Phương pháp tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một số biểu thức cơ bản

Chia sẻ: Nam Nam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

1.819
lượt xem 125
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình Toán học ở trường THCS hiện nay, có những bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức khi học sinh gặp phải thì rất bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình Toán THCS sách giáo khoa chưa đề cập nhiều về cách giải. Tài liệu đưa ra một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một số biểu thức cơ bản

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA MỘT SỐ BIỂU THỨC CƠ BẢN 1. Đa thức dạng f(x)=ax2 + bx + c (a ≠ 0) Biến đổi f(x) = ax2 + bx + c = a.G(x)2 + d (d là hằng số) Nếu a >0 thì f(x) tồn tại GTNN là d. Dấu bằng xảy ra khi G(x)=0 Nếu a 0 thì f(x) tồn tại giá trị nhỏ nhất là: c - 4a 2 b Nếu a < 0 thì f(x) tồn tại giá trị lớn nhất là: c - 4a Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức sau: a) x2 + 3x + 1 b) 2x2 – 2x – 1 c) – 2x2 + 3x + 1 Giải 2 3 1 3 � 1� 3 3 + + = � + �+ x a) f(x) = x2 + 2.x. 2 4 4 � 2� 4 4 −1 Dấu “=” xảy ra khi x = 2 −1 3 Vậy GTNN của biểu thức trên là khi x = 4 2 2 � 3 � 17 � �2 3 1 � �2 3 9 17 � � 2 − � −2 �x − � − � ﾖ 2x + 3x + 1 = −2 � − x − � −2 � − 2.x . + = = c) x x � � 2 2� � 4 16 16 � � 4 � 16 � � � � 2 � 3 � 17 17 Dấu “=” xảy ra khi x = 3 = −2 � −�+ x 4 � 4� 8 8 17 Vậy Giá trị lớn nhất là: 8 2. Dạng Bậc 4 a) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 12 b)(x – 1)(x + 1)(x + 6)(x + 8) + 25 c) x(x + 6)(x + 8)(x + 14) – 22 d) –x(x – 3)(x – 9)(x – 6) + 30 3. Đa thức dạng f(x,y) = ax + bxy + cy + dx + ey + m 2 2 (a.c >0) a) Dạng khuyết bxy: f(x,y) = ax + cy + dx + ey + m 2 2 Ví dụ1. Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của x2 + y2 – 2x + 4y + 3 Giải
a) x2 + y2 – 2x + 4y + 3 = (x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) – 2 = (x – 1)2 + (y + 2)2 – 2 ≥ 2 (dấu “=” xảy ra khi x = 1; y = -2) Vậy GTNN của x + y – 2x + 4y + 3 là -2 khi x = 1; y = - 2 2 2 b) – x2 + 2x – 4y2 + 4y + 1 Ta có – x2 + 2x – 4y2 + 4y + 1 = –(x2 – 2x + 1) – (y2 – 4y + 4) + 6 = – (x – 1)2 – (y – 2)2 + 6 ≤ 6 (Dấu “ = “ xảy ra khi x = 1; y = 2) Vậy GTLN của - x + 2x – 4y + 4y + 1 là 6 khi x = 1; y = 2 2 2 b. f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + m (a.c >0; 4ac > b2) Phương pháp: có thể biến đổi f(x,y) thành một trong hai dạng Dạng 1. Chia thành 2 nhóm. Một nhóm gồm các hạng tử chứa biến y nhóm còn lại chỉ chứa biến x f(x,y) = ±(kx + ty + r)2 ± (hx – g)2 + p Dạng 2. Chia thành 2 nhóm. Một nhóm gồm các hạng tử chứa biến x nhóm còn lại chỉ chứa biến y f(x,y) = ±(kx + ty + r)2 ± (hy – g)2 + p Ví dụ 2. Tìm Giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất ) 5x2 + 4xy + y2 – 2x + 2y + 13 Giải Dạng 1: 5x + 4xy + y – 2x + 2y + 13 = [y + 4xy +2y] + 5x2 – 2x + 13 2 2 2 = [y2 + 2y(2x + 1)] + 4x2 – 6x + 1 = [y2 + 2y(2x + 1) + (2x + 1)2] + 5x2 – 2x + 13 – (2x + 1)2 = (y + 2x + 1)2 + x2 – 6x + 12 = (y + 2x + 1)2 + (x – 3)2 + 3 ≥ 3 Dấu “=” xảy ra khi x = 3; y = -7 Vậy GTNN của biểu thức trên là 3 Dạng 2: 5x2 + 4xy + y2 – 2x + 2y + 13 = [5x2 + 4xy – 2x] + y2 + 2y + 13 = [5x2 + 2x(2y – 1)] + y2 + 2y + 13 ( 2y -1) 2 2 2y − 1 � -1 � 2y 2 2 =5[x + 2.x. +� �] + y + 2y + 13 - 5 �5 � 5 2 � 2y − 1 � y 2 + 14y + 64 � 2y − 1 � (y + 7) + 15 2 2 = 5� + + =�+ + x x 5� � 5 � � � 5� 5 2 2y − 1 � (y + 7) 2 = �+ + +3≥3 x � � 5 � 5� Dấu “ = ” xảy ra khi y= -7; x =3 Vậy GTNN của biểu thức trên là 3 Bài tập áp dụng
1. Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) nếu có a)x2 + 4xy + 6y2 – 4x + 6y + 2000 b) 2x2 - 6xy + 4y2 + 2x + 3y + 2012 c)- x2 - 4xy - 6y2 – 4x + 6y + 2013 d) - 2x2 + 6xy - 4y2 + 2x + 3y + 2011 2. Tìm x, y biết a) 5x2 + y2 – 2xy – 6x + 2y + 2 = 0 b) 2x2 – 4xy + 4y2 – 4x – 4y + 10 = 0 c) 4x2 + 2y2 – 16y + 12x – 4xy + 34 = 0 d) x2 – 2xy + 2y2 + 2x – 6y + 5 = 0 ax 2 + by + c 4. Đa thức dạng (trong đó a, d không đồng thời bằng 0 và dx 2 + ex + f là đa thức ở dạng luôn lớn dx 2 + ex + f hơn hoặc bằng không) Trước tiên ta giải bài toán sau: Tìm điều kiện của các hệ số a, b, c để đa thức bậc 2: ax2 + bx + c viết được dưới dạng m(x + n)2 Giải 2 2 2 Ta có ax + bx + c = mx + 2mnx + mn + Nếu n = 0 => b = c = 0 + Nếu n Khác 0 => a=m và b = 2mn và c = mn2 => b = 2an và c = an2 => b2 = 4a2 n2 và c = an2 => b2.an2 = 4a2n2.c => b2 = 4ac Ví dụ. Tìm điều kiên của k để (k + 1)x2 – (2 + k)x + 1 viết được dưới dạng m(x + n)2 Giải a = k + 1 ; b = -(2 + k); c = 1 Điều kiện: b2 = 4ac => (2 + k)2 = 4(k + 1).1 => k2 = 0 => k = 0 Bài tập áp dụng Tìm điều kiện của h để các biểu thức sau viết được dưới dạng m(x + n)2 a) hx2 - 2x + 3 b) x2 – 4hx + 5 c) - 5x2 + 6x + h d) (h + 3)x2 – (2h + 2)x + 3 – 2h ax 2 + bx + c Dạng 1. Dạng Tổng quát (Phương phápsử dụng cho học sinh lớp 8) dx 2 + ex + f ax 2 + bx + c α(x + β)2 =2 +λ Phương pháp: Biến đổi biểu thức dx 2 + ex + f dx + ex + f ax 2 + bx + c một số µ Bước 1. Ta thêm bớt vào dx 2 + ex + f ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c (a + dµ)x 2 + (b + eµ)x + c + f µ =2 +µ−µ = −µ dx 2 + ex + f dx + ex + f dx 2 + ex + f Bước 2. Tìm số µ sao cho (a + dµ)x 2 + (b + eµ)x + c + f µ Viết được dưới dạng m(x+n)2
Hay (b+e µ )2 = 4(a+d µ )(c+f µ ) 12x 2 + 12x + 18 Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của x 2 − 2x + 3 12x + 12x + 18 ( 12 + µ ) x + (12 − 2µ )x + 18 + 3µ 2 2 = −µ 2 2 x − 2x + 3 x − 2x + 3 ( 12 + µ ) x2 + (12 − 2µ)x + 18 + 3µ Viết được dưới dạng m(x+n)2 Khi 2 ( 12 − 2µ ) = 4 ( 12 + µ ) ( 18 + 3µ ) � 36 − 12µ + µ = 3µ + 54µ + 216 � 2µ + 66µ + 180 = 0 2 2 2 2 � µ + 33µ + 90 = 0 (µ + 3)(µ + 30) = 0 => µ = −3; Ho�µ = −30 c Giải 2 2 2 2 9x + 18x + 9 9( x + 1) 12x + 12x + 18 12x + 12x + 18 Dấu “=” xảy ra khi x = -1 +3= +3 3 =2 -3+3= 2 2 2 x − 2x + 3 ( x − 1) + 2 x − 2x + 3 x − 2x + 3 Vầy Giá trị nhỏ nhất là 3 tại x = -1; 2 2 2 2 −18x + 72x − 72 −18( x − 4x + 4) −18( x − 2) 12x + 12x + 18 Dấu bằng xảy ra khi x =2 + 30 = + 30 = + 30 -30+30 = 30 2 2 2 2 x − 2x + 3 (x − 1) + 2 ( x − 1) + 2 x − 2x + 3 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức trên là 30 tại x = 2 Bài tập áp dụng 2 2 3x + 1 2x + 1 P= Q= 2 2 x +5 x + 22 2 2 8x + 3 27 − 12 x x − 5x + 2 2 x − 3x + 1 X= Y= T= U= 2 2 2 2 4x + 1 x +9 x − 2x + 1 x − 6x + 9 2 2 2 6 6 x +y x 2 − xy + y 2 x x + 27 x + 512 C= D= R= S= T= 2 4 2 2 4 3 2 2 x + xy + y 2 x +1 x + 2 xy + y x − 3x + 6 x − 9 x + 9 x +8 ax 2 + bx + c Dạng 2. Dạng có thể đơn giản hoá (với a/d = b/e) dx 2 + ex + f -2x 2 + 6x + 13 Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) 4x 2 − 12x + 9 2 2 2 -2x + 6x + 13 −2( −2x + 6x + 13) ( 4x − 12x + 11) − 37 −1 37 = = + Ta có = 2 2 2 2(2x − 3)2 + 4 2 4x − 12x + 11 −2( 4x − 12x + 11) −2( 4x − 12x + 11) −1 −1 37 35 37 37 37 + + = Vì 2(2x-3)2 + 4 4 => => 2(2x − 3)2 + 4 2 2(2x − 3)2 + 4 4 24 4 (Dấu bằng xảy ra khi x = 3/2). Vậy giá trị lớn nhất là 35/4 khi x = 3/2 Bài tập áp dụng 1. Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) nếu có:
2 2 3x 2 + 2x + 10 3x − 6x + 17 2x − 16x + 41 c) B = a) A = b) B = 2 2 9x 2 + 6x + 2 x − 2x + 5 x − 8x + 22 −1 21 21 d) D = e) D = f) D = x − x +1 4x − 4x + 3 x − 4x + 6 2 2 2