Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN-ĐHQGHN.
Email: nguyendunghus@gmail.com
Một phương pháp thay đổi biến số
Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một phép thế khác trong trường hợp 3 số
a,b,c có tích bằng 1, đó là đặt
222
yz ,,
zxxy
abc
xyz
===, với a,b,c dương thì x,y,z cũng
dương. Tư tưởng chủ đạo của phép thế này là xuất hiện đại lượng bình phương ở tử phân
thức, sau
đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ở dạng Svác:
()
2
222
;,,,,,0
ABC
ABC ABCXYZ
XYZXYZ
++
++³>
++
Một số kí hiệu dùng trong bài viết:
sym
: tổng đối xứng. Ví dụ:
2222222
sym
ababbccaabbcca
=+++++
å
cyc
: tổng hoán vị. Ví dụ:
,,,
222222222
;
abcd
cyccyc
ababbccaacacacbdbd
=++=+++
åå
Các bạn hãy theo dõi một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
()()()()()()
1111
1212122
aabbcc
++³
++++++
Giải. Các bạn có thể đặt ,,
xyz
abc
yzx
===
nhưng bất đẳng thức mới không dễ dàng
chứng minh được! Xét phép đổi biến
222
yz ,,
zxxy
abc
xyz
===
với x,y,z là các số thực
dương. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành:
()()()()()()
444
222222
1
2
222
xyz
xyzxyzyzxyzxzxyzxy
++³
++++++
Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có:
()()
(
)
()()
2
222
4
2222
22
cyc
cyc
xyz
x
xyzxyzxyzxyz
++
³
++++
åå
Ta có
(
)
(
)
(
)
()
()()()
()
2
22222222222
222
222
22
10
2
cyc
xyzxyzxyzxyyzzxxyzxyz
xyzyzxzxy
++-++=++-++
=-+-+-³
å
Bất đẳng thức trên luôn đúng, suy ra đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
11
xyzabc
===Û===
Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
222
111
1
111
aabbbb
++³
++++++
Giải.
Đặt
222
yz ,,
zxxy
abc
xyz
=== với x,y,z là các số thực dương, bất đẳng thức trên trở thành:
444
422242224222
1
xyz
xxyzyzyyzxzxzzxyxy
++³
++++++
Sử dụng bất đẳng thức Svác:
(
)
()
2
222
4
4222444222222
cyc
xyz
x
xxyzyzxyzxyyzzxxyzxyz
++
³
++++++++++
å
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
(
)
()
()
()()()
2
222444222222
222222
222
222
0
xyzxyzxyyzzxxyzxyz
xyyzzxxyzxyz
xyzyzxzxy
++³++++++++
Û++³++
Û-+-+-³
Suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
11
xyzabc
===Û===
.
Qua hai ví dụ trên các bạn có thể thấy đây là một phương pháp hoàn toàn tự nhiên và dễ
sử dụng. Tuy nhiên đối với một số bài toán cần sử dụng cả hai cách thay đổi biến số.
Ví dụ 3. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
() () ()
222
222
222
1
3
222
abc
aabbbccca
++³
++++++
Giải: Đặt ,,
bca
xyz
abc
===
thì bất đẳng thức trở thành
() () ()
222
111
0
121121121xyz
++³
++++++
Do
1
xyz
=
nên ta tồn tại các số thực dương m,n,p sao cho
222
,,
npmpmn
xyz
mnp
===
Bất đẳng thức trên trở thành:
()
4
2
42
1
3
2
cyc
m
mmnp
³
++
å
Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có
()
(
)
()
2
222
4
22
424442
22
cyc
cyc
mnp
m
mmnpmnpmnp
++
³
++++++
åå
Mà
()
()
2
22
2422
320
cyccyccyccyc
mmmnpmnp
æö
--+=-³
ç÷
èø
åååå
Ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
mnpxyzabc
==Û===Û==
Cách thế trên không những phát huy tác dụng với bài toán 3 biến mà còn có thể sử dụng
cho những bài toán nhiều biến hơn nhưng khối lượng tính toán hơi phức tạp.
Ví dụ 4. (Thi chọn đội tuyển Trung Quốc 2004) Cho a,b,c,d là các số thực dương có
tích bằng 1. Chứng minh rằng:
()()()()
2222
1111
1
1111abcd
+++³
++++
Giải:
Vì ở đây có 4 biến nên ta đặt
3333
,,,
yztztxtxyxyz
abcd
xyzt
==== với x,y,z,t là các số thực
dương. Bất đẳng thức trên trở thành:
()
6
2
3
1
cyc
x
xyzt
³
+
å
Áp dụng bất đẳng thức Svác:
()
(
)
()
2
3333
6
22
33
cyc
cyc
xyzt
x
xyztxyzt
+++
³
++
å
å
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh:
(
)
(
)
(
)
22
3333333332223
2
cyccyccyccyc
xyztxyztxyzxxyzxyzt
+++³+Û++³+
åååå
Đến đây các bạn có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
(
)
()()
33333
3333333333222
3
3
cyccyc
cyccyccyc
xyztxyzt
xyztxyyzzxxyz
++³
++=++³
åå
ååå
Suy ra đpcm.
Nhận xét: Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài toán tổng quát sau
Cho 12
,,....,
n
aaa
là các số thực dương có tích bằng 1. Với
1
kn
=-
chứng minh rằng:
()
2
1
1
1
1
n
i
i
ka
=
³
+
å
Kết thúc bài viết, mời các bạn làm một số bài tập vận dụng sau:
Bài tập 1. Cho a,b,c,d là các số thực dương có tích là 1. Chứng minh rằng:
2222
1111
1
12121212
aabcccdd
+++³
++++++++
Bài tập 2. Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
222
111
3
111
aabbcc
++£
-+-+-+
Lời giải cho bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Đặt
3333
,,,
yztztxtxyxyz
abcd
xyzt
====
với x,y,z,t là các số thực dương.
Bất đẳng thức trên trở thành:
6
63222
1
2
cyc
x
xxyztyzt
³
++
å
Áp dụng bất đẳng thức Svác, ta được:
2
3
6
6322263222
2
cyc
cyc
cyccyccyc
x
x
xxyztyztxxyztyzt
æö
ç÷
èø
³
++++
å
åååå
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh
()
2
3622223333332223
22
cyccyccyccyccyccyccyccyc
xxxyztxxyzxyxyzxxyzxyzt
æö
³++Û³++³+
ç÷
èø
åååååååå
Chứng minh điều này tương tự chứng minh trong ví dụ 4.
Bài tập 2. Áp dụng kết quả ví dụ 2 ta được:
442
2
424242
22
11
1322
111
11
1
cyccyccyccyc
aaa
aaaaaa
aa
+
=³Þ-³-Þ£
++++++
æöæö
++
ç÷ç÷
èøèø
åååå
Suy ra:
2
2242
111
24
111
cyccyccyc
a
aaaaaa
+
+=£
++-+++
ååå
Mà 22
11
13
11
cyccyc
aaaa
³Þ£
++-+
åå