Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022
Phương pháp phần tử hữu hạn đa giác bình phương nhỏ nhất mới cho
bài toán level set
Nguyễn Trần Bá Đình1, Nguyễn Hoàng Sơn2,3
và Phan Đức Huynh4,*
1 Công ty TNHH công nghệ và kỹ thuật Nhật Bản, Việt Nam
2 Viện Khoa học Tính toán, Trường Đại học Tôn Đức Thắng, Việt Nam
3 Khoa xây dựng, Trường Đại học Tôn Đức Thắng, Việt Nam
4 Khoa xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Việt Nam
*Email: huynhpd@hcmute.edu.vn
Tóm tắt. Trong nghiên cứu này, một phương pháp phần tử hữu hạn đa giác bình phương nhỏ nhất
(LS-PFEM) mới được sử dụng để giải quyết bài toán level set (LS) đối lưu-khuếch tán không ổn
định. Để ổn định các nghiệm số mà không có các dao động phi vật lý (gradient dốc), cả quá trình
tiến hóa và tái khởi tạo của hàm LS đều được giải bằng cách tối thiểu hóa điều kiện ổn định bình
phương nhỏ nhất. Phương pháp này cung cấp các tính chất toán học tốt như sự khuếch tán số tự
nhiên và tính đối xứng xác định dương của các hệ phương trình đại số thu được. So với phần tử
tam giác (T3) và tứ giác (Q4) thông thường, phần tử đa giác có khả năng cung cấp tính linh hoạt
cao hơn trong việc tạo lưới cho các mô hình bài toán phức tạp cũng như mang lại kết quả tính toán
chính xác hơn. Trong bài báo này, phương pháp đề xuất được áp dụng để khảo sát một số bài toán
chuẩn như: vòng quay của đĩa Zalesak, dòng chảy của xoáy đơn đảo ngược theo thời gian. Kết quả
chỉ ra rằng cách tiếp cận được đề xuất có hiệu quả cao với tỷ lệ hội tụ tuyệt vời so với các phần tử
T3 và Q4.
Từ khóa: Phần tử đa giác, Phương pháp level set, Phương pháp bình phương nhỏ nhất, Phương
trình đối lưu-khuếch tán, Tái khởi tạo.
1. Mở đầu
Trong những thập kỷ qua, phương pháp level set (LSM) đã được phát triển và áp dụng cho
nhiều lĩnh vực kỹ thuật, chẳng hạn như hình học tính toán, tối ưu hóa, xử lý hình ảnh và động lực học
chất lỏng tính toán. Ý tưởng cơ bản của phương pháp này là giải một phương trình đạo hàm riêng LS
Hamilton-Jacobi cho một hàm phụ 𝜙𝜙 có giá trị hàm LS bằng 0 xác định cho hình dạng của giao diện
(interface) tự do [1, 2].
Trong quá trình giải một bài toán LS điển hình bằng LSM, hàm LS ban đầu được khởi tạo như
một hàm khoảng cách có dấu (SDF) sao cho nó thỏa mãn phương trình Eikonal [2]. Trong suốt quá
trình phát triển của giao diện, hàm LS không đảm bảo đặc tính SDF và trở nên quá phẳng hoặc quá
dốc do các sai số tích lũy. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các kỹ thuật tái khởi
tạo [3, 4, 5, 6]. Sussman và cộng sự (1994) [3] đã trình bày một phương pháp tái khởi tạo trong đó một
phương trình đạo hàm riêng hypebol được giải đến trạng thái ổn định. Kết quả của họ cho thấy rằng
hàm LS cần phải được tái khởi tạo sau mỗi bước thời gian để giữ cho nghiệm chính xác. Tuy nhiên,
phương pháp này dẫn đến sự dịch chuyển đáng kể của giao diện và thời gian đạt đến trạng thái ổn định
là quá lâu. Elias và cộng sự (2007) [6] đã đề xuất một phương pháp mới để tính toán các hàm khoảng
cách trong lưới phi cấu trúc bởi áp đặt sự thỏa mãn của phương trình Eikonal ở cấp phần tử. Phương
pháp này dễ thực hiện và có thể được sử dụng dễ dàng trong các bộ giải phần tử hữu hạn vì tất cả
thông tin cần thiết đều có sẵn hoặc được xây dựng sẵn dưới dạng các cấu trúc dữ liệu.
Lưu ý rằng hầu hết các nghiên cứu trên đều tập trung vào các phần tử T3 và Q4 để giải quyết
các bài toán LS. Trong khi đó, cả hai phần tử này đều tồn tại những ưu, nhược điểm nhất định. Các
phần tử T3 thích hợp để tạo lưới có dạng hình học phức tạp, nhưng độ chính xác và độ hội tụ của
401
