Kinh nghiệm giải toán hình giải tích phẳng: Phát hiện và giải quyết vấn đề từ mối quan hệ ba điểm

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƢỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA _____________________

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

TRONG BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG

TỪ NHỮNG MỐI QUAN HỆ BA ĐIỂM

Tác giả: Phạm Kim Chung Tổ: Toán Điện thoại: 0984333030

Tháng 05 năm 2014

MỤC LỤC

Trang 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Lý do chọn đề tài Trang 1

II. Mục đích nghiên cứu Trang 1

III. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Trang 2

IV. Kế hoạch nghiên cứu Trang 2

V. Phƣơng pháp nghiên cứu Trang 2

Trang 3 B. NỘI DUNG

I. Thực trạng vấn đề trƣớc khi áp dụng Trang 3

II. Kết quả đạt đƣợc và kinh nghiệm rút ra Trang 3

III. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả Trang 3

IV. Cơ sở lý thuyết Trang 4

1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Trang 4

2. Một số bài toán cơ bản sử dụng trong đề tài Trang 5

Trang 7 V. Nội dung đề tài

1. Phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải bài tập hình giải Trang 7 tích trong mặt phẳng

a. Ba điểm phân biệt và mối quan hệ vuông góc Trang 7

b. Ba điểm phân biệt tạo thành một góc có số đo bằng Trang 26

Trang 35

c. Ba điểm phân biệt và mối quan hệ thẳng hàng d. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và mối quan hệ Trang 40 giữa ba điểm

2. Xây dựng và mở rộng một số dạng bài tập hình giải tích Trang 46 trong mặt phẳng từ bài toán hình phẳng thuần túy

a. Xây dựng bài toán từ sự kết hợp giữa bài toán thuần Trang 47 túy hình phẳng với các bài toán ở mục IV.2

b. Một số hướng thay đổi cách phát biểu để xây dựng bài Trang 57 toán.

Trang 62 C. KẾT LUẬN

I. Những kết luận Trang 62

II. Những kiến nghị, đề xuất Trang 62

Danh mục tài liệu tham khảo Trang 63

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phƣơng pháp dạy học tích cực tôi nhận thấy phƣơng pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” có nhiều ƣu điểm cũng nhƣ phù hợp với công tác giảng dạy bộ môn Toán ở trƣờng phổ thông nói chung và dạy học giải bài tập toán nói riêng. Tuy nhiên để có thể thành công trong phƣơng pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” ngoài năng lực chuyên môn và năng lực sƣ phạm của mỗi giáo viên còn đòi hỏi ở ngƣời giáo viên nhiều thời gian và tâm huyết.

Để có một bài giảng thu hút đƣợc học trò, giúp học trò phát triển tƣ duy về môn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi cũng nhƣ bao giáo viên yêu nghề và yêu toán khác thƣờng trăn trở với những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán.

Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là bài toán thƣờng xuất hiện ở các kỳ thi vì vậy nó luôn đƣợc sự quan tâm đặc biệt đối với học trò, bên cạnh đó nó cũng là một bài toán khó với nhiều đối tƣợng học trò đặc biệt là với các em có năng lực trung bình. Băn khoăn trƣớc những khó khăn đó của học trò, tôi đã tìm tòi và quyết định chọn phƣơng pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” để giúp các em tiếp cận loại toán này một cách hiệu quả nhất.

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nƣớc nhà, đổi mới phƣơng pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu.

Trong số những bài toán về hình giải tích trong mặt phẳng có một lớp các bài toán “thiên về tính chất hình phẳng thuần túy” đã gây cho học trò nhiều khó khăn khi tiếp cận. Vì vậy tôi đã chọn đề tài “Phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toán hình giải tích phẳng từ những mối quan hệ ba điểm” để nghiên cứu.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài toán hình giải tích trong mặt phẳng thông qua phƣơng pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề”.

Phát triển tƣ duy khái quát hóa, tƣơng tự hóa, lật ngƣợc vấn đề, tƣ duy

Trang | 1

sáng tạo của học sinh…

III. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh khối 10 THPT - Đội tuyển HSG khối 11 THPT - Học sinh khối 12 THPT ôn thi vào các trƣờng Đại học - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

IV. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU

TT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm

1 Chọn đề tài, viết đề cƣơng nghiên cứu Bản đề cƣơng chi tiết Từ 15 tháng 01 đến 15 tháng 02 năm 2014

2 Đọc tài liệu lí thuyết viết cơ sở lý luận Tập hợp tài liệu lý thuyết Từ 15 tháng 02 đến 30 tháng 02 năm 2014

3 Trao đổi với đồng nghiệp và đề xuất sáng kiến Từ 01 tháng 03 đến 15 tháng 03 năm 2014 Tập hợp ý kiến đóng góp của đồng nghiệp

4 Dạy thử nghiệm ở các lớp 10A, 12C1, 12C2, 12C4 Thống kê các kết quả thử nghiệm Từ 15 tháng 03 đến 30 tháng 03 năm 2014

Hoàn thiện đề tài Đề tài chính thức 5

Từ 01 tháng 04 đến 25 tháng 04 năm 2014

PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn khác nhau liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích trong mặt phẳng, phƣơng pháp dạy học môn toán và những sáng kiến kinh nghiệm của các giáo viên khác thuộc bộ môn Toán THPT.

Trang | 2

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện. - Giảng dạy các tiết bài tập toán tại các lớp 10A, 11C1, 12C1, 12C2, 12C4 trƣờng THPT Đặng Thúc Hứa để thu thập thông tin thực tế.

B. NỘI DUNG

I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƢỚC KHI ÁP DỤNG

Trƣờng THPT Đặng Thúc Hứa đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chƣa thực sự đƣợc quan tâm từ các bậc học dƣới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình.

Khi chƣa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập hình giải tích trong mặt phẳng, các em thƣờng thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức đƣợc giáo viên cung cấp chứ chƣa ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng nhƣ tạo đƣợc niềm vui, sự hƣng phấn khi làm toán.

Kết quả khảo sát ở một số lớp trong phần giải bài tập toán về phần hình giải tích trong mặt phẳng cũng nhƣ qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn Toán, chỉ có khoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán hình giải tích trong mặt phẳng.

II. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA

Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy: Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học và 50% trong số đó biết cách tìm tòi và xây dựng những bài toán mới từ những bài toán gốc đƣợc giáo viên gợi ý hoặc đƣợc các em tự tìm tòi.

Trong các kỳ thi thử ĐH trên toàn tỉnh cũng nhƣ khảo sát với các đề thi thử ĐH trong cả nƣớc, có 90% học sinh ở các lớp trên có thể giải quyết bài toán hình giải tích trong mặt phẳng ở các đề thi đó.

III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ

- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh đang học khối 10 THPT cũng nhƣ các em học sinh khối 12 THPT đang ôn thi vào các trƣờng ĐH-CĐ.

- Đề tài có thể đƣợc phát triển thêm ở những lớp bài toán khác trong phần hình giải tích phẳng để trở thành tài liệu cho các giáo viên giảng dạy môn ở các trƣờng THPT.

Trang | 3

- Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy môn toán.

IV. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

a. Bản chất.

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là phƣơng pháp dạy học trong đó giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt đƣợc những mục đích học tập khác.

b. Quy trình thực hiện. Bắt đầu

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải pháp đúng

Kết thúc

c. Ưu điểm.

- Phƣơng pháp này góp phần tích cực vào rèn luyện tƣ duy phê phán, tƣ duy sáng tạo cho học sinh. Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có học sinh sẽ xem xét, đánh giá, thấy đƣợc vấn đề cần giải quyết.

- Đây là phƣơng pháp phát triển đƣợc khả năng tìm tòi, xem xét dƣới

nhiều góc độ khác nhau.

- Thông qua việc giải quyết vấn đề, học sinh lĩnh hội tri thức, kĩ năng

và phƣơng pháp nhận thức.

d. Hạn chế.

Trang | 4

- Phƣơng pháp này đòi hỏi ngƣời giáo viên phải đầu tƣ nhiều thời gian và công sức, phải có năng lực sƣ phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra đƣợc nhiều tình huống gợi vấn đề và hƣớng dẫn học sinh tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề.

- Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian hơn so với các phƣơng pháp thông thƣờng.

2. Một số bài toán cơ bản sử dụng trong đề tài.

 Bài toán 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng

và hai điểm

trên đƣờng thẳng , biết đƣờng

không thuộc thẳng . Xác định điểm vuông góc với đƣờng thẳng

Quy trình giải toán.

Bước 1. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AM qua A và vuông góc với đƣờng thẳng AB. Bước 2. Xác định tọa độ giao điểm của đƣờng thẳng AM và đƣờng thẳng Bước 3. Kết luận.

 Bài toán 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng . không thuộc và điểm

, biết góc giữa hai đƣờng

Xác định tọa độ điểm bằng và thẳng trên đƣờng thẳng

Quy trình giải toán. Bước 1. Tham số hóa điểm Bước 2. Sử dụng công thức

(Trong đó là

)

Trang | 5

véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng Bước 3. Giải phƣơng trình ở bƣớc 2 và kết luận.

 Bài toán 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân , . Xác định điểm trên đƣờng thẳng

biệt biết

Quy trình giải toán.

Bước 1. Giả sử

Bước 2. Xác định M trong hai trƣờng hợp:

- Trƣờng hợp 1: (Điểm M nằm trong đoạn AB)

(Điểm M nằm ngoài đoạn AB)

- Trƣờng hợp 2: Bước 3. Kết luận.  Bài toán 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng và hai điểm

không thuộc Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho

Quy trình giải toán. Bước 1. Tham số hóa điểm Bước 2. Sử dụng công thức tính khoảng cách .

Bước 3. Giải phƣơng trình ở bƣớc 2 và kết luận.

 Bài toán 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm đi qua điểm . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

và thỏa mãn hệ thức

Quy trình giải toán. Bước 1. Giả sử

Bước 2. Sử dụng hệ thức

Trang | 6

Bước 3. Chọn đại diện và thỏa mãn (*)

V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Bài toán hình giải tích trong mặt phẳng thông thƣờng đƣợc phân chia thành hai mảng: mảng thứ nhất là lớp những bài toán mang nặng tính “đại số” và thƣờng đƣợc xây dựng dựa trên cơ sở là phƣơng pháp tham số hóa, mảng thứ hai là lớp những bài toán nặng tính “hình học” và thƣờng đƣợc xây dựng dựa trên bài toán thuần túy hình phẳng.

Trong đề tài này tôi muốn nêu lên ý tƣởng giải quyết bài toán hình giải tích phẳng thuộc mảng thứ hai thông qua những “suy luận có lý” từ những mối quan hệ giữa ba điểm có trong dữ kiện của bài toán đồng thời đề xuất các giải pháp xử lý những mối quan hệ đó cũng nhƣ xây dựng bài toán tổng quát và nêu ra những cách nhìn nhận khác nhau xung quanh những mối liên hệ có trong bài toán.

Sau đây là một số dạng bài toán đƣợc phân tích, suy luận, giải quyết từ những mối quan hệ ba điểm thông qua 4 bƣớc trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:

Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề. Bước 2. Tìm giải pháp. Bước 3. Trình bày giải pháp. Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

1. Phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải bài tập hình giải tích trong

mặt phẳng. a. Ba điểm phân biệt và mối quan hệ vuông góc.

 Bài toán 1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông

ABCD. Gọi là trung điểm của cạnh BC, là điểm

trên cạnh AC sao cho Xác định tọa độ các đỉnh của hình

vuông ABCD, biết D nằm trên đƣờng thẳng

Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề.

Trang | 7

- Ta nhận thấy rằng giả thiết bài toán xoay quanh ba điểm D, M, N nên giữa chúng có thể xuất hiện những mối quan hệ đặc biệt. Bằng trực . Nếu giả quan ta đƣa ra giả thuyết thuyết này đúng dựa vào bài toán 1 chúng ta sẽ

tìm đƣợc tọa độ điểm D. Từ đó ta sẽ tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông bằng phƣơng pháp tham số hóa quen thuộc.

- Ta sẽ cụ thể bài toán trên để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra: Giả sử ta chọn hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh

. Khi đó

Bước 2. Tìm giải pháp.

Nhận thấy các mối quan hệ trong bài toán là quan hệ vuông góc, trung điểm và các mối liên quan đến độ lớn cạnh của hình vuông, vì vậy ta đề xuất các giải pháp chứng minh sau:

 Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)

Gọi I là giao điểm của hai đƣờng chéo AC và BD. Điểm F là trung điểm đoạn DI. Khi đó tứ giác FNMC là hình bình nên hành và F là trực tâm tam giác NDC nên Mà

 Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)

Đặt

Ta có

Suy ra

 Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ. Khi đó .

Nên

Do đó

Trang | 8

 Giải pháp 4. (Sử dụng công cụ lượng giác)

Đặt

- Xét tam giác AND, ta có

- Xét tam giác CMN, ta có

- Xét tam giác DCM, ta có

Suy ra

(Có thể sử dụng một trong các

Bước 3. Trình bày giải pháp. Trƣớc hết ta sẽ chứng minh giải pháp ở bước 2) Phƣơng trình đƣờng thẳng

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ

Giả sử , từ

Từ .

Suy ra tọa độ điểm M là

Từ đó ta có

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

nhờ mối quan hệ

- Để giải quyết bài toán 1.1 ta mở “nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm Nhƣ vậy bài toán 1.1 thực chất đƣợc xây dựng dựa trên bài toán hình phẳng thuần túy: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; N là điểm trên cạnh AC sao

cho Chứng minh rằng

- Bằng giải pháp 2 (sử dụng công cụ véctơ) ta sẽ kiểm tra bài toán tƣơng

tự trong trƣờng hợp tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Trang | 9

Ta có ,

Suy ra

+) Trƣờng hợp 1. Nếu +) Trƣờng hợp 2. Nếu , rõ ràng

hoặc ta luôn có .

Suy ra

Ta thấy, nếu khi đó hình chữ nhật ABCD trở

thành hình vuông. Ta cũng có thể phát biểu một bài toán tƣơng tự bài toán 1.1 với một hình chữ nhật có độ lớn đƣợc chọn thỏa mãn (*). Thí dụ, ta chọn

, khi đó ta cũng có thể xây dựng bài toán hình giải tích

thông qua bài toán thuần túy hình phẳng: Cho hình chữ nhật ABCD có . Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên đường chéo

AC sao cho . Chứng minh rằng

+) Trƣờng hợp 3. ta xét bài toán sau

thuộc đƣờng thẳng

 Bài toán 1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật , đỉnh C thuộc Gọi H là hình chiếu của B xuống AC. ABCD có đỉnh đƣờng thẳng

Biết điểm lần lƣợt là trung điểm của AH và CD.

Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm C có tung độ dƣơng.

Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề.

- Giả thiết bài toán xoay quanh các điểm M, K, B. Bằng trực quan ta đề xuất giả thuyết và nếu giả thuyết đề ra là đúng chúng ta sẽ sử dụng kết quả bài toán 1 để “mở nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm B. Từ đó bằng các phƣơng pháp giải toán quen thuộc ta sẽ tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.

- Để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra, ta cụ thể hóa bài toán 1.2 bằng hình

Trang | 10

chữ nhật ABCD với .

nhƣ sau:

Bước 2. Tìm giải pháp. Nhận thấy các mối quan hệ trong bài toán đã cho là vuông góc, trung điểm và các góc bằng nhau. Vì vậy ta đề xuất các giải pháp để chứng minh

 Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)

Gọi E là trung điểm của HB. Lúc đó tứ giác là hình bình hành và E là trung trực . Mà

của tam giác BMC nên

 Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)

Đặt

Ta có

Nên

Lại có

hay

 Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa độ)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ, điểm

Tọa độ điểm

Phƣơng trình các đƣờng thẳng

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Trang | 11

Do đó

Đặt  Giải pháp 4. (Sử dụng công cụ lượng giác) ̂ ̂

Ta có

Do đó

(Có thể sử dụng các giải pháp

Suy ra tứ giác KMBC nội tiếp, do đó ̂ hay Bước 3. Trình bày giải pháp. Trƣớc hết ta sẽ chứng minh đã nêu ở bước 2). Khi đó: Phƣơng trình đƣờng thẳng

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

Giả sử ,

Từ

Phƣơng trình đƣờng thẳng

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ .

Từ đó tìm đƣợc

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

Trang | 12

- Trong trƣờng hợp hình chữ nhật suy biến thành hình vuông bài toán 1.2 có “bản chất hình phẳng” chính là bài toán 1.1 hay nói cách khác bài toán 1.1 là một trƣờng hợp đặc biệt của bài toán 1.2

- Ta cũng dễ dàng nhận ra, bài toán 1.2 thực chất đƣợc xây dựng trên bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC. Các điểm M, K lần lượt là trung điểm của AH và DC. Chứng minh rằng .

- Bài toán 1.2 chính là bài toán mở rộng cho hình chữ nhật trong trƣờng

hợp 3:

( ̂ ̂ ) có đỉnh

 Bài toán 1.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang Gọi Điểm vuông là hình chiếu vuông góc của điểm và lên đƣờng chéo

là trung điểm . Xác định tọa độ các đỉnh , biết

rằng đỉnh thuộc đƣờng thẳng .

Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề. Nhận thấy dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M, B. Bằng trực quan ta đƣa ra giả thuyết Nếu giả thuyết trên là đúng, ta sẽ “mở đƣợc nút thắt đầu tiên” của bài toán đó là việc xác định đƣợc tọa độ điểm B. Từ đó ta hoàn toàn xác định đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại.

Bước 2. Tìm giải pháp.

 Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)

Gọi E là trung điểm đoạn DH. Khi đó tứ giác nên E là ABME là hình bình hành mà trực tâm tam giác

. Suy ra

 Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)

Ta có Đặt

;

Từ

Trang | 13

Lại có

. Hay Suy ra

 Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa độ)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ với

Phƣơng trình các đƣờng thẳng

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Suy ra

Do đó

(Có thể sử dụng các giải

Bước 3. Trình bày giải pháp. Trƣớc hết ta chứng minh đƣợc pháp đã nêu ở bước 2) Phƣơng trình đƣờng thẳng

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ

Gọi là giao điểm của AC và BD.

Ta có

Phƣơng trình đƣờng thẳng ;

Phƣơng trình đƣờng thẳng

Suy ra tọa độ điểm

Trang | 14

Từ

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Trên tia đối của tia lấy điểm

khi đó ta thấy hình thang

sao cho trong bài toán 1.3 thực ra đƣợc cắt từ hình chữ nhật trong bài toán 1.2 hay nói cách khác, bài toán 1.3 là một cách phát biểu khác của bài toán 1.2

- Ngoài việc phát biểu lại bài toán 1.2, chúng ta cũng

có thể xây dựng các bài toán hình giải tích mới thông qua bài toán thuần . Gọi H túy hình phẳng sau: Cho hình thang vuông ABCD có là hình chiếu vuông góc của D lên AC. Điểm M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng

- Chúng ta cũng có thể kiểm tra xem những hình thang vuông thỏa mãn mối liên hệ nào sẽ có tính chất phẳng tƣơng tự mà ta có thể dùng để phát biểu bài toán hình giải tích tƣơng tự bài toán 1.3.

Ta có

Suy ra ,

+) Trƣờng hợp 1. Nếu

+) Trƣờng hợp 2. và chính là trƣờng

hợp bài toán 1.3.

+) Trƣờng hợp 3. nhƣ vậy

ta hoàn toàn xây dựng đƣợc bài toán tƣơng tự bài toán 1.3 bằng cách xây dựng mối của hình liên hệ của ba cạnh

thang. Chẳng hạn , ta có

Gọi M là điểm

. Chứng minh

Trang | 15

bài toán: Cho hình thang ABCD có trên đoạn AC sao cho

 Bài toán 1.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC . Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho cân tại

và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD. Điểm là

trung điểm đoạn HC. Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm trên đƣờng thẳng

Bước 1. Nghiên cứu và thâm nhập vấn đề. Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm B, M, A. Từ hình vẽ ta đề xuất giả thuyết Nếu giả thuyết này là đúng, ta sẽ “mở đƣợc nút thắt đầu tiên” đó là xác định đƣợc tọa độ điểm B, từ đó ta tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC.

Bước 2. Tìm giải pháp.

 Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)

Gọi là giao điểm của đƣờng thẳng qua B vuông

và .

vuông tại và

góc với BC với các đƣờng thẳng Do tam giác trung điểm của đoạn , suy ra A là là trọng tâm tam

giác . Do đó

là trung điểm , khi đó là trực tâm tam giác và tứ

là hình bình hành nên từ

Gọi giác

 Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)

Đặt

Ta có

Trang | 16

Nên

Lại có

 Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ. Các điểm

Phƣơng trình các đƣờng thẳng

Suy ra tọa độ điểm

và tọa độ điểm

Nên

(Có thể sử dụng các giải pháp đã

Bước 3. Trình bày giải pháp. Trƣớc hết ta chứng minh nêu ở bước 2). Khi đó: Đƣờng thẳng có phƣơng trình . Tọa độ điểm B là

nghiệm của hệ

Từ . Lúc đó ta có phƣơng trình các đƣờng thẳng

. Suy ra tọa độ điểm .

Suy ra

Trang | 17

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Ta nhận thấy, tam giác cân trong bài toán 1.4 đƣợc cắt từ hình thang của bài toán 1.3. Hay nói cách khác, bài toán 1.4 là cách phát biểu khác của bài toán 1.3. Tuy nhiên với giả thiết đã cho, nếu không nhận biết đƣợc sự quen thuộc của bài toán 1.3 trong bài toán 1.4 công việc thực hiện chứng minh sẽ phức tạp hơn nhiều.

- Ngoài việc xây dựng bài toán 1.4 bằng

cách phát biểu lại bài toán 1.3 cũng có thể xây dựng bài toán hình giải tích mới thông qua bài toán thuần túy hình phẳng: Cho tam giác ABC . Gọi H là hình cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho chiếu của B trên CD; M là trung điểm đoạn CH. Chứng minh

 Bài toán 1.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông . Gọi N là trung điểm của cạnh AD; điểm có đỉnh

là hình chiếu vuông góc của B lên Xác định tọa độ

của cạnh BC nằm

các đỉnh còn lại của hình vuông, biết trung điểm trên đƣờng thẳng

Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề. Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, H, M. Từ hình vẽ ta có thể , ta cũng có thể kiểm chứng giả thuyết đã đặt đặt giả thuyết ra bằng một hình vuông với các tọa độ cụ thể nào đó. Nếu giả thuyết trên là đúng, từ kết quả bài toán 1 chúng ta sẽ tìm đƣợc tọa độ điểm M, từ đó ta sẽ tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông thông qua tọa độ các điểm đã biết.

đƣợc đề xuất là:

Bước 2. Tìm giải pháp. Dữ kiện bài toán xoay quanh các mối liên hệ về tính vuông góc, trung điểm, các độ lớn phụ thuộc lẫn nhau, vì vậy các giải pháp để chứng minh

Trang | 18

 Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)

̂ ̂

nội tiếp là hình chữ nhật

̂ ̂ nội tiếp. ̂ hay

Tứ giác Tứ giác Suy ra ̂ ̂ hay tứ giác Mà ̂

 Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)

. Ta có Đặt

; . Lại có

Hay Suy ra

 Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ. Các điểm

Suy ra

trình các đƣờng thẳng Phƣơng

Suy ra

Trang | 19

Do đó

(Có thể sử dụng các giải pháp

Bước 3. Trình bày giải pháp. Trƣớc hết ta sẽ chứng minh ở bước 2). Khi đó: Phƣơng trình đƣờng thẳng . Tọa độ điểm M là

nghiệm của hệ .

Do nên phƣơng trình đƣờng thẳng

Gọi N là trung điểm AD, từ .

Lại có

Suy ra . Từ , khi đó

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Để giải quyết bài toán 1.5 ta cần “mở nút thắt đầu tiên” đó là việc tìm ra tọa độ điểm M dựa vào mối quan hệ vuông góc giữa ba điểm A, H, M. Hay nói cách khác bài toán 1.5 đƣợc xây dựng dựa trên bài toán thuần túy hình phẳng sau đây: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD, H là hình chiếu vuông góc của B lên CN. Chứng minh rằng

- Ta có thể sử dụng giải pháp 2(công cụ véctơ) hoặc giải pháp 3(công cụ

sao cho

tọa độ) để tìm và xây dựng bài toán khái quát. Ta xét hình chữ nhật ABCD với M, N lần lƣợt là trung điểm của AD, BC. Ta cần tìm vị trí điểm H trên Ta có

Suy ra

Trang | 20

+) Trƣờng hợp 1. Nếu

+) Trƣờng hợp 2. Nếu chính là bài toán 1.5 chúng ta

đang nghiên cứu. +) Trƣờng hợp 3. lúc đó điểm H chính là

hình chiếu của B lên CN, nghĩa là chúng ta có bài toán hình phẳng thuần túy khái quát hơn: Cho hình chữ nhật ABCD, các điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và DA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CN. Chứng minh

+) Trƣờng hợp 4. chúng ta có thể xây dựng các bài toán

tƣơng tự nhờ mối quan hệ về độ dài giữa hai cạnh của hình chữ nhật,

chẳng hạn ta cho tức

và

 Bài toán 1.6. (Trích đề TSĐH khối A – năm 2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc . Gọi M là điểm đối xứng đƣờng thẳng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đƣờng thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng

Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề. Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, N, C. Từ trực quan, ta đề xuất giải thuyết

Nếu giả thuyết đƣợc đề xuất là đúng, ta sẽ xác định đƣợc tọa độ điểm C, từ đó ta tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại.

Bước 2. Tìm giải pháp.

 Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)

nội tiếp, nên ̂ ̂ , mà ̂ ̂ (do tứ tứ giác ABCN

Do tứ giác giác ABCD là hình chữ nhật) Suy ra ̂ ̂ nội tiếp ̂ ̂ hay

Trang | 21

 Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)

Đặt

Ta có

Từ

Lại có:

 Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa

độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ. Trong đó

Phƣơng thẳng

trình các đƣờng

và

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phƣơng trình

Từ đó

 Giải pháp 4. (Sử dụng công cụ lượng giác)

Đặt ̂

Lúc đó

Trang | 22

Xét tam giác ta có

Do đó

và

Nên vuông tại N, hay

(Có thể sử dụng một trong các giải pháp

Bước 3. Trình bày giải pháp. Ta sẽ chứng minh ở bước 2). Khi đó: Đƣờng thẳng CN có phƣơng trình

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ

Do tứ giác ADMC mà

là hình bình hành, nên

Đƣờng thẳng BN có phƣơng trình .

Điểm B là giao điểm của BN với đƣờng tròn tâm bán kính

, nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Nếu ta đặc biệt bài toán 1.6 thành hình vuông ABME, ta nhận đƣợc kết quả tƣơng tự bài toán 1.5

Trang | 23

- Để giải quyết bài toán 1.6 “mấu chốt” của vấn đề là xử lý bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD. Chứng minh rằng

 Bài toán 1.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang

vuông (vuông tại A và B) có Điểm là

Xác định tọa độ các và trung điểm M của

hình chiếu vuông góc của điểm B lên cạnh đỉnh B và D của hình thang, biết điểm cạnh BC nằm trên đƣờng thẳng

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề. Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, H, M. Bằng trực quan ta đề xuất giả thuyết Nếu giả thuyết đƣợc nêu ra là đúng, ta sẽ tìm đƣợc tọa độ điểm M, từ đó ta tìm đƣợc tọa độ các đỉnh của hình thang. Bước 2. Tìm giải pháp.

 Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)

nội tiếp nên ̂ ̂ .

Tứ giác Tứ giác ABMD là hình chữ nhật nên ̂ ̂ Suy ra ̂ ̂ hay tứ giác nội tiếp, mà ̂ ̂ .Hay

 Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)

Đặt

Ta có

Lại có

Suy ra

Trang | 24

 Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa độ)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ. Các điểm

Tọa độ các điểm

Phƣơng trình các đƣờng thẳng

Suy ra

Do đó

(Có thể sử dụng một trong các

Bước 3. Trình bày giải pháp. Trƣớc hết ta chứng minh giải pháp ở bước 2). Khi đó: Phƣơng trình đƣờng thẳng Tọa độ điểm M là

nghiệm của hệ

Đƣờng thẳng DC qua H và song song với AM nên có phƣơng trình

Giả sử , từ

Lại có , từ đó suy ra

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Bài toán 1.7 là một cách phát biểu khác của bài toán 1.6. Hay nói cách

khác nó hai bài toán trên là những kết quả tƣơng tự của nhau.

- Để giải quyết bài toán 1.7 “mấu chốt” của vấn đề là xử lý bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình thang vuông ABCD (tại A và B) có . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh CD. M là

Trang | 25

trung điểm của BC. Chứng minh rằng .

b. Ba điểm phân biệt tạo thành một góc có số đo bằng .

 Bài toán 1.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông

ABCD. Gọi là trung điểm của cạnh BC, là điểm trên

cạnh AC sao cho Xác định tọa độ các đỉnh của hình

vuông ABCD, biết đƣờng thẳng có phƣơng trình

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề. Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M, N. Bằng trực quan ta dễ nhận thấy những nét giống nhau cơ bản của bài toán với bài toán 1.1 Theo những nhận định và kết quả nghiên cứu ở bài toán 1.1, ta đã có . Tuy nhiên một vấn đề nảy sinh là giả thiết bài toán 1.8 không đủ để “mở nút thắt đầu tiên” chỉ với mối quan hệ vuông góc. Từ đó ta đƣa ra nhận định, giữa ba điểm này có một mối quan hệ ràng buộc khác nữa. Ta dễ dàng nhận ra mối quan hệ này là tam giác vuông cân, hay ̂ từ giải pháp 4(sử dụng công cụ lượng giác) trong bài toán 1.1. Cũng từ mối liên hệ này, kết hợp với kết quả bài toán 2 ta tìm đƣợc tọa độ điểm D, từ đó ta sẽ tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại.

Bước 2. Tìm giải pháp.

 Giải pháp 1. (Sử dụng công cụ lượng giác)

Đặt

- Xét tam giác AND, ta có

- Xét tam giác CMN, ta có

Trang | 26

- Xét tam giác DCM, ta có

Suy ra vuông cân tại M.

 Giải pháp 2. (Thuần túy hình phẳng)

Mà

Gọi I là giao điểm của hai đƣờng chéo AC và BD. Điểm F là trung điểm đoạn DI. Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam giác NDC nên nên

nội tiếp nên ̂ ̂ . Từ đó suy ra tam

Tứ giác giác DMN vuông cân tại N.

 Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ véctơ)

Đặt Ta có

Suy ra

Lại có

Từ đó suy ra

vuông cân tại N.  Giải pháp 4. (Sử dụng công cụ tọa độ)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ. Khi đó

Nên

Do đó

Trang | 27

và . Hay tam giác DMN vuông cân tại N.

Bước 3. Trình bày giải pháp. Giả sử , ta có

+) Với

Phƣơng trình đƣờng thẳng . Suy ra

Từ đó theo kết quả bài toán 1.1 ta có

+) Với

Phƣơng trình đƣờng thẳng . Suy ra

Sử dụng quy trình giải toán ở bài toán 1.1 ta tìm đƣợc tọa độ các điểm

còn lại là

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Ta nhận thấy bài toán 1.1 và bài toán 1.8 là giống nhau về mặt hình thức, song kết quả bài toán 1.1 và bài toán 1.8 lại có sự khác nhau. Nguyên nhân của sự khác nhau này chính là việc lựa mối quan hệ ba trong cách phát biểu bài toán. điểm phân biệt tạo thành một góc Từ đó dẫn đến việc chúng ta sẽ sử dụng kết quả bài toán 2 để tìm tọa độ điểm D, đó cũng công cụ để chúng ta “mở nút thắt đầu tiên” của bài toán.

- Từ đó ta cũng dễ dàng nhận ra, bài toán 1.8 thực ra đƣợc xây dựng dựa trên bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; N là điểm trên cạnh AC sao cho

Chứng minh vuông cân.

Trang | 28

mãn và - Bài toán 1.8 đƣợc xây dựng dựa trên bài toán hình phẳng đã phát biểu ở trên và sự kết hợp của nó với bài toán 2 mục IV.2 Để xây dựng bài toán tổng quát, ta nghiên cứu bài toán: Cho hình vuông ABCD, các điểm M thuộc đường thẳng BC và N thuộc đường thẳng AC thỏa . Tính ̂ theo

Đặt

Ta có

Nhƣ vậy ta hoàn toàn xây dựng đƣợc bài toán hình giải tích trong phẳng khái quát hơn dựa vào sự kết hợp giữa bài toán 2 mục IV.2. và bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình vuông ABCD, các điểm M thuộc đường thẳng BC và N thuộc

đường thẳng AC thỏa mãn . Ta luôn có

 Bài toán 1.9. (Trích đề TSĐH khối A – năm 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của

cạnh BC, N là điểm trên CD sao cho Giả sử và

đƣờng thẳng có phƣơng trình Tìm tọa độ điểm A.

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, M, N, đồng thời ta nhận thấy

nếu ta biết đƣợc giá trị của góc ̂ hoặc giá trị của ̂ ta có thể áp dụng kết quả bài toán 2 để xác định tọa độ điểm A. Việc phán đoán và đề xuất giả thuyết độ lớn của góc ̂ sau đó sử dụng thuần túy hình phẳng để chứng minh là không mấy khả thi. Do vậy ta lựa chọn những giải pháp mạnh về tính “đại số” nhiều hơn nhƣ: sử dụng công cụ lượng giác, sử dụng công cụ véctơ, sử dụng công cụ tọa độ. Bước 2. Tìm giải pháp.

Trang | 29

 Giải pháp 1. (Sử dụng công cụ lượng giác)

Ta có: Đặt

Do đó ̂ ̂

 Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)

Đặt

Ta có

; Suy ra

;

Suy ra ̂ ̂

 Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, nhƣ hình vẽ. Điểm

Tọa độ các điểm

Khi đó

̂ ̂

Bước 3. Trình bày giải pháp.

(Có thể sử dụng một trong các Trƣớc hết ta tính đƣợc ̂

Trang | 30

giải pháp đã nêu ở bước 2). Giả sử , ta có

Suy ra hoặc .

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Khi dữ kiện bài toán xuất hiện mối quan hệ ba điểm, trƣớc khi đề các giải pháp ta cần quan tâm mối quan hệ giữa ba điểm đó có phải là những mối quan hệ quen thuộc xuất hiện ở bài toán 1 hoặc bài toán 2 hay không. Nếu là mối quan hệ của bài toán 2, khi đề xuất giải pháp thực hiện ta nên thiên về những giải pháp mang nặng tính “đại số” nhiều hơn nhƣ : sử dụng công cụ lượng giác, sử dụng công cụ véctơ, sử dụng công cụ tọa độ.

- Bản chất thuần túy hình học phẳng của bài toán 1.9 có thể phát biểu nhƣ sau: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên CD sao cho

. Tính ̂ . - Ta cũng đi tìm hiểu và xây dựng bài toán tổng quát bằng sử dụng công cụ véctơ và nghiên cứu bài toán sau: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là

điểm trên BC, CD sao cho Tính ̂ theo m và n.

Đặt .

Từ

Suy ra ̂

Nhƣ vậy ta hoàn toàn xây dựng đƣợc bài toán hình giải tích trong phẳng khái quát hơn dựa vào sự kết hợp giữa bài toán 2 mục IV.2. và bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là điểm trên BC, CD sao cho

Trang | 31

. Ta luôn có ̂

 Bài toán 1.10. (Trích đề thi HSG khối 11 tỉnh Nghệ An–năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có

điểm . Biết điểm thuộc cạnh BC và thuộc

đƣờng thẳng DC. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình vuông ABCD.

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề.

Dữ kiện bài toán lại xoay quanh mối quan hệ ba điểm A, M, N, song sự khác biệt là chúng ta đã biết tọa độ của cả ba điểm này. Và một phát hiện tƣơng đối thú vị là ba điểm này cùng nằm trên một đƣờng thẳng, điều đó khiến chúng ta đặt ra giả thuyết là ngoài mối liên hệ này bài toán còn xuất hiện những mối liên hệ ba điểm khác.

Một giả thuyết đặt ra là chúng ta có thể viết đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng CD nhờ kết quả bài toán 2, nếu chúng ta tính đƣợc giá trị ̂ . Từ đó ta sẽ tìm đƣợc tọa độ điểm D, và sau đó ta tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông nhờ những mối liên hệ với các điểm đã biết. Bước 2. Tìm giải pháp.

Ta có .

Giả sử cạnh hình vuông có độ dài bằng

Bước 3. Trình bày giải pháp. Phƣơng trình đƣờng thẳng . Dễ thấy .

. Theo kết quả bƣớc 2, ta có ̂

Giả sử là véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng CD.

Trang | 32

Khi đó ̂

, chọn . Lúc đó phƣơng trình các đƣờng thẳng

+) Với .

Suy ra

Chọn . Lúc đó phƣơng trình các

+) Với đƣờng thẳng

. Suy ra tọa độ các đỉnh còn lại

của hình vuông là .

Kiểm tra điểm M nằm trên cạnh BC, nhận thấy cả hai trƣờng hợp trên

đều thỏa mãn yêu cầu.

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Mối quan hệ giữa ba điểm A, M, N trong bài toán 1.10 tƣởng chừng không liên quan đến các mối quan hệ ba điểm đã nêu ở bài toán 1 và bài toán 2. Song với các suy luận logic chúng ta hoàn toán đƣa bài toán đã cho về với bài toán 2 quen thuộc với phép gọi véctơ đại diện.

- Bài toán trên cũng có thể giải quyết theo hƣớng vận dụng kết quả bài toán 1 bằng cách qua A dựng đƣờng thẳng vuông góc với AM cắt CD tại E, tìm đƣợc tọa độ điểm E nhờ vận dụng kết quả bài toán 1, từ đó giải quyết bài toán một cách khá đơn giản.

- Ta có bài toán về “bản chất hình phẳng” có trong bài toán 1.10: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt

đường thẳng CD tại N. Biết , tính ̂ theo k.

Ta cũng dễ dàng nhận ra trƣờng hợp A, M, N thẳng hàng trong bài toán là một trƣờng hợp đặc biệt của bài toán tổng quát đã nêu ở bài toán 1.9.

 Bài toán 1.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác

. Gọi là điểm trên cạnh

vuông tại Đƣờng tròn tâm đƣờng kính cắt sao cho tại Xác định tọa

độ các đỉnh của biết đƣờng thẳng BC đi qua , phƣơng

trình đƣờng thẳng và điểm có hoành độ dƣơng.

Trang | 33

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề.

Từ dữ kiện đã nêu trong bài toán ta nhận thấy là mối quan mối quan hệ giữa ba điểm hệ quen thuộc của bài toán 2 mục IV.2 Nếu ta tính đƣợc ̂ chúng ta sẽ tìm đƣợc “nút thắt đầu tiên của bài toán. Lại thấy rằng từ mối quan hệ ba điểm

cho chúng , mà ta ̂

nội tiếp, suy ra tứ giác ̂ ̂ , từ đó ta đƣa ra giả thuyết ̂ ̂ . Bước 2. Tìm giải pháp. Ta có ̂ ̂

̂ ̂ mà ̂ ̂

Bước 3. Trình bày giải pháp.

(Xem bƣớc 2). Trƣớc hết ta tính đƣợc ̂

Giả sử , ta có ̂

Với

Phƣơng trình đƣờng thẳng

Phƣơng trình đƣờng thẳng Điểm

Điểm

Phƣơng trình đƣờng thẳng

Điểm

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

Trang | 34

- Ta có thể nhận thấy ở bài toán 1.11 tác giả để “dấu” khá kỹ ý đồ sử dụng kết quả bài toán 2 mục IV.2 bằng việc sử dụng gián tiếp nó thông

qua việc chứng minh hai góc bằng nhau trong một bài toán hình học phẳng thuần túy.

- Nhƣ vậy chúng ta cũng có thể xây dựng những bài toán tƣơng tự bằng việc xuất phát từ một bài toán hình phẳng thuần túy chứng minh hai góc và sử dụng kết quả bài bằng nhau , sau đó gán giá trị

toán 2 cho

c. Ba điểm phân biệt và mối quan hệ thẳng hàng.

 Bài toán 1.12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông

ABCD. Gọi là trung điểm của cạnh BC, là điểm trên

cạnh AC sao cho giao điểm của AC và DM là .

Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD.

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề. Từ trực quan ta nhận thấy sự giống nhau cơ bản của bài toán này với bài toán 1.1, song giả thiết của bài toán 1.12 không phải là mối quan hệ nhƣ phát biểu của bài toán 1.1 và bài toán 1.8, giữa ba điểm nghĩa là để mở đƣợc “nút thắt đầu tiên” chúng ta không thể sử dụng các kết quả của bài toán 1 và bài toán 2 ở mục IV.2. Ta cũng nhận thấy, dữ kiện bài toán liên quan và ta đề ra giả đến ba điểm hoặc

và từ đó

thuyết là tìm đƣợc số thực áp dụng kết quả bài toán 3 mục IV.2. Bước 2. Tìm giải pháp.

Ta có

Bước 3. Trình bày giải pháp.

Trang | 35

Trƣớc hết ta chứng minh (Xem bƣớc 2)

Giả sử , ta có:

Từ

Phƣơng trình đƣờng thẳng , đƣờng tròn tâm J đƣờng

kính AC có phƣơng trình

Tọa độ các điểm B, D là nghiệm của hệ

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Ta nhận thấy một điều thú vị là cùng một bài toán thuần túy hình phẳng(bài toán 1.1, bài toán 1.8 và bài toán 1.12) nhƣng với cách lựa chọn mối quan hệ ba điểm là khác nhau, chúng ta tìm đƣợc những bài toán với những lời giải thú vị khác nhau.

- Bài toán 1.12 đƣợc xây dựng dựa trên sự kết hợp kết quả bài toán 3 và bài toán hình phẳng thuần túy sau: : Cho hình vuông ABCD. Gọi M là

trung điểm của cạnh BC; N là điểm trên cạnh AC sao cho

là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng

- Ta sẽ xây dựng bài toán tổng quát bằng cách tìm mối quan hệ giữa ba và di động trên các đƣờng thẳng khi các điểm điểm

Ta xét hình vuông ABCD với các điểm M, N

lần lượt trên BC và AC sao cho

. Gọi I là giao điểm của DM và AC. Ta

cần tìm số thực k thỏa mãn

Đặt

thẳng hàng Từ

Trang | 36

Lại có .

Từ (1) và (2) ta có hệ

Nhƣ vậy ta có bài toán hình phẳng thuần túy tổng quát sau: Cho hình vuông ABCD với các điểm M, N lần lượt trên BC và AC sao

cho . Gọi I là giao điểm của

DM và AC. Ta luôn có

 Bài toán 1.13. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 – chuyên Hƣng Yên) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai đáy . Gọi H là chân đƣờng vuông góc hạ từ D xuống AB, CD và , phƣơng trình AC và M là trung điểm của HC. Biết tọa độ đỉnh thẳng đƣờng trình đƣờng ; phƣơng thẳng

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD.

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề. Ta dễ dàng tìm đƣợc tọa độ điểm D. Để giải quyết bài toán, ta đƣa ra hai giả thuyết: giả thuyết thứ nhất là tìm đƣợc tọa độ điểm M từ mối quan hệ vuông góc giữa ba điểm và giả thuyết thứ hai là tìm đƣợc tọa độ điểm I từ mối quan hệ thẳng hàng giữa ba điểm Từ trực quan, ta loại bỏ giả thuyết thứ nhất(có thể kiểm chứng bằng một hình thang cụ thể). Nhƣ vậy giả thuyết còn lại

thỏa mãn

là tìm đƣợc số thực Bước 2. Tìm giải pháp. Có nhiều giải pháp có thể lựa chọn, song đơn giản nhất chính là việc sử dụng mối quan hệ giữa AB và CD.

Ta có

, từ đó ta sẽ tìm đƣợc tọa độ các đỉnh

Từ đó ta tìm đƣợc tọa độ điểm còn lại của hình thang từ tọa độ các điểm đã biết. Bước 3. Trình bày giải pháp.

Trang | 37

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Ta có

Đƣờng thẳng AC có phƣơng trình

Suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

M là trung điểm HC suy ra

Lại có

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Từ bài toán 1.13 ta thấy rằng khi bài toán xuất hiện nhiều mối quan hệ ba điểm khiến chúng ta phải đề ra nhiều giả thuyết, chúng ta có thể sử dụng trực quan hoặc có thể kiểm chứng với những trƣờng hợp cụ thể để loại đi những giả thuyết ta đã đề xuất ban đầu.

- Từ bài toán trên ta có , tức là mối quan hệ giữa ba điểm

phụ thuộc vào tỷ số . Do đó để xây dựng bài toán tƣơng

tự , ta lựa chọn số ABCD có trong bài toán hình phẳng sau: Cho hình thang . Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng

minh rằng

 Bài toán 1.14. Cho tam giác ABC có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp

trực tâm và trung điểm cạnh BC là Xác

định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Trang | 38

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề. Từ dữ kiện bài toán, nếu ta xác định đƣợc tọa độ điểm A ta sẽ viết đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng BC từ đó lấy giao điểm với đƣờng tròn ngoại tiếp và tìm đƣợc tọa độ các đỉnh B,C.

Vậy việc tìm ra tọa độ điểm A có thể là mấu chốt của bài toán. Để tìm đƣợc tọa độ điểm A, ta đề xuất giả thuyết về mối quan hệ thẳng hàng giữa ba điểm M,G,A. Từ đó dẫn đến việc ta phải tìm đƣợc tọa độ điểm G. Vậy giữa ba điểm G,H,I có thể có xuất mối quan hệ đặc biệt, mối quan hệ đó chính là bài

toán quen thuộc về đƣờng thẳng Ơ-le: Bước 2. Tìm giải pháp. Gọi là điểm đối xứng của A qua ta dễ dàng chứng minh tứ giác

là hình bình hành, từ đó suy ra là trung điểm của

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G cũng là trọng tâm tam giác

Bước 3. Trình bày giải pháp.

(xem

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta sẽ chứng minh bƣớc 2).

Lúc đó ta có

Lại có

Phƣơng trình đƣờng thẳng

Phƣơng trình đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

. Suy ra tọa độ các điểm B, C là nghiệm

của hệ phƣơng trình

Trang | 39

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Bài toán về đƣờng thẳng Ơ-le là bài toán xuất hiện ở đầu chƣơng trình học lớp 10 THPT do vậy, do đó khi xuất hiện các dữ kiện xoay quanh tâm đƣờng tròn ngoại tiếp và trực tâm thông thƣờng ta nghĩ đến mối

quan hệ giữa ba điểm với .

- Ta cũng dễ dàng nhận thấy bài toán 1.14 đƣợc xây dựng dựa trên cơ sở là sự kết hợp kết quả bài toán 3 mục IV.2 với bài toán hình phẳng thuần túy sau: Trong tam giác ABC, tâm đường tròn ngoại tiếp I, trực tâm H

và trọng tâm G thẳng hàng, đồng thời

- Để xây dựng bài toán hình giải tích tổng quát hơn, ta dựa vào bài toán tổng quát về hình phẳng, đó là bài toán về đƣờng thẳng Ơ-le: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam giác và I là tâm đường tròn Ơ-le (*). Chứng minh O, H, G,

I thẳng hàng, đồng thời

(*) Đường tròn Ơ-le: Trong một tam giác thì trung điểm 3 cạnh, trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh, chân các đường cao cùng thuộc một đường tròn.

d. Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng và mối quan hệ giữa ba

điểm.

 Bài toán 1.15. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD . Gọi là điểm trên cạnh AC sao cho là trung điểm của cạnh BC,

điểm N thuộc đƣờng thẳng phƣơng trình

đƣờng thẳng Xác định tọa độ đỉnh A của hình vuông ABCD, biết khoảng cách từ A đến đƣờng thẳng MD bằng 4 và điểm N có hoành độ âm.

Trang | 40

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề. Từ trực quan ta nhận thấy những nét giống nhau cơ bản với bài toán 1.1, tuy nhiên với dữ kiện bài toán đã cho chúng ta rất khó vận dụng kết quả bài toán 1 để giải nhƣ bài toán 1.1, vận dụng kết quả bài toán 2 để giải nhƣ bài toán 1.8 hay vận dụng kết quả bài toán 3 để giải nhƣ bài toán 1.12. Tuy nhiên bài toán vẫn là mối quan hệ giữa ba điểm N, M, D và từ dữ kiện bài toán ta đề xuất

giả thuyết là tính đƣợc khoảng cách từ điểm N đến đƣờng thẳng MD, từ đó vận dụng kết quả bài toán 4 mục IV.2 và tìm đƣợc tọa độ điểm N, từ đó ta tìm đƣợc tọa độ các đỉnh của hình vuông. Bước 2. Tìm giải pháp.

Ta có

Bước 3. Trình bày giải pháp.

Trƣớc hết ta chứng minh (Xem bƣớc 2).

Giả sử ,

Từ

Lại do tam giác MND vuông cân

Nên các điểm D và M là giao của đƣờng thẳng DM và đƣờng tròn tâm

N bán kính hay tọa độ các điểm đó là nghiệm của hệ

+) Trƣờng hợp 1: , từ

lại từ

+) Trƣờng hợp 1: , từ

lại từ

Trang | 41

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Từ kết quả bài toán 1.12 ta nhận thấy sự ràng buộc giữa hệ thức

và hệ thức do đó việc xây dựng

bài toán 1.15 thực chất là sự kết hợp giữa kết quả bài toán 4 mục IV.2 với bài toán hình phẳng đã đƣợc nêu ở bƣớc 4 bài toán 1.12.

- Ta cũng có kết quả bài toán hình phẳng tổng quát nhờ sự xây dựng bài

toán tổng quát ở bài toán 1.12 nhƣ sau: Cho hình vuông ABCD với các điểm M, N lần lượt trên BC và AC sao

cho . Gọi I là giao điểm của

DM và AC. Ta luôn có

 Bài toán 1.16. (Trích đề TSĐH khối A – năm 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm Giả sử của cạnh BC, N là điểm trên CD sao cho

và đƣờng thẳng có phƣơng trình Tìm

tọa độ điểm A.

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề. Ta đã giải quyết bài toán này với mối quan hệ tạo với nhau một góc ở bài toán 1.9. Tuy nhiên với từ dữ kiện bài toán, ta cũng có thể đề xuất giả thuyết ba điểm này có mối liên hệ khoảng cách và áp dụng đƣợc bài toán 4 để giải quyết.

Điều thú vị là dữ kiện bài toán cho chúng ta kết quả ,

nó khiến chúng ta đặt câu hỏi, liệu đây có phải là kết quả ngƣợc của bài

toán 4 hay không ? Nghĩa là từ kết quả chúng ta tìm

Trang | 42

đƣợc yếu tố liên quan để giải quyết trọn vẹn bài toán. Dễ dàng nhận ra sự liên quan giữa diện tích các hình và khoảng cách từ M đến đƣờng thẳng AN. Do vậy ta có thể sử dụng diện tích để thử tìm xem mối liên hệ đó là gì ? Bước 2. Tìm giải pháp. Giả sử cạnh của hình vuông có độ dài bằng . Khi đó

Từ

Suy ra

Bước 3. Trình bày giải pháp.

Trƣớc hết ta tính đƣợc (xem bƣớc 2). Giả sử .

Từ

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.

- Ta nhận thấy bài toán 1.16 cũng có thể đƣợc xây dựng nhờ kết hợp bài toán 4 và bài toán hình phẳng thuần túy sau: Cho hình vuông ABCD có . Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên CD cạnh bằng

sao cho Chứng minh rằng

- Ta cũng có thể sử dụng công cụ diện tích để xây dựng bài toán hình

phẳng tổng quát. Ta xét bài toán: Cho hình vuông Gọi M, N lần lượt trên BC và ABCD có cạnh bằng . CD sao cho

theo Tính

Ta có:

Suy ra

 Bài toán 1.17. (Trích đề thi HSG khối 11 tỉnh Nghệ An–năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có

điểm . Biết điểm thuộc cạnh BC và thuộc

Trang | 43

đƣờng thẳng DC. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình vuông ABCD.

Bước 1. Phát hiện và thâm nhập vấn đề. Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, M, N song tọa độ của các điểm này đã biết. Từ đó ta đề xuất các giả thuyết: giả thuyết thứ nhất là sử dụng kết quả bài toán tổng quát ở bài 1.16 và tìm đƣợc độ lớn cạnh hình vuông, giả thuyết thứ hai là sử dụng bài toán 5 và viết phƣơng trình các cạnh hình vuông, từ đó tìm tọa độ các đỉnh. Nếu giả thiết cho điểm N thuộc cạnh DC, ta hoàn toàn sử dụng đƣợc kết quả bài toán 1.16 song giả thiết ban đầu là N thuộc đƣờng thẳng DC, vì vậy ta loại trừ giả thuyết thứ nhất. Ta cũng dễ dàng nhận ra vì vậy có thể giả

thuyết thứ hai là giả thuyết chấp nhận đƣợc. Bước 2. Tìm giải pháp.

Giả sử là véc-tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng AD. Lúc đó

- Phƣơng trình đƣờng thẳng

Lại có

ta viết đƣợc phƣơng trình các cạnh

Với việc lựa chọn các giá trị của hình vuông và giải quyết trọn vẹn bài toán. Bước 3. Trình bày giải pháp.

Giả sử là véc-tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng AD. Lúc đó

- Phƣơng trình đƣờng thẳng

Lại có

Chọn

+) Với Lúc đó phƣơng trình các đƣờng thẳng

. Suy ra

Chọn . Lúc đó phƣơng trình các

Trang | 44

+) Với đƣờng thẳng

.Suy ra tọa độ các đỉnh còn lại

của hình vuông là .

Kiểm tra điểm M nằm trên cạnh BC, nhận thấy cả hai trƣờng hợp trên đều thỏa mãn yêu cầu. Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp. Ta có thể nêu quy trình giải quyết bài toán mở rộng sau: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết rằng các đường thẳng AB, CD lần lượt đi qua các

điểm và các đường thẳng

lần lượt đi qua các điểm

Bước 1. Giả sử là véctơ pháp tuyến của đƣờng

thẳng BC. Bước 2. Viết phƣơng trình các đƣờng thẳng BC, CD dƣới dạng ). tổng quát (chứa các tham số

Bước 3. Sử dụng công thức và lựa chọn

các giá trị thông qua hệ thức liên hệ giữa chúng. Bước 4. Viết phƣơng trình các đƣờng thẳng và tìm tọa độ giao điểm của các đƣờng thẳng .

Một vài kết quả và kinh nghiệm rút ra.

 Khi tiếp cận bài toán hình giải tích trong mặt phẳng, ta cần nghiên cứu kỹ những mối quan hệ giữa các điểm trong dữ liệu bài toán đã nêu. Nếu dữ liệu bài toán xoay quanh ba điểm nào đó, câu hỏi đầu tiên đầu tiên của chúng ta là: “Giữa chúng có chăng một mối quan hệ ràng buộc nào đó ?” và đặt ra những giả thuyết. Từ đó kiểm chứng giả thuyết đặt ra bằng đặc biệt hóa bài toán và tìm kiếm giải pháp chứng minh phù hợp với năng lực và kinh nghiệm giải toán.

Trang | 45

 Các giải pháp để xử lý những mối quan hệ ba điểm thƣờng là: thuần túy hình phẳng, sử dụng công cụ véctơ, sử dụng công cụ tọa độ, sử dụng công cụ lượng giác. Trong 4 giải pháp đó, mỗi giải pháp đều có ƣu điểm và nhƣợc điểm riêng của nó, trong quá trình dạy học tôi phát hiện thấy

những đặc điểm riêng của mỗi giải pháp cho từng đối tƣợng học sinh khác nhau: - Giải pháp thuần túy hình phẳng thƣờng phù hợp hơn với những học sinh khá, giỏi, những học sinh có kiến thức vững vàng về hình học phẳng ở THCS. - Giải pháp sử dụng công cụ véctơ phù hợp hơn với những học sinh trung bình khá, quy trình giải một bài toán bằng phƣơng pháp véctơ thông thƣờng là: Bước 1. Lựa chọn gốc và bộ véctơ cơ sở (thường là hai véctơ khác véctơ không và vuông góc với nhau.) Bước 2. Phiên dịch các giải thiết bài toán bằng ngôn ngữ véctơ theo bộ véctơ cơ sở đã lựa chọn. Bước 3. Phiên dịch kết luận bài toán bằng ngôn ngữ véctơ thông qua bộ cơ sở đã chọn. Bước 4. Áp dụng kết quả thu được ở bước 2 vào bước 3 và kết luận. - Giải pháp sử dụng công cụ tọa độ thƣờng gắn nhiều với công việc tính toán đồ sộ, là công cụ giải toán chỉ nặng về tính đại số và ít về tính tƣ duy hình học và thƣờng phù hợp với học sinh có lực học trung bình. Thông thƣờng quy trình giải toán nhƣ sau: Bước 1. Lựa chọn hệ trục tọa độ (hợp lý) Bước 2. Tính tọa độ các điểm theo hệ trục đã lựa chọn

Bước 3. Sử dụng công thức quen thuộc Bước 4. Kết luận sau khi kiểm chứng kết quả ở bước 3. - Giải pháp sử dụng công cụ lượng giác : là công cụ thƣờng ít đƣợc sử dụng trong bài toán chứng minh vuông góc, song lợi thế của nó là những bài toán liên quan đến công việc tính góc, tính độ dài.

2. Xây dựng và mở rộng một số dạng bài tập hình giải tích trong mặt

phẳng từ bài toán hình phẳng thuần túy.

Từ việc giải quyết các bài toán ở mục 1, ta có thể nêu lên quy trình để xây dựng một bài toán hình giải tích trong mặt phẳng dựa vào sự kết hợp giữa các bài toán ở mục IV.2 và các bài toán thuần túy hình phẳng nhƣ sau:

Trang | 46

Bƣớc 1. Lựa chọn bài toán hình phẳng thuần túy. Bƣớc 2. Lựa chọn kết quả của bài toán ở mục IV.2 sẽ sử dụng. Bƣớc 3. Lựa chọn hình vẽ thích hợp trên hệ trục tọa độ. Bƣớc 4. Thiết lập các mối quan hệ ba điểm theo lựa chọn ở bước 2 đối với hình vẽ đã chọn trên hệ trục. Bƣớc 5. Thiết lập các mối quan hệ còn lại.

Bƣớc 6. Phát biểu trọn vẹn bài toán hình giải tích. Bƣớc 7. Giải lại bài toán đã phát biểu. Bƣớc 8. Kiểm tra kết quả và đề xuất những ý tưởng mới. Sau đây tôi xin đƣợc xây dựng một số bài toán hình giải tích thông qua sự kết hợp giữa những kết quả ở mục IV.2 và một số bài toán hình phẳng thuần túy đƣợc lựa chọn. a. Xây dựng bài toán từ sự kết hợp giữa bài toán thuần túy hình

phẳng với các bài toán ở mục IV.2  Xây dựng từ mối quan hệ vuông góc.

 Bài toán gốc 2.1. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN=BM. Đƣờng thẳng song song với AN kẻ từ M và đƣờng thẳng song song với AM kẻ

từ N cắt nhau ở F. Chứng minh

Xuất phát từ kết quả bài toán gốc 2.1 ta xây dựng bài toán hình giải tích trong mặt phẳng bằng cách lựa chọn một hình vuông nào đó, giả sử ta chọn hình vuông với

Chọn điểm , suy ra Từ đó kết hợp với kết

quả bài toán 1 và kết quả bài toán 2 ở mục IV.2 ta xây dựng một số bài toán: Bài toán 2.1.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Trên tia đối của tia có phương trình đường chéo

CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN=BM. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ . Xác định tọa độ N cắt nhau ở

các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm M nằm trên trục hoành. Bài toán 2.1.2 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm Trên tia đối của tia CB lấy

điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN=BM. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ Biết phương trình đường thẳng từ N cắt nhau ở

Trang | 47

Xác định tọa độ các điểm M và N, biết M nằm trên trục hoành.

 Bài toán gốc 2.2. Cho hình chữ nhật ABCD có hai đƣờng chéo cắt nhau ở I. Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC. Đƣờng thẳng AH và

BK cắt nhau ở E. Chứng minh

Xuất phát từ kết quả bài toán gốc 2.2 ta xây dựng bài toán hình giải tích trong mặt phẳng bằng cách lựa chọn một hình chữ nhật nào đó, giả sử ta chọn hình chữ nhật ABCD với

Lúc đó: , ,

Kết hợp với kết quả bài toán 1 ở mục IV.2 ta xây dựng một số bài toán: Bài toán 2.2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở . Kẻ AH và BK lần lượt vuông góc với

BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở Xác định

tọa độ các đỉnh của chữ nhật ABCD, biết điểm H nằm trên đường thẳng

Bài toán 2.2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật Kẻ AH và BK lần lượt vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở góc với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết phương trình đường thẳng , phương trình đường thẳng

và tọa độ điểm

 Bài toán gốc 2.3. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đƣờng

tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm

Trang | 48

tam giác ACD. Chứng minh rằng

Xuất phát từ kết quả bài toán gốc 2.3 ta xây dựng bài toán hình giải tích trong mặt phẳng bằng cách lựa chọn một tam giác nào đó, giả sử ta chọn tam giác cân ABC với

Khi đó ta tính toán đƣợc các dữ kiện: , tâm đƣờng tròn Tọa độ điểm

ngoại tiếp tam giác là ,

trọng tâm tam giác là .

Kết hợp với kết quả bài toán 1 ở mục IV.2 ta xây dựng một số bài toán: Bài toán 2.3.1. (Trích đề thi thử ĐH chuyên Phan Bội Châu năm 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho cân tại A; D là trung điểm đoạn AB. Biết rằng tam giác

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC, trọng tâm tam giác ADC; Các điểm lần lượt

Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC,

thuộc các đường thẳng biết A có tung độ dương. Bài toán 2.3.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác cân

tại A; D là trung điểm đoạn AB. Điểm là trọng tâm tam giác

ADC. Phương trình đường thẳng đường cao kẻ từ đỉnh

A của tam giác ABC đi qua . Xác định tọa độ tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC.

 Bài toán gốc 2.4. Cho đƣờng tròn tâm I đƣờng kính AC. Từ điểm M bất kỳ ngoài đƣờng tròn, vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A,B là các tiếp điểm). Tiếp tuyến tại C cắt đƣờng thẳng AB ở D.

Chứng minh

Giả sử ta chọn ba điểm . Khi đó:

Trang | 49

Đƣờng tròn tâm I đƣờng kính AC là ;

Tọa độ các điểm: , . Từ đó ta xây dựng một số

bài toán sau: Bài toán 2.4.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I đường kính

AC. Từ điểm nằm ngoài đường

tròn, vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A,B là các tiếp điểm). Tiếp tuyến tại C có phương trình cắt đường thẳng AB ở D. Xác

định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm I thuộc đường thẳng

Bài toán 2.4.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

tâm đường kính AC. Từ điểm nằm ngoài

đường tròn, vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A,B là các tiếp điểm). Tiếp . Xác định tọa độ các tuyến tại C cắt đường thẳng AB ở

đỉnh của tam giác ABC.  Xây dựng từ mối quan hệ với một góc có số đo bằng .

 Bài toán gốc 2.5. Cho hình vuông ABCD, E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đƣờng thẳng vuông góc với DE; đƣờng thẳng này cắt các đƣờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. Tính góc ̂

Ta chọn hình vuông ABCD, với

và trên cạnh BC.

Trang | 50

Tọa độ điểm , tọa độ điểm .

Bài toán 2.5.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông là một điểm thuộc ABCD,

cạnh BC. Đường thẳng qua B vuông góc với DE cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và . Xác định tọa độ các đỉnh

thẳng CH có phương trình

của hình vuông, biết đường

Bài toán 2.5.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông là một điểm thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua B ABCD,

vuông góc với DE cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở

và . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông,

biết điểm C thuộc đường thẳng

 Bài toán gốc 2.6. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm cạnh AD, H là hình chiếu vuông góc của B lên CE và M là trung điểm của

đoạn BH. Chứng minh rằng ̂

Từ bài toán gốc 2.6 kết hợp với kết quả bài toán 2 mục IV.2. Lựa , chọn hình vuông ABCD với tọa độ các đỉnh ,

, ta xây dựng bài toán sau:

Bài toán 2.6.1. (Trích đề thi thử ĐH trường THPT Đặng Thúc Hứa năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

cho hình vuông Gọi là trung điểm của

cạnh là hình chiếu vuông góc

của lên và là trung điểm

Trang | 51

của đoạn hình vuông . Xác định tọa độ các đỉnh của có hoành độ âm. biết điểm

 Bài toán gốc 2.7. Cho tam giác sao cho cạnh vuông tại . Đƣờng tròn đƣờng kính . Gọi M là điểm trên cắt

tại Chứng minh rằng ̂

Từ bài toán gốc 2.7 kết hợp với kết quả bài toán 2 mục IV.2. Chọn và tam giác ABC với tọa độ các đỉnh

chọn điểm M trên AC có tọa độ

, ta xây dựng bài toán sau:

Bài toán 2.7.1. (Trích đề thi thử ĐH trường THPT Đặng Thúc Hứa năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ . Gọi cho tam giác vuông tại

là điểm trên cạnh sao cho

Đường tròn tâm

đường kính cắt tại Xác định tọa độ các đỉnh của

biết đường thẳng BC đi qua , phương trình đường thẳng

và điểm có hoành độ dương.

 Xây dựng từ mối quan hệ thẳng hàng.

 Bài toán gốc 2.8. Cho nội tiếp đƣờng tròn tâm (I).

Trung tuyến AM, phân giác AD. Gọi E là giao điểm của AD và (I). Chứng minh ba điểm I, M, E thẳng hàng.

Chọn tam giác ABC với tọa độ các đỉnh

Lúc đó , . Phƣơng trình đƣờng tròn ngoại tiếp tam

Trang | 52

giác ABC là

Bài toán 2.8.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tròn tam giác ABC nội tiếp đường

. Đường phân

giác trong góc cắt tại điểm

. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác

ABC, biết đường thẳng BC đi qua điểm và đường thẳng AB

đi qua

 Bài toán gốc 2.9. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm

M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng

Chọn tam giác ABC với

Chọn điểm

Ta xây dựng bài toán dựa vào tính thẳng hàng của ba điểm B, K, C. Bài toán 2.9.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân ở A. là các điểm lần lượt trên cạnh AB Các điểm và

Xác định tọa độ các

và trên tia đối của tia CA sao cho đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng BC qua điểm

Bài toán 2.9.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho và tam giác ABC cân ở A. Các điểm là các điểm lần lượt trên cạnh AB

và trên tia đối của tia CA sao cho Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, là trung điểm của MN và biết

đường thẳng BC qua điểm

 Bài toán gốc 2.10. Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn là

một điểm thuộc đƣờng tròn. Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC, AC. Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng.

Trang | 53

(Đường thẳng Simson)

Chọn tam giác ABC với . Chọn điểm

, suy ra

Bài toán 2.10.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam Điểm giác ABC nội tiếp đường tròn

là một điểm thuộc đường tròn . Gọi

theo thứ tự là hình chiếu

vuông góc của M trên AB, BC, CA. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm F thuộc đường thẳng

 Bài toán gốc 2.11. Cho tam giác ABC có là trung

điểm của BC, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho , D thuộc

BC sao cho AD đối xứng với AM qua tia phân giác trong góc .

Chứng minh rằng

Bài toán 2.11.1. Trong mặt phẳng tọa độ . Oxy cho tam giác ABC có là trung điểm của BC, N Điểm

thuộc cạnh AC sao cho điểm

DN có

D thuộc BC sao cho AD đối xứng với AM qua tia phân giác trong góc ̂. Đường trình thẳng phương . Xác định tọa độ các đỉnh

của tam giác ABC, biết C thuộc

 Bài toán gốc 2.12. Cho tam giác ABC, gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam giác và I là tâm đƣờng tròn Ơ- le (*). Chứng minh O, H, G, I thẳng hàng, đồng thời

Trang | 54

(Đường thẳng Ơ-le) (*) Đường tròn Ơ-le: Trong một tam giác thì trung điểm 3 cạnh, trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh, chân các đường cao cùng thuộc một đường tròn.

Bài toán 2.12.1. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp

trực tâm và trung

điểm cạnh BC là Xác định tọa độ

các đỉnh của tam giác ABC. Bài toán 2.12.2. Cho tam giác ABC có nội tiếp đường các đỉnh

tròn tâm Xác định tọa độ đỉnh

B, biết trực tâm H thuộc đường thẳng

Bài toán 2.12.3. Cho tam giác ABC có trọng tâm , đường tròn

đi qua trung điểm ba cạnh tam giác ABC của

là Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC. Bài toán 2.12.4. (Trích đề thi HSG khối 12 tỉnh Nghệ An năm 2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Biết đường tròn đi

qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình . Viết phương trình đường tròn ngoại là:

tiếp tam giác ABC.

 Xây dựng từ mối quan hệ khoảng cách.

 Bài toán gốc 2.13. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.

Chứng minh

Bài toán 2.13.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng và tâm đường cao từ đỉnh A có phương trình

các đỉnh B, C thuộc đường thẳng . Xác định tọa độ

Trang | 55

các đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 6.

 Bài toán gốc 2.14. Cho hình vuông ABCD có tâm I, ta luôn có

Bài toán 2.14.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, có . Xác định tâm O và hai cạnh kề lần lượt đi qua

tọa độ các đỉnh của hình vuông. Bài toán 2.14.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB và CD lần . Xác định tọa độ các đỉnh của lượt là

hình vuông ABCD, biết tâm I thuộc đường thẳng .

 Bài toán gốc 2.15. Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD. Ta

luôn có .

Bài toán 2.15.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD; hai đường chéo AC và BD vuông góc và điểm C nằm trên trục hoành. Xác với nhau. Biết

định tọa độ đỉnh D của hình thang ABCD.

 Bài toán gốc 2.16. Cho tam giác ABC vuông tại A, chứng minh rằng

Bài toán 2.16.1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình

thoi ABCD có tâm và . Điểm thuộc

đường thẳng AB, điểm thuộc đường thẳng CD. Viết phương

Trang | 56

trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.

b. Một số hƣớng thay đổi cách phát biểu để xây dựng bài toán.

 Bài toán gốc 2.17. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lƣợt là trung

điểm các cạnh và . Chứng minh rằng

Giả sử ta chọn hình vuông

với tọa độ các đỉnh lần lƣợt là . Khi đó ta tính toán đƣợc các dữ

kiện khác nhƣ sau: , , phƣơng trình các đƣờng thẳng

, tọa độ giao điểm của ,

và là .

Dựa vào những kết quả tính toán trên, ta có thể xây dựng những bài toán hình giải tích trong mặt phẳng từ những phƣơng án sau:

 Kết hợp với kết quả bài toán 1.

Bài toán 2.17.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ . Gọi Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh

lần lƣợt là trung điểm các cạnh và

Gọi là giao điểm của AM và BN. Xác

định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD, biết rằng A nằm trên đƣờng thẳng

Bài toán 2.17.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông lần lƣợt là trung điểm các cạnh có đỉnh . Gọi

và ; Điểm là giao điểm của và . Xác định

nằm trên đƣờng

Trang | 57

tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông, biết điểm thẳng

 Xây dựng bài toán tương tự bằng cách “cắt” thang có cạnh thành hình hình vuông

và kết hợp với bài toán 1.

Bài toán 2.17.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (vuông tại B Oxy, cho hình thang vuông . và C) có và đỉnh

Gọi là trung điểm của cạnh Điểm

là giao điểm của và Xác

định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang, thẳng biết điểm trên đƣờng nằm

 Mở rộng kết quả bài toán 2.1 bằng cách dựng

thêm các điểm mới và kết hợp bài toán 1.

Bài toán 2.17.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác là trung điểm của vuông tại Điểm có

cạnh Gọi là điểm trên cạnh sao cho Điểm

là giao điểm của và Xác định tọa độ các đỉnh của

Trang | 58

tam giác biết điểm nằm trên đƣờng thẳng

 Xây dựng bài toán tương tự bằng cách “cắt” hình vuông thành hình

chữ nhật và kết hợp kết quả bài toán 1.

Bài toán 2.17.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ sao cho nhật là điểm trên cạnh . Gọi có

Điểm là giao điểm của và . Xác định

tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm B nằm trên đƣờng thẳng

, kết hợp với bài toán 1 và bài toán 2 ta có:  Từ ̂

Bài toán 2.17.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ lần Oxy, cho hình vuông . Gọi

lƣợt là trung điểm của các cạnh và .

Điểm là giao điểm của và .

Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết phƣơng trình đƣờng thẳng ,

và điểm C có hoành độ dƣơng. Bài toán 2.17.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ lần lƣợt Oxy, cho hình vuông Gọi

là trung điểm của các cạnh và . Điểm

là giao điểm của và . Xác

Trang | 59

định tọa độ các đỉnh của hình vuông , biết

phƣơng trình đƣờng thẳng và điểm A có hoành độ

âm. Bài toán 2.17.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông Gọi (vuông tại B và C) có

M là trung điểm cạnh ; Điểm là

và

giao điểm của các đỉnh của hình thang trình cạnh . Xác định tọa độ , biết phƣơng và A có hoành

độ âm.

 Từ và áp dụng kết quả bài toán 3 mục IV.2 ta có

Bài toán 2.17.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh . Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm các

cạnh BC và CD; đƣờng thẳng AM đi qua Xác định tọa độ các đỉnh còn điểm

lại của hình vuông, biết N có tung độ âm và nằm trên đƣờng thẳng

Bài toán 2.17.10. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm các cạnh BC

và DC, điểm là giao điểm của AM và BN. Xác định tọa độ

các đỉnh của hình vuông, biết điểm B thuộc đƣờng thẳng

, N thuộc đƣờng thẳng

 Từ kết hợp bài

toán 4 mục IV.2 ta có Bài toán 2.17.11. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD. Phƣơng trình . Gọi M, N đƣờng thẳng

Trang | 60

lần lƣợt là trung điểm các cạnh BC và DC, điểm H là giao điểm của AM và BN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết

khoảng cách từ H đến đƣờng thẳng AB bằng , điểm N có hoành

độ dƣơng và thuộc đƣờng thẳng

 Từ kết hợp bài toán

5 mục IV.2 ta có Bài toán 2.17.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có đƣờng thẳng AB đi lần qua điểm . Gọi M,

lƣợt là trung điểm của BC và DC; H là giao điểm của AM và BN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết khoảng cách

từ H đến đƣờng thẳng AB bằng và hoành độ điểm A không âm.

 Xây dựng bài toán ngược bằng sử dụng kết quả

Bài toán 2.17.13. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD. Phƣơng trình . Gọi M, N đƣờng thẳng

lần lƣợt là trung điểm các cạnh BC và DC,

điểm là giao điểm của AM và

BN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết khoảng cách từ H đến đƣờng

thẳng AB bằng .

Kết quả và kinh nghiệm rút ra.

Trang | 61

Trong quá trình dạy học giải bài toán hình giải tích phẳng để tạo ra niềm vui trong sự học tập và sáng tạo, giáo viên có thể hƣớng dẫn học sinh xây dựng các bài toán mới từ những bài toán hình phẳng thuần túy kết hợp với một số bài toán làm cơ sở lý thuyết, cắt ghép các hình để xây dựng bài toán tƣơng tự hay sử dụng những công cụ giải toán khác nhau để khái quát hóa bài toán...

C. KẾT LUẬN

I. NHỮNG KẾT LUẬN

- Trong dạy học giải bài tập toán nói chung và dạy học giải bài tập toán hình giải tích trong mặt phẳng nói riêng, việc xây dựng các bài toán riêng lẻ thành một hệ thống theo một trình tự logic có sự sắp đặt của phƣơng pháp và quy trình giải toán sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát triển tƣ duy học toán cũng nhƣ tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học toán.

- Trong đề tài này tôi đã hệ thống những bài toán với mối quan hệ giữa ba điểm, từ đó phát triển thành thuật toán để giải quyết bài toán hình giải tích phẳng với đặc điểm là xuất phát từ những bài toán hình phẳng thuần túy.

- Để tiếp tục phát triển đề tài, chúng ta có thể tiếp tục xây dựng dựa trên những mối quan hệ khác giữa ba điểm hoặc những mối quan hệ đã nêu trong đề tài giữa nhiều điểm.

- Đề tài có thể vận dụng để dạy học các bài tập về hình giải tích trong mặt phẳng cho các học sinh thuộc khối 10 THPT, ôn tập cho HSG khối 11 THPT, ôn tập cho học sinh thi vào các trƣờng ĐH cũng nhƣ làm tài liệu giảng dạy cho giáo viên toán khối THPT.

- Đề tài có thể phát triển và xây dựng thành hệ thống các bài toán hình giải tích trong mặt phẳng giải quyết đƣợc nhờ bản chất hình phẳng của nó đề thành sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.

II. NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT

Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng

thành hệ thống những bài tập có phƣơng pháp và quy trình giải toán.

Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những

dạng bài tập toán trong bài giảng.

Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng

thời viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.

Thanh Chương, ngày 25 tháng 04 năm 2014

Người thực hiện

Trang | 62

Phạm Kim Chung

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO