝑡𝑡=𝑛𝑛 . Bằng cách sử dụng khuôn khổ của Poly-FEM, hệ thống đại số tạo
ra từ sự rời rạc phần tử hữu hạn cho dạng yếu trong Eq. (13) có thể được viết theo công thức sau:
�𝐌𝐌+∆𝜕𝜕
2𝐂𝐂+∆𝜕𝜕
2𝐃𝐃
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện Galerkin +∆𝜕𝜕
2𝐂𝐂𝑇𝑇+∆𝜕𝜕
2𝐃𝐃𝑇𝑇+�∆𝜕𝜕
2�2𝐊𝐊
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện ổn định �𝚽𝚽(𝑛𝑛+1)=
�𝐌𝐌−∆𝜕𝜕
2𝐂𝐂+∆𝜕𝜕
2𝐃𝐃
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện Galerkin +∆𝜕𝜕
2𝐂𝐂𝑇𝑇+∆𝜕𝜕
2𝐃𝐃𝑇𝑇−�∆𝜕𝜕
2�2𝐊𝐊
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện ổn định �𝚽𝚽(𝑛𝑛) (16)
trong đó 𝚽𝚽(𝑛𝑛+1)=⋁𝝓𝝓𝑒𝑒(𝑛𝑛+1)
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1 là lắp ghép của vectơ giá trị nút chưa biết của hàm LS tại thời điểm
𝑡𝑡(𝑛𝑛+1); 𝚽𝚽(𝑛𝑛)=⋁𝝓𝝓𝑒𝑒(𝑛𝑛)
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1 là lắp ghép của vectơ giá trị nút đã cho của hàm LS tại thời điểm 𝑡𝑡(𝑛𝑛);
𝐌𝐌=⋁𝑴𝑴𝑒𝑒
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1 , 𝐂𝐂=𝐂𝐂(𝓿𝓿)=⋁𝑪𝑪𝑒𝑒(𝓿𝓿)
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1 , 𝐃𝐃=𝐃𝐃(𝜀𝜀)=⋁𝑫𝑫𝑒𝑒(𝜀𝜀)
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1 và 𝐊𝐊=𝐊𝐊(𝓿𝓿)=⋁𝑲𝑲𝑒𝑒(𝓿𝓿)
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1 là
lắp ghép của các ma trận khối lượng, đối lưu, khuếch tán và đối lưu cộng thêm, tương ứng; trong đó,
các tenxơ bậc hai cơ sở của chúng được định nghĩa bởi:
𝑴𝑴𝑒𝑒=∫𝑵𝑵𝑒𝑒⨂𝑵𝑵𝑒𝑒d𝛺𝛺
𝐾𝐾𝑒𝑒hoặc𝑀𝑀𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑒𝑒=∫𝑁𝑁𝑎𝑎𝑒𝑒𝑁𝑁𝑏𝑏𝑒𝑒d𝛺𝛺
𝐾𝐾𝑒𝑒 (17)
𝑪𝑪𝑒𝑒(𝓿𝓿)=∫(𝑵𝑵𝑒𝑒⨂𝓿𝓿)∙(𝑵𝑵𝑒𝑒⨂∇)d𝛺𝛺
𝐾𝐾𝑒𝑒hoặc𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑒𝑒(𝓿𝓿)=∫𝑁𝑁𝑎𝑎𝑒𝑒𝓋𝓋𝑖𝑖𝜕𝜕𝑁𝑁𝑏𝑏
𝑒𝑒
𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖d𝛺𝛺
𝐾𝐾𝑒𝑒 (18)
𝑫𝑫𝑒𝑒(𝜀𝜀)=𝜀𝜀∫(∇⨂𝑵𝑵𝑒𝑒)∙(𝑵𝑵𝑒𝑒⨂∇)d𝛺𝛺
𝐾𝐾𝑒𝑒hoặc𝐷𝐷𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑒𝑒(𝜀𝜀)=𝜀𝜀∫𝜕𝜕𝑁𝑁𝑎𝑎
𝑒𝑒
𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑁𝑁𝑏𝑏
𝑒𝑒
𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖d𝛺𝛺
𝐾𝐾𝑒𝑒 (19)
𝑲𝑲𝑒𝑒(𝓿𝓿)=∫(∇⨂𝑵𝑵𝑒𝑒)∙(𝓿𝓿⨂𝓿𝓿)∙(𝑵𝑵𝑒𝑒⨂∇)d𝛺𝛺
𝐾𝐾𝑒𝑒hoặc𝐾𝐾𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑒𝑒(𝓿𝓿)=∫𝓋𝓋𝑖𝑖𝜕𝜕𝑁𝑁𝑎𝑎
𝑒𝑒
𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖𝓋𝓋𝑗𝑗𝜕𝜕𝑁𝑁𝑏𝑏
𝑒𝑒
𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗d𝛺𝛺
𝐾𝐾𝑒𝑒 (20)
3.2.2. Poly-FEM cho quá trình tái khởi tạo hàm level set
Tương tự như tiểu mục phía trên, ta cũng áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất tiêu
chuẩn cho sự rời rạc không gian phần tử hữu hạn để thu được nghiệm ổn định trong Eq. (8). Trong khi
đó, phương pháp Galerkin tiêu chuẩn được áp dụng cho bài toán đơn giản trong Eq. (9). Do đó, hệ
thống đại số tạo ra từ sự rời rạc phần tử hữu hạn cho các Eqs. (8) và (9) có thể được tạo thành như sau:
�𝐌𝐌+∆𝜏𝜏𝐂𝐂+∆𝜏𝜏𝐃𝐃
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện Galerkin +∆𝜏𝜏𝐂𝐂𝑇𝑇+∆𝜏𝜏𝐃𝐃𝑇𝑇+∆𝜏𝜏2𝐊𝐊
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện ổn định �𝚿𝚿(∗)=
�𝐌𝐌⏟
Điều kiện Galerkin +∆𝜏𝜏𝐂𝐂𝑇𝑇+∆𝜏𝜏𝐃𝐃𝑇𝑇
�
�
�
�
�
�
�
�
Điều kiện ổn định�𝚿𝚿(𝑘𝑘) (21)
𝐌𝐌𝚿𝚿(𝑘𝑘+1)=𝐌𝐌𝚿𝚿(∗) + ∆𝜏𝜏𝐅𝐅 (22)
trong đó 𝚿𝚿(𝑘𝑘+1)=⋁𝝍𝝍𝑒𝑒(𝑘𝑘+1)
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1 là lắp ghép của vectơ giá trị nút chưa biết của hàm LS tại 𝜏𝜏(𝑘𝑘+1);
𝚿𝚿(𝑘𝑘)=⋁𝝍𝝍𝑒𝑒(𝑘𝑘)
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1 là lắp ghép của vectơ giá trị nút đã cho của hàm LS tại 𝜏𝜏(𝑘𝑘); 𝚿𝚿(∗)=⋁𝝍𝝍𝑒𝑒(∗)
𝑛𝑛𝑒𝑒
𝑒𝑒=1
405