Phương trình - bất phương trình

Tất cả vì học sinh thân yêu

PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình căn thức

Dạng 1. Phương pháp nâng lũy thừa. Kiến thức cơ bản:



0



 Phương trình

  f x

  g x



  2 g x

     



0







 Phương trình

  f x

  g x



0   g x

  f x   g x   f x



Ví dụ 1. Giải phương trình

x

x

  g x   f x       4 5

x

2



   .

Lời giải. Điều kiện:

x  . Phương trình đã cho tương đương với:

5 2

4

4





pt

x

    x

2

4

5

2

2

x

x

5

8

16

x

x

5

4

0    



  x        2 x 

   x    2  

4



  x

7

2



x

0

   7

x

x

  21

10

0

      x 4 x         x     Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

 3 x  . 7

2

Ví dụ 2. Giải phương trình

x

    4

x

2

x

x

2



Lời giải. Điều kiện:

   . x  . Phương trình đã cho tương đương với:

2

 

x

x

x

1







pt

2

2

 

  

x

2

    4

2

3

2

0

x

x

x

x

x

2

   

   2     

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

   2      x    .

 1; 2



Ví dụ 3. Giải phương trình



x

4

x

  1

5

x

  6

2 2

x

3

x

  7



  



Lời giải. Điều kiện:

   , chuyến vế, bình phương phương

x

5

x

4

9

x

x

x  . Nhận xét rằng

 4 2

 x

3 2

trình đã cho ta được:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 1

Tất cả vì học sinh thân yêu



   x

x

5

x

4

x

1

pt

7





  





   x

9

5

2

x

9

x

x

x

x

5

2

5

2 2 

  3  7 8

  6  12

 6 4

 1







x

x

x

x

5

  

 7 8

 12



 6 4

13

x

0



   2

   3 x     1 2    x 4 

 . Thử lại thấy thỏa mãn.

Suy ra

x

x 2;

13 4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên. Ví dụ 4. Giải phương trình

3

2



  





  1

x

x

1

x

x

3

x



 

 1  3

Lời giải. Điều kiện:

1

2

x x x   . 3

Chú ý hằng đẳng thức

  , nên phương trình đã cho được viết lại thành:

x

1

x

x

x

   

 1

 1

2



x

x

  x



 1

2



  



  1

x

x

1

x

x

3



3

 1 x

2

1

x

2

  



1

  x

x

x

x

1

3

  x  x 3

     1   

2

2

  

  





x

x

x

x

x

x

1

3

1

      

   3

 

x x

1 3

2

  

x

x

x

  3

0

1



ptvn



1

1 3

     x    x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn toàn. Kiến thức cơ bản:

 Đặt ẩn phụ hoàn toàn, đặt

đưa về phương trình ẩn t .

  t A x

 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt

phương trình sau khi biến đổi chứa hai ẩn

,t x và xét

  t A x

đenta chính phương.

 Phương trình tổng quát dạng:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 2

Tất cả vì học sinh thân yêu







  a A x

  b B x

    c A x B x

   dC x D

A, Đặt ẩn phụ hoàn toàn. Ví dụ 1. Giải phương trình

2

  

  

  3

x

1

3

x

2 2

x

5

3

x

16

x



  

Lời giải. Điều kiện:

x 2 x   .

1

2

2

  

  . Khi đó phương trình đã cho trở

t

3

4

x

2 2

x

5

x

3

2

x

  3

x

  suy ra 0

1

t

 Đặt thành:

2

20

16

5

0

t

2         t

4

t

t

  t

0

 t 5

   4

2

    

Do đó

  3

x

3

x

1

5

  0 t     t     3 25

5

x

x

2

x

1

2



    

.

2 2

x

21

5

3

3

x

x

  x

3

2

2



  

x

x

5

21

3

x





4 2 2     21 x  3    4 2 

 3 x  . 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là Ví dụ 2. Giải phương trình

2

  

7

x

  6

2 49

x

42

7

x

 181 14

x

x

7



  

Lời giải. Điều kiện:

  x 7 x   .

1

2



  . Khi đó phương trình đã cho trở

  suy ra 2 t

14

x

  1

2 49

x

42

7

x

t

7

x

  7

7

x

6

0

 Đặt thành:

2

2

t

      181

t

t

t

182

  0

  t

13

1





13

0

 t

 14

  0 t     t 

2

    

  

.

Do đó

  7

7

x

13

14

6

x

42

7

x

169

7

x

2

2 49 6 7

    



.

x

x

x

  x

42

84

7

7

6

49

2

2

2





x

  x 7

84

7

49



 x

 42

1 x    12 x     

x  . 6

2

2









a x 1

a x 2

b 1

b x 2

  c 2

a x 3

b x 3

 . c 3

2

2



x

x

x

    3

2

x

1

x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là B, Đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Phương trình tổng quát dạng  Ví dụ 1. Giải phương trình 

 1



   .

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 3

Tất cả vì học sinh thân yêu

Lời giải. Điều kiện: x   .



 Bước 1. Đặt

đưa về phương trình bậc hai ẩn t .

t

  f x

2   

 

.

t

ax

 Bước 2. Tính  theo x và biểu diễn



 b

  g x

2

2

2

2



Đặt

x

x

3

1

x

2

2

x

t

2

2 2

x 1 2           t

x

2

2

2

2

0

x

x

x

t

t

t

           , khi đó phương trình đã cho trở thành: 2 x  1

  

t 

 1

2

2

2

Có

x

6

9

x

2

x

 1

       nên ta được: x

 3



  4 2

     x

 

1

x

x

3

2



t

  x

1

x

x

x

    3

1

2



   

2

1

x

x

3

  

x

x

2

3

2





    

t

2

2

       x

x

   2    2        1

1

2

2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

.

2

2

  

Ví dụ 2. Giải phương trình

x

x

x

x

    1

1

x

0

x

4

x 0 x   1  2 3





   .

2

Lời giải. Điều kiện:

0

x

x   . 1

2

2

2

2

2



t

x

x

x

x

0

1

x

x

t

t

2

2

1

     4

     t

1

0

x

x

x

x

t

t

t

  x 3

0

           . Đặt 1 1 Khi đó phương trình đã cho trở thành: 

 3



 3

  

2

2

2

      

 nên ta được:

Ta có

6

x

9

x

4

3

x

0

x

 3

 x



 3

   

 

3

x

x

3

1





2

t

3

  

x

1

x

3





   



1

41

2

3

x

x

3



x

x

x

    x 1



    

t

  x

   x     

2

       

   2    2



41

1

.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là

1;

x

2

      

       

Ví dụ 3. Giải phương trình

2

2



3

2

x

1

x

  x 3

8 2

x

1

x



   .



    1

 1



Lời giải. Điều kiện: x   .

2

2



  

Phương trình đã cho tương đương với:

3

x

8

x

2

x

  0

1

3

x



 3

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 4

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

2

2

2





Đặt

    1

t

2

x

1

3

x

t

2

x

1

t 3 2

 . 3 2

x 





Khi đó phương trình đã cho trở thành:

x

t

3

x

  x

0

t 3

8

   

3  3

  

2

2

2

2













Ta có

 nên

12

100

x

60

x

  9

x

0

3

x

8

x

x



 3

 10

 3



   



3

x

10

3



2

3 2

x

  1

x

x 3



  x

0

   

2



3

x

3

  

2

x

1

1

3

x



    

t

  1

3

x

   8 x 6   8 x 10 6

   t     

x  . 0 3

3



  2 x

1

x

  1

x

x

2

x

4



   .

 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là Ví dụ 4. Giải phương trình  x   . Lời giải. Điều kiện: 1

2

3

3

2

3



        .

t

1

x

x

1

t

1

t

2

2

4

x

      1

t 2

0

x

2

t

4

x

    2

1

x

t

0

2

 1





 1

  

Đặt 0 x Khi đó phương trình đã cho trở thành:  t

2

2





Ta có

 nên

16

x

24

x

  9

4

x

0

4

x

x

   1  8 2



2    1

   1



 3

   

4

x

1

x

4

3

2



3

t

  x 2

1

  

x

x

2

1

1





   

3

3

4

1

x

x

3

 

x

x

2

  1

1





    

t

3 4

  x     

      

   4    4 4

3

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

x

3 4

1 2      2;   

      

n

A

n B .

Dạng 1. Phương trình đưa về tổng các đại lượng không âm hoặc Dấu hiệu: Hệ số trước căn thường là những số chẵn.

1. Đưa về tổng các đại lượng không âm.

Dùng các biến đổi hoặc tách ghép hằng đẳng thức để phương trình đã cho xuất hiện các số

A

0

2

không âm

D C

A

2   B

...

    0

B C

0 0

   

n

A

2. Biến đổi về dạng

n B . Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 5

Tất cả vì học sinh thân yêu

n

n

B

    

2

1

n

k

A B

Đưa phương trình về dạng

.





  A    , n k 

n

B

  

k

A

B

  n

2

Hoặc về dạng

.



 A B   A B

0





   

   n A    n k ,  

Bài tập ví dụ.

2

4

  3

x x

2 2

x

  1

4

x

  x 3

3

x

Ví dụ 1. Giải phương trình



  

Lời giải. Điều kiện:

x  . Phương trình đã cho tương đương với:

2

4

3

  1

0

pt

x x

x

2





x

x x

    x

3

  1

2

x

1

0

3

4

4

    3 3 x 

2 2 

    1

2

2



  

x

x

1

0

2

x

2

3



x 2     1 



x

    3

x

0

3

x

x

2





  x

1

  

2

x

1

1

0

2

x

  1

1

1 2   4 x     2       

        

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

2



x  . 1 

Ví dụ 2. Giải phương trình

4 6

x

  10

4

x

14

x

11

x



  

Lời giải. Điều kiện:

x  . Phương trình đã cho tương đương với:

2

5 3   

  



10

6

x

pt

4 6

x

10

4

20

x

25

4

x

2

2

6

x

    2

10

x

2

5





6

x

  10

2

2

x







    

2

x

2

5

0

10

       5 

  

6

10

2

3

x

x

13

3 2





  x

2

  3 4

    2

7

0

x

x

6

10



 ptvn



    

2

10

x

x



 3

6 x     x        6  13



.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x

  3 4

Bài tập vận dụng. Vận dụng 1. Giải phương trình

   

  

 

1

x

4

5

x

9

1

5

x

x

x

24 x

12









Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 6

Tất cả vì học sinh thân yêu

Lời giải. Điều kiện:

1 5

9 5 2



4

5

x

   x

  5 x

4 9

x

1

4

x

x

5

5

0

1



x  . Phương trình đã cho tương đương với:  13

   1



1

5

x

2

2





5

x

x

1

9

  5 x

2

        9

x

1

0

x

2

x

1

5



   2







1

0

x

    x   x 2     

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

2



6 3

x

x

x  . 1     x

9

1

0

x

Vận dụng 2. Giải phương trình



  

Lời giải. Điều kiện:

x  . Phương trình đã cho tương đương với:

1 3

2

2

  

9

6 3

6 3

3

1

1

1

1

      2

pt

    x

x

x

x

x

x

x

2



3

3

1

x

3

3

1

x

x

2      1





  1

3

  1

3

x

x

9     1 x      

2

  

3

x

2

1

x



7

37





  x

2

2

x

2

  



 x

3

x

x

1

4

    

   x        3 1  



7

37



.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

x

2

Vận dụng 3. Giải phương trình

3



  

x

23 x

x

x

2

6

4

x

6

x

   x

 1



  

3



2

x

1

x

x

23 x

3

x   . Chú ý

  2 3     . 1



  



4

x

      7

2

3

2

x

  2

4

x

2

x

3

7

  2

x



 1

3

3







  

  . Khi đó ta được

2

3

x

x

3

x

1

2

x

2



   2

Lời giải. Điều kiện: Và   1 

x 

x 

x  1

3

  

x

x

x

1

x

  2

1

pt

 1





  x

x

  x

  2

2

2

x

2

3      1 2   x 0     x  x  . 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 7

Tất cả vì học sinh thân yêu

Dạng 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng hai ẩn.

2



Ví dụ. Giải phương trình

x

x

1

x

  x 2

2 2



  

2

y

1

2

Lời giải. Điều kiện:

  , khi đó

x  .

y

x

2

1

0

1 x  . Đặt 2

2

2

  

2

x

1

x

2

y

  2 x

Và phương trình đã cho trở thành

2

2

y

1

  2 x



x

1

 1  2

y    1

     

2

1

y

2

y

a

2     y

2

a

2

Với

a

x  thì hệ phương trình trên

1

2

1

a

      y      2 a      y 2 

2

    0

a

y

a

0

y

   a

 y a

   y







 y a

     2

2

0

  a y      y a 

1



  1

2

x

x

1





  

2

x

2

2

x

x

1

x

  1

2

x

  1

0

    

.

   x    2      1   x   2

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là Bài toán tổng quát. Giải phương trình

2





  b

e

   x

x

ax

 c dx





   với

 

   bc e     ac d 



 

b

1;

c

1 2

Chọn

ta được

2

x

  1

x



2   . 1

1 2

1 2





 

;

d

1;

e

  1

0;

  a 2;     

1 2

Hoặc phương trình

b

  ad

  cx

d

x

ax

  b



   với

  1   

2 a c 2

 c      2

21 x a





Xét hàm số

  có đạo hàm

'

0

cx

d

     . x

c

y

y

x

21 x a

2 a

ac 2

   , ta sẽ đưa phương trình về được dạng hệ phương trình

Khi đó bằng phép đặt

y

b

ax

ac 2

đối xứng quen thuộc.

61

12

2

  

3

x

x

x

Ví dụ 1. Giải phương trình



  

 x 36

29 6

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 8

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

  



Làm nháp.

x

x

      . 0

x

1

x

6

3

  f x

  f x '

29 6

1 6

Lời giải. Điều kiện: 12

x   . 61

0

12

61

12

61

Đặt

2   y

y

y

1  36

2



 x 36 61

1   suy ra 6 12

 x 1 3 36 2      5

1

y

3

y

y

y

x

36

   x

12

2

2

        .

Mà theo cách đặt ta có

3

5

x

y

x

x

y

3

x

2

1 29 6 6    5

y

x

x

3

2

2

  x 3

3

y

    y

x

y

x

Do đó phương trình đã cho

2

  

y

5

3

y

x

    

y

x

2

x

    0

x

y

y

3

x

0

y

3

   3

 y x

   y









     2

3

2

x

 3

  x      y 

2

 Với x

y ta được

vì

y   .

3

x

    x

y

5

5 3

1 6

3

x

2

14

3

x

2

2

  

 

.

 Với

ta được

x

   x

x

5

3

y

  1 3

 3

14

;

x

.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

5 3

 3     1    3  

      

Dạng 3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng hai ẩn bằng phương pháp đồng nhất hệ số.

  



24 x

3

4

x

2

x

5

x

Ví dụ. Giải phương trình



  

  

2

x

5

y

2

1;

y

Lời giải. Điều kiện:

5 x  . Đặt 2

1   . 2

2

2

2

x

  5

2

y

4

4

y

4

y

x

2

2

y

1

4

4

y

5

          . x

Khi đó



2 1

Nên phương trình đã cho trở thành

2

2

  

4

x

4

2

y

4

x

4

    3

2

4

1

x

x

y

2

2

  

  

4

y

4

y

4

2

x

4

y

y

4

4

2

x

  1   2

      

       

2

2



pt

pt

4

x

4

y

4

4

2

y

y

x

2

Lấy

ta được

    x

  1

  2

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 9

Tất cả vì học sinh thân yêu

y

x

6

x

    0

x

y

y

4

x

0

y

4

   4

 y x

   y









     6

x

3

2

  x      y 

 2

17

  

.

y ta được

 Với x

x

y

  1 4

2

  

y

1 2 y

2

0

2

   y    

2

x

3

 

 Với

ta được 2

x

    0

x

5

4

2

y

 2

2



37

9

  x

.

4

x

x

4

2

2

  x       2 5 



37

17

9

;

x

.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là

4

  1 4

        

      

  với mục đích là đưa về hệ phương trình đối

Phương pháp tổng quát. Đặt 2

x

  5

Ay B

0



0

xứng hai ẩn dạng



0

  f x y ,   , g x y

   

2

2



Ta có

  5

Ay B

    x 2

5

2 A y

2

ABy B

   5 2

x

2

x



2   Ay B

  

24 x

4

x

3

Ay B

Và

 , khi đó ta được hệ phương trình:

2

2

  

4

x

3

4

4

    3

4

x

2

 Ay B 2

2

B Ay 2



  



  

2

x 2 A y

ABy B

2

x

5

x 2 A y

2

ABy B

5

2

x

      

      

,x y có vai trò như nhau. Nên

Để đưa về được hệ phương trình đối xứng hai ẩn, tức là hai giá trị

thế x

y vào hệ phương trình trên ta có được:

2

A

4

2

 



4

    3

4

2

4

x

AB





2

B Ax 2

2

2 1

  



5

2

3

5

x 2 A x

ABx B

x

B B

2

        

   A     B 

      

2

A

 

  

Do đó ta có phép đặt

  và được lời giải như trên.

2

5

y

1;

y

2

x

1 2

Bài tập vận dụng.

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 10

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

Vận dụng 1. Giải phương trình

x

3

x

  2 x

3

x

9

  5



  

2





 

Vận dụng 2. Giải phương trình

x

  x

1

16032

x

x

2004

Đáp số: phương trình vô nghiệm. 





 1

.

Đáp số:

x 

4009

3

2

3

  





Vận dụng 3. Giải phương trình

x

x 81

8

2

x

x

2

x



  

4 3



3

.

Đáp số:

x

2 6 3

     0;   

      

Dạng 4. Đặt ẩn phụ phương trình chứa căn bậc ba đưa về hệ đối xứng. Phương pháp.

 Đặt ẩn phụ bằng căn thức bậ ba.  Biến đổi đưa về hệ phương trình đối xứng.

Bài tập ví dụ.

3

2



Ví dụ 1. Giải phương trình

3 2. 3

2

x

3   3

x

x



  

3

.

Lời giải. Điều kiện:

x 

3 2

3

2

2

3

3

y

  3

2

x

0

y

3

2

x

x

y

3

Đặt

 suy ra

     . 2

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

3

2

3

2

3

x

y

2   x

3

  3

y

y

3   3

x





3

3

2. 3

3

x

x

2   y

3

x

2   y

2

3

  2    2  

        3

3

2

2

2

2

    

x

  xy

0

  x 2

2

y

2

0

y

x

  2    2   

   x

 y x

   y

2   y  y x

0

2

2

y

x

  xy

y

y

x

y

x

  y

2

      0

1

   x







3

  

  

3

2   y

 y   y   2 y 

x  . 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

3

3

2

  



x

x

3

x

13

x

2

9

Ví dụ 2. Giải phương trình



  

3

Lời giải. Điều kiện: x   . 3

y

9

x

9

Đặt

3   suy ra x

3 y  .

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 11

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

3

3

3

9

x

3   y

9

y

9



2

2

2

2







13

xy

4

2   y



3

13

x

y

x

2

2

3

13

x

  y

x

3   y 

    x     x 

       

  x       

y

Đặt

nên hệ phương trình trên trở thành:

   a x    xy b

3

2

3











9

2

a

18

a

6

ab

18

3

2

 2   a

 a a







2

2

2

2

b

  13

a

2

 a 3 13   13

a

2

b

   a     b 

      

        

3





Từ đó suy ra

.

x y ;





 

    2;1 , 1; 2

   b 3        2 b 13 a      y x     xy 2

.

Vậy phương trình đã cho nghiệm duy nhất là

x 

3

3

3









Ví dụ 3. Giải phương trình

25

x

25

x

x

30



  

 3 x x

1,2  

Hướng dẫn. Điều kiện: x   .

3

3

3

3



x

y

25

x

25

 suy ra

y  .

Đặt

2

3









x

y

x

y

xy

25

2



x

  



30

3   25 y     y xy x

30

      

 xy x

        y

3

3

3



4

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:          3     x

x

2

x

4

x

x

Ví dụ 4. Giải phương trình



  

3

3

x

4

Đặt

3 y  .

Hướng dẫn. Điều kiện: x   . 3   suy ra x

y

4

3









x

y

x

y

xy

4

2

2

  

2

3   4 y    y

x x

xy

     

       

2

x

y

xy

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:         

2

3

2

 

 . 0 2 

Dạng 5. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp bậc cao. Phương pháp. Đặt ẩn đưa phương trình vô tỷ về dạng 2 aA 3 aA

 bAB cB  bA B cAB

dB

 Đẳng cấp bậc hai  Đẳng cấp bậc ba

 . 0

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 12

Tất cả vì học sinh thân yêu

Xét các trường hợp để chia cả hai vế của các phương trình trên cho A hoặc B rồi đưa về ẩn

 sau đó sử dụng lược đồ Hoocner.

t

A B

Bài tập ví dụ.

3

3









Ví dụ 1. Giải phương trình

x

18

x

2

x

x

23 x

 6





Lời giải. Điều kiện:

   x  . Phương trình đã cho tương đương với:

6

3

3







x

3

0

6

2

x

   6





  

2



Đặt

x

6

0

a

x

6

a

 x x      nên phương trình   trở thành:

2

3

3



x

3

 0

xa

2

a

 x   không là nghiệm của phương trình đã cho. Nên chia cả hai vế cho

6

3a và đặt

 suy ra 3 t

3

t   . 2

0

t

Nhận xét x a

có

Sử dụng lược đồ Hoocner ta Từ đó suy ra

3 2 0

2 0 0

1 1

1 1 1

0 1 2



3

x





2

x

x

6

3









    

0

2

0

t

t 3

 t

  t 1

   2

t t

x x

x

2 7

  2



2

x

x

  6

0

   

   

    

    



.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

2 7

x 

 a   2 a 

3

3



Ví dụ 2. Giải phương trình

x

 1   2  3; 2 3     x

2

2

x

3

x

1



  

Lời giải. Điều kiện: x   .

3

x

1

3

3

        1

2

2

x

x

x

b

a

3

Đặt

.

3

2

x

   a      b 

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

3

3

3

3

3

2

3

3

3

3

  



  

a

3

  b

a

b

a

b

a

2 a b

3

ab

b

a

b





3

1

0

x





x

2

x

3





   x

2

0

3

 ab a

 b



x

3

0 0   b

0

     

1; 3 2

x

3     x

1

2

0

  a       0 b   a 

3     a b         

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 13

Tất cả vì học sinh thân yêu

.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

x

3 2

     1; 2;   

      

2

2

Ví dụ 3. Giải phương trình

x

  2 x

2

x

  1

3

x

  x 4

1

x



  

Lời giải. Điều kiện:

1 x  . 2

2

x

  x 2

2

2

2





2   

.

Đặt

b

a

x

x

x

x

3

2

2

3

  x 8

1

3



   1

5 2





2

x

  1

0

   a    b 

2

2

2

2

2

2

2

2

  



2     



  b

b

b

a

a

3

a

3

a

b

b

a

2

ab

b

3

a

Khi đó phương trình đã cho trở thành: 



2

2

2

ab

0

0

b

b

a

x

  2 x

2

x

  a 2

       

 a a

2

  1 x    1 2    x 1 

m

n

Phương pháp. Phương trình tổng quát dạng

  .

  b

d

k

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Dạng 6. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đại số.   af x

  cf x

m

m

m

 

  b

u

  af x

b u

  bc

cu





Đặt

n

n

n

  d

v

  ad

av

  acf x   acf x

  d

v

  cf x

    af x       cf x   

        

n

       m   

bc

av

cu

 . Nên phương trình đã cho trở thành:

v

k



giải bằng phương pháp thế.

n

m



  bc

av

ad

ad    u    cu 

Bài tập ví dụ.

Ví dụ 1. Giải phương trình

x

  2

3 6

  x 5

8

x

32 3



  

Lời giải. Điều kiện:

3

3





3

a

x

2

3

x

3

2







a

5

b

.

Đặt

   2





 3 6

x

5

  

x

5

6

0

6 x  . 5     2 a      2 b 6 

      b  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 14

Tất cả vì học sinh thân yêu

8

3 b

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

3

2



5

a

b

a 

 3 6



   2      2 

8

2

a

8

2

a







4

a

8

2

3

2

3

    a 2     b  







a

 3 b 3

8

a

3

8

   b     5  

 3     

2      

 3

   b        5  

   2

2

   2 x

là nghiệm duy nhất của phương trình.

Nên suy ra

x

4

6

 3 3 x      5  Ví dụ 2. Giải phương trình

3 24

12

  x

  x

6

x



  

Lời giải. Điều kiện:

3

3





24

x

x

a

3

2



  

b

a

36

Đặt

.

2

x

12



  x

12

0

x  . 12     24 a      b 

      b  

a

6

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

3

3

  

36

a

2   b

a

6

36

2 a

   a b     

   b 6       









 a b ;

    0;6 , 3; 3 ,

 

  4;10

3

2



a

a

0

   6 a b      a 

  x

3 24

0

0;6

.

nên suy ra

   x

24

 Với 

 a b  ;





12

  x

6

3 24

3

  x

3

  x

nên suy ra

.

 Với 

 a b  ;



 3; 3

  x

3

12          

3 24

4

   x

4;10

   x

88

nên suy ra

.

 Với 

 a b   ;





10

12      Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

.

x   

  12 x 

4

4

5

x

3

  x

12

  x

Ví dụ 3. Giải phương trình

 3; 24; 88 

  

Lời giải. Điều kiện:

x  . 5

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 15

Tất cả vì học sinh thân yêu

4

a

x

4   5

4

4



  

.

Đặt

a

b

17

4

4

12

x





12

x

      b  

a

3







 a b ;

4

      1; 2 , 2;1

4

4

  

4   b

a

17

a

17

 a

   a b     

4

x

5

1

  x

4

.

nên suy ra

 Với 

 a b  ;

 1; 2



4

2

4

5

2

x

nên suy ra

.

11

   x

 Với 

 a b  ;

 2;1



4

12

1

    a x 5      b  Khi đó phương trình đã cho trở thành:    3 b      3           12 x        

.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

  x  x  

 11; 4

2

4

3







Lý thuyết. Xét phương trình bậc bốn

  .

0

Phương trình bậc cao – Kỹ thuật sử dụng lược đồ Hoocner a x 3

a x 4

a x 2

a 5

a

a

a x 1 0

x  1

a 3

4

5

a 2

     , phương trình có một nghiệm là  Nếu 1 a  Nếu có tổng hệ số chẵn bằng tổng hệ số lẻ thì phương trình có một nghiệm là

x   . 1

 Lược đồ Hoocner ( nhân ngang – cộng chéo )

0

2a   a 2

3a   a 3

4a   a 4

A 2

A 3

A 4

5a a  5

1a A 1

a 1

a x 1 0

A x 2 0

A x 3 0

A x 4 0

3

2







 . 0

x

0x Khi đó 



0x là một nghiệm của phương trình đã cho, và ta phân tích phương trình ban đầu được thành  x A x 0

 A x A 4

A x 2

1

3

'

Phương trình bậc ba còn lại có nghiệm

2

4

3





0x và tiếp tục sử dụng lược đồ.    0 3

8

4

x

x

2

5

x

x

x  . 1

Ví dụ 1. Giải phương trình Nhận xét: Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có một nghiệm là Lời giải. Do có một nghiệm

1

8 4 0

5 7 3

4 0 0

1 2

2



x

3

x

x  nên tách theo lược đồ Hoocner ta có: 3 4 2  x

x

2 2 2 Khi đó phương trình đã cho trở thành 

 1

    . 0 2

 2 2

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 16

Tất cả vì học sinh thân yêu

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

.

x

2;

1 2

2

4

5







  .

4

x

        3 x 21

19

12

20

0

4

x

x

x

x   .

1

   ;1      Ví dụ 2. Giải phương trình Nhận xét: Tổng các hệ số chẵn của phương trình bằng tổng các hệ số lẻ nên phương trình có một nghiệm là Lời giải. Do có một nghiệm

1

20 12 0 0

19 32 6 0

12 0 0 0

4 4 4 4

x   nên tách theo lược đồ Hoocner ta có: 4 8 0 2

21 13 13 12

1 2 1 2

2

Khi đó phương trình đã cho trở thành: 





x

x

0







x

x

x

x

0

 x    x

 1 x  1

 2 2  2 2

 1 2  1

    x 6     3 2 2

.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

 ; 1;

x

2; 2;

3 2

1 2

      

4



x

29 x

Ví dụ 3. Giải phương trình Nhận xét: Đưa phương trình về dạng

 . 0

            . 15 0   2  g x

2 x   2 f x

2

2

2



2  

  

9

x

2 mx m

15

2

x

0

pt

2

2

2

2

2





m

x

m

x

9

    15

2

2







Giả sử, tồn tại số thực m thỏa mãn       

Xét đa thức bậc hai

2

m

15

m

x

9

2

 x m  x m  2 2    , ta muốn đưa x

0   f x về dạng hằng đẳng thức bậc

'

hai, thì trước hết

   f x   .

0

'

2

  





Ta có

   . Do đó phương

trình đã cho

trở

thành

1

m

2

m

m

0

4

  f x 

 9 15

  f x

2

2

2

2

2



x

4

      0

x

x

x

x

x

0

 1



  5





    . 3

 Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 17

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

4

2

2

2







    

  

8

16

x

x

x

x

x

2

0

4

0

 1











2

2

2

2

2

  

x

x

x

x

x

      0

0

 

 1

 3

 1 

x  5

2

 4   

x

5

0



21

13 1 ;

2

  1 2

2

  

x

x

3

0

      

x

36

2







.

x

0

  x 4

Ví dụ 4. Giải phương trình 

2

   x    x      x       Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên. 2     

   2 1   

1 x



2



2







.

x

Ax

 x  c x

Nhận xét: Đưa về phương trình 

 a x

 b x

   d

Lời giải. Điều kiện:

. Phương trình đã cho tương đương với:

0 2

  x   x

2

2

2

3

  









4

2

pt

x

x

x

x

2

36

x

0

  1



2

2

2

3

  





4

2

36

0

x

x

x

  3 x

x

 

 2

  

  36

0

x

x

  

      

    4   

2    3   

2 x

2   x



Đặt

  .

36

0

t

x

  , phương trình   trở thành:  t

 t 4

2 3

2 x

3

2

3

2







6

x

x

x

x

x

17

x

3    1

    1



 1 6

 5

2

2

2

3

 . 0 2 

 Đẳng cấp bậc hai dạng  Đẳng cấp bậc ba dạng

. a A 2 a A .

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên. Ví dụ 5. Giải phương trình   Nhận xét: Đưa về phương trình đẳng cấp bậc.  b AB c B . .  . b A B c AB .

d B .

 . 0

Lời giải. Giả sử tồn tại hai số

  ,m n thỏa mãn:

2

2



  



6

17

x

  5

x

x

 n x

   1

 m x

 1

 6   1

17

   6 m       n m  

  m    n  

3

2

Và hằng đẳng thức

x

x

x

1

x

   

 1

   . 1

1

Đặt

, khi đó phương trình đã cho trở thành:

x

1

   A x      2 B x 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 18

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

3











6

pt

3   A

B

11

2 A B

11

AB

6

B

0

3   A

 6 AB A

 B





2

3

A B A

0

  



 B A

 B

B B

6   A B      A 2   A 3

2



.

Với A B , ta được

1

1

x

x

x

0 2

3

13

2

  

  



.

Với

x

x

x

1

x

2

2A

B , ta được

  x         x 

 1

 2

2

  



Với

.

3A

B , ta được

x

1

x

3

x

    x

2

6



 1

13

3





.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

6;

x

 2

      

   0; 2; 2    

x

4

x

4

x



3  

Ví dụ 1: Giải phương trình sau



x

3

Lời giải

Điều kiện:

x  0





4

3

x

x



4

3

x

3 2

x

   

0

3

x

2

x

     4

3

x

x

x

1

 x x







Phương trình đã cho tương đương     

S 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

2  1

2

x  4 x   2 4 2 x  1

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

Lời giải

x 

Điều kiện:

1 2

Phương trình đã cho tương đương

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 19

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

2

x



4

x

  2

2

x

4

2

x

4 2

x

   

1 4

x

2

x

  1

2

x

1 2

x



2

x

 

1 2

*



    1



   1



 1



2     





.

Phương trình  * tương đương

1 2 x    1 x 3 2 x     1 2 x  2 x     1 2 1 x 2 x     1 x 1        

Với



2

1

2

x

    x

1 0

1

vn

2

x

     x

1

Với



3 3 2 1     4 x 6 x     x 3 8 10    x 0 x  2 x   1 x 3  x  2   x    

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

 







x

  1

4

x

S  4  6

Ví dụ 3: Giải phương trình sau

7 2

1 x

Lời giải

1x 

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương

2

2

2

2

2

8

x

7

x

x

x

x

2

x x

x

9

x

6

x

x

x



2  









1  

  

1  

1  



 1



 1



2

x

x

1

3

1

2

x

x

x

  



1  

 1 

2

1

x

x





 3  

 1



 x   

1 3

1

1 1 4

x

x

x

x

x    

  

   

   

2

2

    x

1

1

2

x

  

4

x

5

x

  2

0

vn

x

  1

2

x

Với



 1





1 4

x

x

 

1 0

vn

x

      x

1 1 4

Với





Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

x

2

x

2

x

  



Ví dụ 4: Giải phương trình sau

1 x

13 7  2

Lời giải

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 20

Tất cả vì học sinh thân yêu

x  0

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương

2

2

2

2

2

2

2

x x

    2

2 13

x

x

7

x

x

x

2



2

x x

  

2

x

x



9

x



12

x



4

    



2

2

2

x

x

x

x



2

  

2

x

4

x



2

x

    2

3

2

2

3

x

x

x

x

  



2







2   





2

2

x

2

x

    

2 3

x

x

    2

2 2

x

x

x

   

   



x



x

2

1 2

x

2

x

4

  

x

  2



  x

1

Với

2

2

  2

0

17

x

x

1 2 2 

x

x

  

2

4



2

x





    15 

    

2

Với

2

2





9



57

S

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

6

  1;    

    

2

x

2



x



2

3



x



1 0 9 57  2 2 2 x      x x    x 6 x  9 x   2 0 x    2 x  2 2 x  x  2 3   x    

Ví dụ 5: Giải phương trình sau

 x 2

1



Lời giải

x 

Điều kiện:

1 2

Phương trình đã cho tương đương

2

2

2

2

2

2

3



8

x

  

4

2

x

x



x



3



x



3



x



x



4

x



4

x





x

 2 2

 1



 1

 2 2

 1





2

2

2

2

x

x

3



  x

2

3



x

  3

x

1  

2



1

3





x

2

   2 x

x



2   





2

2

3



   x

2

3



x

  3

x



1

2

x

  1

x

   

   

2

Với

2

2





3 3 3  3 1 x    x    x 1  3 x   x x    x  x    3 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 21

Tất cả vì học sinh thân yêu

 

x

x

 

2

1 3

3



x

x

  3

  1

x    1



Với

2

2

2



x

x

  2

0

1 3 6

x

x





   3

 1

    8 

    3 

S 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

   1; 1

2

2

x



2

x

 



x

x



2

x



1

Ví dụ 6: Giải phương trình sau

 1 2 1



Lời giải

2

x

x 2

Điều kiện:

  1 0

Phương trình đã cho tương đương

2

2

2

2

2

2

x



2

x

 



x

x



2

x

   

0

1

x

2

x



x

x



2

x

  1



2

x





x



2

x



1

x

 1 2 1



 2 1



   1



 1



2

2

2

x

2

x



x

  

1

x

1



2

x

  1

2

x

1  

2









   x

1

x

2

x

1

x



2    1





2

2



   



x

  1

2

x

1

x

1

2

x

   1 2

x

x

x

   

   

2

2

2



   

2

x

2

x

   

1 4

x

2

x

     

5

0

1

x

6; 1

 

6

x

2

x

1

Với





0

0

x

x

2

2

vn



    2

1

x



x

x

Với





 2

 2

2

x

x

1 0



2

 

x



2

x

  

  3 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

  

1 4 x  S   

x



2



x

x



3

  x

3

  6 6; 1 1

Ví dụ 7: Giải phương trình sau 



 1





Lời giải

   1x

Điều kiện: 3

Phương trình đã cho tương đương

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 22

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2









2

2

2

2

2

x  2  x  2 x      3 3 2 x x 2  x  2 x   3 2 x  6

   x







   







2

2

x

2

x

2

  



x

 

3 1



2

x

  

3

x

1



x





2

2



   1 3



2

  

3

3



x

x

x

x

x

x

  

2

2

   

   

2 2  x  2  x  2 x 3 x  2 x  3      x 2 1 x  2 x  3  1

2

Với

2

2

2



 1

x   1 x   1  x  x     x 1      1 x 2 2 3 x  x   2 1 0  x  2 x   3 x         

2

Với

2

2

2





x 3   x 3    x  2 x     x 3 3     x 1 x  x 0 4   3  x  2 x   3 x  3        

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

 S   

 2; 1 

1

x   x 1 2 1

Ví dụ 8: Giải phương trình sau 4 2

   x 3

Lời giải

Điều kiện:

1x 

Phương trình đã cho tương đương

2



   1



   1

     

 1 1



Với

2   1 2 x    1 1 x x    1 1 2 x 4 2 x 1 4 x  2 x 1 2 2 x x     1 1 2 2 x  1  2      

2       1 2 1 3 2      x 1 9 6 1 x   1 2 x   1 6 x    1 x 9 x    1 1 x x x

 1



2

9 9 27 6 17   x    54 117 0  x   x 9 x   x  x   2  x     36  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 23

Tất cả vì học sinh thân yêu

Với

2



 1 2

 1

x     1 1 2 2 x     1 1 x 2 x      1 1 2 2 3 x x  x    1 2 2 x  3 x    3 3 1 x

2

2

2

 1

 9 1



1 1  1  x   x x x 3     x x 12 0  5    x  17   x    4 2 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm



 27 6 17;1

1

  x

1

  x

 2

S  

Ví dụ 9: Giải phương trình sau

21 x 4

Lời giải

   1x

Điều kiện: 1

Phương trình đã cho tương đương

2

2

4

2

2

2

2

1

  

2

 

2 2 1



  4





2 1



  1



0

x

x

x

x

x

x

x

x

1

  x

   1



1 16

1 16

1 4

2

2

 

1

x

1 0



2

2

 





1

x

1

x

  0

  x

0

2





1 16



x

0

   

S 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

 0

2

2

2

x



4

x

  1

2

x

1

  x

Ví dụ 10: Giải phương trình sau

 1

Lời giải

Điều kiện:

1 x  2

Phương trình đã cho tương đương

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 24

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

2

2

4

2 4

x

   1 1

2

x

2 2

x

   1 1

4

x

 

1 1

x

 

2



x



   1



 1  

 1 1





2

2

2



4

x

  1

2

x

    x 4

1 2

1

x

   4

1

x

2

x

  

0

2

  x

1

1 2

  

 1   x 2      x 1;   

S 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

 1

22 x

   7 x 2 x 2 x   1 4 x  3

Ví dụ 11: Giải phương trình sau

Lời giải

x 

Điều kiện:

1 2

Phương trình đã cho tương đương

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

  

1



3



4

   

3 4

0

2

 

1 2 2

 

3 4

 

3 4



0

2

x  

2





    1 1







2

 

x

x



0

2

2

2

x

2

 

1 1

 1 1



x

x

x



2

 



 

3 2

  0



x  

1



 1 1





2

x

4

3  

  

x

3 2

0

 





     

S 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

 1

x

2 13 

x



28



4

x



4

x

 

3 2 2

x



1

Ví dụ 12: Giải phương trình sau





Lời giải

x 

Điều kiện:

1 2

Phương trình đã cho tương đương

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 25

Tất cả vì học sinh thân yêu

2



4

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



7



4



4

 

3 2

 

1 2 2

    

1 1 0

4

 

7 4



3



2

 



0

















 1 1

2



4

x

x

 

3 2



0

2

2

x

  3

2

 



x

x



x  

1

4

 

3 2



2

 

  0

 x  

2







 1 1

x

2

1 1

 

   

x

2

0

 



 1 1

      

S 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

 1

2

2

x



3

x

  2

x



2

  x

x



9

x

 4

Ví dụ 13: Giải phương trình sau



 1

 2 2

 1

Lời giải

2

x 

Điều kiện:

3 2

Phương trình đã cho tương đương

x

x

x

x

x

x

x

x



2



2



3

2









2

x  

2

 

1 0



 1 3





 1



 1 2



 1

x

x

x

 

2 2 3

2



x  

2 2

x  

0



 x  

 

x   1 3

  2     2 1

   1  1 2

2

x

x



3

 



0

2

2

x

3

  2

1

3

x

 



2

x



2

  x

  0



  x

1

   x



2

 1

 2 1

 1

 1

1

2

  x

    

2

2

0



  x



x

 2 1  1

 2 2  1  1  1

      

S 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

 1

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 26

Tất cả vì học sinh thân yêu

TUYỂN CHỌN 2016

2

1 4 x  24 x  29 0 Bài 1: Giải phương trình: 2 x     1

Bài giải:

2

Điều kiện:

x

1,



2

0

t

t

t



2

2

4

2

2

Đặt

1 x     2 x    

 1 2  1

   1

 2

 t t   12 t 29 0    t t 14   t  42 0 Ta được phương trình:





loai   3

2

   t











t   t   1  29  2 3 7 0 t t   t     loai t 2

 1 29

    t  2

t

2

3    x 2

1



29

13

29

Với

t



  x

2

 4

29

 Vậy phương trình có nghiệm

.

x

 4

3 13 ; 2

    

     

x

x



5

x

24 x

    6

Với

  1 1

 1 2



Bài 2: Giải phương trình:

x

x     1  1





1



x

  1

2

4

x

   

6 1 2

x

x



1

x

2



4

x

    6

x

x



5

x







x



1

 1 2



  1 3

2

6 1 2

x

x

4

x

   

Bài giải: Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 27

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x      1 0 x 1( TM )

  1 2

x



2

7

4 x     x x  x  6 1 2    

2

x

x

  x

  1

2

  1

 2

2

 

1 2 

8

x

3 0

x

4

    

2

7

 Vậy phương trình có nghiệm

.

1;

x

 2

     

    

Kết hợp (1) và (2) ta được ( Thỏa mãn )

3 5x 4   2x 7 Bài 3: Giải phương trình: 3 5 x    1

Bài giải:

x    5

5 4

Điều kiện:





2

4 5

 

x



x

  3

  2

0







4 5x     x

3 5

x

5

x

  4

x

x   7 



2

x    3 5 7  x  3 5x 4   x 0



   



x

2 5 

4

x

 3 5 7   ( Do   )

x x  4 5   0 1 x    x 3   4 x 5 x    

4x  ( Thỏa mãn ) x  4.

      0 1x  ( Không thỏa mãn) hoặc  Vậy phương trình có nghiêm

23x

8   3 4 x x Bài 4: Giải phương trình:  x   1 1

x     1

2



x



2

x



1

x

   2

 1



2

Bài giải: Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 28

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

x

x

3 0



 

6

x

 

3 2 3

x

  

1

x

1

2











x

x

  

1 1 3

x

2

x



   

5 2 13 9

    

2

x

1 3 

x

 

10

3 0

x    2        9 

 Vậy phương trình có nghiệm



x



5 2 13 9

  ;3 2 3 .   

    

( Thỏa mãn )

28 x

Bài 5: Giải phương trình  10 x  11  14 x   18 11  1

Bài giải:

x  

2

ĐK:

  1

11 10  4 2

    1







2

2

x

  x

x

  x

2

x

x





0



 4 2

    1

  2 2 x 14

 1 

 1 

x

 11 2

x

3



 18 2

4

 2 2 x 10



2

        (tmđk)

1 0

1

x

x

x



)2

x

1 2



  2



0



)

 f x



10



x

x



3

14

x



x



4

1  18 2

1  11 2

 x x 10 x   11 2 x  14 x   18 2 x  4  0 3 

f

'

x

     f(x) đồng biến trên

0

x

;





11 10

11 10

   

 

Ta có:

f







0

 f x



11 10

  

  

 Vậy phương trình có nghiệm

x

1;

.

1 2

  

   

Từ đó nên trường hợp này vô nghiệm.

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 29

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

36

x Bài 6: Giải phương trình:   1 2 x x   2 2 x 8 x    1

Bài giải:

2

x    

2

3

Điều kiện:



;1

2



2

4





x

x



4





3

Xét 1 6 x   1 2 x x   2 2 3   7 2 x   nên (1) không có nghiệm trên 8 x     x 2

1x

x

x x

x

x

1 2

  2

2



6

 



 1



     1 1

x 2

10 2

2

2

x



4

x



2

Xét , khi đó



2

x

x

x

   

8

2



0





3 2

10 2

x  2.

 Vậy phương trình có nghiệm

2

Mà . Do đó (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 2.

3

x

  1

x



6

x

6

x

   1

Bài 7: Giải phương trình:

x

 

1 0

Bài giải:

2

x



6

x

 

6 0

  

2

   

1

x

x

x



6

x



6

3

2

2

9(

1) 2



6

 

6 2



6



6

   x

x

x

x x

x

2



6



6)

x

 5)(

2 2 15 2 )  x  1)(4

2 4 (  x x   5) 0

(15 x    ( x

x

x

Điều kiện:  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 30

Tất cả vì học sinh thân yêu

1 5

 x    x 

5 5 4

5 4

   x  x    x  

 Vậy phương trình có nghiệm

x

5 4

 ;5 .  

   

2

2

. Đối chiếu điều kiện ta được



 11

 1



x  x   2 2 x  6 x  x   2 x  1 Bài 8 : Giải phương trình; 

Bài giải:

x     2

2

3

2

6

x



12

x

  2

2

x



x



2

x

  1

   x



Điều kiện:

2

6

2

x

2

Với x = 0 => phương trình vô nghiệm





  2

1

0x  ta có:

x  x

 2 x

x  2 x

    

  

2 2 x Với 1 2   x  x  2 x 6 12   2 x x      

 . Ta có:

t

 2x x

2

3

2

2

3

2

2

t

            

2 0

t 6

t 6

2

2

t

t

t

t

t

t

t 6



t 3



3



0

 t  1 6







2 3

  

  

0

9



0

TM





t

  

3

x

   2

2

x



377 8

2 3

4



9



 18 0

x

x

 x  2 

9



loai





377 8

 x      x     x 

Đặt

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 31

Tất cả vì học sinh thân yêu

9



 Vậy phương trình có nghiệm

x



.

377 8

2

    5

1

x

2

x

0

7

7

x

2

x

    1

Bài 9: Giải phương trình:

Bài giải:

x

     5

1 2

2

Điều kiện:

x



      1 3 1 5 x 2 x 7 x +) Phương trình  2 x    0 4

4)(2

x

  1)

0

  x (

 8 x 2   2 x 1

3

 4   5

1

x



0

   (2   1) 0 x 1   5 1 3 x x 2    x 4   2     1 





(2

x

  1)

0

2

2   1

3

1   5

1

x

x

 Vậy phương trình có nghiệm

4. x 

Dễ thấy nên x = 4

2

y

  3

y

  1

2

y

24 y



 1

Bài 10: Giải phương trình:

 

3 0

Bài giải:

 *

24  y y 2   1 0 y

  

Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 32

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

13



  

y

0y  kết hợp điều kiện  

4

2

2

y







0



2

y

  3

2

y

y

 



0



24 y



   1



 1 1

2

2 y    1 1 y

 2

y

   3 2

y



1

4

y



2

y

2





0

  



2

y

1   1 1

y

y

y

4



2

 

3 2



1

   

   

2

1

13



Từ  1

y  ( vì 2



0



y



2

4

1   1 1

y

4

y



2

y

 

3 2

y



1

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

y  2.

24 x

  

6 2

x

x

 

1 5

x

) với 

  1 1

Bài 11: Giải phương trình:

Bài giải:

x     1

Điều kiện:



1

x

2



6 (1 2 ) 5



x

x

x

  1



x



1

4

x

   

 1

2

4

x

   

6 1 2

x

x

Với điều kiện   thì :

24 x

x      1 0 x 1     6 1 2  x x  x  1 (2)   

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 33

Tất cả vì học sinh thân yêu

x



7

2

1 , 2 

x

  1

2

x

  1

  x

2

 2

2

x

1 2 

8

x

 

3 0

4

    

2

7

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

.

1;

x

 2

     

    

( Thỏa mãn ) Từ    

Bài 12: Giải phương trình: 3 x   6 2 4 x    x 8

Bài giải:

2

(



0





ĐK: x     6 4   6 0   x 0   







 6) x 9( x  6 6

x

0







6 3 x  6  2 2 4   x  0 (1) x 4     x

 x

6)  6

3)( x (    6 3 x

  x 6) 6 3   x x      6 3 

  4 4(4 x ) x 2 2 4   4   

  ( x 3)   0    x x 6 2 2 4 x

3x 

4(  x 3)  2 2 4  x x  6   6 3  Vậy phương trình có nghiệm :

4 Do (nhận)  x     [ 6; 4] 0 x 2 2 4   x      

3 5

  4

2

  x

x

x

 7

x 6  x  3

Bài 13: Giải phương trình: 3 5

3 5

  4

2

7

  x

x

x

Bài giải:

 ĐK: 4 5

x  (*) 5

/

7





  4

 0

   3 5 x (

x)

3 5 (

x

x)

2

 

4 5

 x x

  3 4 5 (

2  x x )



0





 

  4



7

5

x (

x)

x

x

3 5

3 5 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 34

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

1

4 5





0

   (

2  x x )

 



7

5

  4

3 5

x (

x)

x

x

   

   

4 0

  ( Do (*) )

2 5  x 1

  x x     x

x 

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

( Thỏa mãn ) 4

1;4 . 

3

2

3   x x  x  4 x Bài 14: Giải phương trình: x   2  1

2

3

Bài giải:





2

x

x



 2 3



3

2

2

x

x

x

x

x

x

3



  3





4

  4







4

x   

2



 1







x   2 3   x x   4 x 1





3

x

x

  2

 

2

x



x







2



x



x



4





 1



    x 3

3

x





x



2

x

  2

 

4    2 3





 2 3  



2

2



x

2

2



2



x



x

  x

2







   x

3

x

 

x

3



x



2

  2



 2 3





  x  



 , Đ/K 2    3x  3 x  2 

2    x





 2 3







 2   0

2

2   2  0 x x 3 3 x x x x        2 2                

x          1 2 0 2 x x x

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 35

Tất cả vì học sinh thân yêu

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

 x  

1; 2 .

2

2

x

x

x

x

x

x

x

 













2

  1

 3 2

4 2 3 4

4

4

4

2 1

 3 2



1 4

Bài 15: Giải phương trình:

Bài giải:

   . x

3 2

1 2

2

2

2

2

x

x





2

2

 1



 1



Phương ĐK:

x

x

x

x









  1

 3 2

2

  1

 3 2

2









2

2

   

   

2



trình: (*)

f

t

f

t

t

t





 trên

   



2

1 0

0;



  t



0;  

 

  t 0;  

 đồng biến trên Do đó Phương trình   tương đương với:

Xét hàm số có nên hàm số f(t)



2 1





x



2

2 1



x

x





2

  1

 3 2

x

x

x







8

2

  1

 3 2

 4 2

2 1



x

x

x

x





2

  1

 3 2

2

 3 2

8

   1

 

2 

 2   ( **)

 





x

a

  

2

1

0

x 2 2 f x  3 2 x   1  2    f      

x

0

 3 2

   

2

2

2

2

2

b

a

2 2 a b

a b 







4

Đặt thì phương trình (**) trở thành





b   2

2

2

2

2

a

b



 

a b  a b  

 

 4

  (1)   4 2

 8    

a b   8    

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 36

Tất cả vì học sinh thân yêu

a b

2 2 a b

a b

2 2 a b

 16 4

  4

2

2

4

 (***)

 ab

2 2 a b

   2 4 a b

4

2

2

t

   2  16 8





t  16 8

t  16 8

t 

0

  2

 t t  





thì pt (***) trở thành t t   2 2 4  0  

2

 Từ (1)   8  b a  4 Đặt ab = t  t  ( Thỏa mãn )  0

t   ( Loại ) 

( Loại ) 5

x

x



  1

 3 2

2

2

x

x







1. 3 2

0

2

    

t   t   1 1 2 Vậy t = 0    

3 2   t 

2

4

2



2









a

2

8

a

a

a

4

8

a



8

 0

 3 2   1 x  a 2







2

2

Chú ý: HS có thể giải theo cách khác như sau . Phương trình đã cho trở thành Đặt x  a a

3

x

2



9

x



3



4

x



2

1

  x

x



1

 0











Bài 16: Giải phương trình:

Bài giải:

2

2

Phương trình đã cho tương đương với:



 1



 1





2 9 x  3   2 x  3  2 x   2 3 x 





2



x 3 2



9

x



3

x





 2

x





3

   2



2 1





  1 2  

  

2

2

2

t

t

 

3 2

f

t ( )



2







f

3

x



f

 2

x

t  Xét hàm số ta có '( ) t t    3 2  0 f suy ra hàm số đồng t  3







  1

biến

2

x

   

1

x

.

3

x

 

1 5

Từ đó suy ra

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 37

Tất cả vì học sinh thân yêu

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

x  

.

1 5

x x

 

x



x

  

x

1 (2

2 3) (2

2)

2

 1;

. Bài 17: Giải phương trình:

2

Bài giải: TXĐ D = 

x

x

  1)

x

 

x





x





x



1)

  1 (

1 (2

3 3)

(2

3)

2

3

  x (

3

2

2

Phương trình (1)

Xét hàm số suy ra hàm số f(t) đồng biến  t    t t f' t  f' t     t f t ( ) t  ( ) 3 t 2   1 ( ) 0,

trên  .

x



f

x



f



2

1)

(

3 )

(

x   

x



2

3

1

x



x



3 / 2

3 / 2







x =

2

2

2

x

 











x

x

x

x

1 4

12

9

4

13

10

0

  

  

x 

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

 2 .

2

3

2

trình (1) có dạng . Từ hai điều trên phương trình (1) Phương











 1

5 x  5 x  10 x   7 3 2 x  6 x   2 2  x  2 x  5 x  10  Bài 18: Giải phương trình: 

Bài giải:

x     2

2

x

5

2

2





x



2

x



5

Điều kiện:

   x









  5 x 10 7 3   x

2 x

 x 6   2 2

  

  

Với điều kiện   thì   1

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 38

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

10

5

2

2

2







5



0

x

   x



x   2 0

2

x 6    2 2

2 x

x 5     7 3 x

  

  

x

    ( Thỏa mãn ) 2

2 0

x

)

2

2

5

x

5

x

2

2





x

5 0   





x



5

)

5   x 10   7 3 x

2 x

x  6   2 2

5   x 10   7 3 x

2 x

6  x   2 2

2

2

5

x

x

x

5





10

6

2









5 5

 x 2

2 x

 x 6 2 2  

  x 10 5 7 3 x  

2

5 10 x    x  5 0 6  x   2 2 2 x 5   x   7 3 x     









0

1   5

 5 x  5 x  10   2 x  6   0 1 5 1 2 1   7 3 x 1   2 2 x            



10

 x R 

0

25 x

x 5

2

0

1   2

x

1 x   7 3 x   6 0 1   2 2

       

và Với điều kiện   thì

x 

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

 2 .

2

2

2

 Phương trình vô nghiệm.

y

y .



13.



1

.



 

1 y

y 7

 

1 y

y 7

 

1 y

y 7

  

  

  

  

Bài 19: Giải phương trình:  1

Bài giải:

y    7

Điều kiện:

Với điều kiện   thì:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 39

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

2

4

3



y

y









y



13

y





7



y

25 y

 1



 1

 y y

 1 7





 1





y   33 y  36 0   y 

2

y

y



3

y



5

y



12

 0

  

 1





 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

1 ( Thỏa mãn ) 3

2

3

 y    y 1;3 .  y 

x Bài 20: Giải phương trình:   2 3   x x  x  4 x   1 1

Bài giải:

     3x

Điều kiện: 2

2

x





x



2



 2 3







3

2

2



x

  2

3



x



x



4

x

  4



x



x



4

x

  3

  1



 1





x

  2

3

  x

3

2

x



x







2

x

x

2)





x  





 2 (

x

x

x

2

3

  x 3  

2  







 4   2 3



 





2

2(

x

2)



2

x

2

x

2

0







x  









3

x

3

x

x

2

2  

x  







 2 3





  2 3   x     



2 

x

2

x

 2

0

 x

x

 2

3

x 

x





x



2

 32





   

   

2    3  )2



(0

xvi

Với điều kiện   thì:

2 

2

0 

x

x

2  

1

x x

  

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

 x  

1;2 .

( Thỏa mãn )

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 40

Tất cả vì học sinh thân yêu





x

x



 

1 3





 1



 x 2 x

8 

  4 x 4  7 x

Bài 21: Giải phương trình:  1

Bài giải:

x    * 1

x



4

x



8

x















Điều kiện:

8 



7

 x 2 x

 4 x

 1 1 3  

x

Với điều kiện  * thì  1

 x

  2

2

2

 x 7 8  x 4 4 x      





 1





2

2

x



1



3



x



2



x



2



   x

1 3

   x 1 3  4 x  x  x  4 x  7   2 1  x x 1 3   









 

3 .  





 3 

 

    

  

2

(3)

t   có

'



f

3

t



    nên

0

t

t



t



3

f



3

  t



2 1

  t







f

  t đồng biến trên  .

2

 x

x



1



2

2

x

x



f

Xét hàm số với

 f x



2





x

  1

x



4

x



4

       1 

2

5



13



  x

Do đó   3

2

 

x

3 0

5

 x  2  x 

13

5



 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x

.

2

    

    8;  

( Thỏa mãn )

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 41

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

x Bài 22: Giải phương trình:   2 15 x    1 1

Bài giải:

x     2

3

Điều kiện:

3

x      2 3 2 15   0 x Với điều kiện   thì  1

1





0

7

   x



3

x

1   2 3

 4 2

15

15







x



2 3 x  0 

      

      

x

     ( Thỏa mãn )

7 0

7

x

x  7.

2

x      2 3 2 15   0 x

4

4

2





x



x



x

4 

x



x

4 

50

.

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm  Bài 13: Giải phương trình  x

2

x

4







4

x



x

 4

50

2

4

4

2

x









x



48



0

Bài giải:

4x  

x  x

22 

Điều kiện  x   x 

Giải phương trình x  x 4  5

5 x

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x  5.

23 x

Giải phương trình : x  x  4 5

 Bài 23: Giải phương trình: 8 x   3 4 x x   1 1

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 42

Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài giải:

x     1

Với điều kiện   thì

Điều kiện:

2

1

2



x



2

x



1

x

  1

   2

 1



2

2

x 6     3 0 x x   x 3 2 3 2    x x 1 1      x 2    x 1 1 3 x  x    5 2 13 9      1 3    3 0 10 x x            9 

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x





5 2 13 9

  ;3 2 3 .   

    

Cả 2 nghiêm đều thỏa mãn điều kiện  

24 x

   

6 (1 2 ) 5



x

x

x

  1 1

Bài 24: Giải phương trình:

Bài giải:

x     1

Điều kiện:

x



1

x







1

  1

2

6 1 2

x

x

4

x

   

Với điều kiện   thì:

24 x

x      1 0 x 1     6 1 2  x x  x  1 (2)   

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 43

Tất cả vì học sinh thân yêu

x



7

2

x

  1

2

x

  1

  x

2

 2

2

x

1 2 

8

x

 

3 0

4

    

7

2

Kết hợp (1) và (2) ta được

 

x



x

1;

 2

7

2

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

1;

.

x

 2

    

     

5

3

4

Thử lại ta có: Phương trình đã cho có 2 nghiệm:

4

3

2



2 x  14 x Bài 25: Giải phương trình:     4x 14x 3 x  1  2 2 x 3  x 2  x    2 1    

Bài giải:

 

2

x

(*).

2

4

3

2

Điền kiện:







14







2

 

2 2

14

3 2 x ( x

3 x

)

4 ( x

3 x

)

x





3

2

4

PT

3 x x (

3

2

4

 2)(2  7)   2 2  (4x  14x  3  2)(   2 4) x x x x 

3 ( x x

   2 (

x   (*))

  2)(2  7)   2 2  (4x  14x  3  2)(  2) x x x x

3

4

3

2

2 0 x x

4

3

4

3

2





7

 

2 4



14



4



14



 2

1 ( )

3 2 x ( x

) x

x

x

x

x

3 x

2

7



  2

) x

3 x

3  2 x ( x Nhận thấy

 2 0x  không là nghiệm của phương trình

  0x .

4 3

  

2

       (2 7) 2 2 4x 14x 3 2 (1) x x x x      TM    

   2 ( x

) x

3 x

2 3 x

 

2 3

  2



  2 (x

2 ) x

x

2 ( )

3 x

2 3 x

Khi đó, PT

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 44

Tất cả vì học sinh thân yêu





. 

32 t

3 t

f(t)

3 0

 



f '(t)

t

26 t

.

Xét hàm số: với t

Ta có:     Hàm số f(t) đồng biến trên





0

5

Do đó  2      2   2 1  f x f x x x 2 ( ) 1 x 1 x      



  x

2

  1 2

0



  

1 )(x

1 )

x

  x   (x 

5

x

 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

  1 2

     

  ; 2 .   

( Thỏa mãn (*) )

22 x

6 x   1 4 x 5 Bài 26: Giải phương trình:    1

Bài giải:

5 x     4

2

8

x

  4

4

x

 

5 2 4

x

  4 x

  5 1

Với điều kiện   thì   1

2

x

2



4

x

    

2

2

x

4

x

  5 1

   2





2 5 1

1

 Trường hợp 1:

Điều kiện

2

   x

3



x

  5

2

3

 x  x 4 

1

 Trường hợp 2:

( Thỏa mãn )

   x

2

1

  

x

5 1 2

 x  x 4 

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

( Thỏa mãn )

 x   1

 3 .

2; 2 





 1

9  10

x

3



2 x



1

3



2  4 5x

Bài 19: Giải phương trình:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 45

Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài giải:

x

4      1 5

Điều kiện:

Với điều kiện   thì:

  1

   2

 10 6



  9 9 3



x  x   1  4 5x  x   1 3 4 5x   x   1 4 5x



  4 5x 3 9

 1 9 4 5x 4x 41

x   1  x       0

x

1;

4 5

  

   

( Do nên 9 x    1 9 4 5x 4x 41 0  )  

x   1   4 5x 3 0 

1 x     4 5x   3 2 x   1. 4 5x   4 4x





 Vậy phương trình đã cho có nghiêm

 x  

1;0 .

3

4

2

2

2

4

  1 x   1 0 x 4 5x 2   x  1   0    1. 0  4 5x  2 x  1 x    x    

x



x



x



1

 

2 4

x



2

x



x

x



2



3

Bài 27: Giải phương trình:  1

Bài giải:

x R .

3

3

2

2

2

4

2

4

x

x

x

x

x

x

x

x















1

2

2

  1

2

2

Điều kiện:







 2 Phương trình tương đương 

3 2 

  t

f t t  , t  Xét hàm số

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 46

Tất cả vì học sinh thân yêu

t  suy ra hàm số

f

  t

  t

3

3

2

2

2

4

4

2

x

f

x

x

x

x

x

x

f x



  



  1

2

  1

2

f Ta có  đồng biến trên  t2 3   2 0 '





  

  

Phương trình  2 có dạng  3

3

Nếu x 0 thay vào  3 không thỏa mãn

0 thì phương trình  3

3 1 x

2

2

3

2

t

t

x t x x Nếu x  . Đặt   , ta có phương trình 2 1     x 1 x

  



2

0

t

t

t

t

t

t  

   ( Vì t

2

     0

1

2

1

0







7   4

1 2

  

  

)

2

3 1 x

5

x

.



 Vậy nghiệm của phương trình là

  1 2

2

4 2

  x

2 2

x

  4

9

x



16

5 x x x x x         ( Thỏa mãn ) 1 1      1 0 Với t 1 1 x   1 2

 1

Bài 28: Giải phương trình:

Bài giải:

     2x

Điều kiện: 2

Với điều kiện   thì:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 47

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

2

2



16 2(4



x

  

8(4

9

x

x

) 16 2(4





x

)



(

x

)



x 8 )

 0

 

32 8

x

 1

2

2

2

t 4



t 16



(

x



x 8 )

    t

0



x

)

(

t



0)

t



2(4

x 2

x t    4 2

Đặt: ; PT trở thành:

x t    4 2

0

2

2(4



)

  x

x

2

x   2

4 2 3

x



  2 x 32 9

   

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x 

.

4 2 3

3

2

2

So sánh với điều kiện ta loại



1





x

4

x



25

x



18

5 1

x









Bài 29: Giải phương trình:

Điều kiện:

3

2

2

x



5 1

1





x

4

x



25

x



18



4

3

2

3

x     1   



4

x



25

x



18

x

   5 5 1

x

3

4

2

3



25





x





18

x



20

3

4

2

2

3

Bài giải:

x 

4 x 



2

2

3

2

2

3

 25 x  5 1  4  x  x  16 x  16  2 x  4



25 5 1   1 



2

t

t

f



Hàm số

  t

 0;  nên

2

3



f

(1)

5 1



x





4

2

x

f





  đồng biến trên  



 x 5 1   x x 2 4    5 1  2 x 4   1

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 48

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

3



2

2



5

x



x

  x



2

x

x

  x





   1

  1

 1



 1

 

  2 

2

v



x

1 0

x

x   5 1  2 x  2

Đặt:

  

2

u x 1   và 0

2

 2 thành:



 2  

x

  1

2

2

x

x

x

  1

Với

 : 2

( Vô nghiệm )

2

u v

x

5

x

 

3 0

4



     1 

x

  1



37

5

2

2

x

  1

x

   1

x

  x

.

Với

2

2

u v

1  : 2

x



5

x

 

3 0

  

5



37

2 u v 2 2 5 2   uv 5     0 u v u v             1 2 u   v u    v

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x



2

2

3

x



2

2

x

  3

x



x

x

.



   1 2

Bài 30: Giải phương trình: 

Bài giải:

3 x     2

Điều kiện:

Với điều kiện   thì:

 1

   x

  21

 1



x

  1

2 x    3 x  4 2 x   3 2 x  8  0

  

2

x 

( Thỏa mãn )

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 49

Tất cả vì học sinh thân yêu

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

 x  

 1; 2 .

2

2

7

x



25

x



19



x



2

x



 35 7

x

2

  1

Bài 31: Giải phương trình:

Bài giải:

7x 

2

2

Điều kiện

25

x



19



7

x

  2

x



2

x



35

7

x



23 x



x 11



 22 7 (

x



2)(

x



5)(

x



7)

Phương trình tương đương .

2

2



5

x



 14) 4(

x



5)



7 (

x



5)(

x



5

x



14)

3(

x

Bình phương 2 vế suy ra:

x

x



14;

b



x

 .( a ,b  0) Khi đó ta có phương trình

5

a



2 5 

2

2

2

2

Đặt

b 4    ab a 3 7 7 ab  b 4 a 3  a b  b 4  3 a    0 

t m x );

 

l 3 2 7 ( )

x

 

3 2 7 ( /





61

61

. Với a b suy ra

b 4a

x



x



11137 18

11137 18

61



 Vậy phương trình đã cho có nghiệm



.

x

11137 18

  3 2 7;   

    

suy ra ( Thỏa mãn ); ( Loại ) Với 3

23 x

Bài 32: Giải phương trình:    3 x 3 x   1 5 x 4   1

Bài giải:

1 x     3

Điều kiện:

Với điều   thì

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 50

Tất cả vì học sinh thân yêu

2



3





  1

3



1



  2

5



4



0

x

x

x

x

x

x

  1













1

1

2



0

3





x

   x



  1

3



1

  2

5



4

x

x

x

x

  

  

2

1x  .

0

x

x

     hoặc

0

x

x 

 Vậy phương trình đã cho có nghiêm

0;1 . 

3 5

x

  4

2

x



7

  x

 1

Bài 33: Giải phương trình: 3 5

Bài giải:

ta c

ó :

  x

5

4 5

Điều kiện

2

2

x x x     (3)    7 3 5 5





 x  

 9 5 3 5

2

x x   5 4 3 x x    7  4) 0     0 x x x 3(  x    7 5 4

   x



x  4  0  5 7    4 1 3 5 3 5   x x x x      

2 5

  x

x

  ( Vì 0

4



0



7

3 5

1 3 5

  x



x

x



x



4

với mọi x thỏa mãn điều kiện )

x 

( Thỏa mãn ) 1 4

1; 4 . 



x

x     x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm



2)



2

x



x

6

  1

Bài 34: Giải phương trình 3(2

Bài giải:

2x   

Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 51

Tất cả vì học sinh thân yêu

3



x

 

6 3

x

  0

2

x

   2



3

x



8

3





0

x

   2



 x

x



2

   6 3

Với điều kiện   thì   1

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x

  ;3 .   

  11 3 5   2  

3 x    x 3 0 3   ( Thỏa mãn ) 0  x 6 3 x 4   2   x   x   x x 2 8 6 3        2   11 3 5  2     

4x 14 6 x 7 2x 3x 2

 





2x



   1 0

Bài 35: Giải phương trình:

Bài giải:

x   

2 3

2

x 4 3x 2

 

 3x 2



x



  4x 4 0

2 6 x 7

 



 x 16







  1





 

 

 

2

x



1



0

 



 4x 4







  2 6 x 7   

x 16



  

  

 



x 2



0

2

  

2    6 x 7

x 16

2

2





x 2



0

  



x 16

6x 2 4 3x 2  4 3x 2 3x 2    2   3x 2 1    4 3x 2 3x 2

2    6 x 7

9x   4 3x 2 3x 2        

x

        2  ( Thỏa mãn )

 Vậy phương trình đã cho có nghiêm

x  2.

Điều kiện:

2x



2x 16 6 x 7 2x x

 





0

  1

Bài 36: Giải phương trình:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 52

Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài giải:

0x   

2

2

  

x 7 3



x



x

 0

  1



     x 7 3 0

Điều kiện:





x



0

x



  x 2   x 0 

   

 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2

2

(vô lý)  PT vô nghiệm



x 3 2

9

x



3



4

x



2

1

  x

x



1

0

  1











Bài 37: Giải phương trình:

2

2

2

x



 

3 2

 

x ( 3 ) 2



 ( 3 ) x



3

x

  1

   2

 1



 1

Bài giải: Điều kiện: x R











f

2

x





f

 3

x



 1





2

f

 '( ) 0, t

 t .

f



( ) t

t

t

 

3 2





Xét có

2

x

      x

1

3

x

1 5

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

.

x  

1 5

4

2

f là hàm số đồng biến nên:

16

x



9

x



9 2

x

   trên tập số thực.

1 2

0

32

x



Bài 38: Giải phương trình

Bài giải:

x  , phương trình đã cho tương đương

1 2

Điều kiện

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 53

Tất cả vì học sinh thân yêu

4

2

2

x

32

x

16

x

16

7

x

x



 

32

2

2

32

16

7(

x

x

x

x

2

1

0

 









  x x

x  1  

 

  1  

7 9 9 2     1) 9 1

2



32



 

1) 16

7(

  1)



0

x

x

x

x



 1 (

 x x

   1

1 0   9 2 2 x  

1

2



 1

x

  

 2 x x 1 32 (

2

3

x   1) 16 x   7  0 18 x 2  1 1       

  

x 32 x 16 x 0 (*) x   7    1 1 18 2 x        1 32  

3





4

32

x

2

3

2

32



  8

32



32



16

  7

27

x

x

x

x

x

1   2





x

8

32 8 32 4 16 2

       16 



   

 

x

1

2

1 1

18





18 x 2

1

1

3

2







 

x

x

x

32

32

16

  7

9 0.





18 x 2

1

1

(*)

1x  .

 Vậy phương trình có nghiệm x =1.

2

3

3

Ta có

27 x  Bài 39 : Giải phương trình : 2 x  20 x   4 4 1 x   1

3

x



4(3

x

    x

1 4

1)

x

 1

  1

   3

3 1

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 54

Tất cả vì học sinh thân yêu

3 

2

Xét hàm số: liên tục trên R.  )( tg t 4 t

3

2

3

3

Ta có  hàm số đồng biến trên R. tg )('  t 3  4 0

xg 3(



)1



g

(

x

 3

)1

1

x

x

 1

27

x



27

x



9

x



1

x

1

0

3

2



27

x



27

x



8

x

2



 

27

x

8 0(

vn

)

 x 27 x

   0 

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x  0.

Suy ra:

23 x

3 x 3 x   1 5 x 4 Bài 40: Giải phương trình:      1

Bài giải:

1 x     3

2

Điều kiện:













 3 x  x  x   1 3 x  1  x   2 5 x  4  0

2

   x



1

1

2

1 1 3 x    0 x   1 3 x  1 x   2 5 x  4      

x   )

   ( Vì x

0

x





0

3



1 3

x

  1

3

x



1

x

  2

5

x



4

0

x

    ( Thỏa mãn ) 1

x

x 

 Vậy phương trình có nghiêm

0;1 . 

x



4

x

8





với mọi

x



x

 

1 3



 1



 2

 1





7



 x 4

x

Bài 41: Giải phương trình:

Bài giải:

x     1

Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 55

Tất cả vì học sinh thân yêu

Tiếp tục giải phương trình

Xét hàm số

Do đó hàm số đồng biến trên

Từ

Giải phương trình

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 56

Tất cả vì học sinh thân yêu

5



13

x

.

 Vậy phương trình có nghiệm

2

  8;    

    

2

2(

  

x

x

16

)



x



 

1 3

 1

2





x 2 x

x





7

x 2

1 2

4

  

  

Bài 42: Giải phương trình:

Bài giải:

x     1

2



x

x





 

1 3

  1



2

 1



x x

 x 32  4  4  x 7

Điều kiện:

x



8

x















x 

 x 2 x

 x 4 x

8 

 4  7

x

 1 1 3  

  2

2

 7 x 8 x  4 x   4 x 1  1 3 x      

x

8

  

4 (

tm

2

+)

  2





 1



y 

). 

2

2

1 3 x  4  x  x  4 x  7 +) pt    x



x

 

1 3

x



1



3



x



2



x



2



3









 

3 .  





 

 

  

    

2

'



f

3

t



0,

t



t



3

f



3

   t

(3)

  t



2 1

  t







+) Xét hàm số với t   có

f

  t

nên đồng biến trên  .

 f x







x   2 f  1 +) Mà pt(4) có dạng:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 57

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x 

x

1

2

x

2

x

  1

x



4

x



4

      

2

13



5

Do đó   3



x  

2

5

x



x

  3

0

 x  2 

5



13

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

.

x

2

  8;    

    

3

3

2

3

x



5

x

 

2 2

x

(T/M)

  1 1

Bài 43: Giải phương trình:

3

3

3

3

Bài giải:

  1

   x

 1



   1



   1

3

3

 2 x x 2 x  1

3   t

 Vậy phương trình có nghiệm

 x  

1;0 .

x

2 9  

3

x

Xét hàm số ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra g t ( ) t 2 x   1 x 1 0 x       1 x 

   1 1 2

Bài 37: Giải phương trình:

Bài giải:

3x   

2

Điều kiện:

2

2

25 x      9 4 3( x x    1 2)  (1) 3( x 5)  x   1 2) ( x   9 4

 x

 5  (2) 5 x 2 x 3 1 2)   ( x   9 4    

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 58

Tất cả vì học sinh thân yêu



5

2

x

x

  

9

x



1

1

x

  

1

x

2



  3

  

1

x 2

x x

 

5 4

(

3   1 2)

x

x

 

9 4

Do và

3x  nên  2 vô nghiệm.

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x  5.

2

2

  

x

x

  

1

x

7



3

x

1

luôn đúng khi

 1

Bài 44: Giải phương trình:

Bài giải:

x R .

2

2

Điều kiện:



f x ( )

x

  

1

x

x

  1 x

Xét hàm số:

Chứng minh hàm số đồng biến

x  2.

 Vậy phương trình có nghiệm

2

Ta có nghiệm duy nhất x = 2

 1







 1





x  3 x  3  x  x   2x 3 x   1 2 Bài 45: Giải phương trình: 

Bài giải:

x     1

2

3

x



3



x



x



x

  1

  







 1

  2x 3 .

3  x x   1 2

)

2

x



x

 



x



x



1 2

3

 x 



 1

   2x 3 2

TM 3( 



 

2

2



1



2

x

 

1 2



x

2

x





2



x

  2



   1



 1

 

 









 

 

  

  

2

f

0

'

Điều kiện:

    t

0t  có

f



2

t



t



2

  t

  t







Xét hàm số ,

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 59

Tất cả vì học sinh thân yêu

f

  t

 f x

 1





1

đồng biến mà Suy ra f x  1       x 1 1 x



3

  x



0

3x

 x  2  x 

x 

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

 3 .

2

( TM )

Bài 46: Giải phương trình: 4 x   2  22 3 x  x 8   1

Bài giải:

  

2

x

22 3



(



x



2)(

x



2)



 x 3(  22 3

4

4( x

2)  x

 x 2)   2 2

Điều kiện:  1

x 

( 2) 0(2) x     4 x x 3 22 3   2  4 2 2      

Xét f(x) = VT(2) trên [–2; 21/3], có f’(x) > 0 nên hàm số đồng biến.

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

 x  

1;2 .

3

2

2

2

2

Suy ra x = –1 là nghiệm duy nhất của (2)

x

1

  x

x

  

x

x

   4 (

x

x



2)(

x



x

  1 ) 3

Bài 47: Giải phương trình:

Bài giải:

2

2

2

2

2

  1)

x

   

1 1

x

2



x

  x

4



(

x



2)(

x



x

 ) 0



x x (

  1





x R . 



2

2

Điều kiện:

2

2

2

2

2

) x  x  x  x (    1)   (  2)(   ) 0 ( x x x x x x    1 1 2 x  x   x 4

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 60

Tất cả vì học sinh thân yêu



1)



1)

2

1)(

x

  1)



x x (



1)(

x



2)



0



  x x (

( x x 2

x x ( 2

  

1 1 2



4

x

x

  x

x

1

2



  ( x x

1)

x

  1



x



2



0

1 2

2

x

  

1 1 2

x



x

  x

4

  

  

1

2

  ( x x

1)

x

  

1

x



0



2

1 2

x

  

1 1 2

x



x

  x

4

  

  

( x x   1) 0 (2)

2

2

2

2



1 x    x  0 (3)  1 1 2 x    1 1 2 x  x   x 4     

x

1

x

x

0;

x

  





  

1 2

3 4

  

  

1

1

2

x

  

1

x



  

0;

x

Vì



2

2

x

1 1

x

2



x

  x

4

  

Nên

Suy ra phương trình (3) vô nghiệm

 Vậy phương trình có nghiệm

 x  

1;0 .

( Thỏa mãn) Giải phương trình (2):  ( x x 1) 0 x       0 1 x 

23 x

3 x 3 x   1 5 x 4 Bài 48: Giải phương trình:      1

Bài giải:

1 x    * 3

2

Điều kiện:













 3 x  x  x   1 3 x  1  x   2 5 x  4  0

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 61

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

   x



1 1 x 3    0 x 3 x  1 x   2 5 x  4   1      

2

x 

0 ( Thỏa mãn ) x 1

0;1 . 

3

2

3

x        0 x x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm

5

x

 

1 8

x

5 0

3

x



   1

Bài 49: Giải phương trình:

Bài giải:

3

3

2

3

3

x



3

x

 

1 5

x

  5

x

 

1 5

x

x



3

 1

3

3

3

3



5

x

x

 

1 5

x

 1

   x

 1



   1

3

3

* Phương trình tương đương với:

u

;

x

  , phương trình trở thành:

1

v

x

  1

3

3

2

2

u



5 u



v

  

v 5



v



uv



5

   v u

0



 u v u



2

Đặt

u



2 5

uv



v

  với mọi u, v)

0

2

3

3

x

x

3

x

0

x

x

x

     1

1

(do

      1 0

 Vậy phương trình có nghiêm

 x  

1;0 .

x



x



3



log

x



2

  x

1

 1

* 3









3

2

 2 log  

 

Bài 50: Giải phương trình: 

Bài giải:

3x   

Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 62

Tất cả vì học sinh thân yêu

log

x



3



log

x



2





log

x



3



log

x



2







  1

















  0 5

3

2

3

2

x x

1 2

 

x x

 

1 2



log

x



3



log

x



2



 3; 

  g x









3

2

x x

 

1 2

3

Xét hàm số trên khoảng 

g x đồng biến trên







 

0 x>3

 

  ' g x

x



x



x



2

1  3 ln 2



1  2 ln 3





2





g

  x 5

 hàm số

3;  . Phương trình   5



  g x

  5

5. x 

 Vậy phương trình có nghiệm

2

2

khoảng 

 1

x 11   9 2 2 x    1 2 2 2 x   1 2 x  x 11  11 Bài 51: Giải phương trình: 2 x 

2

Bài giải:

  1

2

2 x  x 11  

 4 2

   1

2   11 2

  11 0 * 



2

3

2

4

4 4

x



x 121



 121 44

x



x

x

8

   x

4

3

2

3

2

44

x

x



250

x



  

x



40

x



125

x



125

 0

x

  2   x 4

44 



242   1 4

2

x





20

x



25

x

 0

x

  

 1

165   5 4

125 0 

1

5

x x 11   2 x     

   x  x    x  

5 2

x 

 Vậy phương trình có nghiệm

1;5 . 

2

2

2



x



3

x



2

x

x



x

x

3

kết hợp điều kiện  * ta được 1 5  x   x

2 3

Bài 52: Giải phương trình 3   27 3 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 63

Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài giải:

2

2

2

2

2

2

  x

3

x



2

x



3

x



3

x

x



3

x

x

x



3

x



2

x

x



3

2 3

  1

3

3

3

0

Phương trình đã cho tương đương



   1



   1

2

x

3



x

2

2

3

x



x

x



2

x



3

2





3

x



2

x

  3 



 1 3

3 3

1 0  

1 0

      1 0 

2 3 

x

x

2

3  3 =

2 2 

x

x



3

2

x 1 3 x   0 3    0 3  x  x

; x

  1 ; x

x



0

  3

3 1 2 x    3 0    x 1   3  x x 

3

3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

 1

Bài 53: Giải phương trình: 3 x   3  5 2 x  x  3 x  10 x  26

Bài giải:

x

5      1 2

2



x 3

 5 2

x



3 x



x 3



10

x



24

  1



     3 3

 1



2(

TM

)

3

x

2

2

x

2







2

2

2

x

x

x

x









12   





x  



  12 2





1

x

 3 3 1  



 5 2 x 



2 5 2 

 x 3

x 3

3 3

3  

 x    

2

x

x 

12 0. 

1

x

Điều kiện:

   thì

5 2

x  2.

 Vậy phương trình có nghiệm

Phương trình (2) vô nghiệm vì với

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 64

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

4

2

x

  1

x

  1

x



2

x



3

2

x

  1

 1

Bài 54: Giải phương trình:

1x  .

Bài giải:

4

2

x

a

1

Điều kiện:

4 2

a 

0)

 . Phương trình đã cho trở thành:

x a   ( 1 Đặt , ta có:

4 2  



4

3

a  a x   1 x  1 2  (1)

4

f

( ) t

  t

t

4

 với 2

t  Ta có 0

f

 0;  .

t đồng biến trên

2 t    0, t 0. f t '( ) 1   Xét hàm số t  2

4



(1)

f a ( )



f

(

x

  

1)

a

x

  1

2

x

  1

x

 1

Suy ra hàm số ( )

2

x   2

2

 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là

3

2

3 3

1 x  1 2 2      x .  x  x 4   x 2 0 x   2 2          

x   5 x  3 x 3 x Bài 55: Giải phương trình:    1

3

3

5

3

3

x

  5

(

x



1)



(

x

 1)

   x

  1

3

2

Bài giải:

3

  x

23 x

  4

0

f t ( )     t R , t f  '( ) 3 t t 1 0, t R Xét hàm số     . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

3 3

3 3





 f x  5  f x (  1)     5 x x 1 (*) 1 x       2 x 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 65

Tất cả vì học sinh thân yêu

 Vậy phương trình có nghiệm

 x  

2;1 .

2

2



x

 

2 3

x

4



x

x



4

 1

Bài 56: Giải phương trình:

Bài giải:

2x

   .

2

t

4

2

2

2

4

  x

    t

4 2

x

x

4

2   x

x

4



x



t

ĐK: 2

.

 2

2

2

4

t

2

 

2 3

  3 t

t 2

   8 0

t

Đặt

 2

4 3

 t     t 

Phương trình trở thành

0

0

  x

2

2

(t/m)

4

x



x

  

4

2

x

   x

2





2 2

2

4



x

x

x

 

4 4



2

 x  x 

  

Với t = 2 ta có:

t  

4 3

 

x

 

x

14

4 3

2

2

x  





Với ta

x



4

4



x

   

x

x

2   3

4 3

4    3

2

14



4 3   10 0

12

x

x

  2 3

     x 

     9  

(t/m).

14

x



 Vậy pt đã cho có nghiệm x = 0; x = 2;

  2 3

3

3

2

x



x



19

x



16

3

x x

  1

có

Bài 57: Giải phương trình:

x

x

Bài giải:

3 1 0      1

Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 66

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

3

2

3

x



x

x

  x



x

x

x

18

x





  1

 1

 1



   1



    1

2

a



x



1,

b



x

  x

1,

a



0,

b

0

 . Khi đó phương trình trở thành

Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

ab



2 2 a b



b



18

a

3

a





 1

2

2

2









2

b



9

a



 a b a b 3



 b a b 3







2

 

6

a

 0

    a b a b b 3



2

3

a b   , vì

0

6

a b b

 

a

 0

2

2

3

x

  1

x

   

1

x

x

10

x

    

8 0

5

x

33

Đặt

, thỏa mãn điều kiện Suy ra

 Vậy nghiệm của phương trình là

2

2

x

2

  x

x



x



2

x

3

x   5 33

  1





2

x

2

x

x

0









2

2

2

2

2

x

x

x

x

x



2











2

2





 1

 



2

x

x







0

x

2



2

2

2

2

2









  x

x

x

x

x

2

2

2









2





0

x

x

x



2



2



2

       x

6 0

Bài 58: Giải phương trình:

7 1

7 . x   1 Bài giải:                    x  x    Vậy phương trình đã cho có nghiệm

http://qstudy. vn/

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 67

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

 

4 2

x



16



2

x



12

x

  4

Bài 59: Giải phương trình:  1

Bài giải:

4x   

2

   x

4

x



4



x

  4

x



4



 12 0

  1









Điều kiện:

x 4    x 4   4

5. x 

 Vậy phương trình có nghiệm

2

x





Giải phương trình ta được x = 5

3 x

x  2

 7  x 1 

Bài 60: Giải phương trình:  1

Bài giải:

2

ĐK: x > 0  * Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương:



 1

x

  

x



  

0

x

x

2



x

2



0

   x

2

3 x

3 x

4 x

2 x

3 x

3 x

3   x

2 x

3   x

   

   

   

   

x x   x    7 x    x 2  3 x 1 x 3 x 7 x  2 1     

2

2

 



x    2 0 3 x 2 x  0   x 3   x 3   x 2 x                 x    0 3 x 2 x

x

x

4



 

3 0

1







2

3

3



  x



4

0

x

x

 

4 0



3

x

x

x    x 

x 4  1



  

 x      Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = 3.

      3 0 .

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 68

Tất cả vì học sinh thân yêu

5

3

x  x x Bài 61: Giải phương trình: x  3   1

6

3

5

2

10

9





t

t

t 10



t 6



t 3

Bài giải:

  có t

 do 0

t  0

  g t

  g t '

1

3

1

x

x

t

g

Đặt t x  có hàm số 0

       1

 1

x  1.

 Vậy phương trình có nghiệm

x



Mà

1) 1

  x

(2

x



1) 1

  x

2

x

Bài 62: Giải phương trình: (2  1

1x

Bài giải:

    

Điều kiện: 1



    1





2 x 1   x 1 x 1   x 1  x  . 0

2

2

2

2

x a ; 0   1   2 x a  b Đặt  1 0  ; x b    a   b 

b )( a b    1) (  a b ) ( a  Phương trình trở thành  0

2

b b   ( a b )[( a b a b )(      1) 1] 0   5 1 (  a b   a b ) (   ) 1 0 a b    a    2 a    

) Với

1

5

1

5

5

5

a b

 

   1

x

1

  x

  x

TM

) Với





 2

 8

 2

b x 1 0 x x a     1    ( Thỏa mãn )

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 69

Tất cả vì học sinh thân yêu

5

5

x

0;

.

 Vậy phương trình có nghiệm

 8

     

    

2

96

208

x



x



16

2

x

 

9 log



2 3

x

 

4 6

x



3 5

x



9

2



12

x

16



45

x



81

Bài 63: Giải phương trình

Bài giải:

x  

4 3

2

x



96

x



208

16

2

Điều kiện



2 3

 

4 6



3 5



9

x

x

x

x

 

9 log

2

12



x

16



45

x



81

2

2

x





x



6

x



13)

  x

6

13 log ( 2



2 3

x

  4

3 5

x

  9

x

  4

3 5

x



9)(*)

log (2 3 2

Ta có

f

t đồng biến trên (0; ( )

) .



0,

f

t '( ) 1

 

 với mọi t>0 nên

0

f

t ( )

  t

t t log , 2

1 ln 2

t

x

2 6 

x



 13 2 3 x

 

4 3 5

x

 9

Xét hàm số



2( f x

6

x



13)



f

(2 3

x

  4

3 5

x



9)

x

x

x



2)



3

x



4

x



3)



5

x



9



0



2   

 2 ( 

 

 

2

2





x

x

)

 3 (  x 3(

x

)

2(

2







  x (

x

)

0





x

  2

4

x

  3

9

x 5 3

x 3 2

2







0

  x (

x





x

  2

3

x

4

x

  3

5

x

9

  

 ) 1  

3

2

x

) 0

2(   x

 vì



x    

0

1



4 3

x

3

x



4

x

  3

5

x



9

  2

  x

0;

x

  1

Từ (*) suy ra nên

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 70

Tất cả vì học sinh thân yêu

x



0;

x

  1

Đối chiếu với điều kiện ban đầu suy ra phương trình có nghiệm



 1

x   3 x 1 1 x     1 Bài 64: Giải phương trình: 

Bài giải:

1x   *

Điều kiện: 0



     1



    1





x x 1 3 1 1 x x   3 x (2) x   3

1x  thì



x  1.

Khi đó  Ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (2) Vói 0 3 x   3 1 x  nên (2) vô nghiệm. 3

2

3

x   còn    1 3  Vậy phương trình đã cho có nghiệm

3   x x  x  4 x Bài 65: Giải phương trình:    x 2   1 1

Bài giải:

  

3x

2

x





x



2



 2 3

3

2

2

2

   x

3



x

  3

x



x



4

x

  4



x



x



4

 



 1







x

  2

3



x



 3

 2 

 

2

x

x







2





x



x



4



 1



x



  3

3



x

  2



x



2

 







2

 2 3    x

2

2

2



x



x

  x

2



2







x    x

x

3

  4   2 3  

x

3



x



2

  2



 2 3





  x  



2

x

2    x

  2

x



0





2  

  x







3

3

x

x

x

 2 3







2  

 2  0 

      

2

x

                2 0

2

x

1

x

Điều kiện:

x Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 71

Tất cả vì học sinh thân yêu

 Vậy phương trình có nghiệm

 x  

1; 2 .

2

2

2

x

  1

 3 2

x

 

4 2 3 4



x



4

x



4

x



4

x



x



Bài 66: Giải phương trình:

2 1

 3 2



1 4

 1

Bài giải:

x

1 ĐK:    2

3 2

2

2

2

2

2

2

x

x



 1



 1



x

  1

 3 2

x

2

x

  1

 3 2

x







2

  2









 2

 2

   

   

. Phương trình

2

t







   f t     2t 1 0

t

0;

  t trên 0;  nên hàm số f(t) đồng biến trên

  f ' t

 

  0;  x 2

 2 1

có Xét hàm số





2

x



2

2



 1



x



x

  1

 3 2

x





8

2

x

  1

 3 2

x



2

 4 2

 1



2



8

2

x

  1

 3 2

x



2

x

 3 2

x

 

2 

   1



  3

 

 



f x   1  3 2 x Do đó phương trình (2) trở thành : 2  2    f      

    

2

2

2

2

2

2

a 1 0 2 x    thì phương trình (3) trở thành Đặt  3 2 b  

2 2 a b











2

2

2

2

  4

2 2 a b



 16 4a

2 2 b

a b

   8

2

2









 16 8

2 2 a b

   4   4 5  a b   2   4 4 a b 6

  b 2a 2

  t

   a b  b 4 a   a b  a b 0     a b x  4   8    

0

 

b 

 8     a b  Từ   4   a 4 ab t  Đặt thì pt (6) trở thành

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 72

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

4

2

 16 8 t



 16 8 t

  

t

2

t



t 2



4

 0

 t t





0

2

loai

5

loai

5

loai

  

  

 t    t      t 1     1 t 

 Vậy phương trình có nghiệm

.

x

1 3 ; 2 2

   

  

2

2

x   x 2   1  3 2 x  2 1 2 . Vậy t 0   2 1. 3 2 0 x   x       x 3 2      

3

x



2

9

x



3



4

x



2

1

  x

x



1

0

  1











Bài 67: Giải phương trình:

Bài giải:

2

2

Điều kiện: x R





 1

2

2

 3x 2  9 x  3   2 x  3  2 x   2

   2

   2

 1

 1

 

 

 3 x 2  9 x  3 x  3 x   2

 

  1 

2

2

2

t

t

 

f



2 2

  t

  t

2





t Xét hàm số ta có suy ra hàm số f '  t    2 2  0  2 t

đồng biến

2

x

1

3

x

 

1     x 5

 Vậy phương trình có nghiệm

x  

.

1 5

Từ đó suy ra

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 73

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

 x  

   1

 1 2



 1

2 x  x 8 x  8 x   x 0 x 2 x     Bài 68: Giải phương trình: 

Bài giải:

1x 

2

2

2

2





8x





8x





  x

2

x



 0



2x

x



 1



    2x 1 2x 1



    8x 1 2x 1



  8x 1





2

2

2



x



5

x

8x





x

  x

2

x



 0



x

 2 2



 1

 1 5

   1



  8x 1





2

2

x

 

  x

x

1





2

x



1



x

  x

2

x



 2 2



 1







2

2

2



8x





8x





2



0



x

  x

x



 1



     8x 1 2x 1





2

2

2

2

Đkxđ: 0

 1

 2 2



    1

    8x 1 2x 1

  8x 1 







2

  x

x



x

2

 1 x   x x    x   x 2 x 8x    8x  0   x 2   

2

2

 









  0

x

  x

x

x

x

  x

2



 1

 2 2

 1

2





 

 1 







 



x

1

x

x

1 0 **





 2 2





    

2





x

  

1 0 0

x

  x

**



x





 2 2

 1

1 2

  

  

2

 8x 1      1 *



x





x



x

  x

 f x



 2 2

 1

1 2

  

 0  

2

2

x



x



2

x



4





2 1



2

x

1



8

x

8

x



1



2

f

'



2.2



x

  x

x







  x

 2 2

 1 .

2

 2

 2

2





x

 x





x



x



x

x

2

2



x



0;

1 2

 4

  

  

2

0

x



8

x

   1 0

f

'

   8

  x

2

2

0;

 4

1 2

   

  

      x  

+) Xét:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 74

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2



f

f

f 0;

 

;



0

  0

1 2

1 2

 4

  

  

   

   

Có:



1  

0;

  f x

1 2

1 2

  

     0 x 

2

2

2

4

   1





5

 

1 0

x

x

x

x

x

x

4



5

5

=> (**) vô nghiệm

  x





  *

 10

x



x



    

 5    

1 2

1 2

5

5

(Thỏa mãn)

x



 10

Vậy phương trình có nghiệm:

x 

Cách 3:



0;1

2

2

2

Điều kiện: . Phương trình đã cho tương đương với:









 2 1

2

2

2

2

   x

1

x



x



4

x



2



x



2

x



x



2

x



x



0

x



 1 4







2

2

2

2

   x

1

x



x



4

x



2

2

x



x



x



x



x



0







    

 

2

2

2

2

1

x

x

4

x

2

x

x

x

x

x

0

x   









1  











 1 

2

2

1

x

x

4

x

2

x

x

x 2   















  0 *





 1 

 

2

2

2

4 x  2 x  x  8 x  8 x   x  x 2 x   1  0

x



  

0

x

x

  

x

x



1 4

1 2

1 2

  

  

2

 2 4

x



x





x

    (điều này vô lý).

1 2

0

x

x

  1

x







 2 4 .

1 2

2

2

1

x

    x

x

   x

Dễ thấy

1 2

1 2 5

Khi đó   *

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 75

Tất cả vì học sinh thân yêu

1 x   2

1 2 5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

3

2

3

2

2

x



3

x



3

x

  

3 2

x

x

 

1 2

x



3

x



3

x



14

x







    

Bài 69: Giải phương trình:

Bài giải:

x   1

2

3

2

3

x



3

x

2

x

 

1 2

x



3

x



3

x



14

x

  *

   2







   1

2

3

2

3

x



3

x

2

x

 

1 2



2

x



3

x



3

x



18

x

   2







   1





x

3



2

2

2

x

3

x



3

x



x



x



3

x



6

   2









   1

 3 2



 1 2

 

 x

2

2

Điều kiện:

   x





 1

x  3 x    2 x  3 x  6  0 2   1 2 x   3 2     

2

2

3  x



 6 0 **





 1

2

2

3

x

 

6 2

x



3

x





  2 x



 **





 1

x

2   1 2

x x x x  3    2  3   2 x 2 1 2      

2

2



1

   2

3

 

6 2



3





1

x

x

x

x





 1

2   1 2

x

2

2

2

2

  x 2

3

x

 

5 2

x



3

x



  

0

2

x

3

x

 

5 2

x



3

x







 1



  1

4

3

2

3

2

12

x



29

x



30

x



 25 4

x



12

x



4

x



12

  x 4

x       1 1 2 2 x Có:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 76

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

2

4

  x 4

8

x



17

x



26

x



13 0

 

4

x



13

x



    x 1

0

2 1





x   , x = 3

1

 Vậy phương trình có nghiệm

x

2 9  

3

x

   1 1 2

Bài 70: Giải phương trình:

Bài giải:

3x   

Điều kiện:

2

4

u



22 u

  8

u 3



x

  1

u u ,

  

2

x

u

1

Cách 1:

 thay vào (1) ta có

  2 2

2

4

2

2

3

2

 

u 8 9



u 12

  

u

4

u 7



u 12



12 0

  

u

2

u



u 2



u 3



6

4   u

u 2

 0







u

 

2 0

3

2

u



2 u



u 3

 

6 0

   

0

2

x

5

TM

u

      u

2

Đặt





3

u 

2



u 3

6

u



22 u

+

  (4) ; 0

3

u 

2

u



22 u



u 3

  6

u 2



u 2



u 3

0

6

u

6

+

    suy ra (2) vô nghiệm

 Vậy phương trình có nghiệm

x  5.

Do nên

2

Cách 2

2

  3





2





 x

 1 2

5

 x

5





x 2

3   1 2

x

x

 

9 4

   

x )

  5

3 x 5  x  25 9 4 3 1 2  x    x   0      2   x   9 4

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 77

Tất cả vì học sinh thân yêu



5



5

)



   3

x



  1





  5

x 2

x 2

x x

 

5 4

3   1 2

x

3 

2

2

3   1 2

x

x

x

 

9 4

 

9 4

x  5.

 Vậy phương trình có nghiệm

2

 (3) vô nghiệm.

Bài 71: Giải phương trình: 4 x   5 2 x  6 x   1 1

Bài giải:

x    

5 4

2

2

2

PT



2 4

x

  5

4

x



12

x

  2

4

x

 



2

x



2







 5 1

Điều kiện:









x   1

2.

 Vậy phương trình có nghiệm

x



x

1



x



2

x

  1

2 3 x 5   x  vn 4   2 loai 4 x 5 1 2 x        1 2 1   x 2     1 x      x 

1   2

 4

21 8

Bài 72: Giải phương trình:

x

1

u

x



v



;

u v ,



,

Bài giải:

 0

1 2

 4

1 x  . Đặt 2

Điều kiện

2

2 v 2  

2

2

2

2





0 0 u v    u 2 Pt trở thành  u v  2 u  v  u v  0       u v       u v      

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 78

Tất cả vì học sinh thân yêu

x

  1

x

1

x

2

7 2 10

v u

x



   x





     0

1

x



  1 2

1 2

 4

14

9 0

x



x

 

x

  

1   2

2  x 16

    

( TM )

 Vậy nghiệm của phương trình là:

3

2

3

x   7 2 10

3 x x





7 x  x  7  7 x  12 x  5 x Bài 73: Giải phương trình 3   6

Bài giải:

3

2

3

3

Phương trình đã cho tương đương với

3

3

3

3

7

 x

      x 1

7

x

x





2

 1



3

2

x

x

x



x

6

4



      1 1

0

x

x

x x 7 8  12  x x  6 x  1 x x 7    7 3

7





 1

 x   1.

3 x x      1  Vậy phương trình có nghiệm

      x    x





x



7

x



17



x



17

x



24



12 17 2



7

 x x















Bài 74: Giải phương trình

Bài giải:

f



t



12

t



5



t



5

t



5



t



12

t



5



12 17 2



  t





















f



f

t

; 12



 , do đó f(t) là hàm số chẵn trên tập

t Điều kiện 12 Đặt Phương trình trở thành: 24 12 t 12        x t  x 0    x  

  t





 D   





 12;

 12; 

nên chỉ Suy ra

cần xét trên 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 79

Tất cả vì học sinh thân yêu

t 2



t 2



'



f





0



  t

t

t

12



5

t



5

t



5

2

t



12



5

t

2



t 









17 

17 





t 

Ta có

 

 12;

f

với mọi giá trị

 12;  , nên

  12 17 2  t 

  12;

có nhiều nhất một nghiệm thuộc Suy ra f(t) đồng biến trên 

12 17 2



f



 12; 

13 

 

; 12

Mà , suy ra t =13 là nghiệm duy nhất của phương trình trên 



x



1;

x

 

25

 Vậy nghiệm của phương trình là

22 x



6

x



5

x



2

x

 

 1 10 0

. Do f(t) là hàm số chẵn nên t = -13 là nghiệm duy nhất thuộc 





Bài 75: Giải phương trình:

Bài giải:

x   . Phương trình đã cho tương đương với

1

2

2



5

x



2

x

 

1 2

x

2

x



4

x



4

  

0

2

x

2



4

x



2

x

  1

x



2

x

 

1 2

x



1



0







   1



















2

x

2

x



2



2

x



1



x



1

x



2



2

x



1

  

0

x

2



2

x



1

2

x



2



x



1



0

   2















 

 

 

 

   

 

   

Điều kiện

2 x  1    2 x

2

x  1 2 x   4   

2

x

    x

1

2

x  

8

8

x



0

 x  2  x 

Xét

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 80

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

x

  1

2

  4

x  

3



x

17



 15 0

 x  2 x 4 

Xét

Vậy nghiệm của phương trình là x =3, x = 8

2



2

t

 0

t 5







3

t

t x  , từ đó phương trình đã cho được biến 1





2

3

đổi thành  Chú ý: Có thể giải cách khác bằng cách đặt  t 3 2

Bài 76: Giải phương trình 2 x  x 11   21 3 4 x  4

Bài giải:

2

3

Phương trình đã cho được viết thành





2 x  x 11   21 3 4 x   4 2  6





2

3



 3 2





    

2

3

3 2 4





12

 3 12 x x 11   15 3 4 x 4 2 x x  5    2 x x 4  x   4 4 4 

x

2

  5

3

x

4



3 2 4

x

  4

4

4





2

22 x



22 x



x 11



21

 

211



8.21

 

47

0

x 11



21 0

x R

Xét phương trình (*)

 nên

   . Suy ra

4 0

1

x

4

x

    .

3

Tam thức có

x



t 4,



0; f



4

t



  t

2

t



12 2 t



4

Đặt

 0; do đó

  t

2

 12 2 t  2 t

 2 2

  0 Ta có f'  , với t > 0. Suy ra f(t) nghịch biến trên khoảng  t  4  

hàm số:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 81

Tất cả vì học sinh thân yêu

12



 1;

 G x



3

x

4



3 2 4

x

  4

4

4





2

nghịch biến trên khoảng 

 1;

Hàm số y = 2x – 5 đồng biến trên 

 1;

Từ đó suy ra phương trình (*) có không quá một nghiệm trên khoảng 

  1; .

Mặt khác G(3) = y(3). Vậy phương trình (*) có duy nhất một nghiệm x = 3 trên khoảng

Tóm lại phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.

x   4 0

x 11



21 0

 suy ra 4

22 x



22 x



x 11



 21 2

x



3

3

x

x

Cách khác: Từ

      3, x R.



2

3

3

3

4

x



4

  

8 8 3

4

x



x

    x

3 3 4

4

x

 4







  4 .8.8 12 4

Ta có

2

3

 Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

4

3

2

2

3

  Suy ra x 11   21 3 4 x 4 2 x   , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3   x x 4 3 0   4 8 x   



2

x



4

x



4

x



x



  1

x

4



x



2 1

Bài 77: Giải phương trình

2

0

x

4



x

Bài giải:

     2 2

*) Điều kiện:

2

2

2

3



x



x



2

x



2

x



2

x

 (1)

2

x



4

2



2

2

Phương trình đã cho tương đương với

 x  

2; 2

2

x  4  x   4 2 x 4  x  , với mọi 4 Ta có 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 82

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x



4



x

 , với mọi

2

 x  

2; 2

Suy ra (2)

x

  2

x



0;

x

t

x

2 2 

Dấu đẳng thức ở (2) xảy ra khi và chỉ khi

 . Dễ dàng ta có được

 t  

1;2

 x  

2; 2

f

3   t

22 t



t 2,

1;2

Đặt 3 , với mọi

  t

  



2

Khi đó vế phải của (1) chính là



t 3



t 4

  0

'

f

  t

0 4 3

 t    t 

Ta có

f

1,

f



2,

f

,

f



2





    1

  0

  2

4 3

22 27

  

  

f

Hơn nữa, ta lại có

  2 t  , với mọi

 t  

1; 2

Suy ra

2

2

3

Do đó

x



2

x



2

x



2

x

  , Với mọi

2 2

 x  

2; 2



2

(3)

x



0;

x

  2

Dấu đẳng thức ở (3) xảy ra khi và chỉ khi

x



0;

x

  2

x

  2

x



0;

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Từ (2) và (3) ta có nghiệm của phương trình (1) là

22 x

9 x   8 2 x Bài 78: Giải phương trình:    1 1

Bài giải:

1x   

Điều kiện:

2

  1

   2





x   1 2 x  2 2 1  x 2  x x 2 x  2 2 1     1  2     1 1 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 83

Tất cả vì học sinh thân yêu

22 x

     2 2 1 0

 x  9 2 2   10 4 2  0 x x   1 2  2 2 1 x 2       

22 x



 







2 2 2 1



Phương trình bậc hai nên có hai nghiệm là  9 2 2  x   10 4 2  có 0

  2 2 1 0



x  22

x 1

5 2 2 2



2 và x  . Nghiệm x2 bị loại vì 2

x

1   

2

x



2 2 1

  

x

5 2 2 2

 Vậy phương trình có nghiệm

x

5 2 2 2

     

  ; 2 .   

2

Hoàn toàn tương tự ta có

4   x 2 x  5 x Bài 79: Giải phương trình x   2  1

2

2 1

x

4

1 2

x

x

5

x

3

   

  





  1

x

x











 3 2

 1

1

x 3  2 1 x  

x 3  x 4   1

1





2



1



0

x

3

   x



2 1

4

1

x

 

  x

  

   3 0  

x

2

x







  1 2

1

4

x

1 2 1  

1 x  

    

x

3 0

x

Bài giải:

    3

*

4x 

*Xét phương trình (2)

VP  5

ĐK 2

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 84

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

1



2 1 

VT đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [2;4] bằng khi x=2 nên phương trình (2) vô

 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3

nghiệm

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 85

Tất cả vì học sinh thân yêu

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

2

x

2

2



1

x





2 2

x    3 x



x

3

Bài 1: Giải bất phương trình:

Bài giải:

x   Bất pt đã cho tương đương với

3.

2

x

2

2



2

x

2

2

2

2

x

3



x

x



 

1 0



1 0   

2

2

  x  3 x



3

x

x

2



4  2 2

  x  x 3 x   x  3

x



3

2

2







2

x

x



3



x 

2

x





 

1 0

2

x



x   6  2 2

 x 1  3 x   2 x  3

x



3

2

Điều kiện

2

   x

 1

2

2







x   thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương).

3

x

       (Với

2 1 0

1

1

x

 Vậy tập nghiệm của bất pt là

 S  

1;1

2

2

6 x     0 2 x  3  3  x x 2 2   x  3 x  3 x x                   1    

4



20

x  

4

x



9.

1



x

Bài 2: Giải bất phương trình:

Bài giải: Bất phương trình đã cho tương đương với:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 86

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

2

2

2



8

4

x

8





1



0

2

   x



x 4 2

 2

4

 

9 5 6



4



20

x

x

  

  

2

2

4

x



20



4

x

    0

9

x

1

x

  1

4 x  16  16 4 x x 4 x  20     2 0 x     2 0 x 4     9 5 6 x 9 5 6  4 x  20 4  

2

2



8

4

x

8

1



4

x



20



4

x



9

4

x



8 .

 

1 0



  1



x 4 2

 2

2

2

x

9 5

6



4

x



20

4

 

4

x

 

9 5 6



4

x



20

 





2.x

 Vậy nghiệm của bất phương trình là

2

suy ra Do đó Từ (1) .

3 2 2 x 1 3  

 1 x Bài 3: Giải bất phương trình trên tập hợp số thực. x   1   x 3 x 2

Bài giải:

x

 

1,

x



13

2

2

- ĐK:

3 x 2 2   1 3

x

1 2

 

x



2



 1 x - Khi đó: x   1     1 2 x x 3 2   x 3 x 2

  1

  , *

3

 

1 3

 x 2

  x 6 1 3   x 

3

1 3 0 x 13 - Nếu 3 2 x      (1)

2

x

  1

x



x

  1

x

 1

   x

2





 1

 1

3

thì (*)

2

3

3

3

Do hàm ( ) t   là hàm đồng biến trên , mà (*): t t





  

1

5

5

1

f 2  x 1  f x 1 2 x   1 x    1 x x   0 x f 

DK(1) VN

x



0;

 2

 2

   ;   

  

  

Suy ra:

   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 87

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

   x

2

x

  1

x



x

  1

x

 1

x        1 3 0 1 x 13 (2) - Nếu 3 2





 1

 1

3

thì (2*)

Do hàm f ( ) t   là hàm đồng biến trên , mà (2*): t t

3

3





  



3

2

    x 1 1 2    f x  1  f x 1 2 x   1 x 2 13 x 1 2

 1



 1

5

5

1

1

 2 x  x         1     

x





;13

x

1;0

;

1;0

  



DK(2)   



 2

 2

  

  

    

   

1

5



;13

S

1;0

Suy ra:

  



 2

   

  

2

13

57

x 10

x 3

x 5









2

x

2 x

9

 Vậy bất phương trình có nghiêm







 1

x

19

x 3

3  



Bài 4: Giải bất phương trình:

3

  

x

Bài giải:

19 3

 

4

     x

19

19

x 3

x 3

2

x

3

x

3  











Điều kiện



2

x

9

x 2







x

19

x 3

3  



2

3

19

x 3

x

x 2

2

x











 9



Với điều kiện   bất phương trình  1 tương đương với: 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 88

Tất cả vì học sinh thân yêu

13

x

x

5

2

2

19

2

x

3 x

x



3  









x  

 3

 3

  

  

  

2

2

   2



2

 5

1

2

2

0

x

x



2   



  2





5

x

x

13

x

9

19

x 3

9

3  





 3

 3

  

  

  

  

      

      

1

2

3;

x

0

2 x  x   x  x   2 x    x   2 13 x x x 19 x 3 9 9 3      3  3            





  \ 4

19 3

13

x

x

5

   

  

9

9

3

19

x

3 x









 3

  

  

  

  

2

Vì với mọi

S

 3 Do đó          x  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

  

  . 2;1

2

2

x

x

2

x

x 3

x 9

2

x

6

1  



1  



x  

  1





2 x 2 0 2 x 1 ( Thoả mãn ) 



2

2

Bài 5: Giải bất phương trình 

2

x x 2 x 3 x 9 2 6 x 1    1    

 1  

  







x x x 1 x 2 x 2 x 2 x 10 12 6  1      Bài giải:   2    x  x   

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 89

Tất cả vì học sinh thân yêu

2









2

2 x x 6 x    2 3 x x   12 10 x x 2     

2

 1 2   5 6 x  









2





2

 x  

2

x 2 2 x x   2 6 x 5 x      2 x x 2 1   1 x  6 2 0 5 x     1 2 x x 1   1  





2

 x  



 1 1 x    5 6 x x  1 1            3;  



S 

3;

  .

 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm



 1; 2





2





1 x 1   1 6 0 x 5    1 2 x x 1   1           x      1;2   

1 2

1 2

2

x



1

3

x



5

x

 

2 1

Bài 6: Giải bất phương trình trên tập số thực.





) Đặt t = x2 – 2, bpt trở thành:

Bài giải:

1 t 3



1

2  t

1

1 

t

3

ĐK: t  0 với đk trên, bpt tương

(



t

1)(



 ) 2

đương

1 

3

t

1  t 3

1



.





 

1 3

1 2

t 

 

1 3

1

t

t t

t

t t

t 

1

t

t 

3

  

  





.

2 

2 

1 2

3

3

t

t

1 

3

t

1 1   2 2 

  

. Theo Cô-si ta có:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 90

Tất cả vì học sinh thân yêu





2 t 1 .  t 2 3

1

2 t  t 3

1

t 

t 3

1

1 1   2 2 

  





t

1 2

1 

 t 1  t  1 3 1

  

  

1  3 t VT

t t

1  1    

2

 t 1 . t  1 3 1 0.

x

    (

;

2]

[ 2;

(

)

2]



[ 2;

) Thay ẩn x được x2  2

 ).

 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm

    

;      T 

1

x









x

1

T ;  2;  2 .    

  1

1 x

 x

1 x

Bài 7: Giải bất phương trình:

ĐK: x [-1; 0)  [1; +  )

Lúc đó:VP của (1) không âm nên (1) chỉ có nghiệm khi:

x



1



1

1

x

x

       . Vậy (1) chỉ có nghiệm trên (1; +  ).

1 x

1 x

1 x

1 x

x

1

x

1

1 1

x

   x

1

   

 . 1

Trên (1; +  ):   1

 x

 x

2

x

1

x

1

x

  1

0



Do

 khi x > 1 nên:

 x

 x

2

2

Bài giải:

  1

2

2

2

x 1 x 1 x 1 1  2     x 1 2    x   1 0  x  x 1 x  x

1

5

2

  x

.

 2

x 1 x 1 x 1     1 0 (  1)  0  2  x  x  x

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 91

Tất cả vì học sinh thân yêu

 Vậy nghiệm của bất phương trình là

1

5 1

2

2

2

  1

x

  x

1(1



x

  x

2)

1



x x

 x    x   2

Bài 8: Giải bất phương trình

Bài giải:

2

2

2

2

x

  x

1

x

  x

2)

  (1

x

  x

(

x x

  1

 1) 0

2

Bất phương trình đã cho tương đương

2

2

2

2

2

x  x   x x  x 1)(2 2) (1 ) (   0  x x   1 x   x 1 x   x 2 1  x   x 1

2

2

2

2

2

2 2 x   x x  (  x 1)(  ) 0 x x x   x 1 x   x x   x 1  2 1    1

  ( x

1).

A

0

 (1) với

2

2

2

2

2

2

x

x

x

1

  



1

2

2

2



1

    2



1

x

  x

x

x

x x

2 x   x 2 x A  x x   1 x   x 1 x   x  2 1  x   x 1

0x  thì

2

x

x

x

2    

   

2

2

x

x

  

2

x

x x

 

1 0

2    x

1

0A 

Nếu

2

2

1

2

x

x

x

x  

2

2

2

  

2



x

x

x

x

  x

  x

1

3 2

   2

2

2

1

x





2

2

x x

  1



x



    

x 2

1 2

x>0 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Nếu

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 92

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

x

x

  

2

x

x x

 

1 2

x

2    x

1

  x 2

1



1



0

   A

x 2

x 2

1

x

  x

1

x

  x

1



1



x

1 0

1

x

vì

    .

) .

Tóm lại , với mọi x   ta có A>0. Do đó (1) tương đương

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (1;

2

2

2

u



x



u

1

x

x

x 

1

Chú ý : Cách 2. Phương pháp hàm số

2

2

2

2

Đặt thế vào bpt đã cho ta có

2

2

2

2 

u  x x  xx  1 u 1(  u  )1

2

2

f

t )(



t

t 

t

t



1

uuu u  1 x x  xx  1

2

2

2

f

)(' t

( t 

t



)1



t

 t

0

1

Xét )

x 1

u

x

bpt

nên hàm nghịch biến trên R

Do đó

2

2

2

3

x (



x 2)(



x 2 2

    9

5)

x (

2)(3

x

  

5

x

12)



x 5

7

  1

Bài 9: Giải bất phương trình:

Bài giải:

x  

5 2

3

3

2

2

2

(1)

x 3

x 14

15

x 2(

x 2) 2

x 3(

2)

x

x 5

7

x  









5  



5  



0 

3

2

2

2

x 2)( 2

2)(

x

3) 3

x 5

0

x 3

x  

18 2( x 



5  

3) 3( x 



5  

 

7  

3 x  

Điều kiện xác định: . Khi đó ta có

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 93

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2( x

x 2)(2

x 2)(

4)

5(4

x

)











2

0

2)( x

5 x





9)  

4) 3( x 



x (  

2

2

3

3

2

2

5 3

x 2

 

5 3

x

 

7

9 3 5 x

5 x



7  







4( x

2)

x 3(

2 2)

x 5(

2)







2

0(*)

2)

x

5 x



x (  



9  





2

2

3

3

2

2

5 3

x 2

 

5 3

x

 

7

9 3 5 x

5 x



7  







     

     

x 3(

2 2)

2)

x 4(





( x

2);

x (

2 2)









2

x 2

5  

x

x

3 x 5(

5   x 5(

3 5 2)

4 3 2) 



2

3  9

3

2

2

3 x 3 5

7

x 5

7











   5     2    9 

2)

2 2)

2)

4( x

3( x

5( x







5 x

9  







2 x  

2

2

3

2

2

3

2 x

5  

3

x

5  

9

7

7

3 3 5 x

5 x













2

x 18

127





0,

x 57 45

5     x 2

x

2

x

0

x

Ta có với

x  

2 

2      , kết hợp với điều kiện

5   2

5 2

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x

5 2

 ; 2 .  

   

2

2

Do đó (*) suy ra:

2

x



x



5

2

x

2 

x

x



3

x

x

2





Bài 10: Giải bất phương trình  1

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 94

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

 2

)1(

2

x

x

x



3

x

x

 2

x



2

x



2

x



5

.

2x 





2

2

x 

2

x

2

x



2

x

 16

2

x



2

x



5



2

2

2

x 

2

x

x



2

x

2(

x



2

x



2)5

x



2

x



  16

  

  2

16



2



2

x

x

2

x



2

x



16

Điều kiện xác định: 

2

(Do ) 2 2 x  2 x  ,05 Rx

 2

1

x

x

(2

x



)1



(2

x



)2

(2)

a



x



,2

b

x 

(1

a



)0

0

0



ba



ba

2

2

0



ba



a

2 2 b 

 ba

2

2

2

2

)

2

)

0



ba 



a



2 b

 ba

  ( 

  ( 

01

1



x



x

3



13

Đặt , (2) trở thành

2

1



x

x 

 x

2

2

2

(2

)1

3

01





x



x



x

x

  

  

3 

13

. Do đó ta có

x

 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm

2

2

3

.

x



5

x



8

x

6

x x (

  1)

 ( x   )  1

Bài 11: Giải bất phương trình

Bài giải:

2

2

3

Điều kiện: x 0.



(

x x

  x

x



6

x



12

x



8)



(

x



4

x



4) 2



3

3

2



(

x

)

  x

x



(

x



2)



(

x



2)



(

x



2)

(1)

(2)

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 95

Tất cả vì học sinh thân yêu

.t

Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t, có f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0,

Do đó hàm số y = f(t) đồng biến trên R, mặt khác (2) có dạng

 f x

2





x     (3). 2 x x f 

2x  là nghiệm của (3).

+) Với 0

x

     1

4 0

4

x

x

2 5 

+) Với x > 2, bình phương hai vế (3) ta được

 Vậy nghiệm của (3) là 0

4x  , cũng là nghiệm của bất phương trình (1).

2

Kết hợp nghiệm ta được 2 < x 4 là nghiệm của (3).

2

x

  3

x

 

1 3

x



2 2

x



5

x

 

3 16

Bài 12: Giải bất phương trình:  1

Bài giải:

1

x   .

Điều kiện:

x

  1

2

x

  3

x



1



20

2

x

  3



2

Bpt (1) tương đương:

t



2

x

  3

x

 , t >0

1

Đặt

t 

20 0 

5t  .

5 t      4 t 

2

. Đối chiếu đk được Bpt trở thành: 2 t

t  , ta có:

5

x

   1 5

2 2

x



5

x

   3 3

x



21

2

x

  3

x



 21 0

2

x



 

x

5

3 0

x



 21 0

2

x



 429 0



146

3     2     3   x 

Với

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 96

Tất cả vì học sinh thân yêu



  x

3

7

 x 7    3 x 

x   suy ra 1

 x   3;



S 

3;

 Vậy bất phương trình có nghiệm

  .



2

x



1

Kết hợp với điều kiện

x

  1

3 2 2 x 1 3  

  x 3 2 x

Bài 13: Giải bất phương trình trên tập hợp số thực.

Bài giải:

x



13

x

 

1,

2

2

x



x

 

1 2

2



– ĐK: . Khi đó:



  1

  , *

3

3 2 2 x   1 3

 

1 3

 x 2

3

2

x

  1

x



x

  1

x

   x

2

1 3 0

x

13

x

    

x  1 x x     1 2   1   x 3 2 x x 3 2 6   x x   1 3

 1



 1



 1

3

– Nếu 3 2 (1) thì (*)

3

2

3

3

Do hàm t ( )   là hàm đồng biến trên , mà (*): t t





  

5

1

5

1

f 2  x 1  f x 1 2 x   1 x    1 x x   0 x f 

DK(1) VN



x

0;

 2

 2

   ;   

  

  

  

Suy ra:

3

2

   x

2

x

  1

x



x

  1

x

 1

x (2) – Nếu 3 2        1 3 0 1 x 13





 1

 1

3

thì (2*)

Do hàm f ( ) t   là hàm đồng biến trên , mà (2*): t t

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 97

Tất cả vì học sinh thân yêu

13

  

x

3

3

1 2

2

x



1



f

x

1

2

x

  1

x

1

1

f





  



3

2

1 2

2



x



x



 1



 1

  x           

1

1

5

5

x

1;0





;

;13

1;0

x

  



DK(2)   



 2

 2

  

  

    

   

1

5

 Vậy bất phương trình có nghiệm

1;0



;13

x

  



 2

   

  



2)

x x (

Suy ra:



1

3

(



x

1)



x

Bài 15: Giải bất phương trình



 2) 0

3

x

x

  

0

(

1)





0

x  

0; x

Bài giải:

3

1)



0

3

x

x

(



1)





0

x x (    x 0   x (   

Điều kiện



2)

x x (

3

  1

x x (



2)



(

x



1)



x

3

(

x



1)



x

2

3

2

  x

2

x



x



3

x



4

x

 

1 2(

x



1)

x x (



1)

3

2

2

2

x

x

x

x

x

x

  x



2

 

1 2(



1)

x x (



1)

  

0

(

1)

  

1 2

x x (



1)



0

 

 

2

x

   

1 2

x

x x (



1)

  0

x x (



 0



2  1) 1

Do vậy

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 98

Tất cả vì học sinh thân yêu



x x (



1) 1 0

  

x x (



 1) 1

5

2

1) 1

      x

1 0

x

(   x x

5

  x    x 

1   2 1   2

x



 5 1 2

2

2

4

x

  x

7

x

 

2 10 4



x



8

x

Kết hợp điều kiện x>0 ta được nghiệm của phương trình đã cho là



Bài 16: Giải bất phương trình: 

Bài giải:

x   2

2

2

Điều kiện:





 2 2 4





2

4 2 4 7 7 x x 2  x    Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình     

2

2

   x 4 7 x x 2  2 2     2 2 x x   2 2 x 

 2 1

2

2

x        2 4 7 x x x x x  









x

x

2

2  



  I

x

x

2 2   



  1 1   1 2

x

x

2

2  



II





2 2   

x



x

  1 3   1 4

        

2 1 2     2 1 2  0 x x x x x x  2 x             x 2 2 4 2 4          2 1

 Giải hệ (I): Từ (1) và (2) suy ra x     2 0 x  1 2    2 1  x  x 2 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 99

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

  

0

x



1

x

   2 2

  

    x

2

1 2

x

      2; 1

2

x



 1

        2 2 x 

Khi đó hệ (I) tương đương với hệ phương trình

0

 Giải hệ (II): Từ (3) và (4) suy ra 0   x 2 x    2   1 2  1 x x   

2

x



1

  2

 x  x 

x





41

5



x  

;



8

   

   

2

x





2 1

1   2     2 x 

5



41



T

;

 Vậy tập nghiệm của bất pt là

     2; 1



8

   

   

2

Khi đó hệ (I) tương đương với hệ phương trình

4

x

 

1 2 2

x

  3

(

x



1)(

x



2)

Bài 17: Giải bất phương trình:  1

x   1

Bài giải:

Điều kiện:

3

2

Nhận thấy x = - 1 là một nghiệm cuả bất phương trình





4 x   3 3 1 2   12      2 2 2 x x x x Xét x > -1. Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 100

Tất cả vì học sinh thân yêu

2







3)(



2



4)

x

x

x



(

4( x

 4( 3) x   x 2 3 3

 3) x   1 2

2

3)   (  1)  3  0   ( x x . (1) 4   4   1 2 x 3 3 2 x      



3



4   1 2

x

4  

3 3

2

x

2





1)

 

3 0

x



(

3 1 1 0 Vì x > -1 nên x   và 2 x   . Suy ra , vì vậy

x

4  

3 3

2

x

4   1 2

x

3 0

x

     3

.

 Vậy nghiệm của bất phương trình là x = -1 và

3x  .

2

2

x



3

x

  2

2

x



3

x

1

1

Do đó bất phương trình (1)

   x

Bài 18: Giải bất phương trình

Bài giải:

Điều kiện

1 2 2 1

Trường hợp 1:   x   x   x   X = 1 là một nghiệm 1 x  2



2

2



x



x

 

1 2

x

 

3 2

x

BPT    2 1 x

x    x  1 1 2  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 101

Tất cả vì học sinh thân yêu

2



x

  (thỏa mãn)

2

BPT

x

  

 1



2x 

Trường hợp 2:

BPT    x 2 2 x   1 x  1

2

   x

2 3

x

 

2 2 2

x



3

x

 1

2

2 2

x



3

x

1 0

  2

x

  (vô nghiệm)

x   2 x   1 2 x  1



S

  1

1 2

 ;    

  

Vậy tập nghiệm của BPT là;

 1

3

Bài 19: Giải bất phương trình  1 2  1  log x 3 2  log x 3 x  1

Bài giải:

2

2

3 1 3 1

   

0 0



hay x

;  1

\

  0

   1 ;



1 2

  

3     2  

  

2 2 x x

 x x  x x 1   0   1 1

    

2

2

2

x



 3 1

x

  

1

2

x

x 3

  0

,

Đk;

 x   x

0 3 2

Với điều kiện trên và để ý rằng

x

0

x

    1 1

2

từ đó có thể chia bài toán thành 3 trường hợp sau:

2



log

x



3

x

0

1

   bất phương trình đã cho vô nghiệm

3 2

1 x    0 ,thi` 0     1 1 x  1 )  0 va` 2 x  3 x log ( x 3   1 TH1: Với

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 102

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

x

.

0

    

x

1 2

3 2

2

2

x

   1 1



1

)



0

va`

0



2

x



3

x

   1 1

log

2

x



3

x

  1 0

log ( x 3

3

TH2: với thì

,thi` x



x



   1 1

 bất phương trình đã cho trở thành một bất đẳng thức đúng.

 0

 1

 log x 3

3 2

2

2

2

x



x 3



1

  1

log

2

x



x 3



1



0

.

TH3: với

3

x

Và

3 . 2

2

2





x

x 3

1

log

2





2

x 3

1

  x

1

   1

3





x

   

x 3 2

  log x  3 3   x 2

2

2

x



0

x

2

3

x

  1

x





2 1



  x



5

 x  5  3   x  2

 3 2

    x 

Từ đó với bất phương trình đã cho tương đương:



S

0

;



; 1

  ; 5





1 2

3 2

  

  

  

  

2

2

Kêt hợp cả 3 trường hợp bât phương trình đã cho có tập nghiệm:



3(

x

2)





x

x

 

1 3

x



1

4 2 2





x

  x

1

. Bài 20: Giải bất phương trình:

1. x 

Bài giải:

ĐK:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 103

Tất cả vì học sinh thân yêu

8 2

2

2

2

x



2)





2

x

  x

6

x x

 

1 0



6(

Với điều kiện đó

2

1

x

  x

2

2

2

2

2

  1

x



x

  x

1



2



x

  x

5



0



3

x

4 2 2









x

x  

1

   

   

BPT

f

 

t '( ) 1

0t  . Ta có

t (



2 2 t 1)



1

0

f

f  t ( )   t 5 . Xét hàm số với 4 2  t 1

f



f

f

(1),

    ( ) 0, )

[0;

[0;

t

t

t

    t 1 t '( )  Bảng xét dấu

    . Dấu “=” xảy ra )

1t  .

2

2

[0;

x

x

)



x

  x

5

x

     

0,

x

[0;

0,

)

Suy ra ( ) t

    .

4 2 2

x

1

  x

5

1

2

x

1    

x

x

Do

 2

2



2

2

2

3

  1

x



x

  x

1



2



x

  x

5



0

x

Dấu “=” xảy ra khi .

4 2 2









x

  x

1

   

   

2

Khi đó:

1

5

2

  x

  1 x  0 x

 2

x    1 0 x .

2

2

4 2 x x     5 0 x   x 1        

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 104

Tất cả vì học sinh thân yêu

5



S

[1;

    

  1   ) \ 2  

3

2

2

. Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

x



4 1



x



2

x



4

x

x



5





Bài 21: Giải bất phương trình .

Bài giải:

3

2

2

2



4



2

x



4



x



5

x

  1 5 x   0  3 x x  4 x 0 Điều kiện: x 1    5    

 4

 x x



2

2



4



2

x



4



3

x



x



2

x

4

 (2)

 x x



2

2

Khi đó: (1)

2

x  x  4 x  x  4  4   3 1 x    5 Trường hợp 1: với thì (2) (3) 2 x 2 x



t

3 0

t

(

t 

0)

     3 1

2

x  4 x   t Đặt thì (3) trở thành: 2 4 t 2 x

17

7



65



x  

  1 2

2

2 2  x

x 2 x

4 0    x x   4 0  7

   

x x  4  3 1  Suy ra

4 0

x

2 5 x

  nên (2) luôn thỏa

  5 Trường hợp 2: với 1 0x   thì

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 105

Tất cả vì học sinh thân yêu



65



1

5;0

17 7 ;

S

    

 

  1 2

2

   

   

3

2

2

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là:

x



3(

1) 2

x

 

1 2(

x



x

)

. Bài 22: Giải bất phương trình

Bài giải:

x   .

1 2

*) Điều kiện:

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với:

 3( x  1) 2 x 0 x  1)  3( x  x   1 2(2 x 1)  0  (x 1) 2    x (    1) 2(   

2

x

1 0

x

  1)

x   .

1) x   1 2 2 x  x   1) 2 x  1  0 1)   1 2 2 x  1 x   ( x   ( x  (1) 0 1) 2    x     1     1 2( 

  , với mọi

1 2

Do 2(

Xét hai trường hợp sau:

x

 

3 0

  x

2 6

   x 3 2 3 2 x   1 0    x 1 +) x > 1. Khi đó (1) .   3 2 3 x   

x

x   3 2 3 Kết hợp điều kiện ta được nghiệm .

   . Khi đó 1

1 2

x

3 0

  x

2 6

   3 2 3

+)

1 2 2

x

  1

0

(1)

   x

   3 2 3  x .

 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm 3 2 3   . 1x

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 106

Tất cả vì học sinh thân yêu

1



x



1

2

x



3

x



1

 . 0

 x   3 2 3 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 3 2 3 1x   và .



3

Bài 23: Giải bất phương trình

1x  .

Bài giải:

2

b

22 a

a



a

x



1,

b



2

x

0, b



2

Điều kiện:

 . 2

Đặt , khi đó và

2

2

2

a

b

3

3

1



a b (



a 3 )

  0



a b (



a 3 )



0

2  2

  

  

2

2

2

3

3





  

1 2

0





0

2 2 2 ) a

4 ( a b

3 ) a

  b (

2

a b

a  4 (1 3 ) b

a b

  

  

3

t



,

t

0

2 2  (1 2 )

Bất phương trình trở thành:

 , bất phương trình trở thành

a b

4

3

2



t 108



t 40



t 4



104 t

  1 0

2

3

t   4 (1 3 ) t t Đặt  . 0

2

  (2 t t 1)(52  t 28  t 6   1) 0

1 0

2



252 t

t 28

6

0

t   ,vì

0t  và

  .

t 1)(t(52  t 28    (2 t   6) 1) 0

2   1 2 x 1) 2 4( x x x x      2. Suy ra 1   2  1 x x 2

2x  .

Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là1

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 107

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

  1 2 x   2 x Bài 24: Giải phương trình: 1 2  x .

2

Bài giải:

x

 0

2

x

1    .Khi đó 2

1 2

2

4

2

2

4

2



 

4 4

x

  

2 1 4

x

x

 

2 4

x



x

 

2 2 1 4

x

ĐK:

2

2

4

Bpt (1).

   nên

x

x

 2 4

  

2 4

0

x



x

 0

1 2

1 2

2

Vì

2 4(1 4 )

4 2 )

4

8

2

4

6

2

x

 

4 16

 

4 16

x



x



16

x



4

x



8

x

8

6

4

4

2

x (1)     (2 4 x  x

4 x x (

 Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0

2

2

x



1



x



 2 3

x



4

x

8   x x  20 x   0  8 x  20) 0    x 0

Bài 25: Giải bất phương trình:

x

0

1

  x

0

41

 2

1





x



   0

x

Bài giải:

41

41

  3 8

  x

0 2

4

0

x



x



2 3 

3   8

    3  8 

    

(*) Điều kiện

2

2

2

2

x



2

x

(1



x

)

 

2 3

x

2   x

4

3(

x



x

)

  (1

x

) 2 (



x



x

)(1



x

)

x

  1

 0

34

2

2

2

  x

Bất phương trình đã cho tương đương với

5   9

x  1 x x  x x  x

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 108

Tất cả vì học sinh thân yêu

34

41



x

  5 9

  3 8

2

2

x

x

x

3

Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là



2



x

 

 18 2  1

x

x

1  



1





Bài 26: Giải phương trình:  1

t  và 0

1t  . Bất phương trình đã cho trở thành:

Bài giải:

2

2

2

2

1 t

2

4

2

4

2

3



t



t

     2

15

8

t

t

 t  t 3  15 t   . ĐK:   1  t t t 

2 1

x Đặt 2   1    2   t t

Kết hợp với ĐK ban đầu ta được:

x 1 1     1   t 2 0    1 2 x t   0     

0  x 0     1 4  1 3 x 0    x x   

 S  

   1;3 \ 0

3

2

3

4

x

x

x

x



3







3

3

2

x

x

  2

 

    Vậy bất phương trình có tập nghiệm

 4 1

3

x

x

2

 

3 3

 

 2 

 x    4 1

 1 Bài 27: Giải bất phương trình 

Bài giải:

x



2,

x



12

ĐK:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 109

Tất cả vì học sinh thân yêu

 

2 2

x



x

 

2 2

x

x



3

3









2 2

x

   

  1

  1

  2

3

3

 

3 3

 x 2

 

3 3

 x 2

12

3

2

3

3

x

2



x

x

x

2

3

2











  3

  2 3



2

3

3

3

t

x



2

  3

x

2

2

x

3



x



2

x   Hàm số

   







3

x 

12

  t   vô nghiệm vì x

3

3

3





2

  3









2

3

2

x

x

x

x

  2 4



3

2

3

3

f

t

f 22   x x    TH2: 2    2 Hàm số

x



2

  3

x

2

2

x

3



x



2

   







2

2

3

x

    đồng biến trên R nên:   t 3 1 0 12 3     đồng biến trên R nên:   t 4 x 1 0

  t    

0

x

x

  x

2



    1

5

5

1

;12

  x

 1  2

  1 2

   

  

x

TH1:   2

12

5

1

5

;12

S



 2

  1 2

  ; 1            

 ; 1    

Đối chiếu điều kiện 2

  

2

2

9

x

 

3 9

x

  1

9

x



15

ta có tập nghiệm của bất phương trình là:    

Bài 28: Giải bất phương trình:

2

2

9

x



15



9

x

0

3

x

9

x

  1

Bài giải:

1     9

2

2

x

 

3 2



3(3

x

  1)

9

x



15

bpt



9

 4





2

2

Nhận xét:

2

2

9 x  x  1 9 1  x  3(3   1)  0 9 x x   3 2 9  15  4

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 110

Tất cả vì học sinh thân yêu





x

1

3

x

1

3









(3

x

1)

0

2

2

 





9

x

3 2

9

x

15

4

  

 3  

1

1

x

x



1)





     

1 0

3

0

x

x

(3



2

2

1 3

9

x

x

 

3 2

9



 15 4

  

  

 1) (3   

 3   

x  là nghiệm của bpt

1 3

4

3

1

x

x



x



Kết hợp các ĐK suy ra nghiệm của BPT là



 

 3

 2

2 

2 

x 2

 x

x

x 2

x

Bài 29: Giải bất phương trình:

Bài giải:

3

3

3

x

x

x





x





  1

 2



x

0x  , BPT tương đương:  1

 x



1

 x



x

  1 2  1 



 x 1  1 

 

 1  1 

 

3

f



ĐK:

  t

t 2 1 

t

2

4

Xét hàm số trên 

  t

2

2

  Ta có: f     0 t ' t  t  t 3  1

5

3

Mà f(t) liên tục trên  nên f(t) đồng biến trên  .

x



       x

1

0

x

x

f

 f x

 1





 2

2

2

4x



20

4

x



9

1



  x

(1) có dạng:

Bài 30: Giải bất phương trình  1

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 111

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với:

2

2

2

2



8

4

x

8





1



0

2

   x



x 4 2

 2

4

 

9 5 6



4



20

x

x

  

  

2

2

4 x  16  16 4 x x 4 x  20     2 0 x     2 0 x 4     9 5 6 4 x   9 5 6  4 x  20

4

x



20



4

x

    0

9

x

1

x

  1

2

2



x



x





x



8

4

8

1

4

20

4

9

4

x



8 .

 

1 0



  1



x 4 2

 2

2

2

9 5

6



4



20

x

x

4

 

4

 

9 5 6



4



20

x

x

 





 Vậy nghiệm của bất phương trình là

2x

2

Từ (1) suy ra . Do đó

2

5 14 x x  Bài 32: Giải bất phương trình:   3 2 x x   1 2 3  x

Bài giải:

0x

2

Đkxđ:

3

2

2

2

x 5  x   14 0 Ta có:  2 3 x    1 0 x    

2

2

x  x  x  x   14 0  14 0  0     0 5 3 5 3 2 x 1  2 3 1 x   x x   x 2 3 

0 x

3

3

2

2

3

3

2

2

x



5

x



14

x

 

4 6

x

x  

1

5

x  

x



8

x

 

4 6

x



x

x  

1



0





quy đồng ta có:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 112

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

x



x

  x



 1

2

x



4

x



4



6



0

   x

2

 1



2

2

3

2

x

3 x x

  

x

x

  x

1



1





2

2

3

2

3 x x

2



2

2

6

x

   x x   x 1  A x  1

2

2





 1



2





0

x

x

x   

0 1

  





A

    1  

  1   

x

   

0 1

x

1

6 x      0 x 0 x  2 ) (Do  A

 Vậy

0;1x 

2

Kết luận

x

log





log

x





2

x



1



  1 1

2

2

 log 1



1 1

x x

 

1 2

  

  

2

Bài 33: Giải bất phương trình:



log (



log

x



log (1



2

x



 1) 1

x

2

2

x x

 

1 ) 1

1 2

2

x



0



Giải bất phương trình

1 1

 

x x 0

     x

2

2

Điều kiện :

  x

 

x x

1  1 1



x

x 2 2



1

BPT

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 113

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

(

x



x



2

x



1)

2



2

x



  x x

1)(1  1

2

2

3

2

(

x



2

x



1)

(

x



x



2

x



1)





x 1)(  x

 1

  x x

1)( x  1

2

3

2

(

x

1)(

x



2

x

(

x



x

  x

1)



  x (

2

x



1)



0

 x

1)   1

  

2

2







(

x

1) 2

x

x

2

x

1





0

  x (

2

x

1)

  1  x 1

  

     





x

1





0

2 

x 1

x

2

x



1

1

x



1

2

1

2

1

x  

  x   x      x    x    x 1   1  2

2

 Vậy

1

   x 1    0 x 

3

2

2

là nghiệm của bất phương trình đã cho.

x



5

x



4 1



x



2

x



4

x





Bài 34: Giải bất phương trình

Bài giải:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 114

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

3

2

2

1     x 5 x  x  x Điều kiện: 2 4 0 5 x   0   1    

x



4



3

x



4



2

x



4

x



2



 x x



(1) Bất phương trình đã cho tương đương với 

2

Xét hai trường hợp sau đây:

0x  . Hơn nữa hai biểu thức

  và 3 0

4

x

x 2

2

x

x 2

 và 3x không đồng thời bằng 0. Vì vậy

4

2

2

x



2

x



4



3

x



4



2

x



4





 x x



5 0 TH1: Với 1     khi đó x

2

2

Suy ra 1   5   thỏa mãn bất phương trình đã cho 0 x

  . Đặt 0

4

x

x 2

x

  

a

4

0,

x

  0

b

x



2

2

a



23 b

  

ab

4



b 3

   

b a

0

b 3

5 khi đó TH2: Với x    1

 a b a





2

0

x

  

x

4

17

7



65

2

Bất phương trình trở thành

2

x



x



x

  4

3

x





  x

2

  1 2

2



 

x

7

x

4 0

   

17

7



65

 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm

5

0;

  x

  1

  x

2

  1 2

2

2

(tmđk)

x

3

x



2

x



2

x

  x

  2





Bài 35: Giải bất phương trình:

Bài giải:

● Điều kiện xác định: 3 (1) x   1

2

2   x

2

x

 

2 2



x



2



3

x



2

x



2

  2

 x x

 1







● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) là bất phương trình đã cho, ta có:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 115

Tất cả vì học sinh thân yêu





x



2





2



2

x

 x x

 1







  1





2

x





2



x



1

 (3)

0

1



2

 x x



 x x





 x x 









x

  nên

1 0

 x x

2



2



2

x

 1



  3

 x x



2

6

  x

x

  0

4

Do với mọi x thỏa mãn (1), ta có

13    3 13 (4)   3 x

Kết hợp (1) và (4), ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

x

x

 3;3  13  1   



3

x   

9 3

2

Bài 36: Giải bất phương trình: 9

2

x

Bài giải:

9

t

t

    t

2

t 

3

 , bất phương trình trở thành

0

2

t

2

     0

t

t

9

0

t

Đặt

    , khi đó bất phương trình tương đương với

t

  9 1

2

Xét 9

9

  

t

 81 18 t

  

t

t

t  , bất phương trình tương đương với 2 t

2

83 19

Xét .

t 

  9 2

83 19

x

Suy ra

t 

3

x

  

log

3

83 19

83 19

83 19

 Vậy nghiệm của bất phương trình gồm các giá trị

x 

log

3

83 19

khi đó . Từ (1) và (2) suy ra

http://qstudy. vn/

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 116

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

1

2

x



4

x



3

x

 1 e



1

2

4



x





e



x



x

3  

2

x



4

x



3

x

1



Bài 37: Giải bất phương trình:

Bài giải:

0x 

t

e



t



f



Điều kiện

  t

  t   1;

1 t

t

t   . Suy ra f(t) đồng biến trên

Xét hàm số với

f

e



 với

0

'





  t

 1;

  t   1;

1 t

 t t 2

Ta có

5

x

   

2 0

x

2

x

  2

x

1     4 4

1 2

x  4

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình gồm các giá trị của x thỏa mãn

1 4

x

x



x



2

Do đó từ bất phương trình đã cho tương đương với 1  x  2 x  4 x  3



 

x

2.9 6

 

3.6 x 4

Bài 38: Giải bất phương trình

x

x

x

x

x

2.9

2.4

  2



0

Bài giải:

x

 x

2.9 6

 

3.6 x 4

 6

5.6 x 

4

0

Ta có

x  , bất phương trình tương đương với

x

x



5



2

2.

x

3 2

  

  

  

Chia cả tử và mẫu của vế trái cho 4

t



0

t



,



0

x

3 2

  

  



1

3 2

23   2    

  

. Đặt bất phương trình trở thành

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 117

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

t



t 2



2

0  

5  t 1 t 

2

1 2   t

   1 

x

x

  

log

   x

t  ta có

1 2

1 2

3 2

1 2

  

  

3 2

log 2 3 2

x

1

x

2



0    

Với

t  ta có 2

3 2

  

  

log 2 3 2

S

;

  



0;log 2

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

log 2 3 2

3 2

  

  

  

  

1

Với 1



2

1  x

2

1

2

x



3

x



5

Bài 39: Giải bất phương trình

Bài giải:

x

(1;

)

;

5        3 

  

Điều kiện

x

;

  

5 3

  

  

 Xét , vế trái bất phương trình luôn dương mà vế phải âm nên

x

  

;

5 3

  

  

2

1

2

x



3

x

   x

2

là nghiệm bất phương trình

 5

)

x   bất phương trình

(1;

2

2

2

x

1)



2

x



3

x

  

2

5

x

7

x

   6 0

  (2

 x    x 

2 3 2

 Xét

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 118

Tất cả vì học sinh thân yêu



x

1;

  [2;

)

3 2

  

  

 Vậy tập nghiệm bất phương trình là

(1;

]

  [2;

)

;

3 2

5    3

  

  

2

2

Suy ra là nghiệm bất phương trình

x

  1

 3 2



x

3



x

x

1  

Bài 40: Giải bất phương trình

Bài giải:

Giải bất phương trình……

   3x

2

t

4

2

Đk: 1

0

t

  

3 2

x



x





 2

2

t

4

2

  1

3 t  

t 2

   

4 0

t

2

t



t 2



2

   (t/m) 2

0

t







2 t

 2

2

x

  1

3

   

3 2

2

x

x



x

0

x

     3 1

Đặt t  x 1   3 , bpt trở thành:   x

Với t > 2 ta có

   3x

8

5

2

2

2

x



7



log

x



2

x



7

log

x



2





Kết hợp đk ta được nghiệm bpt là: 1



0

2

 

3

x

13

x

 3  4

Bài 41: Giải bất phương trình

2

Bài giải:

2

 2 x x   7 0 x   1 2 2, x  4 Điều kiện  x  13 x   4 0 x   1 2 2    3       

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 119

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

2

2













3

2

2

 x 3

 2 x 3

2

2 x  7  x  2 x  7 log x  2 x  7 5log x  Pt    5 8log 2  0  0  8log 2.log 3 x 13  4 13 x  4

8



5 8 log 2







log 243 log 256 0

 nên



3

5 log 3 3

log 2 3

3

3

2

 2 x 3

2

2

2 x  7 log x    Do  0  13 x  4

2

2

  x 13 x    x 13 x 4 0

2

2

2

2

2

2

1 2 2,

x



4

   log x 2 x 7 0    x 2 x 7 0 x x  4 ,    x x   x  x   13 13 4 0 x 1 3   2     x  x   2 7 0  x x   7 log 2 0  3        3      4 0  4 0       3          3    

   x    2 x 

Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình là

THÊM DẠNG

Câu 1:

2

2

x

x

2

x

x

    2



   1. 1

Lờigiải:

Điềukiện:

x  1.

Bất phương trinh tương đương với:

2



x

x

x

2

x

    0

x

1

x

2

  1

x

x

0

x

    2



 1

   1



 1

   

3

x

 2 1       2 0; 1

     

     

1

 1;

0

1

x

S

         x Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 120

Tất cả vì học sinh thân yêu

Câu 2:

2

  

x

3

x 21

2     0.

17

x

x

2

x

Lờigiải:

Điềukiện:

Bất phương trinh tương đương:

x 

.

17 21

2





x

x

x

  3 x







 1

x

x

2

 2

 9



 1



2

2

  





2

x

x

x

x

3

x 21

17

0

0

     

 1

   1



2

2



x

17

  1

x

2

    3

x

1

2

  3 x

1

x

9





x

2

x

0

x

2

0

.

   x

 1



   

 1

   

2

2

2 1



  1

x 21

x

x 21   x    x 

    3

x

x

x

2

x         17 1      

x

0,

17 21





Kếthợpđiềukiện suy ra tậpnghiệm

S

.

   2;

17 21

   

  ; 1  

Câu 3:

3

3

2

2



x

2

x

  1

2

x

 . x

x

  x 2



 1

Lờigiải:

.

Điềukiện:

x  Bất phương trinh tương đương:

1 2

3

3

2

2

2

2

2



  

   



x

2

x

1

x

2

x

0

x

x

x

2

x

1

x

2

x

  x

0

   1

 1

 x x



 1

   

2

2

2





x

x



 1



 x x

 1





0

0

x

x

1.

2        1



2

3

2

2

2





  1 x 2

x

1

3





x

x

2

x

  x

2

x

x





Kếthợpđiềukiện suy ra tậpnghiệm

;

S

  \ 1 .

  

1 2

   

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 121

Tất cả vì học sinh thân yêu

Câu 4:

2



x

5

x

3

2





2

x

x 4 .

  1

x

4

Lờigiải:

3



Điềukiện:

  x 0.

4

x

22 x

2

Khi đó BPT luôn đúng.

Từđiềukiệnbàitoán cho ta

x  vớimọi 0

x

5

x

   1

 

 5; 0 .  

2



Ta xétvới

 Bất phương trinh tương đương:

x

5

1

x

5

x

0.



   

2

3

2

2

2

3

2

  







x

5

x

4

4

x

2

x

4

x

5

x

x

2

4

x

     x



2

2

3

3

   





16

x

x

0

7

x

4

x

4

0

24

x

15

6

 4      

 16 

x 

2

4

x

0



  1

17

7

65

2

  x

4

0

x





.

2

4

x

0

17

7

65

  x

2

       

2   1 2

2  2

7

4

x

x

0

4   x x x     7 x        x       x        

65



  

1,

5

17 7 ;

.

S

5; 0

1

x   suy ra tậpnghiệm

Kếthợpđiềukiện

  

  

 2

  1 2

    

    

Câu 6:

2

x

    x

7

1

.



x

1

Lờigiải:

Điềukiện

x  bất phương trình tương đương với:

1,

2

2

x

x

7

1

x

x

x

x

x

0

2

7

6

1

8

4

x

6

2                x 2.

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 122

Tất cả vì học sinh thân yêu

Kếthợpđiềukiện suy ra tậpnghiệm  S 

1; 2 .

Câu 7:



4

x

    x

3

5

x 2 .



3

x

Lờigiải:

Điềukiện:

   Bất phương trinh tương đương:

3.

x

5 2







4

x

    3

x

5

2

x

3

    7

2

x

x

5

2

x

3

x













2

2

2

   

    

  4 x

28

x

   49

2

x

15

6

x

x

29

x

34

0

2

x

.

17 6



Kếthợpđiềukiện suy ra tậpnghiệm

S

2;

.

17 6

   

   

Hếtrùi ^^

2

2

3

3 10

11.

2

x

x

x

3 x











CÂU 8 :

10.

10

x  

Đk 

10

0x

,

Xét 

 

6

x

2

2

2

3

2

3

3 10

11;

3

4

0;

10;0

x

x

x

x

x

x

với

















3  

 f x



 ' f x



2

 

 x    

2 10

x



0

f

. Loai

Suy ra



0  

 f x







10.

x

(*). BPT tương đương:

0 Xét  

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 123

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

2

2

2

2

10 3 10

0

1

1

1

3

10

0

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x









  

























 







 1 10





2

2

2

2

2

3

10

10

1

3

10

0

x

x

x

x

x

x

3  

























 1 10







2

2

2

2

10

3

1

10

0

x

x

x

x

3  

















 1 10



  



 

 

  x      0 

2

2

2

10

9 10

0

.

x

x

3  



  

1 x  1 0 x         1 x



Kếthợp (*) suy ra tậpnghiệm

S



2

6

7 12

7

12.

1

x

x

x

x

x

x

2  



 











  1; 10 .   

CÂU 9  ĐK:  2. x

2

2 2

6

7 3

2

8

1

x

x

x

x

x

x

 





 

















6

 1

x

 x 



BPT tương đương

2

4

0

x

x









  





7 3

2 2

x

 

 

     x    A

Với

2

4

2 2

x

x

x



 

6  



4

2

x

x

2  









0

2 2

7 3

2

x

x

A





   

x      

x

x

 2 2  

 2 2  

2 0

2.

x Suy ra bpt     

S

Kếthợpđiềukiện suy ra

x    2;2 .

2

2

8

8 6

3.

2

x

x

x x

x

 



1  

CÂU 10 ĐK  0. x Bpt tương đương

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 124

Tất cả vì học sinh thân yêu

1

1

1

2

x

x

x















2

2

2

8

1 3

0

x

x

x

x

 



8 3 0    





2

2





 x x 8

x

x

x

 8 3  

 1 8 1 3  

1

x



1

x



1

0





 x  



2

2

 1 3

8

x

x

 2 8 x  

 

    8 3 x    A

0.

A

x

Với

0;

1 8

1

.

x

x

x

x

x

x

x



 

0  









 

 2 1 8



 .8 1 8



 2 8 x



1   16

1 16

1 4

1 8

1 Với    8   

  

1

1

0.

A

Mà





  

2

1 16

64 8 57  21

8 3

x

 

8 3

 

1 64 1 0

1.

x

S

Vậy

x Suy ra bpt         0;1 .

2

2

3

1 3.

x

x

x

16 3 



4  

 



x

x 1. Đk  1. BPT tương đương

2

2

3

1

x

x

x

x

16 3 3  







2

2

2

1

26

3

4

6

x

x

x

x

x



8 x  



12 6 









16 0 



4   



3

2

2

2

2

2

4

2

6

36

9

16

12

7

21

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





  









16 3 



























 

 2 3 

5

3

x





8

 2 9

3

7

0









 x x



2

2

2

2

2

 4 2

12

16

2

6

3

 x

x

x

x

x

x

x

  

 x x 36 9 









   

    16 3 x      

A

Xét

3

2

2

2

2

4

2

3

16

8

22

x

x

x

x

x

x

22 6 



x  





36 9 





4 0

A





 



3

2

2

2

2

2

4 2

6

16

3

16

12

3

x

x

x

x

x

x

x

  





36 9 





x  



Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 125

Tất cả vì học sinh thân yêu

0

3.

x

0    

 x x

 3

S

Vậy

Suy ra bpt tương đương    0;3 .

3

2

2

2

2

2

1

3

6.

x

x

x

x

x

x

  



x  









CÂU 11 ĐK  2. x BPT tương đương

3

2

2

2

2

4

2 0

2 2

x

x

x

x

x

x

x

x









6  

  

   







 1 3

2

3

4

1

2

5

x

x



với

2

1

0.

x

2 x   











x 2

3

2

6

x

x

x

x

4  







2 2

x

x

  

x    1 3

 

    2      A

2

2

1

1

3

6

x

x

x





1

Xét

.

A





3

2

2

2

1

3

 6

 x

x

x

x



 4  





2 2

x

x

  

2

Ta CM A>0 hay

1

3

6 0;

 2.

x

x

x

x

  

x         

3

2

1

3

6;

2.

'

2

.

Có

Xét

x

x

x

x

f

x

x

  



 

1  

 f x

 



 

6

2 3

x



1

3

6 3 0

2

.

'

x

x

x

x

x

f



       

0  





 2 2



1 2

Có  f



 f x



2

Khi đó BPT

 2 5; 0 0. f f A         2 30 5 4 1 2 1 2            

.

Kếthợpđiềukiện suy ra

  2

. x x

2

3



2

x

4



1 x  2 0         2 x    1; S   

Bài 12 : Giải bất phương trình sau

2

 

x 2 3 x

 x 5  x 4

4 4

2

x



3

1



Lời giải

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 126

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x



3

x

4

0

x



, 3

 

Điều kiện:

3 2

2

2

Do

nên bất phương trình đã cho tương đương

3

x

x

x

  

3

  4

3.



3.

  4

0

3 2

3 2

  

2

4

x



4

2

x

 

2

x

 

3

x





3   2  

 3 1

 3 1

2

3

2

2

3

x

5

x

  4

  

0

2

x

5

x

  4

3

x



4

x



4

2

x

 



0

2







 3 1

2

3 1

 

3

2

2

3

2

2

x



  







4

4

2

3

4

2

3

x

x

x

x

x

3

x

2

x

 

x



3

2

x

  3

x

2

x



3

  x

2 2

x

  3

0

  x 2

 3 2 2









Đặt

x   bất phương trình trở đã cho trở thành

3

2

2

2

2

2

3

2

x



3

2 x a



2

a



xa

  x

2

a

  

0

x

2

a

2

x



 xa a



x



2

a

  

0

x

2

a

2

x



 xa a





0















 1

x 3 a  2

2

2



Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

S

; 2



   6;



3 2

 

  

1

x

  3

2



x

2

x





6 x  x  x  x x x 2 a     2 2   3   2 x x x  3 3 2  8 x x  12  0 3 2   4 2   3     2          

Bài 13 : Giải bất phương trình sau

2

2



39 12 6

x  

x

 17 2 6

  x

x

Lời giải

2

6

  x

x

0

2

x

     3

Điều kiện:

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương    39 12 6

3     3   2 2 x x x x x   3 2  x   x  17 2 6   x x



2

2

x   3 2  x 1 2  x   0    x 3   x     x x  17 2 6   x x 39 12 6        

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 127

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

2

t



2

  x

x



3

t

    t

5 2 6

0

   x

x

2 6

  x

x



t

5

Đặt

 bất phương trình





trở thành

2

3

x

x

x

t

  3

2





x   

3

2





t 6



t 12



9



0



2









17

1 2 t





5

t



5

t 



   

   

2

t

x

t



x   

3

2



3



t 3



3



0





 39 6 



2

3

t

t 3

bất

trình

tương

đương

Do



  0 

nên     

phương 





1:

hợp

Trường

3

x

2

x

  

x

 

x

 

x

2

x

3  



1 2



1





  x

2

2



  x

x



9

2

x

  3

2

  x

3

   5 2 6  

    

x

4

6



1 2 x  

6

x

2

x  



    

    

2:

hợp

Trường

3

x

  

2

x

x

 

x

 

x

  3

2



x

1 2



   x





2

2

2



  x

x



9

2

x

  3

2

  x

3

   5 2 6  

    

x

4

6



1 2 x  

6

x

2

x  



    

    

S    

3; 2

Kết hợp với điều kiện, vậy bất phương trình đã cho có tâp nghiệm



 1; 2





3

2  x t  3 3 0 x 3 x 2   x   3 2  x    x 3  0



2

x   1 2 x  x   2 3 x  x   2 6  3 x  3

Bài 14: Giải bất phương trình sau 



 2 5 2

Lời giải

x  2

Điều kiện:

Bất phương trình đã cho tương đương

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 128

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2



x



2

3 5 2

x

 

2 3

 

2 6

x



x

x

3



x



2

x

 1









 

2

2

3

3 5 2

x

      2 3

x



 

2 6



x

 3



x



2

x

3

x

   x



2

2

3

3 5 2

x

 

2 3

x



x     2 6 3

x

 3   x 3 6

  1 2     x

2

0



x

 

3

3 5 2

x

 

2 7

x

 

2 3



0

   x



 4    

    1 2 

 



x



3

0

   x

Trường hợp 1: 

23

35 2

Trường hợp 2:

2

2

t



2

x



t

      x

0

2

x

t

t

2

Đặt

 bất phương trình đã cho trở thành





3

2

2

2



 





t

5 2 3

2

t 2 7

   3 0

3 t 5 2

  3

t 7

6

t 7

3





3

2

2



 343 t

t

t



 t 191



 t 125 2 

t 534

723

   

0

1



t 189



723 0

  



  6  t 1 343

 



2

x

x



2

x

x

    2

1

  

2

3



x

x

 

2 1



3

  

  

S 

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm



2;3

2

2

2

x   2 7 x    2 3 0



 1

x  2 x  2 x   1 2 x  x    1 3 x

Bài 15 : Giải bất phương trình sau 



Lời giải

1x 

Điều kiện:

Bất phương trình đã cho tương đương

2

2

2

x

x

2

x



x

2

x



x

0

x

3



 1



2

2

     x

x



3



2

x



x



1

0

x

x

 

x

  3

2

x



x



1



0



 1



 1

  3 

  1  1 1

 

  1 

 1  1 1

  1     

 1 1

 

 

x

x

   1 1



0

Do

nên bất phương trình đã cho tương đương

x

 

1 1

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 129

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x

  3

2

x



x

1

   0



 1

2



 1  



 1

       

 1



2 x  x   1 x 1 0 2 x x x x    1 x 2  0 x

2



5

5

5

5

S

; 2

;





Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

 2

 2

  

  

    

  

2

5 5 2   x 2  2             0 1 1 2 2 x x x x  x 5 x   5 0  x   1 2 x 5 5 0   x  2       2   x   x      2

x 8  x 15  4 x  5 x   1 2 x  2

Bài 16: Giải bất phương trình sau





Lời giải

Điều kiện:

x  2

2

4

x



x



9

9

2

x

x

x

5

 

1 2

  2



0

4



nên bất phương trình đã cho tương đương

Do

2

4



x

5

x

 

1 2

x



2

2

2

2

2







 1 4

 1



2

2

8 x x x x x x x x x x x x x 15  4 5   1 4  2  4      3 4 14   7 4 4  9  2   1 0



 1

  x

2,

b



x



1

a b ,



0

a



24 x

bất phương trình đã cho trở thành

Đặt





2

2

2

2

x  9 x  2  4 4 x  9 x  2 x   1 5 x   0 4     

a

ab

a b

x

x

x

x

x

b 5

b 5

 a b a





 4     0      0 4  9   2    4 1 10   3 0

5  13   x 4

 5 13

   x  4

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 130

Tất cả vì học sinh thân yêu

5



13



S

;

Kết hợp với điều kiện, vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

4

  

    

2

x

x

1

  

1

x

 

Bài 17: Giải bất phương trình sau

1 x

2 x

 2

Lời giải

Điều kiện:

x  0

Bất phương trình đã cho tương đương

2

x

  

2

x



2

x

    

1

x

1



x



2

x

      x

1 0

1

x

  

1 1

x



  x

1



0









2 x

2 x

2 x

2 x

2 x

2 x

  

  

   

   

   

x

1 1 0

Do

    nên bất phương trình tương đương

2 x

3

2

x

1

1 0

1

1

1

x

x

x

x

x

  

x

x

2

0

x

    1



2 1

2 x

2               x

2 x

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

S  



;1

2

3

3 x  3 x  4 x   3 3 x   1 5 x

Bài : Giải bất phương trình sau

 4

Lời giải

Điều kiện:

x  

1 3

Bất phương trinh đã cho tương đương

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 131

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

3

3

x



3

x



6

x



x

3

x

  1

x



2



5

x

  4

0



   1





2

2



2



3

x



x

x



2







0

Do







x   1

x x 3

x



1

x

x   2

 x 5 x



4

1

1

2

3

x

x

  6



0



   x



x

3

x

1

x

5

x

4



2  



  1

  

  

1

1

2

x

0

1

x

x

3

x

  6



x    

0,

nên ta có

     0

1 3

x

  1

3

x



1

x

  2

5

x



4

S 

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm



0;1

22 x

   2 x 5 x   2 x x 11

Bài 18 : Giải bất phương trình sau

 7

Lời giải

Điều kiện:

2 x  5

Bất phương trình đã cho tương đương

2

2

5

2

5

2

x



x



x



x



2

2

2



5

  2



3



  7



5

   0

2







5



2



0

x

x

x

x

x

11 x

x

x

x

x

x







5



2

  3



7

x

x

x

11 x

1

5



17

5



17

x

2

2

5



2





1

  

0

5

   0

2

x

x

x

  x

   x



2

2







x

5

x

2

x

  3

x 11

7

  

  

5





17

17 5 ;



S

S

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

2

2

   

  

2

2

x

  

x

7

x

6

x

5

x



2

6







0

Bài 19 : Giải bất phương trình sau

2

x

2

x



10

  3

 

 

Lời giải

x  3

Điều kiện:

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 132

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

11



x





2

2



10





0

x

x

  3

Do

nên bất phương trình đã cho tương đương





2

x

x



10

2

  3



6 x 

2

2

2

2

x

6

  

x

7

x



x



5

x

2      x

6 49

2

x

x



14

  x

6



6

x



5

x



2

6

 x x







2

2

2

2

  5 x

18

x

 

6 14

x



3

x

x



2

  0

5



3

x



14

x

x



3

x

x



2



3

x



3



0





















2

x



x b



x



2

a b ,



0

a



3 ,

Đặt

bất phương trình đã cho tương đương





2

2

2

14



  

0

0



3



3



2

ab

a

3 b

 5 a b

    a

3 b

x

x

x

a 5









2

3

2   x

x



x

  

2

x

12

x



18

  

6 3 6

0

  

6 3 6

x

9



3 b 

Kết hợp với điều kiện, vật bất phương trình đã cho có tập nghiệm

2

x



x



3



1

S  3;6 3 6     

Bài 20: Giải bất phương trình sau

x



1

  

1

x

x

2



  2

 1  x

Lời giải

1x 

Điều kiện: 0

1x  nên

Do 0

2 x  2  1 1 0 x x x     bất phương trình đã cho tương đương



 1



 1







 

 

2

2

a

b



1



a



x b ,



1





0

Đặt

ta có

bất phương trình đã cho trở thành

 x a b ,



2

2

b

  1

x

2

a



   

2

2

2

2

2

2

2 x  x   3 2 x  2  1      x 1 2 x x x   3 x  1  x 2  1  x x





 a b b





2

2

2

2

 a b

a     a b 2 2 a  b    2 b 2 b  a  b





2

2

2

2

2

3

a   2  b  2   2 

 1 2

       1 2

 ab a







 2 b a



 3      4  3  5 2  2    2  0 b 4 b 4 b    b a 3 a 2   2  ab a b 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 133

Tất cả vì học sinh thân yêu

3

2

2

3

2





a 3



2

0

2

a



a

a 3

Mà

a  và 1

 nên dấu "

" xảy ra khi

  nên  2 0



 b a 2



S 

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

 1

2

x

 6 3



2

x



5

x



2

1

x



1 1   x 0 a    b

Bài 22 : Giải bất phương trình sau

2

 x

x

3

2

2

x

  x



Lời giải

0

2



x



x

x

x



2

5

2

; 2

0

;

Điều kiện:

  \ 0;1



1 2

          

  

2

2



5

x

  2

0

x

 x  3   

Bất phương trình đã cho tương đương

2

2

6 3 

x



2

x



5

x



2

1

x

6

3

x



2

x



5

x



2





0

   1 1

2

2

2

 x

1   x

3



x

2

x



5

x



2

3

x



2

x



5

x



2

x

3

x



2

x



5

x



2





2

2

2

5

x

 

2 3

x

  

0

2

x

5

x

2    

2

7

9

x

x

5

x

2

0

x

2

x



    

Trường hợp 1:

2 7

2

3

x



2

x



5

x

2

0

Trường hợp 2:

  bất phương trình trở thành

2

2

1

  x

0

3

2

x



5

x



x





2





  0

x

7

x

5

x

2

  0





2

7





x

x

5

x

2

 

2 

2 7

     x 

S

;

Kết hợp với điều kiện, vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

     ; 2





 0;1

1 2

  

2     7 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 134

Tất cả vì học sinh thân yêu



2

x



Bài 23 : Giải bất phương trình sau

2

4

1 

x

1

2

x



x





1



 1

Lời giải

Điều kiện:

1x 

4

2

2

x



  1

2

x





2



x

  1 0

Khi đó



 1



2 1

3 2

2

4

2

x

2

x



x



x

  

1

1x  bất phương trình đã cho tương đương

Trường hợp 1:



 1

2

2

2

2

4

2

2

x

x

x





2

x



x





2

x



x



x

    1

Ta có



 1



 1



 1

  

  

1

5

2

2

        x

1 0

x

x

x

x

1

" xảy ra khi

Dấu "

 2

4

2

2

x

1

  

x

2

x



x



Trường hợp 2:

1x  bất phương trình đã cho tương đương

(luôn đúng)



 1

5

S

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm



  1      ;1 2  

    

3 3 3  x   x 

Bài 24 : Giải bất phương trình sau

4 x x  3 3  3  x

Lời giải

Điều kiện:

 x  

   1;3 \ 0

x 

Trường hợp 1:



0;3

4

x

 3 3



3



0

x

  x

nên bất phương trình đã cho tương đương

Ta có

x

x

 3 3



3



Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 135

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

x



3



x

 3 3





6 2



2

 3 3

x

3



x

  

3 3

16

x

3



x

  5

x

  

x













4

4 x

2

2

2

3 3

x

3



x



5

  

x

x

4

x

    0

4

x

2

  

0

x

2

x 

  











Trường hợp 2:

1;0

 x  

x

4

 3 3

x



3

  x



0

Ta có

nên bất phương trình đã cho tương đương

x



3



x

2

3



x

 3 3

2

 3 3

x



3



x

3 3  

x



3



x



16

3 3

   





x



 3 3

x

4  x

4   x 

3

3

  x

 3 3

x



x 

 

 

x

 

6 2



2

 3 3

x

3



x

  

3 3

16

x

3



x



5

  

x

x

2

0

 (đúng)



















2



1;0

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm



  2

 S  

1

x x





x



2



1

Bài 26: Giải bất phương trình sau

3

2

  1



x x

x

x

Lời giải

1x 

Điều kiện: 0

2

3

2

x



x



x x

  1

x



x x

    

0,

1

x

x

x x

  1

Ta có

nên bất phương trình đã cho



 0;1

tương đương

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 136

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

3

2

3

2

2

3

2

2

2

 1

   

 1



 1







2

2

2

2

2

         x x x   1 x x x x   1 x x x x   1 x x 2 x x x x 1

2      x

 1







x    x  x  x    x     x x x x 1 2 0 1 0 1 1 0

5   x

  l

5

5

S

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

  1 2

     

    

2

3

2

2

12

x

  5

x



2

x

x

  1

2

x



10

x

3

x



 5



   x    1 2   1 2

Bài 27 : Giải bất phương trình sau 

Lời giải

Điều kiện:

x  2

Bất phương trình đã cho tương đương

2

2

3

2

2













2

2

3

2

2

2

2

12 2 3 12 5 2 x  x 5   x  x x 1   x  x   x  x 3











2

2

3

2

2

3 x 12 x x 2 x x 3 x 12 x x 2 x 3 x 12 x x 2 x   5    1    5     5   

3    x

3

2

3

2

2

3 x 12 x 2 1 x x x 2 x 3 x 12 x 5  5           1

 1

3

2

3

2

2

x x 2 x 1 2 x x 2 3 x 12 x 5 x           x 

 





2 x 10 x 6 2 3 x 2 x x x 0 x x          

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 137

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

2

2

3

2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x







3



2

2



3



2







0



3









3

2

2

3

2

2

x



x

  x

x



x



2

x



x

  x

3

x



3

x



2



0



3

 x   

 

 

3

2

2

3

  x

x

  x

x



3

x

  

2

x

4

x

    0

2

x

2

S 

2;

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

 





x



3

2

x

  3

3

x



Bài 29: Giải bất phương trình sau



31 





 x x

  1

Lời giải

Điều kiện:

3 x  2

Bất phương trình đã cho tương đương

2

2

3

2

3

3

3

2

3

5

2

x



x

1  

x



x

3  

x

  

x

x

x

x



x

 



x



x





 1







 1

 1 1   



 3 1

2

2

3

2

x



x



x



x



1

3

x

x











 







x



x

  

x

2

3

x





0



 2 3

 1



   1

 

 

 1 1 1  

x

   3 1

2

x

x

1 1

2

x

3 1

  

  

    

  

có

Ta

x

3



2

x



1

x



3

x



1

    

3

2

  2

3

1,

3

1





0

x

x

x

x

x

x



1

3       2

x

 

1 1

2

x

 

3 1

x

 

1 1

 x 2

   3 1

  

  

0

2

x

x

2

Khi đó bất phương trình trở thành

   

S 

2;

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

 



4

3

2

3

2

6

x



10

x



6

x

  8

x

  x

x



2

x

2

x



Bài29 : Giải bất phương trình sau

 1





Lời giải

Điều kiện:

x  0

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 138

Tất cả vì học sinh thân yêu

Bất phương trình đã cho tương đương

2

2

2

2

2

2

x

  1

  8















2

6

2

6

8

x

x

x

x

x

x

   2

x

2

x



6

x

  

8

x

x



2

x





 x x

 1



 1 2 0

 Do

 x  không thỏa mãn bất phương trình nên bất phương trình tương đương

2

2

t



x



Đặt

bất phương trình trở thành

x

2 2 2 2 x     6 1 x    0 2 x    2 x   1 4 x x x x                        

2

2

2

2



 1

2

x

1

 

  

x

x

  

0

2

x



2

4

0

x



   x



 1



x

S 

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

 4

4

2

2

2

x

1

x

1

x



  2

1   t 2     t 1 2    t 1   2 t   t  0 t 2   1  1 t      t      

Bài 30: Giải bất phương trình sau

x 2

 x

x   2 x  1



  x x

 1  1

Lời giải

Điều kiện:

x  0

2

2

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương

2

2

x x 1 x 1 x 1 1 .    1   x x   x x x   2  x 1 x   2 x  1

Đặt

bất phương trình trở thành





2

2

1 x x 1 a b  a b ,  0  ,   x x x   2  1 x

2      b



 1

 1



 1

S 

0;

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm



 

x 1 1 ab a b a b x   b     0 1    1 0  (đúng) x   x

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 139

Tất cả vì học sinh thân yêu

2

4

2

2

x

  1

1



x



1



x



3

x

2 2

Bài 31: Giải bất phương trình sau

 1





Lời giải

Điều kiện: 1

   1x

4

2

2 x b ,

bất phương trình đã cho trở thành

Đặt

2

2

2

2

 a b



ab



2

a

2  

b

 a b



2

 



2

2

 0

 2 2



 2 2





 a b a b

   

 a b a b





2

2

4

a

0

          

a b

a b

1

2

0

b

2

0

x



1



x

  

1

2

x

1

0

Do

   x

S 

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

 0

1  x  ab 1 a    1 x 1 2 a  b x        3 

Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc

http://qstudy. vn/

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 140