Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn sử dung phần mềm Zipgrade chấm trắc nghiệm bằng điện thoại smartphone và ứng dụng máy tính cầm tay vào làm nhanh bài tập toán trắc nghiệm thi THPT quốc gia

1. Tên sáng kiến:

“ HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG PHẦN MỀM ZIPGRADE CHẤM TRẮC NGHIỆM BẰNG ĐIỆN THOẠI SMARTPHONE VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀO LÀM NHANH BÀI TẬP TOÁN TRẮC NGHIỆM THI THPT QUỐC GIA”

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: CÁC MÔN THI TRẮC NGHIỆM VÀ MÔN T O Á N 1 2

3. Thời gian áp dụng sáng kiến:

Từ ngày 05 tháng 09 năm 2016 đến ngày 26 tháng 05 năm 2017

Trang 1 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Kì thi THPT quốc gia 2017, các bài Toán, Ngoại ngữ, Khoa học Tự nhiên và Khoa học Xã hội thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan; thí sinh làm bài thi trên phiếu trả lời trắc nghiệm; nội dung thi trong chương trình lớp 12 THPT. Để đáp ứng tốt với những thay đổi này, việc giảng dạy của giáo viên và học tập học sinh cần được điều chỉnh một cách kịp thời và phù hợp nhất.

Ở mỗi tiết dạy, song song với việc tổ chức học tập như trước đây thì việc rèn luyện các dạng bài tập trắc nghiệm ứng với từng đơn vị kiến thức của từng bài, từng chương, từng chủ đề cần được quan tâm tối đa. Đi cùng với đó là cách kiểm tra đánh giá thông qua đề trắc nghiệm hoặc trắc nghiệm kết hợp với tự luận cũng phải thay đổi sao cho hợp với kì thi THPT Quốc Gia.

Vấn đề đặt ra:

+ Một là, đối với giáo viên một đề kiểm tra trắc nghiệm với nhiều mã đề khác nhau cần chấm như thế nào để giảm thời gian chấm trả bài cho học sinh, hạn chế sai sót là điều rất quan trọng. Nhằm giúp các thầy cô và nhà trường chưa có máy chấm trắc nghiệm, trong sáng kiến này chúng tôi muốn dành một phần để chia sẻ việc áp dụng phần mềm ZipGrade trên điện thoại smartphone giải quyết vấn đề này. Qua đó kiểm tra được đúng năng lực học sinh từ đó thay đổi phương pháp để giảng dạy có hiệu quả hơn.

+ Hai là, đối với học sinh trong một khoảng thời gian ngắn nhất với lượng kiến thức được trang bị theo chương trình, học sinh phải chọn được một phương án thoả mãn yêu cầu đề bài. Ngoài việc nắm vững kiến thức, biết suy luận lôgíc, biết các kỹ thuật làm bài trắc nghiệm khách quan ... đôi khi học sinh phải thực hiện nhiều phép toán dài phức tạp. Một công cụ hữu hiệu góp phần hỗ trợ học sinh giải quyết vấn đề này là: Máy tính cầm tay. Mặt khác, khi biết sử dụng thành thạo máy tính cầm tay để giải toán, học sinh còn tự rèn luyện khả năng tư duy thuật toán, qua đó giúp các em củng cố khắc sâu kiến thức hơn, nâng cao khả năng tư duy lôgíc, giúp các em học tốt hơn.

Chính vì thế chúng tôi đã chọn đề tài sáng kiến: HƯỚNG DẪN SỬ DUNG PHẦN MỀM ZIPGRADE CHẤM TRẮC NGHIỆM BẰNG ĐIỆN THOẠI SMARTPHONE VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀO LÀM NHANH BÀI TẬP TOÁN TRẮC NGHIỆM THI THPT QUỐC GIA.

II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Ngày nay công nghệ thông tin càng ngày được áp dụng nhiều vào giáo dục, việc chấm điểm lên điểm sao cho nhanh và chuẩn xác cũng rất quan trọng, giúp nhà trường và giáo viên giảm được rất nhiều thời gian và công sức trong việc đánh giá học sinh, phù hợp với hình thức

Trang 2 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

thi trắc nghiệm như hiện nay. Chính vì thế việc sử dụng phần mềm hỗ trợ một cách thành thục là rất quan trọng đối với giáo viên.

Những năm trước đây với hình thức thi tự luận, việc trình bày cẩn thận, từng bước, từng bước một sẽ mang lại kết quả tốt thì ở cách thi trắc nghiệm khách quan, tốc độ và sự chính xác ở kết quả mới là quan trọng. Để giải những bài tập trắc nghiệm môn Toán một cách dễ dàng, việc thông thạo kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay là điều cực kỳ cần thiết. Nó giúp học sinh dễ dàng kiểm tra được đáp án chính xác.

Việc dạy và học toán có sự hỗ trợ của máy tính đã trở nên rất phổ biến trên toàn thế giới. Trong các tài liệu giáo khoa của các nước có nền giáo dục tiên tiến luôn có thêm mục sử dụng máy tính để giải toán.

Trong nhiều năm qua Bộ giáo dục và đào tạo đã có chủ trương đưa máy tính Casio và Vinacal vào giảng dạy trong trường THPT. Hàng năm có tổ chức các cuộc thi giải toán trên máy tính Casio và Vinacal từ cấp tỉnh đến cấp quốc gia, tuy nhiên việc hướng dẫn cho học sinh vận dụng các loại máy tính cầm tay một cách sáng tạo trong quá trình học tập bộ môn Toán nói riêng và các môn tự nhiên nói chung vẫn còn hạn chế. Nhìn chung học sinh chỉ sử dụng máy tính ở mức độ thực hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy toán học dựa trên công cụ máy tính…

Máy tính cầm tay giúp giáo viên và học sinh bổ sung nhiều kiến thức Toán học cơ bản, hiện đại và thiết thực. Nhờ khả năng xử lí dữ liệu phức tạp với tốc độ cao, máy tính cầm tay cho phép thiết kế những bài tập toán gắn với thực tế hơn. Chính vì vậy chúng tôi thấy việc giới thiệu sử dụng máy tính cầm tay trong chương trình giáo dục phổ thông là một việc cần thiết và thích hợp trong hoàn cảnh thực tế hiện nay.

Qua quá trình giảng dạy chúng tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung này. Các vấn đề trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm là các chuyên đề đã được ứng dụng trong giảng dạy và đã được phổ biến đến đồng nghiệp trong các cuộc họp tổ, nhóm chuyên môn. Bản thân chúng tôi đã nhận được nhiều ý kiến phản hồi, khích lệ từ các đồng nghiệp. Sáng kiến kinh nghiệm này là sự tổng kết có chọn lọc các chuyên đề của bản thân đã viết ra trong thực tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của đồng nghiệp.

So với đề thi tự luận, đề thi trắc nghiệm có số lượng câu hỏi nhiều hơn nhưng thời gian làm bài ngắn hơn. Do vậy, việc sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ cho giải trắc nghiệm là rất cần thiết. Tuy nhiên, chúng ta không nên quá lạm dụng máy tính cầm tay mà vẫn phải xác định rõ: kiến thức là trọng tâm, máy tính cầm tay chỉ là công cụ hỗ trợ.

Trong phần hai của sáng kiến kinh nghiệm này quy trình ấn máy chúng tôi chủ yếu thao tác trên máy tính Casio Fx 570ES plus. Đây là loại máy tính thông dụng đối với học sinh hiện nay.

2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này gồm 2 phần

Phần 1.HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG PHẦN MỀM ZIPGRADE CHẤM TRẮC NGHIỆM BẰNG ĐIỆN THOẠI SMARTPHONE

Trang 3 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Phần 2. ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀO LÀM NHANH BÀI TẬP TOÁN TRẮC NGHIỆM THI THPT QUỐC GIA

Trong phần 2 gồm có 6 vấn đề

Vấn đề 1. Ứng dụng máy tính cầm tay vào bài toán trắc nghiệm liên quan đến hàm số

1.1 Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

1.2 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1.3 Xét tính đơn điệu của hàm số

1.4 Cực trị của hàm số

1.5 Giới hạn, tiệm cận của đồ thị hàm số

1.6 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1.7 Bài toán tương giao giữa hai đồ thị

2.1 Phương trình 2.2 Bất phương trình

3.1 Tìm số chữ số của một lũy thừa 3.2 Tính nhanh giá trị biểu thức mũ và logarit 3.3 Xét tính đúng sai của mệnh đề mũ và logarit

Vấn đề 2. Ứng dụng máy tính cầm tay vào bài toán trắc nghiệm liên quan đến phương trình và bất phương trình Vấn đề 3. Ứng dụng máy tính cầm tay vào bài toán trắc nghiệm liên quan đến hàm số mũ, hàm số lũy thừa và hàm số lôgarit Vấn đề 4. Ứng dụng máy tính cầm tay vào bài toán trắc nghiệm liên quan đến nguyên hàm, tích phân và ứng dụng.

Vấn đề 5: Ứng dụng máy tính cầm tay vào bài toán trắc nghiệm liên quan đến tọa độ trong không gian

5.1 Tính nhanh khoảng cách

5.2 Tìm hình chiếu vuông góc trong không gian

5.3 Thể tích khối đa diện, diện tích đa giác

5.4 Tính góc

Vấn để 6. Ứng dụng máy tính cầm tay vào bài toán trắc nghiệm liên quan đến số phức

6.1 Tính nhanh các phép toạn cơ bản số phức

6.2 Biểu diễn hình học của số phức

6.3 Giải phương trình

Trang 4 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

NỘI DUNG

Phần 1.HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG PHẦN MỀM ZIPGRADE CHẤM TRẮC NGHIỆM

BẰNG ĐIỆN THOẠI SMARTPHONE

Trong năm học 2016- 2017 đề thi THPT Quốc Gia môn Toán chuyển hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm. Với hình thức thi mới nhiều thầy (cô) còn cảm thấy bỡ ngỡ trong nhiều khâu: dạy và học thế nào? Soạn và chấm đề trắc nghiệm ra sao?... Nhằm nâng cao chất lượng kiểm tra đánh giá học sinh, chúng tôi muôn giới thiệu tới thầy (cô) phần mềm chấm trắc nghiệm bằng ZipGrade. Với phần mềm này nhà trường và thầy (cô) có thể chấm trắc nghiệm và quản lí điểm học sinh dễ dàng từ đó nâng cao chất lượng dạy và học phù hợp với những đổi mới trong hình hình thức thi mới của chúng ta ngày nay. Đây là phần mềm hay phù hợp với tất cả các môn thi trắc nghiệm nên chúng tôi thấy rằng cần được chia sẻ phần nào đó giảm được vất vả khó khăn trong các kì thi hay đợt kiểm tra. Sau đây chúng tôi hướng dẫn chi tiết cài đặt và sử dụng phần mềm và có hình ảnh minh họa. Để sử dụng phần mềm này chúng ta cần thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1.Cài đặt phần mềm. Các thầy cô có thể vào CH Play và tìm kiếm với từ khóa “ ZipGrade”

Trang 5 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Mở ZipGrade vàđăng kí tài khoản

Ví dụ ở đây chúng tôi đăng kí tài khoản: Thayngocnguyenkhuyen@gmail.com các thầy cô nhập password tùy ý của mình không nhất thiết là password của email.

Trang 6 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Bước 2. Tải phiếu trả lời trắc nghiệm

+ Vào trang https://www.zipgrade.com/

+ Chúng ta chọn vào Answer Sheets để lựa chọn phiếu trả lời trắc nghiệm.

Ở đây có một số mẫu phiếu trả lời trắc nghiệm gồm phiếu 20 câu, 50 câu và 100 câu tùy theo mục đích sử dụng chúng ta lựa chọn tải về. Trong nội dung này chúng tôi lựa chọn mẫu phiếu trắc nghiệm 50 câu.

Trang 7 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Đây là mẫu phiếu trả lời trắc nghiệm 50 câu chúng tôi tải về.

Trong phiếu này có thêm đáp án E không ảnh hưởng đến kết quả khi đề thi của chúng ta chỉ có 4 phương án trả lời. Thầy cô muốn phiếu trả lời chỉ còn 4 phương án tô thì thầy cô có thể cá nhân hóa phiếu trả lời trắc nghiệm bằng cách vào

CUSTOM ANSWER SHEET WIZARD

Trang 8 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Bước 3. Chấm bài và lên điểm

Phần mềm ZipGrade mỗi tháng cho chúng ta quét 100 phiếu miễn phí trên một tài khoản email. Khi tài khoản email này hết lượt quét chúng ta có thể đăng kí một tài khoản khác khi đó ta lại có 100 lần quét phiếu trắc nghiệm (trong phần mêm này có chức năng tự sao lưu dữ liệu nên khi thay tài khoản khác các dữ liệu trước đó vẫn có thể lấy lại). Nếu nhà trường hoặc cá nhân muốn sử quét số lượng lớn hơn mà không cân thay đổi email thì chúng ta có thể mua tài khoản với giá vào khoảng 150.000 nghìn đồng/ năm.

Để tạo đáp án cho cho các mã đề chúng ta cần thực hiện các thao tác

Vào Main Menu  Chọn Quizzes tạo bài kiểm tra

Trang 9 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Lựa chọn phiếu trả lời trắc nghiệm loại 20 câu hay 50 hay 100 câu bằng cách chọn vào

Select Sheet ở đây tôi chọn 50 Question Form(2)

Chọn New Class để tạo lớp

Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Chọn OK. Đến đây ta chỉ cần điền đáp án cho các mã đề với thao tác chọn Edit Key

Trang 11 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Tô đáp đúng cho mã đề A, ở đây đáp án của mã đề A chúng tôi chọn 40 câu đầu đáp án đúng là A và 10 câu cuối đáp án B như hình

Trang 12 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Và thêm mã đề B vào bằng cách chọnAdd New Key... Đáp án mã đề B ở đây chúng tôi chọn cả 50 câu là đáp án C.

Trang 13 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Ngoài ra chúng ta có thể scan đáp án từ phiếu đáp án đã tô sẵn bằng cách chọn

Scan For Key

Sau khi đã tạo đáp án cho hai mã đề A, B chúng ta bắt đầu đi Scan phiếu trả lời trắc nghiệm của học sinh.

Giả sử ở đây chúng tôi quét hai đáp án của hai học sinh A và B. Với học sinh A số báo danh 00001 mã đề A và học sinh B số báo danh 00002 với mã đề B. Với hai phiếu trả lời trắc nghiệm của các em đã làm như sau

Trang 14 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Giờ ta có thể dùng ZipGrade để quét phiếu trả lời trắc nghiệm của hai học sinh này với hai mã đề khác nhau. Ta thực hiện như sau

Chọn vào Scan Papers(đưa phiếu trả lời trắc nghiệm trước máy ảnh của điện thoại) máy điện thoại tự quét lưu ảnh và cho ra luôn kết quả chấm bài. Ngoài ra ta có thể chọn vào Review Papers để xem các câu mà học sinh A làm đúng, sai như hình dưới đây

Trang 15 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Máy quét thông báo học sinh có số báo danh 1 làm đúng 40/50 câu và được 80 điểm trên 100 điểm hay 8/10. Máy quét thông báo câu học sinh làm đúng tô màu xanh còn câu làm sai có hiển hị màu vào cùng gạch chéo đỏ như hình trên.

Tiếp tục quét phiếu trả lời trắc nghiệm của học sinh B.

Trang 16 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Máy quét thông báo học sinh có số báo danh 2 làm đúng 30/50 câu và được 60 điểm trên

100 điểm. Sau khi quét hết các phiếu trả lời ta quay về màn hình chính ta thấy ZipGrade còn

thống kê cho ta thấy ngay điểm cao nhất của lớp và điểm thấp nhất.

Trang 17 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Với số điểm của ZipGrade thu được ta có thể gửi email và lên máy tính xuất ra Exel để sắp xếp theo số báo danh hay độ dốc của điểm theo tùy chỉnh cá nhân.

Trang 18 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Chọn vào Export Data

Trang 19 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Chọn vào CSV- Full Data Format

Trang 20 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Đến đây chúng ta thấy có rất nhiều lựa chọn để gửi dữ liệu điểm thi. Ở đây tôi chọn Gmail.

Vào Gmail tôi mở file Exel ta thu được dữ liệu

Trang 21 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Đến đây chúng tôi xếp theo số báo danh tăng dần

Tôi chọn Sort A to Z Qua vài bước chỉnh chúng ta có bảng danh sách điểm của lớp 12A5 như sau

Thông qua những hướng dẫn cơ bản về cách sử dụng ZipGrade này chúng tôi rất mong các nhà trường và thầy cô giáo chưa có máy trấm trắc nghiệm có thể thao tác và thực hiện ngay trên điện thoại của mình một các nhanh tróng và hiệu quả.

Trang 22 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Phần 2. ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀO LÀM NHANH BÀI TẬP TOÁN

TRẮC NGHIỆM THI THPT QUỐC GIA

A. Các chức năng cơ bản của máy tính khi làm toán trắc nghiệm 1. Chức năng tính giá trị của biểu thức CALC 2. Chức năng bảng giá trị MODE + 7 3. Chức năng dò nghiệm của phương trình SHIFT+SOLVE 4. Môi trường vectơ MODE +8 5. Môi trường số phức MODE +2 6. Đạo hàm tại một điểm, tích phân B. Ứng dụng của máy tính cầm tay vào từng dạng toán VẤN ĐỀ 1. ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀO BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM

LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

f X (

)

1.1 TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

f x tại điểm x X

( )





d dx

 x X

Cần nắm được chức năng , tính đạo hàm của hàm số

y





1



x

.

 ln 1

 1

y

'



.

theo thao tác lệnh qy và kết hợp với chức năng tính giá trị r. Để hiểu rõ hơn cách thực hiện và thao tác chúng ta cùng xét một số ví dụ sau. Ví dụ 1 [Câu 18 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 2]. Tính đạo hàm của hàm số

y

'



.

1 x

1





1

2

x





x



1

 1 1



1

2

y

'



.

y

'



.

A. B.

x





x



1

x





x



1

 1 1



 1 1



C. D.

Hướng dẫn



ln(1

1)





y

x

'





với thử lần lượt ở các đáp án, rtại điểm x bất kì thuộc tập xác định.

Bài toán này ta có thể dùng chức năng tính đạo hàm qy kết hợp với chức năngtính giá trịrthực hiện nhanh bài toán, với ý tưởng nhập vào máy tính biểu thức d dx Nếu kết quả bằng 0 . Thì đó là kết quả của bài toán. Với quy trình như sau + Thử đáp án A, với quy trình ấn máy

qyh1+sQ)+1$)$Q)$pa1R2sQ) +1$(1+sQ)+1$)r2=

Để tránh việc thử vào các giá trị đặc biệt ta có thể thử thêm một vài điểm nữa

Trang 23 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

5x  ta chỉ cần thực hiện theo

12

13

Muốn thử tại quy trình r5=

7.416.10

2

.

và là một số rất bé ta hiểu bằng 0. Ta thấy A là đáp án đúng của bài toán. 1.82.10 Bình luận: Ở đây chúng ta hiểu

f x ( )

x

g x ( )



4

x



.

sin

f g

 (1)  (1)

Ví dụ 2. Cho hàm số và Tính

 x 2 C. 2.

.

.

.

1 2

2 5

2 3

A. B. D.

Hướng dẫn

2

:

(

x

) |

sin

(4

) |



x

 máy tính cho ra kết quả

 1

x

x

 1

 x 2

d dx

1 2

d dx Vậy đáp án của bài toán là A.

Quy trình ấn máy tính Casio. qyQ)d$1$Pqy4Q)+jaqKQ)R2 $)$1=

y



x

3 5 

x





5

5

1

5

2

5

2

2

3

x



x



3

x



x



Ví dụ 3.Tính đạo hàm của hàm số .

7 2

57 2

2

x

2

x

2

x

2

x

A. . B. . C. .

. D. .

Hướng dẫn

Ta nhập trên máy tính: qy(Q)^3$p5)sQ)$$Q) Màn hình máy tính hiển thị

ở đây ta hiểu tính đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm X bất kì, đến đây ta trừ đi các đáp án của bài toán. +Thử với đáp án A, ta nhập thêm $p(a7R2$sQ)^5$$pa5R2sQ)$$ ) ấnr tại một vài điểm bất kì thuộc miền xác định, vì dụ ấn r3= ta thu được

Trang 24 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

11

2.68.10

là một số rất bé ta hiểu bằng 0.

ở đây Nếu ta ấn r8=, ta được

Vậy A là đáp án đúng của bài toán.

y



ln x x

Ví dụ 4 [Câu 40 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 3]. Cho hàm số , trong các

 

 

 

xy

xy

2

y

y

''

.

''



.

y

 

xy

''

 

.

2

y

 

xy

''



.

1 2 x

1 2 x

1 2 x

x

B. A. C. D. mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1 2 x



y

'

+ Để thực hiện bài toán này trước tiên ta tính . Hướng dẫn  1 ln 2 x

+ Nhập biểu thức trên casio 2Oa1phQ))RQ)d$+Q)Oqya1ph Q))RQ)d$$Q)$+a1RQ)d= Ta thu được

0x  nữa ta thu được kết quả rất bé xấp xỉ 0.

r4=

Có thể thử thêm một vài giá trị Vậy đáp án của bài toán là A. \

Trang 25 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

y



  f x

1.2 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Kiến thức cơ bản 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm : Cho hàm số

C và một có đồ thị  C tại tiếp điểm M là đường thẳng



0

 ;M x y 0 d có phương trình :





x

y

x

f

'





điểm

0

0

thuộc đồ thị   x y 0

C . Tiếp tuyến của đồ thị   2. Lệnh Casio : Tính đạo hàm của hàm số tại một điểmqy

1

y



22 x 2

 x

3 

 x 3

1 x  . 2

Ví dụ 1.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y



.

y

 

x



.

y

 

x



.

y



x



.

1 x 4

1 8

1 4

1 8

1 4

1 8

1 4

1 8

A. B. C. D.

Hướng dẫn

2

2

X



(

1 ) |



Quy trình ấn máy tính

x



d dx

 X

3 X  3

2

1 x  : 2

1 2

Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số tại máy tính cho ra kết quả



.

1 4

Từ đó ta loại được đáp án A, D.

Bước 2. Còn đáp án B, C ta có thể chọn đáp án đúng bằng một trong hai cách + Cách 1. Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm, tìm ra đáp án đúng là C.

;0

1 2

  

  

+ Cách 2. Thay tọa độ tiếp điểm vào phương trình đường thẳng ở B,C tìm được đáp án

đúng là C. Ví dụ 2 [Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017].Tìm hệ số góc của tiếp

y

ln

x

1    x

tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2.



.



ln 2.



.

.

1 4

1 2

1 4

B. A. C. D.

3 4 Hướng dẫn

y



x



x



y

;M x y  Phương trình tiếp tuyến









0

0

 y x ' 0

0

0

+ Gọi tiếp điểm là

  ' 2

+ Sử dụng máy tính Casio để tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 y  k

Trang 26 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

k

y

 

0.25

   B là đáp án chính xác.

  ' 2

1 4

3



 

3

2

x

C tại giao điểm của 

 có đồ thị 

+ Ta thấy

  3

 2.

x 2

 2.

x 3

 1.

x

y

y

y

y

x

D. B. Ví dụ 3 [Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017]. Cho hàm số C C . Viết phương trình tiếp tuyến của  y x với trục tung.  1.   2 A.





y



y

;M x y  Phương trình tiếp tuyến





x 0

0

0

0

  x y x '  C và trục tung  M có tọa độ  0; 2 . Tính

C. Hướng dẫn

 + Gọi tiếp điểm là + M là giao điểm của đồ thị 

. 0   ' 0y

x

y

x

y

3

2

0

3







  





3

2

x

y

2





23 x

1;0M 

là

C. 3.

 đi qua điểm B. 2.

D. 1.







y

x

y

,

;M x y  Phương trình tiếp tuyến

 y x '





x 0

0

0

trong đó hệ

0 

k

3



 0 x 6 . 0

 2 x 0

y



3



6

x







3

 2.



  'y x

2 x 0

x 0

x 0

3 x 0

2 x 0





2

  0

 





6

6

2



3

2

3



2 x 0

3 x 0

x 0

 ' y x 0 0 vào phương trình tiếp tuyến được + Thế Tiếp tuyến đi qua điểm  1;0M  3      0 x 6 0

2 x 0

x 0

x 0

 1



2 x 0 Sử dụng máy tính với lệnh MODE 5 để giải phương trình bậc 3 trên w54z2=6=z6= 2==

số góc + Thế vào phương trình tiếp tuyến có  B là đáp án chính xác. Ví dụ 4 [Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1 năm 2017]. Số tiếp tuyến với đồ thị  C : A. 4. Hướng dẫn + Gọi tiếp điểm là 

3



y

x

23 x

 có đồ

2

Ta thấy có 1 nghiệm

0x  Chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất  D là đáp án chính xác.  C với hệ số góc nhỏ nhất? y  0.  

  3

 3.

 3.

x 3 .

x

x

D. C. B. Ví dụ 5 [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]. Cho hàm số thị  y A.

C . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của  y y   3 Hướng dẫn

y



x





y

,

;M x y  Phương trình tiếp tuyến

 y x '





0

x 0

0

trong đó hệ

0 





3

k

 y x ' 0

 2 x 0

 0 x 6 . 0 + Tìm giá trị nhỏ nhất của k bằng chức năng MODE 7

số góc + Gọi tiếp điểm là 

Trang 27 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

w73Q)dp6Q)= = z9=9=1=

3 1



2 3.1

  0.

2

y x '( )



y

    

3

3

  ' 1

x 0

y  0

min 

    

y

3

x

  D là đáp án chính

3

y

x

0

  3



 1

y

Ta thấy

I (hoặc

'

f

0

f

'

0

0

f





 x  với mọi x

  f x   x  tại hữu hạn điểm của '

+ Thế vào phương trình tiếp tuyến có xác. 1.3 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Kiến thức cơ bản 1. Tính đồng biến nghịch biến : Cho I là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Hàm số có đạo hàm trên I . Nếu

 I ) và .I



y

 x  với mọi x   I thì hàm số f x

đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

m f x





  f x rồi kết luận.

 .

Tìm tập giá trị của hàm hoặc 2. Cách 1 Casio :Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được, khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng nghịch biến. 3. Cách 2 Casio :Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm, cô lập m và đưa về dạng   m f x

4. Cách 3 Casio :Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ (wR1) của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba).

y



2

x



2 x 

.3

  ;

 3 .

2;

  .

3; 2 . 3;

.

Vi dụ 1. Cho hàm số Mệnh đề nào dưới đây đúng?



B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng A. Hàm số nghịch biến trên khoảng C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

2

Hướng dẫn Có hai cách dùng casio để thực hiện nhanh ví dụ này Cách 1. Dùng chức năng bảng giá trị, quy trình ấn máy.

F X (

)



2

X



X

 = start -5 end 5 = step

3

  5 ( 5) 18

f x tăng hay giảm trong miền nào,kết hợp với

( )

+ Mode 7 và nhập

w72Q)psQ)dp3==z5=5=10P18 = Quan sát bảng giá trị so sánh khi x tăng giá trị đáp án ta tìm được đáp án đúng.

Trang 28 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

2

+ Quan sát bảng giá trị nhận thấy đáp án đúng là A. Cách 2. Dùng đạo hàm tại điểm.

(2 X



X



3

) |



0.7752551286



0

x



3

d dx

Tính đạo hàm: ,

x   ta thấy

3

'

f

0.



0.x Khi đó, nếu f có đạo hàm tại

0x thì

0 x  ;a b chứa điểm

( thao tác bấm máy: qy2Q)psQ)dp3$$3=) ta thấy ngay có thể loại được đáp án C, D. Tiếp tục tính đạo hàm tại

;a x



0;x b . Khi đó :

0

0x và có

'f



0x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm

'f



0x thì hàm số đạt cực đại tại điểm

0 x

3

đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm

1.







3

x

y

x

 Hàm số đạt cực trị tại điểm nào dưới đây?

Ví dụ 1. Cho hàm số đáp án B loại. Vậy đáp án đúng của bài toán là đáp án A. 1.4 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Kiến thức cơ bản 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị : Hàm số f liên tục trên  và  đạo hàm trên các khoảng  0 + Nếu x 0x + Nếu 0x 3. Lệnh Casio: tính đạo hàm của hàm số tại một điểmqy 25 x

0x  và

0x  và

x 

.

x



.

A. B.

3x  và

x   và 3

x 

.

x



.

10 3 1 3

 10 3  1 3

C. D.

'(

Hướng dẫn

 ) 0.

x 0

y x 0

Hàm số đã cho có đạo hàm trên  nên hàm số đạt cực trị tại

0x 

+ Kiểm tra đạo hàm của hàm số tại

qyQ)^3$p5Q) d+3Q)+1$0=

do đó loại đáp án A, B.

Trang 29 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

3

2

(

x



5

x



3

x



1) |

 loại đáp án D. Vậy C là đáp án đúng của bài toán.

0

x



3

d dx

2

y



x



x

+ Thử với



 35

Ví dụ 2 [Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017]. Cho hàm số . Mệnh

x  2.

đề nào sau đây đúng ?

x  1. x  0.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại D. Hàm số không có cực tiểu. A. Hàm số đạt cực tiểu tại C. Hàm số đạt cực tiểu tại

1x  (tiếp tục màn hình Casio đang dùng)

Hướng dẫn

+ Để kiểm tra đáp án A ta tính đạo hàm của y tại

qy(Q)p5)qs Q)d$$1=

y

 vậy đáp số A sai.

0

  ' 1

Ta thấy đạo hàm

 . Đây là điều kiện cần để

0

y

2x  là điểm cực tiểu của hàm số y . Kiểm tra

  ' 2

y

 

 0.1345... 0

+ Tương tự với đáp án B (tiếp tục màn hình Casio đang dùng)

+ Ta thấy    ' 2 0.1

y



 0.1301... 0

   ' 2 0.1

qy(Q)p5)qs Q)d$$2p0.1=

Kiểm tra

2x 

y

 và dấu của

0

'y đổi từ  sang  vậy hàm số y đạt cực tiểu tại

  ' 2

 Đáp án B là chính xác.

4

2

2

y



(

m



1)

x



(

m



2 )

2 m x m



Vậy

 

1

0

m





Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị.

.

.

1 .

1 .

m



2

m



2

2

2

m    1 

 m   1 

1      m

0 m     m

A. B. C. D.

3

2

Hướng dẫn

y

 

4(

m



1)

x



2(

m



2 )

m x

y  xem phương trình

0

+ Ta có

3

3m  ta có

y

   

8

0

x

6

x

 phương trình này có nghiệm duy nhất nên loại được

0

Cách 1. Thử một một vài giá trị của m vào y’ và giải phương trình nào có 3 nghiệm phân biệt để loại trừ các đáp án gây nhiễu.

+ Với đáp án C, D.

Trang 30 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

3

m



y

    0

6

x



x

 phương trình có 3 nghiệm phân biệt do đó đáp B

0

 1 2

5 2

+ Với ta có

0

2

2

là đáp án bài toán. Cách 2. Sử dụng chức năng bảng giá trị (mode 7) để tìm đáp án đúng

y

   0



0

2

x



.

 m m 2  m 2( 1)

 m m 2  m 2( 1)

 x    

2

Có Yêu cầu của bài toán suy ra

F X (

)



1 2

 X X 2  X 2( 1)

3

2

2

m

m











1

3

x

y

x

 đạt cực đại tại

 1



x   1.

Ta ấn MODE 7 và nhập start -3, end 3, step



x 3

ta tìm được đáp án B. Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

2

0m  .

m   .

0 2

m    m

C. . D. . A. B.

m  0    m 2  Hướng dẫn

2m  không

Nhập trên casio qyaQ)^3R3$p( Qm+ 1)Q)d+(Qmdp3 )Q) +1$Q) sau đó ta ấnrz1=0=, ta được

m

2,

m

 thấy khi

2

 

1

1 0.001

Như vậy m=0 thỏa mãn điều kiện cần, tương tự ta thử với thỏa mãn điều kiện cần

1 0.001

x   

và quan sát dấu của đạo hàm và đưa ra kết luận.

Như vậy ta loại được đáp án D. Vậy A, B, C đều thỏa mãn điều kiện cần, khi đó làm thể nào để x   ? Ở đây thuật toán như sau ta tính đạo hàm tại các điểm tìm m để hàm số đạt cực đại tại   + Kiểm tra khi và dấu của đạo hàm theo thao tác

Trang 31 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

x   

1 0.001

rz1p0.001=0=

và dấu của đạo hàm theo thao tác

1

x   .

0m  hàm số đạt cực đại tại 2

m   ta thấy không thỏa mãn. Vậy đáp án của bài toán là A.

910



6

+ Kiểm tra khi rz1+0.001=0=

x x x



6

  

  

x

x

6



  

x

x

 x 0  x 0 x 0

x

u

 Do đó với Tương tự ta thử với 1.5 GIỚI HẠN VÀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Kiến thức cơ bản 1. Quy ước tính giới hạn vô định khi ấn máy tính :     x 910      x     x 0 10 x x  10 o   0 10 x

 , 1

 1

lim  x 0

lim  u 0

sin x

x

x

e

1





2. Giới hạn hàm lượng giác :

 1.

lim  0 x

1, lim  0 x

 x

sin u   ln 1 x

3. Giới hạn hàm siêu việt :

2

x

4. Lệnh Casio : r

.

lim  x 0

 1   4 2

Ví dụ 1 [Thi thử THPT chuyên Ngữ lần 1 năm 2017]. Tính giới hạn

B. 8. A.1. C. 2.

e x D. 4.



6

x

0

0 10

    x

Hướng dẫn Sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC

Vì aQK^2Q)$p1R s Q)+4$p2r0+10 ^p6)=

  B là đáp án chính xác.

8

1000001 125000

Ta nhận được kết quả

sin

x

e



1

.

Chú ý: Vì chúng ta sử dụng thủ thuật để tính giới hạn, nên kết quả máy tính đưa ra chỉ xấp xỉ đáp án, nên cần chọn đáp án gần nhất.

lim  x 0

Ví dụ 2 [Thi thử chuyên Amsterdam lần 1 năm 2017]. Tính giới hạn

x .

D. C. 0. A.1. B. 1.

Hướng dẫn

Trang 32 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh



6

x

0

0 10

    x

x

Sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC



y

  f x

Vì raQK^jQ))$p 1 RQ)r0+10^p6) = Ta nhận được kết quả 1.00000049 1  A là đáp án chính xác. B. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Kiến thức cơ bản 1. Tiệm cận đứng : Đồ thị hàm số là tiệm cận đứng nếu ít

  hoặc

  .



  f x

lim  x x 0

y

nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn nhận đường thẳng  f x

y



  f x

x 0 lim  x x 0 y là tiệm cận ngang nếu 0





.

2. Tiệm cận ngang : Đồ thị hàm số nhận đường thẳng

  f x

  f x

y 0

y 0

lim  x

hoặc

lim x  3. Lệnh Casio : Ứng dụng kỹ thuật dùng CALC tính giới hạn Ví dụ 1 [Câu 8 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 2]. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ

2

x

2

3

y



  x  6 3

thị hàm số .

x   và 3

  1 2  x x   B. 2.

x x 5 x   . C.

x  D. 2.

x  3.

A.

Tập xác định của hàm số là

3x  và Hướng dẫn

D  

  \ 2,3 .

2x  có là tiệm cận đứng

2

2

2

x

3

2

x

3

Từ đây ta có thể loại được ngay đáp án A,B của bài toán. Để xác định đáp án đúng trong hai đáp án còn lại ta chỉ cần xem xét

lim  2 x

lim  2 x

  1 2  x

x x 5

  x  6

  1 2  x

x x 5

  x  6

2

x

3

2

hay không? Ta cần tính giới hạn và

lim  2 x

x x 5

  x  6

  1 2  x Quy trình ấn máy a2Q)p1psQ)d + Q)+3RQ)dp5Q ) +6r2+ 10^z6) Kết quả không tiến ra  hoặc  .

2

2

x

3



6

bằng máy tính cầm tay là dùng chức năng CALC. Để tính

x

 

2 10

lim  x 2

  1 2  x

x x 5

  x  6

Tiếp tục tính dùng chức năng CALC ta thu được kết quả

Kết quả không tiến ra  hoặc  .

Trang 33 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

2x  không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.



1

Do đó Vậy đáp án của bài toán là D. Ví dụ 2[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]. Có bao nhiêu đường tiệm cận của

y



?

x 2

4

x

1

đồ thị hàm số

C. 3. A.1.

  x 2 B. 2.

D. 4.

2

2



2

1

4

0

4

x

x

2

x

  vô nghiệm

1 0

Hướng dẫn



1

Xét phương trình     x  Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.



x 2

lim  x

1 2

x

x

4

2





1 aQ)+1Rs4Q)d+ 2Q)+1r10^9)=

theo quy trình ấn máy Tính

y  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1 2



1

Vậy đương thẳng

 

x 2

lim  x

1 2

x

4



2

x

 1 rp10^9)=

Tính .

y   là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1 2

Vậy đương thẳng

 Tóm lại đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang và C là đáp án chính xác. Bình luận :

 Việc ứng dụng Casio để tìm tiệm cận sử dụng nhiều kỹ thuật tính giới hạn của hàm số bằng Casio. Các bạn cần học kỹ bài giới hạn trước khi học bài này.

 Giới hạn của hàm số khi x tiến tới  và khi x tiến tới  là khác nhau. Ta cần hết

y  

.

1 2

2

x

2

y



sức chú ý tránh để sót tiệm cận ngang



C có

 2

 x 3  1 x

Ví dụ 3[Thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]. Đồ thị hàm số

D. 3. bao nhiêu đường tiệm cận? B. 2. A. 4. C. 1.

2

x

2

y



  1

Hướng dẫn

 2

lim  x

lim  x

 x 3  1 x aQ)dp3Q)+2R 1pQ)dr10^9)=

Tính

Trang 34 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

2

x

2

y



  1

 2

lim  x

lim  x

3  x  1 x rp10^9)=

Tính

y   là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1

2

x

1



Vậy đường thẳng

1

1x  và

x   là 2 tiệm cận đứng của 

C

Giải phương trình

2

2

x   là nghiệm của phương trình mẫu số 0 chỉ là điều kiện cần. Điều kiện đủ x

2

2

x

 

 

Tuy nhiên

 2

 2

, lim   1 x

lim   1 x

 x 3  1 x

2

2

x

 

phải là

 2

lim  x 1

x  1      0 x 1  Đến đây nhiều học sinh đã ngộ nhận 1  x 3  1 x Ta đi kiểm tra điều kiện đủ  x 3  1 x

1

Tính

.C

2

x



aQ)dp3Q)+2R1pQ )drp1p0.000000 0001= Vậy đường thẳng

x   là tiệm cận đứng của đồ thị   2 2

lim  x 1

3  x  1 x

1 2

theo quy trình ấn máy tính Tính

x   1

.C y   và 1 tiệm cận đứng

1

Vậy đường thẳng r1+0.0000000001= 1x  không phải là tiệm cận đứng của đồ thị 

Tóm lại đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang  Đáp số chính xác là B. Bình luận : Việc tử số và mẫu số đều có nhân tử chung dẫn tới hàm số bị suy biến như ví dụ này thường xuyên xảy ra trong các đề thi. Chúng ta cần cảnh giác và kiểm tra lại bằng kỹ thuật tìm giới hạn bằng Casio. Ví dụ 4 [Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017]. Tìm tất các các

y



2



1

không có tiệm cận đứng. giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

1m  

1m  

1m 

5  3 x x 2  mx m   1    m 1

C. B. D. 1 A.

2

Hướng dẫn Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số bằng 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm nhưng giới hạn một bên của hàm số khi x tiến tới nghiệm không ra vô cùng.

1m  , hàm số trở thành

1x  .

x

x 2

  có nghiệm

1 0

y



2

3 5  x   2 x

1

x

Với . Phương trình

 Đáp số A sai

 

2

lim  x 1

 3 x 5   2 x

1

x

Tính

Trang 35 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

a5Q)+3RQ)dp 2 Q)+1r10^z6) =

0m  hàm số đã cho trở thành

2 1 0 x   vô nghiệm  Đồ thị

y



.

 

3 1

x 5 2 x 0m  thỏa mãn.

Với Phương trình

x

1

hàm số không có tiệm cận đứng  D là đáp án chính xác. Ví dụ 5 [Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

y



 2



mx

sao cho đồ thị của hàm số có hai tiệm cận ngang.

0.m 

0.m 

0.m 

A. D.

1 B. Không có m thỏa mãn. C. Hướng dẫn

x



0m  , ta chọn

m  

2,15

1 2

lim  x

x



2.15



1

Thử đáp án A ta chọn 1 giá trị . Tính

x



x



aQ)+1Rsp2.15Q)d+1r10^9)=

y



1 2

1 2

lim  x

x



2.15



1



2.15

x



1

Vậy không thể có 2 tiệm cận không tồn tại  hàm số

x

1

ngang

0m  . Tính



x





 1

 2

lim  x

lim  x

0

x



1

Thử đáp án C ta chọn gán giá trị

x

Q)+1r10^9)=

     hàm số

y



 1

 x

1  không thể có 2 tiệm cận ngang.

lim  x

x



m 

2.15

Vậy



0.6819...

1 2

lim  x

2.15

x



1

Thử đáp án D ta chọn gán giá trị . Tính

x



aQ)+1Rs2.15Q )d+1r10^9)=

 

0.6819...

1 2

lim  x

2.15



1

x rp10^9)=

y  

0.6819...

Tính

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang Đáp số D là đáp số chính xác.

Trang 36 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh



y

  f x

;a b ta sử

trên miền 

Bình luận : Qua ví dụ 5 ta thấy sức mạnh của Casio so với cách làm tự luận. 1.6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Các bước thực hiện - Bước 1: Để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (lập bảng giá trị). - Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.

b a 19

(có thể làm tròn để - Chú ý: Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step

x

x

x

ta chuyển máy tính về chế độ

Step đẹp) Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sin , cos , tan ... Radian

y

  trên [1;3].

x

Ví dụ 1. Tính giá trị lớn nhất của hàm số

A. B. D.

4 x C.

y 

2.

y 

3.

y 

5.

y 

4.

max  1;3

max  1;3

max  1;3

max  1;3 Hướng dẫn

2 (1;3)





Cách 1.

y

  1

,

y

2 (1;3)

4 2 x

x          0 x 

+ Bước 1:

+ Bước 2: dùng chức năng CALC tính giá trị. Nhập biểu thức:

rồi ấn phím CALC lần lượt tại các điểm X=1, X=2,X=3 ta thấy giá trị lớn nhất là 5.Vậy đáp án của bài toán là D. Cách 2. Dùng chức năng bảng giá trị w7

F

(X) X

 

4 X

Nhập biểu thức start 1 end 3 step 0.25

y



w7Q)+a4RQ)= == 3=0.25= Vậy đáp án của bài toán là D. Ví dụ 2 [Câu 6 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2; 4 .

2 3  x  x 1

trên đoạn 

y 

y  6.

y   2.

y   3.

min  2;4

19 3

min  2;4

min  2;4

min  2;4

D. A. B. C.

Trang 37 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Hướng dẫn

Bài toán này chúng ta có thể dùng chức năng bảng giá trị tìm ra luôn được kết quả của bài toán. Với quy trình ấn máy tính như sau

6

w7aQ)d+3RQ)p1==2=4=0.2=

y  . Vậy đáp án của bài toán là đáp án A.

min  2;4

Quan sát trên bảng giá trị ta thấy

y



2

  x

2

x

 . 1

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 0. B. 2. C. -1. D. 3.

Hướng dẫn

Trong bài toán này ta chỉ cần nhập

X 

3

 , 2

0,

X



1

. Xem giá trị X   ,

X và sử dụng chức năng CALC để tính giá trị tại nào nhỏ nhất là đáp án của bài toán. Kết luận đáp án B. Ví dụ 4 [Câu 21 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 2]. Xét các số thực

a

b  Tìm giá

1.

2

2

P



log

a



3log

.

b





a b

  

  

a b

trị nhỏ nhất minP của biểu thức

P 

19.

P 

13.

P 

14.

P 

15.

A. B. C. D.

Hướng dẫn

1,

a  khi đó biểu thức P trở thành hàm một biến. Khi đó

Ý tưởng dùng máy tính cầm tay thực hiện bài toán này như sau

2

a

  

P

8

log

64



3log

.

Cho a một giá trị cụ thể thỏa mãn dùng chức năng bảng giá trị ta tìm ra đáp án của bài toán





b

8 b

  

  

8 b

+ Chẳng hạn cho

F

(X)

Vào MODE 7 nhập trên máy tính biểu thức Start 1 End 8 step 0.5

P 

15

w7(ia8RQ)$$ 6 4$)d+3iQ)$a 8R Q)===8=0.5=

chọn đáp án D. Quan sát trên bảng giá trị chúng ta thấy min

Trang 38 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

x

,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

 với

3cos

4sin





8

x

x



. Gọi Bình luận: Qua ví dụ này chúng ta thấy rất rõ sức mạnh của máy tính cầm tay trong ứng dụng giải toán trắc nghiệm. Bài toán này nếu làm tự luận ở mức độ khó vì học sinh phải thực hiện qua nhiều biến đổi logarit và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ví dụ 5 [Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017]. Hàm số  y  0; 2

của hàm số. Khi đó tổng M m bằng bao nhiêu?

A.8 2. B. 7 3. C. 8 3. D. 16.

0

Hướng dẫn + Để tính toán các bài toán liên quan đến lượng giác ta chuyển máy tính về chế độ Radianqw4

 2 19

+ Sử dụng chức năng MODE 7 của máy tính Casio với thiết lập Start 0 End 2 Step

F X ta thấy giá trị lớn nhất









f



12.989 13





M



 5.2911

+ Quan sát bảng giá trị F X có thể đạt được là

F X có thể đạt được là

f

2.314



 

m .









16

M m   Đáp số D là chính xác.

Ta thấy giá trị nhỏ nhất 3.0252 3

Vậy Bình luận: Qua ví dụ này chúng ta thấy nếu làm bài toán bằng tự luận khó nhưng với casio thật nhanh và gọn. Từ đó ta thấy được ứng dụng casio vào làm nhanh bài toán trắc nghiệm

f x ( )



.

f x

 ( ) 1.

cos  x m  2 cos x

Ví dụ 6. Cho hàm số Tìm m để

1.m 

0.m 

max    ;   3 2   2.m 

m   1.

A. B. C. D.

Hướng dẫn Ở bài toán này ta có thể sử dụng phương pháp thử kết hợp với chắc năng bảng giá trị w7

1m  ta có

f x ( )



.

cos  x  2 cos

1 x

+ Thử với Ta sử dụng MTCT với quy trình ấn máy như sau

w7akQ))+1R2p kQ ))==zqKP3=q KP2 =5qKP72= Ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất lớn hơn 1. Vậy đáp án A loại.

Trang 39 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

m

  0

f x ( )



co sx  2 cos

x

+ Thử với khi đó ta chỉ cần ấn Cmáy tính đưa về màn hình

Khi đó chúng ta chỉ cần dùng !để chỉnh lại hàm cho phù hợp ta có được kêt quả

a b  , trong các mệnh đề sau đâu là mệnh đề sai?

0

,

2

2

2

2

Vậy B là đáp án đúng của bài toán. Ví dụ 7. Với

a



b

2 1

 

  . ab a b

c



 ab bc



ca .



2

 2

3

3



B.

  a b .

a



b



ab a b (



).

a a b

b b a

D. A. C.

Hướng dẫn

Ở bài toán này ta có thể sử dụng chức năng CALC để kiểm tra xem bất đẳng thức nào sai. Cụ thể ở đáp án D ta nhập

Sau đó ta ấn CALC máy tính hiện

Ta ấn 2= và máy tính hiện tiếp

Ta ấn tiếp =, ta thu được kết quả

x y z  thỏa mãn điều kiện ,

0

,

xy



yz



zx

 Tính giá trị lớn nhất

1.

z

Vậy bất đẳng thức này là đáp án sai. Ví dụ 8. Với các số thực

P







.

2

2

2

x  x

1

y  y

1

1



z

của biểu thức

A. 1. D.3. B. 2. C. 3.

Hướng dẫn

Trang 40 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

2

2

x



2

xz

  

1

z

y .Từ giả thiết ta có

 2

x x

2

2

2

x

1

y



x z ,



P



Quan sát bất đẳng thức ba biến này ta thấy hai biến x,y đối xứng nên dự đoán dấu bằng xảy ra 1 khi x

1   x 2  x 1

 2

x x

P

'

  

0

x

2 1

   . z

1

Thế và Pta được

x

  y

 2 1,

z

 . 1

Vậy đự đoán được dấu đẳng thức xảy ra khi

P 

2

2

Thay vào P ta được .Vậy đáp án của bài toán là đáp án B.

y



0,

  

x

y

12

 Tính giá trị nhỏ nhất

0.

x

,x y thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 9. Với các số

 P xy

  x

2

y



17.

của

2

C. 15. A. 12. B. 9. D. 5.

y

x

x

0

12

  

 ta rút được

12

x

y

2

  x

  x

12

17

P





2

x

x

 



x    + Để tìm min của P ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7, tuy nhiên chúng ta còn thiếu miền giá trị của

2

.x Để tìm điều này ta xét 12 0

    x

x

y

     3 4

0

x

Hướng dẫn 2 + Từ thay vào P ta được :

7 19

ta được: Sử dụng MODE 7 với thiết lập Start 4 End 3 Start

f

 

11.6

12.

 1.25





  f x

Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất là  

  g x và đồ thị hàm



y

(1), số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số Vậy đáp số chính xác là A. 1.7 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ Kiến thức cơ bản 1. Phương pháp đồ thị tìm số nghiệm của phương trình : Cho phương trình   f x

y



g x

 .

số

0

y



  f x  là số giao điểm của đồ thị hàm số

  f x

Chú ý :Số nghiệm của phương trình và

m

trục hoành. 2. Bài toán tìm nghiệm của phương trình chứa tham số: Ta tiến hành cô lập m và đưa (2) khi đó số nghiệm của phương trình (2) là số giao phương trình ban đầu về dạng

y



  f x và đường thẳng y m

  f x

điểm của đồ thị hàm số .

Trang 41 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

có tính chất song song hoặc trùng với trục hoành và đi qua điểm

d

y

1

y



Chú ý : Đường thẳng y m  có tọa độ  0;m 3. Lệnh Casio : Để tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ta dùng lệnh SHIFT+ SOLVE Ví dụ 1 [Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017]. Cho hàm số

C và đường thẳng 

 :

x  cắt đồ thị 

C tại 2 điểm phân biệt

x 2 x

 2  1

.MN

có đồ thị 

B. 2 D. 2

.M N Tính tung độ trung điểm I của đoạn thẳng , A. 3

  x

1

x 2 x

+ Phương trình hoành độ giao điểm . Nhập phương trình này vào máy tính Casio: C. 1 Hướng dẫn  2  1

a2Q)+2RQ)p1$pQ)p1=

( ở đây thông thường khi nhập phương trình ta thường thêm dấu bằng mục đích lưu phương trình trên máy tính), sau đó ta ấn qr máy tính hiển thị

chúng ta hiểu máy tính đang hỏi ta tìm nghiệm của phương trình gần giá trị nào. Ví dụ ta muốn tìm

3x  , L-R ( viết tắt cho Left –Right ( trái- phải)).

nghiệm gần số 4 ta chỉ cần ấn 4= máy tính hiện ra

3

  

 

1 4

y

y 1

2

Ta hiểu một nghiệm của phương trình là Tiếp tục dò nghiệm nhỏ hơn 1 ta được.

 2

  y I

x 1    

1

 

1 0

 2

x 1 x 2

y 1 y 2

x 2

  

Ta có ngay 2 nghiệm

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

 Đáp số chính xác là D. Ví dụ 2 [Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

3  x mx



y

m  

12.

B.

 C.

16 0.m 

m 

12.

D. Không có m thỏa mãn. A.

Hướng dẫn

Trang 42 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

y



3  x mx



16

3

16  14m 

x mx + Với

 (1) có 3 nghiệm phân biệt. 0 sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5

14m 

+ Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình

3;x x là nghiệm ảo  không đủ 3 nghiệm thực

2

14

Ta thấy nghiệm không thỏa  A

m   sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5

sai. + Với

1m   không thỏa  Đáp số chính xác là B.

Ta thấy ra 3 nghiệm thực  Đáp án đúng có thể là B hoặc C. 1m   nữa thì thấy Thử thêm một giá trị

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

I. TÍNH ĐẠO HÀM

f

y



 



cot

x

  f x

1 cos . 3 3 sin

x x

4 3

  3 

  

Bài 1. Cho hàm số . Tính .

8 9

9  . 8

8  . 9

9 8

2



y





B. . C. D. A. .

f



3

f

  f x

x 2

cos  1 sin

x

 4

 4

  

  

  

Bài 2. Cho hàm số . Tính .

B. . D.

   C. 3.

8 3

8  . 3

1

x

A. 3 .

y



 2

x



1

2

x

x

1

2(



1)

x

Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số .

 2

3

x 2

3

  x 2

1 3

2 2 x 

1

(

x



1)

(

x



1)



1)

(

x

A. . B. . C. . D. .

y



cot 3

x



tan 2

x

1 2

Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số .

.









 1 2 sin

1 2 cos 2

x

1 2 cos 2

1 2 cos 2

x

x

x

 3 2 sin 3

x

x 2 cos 2

x

 3 2 sin 3 2

y



A. B. . C. . D. .

A. C.

 x 2 B.

x Bài 5. Cho hàm số 3 y y   .

1 0

 3 2 x sin 3 . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? y y   . D. 1 0

x 3 y y   .

1 0

32

3 y y   . 2

0

Trang 43 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

y 

cot

2

2

Bài 6. Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

x 2 B.

y

y   . ' 2

0

y

y

2 ' 1 0

  .

23 y

y   . ' 1 0

23 y

'

  1 0.

 y

2



x x

A. C. D.

tại điểm có phương trình:

 





x

y

y

.

.



.

y

y 



.

3 x 2

1;1M  3 1 x 2 2

x 2

3 2

1

A. B. C. D.

x   có phương trình:



y

1

Bài 8. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm với hoành độ II. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ  :C y Bài 7. Tiếp tuyến của đường cong  1 3 1 2 2 2 4 

x x   .

2

y

y

x   .

3

y

x  .

1

y

x  .

2

B. A. C. D.

y



III. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

xe 2 1 

x

  và nghịch biến trên khoảng (1;

).

; 1)  ;1). ).



f x ( )

Bài 9. Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?



;0).

).

đồng biến trên khoảng:

).

x

x



y

C. (1; D. (

)

) .

Bài 11. Cho hàm số .Mệnh đề nào sau đây đúng?

 . ;1)  và (1; ;1)  và (1; ;1)

)

2



y

A.Hàm số đồng biến trên khoảng ( B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; D. Hàm số đồng biến trên . Bài 10. Hàm số ln x x B. (0; A. (0;1). 2 2  x 1  A.Hàm số đồng biến trên (   . ; B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( D. Hàm số đồng biến trên khoảng (

2

1 1

  x   x . B. Hàm số nghịch biến trên



Bài 12. Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

x x A. Hàm số đồng biến trên C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).

. D.Hàm số đồng biến trên khoảng (

 ;1).

2

y



3  x mx



4

m



3

x



2017





1 3

đồng biến trên  ? Bài 13. Tìm m lớn nhất để hàm số

1m  .

2m  .

3m  .

3

C. Đáp án khác. A. B. D.

y



x



22 x



m



3

 x m





m 3

4

2

Bài 14. Hàm số luôn đống biến trên  thì giá trị m nhỏ nhất là:

m   .

0m  .

m   .

1m  .

y



A. B. C. D.

1  x cot  x m cot 1

;0)

(

;0)

(1;

(

)

(1;

)

(

)  ( ; . 4 2 m  B.

Bài 15. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số đồng biến trên khoảng

m     C.

m  D.

m  ;1)

2

y



ln(

x



4)



mx

2

A.

 đồng

Bài 16. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

Trang 44 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

.

biến trên

.

;

m

  

  

m

m



;

;

.

.

m

.

1 2

1 2

1 2

1 1 ; 2 2

  

   

  

  

   

  

3

B. A. C. D.

      IV. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 17 [đề minh họa thi THPT Quốc Gia]. Giá trị cực đại CDy của hàm số

y

 . 4

 . 1

x y  y D. CD

C. CD

y A. CD

3

y



9

x

 ? 3 x 2  0  . 1.    . Nếu hàm số đạt cực đại tại 1x và cực tiểu tại

2x thì

.



y B. CD 23   x x 4  có giá trị bằng:

 y x 1

Bài 18. Cho hàm số  y x 2

3

tích của A. 302 . C. 207 . D. 25.

y



x



 mx m

6

.

Bài 19. Hàm số có hai điểm cực trị khi m thỏa mãn điều kiện: B. 82 . 2  mx 3

2m  .

8m  .

0 8

0 2

 m   m

2

B. . C. A. 0 D. 0

 m   m  mx 2

y



m

3



 không có cực trị khi:

3

Bài 20. Hàm số

3m  .

A.

 B.

 3 x 0m  hoặc

3

2

2

D.



y



3

x

m

2



m



2

x



m 3



x

 đạt

4





3m  . 

 1

3m  . C. 1 3

0m  . 1 2

3x  hoặc

Bài 21. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

B.

5x  , ta được. C.

3m  .

1

D.

x   . Khi đó, hàm số đạt cực

1m  .   3

3 2 x mx mx

y

2m  . 3

 có một điểm cực trị

 trị tại điểm khác có hoành độ là:

cực trị tại 0m  . A. Bài 22. Biết hàm số

1 4

1 3

1  . 3

3

A. . B. . C. D. Đáp số khác.

y



ax



ax

2 1

 có điểm cực tiểu

x  khi điều kiện của a :

2 3

Bài 23. Hàm số

0a  .

0a  .

2a  .

2

0a  . 2

y



x

m



3 x m m

 . Giá trị





mx 3



3

, x x là hai điểm cực trị của hàm số 1

2



 1

A. B. C. D. 3 Bài 24. Gọi





 là:

7

2 x 1

2 x 2

x x 1 2

2

của m để

0m  .

m   .

m   .

m   .

1 2

9 2 4

2

A. B. C. D.

A

0; 3

 và có điểm cực tiểu

1; 5

y



ax



bx

 có điểm đại

c





 B   . Khi



Bài 25. Đồ thị hàm số

a b c lần lượt là:

,

,    . B. 2; 4; 3

đó giá trị của

  .

4

A. 3; 1; 5 C. 2;4; 3 .

2; 2

a b



23 x



ax b



.

Bài 26. Đồ thị hàm số .

y  x B. 14.

 có điểm cực tiểu C. 20 .

 . D. 2;4; 3   . Tìm tổng    A D. 34.

A. 14

V. GIỚI HẠN VÀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 27 [Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 năm 2017]

y



x 2 1 

x

Số tiệm cận của đồ thị hàm số là :

Trang 45 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

C. 3 B. 2 D. 4

x



1

A.1 Bài 28 [Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu –Nam Định lần 1 năm 2017]

y



2

x



4

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là :

22 x



y

C. 2 D. 1

không có tiệm cận đứng ? Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số B. 3 A. 4 Bài 29[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017]  x m  3  x m

0m 

1m  

1m 

0 1

 m   m

A. C. D. B.

2

x



1

y



Bài 30 [Thi thử THPT Quảng Xương –Thanh Hóa lần 1 năm 2017]

x 3 x

  x  x

Hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận ?

C. 3 B. 2 D. 4

A.1 Bài 31 [Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017]

y



2

có 3 đường tiệm cận Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số

x x m  C.

0m 

0m 

B. D.

0m  0m  A. Bài 32[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 năm 2017]

2

y

 

x m x

  có đường tiệm

1

x

1m  

0m 

0m 

1m  

C. B. D.

y



Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số cận ngang A. Bài 33 [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]

2 1  m x  x 1

có đường thẳng Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2  m  

  m   1; 2

2; 2

 m  

1;1

C. B. D.

y   là một tiệm cận ngang. 1; 2  A. m  Bài 34 [Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017]

2

2

x





1

y



mx  1

x

có đúng 2 tiệm cận Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số



3

ngang.

0m 

0m 

0m 

0 m     m 3

A. B. C. D.

2

x

4





x

VI. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Bài 35. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là:

2

B.

  f x D. 0 và 2 .

A. 0 và 2 . và 2 . C. 2 và 2 .

y



x



 0;  bằng:

1 x

Bài 36. Cho hàm số . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 

3

2



2

x



3

x

 trên

1

B. 0. C. 2. D. 1. A. 2 .

  f x

Bài 37. Gọi m là giá trị nhỏ nhất và M là giá trị lớn nhất của hàm số

Trang 46 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

  2;

1 2

  

đoạn . Khi đó giá trị của M m bằng:

   A. 5 .

2

D. 5 . B. 1 . C. 4 .



x



4

x

 trên

5

  f x

Bài 38. Trong các số dưới đây, đâu là số ghi giá trị nhỏ nhất của hàm số

6;6

?

2

đoạn  A. 0 . B. 9 . C. 55 . D. 110 .

x 

y



x

 với



3;5

2 x

Bài 39. Tập giá trị của hàm số là:

.

38 526 ; 15 3

38 142 ; 5 3

29 127 ; 5 3

29 526 ; 15 3

  

  

  

  

  

  

  

A. . B. . C. D. .

T



x 

x

  f x

   2; 4 



; a b

9   với x

Bài 40. Gọi là tập giá trị của hàm số . Khi đó b a ?

13 2

25 4

1 2

2



A. 6 . B. . C. . D. .

  f x

0;3 bằng

 x m  x 8

Bài 41. Giá trị lớn nhất của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên 

2 ? A.

5m  .

4m  .

m   .

1m  .

B. C. D.

4 Bài 42. [Đề minh họa thi THPT Quốc Gia].Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không cạnh bằng

cmx 

nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

6x  .

3x  .

2x  .

A. B. C. 4x  . D.

y

  2

x

 cắt đồ thị hàm

2

3

VII. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ Bài 43 [Đề minh họa thi THPT Quốc Gia]. Biết rằng đường thẳng

y

x

x

2





0y ?

0

1

số là toạ độ của điểm đó.Tìm

  tại điểm duy nhất; ký hiệu  2 y  . 4 0

;x y 0 y  . 0

y  . 0 0

3

A. C. B. D.

y   . 0 cắt đường cong

y



x



23 x

tại ba điểm Bài 44. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y m

.

phân biệt?

0.m   B.

0.m 

m   4.

m   4    m 0

3

2

 1 2

m

A. 4 C. D.

x

2

3

x

 

2 2

0

 . Với giá trị nào của m thì phương trình đã

Bài 45. Cho phương trình

 . B.

m

m



4

1

0

m

 . D.

  1

m

1 3

1 2

3  . 4

3

A. . C.

 cho có ba nghiệm phân biệt. 3 2 

x

m

3

23 x

1 0

  . Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho

 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 ?

Bài 46. Cho phương trình

Trang 47 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

m

 . B.

3

1

m

2

m

  2

m

7  . 3

4  . 3

1 3

3

2

A. C. D.

5  . 3 

x

2

3

x



2

m

1

 . Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có

Bài 47. Cho phương trình

đúng hai nghiệm phân biệt:

1m   .

m   .

1 m   hoặc 2

1 m   hoặc 2

5 2

A. B.

1m  hoặc

m  .

m   .

1 m  hoặc 2

5 2

2

C. D.

5 2 Bài 48. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

y



3  x mx

 cắt trục hoành tại ba điểm

4

3.m 

3

phân biệt? 0.m  A. C. B.

3.m  Bài 49. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

0.m  2 2

y



x



 có đúng hai điểm chung với

D. mx 3

m 

.

trục hoành?

m 

3 2.

m 

3.

m 

.

1 6

3

A. B. C. D.

:

  cắt đồ thị hàm số

1

y

 

x



3

x

 tại ba

1

  d y m x

1 3 2  1

Bài 50. Tìm m để đường thẳng

A

B C , .

1;1 , 

điểm phân biệt

0.m 

0m  hoặc

m 

.

0

m

.

m 

9 4

9  . 4

3

A. B. C. D.

:

 tại ba điểm

y



x



23 x

 cắt đường thẳng

2

9 4   d y m x

 1





2x ,

2 x 2

2 3x thỏa mãn x 1 m   2.

 . 5 m   2.

Bài 51. Tìm m để đồ thị hàm số

m   3. B. Bài 52. Đồ thị hàm số



22 x

phân biệt có hoành độ là 1x , m   3. A. 4 y   x B. 2. A. 0.

2 x 3 D. C. có bao nhiêu điểm chung với trục hoành ? C. 3.

2

4

x

  có bốn nghiệm phân biệt?

1

k



x

 1

Bài 53. Với điều kiện nào của k thì phương trình

1k  .

D. 4.  2 D. 0 A. 0

   . k m

1 0



22 x



 . Với giá trị nào của m thì phương trình đã

m 

m 

2016

m 

2018

C. 1  2017

k  . 3 k  . B. 2 4 Bài 54. Cho phương trình x cho có đúng ba nghiệm ? A.

m  và đường cong y

. B. . C.

. 

2015 Bài 55. Đường thẳng y m m   hoặc m   . 4 3 3m    .

A. C. 4

2017 D. . 22 4  có hai điểm chung khi:  x x 3 m   . 4m   hoặc D.

3 m   .

4

2

B.

4 y

 

x





  4

m

 2 2

 m x

Bài 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

không cắt trục hoành? B. 2. A. 1. C. 3. D. 4.

d y :



2

 mx m

 cắt đồ thị hàm

1

Bài 57. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

y



 

2 1

x 2 x 2 1.m 

số tại hai điểm phân biệt.

0.m 

1.m 

0.m 

A. B. C. D.

Trang 48 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

y



x m   x 1

y

x 2

1

 tại hai điểm phân biệt.

cắt đường thẳng Bài 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

m   C. 1.

m   1.

m  

.

m

  1.

3 2

y

 

x m 2

A. D. B.

cắt đồ thị hàm số

3   2 Bài 59. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

y



x x

 

3 1

tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

1m  . B.

1

m



0

m

5

3 2

1  3

m   2    m

A. 0 C. . D. .

VẤN ĐỀ 2. ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀO BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM

2

3

1 0

ln(

1)





x

x

LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

2.1 PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức cơ bản + Sử dụng chức năngrtính giá trị để thử nghiệm của phương trình. + Sử dụng chức năng dò nghiệm (SOLVE) của phương trình qr. + Sử dụng chức năng giải phương trình bậc hai w53, bậc 3 của phương trình w54. + Sử dụng chức năng bảng giá trị w7 Ví dụ 1 [Câu 35 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 3]. Hỏi phương trình   có bao nhiêu nghiệm phân biệt?  x 6 3 A. 2. D. 4. B. 1.

y



f x ( )

a b và ]

C. 3. Hướng dẫn

( ) 0

liên tục trên [ ;

f x  có ít nhất một nghiệm thuộc ( , ). ( ) 0

a b ”

Cách 1. Dùng chức năng bảng giá trị. Ý tưởng của phương pháp: “ Nếu phương trình hàm số f a f b  thì phương trình ( )

0.5 18

Ở bài toán này ta có thể nhập trên máy casio hàm F(X) start -1 end -0.5 step theo các thao

tác w73Q)dp6Q)+3hQ)+1)+1==z1 =z0.5=0.5P18= Ta thu được kết quả

Trang 49 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

 

và giá trị của F(X) tăng khi

Như vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm trong khoảng ( 1; 0.9) x chạy từ -0.972 đến -0.694, giá trị của F(X) giảm khi x chạy từ -0.666 đến -0.5. Tiếp tục

2,5 18

( ) 0

f x  có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-0.361 ;-0.222) và 1

quy trình đó start -0.5 end 2 step ,ta thu được bảng

Ta thấy phương trình nghiệm thuộc khoảng (0.888;1.02), và khi x tăng giá trị F(x) tăng. Vậy ta có thể khẳng định phương trình có 3 nghiệm. Cách 2. Dùng chức năng SOLVE – chức năng dò nghiệm của phương trình. Khi dò được nghiệm ta lưu và A (qJz) rồi quay lại về mãn hình sửa lại thành F(X): (X-A) rồi ấn SOLVE thì mãy tính sẽ không tìm được nghiệm A. Quy trình tiếp tục cho đến khi hết nghiệm. Ta thực hiện các thao tác sau:

3Q)dp6Q)+ Q)+1)+1=q rz0.8=

Ta thu được nghiệm và lưu vào A

Ta quay trở về phương trình trước và sửa lại thành

Dùng chức năng SOLVE tiếp ta được nghiệm

Quy trình lặp lại ta tìm được nghiệm nữa là

Trang 50 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

2

 là 0

1 1)

 

ln((

x

x

6)   x  C. { 1;3}.

  D. { 2; 1;3}.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. Lưu ý:Điểm mạnh của cách 1 là kết quả ra nhanh hơn cách 2 nhưng nhược điểm là không tường minh về nghiệm bằng cách 2 và đòi hỏi người thực hiện phải biết tính đơn điệu của hàm số để đọc bảng giá trị. Ví dụ 2. Tập nghiệm của phương trình   A. { 2; 1}. B. { 1}.

Hướng dẫn Bài toán này ta chỉ cần nhập vế trái của phương trình

X   màn hình máy tính hiện ra

2

x

x

8)



1

x

và sử dụng chức năng CALC kiểm tra + CALC

log (3.2 4

ta hiểu biểu thức không xác định tại đó, từ đó đáp án A, D loại. +CALC X=3 ta thấy thỏa mãn vậy đáp án của bài toán là C.   có hai nghiệm 1 Ví dụ 3. Phương trình

x 2,x x . Tổng của 1

2. D. 6.

A. 3. B. 4.

C. 5. Hướng dẫn

x

x 2,

3

 , nên

Chuyển hết về một vế và nhập trên máy tính i4$3O2^Q) $p8$pQ)+1

2

Dùng chứng năng SOLVE (qr )ta tìm được nghiệm của phương trình đáp án của bài toán là C.

x



4

x

 

3 (

x



1) 8

x

  5

6

x

2

 có hai nghiệm 1

2,x x . Tính tổng

x

Ví dụ 4. Phương trình

2.

D. 6.

B. 3.

x 1 C. 5. A. 4. Hướng dẫn Ở bài toán này ta dùng chức năng SOLVE (qr) để dò nghiệm, và lưu nghiệmqJ.

2

4





X

X

X

3 (

 

1) 8

  5

X

X

2

6

 ấn =, SOLVE 4 

+ Nhập biểu thức máy tính Casio cho nghiệm vô tỉ :4.236067977 lưu vào A bằng thao tác lệnh: Shift+ Sto A. + Trở lại phương trình ta ấn SOLVE -2 ta tìm được nghiệm vô tỉ: -0,236067977 lưu vào B bằng thao tác: Shift+ STO B. +Tính tổng A+B bằng lệnh: AlphaA+ AlphaB = 4.

Trang 51 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

x

n si

x



cos

3

x



os c

x

x





x





 k

x





k

x





có nghiệm là Vậy đáp án của bài toán là A.  Ví dụ 5. Phương trình sin 3

 2 .

.

 k .

 8  k



 k .  k



 k

    x

 2    k 2 8

     x 

 2  4

     x 

 2  4

     x 

A. B. C. D.

Hướng dẫn

Bài toán này ta chỉ cần nhập vế trái của phương trình và sử dụng chức năng CALC kiểm tra

+ CALC X= máy tính cho kết quả 0.

 8  2

2

2

x



2

x

 1

x



2

x

 1

2



3



2



3



+CALC X= máy tính cho kết quả 0.

(1) là + Vậy đáp án của bài toán là B. Ví dụ 6. Số nghiệm của phương trình 







4 

2

A. 0. B. 2.

3 D. 5.

2

2

 1

x

x

x



2



2

x

 1





3

2

2



3





0

C. 3.

vào máy tính Casio, Hướng dẫn   + Nhập vế trái phương trình 



4 

2

3

nhấn nút = để lưu phương trình lại và dò nghiệm thứ nhất.

1x  rồi dò nghiệm thứ hai.

+ Khử nghiệm

x



1;

x A

Lưu biến thứ hai này vào A

 rồi dò nghiệm thứ ba. Lưu nghiệm này vào B

x



1;

x A x B ;



+ Khử nghiệm

 rồi dò nghiệm thứ tư.

+ Khử nghiệm

Trang 52 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

sin

  x 4 

   

e

tan

x

Hết nghiệm  Phương trình (1) có 3 nghiệm  Chọn đáp án C. Ví dụ 7 [Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017]. Số nghiệm của phương trình

trên đoạn  A. 1.

 0; 2 là B. 2.

C. 3. D. 4.

Hướng dẫn

 9

với quy Để giải quyết bài toán này ta sử dụng chức năng bảng giá trị Start 0 End 2 Step

trình ấn máy như sau w7qhjQ)paqKR4$)$plQ))==0 =2qK=qKP9= Ta thu được kết quả

 0.6981;1.0471

Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 

 1.3962; 1.7453

Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 

 3.8397; 4.1887

Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 

 4.5378; 4.8869

 ( ) 0, f x

 ( ) 0, f x

Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 

f x  hoặc ( ) 0

 ( ) 0. f x

;a b thì bất phương trình đúng với

Vậy đáp án của bài toán là D. Bình luận: Ở ví dụ này chúng ta thấy nếu làm bằng tự luận thì đây là một bài tập khó với nhiều học sinh. Nhưng khi sử dụng máy tính cầm tay thì việc lựa chọn đáp án đúng của bài toán sẽ rất nhanh. 2.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1) PHƯƠNG PHÁP 1 rcủa CASIO Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng:

Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . Chú ý : Nếu bất phương trình có tập nghiệm là khoảng  ;a b mọi giá trị thuộc khoảng 

Trang 53 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

a b ,

,

,c d là đáp án chính



;a b và 

,c d cùng thỏa mãn mà 

 c d







 ( ) 0, f x

 ( ) 0, f x

thì 

f x  hoặc ( ) 0

 ( ) 0. f x

*Chú ý: Nếu khoảng  xác. 2. PHƯƠNG PHÁP 2: LẬP BẢNG GIÁ TRỊ MODE 7 Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng

log



0

log

Bước 2: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . *Chú ý: Cần làm nhiều bài toán tự luyện để từ đó rút ra kinh nghiệm thiết lập Start End Step hợp lý

3

x  1 2  1 x

  

  

1 2

 

4;





; 2

4;

Ví dụ 1 [Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ]. Bất phương trình có tập

 ; 2 .

  .

 2;1

  1; 4 .

       .





nghiệm là A. B. C. D.

Hướng dẫn

X   

Cách 1 : Dùng chức năng rcủa CASIO + Nhập vế trái vào máy tính Casio ia1R2$$i3$a 2Q)+1RQ)p1

ta được 2 0.1

510

X   rp10^5)=

+ Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A. CALC với giá trị cận trên rp2p0.1=



Đây là 1 giá trị dương vậy cận trên thỏa mãn. CALC với giá trị cận dưới

nên ta phải thiết lập miền giá trị của X sao cho X

Đây là 1 giá trị dương vậy cận dưới thỏa mãn.Tới đây ta kết luận đáp án A đúng +Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B thì ta thấy B cũng đúng, A đúng B đúng vậy A  B là đúng nhất và D là đáp án chính xác. Cách 2 : Dùng chức năng bảng giá trị của CASIO + Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio w7ia1R2$$i3 $a2Q)+1RQ)p 1 + Quan sát các cận của đáp số là 2; 4;1 chạy qua các giá trị này . Ta thiết lập Start 4 End 5 Step 0.5

Trang 54 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

4;  làm cho dấu của vế trái

   và   ; 2



==p4=5=0.5=

4

Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng  dương  Đáp số chính xác là D. Bình luận : + Ngay ví dụ 1 đã cho chúng ta thấy sức mạnh của Casio đối với dạng bài bất phương trình. Nếu tự luận làm nhanh mất 2 phút thì làm Casio chỉ mất 30 giây.

1

 x   x

.

+ Trong tự luận nhiều bạn thường hay sai lầm ở chỗ là làm ra đáp số là dừng lại mà

1  x    x 2 

quên mất việc phải kết hợp điều kiện

2 4 

x

2

2

+ Cách Casio thì các bạn chú ý đáp án A đúng, đáp án B đúng thì đáp án hợp của chúng là đáp án D mới là đáp án chính xác của bài toán.

x    

; 2

x    

; 2

Ví dụ 2 [Chuyên Thái Bình 2017 ]. Giải bất phương trình







  .



  .

log 5; 2

log 5; 2

 x 5 

x

log

5 2

A. B. . 

 x  

    . 2;





   ;



    . 2;



;log 5 2 2

2

C. D.

Hướng dẫn

2 4 

x

2

2

 x 5



0.

Cách 1: Dùng chức năng r

+ Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu + Nhập vế trái vào máy tính Casio

2^Q)dp4$p5^Q)p2

2

+ Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B và D.

X   ta được ( rp2=)

510

X   rp10^5)=

CALC với giá trị cận trên

510

X  

10

CALC với giá trị cận dưới

Số là số quá nhỏ để máy tính Casio làm việc được vậy ta chọn lại cận dưới

!rp10=

Trang 55 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

; 2





    nhận.



; log 5 2 2

X 

ở đáp án D xem có đúng không, nếu sai

 log 5 2 2

Đây cũng là một giá trị dương vậy đáp án nửa khoảng  + Đi kiểm tra xem khoảng tương ứng  thì chỉ có B là đúng. CALC với giá trị cận dưới

 



 



rh5)Ph2)=





;log 5 2 2

;log 5 2 2

   Vậy đáp án D là đáp án đúng nhất.

 ; 2 .

nhận, vì nửa khoảng 

x



2

2 4 

x





5

2

0

 .Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio

Đây cũng là giá trị dương vậy nửa khoảng  chứa nửa khoảng  Cách 2: Dùng chức năng bảng giá trị CASIO



2; 2; log 5 2.32; log 5 2 0.32



+ Bất phương trình w72^Q)dp4$p5^Q)p2

2

2 giá trị của X sao cho X chạy qua các giá trị này . Ta thiết lập Start 3 End 3 Step 1: 3 ==p3=3=1P3=

 

2;   làm cho dấu của

  + Quan sát các cận của đáp số là nên ta phải thiết lập miền

  ;0.32 log 5

2

 và 

x

x

x

2.2





S 

2;

S 

S R .

Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng  vế trái dương  Đáp số chính xác là D. Bình luận: Đối với bài toán này có thể dùng Casio không nhanh hơn cách giải tự luận nhưng ưu điểm có thể hạn chế sai sót đối với các bạn học sinh có kĩ năng hạn chế. Các em tham khảo và rút cho mình kinh nghiệm khi nào thì làm tự luận khi nào thì làm theo cách Casio. Ví dụ 3 [Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017 ]. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

A.

  . 1 0 B.

3.3 

6    .



0; 2 .

 S   

;2 .

C. D.

Hướng dẫn

Cách 1: Dùng chức năng r + Nhập vế trái vào máy tính Casio

Trang 56 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

X 

10

2O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$+1

ta được

X  

2 0.1

+ Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A CALC với giá trị cận trên r10=

X  

0 0.1

Đây là 1 giá trị âm vậy đáp án A loại dẫn đến C sai. + Tương tự như vậy ta kiểm tra tính đúng sai của đáp án B CALC với giá trị cận trên theo thao tác r2p0.1= ta được

X  

2

CALC với giá trị cận dứoi r0+0.1=

Cả 2 giá trị này đều dương vậy đáp án B đúng. + Vì D chứa B nên để xem đáp án nào đúng nhất thì ta chọn 1 giá trị thuộc D mà không B CALC với giá trị theo thao tác rp2=

X

X

0; 2

5

4

1

Giá trị này cũng nhận vậy D là đáp án chính xác. Cách 2 : Dùng chức năng bảng giá trị w7 Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio w72O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$+ 1

trị này nên ta phải thiết lập miền giá trị của Step lập Start End sao cho theo , thiết thao chạy tác

Quan sát các cận của đáp số là . Ta qua các giá ==p4=5=1=

Trang 57 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

 



; 2

Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng khoảng làm cho dấu của vế trái dương



Đáp số chính xác là D.

x

x

0





2 2

 có tích các nghiệm là :



  2 1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

  2 1 B. 1

22 x

2



7

17

, 2

, 2

D. 2 C.1  1  x 4  x 1 8

4

5 2

 5  2 

  

  

log

x 

2

A. Vô nghiệm D. C. B.

2 1

2

2

2

là









3

3

2

5

2

x

x

x

x

x



3

 C. 0  1 1.

  D. Một số khác  Khẳng định nào sau đây đúng?

x

2

2

 ? 3

1

I. Phương trình Bài 1. Phương trình  A. 0 Bài 2. Tập nghiệm của phương trình    Bài 3 [Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017]Số nghiệm của phương trình A. 2 B.1 x Bài 4. Cho phương trình 3 A. Có ba nghiệm thực phân biệt C. Có hai nghiệm thực phân biệt 2 3  B. Vô nghiệm D. Có bốn nghiệm thực phân biệt

C. Vô số B. 2

1 x  D. Không có nghiệm

2 log

x





x



log

x



2

x



2

Bài 5 [THPT HN Amsterdam 2017]. Tìm số nghiệm của phương trình A. Bài 6 [Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017].Tìm số nghiệm của phương trình

2

2







1 2

 log 1 1 3

1

3

.

2

C. D. B.

m

2

x

2 2 

x

4

2



  6

A. 0 Bài 7 [Thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2017]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để

m B.

3m

3m





2

 3m

 2m

C. D. có 3 nghiệm phân biệt? 2

2

2

x

x

  1 1 25



m





2

m

 

1 0

phương trình A. Bài 8 [Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017]. Số nguyên dương lớn nhất



   1 1 2 5

để phương trình có nghiệm?

30

20

35

C. D. B.

x

xm .36

x 2.81

5.16





để phương m

2

m

m

A. 25 Bài 9 [Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017]. Tập giá trị của tham số trình có đúng 1 nghiệm?

 0m

2

log

log

log

m







x

x

B. A. C. Với mọi D. Không tồn tại

vô nghiệm khi :

   m    m Bài 10 [Thi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm - HN năm 2017].  Phương trình 2

3

3

3

 B.

1m

1m 



0

 1m

 0m

x

x

m

m 2





9

0

3

C. D.

A. Bài 11 [Thi HK1 THPT Chu Văn An -HN năm 2017]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số có hai nghiệm trái dấu để phương trình

Trang 58 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh



m

m

0;

 0m

0

 8m

81 4

   

  

ln



2

3

0

x

x



 3;  

3;  

2;3

1; 2

2;3

A. B. C. D. Không tồn tại

có tập nghiệm là : 

  x   B.

 1  1; 2

1    C.

 

 





    ;1





D.

y



log

x

II. Bất phương trình Bài 12 [Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017 ]. Bất phương trình    A.    ;1 Bài 13 [THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2017 ].

  là : 1



 1

1 2

1;

;

Tập xác định của hàm số

 1;  

 1;  

3 2

3 2

  

 

    

  

2

log

x

  x

6

B. D. C. A.

 1

x

 1





x 

5

x

5,

x

x 1;

Bài 14 [Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ]. Nghiệm của bất phương trình

1x 

 2

 2

2

1

x 2 .3

x   x  có bao nhiêu nghiệm

1

là : A. B. C. D.1

B. Vô số C. 0 D. 2

Bài 15 [THPT HN Amsterdam 2017] Bất phương trình nguyên? A.

1002 và 20172 và

703 . 9995 .

70

100 2

3

VẤN ĐỀ 3. HÀM SỐ LŨY THỪA- HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

3.1 TÌM SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT LŨY THỪA. Hai bài toán mở đầu Bài toán 1 : So sánh 2 lũy thừa Bài toán 2 : So sánh 2 lũy thừa Đối với bài số 1 không thể đưa về cùng cơ số 2 hay 3 vì vậy tôi dùng sự trợ giúp của máy tính Casio, chúng ta sẽ thiết lập hiệu

70

100 2

3

2017

999

2

5

2^100$p3^70 $=

vào máy

Vậy Bây giờ chúng thử bài toán 2 tương tự như bài toán 1 bằng cách nhập hiệu tính Casio

2^2017$p5^999

Và tôi bấm nút =

Trang 59 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

A

1n 

n

B

có

9995

21072

có

và

20172

Các bạn thấy máy tính không tính được. Tại sao lại vây? Đối với casio thì số có giá trị quá lớn mà máy tính Casio không tính được thì chúng ta phải sử chữ số thì luôn dụng một thủ thuật dựa trên một nguyên tắc so sánh như sau: Nếu số chữ số . Ví dụ như số 1000 có 4 chữ số sẽ luôn lớn hơn số 999 có 3 chữ số. lớn hơn số Vậy chúng ta sẽ xem thì lũy thừa nào có số chữ số nhiều hơn là xong. Để làm được việc này ta sẽ sử dụng máy tính Casio nhưng với thuật lệnh, các bạn quan sát. Đầu tiên là với

Q+2017g2))+1=

20172 Vậy ta biết Tiếp theo là với

có 608 chữ số. 9995

999

2017

9995 có 699 chữ số. hay 2 

Q+999g5))+1=

110 có 2 chữ số,

210 có 3 chữ số … 10k sẽ có A 

1k  chữ số 10k

.

log

A



k

. Để tìm k ta sẽ logarit cơ

k  

1 [log A]+1 (1)

Vậy Rõ ràng 608 699 5 Bình luận nguyên tắc hình thành lệnh tính nhanh Casio + Ta thấy quy luật +Vậy muốn biết 1 lũy thừa A có bao nhiêu chữ số ta sẽ đặt . số 10 cả 2 vế khi đó

2017

2016

Do đó số chữ số sẽ là

+ Lệnh Int (Q+) dùng để lấy phần nguyên của 1 số. Ví dụ 1 [Thi thử THPT Quốc Gia – Quốc học Huế -Lần 2]. Trong hệ thập phân, số có tất cả bao nhiêu chữ số? A. 6666 D. 2017 B. 6665

2017

2016

C. 2018 Hướng dẫn

là 6666 với quy trình

Áp dụng công thức 1 ta có số các chữ số trong hệ thập phân của bấm máy Q+2017g2016 ))+1=

Vậy đáp án đúng của bài toán là đáp án A.

Trang 60 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

n

22



1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fecmat

13F

nF 

1243

1234

2452

2467

là một số nghuyên tố với n là số dương không âm. Hãy tìm số chữ số của



C

1642 3

 M C

1641 3

C



2

1640 3 2 3

  ...

C

1642 2

A. B. C. D.

1 1642

3 1642

1642 1642

610

608

611

Bài 2. Cho tổng Khi viết M dưới dạng 1 số

C. B. D.

0 1642 trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số: 609 A. Bài 3. So sánh nào sau đây là đúng

2003

2500

600

445

693

523

445

523

11

9

25

31

29

29

23

31

, ba

D. C. B.

12 2016 a b

a b 

10

,a b

A. Bài 4[Thi thử THPT Ngọc Hồi - Hà Nội lần 1 năm 2017]. Cho là hai số tự nhiên lớn

và là một số tự nhiên có 973 chữ số. Cặp thỏa mãn bài



6; 4



8;2



7;3

,A B C

,

A. B. C. D. hơn 1 thỏa mãn toán là : 5;5 

3

3.2. TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT. PHƯƠNG PHÁP -Bước 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện ràng buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến -Bước 2: Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào nếu các giá trị tính được lẻ

a . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3

a

P 

.

-Bước 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác Bất phương trình Ví dụ 1 [Câu 13 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 3]. Cho a là số thực dương, a 1 và log

P  3.

P  1.

P  9.

1 3

3

A. B. C. D.

a ta sẽ tìm

log

3

a

Hướng dẫn Ở bài toán này ta thấy các đáp án thì giá trị của P là hằng số không phụ thuộc vào giá trị của a nên chỉ cần chọn a một giá trị cụ thể thỏa mãn yêu cầu bài toán thay vào

a  , ta thực hiện thao tác lệnh và thu được kết quả

2

được ngay kết quả của bài toán. Chọn

iqs2$$2^3=

Vậy đáp án đúng của bài toán là đáp án C.

Trang 61 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

,a b là các số thực dương thỏa

Ví dụ 2 [Câu 33 đề minh họathi THPT Quốc Gia lần 3]. Cho

3

a



1,

a



b

P



log

.

a b 

b a

b a

P   

5 3 3.

P   

1

3.

3.

P   

5 3 3.

1

mãn . Tính và log

A. B. D.

P    C. Hướng dẫn

3

Ý tưởng bài toán này dùng MTCT ta có thể làm như sau:

a  thay vào

2

log

  

b

3

2

a b

Cho . Thay vào biểu thức P , thực hiện trên may tính

cầm tay như sau

a



b



ias2^s3R2$ $sa2^s3R2=

log 3, 2

log 3. 5

Hãy

log 45 theo a và b

2

2

a

ab

2

a

ab

ab

2



.



.



.



.

Từ đây ta chọn được ngay đáp án đúng là đáp án C. Ví dụ 3 [Câu 19 đề minh họa thi THPT Quốc gia 2017 lần 1]. Đặt biểu diễn

log 45 6

log 45 6

log 45 6

log 45 6

 2 ab

2  a  ab b

6  2 ab

2  ab a  ab b

A. B. C. D.

a 

Hướng dẫn

log 3 2

Tính giá trị của , vì giá trị của a ra một số thập phân vô hạn không tuần hoàn vậy ta

B

b 

lưu a vào A theo các thao tác i2$3$=qJz

log 3 5

Tính giá trị của và lưu vào

ab

a



i5$3=qJx

log 45 6

 2 ab

Bắt đầu ta kiểm tra tính đúng sai của đáp án A. Nếu đáp án A đúng thì hiệu

phải bằng 0. Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio và bấm nút = i6$45$paQz+2QzQxRQzQx=



Kết quả hiển thị của máy tính Casio là 1 giá trị khác 0 vậy đáp án A sai

log 45 6

 ab a 2  ab b

Tương tự như vậy ta kiểm tra lần lượt từng đáp án và ta thấy hiệu bằng 0

Trang 62 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh



i6$45$paQz+2QzQxRQzQx+Q x=

log 45 6

 ab a 2  ab b

Vậy hay đáp số C là đúng.

Bình luận: Cách Casio có vẻ nhiều thao tác nhưng dễ thực hiện và độ chính xác 100%, làm tự luận mà biến đổi sai 1 lần thôi rồi làm lại thì thời gian còn tốn hơn cả làm theo Casio.

x



x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN







2

 log log 2

8

 log log 8

2

log x 2

3 3

3

27

Bài 1 [Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017]. Cho , tính .





A. B. C. D.

1 3 b thì :

log 6 12

a ,log 7 12









Bài 2 [Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017]. Nếu

log 7 2

log 7 2

log 7 2

log 7 2

a 

1

b

b 

1

a

b 

1

a

a 

1

b

 3 1

2



3

0a 

A. B. C. D.

 2 2

 2 2

a

a 

a . 

4a

5a

3a

a

Bài 3 [Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017]. Rút gọn biểu thức (với ) được kết quả

5

3

4

x

0

: A. B. C. D.

 x x 



Bài 4 [THPT HN Amsterdam 2017]. Biến đổi thành dạng lũy thừa với số mũ

21 12x

20 5x

hữu tỉ, ta được :

12 5x log

x



4log

a



7log

b

x

A. B. C.

3

3

3

x

3 7 a b

x



4 7 a b

x



4 6 a b

x

3 6 a b

Bài 5 [Thi thử Chuyên Sư Phạm lần 1 năm 2017]. Tìm D. biết :

.ln

x

A. B. C.

y



e 2016.

y ' 3 ln 2





0

y

y

h ' 8 ln 2



0

y

y ' 8 ln 2



0

D. 1 8 . Khẳng định nào sau đây

 1

2

1 2

1 2

x



0,

y



0

x



K





y

 1 2

Bài 6 [THPT Kim Liên – HN 2017]. Cho hàm số đúng ? A. y y ' 2 ln 2 0 C. B. D.

y x

y x

  

      

   

1x 

1x 

x

Bài 7 [THPT Nguyễn Trãi – HN 2017]. Cho với .

2

2

là ? C.

a b ,

0;

a





ab

log

a



log

b

log



log

a



log

b

log



 b D. 1598 Biểu thức rút gọn của K B. A. 2x Bài 8 [THPT Phạm Hồng Thái – HN 2017].Cho Mệnh đề đúng là ;





log



log

a



log

b

log



a



log

b

B. A.





 2 log



 a b 40  a b 40

1 2 1 4

 a b 40  a b 40

C. D.

Trang 63 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

a



0,

b



0,

c



0

a

b

c

4



6



9

T

Bài 9[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]. Cho các số thỏa mãn

b   a

b c

1

2

. Tính giá trị biểu thức

3 2

5 2

,a b với 1 a b

  .

1 log

 

log

a .

a .



b

b

A. B. C. D.

a

a



log

b

a  

b 1 log

a

b .

3.3 XÉT TÍNH ĐÚNG SAI MỆNH ĐỀ MŨ VÀ LOGARIT Phương pháp Bài toán xét tính đúng sai của mệnh đề mũ – logarit là một dạng tổng hợp khó với nhiều em học sinh. Vì để làm được bài này học sinh phải vận dụng một cách tổng hợp và khéo léo các các kiến thức mà học. Đối với dạng toán này thì nếu kết hợp đặc biệt hóa bài toán và CASIO chúng ta có thể thực hiện nhanh và chuẩn xác dạng toán này. Luyện tập các ví dụ dưới đây để lấy tích lũy kinh nghiệm xử lý. Ví dụ 1 [Câu 20 đề minh họa thi THPT Quốc gia lần 1]. Cho 2 số thực Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. log B.1 log 

b  1.

b

a

a

  1 a b

a 

1.15

b 

2.05

,a b

,a b

C. log

Chọn giá trị thỏa mãn điều kiện . Ta chọn và D. log b Hướng dẫn thực và

loga b

Tính giá trị số hạng

iQz$Qxr1.15=2.05=

logb a

Tính giá trị của số hạng

log

a

 

1 log

b



iQx$Qzr2.05=1.15=

b

a

,a b với

Rõ ràng Đáp số chính xác là D.

log

ab



log

b .

2

log

ab

 

2 2 log

b .

2

Ví dụ 2 [Câu 17 đề minh họa thi THPT Quốc Gia 2017 lần 1]. Cho các số thực 1a  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?









a

a

a

a

log

ab



log

b .

log

ab

log

b .

2

2

A. B.









a

a

a

a

1 2 1 4

1   2

1 2

C. D.

Hướng dẫn

Trang 64 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

log

ab



log

b



0

2





a

a

1a 

0.73

1.15

B 

1 2 A 

,a b

,a b

Ý tưởng phương pháp: nếu đáp án A đúng thì phương trình (1) với mọi

thỏa mãn điều kiện . Ta chọn bất kì thực và

và CALC

giá trị của chẳng hạn. Nhập vế trái của (1) vào máy tính Casio rồi dùng lệnh tính giá trị iQzd$QzQx$pa1R2$iQz$Qxr 1.15=0.73=

log

ab

 

2 2 log

b



0

2

Máy tính báo kết quả là một số khác 0 vậy vế trái của (1) khác 0 hay đáp án A sai.





a

a

0.73

1.15

B 

A 

Tương tự ta thiết lập phương trình cho đáp án B là

cho vế trái của (2) và

Sử dụng chức năng CALC gán giá trị iQzd$QzQx$p2p2iQz$Qxr1. 15=0.73=

Tiếp tục ra một số khác 0 vậy đáp án B cũng sai Tiếp tục phép thử này và ta sẽ tìm được đáp án D là đáp án chính xác iQzd$QzQx$pa1R2$pa1R2$i Qz$Qxr1.15=0.73=



1

a

a

a

log

log



x



y



BÀI TẬP TỰ LUYỆN a 0; ;x y và là 2 số dương. Khẳng định nào





a

a

log log

x y

log log

x y

a

a

log

x



y



log

x



log

y

log



log

x



log

y

A. B. Bài 1 [Sở GD-ĐT Nam Định 2017]. Cho sau đây là khẳng định đúng ? x y





a

a

a

a

a

a

x y

1a 

,a b c ,

C. D.

 b c

log

log

log

log

log









b

b

c

c

log

 b c

và . Khẳng định nào đúng ?



a

a

a

a

a

log

b



log

c



log

bc

log

b



log

c



log

A. B. Bài 2 [HSG tỉnh Ninh Bình 2017].Cho các số dương 





a

a

a

a

a

a

b c

  

  

1a 

,a b

C. D.

log



log

b

log





b

Bài 3. Cho 2 số thực dương với . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

3

3

 1 2 log



a

a

a

a

1 3

1 2

1 3

a b

a b

  1 

  

  

  

  

  

A. B.

Trang 65 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

log



log

b

log



log

b

3

3

a

a

a

a

1 3

1 2

1 2

a b

a b

  1 

  

 3 1  

  

  

  

  

  

4 5

log



log

3 4a

a

C. D.

b

b

2 3   1 a b

0

1

   a b

   b a

   1a

b

0

0

1

Bài 4 [Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017]. Nếu thì ta có : và

1 2 D.

B. C.

1999x

y

e

0;  

R

y



ln

x

A. Bài 5 [THPT Lương Thế Vinh – HN 2017]. Khẳng định nào sau đây là đúng ?





log .log .log

b

c

a 

1

log

 a b



log

a



log

b

,a b c R

,

A.Hàm số nghịch biến trên B. Hàm số đồng biến trên





3

3

3

a

b

c

1a 

,a b

C. D. với mọi

2

2

 

 a b

log

ab



a

log

a



ab



 a b

)

là các số thực dương và . Khẳng định nào





2 2 log a

4 log ( a

a

a

2

2

 

log

ab



a

b

log

a

ab

 

A. B.

1 4 loga

4 2 log ba

 

 

a

a

C. D. Bài 6 [THPT HN-Amsterdam 2017]. Cho sau đây đúng ?    



2

x

 1.

VẤN ĐỀ 4: ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀO BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM

LIÊN QUAN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG + Trong các đề minh họa của Bộ Giáo Dục đưa ra chúng tôi thấy có câu nguyên hàm tích phân mà nếu làm tự luận thì khó với nhiều bạn học sinh nhưng nếu dùng Casio để thực hiện thì thực hiện bài toán rất nhanh và chuẩn xác. + Trong đề minh họa lần 2 của Bộ giáo dục xuất hiện một số câu tích phân mà trong đó có chứa các tham số để hạn chế học sinh dùng máy tính casio phần nào đó, để giúp các bạn học sinh có thêm các kiến thức và thuật toán hay giải quyết các bài toán dạng này thì trong nội dung sáng kiến kinh nghiệm này chúng tôi đưa ra một số cách thực hiện. + Để kết quả của phép toán tính nguyên hàm tích phân được chuẩn xác, chúng ta đưa máy tính về đơn vị Radian bằng thao tác qw4, gọi lệnh tính giá trị tích phân y. + Trong vấn đề 4 này chúng tôi đưa ra các ví dụ cùng hướng dẫn, qua đó chúng tối thấy học sinh tự tin và thực hiện tốt hơn trong vấn đề này? Ví dụ 1[Câu 23 đề minh họathi THPT Quốc lần 1].Tìm nguyên hàm của hàm số   f x



2

x



2

x

  1

C

.



2

x



2

x

  1

C

.

  f x dx



 1

  f x dx



 1





1 3

2 3

A. B.

Trang 66 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

 

2

x

  1

C

.



2

x

  1

C

.

  f x dx

  f x dx





1 3

1 2

C. D.



Hướng dẫn

 F x

 f x



  f x



x a

Kiến thức quan trọng Nếu là 1 nguyên hàm của thì

  'F x   f a

 F a



2x 

2

x

   

1 0

x

Khi đó ta chọn 1 giá trị bất kì thuộc tập xác định thì

1 2

f



1, 732...

Chọn giá trị chẳng hạn (thỏa điều kiện )

 2

Khi đó

s2Q)p1r2=n

 F x

F

f



1, 732...

  ' 2

  2



2

x



2

x



1

Theo đúng quy trình ta sẽ chọn đáp án ở 4 đáp án A, B, C, D nếu đáp án nào thảo mãn

  F x



 1

2 3

Thử với đáp án A khi đó



3, 4641...

f



1, 732...

F

qya2R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2=

 2

  ' 2



là một giá trị khác điều đó có nghĩa là điều kiện Vậy

  'F x

  f x



2

x



2

x



1

không được đáp ứng. Vậy đáp án A là sai .

 F x





 1

1 3

Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B. Khi này

F



1, 732...

f



1, 732...



qya1R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2=

  ' 2

 2

  'F x

  f x

Ta được giống hệt có nghĩa là điều kiện được thỏa

mãn. Vậy đáp án chính xác là B. Bình luận : + Nếu chúng ta có một chút kiến thức cơ bản về đạo hàm thì việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án sẽ nhẹ nhàng hơn. Chúng ta chỉ việc thử với đáp án A và B vì 2 đáp án này mới có

3 2

số mũ là .

 F x

+ Điều đặc biệt của dạng này là số mũ của nguyên hàm lúc nào cũng lớn hơn số mũ của

  f x

hàm số là 1 đơn vị.

Trang 67 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

y



m x

x



 y m .

+) Chúng ta có thể áp dụng 1 cách linh hoạt. Ví dụ tìm nguyên hàm của hàm số thì

1 2

1 x

1 x

x

  

1

x

cũng vô cùng đơn giản. Ta thấy về mặt bản chất thì là mũ vậy chắc chắn

1 2

1 2

4

2

f x

( ) 8cos 2



x



8cos 2

x

nguyên hàm phải là mũ hay là .

 . 1

x



sin 8

x cos 4 .

x sin 4 .

cos8



x

Ví dụ 2.Tìm nguyên hàm của hàm số

x sin 8 .

x cos8 .

1 8

1 8

1 4

1 4

1 8

f x ( )

F x



B. A. C. D.

( ) |x X



Dùng chức năng CALC cho biểu thức ( F(X) là các đáp án bài toán đưa ra)

1 8 Hướng dẫn d dx tại một vài giá trị ta thấy kết quả đều bằng 0 hoặc xấp xỉ bằng 0 thì đó là đáp án của bài toán.

( )F x là một nguyên hàm của

f x ( )



Vậy đáp án đúng là B. Ví dụ 3 [Câu 24 đề Minh họa thi THPT Quốc Gialần 2]. Biết

F

(2) 1.

 Tính

F

(3).

1 

x

1

F

(3)



ln 2 1



F

(3)



ln 2 1



F

(3)



.

F

(3)



hàm số và

1 2

7 4

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn

3

3

f x dx F ( )



(3)



F

(2)



F

(3)



f x dx F

( )



(2)





2

2

Ta đã biết

Vậy ta chỉ cần ấn máy tính

2

2

Và lưu và A. Khi đó lấy A trừ đi các đáp án bài toán cho ta thu được đáp án đúng của bài toán là đáp án B như hình

I

x

ln

xdx .

 

1

Ví dụ 4. Tính tích phân

Trang 68 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

ln 2



8ln 2



ln 2



24ln 2 7

8 3

7 3

7 3

8 3

7 9

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn

2

+ Đưa máy tính về đơn vị radian bằng thao tác lệnh: SHIFT MODE 4

2 lnx

xdx

1



2

+ Nhập máy tính ấn = ta thu được kết quả 0.170614704 lưu vào A. Sau đó lấy A

dx .



I

2

0

7 

2

x

 

 

Ví dụ 5.Tính tích phân



trừ đi các kết quả bài toán đưa ra ta được đáp án đúng là đáp án C. 5  x  3 x A. 2ln 3 3ln 2. C. 2ln 2 ln 3. B. 2ln 2 3ln 3. D. 2ln 3 ln 4.

Hướng dẫn



3

I

cos

x .sin

xdx .

 

0

I

.

I  

.

Thực hiện tương tự như trên ta thu được đáp án đúng là đáp án A. Bình luận: Nếu bài toán này học sinh làm tự luận có thể đến 5 phút ra được đáp án, nhưng với casio thì thời gian được rút ngắn rất đáng kể. Ví dụ 6 [Câu 25 đề minh họathi THPT Quốc Gia lần 1]. Tính giá trị tính phân

4. I  

41   4

1 4

A. B. D. C. 0.



Hướng dẫn

Vì bài toán liên quan đến các đại lượng tính nên ta chuyển máy tính về chế độ Radian

qw4

3



cos

x .sin

x

0 

Gọi lệnh tính giá trị tích phân y

 f x



Điền hàm và các cận và vào máy tính Casio

kQ))^3$jQ))R0EqK

Rồi nhấn nút = ta nhận được ngay kết quả của tích phân là 0

So sánh với các đáp án A, B, C, D thì ta thấy C là đáp án chính xác. Vi dụ 7[Báo Toán học tuổi trẻ tháng 11 năm 2016]. Cho các tích phân

Trang 69 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

4

1

 2

2



I

xdx J ,



sin

x

cos

xdx K ,



. x x e





0

0

 1 Khẳng định nào sau đây đúng? I A.

I K J

 B. .

J K

 



.

J

  D. I K

.

K I

 

J

.

I

4.6666...

I 

C. Hướng dẫn

và ghi giá trị này ra nháp. Tính giá trị tích phân

0.3333...

J 

J

ta được ysQ)R1E4=n

và lại ghi giá trị này ra nháp ta được

K 

Tính giá trị tích phân qw4yjQ))dkQ))R0EaqKR2= n

1

  4.6666 1 0.3333

I K J





Tính tiếp giá trị cuối cùng qw3yQ)OQK^Q)R0E1=

hay . Vậy đáp án chính xác là A.

1

3

x

 

1 2

Rõ ràng Bình luận : Qua bài toán trên ta thấy rõ hơn sức mạnh của Casio khi giải nhanh những bài tích phân xác định, phương pháp tự luận cũng có nhưng rất dài dòng, chúng tôi xin không đề cập tới.

.

 x dx





0



.

.

.

Vi dụ 8 [Báo Toán học tuổi trẻ tháng 12 năm 2016]. Tính tích phân

D. 0.

A.

B.

C.

1 6

7 6

 11 6

Hướng dẫn

Cách gọi lệnh giá trị tuyệt đối qc

Khi biết lệnh giá trị tuyệt đối rồi chúng ta nhập tích phân và tính giá trị một cách bình thường y(qc3Q)p1$p2qcQ)$)R0E1

Trang 70 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

I  

0, 016666...

Nhấn nút =ta sẽ nhận được giá trị tích phân là

0;

3

x

   

1 0

x

3

x

   

1 0

x

Đây chính là giá trị xuất hiện ở đáp số A. Vậy A là đáp số chính xác của bài toán Bình luận : + Để giải các bài toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải sử dụng phương pháp chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối.



0;1

1 3

1 3

1 3

  

  

+ Ta biết và vậy ta sẽ chia đoạn thành 2 đoạn

1 3

  

 ;1  

c

và

b

b

c





+ Để tách 1 tích phân thành 2 tích phân ta sử dụng công thức chèn cận : Với giá trị bất kì



;a b

  f x dx

  f x dx

  f x dx .







c

a

a

 2

 2

2

thuộc đoạn thì

I

x

sin

xdx

J

cos

xdx

x

 

 

0

0

Vi dụ 9. Đặt và . Dùng phương pháp tích phân từng phần để

2

2

J





2

I

J





2

I

J

2

I

J

2

I

tính J. Khẳng định nào đây là khẳng định đúng?

    4

    4

 4

 4

A. B. C. D.

Hướng dẫn

J

I 2

Nhập vào máy tính lần lượt ta thấy

Lưu kết quả vào A và B ta thấy

 4

ab

Vậy đáp án của bài toán là đáp án A. Bình luận: Bài toán trên nếu làm tự luận dài và tốn nhiều thời gian, vì ở đây chúng ta thực hiện nhiều lần phương pháp tích phân từng phần mới đưa ra kết quả bài toán. Nhưng đối với casio việc thực hiện và lưu kết quả so sánh với đáp án của bài toán chúng ta sẽ đưa ra kết luận một cách nhanh và chuẩn xác. Vi dụ 10 [Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017].

dx

 a



ln

b

0

  a

1, 1

  b

3







cos  x

x cos

x

sin

1 4

0

Cho biết . Tích bằng bao nhiêu ?

Trang 71 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

1 6

1 A. B. C. D. 4

1 2

1 8

 4

dx



0.5659...



A

Hướng dẫn



cos  x

x cos

x

sin

0

Tính

A

qw4yakQ))RjQ))+kQ))R0Eaq KR4=

Lưu giá trị này vào biến

A



ln

b

 a



ln

b



0.5659...

  

A

a

qJz

1 4

1 4 

A



ln

b

ab

b .



ln

b





0

Vậy ta có :

1 4 

1   2

1   2

1 4

 2

 b A  

  

b

Nếu đáp số A đúng thì

Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE để tìm

Q)(Qzpa1R4$QQhQ)))paq KR2$qr=0.5=

b 



ln

b





0

Không tìm được Đáp án A sai

1 4

 4

 b A  

  

Với đáp án B ta có

    2

b

a



  a

1, 1

  b

3

Q)(Qzpa1R4$hQ)))paqKR4q r=0.5=

1 8

thỏa điều kiện 0 Đáp số B chính xác của bài toán

Trang 72 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

1

1

e

  dx a b

ln

x



1 

1

e

 2

0

3

,a b

Ví dụ 11[Câu 27 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 3]. Cho , với

S



a

b



là các số hữu tỉ. Tính

S  2.

S   C. 2.

3. S  0.

S  1.

A. B. D.

,a b

S

Hướng dẫn

,a b

là các số hữu tỉ và nhận thấy kết quả ở các đáp án nguyên nên ta dự đoán

1

dx

Bài toán này được nguyên nên ngoài phương pháp ở ví dụ trên ta có thể sử dụng phương pháp sau:



1 1x e 

0

+ Tính tích phân và lưu và A

1

e

  a A b

ln

w7Cw1y0oa1RqhQ)$+1R0E1=q Jz

 2

+ Theo giả thiết ta có , nhập vào máy tính biểu thức

b

 

1,

a



1

S 

0

Start -5 End 5 Step 1 ta có

Vậy , do đó .

4



a

ln 2



b

ln 3



c

ln 5

Ví dụ 12[Câu 26 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 2].

,a b c là các số nguyên. Tính ,

S

   a b c .



x

với Biết

dx 2 x  3 S  6.

S  2.

S   D. 2.

A. B. C.

S  0. Hướng dẫn

4



dx 2 x

x

3

Tính tích phân và lưu vào biến A

b

a

A

ya1RQ)d+Q)R3E4= qJz

 A a

ln 2



b

ln 3



c

ln 5

  A

c a ln 2 .3 .5



c b 2 .3 .5



e







16 15

Khi đó

Trang 73 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

4

 1

a

c





 1 2 .3 .5



b 2 .3 .5

  a

4;

b

 

1;

c

S

1

QK^Qz=

    2

16 15

2.2.2.2 3.5

 Đáp số chính xác là B.

2

Dễ thấy

a b c Z ,

,

.

ln

x



dx



a

ln 3



b

ln 2



c







 1



1

Ví dụ 13. Cho Tính giá trị của biểu thức

A a b c    . A. 0. B.1.C. 2.

D. 3.

2

Hướng dẫn

I



ln

x



dx



 1



1

Tính giá trị tích phân rồi lưu giá trị này vào biến A

A

c

A

c

a

ln 3



b

ln 2

   c A

b a e ln(3 .2 .

)



ln

e



b a e 3 .2 .

A  

e

b a 3 .2



yhQ)+1)R1E2=qJz

c

A

a

b



b ta sử dụng chức năng MODE 7 với hàm

Khi đó

 f X

 3 .2 

c

e e e e

Để tính được 3 .2a

w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10= 1=

b ) là số hữu tỉ thì nhận



 2

Quan sát màn hình xem giá trị nào của

b a 3 .2



6.75

3 3 .2





X c   thì

1

  a

3;

b

  2

 f X (cũng là của 3 .2a 27 4

Dễ thấy với

a b c

       Đáp án A là đáp án chính xác.

3 2 1 0  2

Tóm lại

a b c Q ,

,

.

I



dx



 a b

ln 3



c

ln 2











sin sin

x x

 

cos cos

x x

 4

Ví dụ 14. Cho Tính giá trị của biểu

.

.

thức

   A a b c . 1 1 3 2

C. D. 2. A. 0. B.

Hướng dẫn

Trang 74 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

 2

I



dx



sin sin

x x

 

cos cos

x x

 4

Tính giá trị tích phân rồi lưu giá trị này vào biến A

A

Ae 

2

yajQ))pkQ))RjQ))+kQ))Raq KR4EEaqKR2=qJz

 a b



c

ln 2

  A

 a b c ln(3 .2 )



ln

e

ln 3

. Mà ta tính được Khi đó 

c

1 2

 a b 3 .2



2



0 3 .2

   a b

0;

c

1  2

QK^Qz=

a b c

0

      Đáp án B là đáp án chính xác.

1 2

1 2

2

2

Tóm lại

2

x x

dx 1



1

u

x

2 1 

Ví dụ 15 [Đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 3]. Tính tích phân bằng

2

2

3

3

I

udu

I

udu

I

udu

I

udu

cách đặt , mệnh đề nào dưới đây đúng?

 

  2

 

1   2

1

1

0

0

A. B. C. D.

2

2

Hướng dẫn

2

x x

dx 1



1

Chúng ta tính tích phân trừ đi tích phân ở các đáp án nếu mệnh đề đúng thì kết

quả của phép toán bằng 0.

Thử với đáp án C

Ta thấy kết quả xấp xỉ bằng 0. Vậy đáp án đúng C.

b

11

2.15370133.10 

f x dx ( )

Lưu ý:



a

-Tích phân = là một số rất nhỏ, ta hiểu là 0.

Trang 75 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

b

f

f x dx ( )



a hay t .

3





y

x

x

  x

y

- Lưu ý chỉ phụ thuộc vào và các cận ,a b mà không phụ thuộc vào kí hiệu biến số

x Ví dụ 16 [Đề minh họathi THPT Quốc Gia lần 1]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ 2. x thị hàm số

.

.

.

và đồ thị hàm số

37 12

9 4

81 12

A. B. C. D.13.

0

3

3

2

0

x

2      x

x

x

x

x



2

x

Hướng dẫn

 x     x 1    x 2 

x



0;

x



1;

x

 

2

Giải phương trình hoành độ giao điểm

mà công thức chỉ có 2 cận vậy ta chia thành 2 khoảng cận

0x

2

0

1x 

3

y

  3

x

x

 

2;

x



0

y



x



x

Ta có 3 cận    và .

, và hai đường thẳng

0

3

2



x



x



x



x

dx

S 1











 2

3

y

  3

x

x



0;

x



1

y



x



x

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị là

1

3

2

S



x



x



x



x

dx

2











0

0

1

3

2

3

2

S



x



x



x



x

dx



x



x



x



x

dx

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , và hai đường thẳng là























2

0

Vậy tổng diện tích

Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

S 

yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d) Rp2E0$+yqc(Q)^3$pQ))p( Q)pQ)d)R0E1=

37 12

ln 2.

x x ,

ln







2

y

y

x

 . Diện tích

D giới hạn bởi đồ thị hàm số

 1 ,



3ln 3 1.

3 ln 16.

 B.

Vậy ta chọn đáp án chính xác là A.

 3ln 3 1.

ln 2.



A.

   2 1



D bằng :    2 1

4 3

Bình luận : Qua ví dụ ta thấy được tầm quan trọng casio để giải nhanh bài toán trắc nghiệm và từ đây ta thấy Casio ta sẽ làm nhanh nhiều bài liên quan đến tính diện tích hình phẳng. Ví dụ 17. Cho miền  miền phẳng  

Trang 76 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

3

2

ln



ln 2

ln



2 ln 2 1.

 D.

 1.

16 27

4 3

16 27

4 3

C.

y



ln

x



y



ln 2.

x

Hướng dẫn



 1

2x 

Ta có hai hàm số và

ln 2.

ln





x

x



ln

x

ln 2.

x



0

ta đi tìm cận tiếp theo bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm





   1

Cận đầu tiên là  1

Để giải nhanh phương trình này ta sẽ sử dụng Casio với chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE

x

x 1;



2

1x 

hQ)+1)ph2)OsQ)qr2=

y



ln

x



y



ln 2.

x

Ta được nghiệm , ta tìm được hai cận



 1

2

S



ln

x

ln 2.

x dx

x

x 1;



2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số , và hai đường thẳng



   1



1

là

Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

S 

0, 0646...

0, 0646...



yqchQ)+1)ph2)OsQ)R1E2=

Tính giá trị xem đáp án nào có kết quả ta thì là đáp án chính xác

2

y

c

y

x

Vậy chọn B. Bình luận : Việc tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta có thể tính nhanh bằng kỹ thuật dò nghiệm với chức năng SOLVE đã được học ở bài trước.

y 

4

Ví dụ 18. Đường thẳng chia hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng

.c

thành hai phần bằng nhau. Tìm

2 2

3 16

3 9

3 3

A. B. C. D.

2

x

    

4

0

x

2

x   2

2x 

Hướng dẫn

2

y 

4

y

x

Giải phương trình hoành độ giao điểm Vậy cận thứ nhất là cận thứ hai là

2

2

S



x



4

dx

x

 

2,

x



2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số , và hai đường thẳng



 2

là :

Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

yqcQ)dp4Rp2E2=

Trang 77 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

32 S   3

y

c

S



16 3 chia hình phẳng

Vậy một nửa diện tích là

2

y

c

y

x

Vì đường thẳng thành 2 phần bằng nhau Diện tích hình phẳng

16 3

2

3

6

y 

3 16

x



16

   x

16

giới hạn bởi đường cong , đường thẳng có độ lớn là

6

16

2

3

x



16

dx

  S 1



6



16

Thử với đáp án A ta có . Giải phương trình hoành độ giao điểm



yqcQ)dpqs16Rpq^6$16Eq^ 6$16=

S  1

16 3

Vậy (đúng) đáp án chính xác là A.

3x

e

Bài tập tự luyện

  F x

3

3

3

3x

e



23 . x x e



x e  3 . x 1

Bài 1. Hàm số là một nguyên hàm của hàm số:



  f x

  f x

  f x

  f x

xe 23 x

x

I

x d

2

A. . B. C. D. . .

 

ln 2 x

I



C

I



C

I



2 x

I



2 x

C 1

Bài 2. Cho . Khi đó kết quả nào sau đây là sai?

 . C

 . C.

A. B. D.

 2 2

 1x   .

 2 2

 1x   .

I

x d

1 2 . x 2

 

ln 2 2 x

 1

1 x 2

1 x 2

I



I



C

1 22 x

1 22 x

Bài 3.Cho . Khi đó kết quả nào sau đây là sai?

 .C. C

 . D.

I





2



C

I





2



C

 2 2  

  

 2 2  

  

3

x d





x  e C

A. . B. .

  f x

  f x bằng:



x 3

4

4

x

x

2

x



e



e

Bài 4. Nếu thì

 . B.

x  .D.



23 x



e



x



e

  f x

  f x

  f x

  f x

x 12

A. . C. .

x



x sin 2 cos

x

  f x là:

x 3  d f x



Bài 5. Nếu thì



3cos3

x



cos

x



cos3

x



cos

x



 f x



  f x







A. B. . .



3cos3

x



cos

x



cos3

x



cos

x



  f x

  f x







1 2 1 2

1 2 1 2

C. D. . .

d

x

ln

 x C

  f x là:

  f x



1   x

Bài 6.Nếu thì

Trang 78 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh



x



ln

x C

 

x

C

 .

  .

  f x

  f x

1 x



ln

x C

 



A. B.

 .

  f x

  f x

x

x

C. D. .

 1x 2 x là một nguyên hàm của



a

cos

 x b

sin



e

cos

x



 x e

  f x

1 2 x   F x

, a b là:

a



1,

b

a

thì giá trị của Bài 7. Để

 . B. 0

b  .

a

b  .

1

a



0,

b

 . C.

1

1 2

x



I

x d

A. D.

 ln ln x

Bài 8. Tính nguyên hàm được kết quả nào sau đây?

 

I



ln .ln ln

x

.

I



x



ln

 x C

.

A. B.

ln



x

I



ln .ln ln

x

 x C

.

I





 ln

 x C

.

 

  x C 

 ln .ln ln  x

x  ln ln

C. D.

I

sin . dx x e x

x

x

x

x

I



sin

x



e

cos

I



sin

x



e

cos

e

e

Bài 9. Tính nguyên hàm , ta được:

 . B.

 .

   x C

 x C





A.

1 2 sinx e

1 2 x e

I



x C

 .

I



sin

x

 thỏa mãn đồng thời các

C. D.

 . x C cos    A f x

  B

2

x  d

4

Bài 10. Tính các hằng số A và B để hàm số

f

 và 2

  f x

  ' 1



0

A

 

,

B

A



,

B

điều kiện .

 . 2

 . 2

A

 

,

B

A



,

B

A. B.

  . 2

  . 2

2  2 

2  2 

b

C. D.

2

x



x



0



 6 d



1

? Bài 11. Giá trị nào của b để

b  hoặc 0 1b  hoặc

1b  b  . 5

5



ln

c

A. C. B. D.

1



2

Bài 12.Nếu với c  thì giá trị của c bằng:

b  . 3 b  hoặc 0 b  . 5b  hoặc 0 x d 1  x B. 6.

2

A. 9 . C. 3. D. 81.

, a b là các số tự nhiên và ước

d x x 

3

a b

1

2

2

Bài 13.Nếu kết quả của với được viết ở dạng ln

a b 

b 2

12



a

2

b

41



a

13 0

. B. C. D. . chung lớn nhất của , a b bằng1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. 3

a b

ln 2

x

  1

d

x

, a b   .



1

x

a b  . 2    

 1

Bài 14. Kết quả của tích phân được viết dưới dạng với .   

Khi đó a b bằng:

3 2

3  . 2

5 2

5  . 2

A. . B. C. . D.

Trang 79 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

3

x



3 tan

t

I



d

x

2



1 

x

3

3

 3

 3

Bài 15.Đổi biến số của tích phân , ta được:

I



I



.

I



t t d .

I



t d .





3 3

3 3

 3 3 d t  t 3

 4

 4

 3  3 d . t  4

 4

2

2

1

I

d

x

x



A. B. C. D.

 3

 

x x

1 sin

t

1

 2

 2

 4

 2

Bài 16.Cho tích phân . Nếu đổi biến số thì:

I

2 t t cos d .

I

2 t t sin d .

I

2 t t cos d .

I



t

t

 

 

 

   1 cos 2 d

1 2

 4

 4

 2

 4

2

2

3

I



x

x



x 1d

A. B. C. D. .



0





Bài 17.Tính tích phân .

16 9

16 9

52 9

52 9

2

2

A. . B. . C. . D. .

u

x

2 1

 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

I



2

x x



x 1d



1

3

2

33 2

I

u u d

I

I 

2 3

Bài 18. Cho và

I

u u d

 

 

2 u 3

1

0

0

1

2

x



3

dx e x

I



A. . B. . C. D. . .



ae b

 với

, a b   .Khẳng







3

Bài 19.Kết quả tích phân được viết dưới dạng I

a b  . B. 2

ab  3.

b 2

a

D.

0 định nào sau đây là đúng? 3 A. 

b

a

28

3

 . 1 . C. Bài 20.Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y

   x

23 x

 , trục

2

2x  có dạng

a b

a b

hoành, trục tung và đường thẳng (với là phân số tối giản). Khi đó

a b 

a b   2.

a b  .

2.

khẳng định nào sau đây đúng? B. A. C. D.

3 Bài 21. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a b   3.  x x ln

y

e

e

e

, trục hoành và đường

S







S

S

S



2 1  8

e . 2 1  4

x

y



e

thẳng x e A. . B. C. . . D. .

2 1  6 Bài 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2 1  2  , trục hoành, trục tung và x

1x  là:

e 

S

.

S

e 

.

S

e  1.

S

e  1.

1 2

A. B. C. D. đường thẳng 1 2

2

Bài 23.Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn



2

x



x

.Ox

 P y :

và trục bởi đồ thị 

Trang 80 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

V



.

V



.

V



.

V



.

 16 15

 11 15

 12 15

 4 15

2

y



2

x



x

A. B. C. D.

và y x khi quay quanh trục

.

V



V



.

V



.

Bài 24. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

V  .

 3

 4

 5

2

2

y

y

A. B. D. C.

và

2   V

  4 V

 16 .

V

A. C. D. B. Bài 25. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol .Ox  14 .

4x  . Tính thể tích

x  và , y

x  10 . Bài 26. Cho hình phẳng 

x quay quanh trục 12 . V  H giới hạn bởi các đường y

V

V

V

V









.

.

.

.

x của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H quanh trục hoành.  41  38 2 3

 40 3

 41 3

B. A. D. C.

VẤN ĐỀ 5:ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀO BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM

LIÊN QUAN TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

Thao tác lệnh Casio thường dùng

 Lệnh đăng nhập môi trường vectơ MODE 8  Nhập thông số vectơ MODE 8 1 1

Trang 81 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

 Tính tích vô hướng của 2 vectơ : vectơA SHIFT 5 7 vectơ B  Tính tích có hướng của hai vectơ : vectơA x vectơB  Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP  Lệnh tính độ lớn một vectơ SHIFT HYP  Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7  Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

P Ax By Cz D





 thì khoảng cách từ

0



M x y z ; 0

0

0

 P được tính theo công thức

 điểm M đến mặt phẳng  



By Cz D



Ax 0

0

0







 d M P ;



2

2

2

C

B





x

y

z

z

 Cho điểm 5.1 TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH Kiến thức cơ bản 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng  : ; và mặt phẳng 

A 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng y 0

x 0

0



d

:



 a

 b

 c

;

 

 

 Cho điểm M và đường thẳng thì khoảng cách từ điểm M

;



 d M d



  MN u  u

 Trong đó u

đến đường thẳng d được tính theo công thức

là vectơ chỉ phương của d và N là một điểm bất kì thuộc d

x

y

z

x 1

y 1

z 1

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

:





d 1

 a 1

 b 1

 c 1

x

y

y

z

z

x 2

2

2

d

:





2

 a

 c

2

 b 2

2

Cho hai đường thẳng chéo nhau và

 

;

'



 d d d



    u u MM ' ' . ,    , u u '

 

 

thì khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau này được tính theo công thức

 1u

1d

là vectơ chỉ phương của

1d và M là một điểm thuộc '.d 'M là một điểm thuộc

2d và

là vectơ chỉ phương của

,Oxyz

Trong đó  2u

  và điểm

P





0

4

2

4

x

y

z

 A  1; 2;3

 : 3



. Tính khoảng cách từ điểm A đến

Ví dụ 1 [Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng  .P mặt phẳng 

d 

.

d 

.

d 

.

d 

.

5 9

5 29

5 29

5 3

A. B. C. D.

Hướng dẫn

By Cz D





Ax 0

0

0







 d M P ;



2

2

2

A



B



C

Ta nhớ công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   :P 

Trang 82 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

P

x



4

y



2

z

  ta sử dụng máy tính để bấm luôn :

0

4

 A  1; 2;3



 : 3





  d M P  ;



5 29 29

5 29

Áp dụng cho điểm và 

,Oxyz

aqc3O1+4O(p2)+2O3+4Rs3d +4d+2d=

A

 1;2;3



 z m



4

0

y

đến mặt phẳng

 Đáp số chính xác là C. Ví dụ 2 [Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ tìm tất cả các giá trị thực của m để khoảng cách từ  A.

 bằng 26. m 

 : 3  P x m  7.

m  

20.

45.

18.

C. D. B.

m  Hướng dẫn 

1.1 3.2 4.4





m





26





 d A P ;



2

2 1



2



2 3

1.1 3.2 4.4







m





26



0

2

2 1



2



2 3

Thiết lập phương trình khoảng cách :

Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập vế trái của phương trình vào rồi sử dụng chức năng SHIFT SOLVE.

7m   Đáp số chính xác là A.

w1aqc1O1+3O2+4O3+Q)Rs1d +3d+4d$$ps26qr1=

1

y

z

d

:





,Oxyz cho đường thẳng



2

y



2

z

  . M là

3

0

 : P x

x 1

 2

 3

P bằng 2. Tìm tọa độ điểm

Ta thu được kết quả Ví dụ 3 [Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ 2 và mặt phẳng 

M   

M   

  1;5; 7 .

 2;3;1 .

 M 

 M 

 2; 5; 8 .

 1; 3; 5 .



điểm có hoành độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến  .M A. B. D. C.

 Hướng dẫn    M

t

t ; 1 2 ; 2 3 t

d nên có tọa độ

 1

2



   t 1 2

t



2



3

  









2

Ta biêt điểm M thuộc 

2



  d M P  ;



2

2 1



2

    2

  t 2 3 2

Thiết lập phương trình khoảng cách :

Nghĩ được tới đây thì ta có thể sử dụng Casio để tính rồi. Ta bấm ngắn gọn như sau

qcQ)+2(p1+2Q))p2(p2+3Q ))+3R3$p2qrp5=

Trang 83 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

t

y

x

3

1

1;

    

   Đáp số chính xác là D.

I

2;1;1;

  y

P

2

2

0

z



  . Biết mặt phẳng 

 : 2



2

2

2

2

2

2

S có tâm x S theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 1 . Viết phương trình mặt cầu  

10





















2

2

y

y

x

z

z

,Oxyz cho mặt P cắt mặt S .

 8

2

2

2

2

2

2

10





















2

2

y

y

x

z

z

 8

và mặt phẳng 

 1  1

 1  1

 1  1

 1  1

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 x a



 y b



z



c



R

Khi đó Ví dụ 4 [Đề minh họa Bộ GD-ĐT năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ cầu  cấu  A. x C. B. D.

 x Hướng dẫn 2 sẽ có tâm

;

;











I a b c . Vì mặt cầu  



S có tâm



nên nó chỉ có thể là đáp án C hoặc D.

S theo một giao tuyến là đường tròn bán kính

2

2

2

h

 với h là khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng.

1r  sẽ thỏa mãn

P cắt mặt cầu   r 2R bằng Casio. (aqc2O2+1O1+2O1+2Rs2d+1 d+2d$$)d+1d=

2 10

1

2

y

x





d

:

Mặt cầu   2;1;1 I Mặt phẳng  R tính chất Tính

,Oxyz cho đường thẳng

  2;1; 1

 M 

. Tính khoảng cách từ điểm độ

R   Đáp số chính xác là D. Ví dụ 5 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa z  2  2

 1

 2

.

.

.

.

.d tới 5 3

5 2 2

5 2 3

A. B. C. D.

2 3 Hướng dẫn

  dMN u ,

Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập hai vectơ vào máy tính.

w8111p(p2)=2p1=p2pp1=w8 211=2=p2=

d M d  ;

2.357022604



.





5 2 3

Tính

Wqcq53Oq54)Pqcq54)=

Trang 84 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

 Đáp số chính xác là D.

 và tiếp xúc với mặt

I

  1; 2; 1

  ? 0

2z 8

y 2



 : P x

2

2

2

2

2

2





















2

2

x

y

x

y

z

z

 3

2

2

2

2

2

2























2

2

9

x

y

x

y

z

z

 B.  3  D.  9

 1  1

 1  1

 1  1

 

 

 

 

 

 

,Oxyz

  1

t

x

AM 

6

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm phẳng   A.  1 C.   1 Bài 2[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ

d

:

  1

t

A

0; 2; 2



  .

t 2

  y    z



tìm điểm M trên đường thẳng sao cho với

  1;3; 4



 1;1;0 

   2;1; 1

 1;1;0 

 1;3; 4   2;1; 1

  

  

     

A. B. C. D.Không có M thỏa

. Tìm m để

 Bài 3 [Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017]  và Trong không gian với hệ tọa độ 0

  

z m

P

x

y

A

,Oxyz cho 

 : 2

 1;1;3



6.

10

12

4

m  3    m 9 

m   2    m

m   3    m

    d A P  ; m   2    m

,Oxyz cho

B. C. D. A.

5; 6; 2

B

  . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng 

 2;3;1

Oxz tại điểm M .





.

Bài 4 [Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ hai điểm và

Tính tỉ số

 2

 3

 A  MA MB 1  2

MA MB

MA MB

MA MB

1  3

,Oxyz tính khoảng cách từ điểm

 đến đường

   x

y

2

z

 2;3; 1 2z 2



3

y

  .

0

A. B. C. D.

 :

  và  1 0

MA MB  M ' :   x

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 

215 24

205 15

A. B. C. D.

,Oxyz cho

A

1;3; 2

1; 2;3



 B 



 C 

215 24 

ABC .

, , . Tính

205 15  1;1;3 

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng 

3 2

3 2

1

3

x

y

1

z

' :







d

d

:



.

A. 3 C. D. B. 3

 x 2  4

 2

 1

,Oxyz tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  y 1  2

 4

và Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ  z 4  2

.

.

.

.

127 4

386 3

127 4

386 3

A. B. C. D.

Trang 85 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

M



 0;0;1

5 0

x

z

    . Tính khoảng

y

,Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm  có phương trình 2



, có

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ   và mặt phẳng  u 1;1;3 . vectơ chỉ phương cách giữa d và 

2 5

4 3

3 2

6 5 x

2

y

1

3

z

d

:





A. B. C. D.

,Oxyz cho hai đường thẳng

 1

 2

 2

x

1

y

1

z

1

,

d

' :





Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ

d d '.

 1

 2

và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

4 3

 2 4 2 3

  2

t

x

B. A. 4 2 C. D. 2 3

d

:

  1

t

,Oxyz cho hai đường thẳng

t 2

  y    z

 

t 2 2 '

Ví dụ 10. Trong không gian với hệ tọa độ và

'd .

3

d

' :

Tìm phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và

x    y   z  y x 5  y x 5

'. t  

z z

y y

x x

2 2

5 5

 

 

 

 

z 2 z 2

12 0   12 0

12 0   12 0

;







 thì hình chiếu vuông góc H

0

 :

M x y z ; 0

0

0

P với  là

B. D.

 P (  nhận Pn

).

x

y

z

y

N

N

N

:

d



;





0

0

M x y z ; 0

 x a



0.

A. C. 5.2 TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Kiến thức cơ bản 1. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một mặt phẳng   và mặt phẳng  Cho điểm P Ax By Cz D P là giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng  của M trên mặt phẳng   đường thẳng qua M và vuông góc với  làm u 2. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một đường thẳng z Cho điểm và đường thẳng

P . Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d đến mặt ,P với   là mặt phẳng chứa d là một vectơ pháp tuyến.

 nhận

P là giao tuyến của mặt phẳng    ,d u n P

 và mặt phẳng   

 

.d

P và   chứa mọi điểm nằm trong đường thẳng

thì hình chiếu vuông góc   MH u . d



A





6

x

 2; 1;0 .

 : 3



1;0;3 .





Tìm tọa độ hình chiếu

   b c   MH u   của M lên đường thẳng d là điểm H thuộc d sao cho d 3. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng đến một mặt phẳng - Cho đường thẳng d và mặt phẳng  phẳng  và vuông góc với  Lưu ý: Mặt phẳng  Ví dụ 1 [Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh lần 1 năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng     và điểm y 0 z 2  . vuông góc của A lên mặt phẳng   A. 1;1; 2 .

 2; 2;3 .

  1;1; 1 .



D.  C. B.

Trang 86 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Hướng dẫn

  Đường thẳng AH nhận vectơ pháp tuyến

 

t 2 3

x



AH

:

  

t 1 2 .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên 

 làm vectơ chỉ phương



  3; 2;1





 n

t

  y    z

.

t

t





A

  2 3 ; 1 2 ;1





 là xong

 Tọa độ điểm t Để tìm t ta chỉ cần thiết lập điều kiện A thuộc  3(2+3Q))p2(p1p2Q))+Q)+6q r1=

t

H

  Đáp số chính xác là D.

 1;1; 1

của 

      1 Ví dụ 2 [Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ tìm tọa độ của điểm

,Oxyz     1 0.

3;3;3

M

y

z

 : P x





'M đối xứng với điểm

M

'

.

M

'



;



;

;

.

;



1 3

  

A. B.





;

;



.

M

'

;

;

.

'

M

1 1 1   3 3 3  7 7 3 3

7 3

     

  

  

  

C. D. qua mặt phẳng  1 1   3 3  7 7 7 3 3 3

P là

;3



3

t

t



Hướng dẫn

Tương tự ví dụ 1 ta nhẩm được tọa độ hình chiếu vuông góc H của M lên    M  t ;3 Tính t bằng Casio.

3+Q)+3+Q)+3+Q)p1qr1=

.

;

t

;

8 3

     H 

  

Ta thu được

Ví 'MM . Theo quy tắc trung điểm ta

M







;

;

'

7 3

7 3

7 3

1 1 1 3 3 3 'A đối xứng với M qua H nên H là trung điểm của   

  

suy ra được .  Đáp số chính xác là C.

,Oxyz hình chiếu vuông góc của

2; 4;3

 A 



 có tọa độ là :

19

P







6

3

0

y

x

z

lên mặt phẳng

 : 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 [Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ 

1; 1; 2

;

;



2 37 31 ; 5 5 5

  

  

  

  

C. B. D. Kết quả khác A. 

20 37 3 ; 7 7 7 Bài 2 [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]

Trang 87 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

    và điểm

4

y

z

 : P x

Trong không gian với hệ tọa độ



N

N

3;0;8

3; 4;8

3;0; 4

  1; 2; 2 . M     N

B. C. A.

,Oxyz cho mặt phẳng  0 .P Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng   D. N 3; 4; 4





 

,Oxyz cho

A



C



D

 3; 6;2

. Tọa

  Bài 3 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017]  Trong không gian với hệ tọa độ  5;1; 1 ,

 5;1;3 ,



  1; 3;0 ,





1;7;5



1; 7;5

 1;7;5



'A đối xứng với A qua mặt phẳng  D.

 B  BCD là : độ của điểm A.  C. B.    1; 7; 5 Bài 4 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] x

1

z

2

d

:





,Oxyz cho đường thẳng

y 2

 3

 2

P   

  . Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng 

P .



x

y

2

2

1

1

y

z









Trong không gian với hệ tọa độ và mặt phẳng

 3

2

1

2

1

x

x

y









B. A.

 z 1  3

D. C.

  1 1   y 1 1 ,Oxyz cho ba điểm

A



B

4;0; 3

C

 5; 1;4



 1;3; 2 ,



  ,





.

 : x y 2 z 3 0    z x 1 1 3 1 1     z 1 1 1 3 Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên đường thẳng BC

;



;

;

;

;











;

;

77 17

9 12 ; 17 17

77 9 12 17 17 17

9 17

77 17

77 17

  

  

  

  

  

  

  



13 0



     qua 3;1; 1   0 5

2

x

z

9 12 17 17 ,Oxyz tìm tọa độ điểm đối xứng của  và 

12 17  M   :   y

5; 7; 3

2; 5;3

 : 4 5; 7;3

A. B. C. D.

   D.  

    2; 5; 3



3 y 

x

1

y

1

z

2

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  A. C. B.





d

:

,Oxyz cho đường thẳng

 2

 1

 1

. Hình Bài 7 . Trong không gian với hệ tọa độ

   t 1 2   1 t

0    1

t

   t 1 2    1 t

0

0

0

 x  y    z

x   y    z

x   y    z

Oxy là : x   y    z

C. A. B. D. chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa đọ    t 1 2    1 t

0 Bài 8 [Thi thử THPT Quảng Xương – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]. 1

3

x

y

z

1



d

:



 2

 1

 2

M

 . Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d là

và điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

H   

H

  1; 2; 3    H 1; 2; 1

  H   1; 2; 1

 1; 2; 1

  1; 2;1

C. D. B.

 A. Bài 9[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017].Trong không gian với hệ tọa độ 1

2

z

y

:

d





Oxyz , cho đường thẳng

A



  2; 1;1

 2

 x 1  1

và điểm . Gọi I là hình chiếu

C có tâm I và đi qua A .

2

2

2

x



y





z



20



vuông góc của A lên

2

2

2

x



y



3



z



A.

 5

 

 3 

 

 1 .d Viết phương trình mặt cầu   1  1

B.

Trang 88 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

2

2

2

z

y

x

2













20

2

2

2

x

14













2

y

z

 

 

 1  1

 1  1

 

1

1

x

y

x



d

:



,Oxyz cho đường thẳng

 2

 1

 1



0

 

t 1 2

x

  

t 1 2

x

  

t 1 2

x

C. D. Bài 10 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ 2 . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng

   1

t

   1

t

  1

t

   1

t

0

0

0

0

Oxy là :  x  y    z

  y    z

  y    z

  y    z

A. B. C. D.

  AB AC ;

.



5.3 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC. Kiến thức cơ bản 1. Ứng dụng tích có hướng tính diện tích tam giác

 

 

 

AH



.



 Cho tam giác ABC có diện tích tam giác ABC tính theo công thức

S 2. ABC BC

1  S  2   ; AB AC  BC

 Ứng dụng tính chiều cao AH của tam giác ABC :



   AB AC AD

;

2. Ứng dụng tích có hướng tính thể tích hình chóp

ABCDV

 

 

1 6

;

 

ABCD

AH





.

 Thể tích hình chóp ABCD được tính theo công thức

V 3. S

BCD

.     AB AC AD    BC BD ;

 

 

 Ứng dụng tính chiều cao AH của hình chóp ABCD :

4;3; 2 . Tính thể tích tứ diện

2; 2; 2

A

C







ABCD .

,

D. 2. Ví dụ 1[Câu 41 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016]. Trong không gian với hệ tọa độ  ,Oxyz cho 4 điểm A. 6.

  , B 1;0;1 B.12.

Nhập thông số ba vectơ

 ,  5; 2;1 C. 4. Hướng dẫn vào máy tính Casio

   AB AC AD

,

,

w8112p1=2p0=2p1=w8215p1 =2p0=1p1=w8314p1=3p0=p2 p1=



   AB AC AD

;



4

ABCDV

 

 

1 6

Áp dụng công thức tính thể tích

Trang 89 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

,Oxyz cho

 2; 1;3

C

B

  , 2;1; 1





0;7;0

D

D



.

.

Wqcq53q57(q54Oq55))P6=

D

 0; 7;0 .

 0;8;0 .

 D 



  0; 8;0

0;8;0

D

D

D. B. C.

 Đáp số chính xác là C. Ví dụ 2 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa   . Điểm D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện độ A ABCD bằng 5. Tìm tọa độ của  A. 

 , 3;0;1 .D  0; 7;0 

 



  

  

   AD AB AC

;

  5

 

30.

Hướng dẫn

 

 

 

1  V 6   ;AB AC

   ; AD AB AC   AB AC ;

  0; 4; 2

Ta có :

  



 

 

  

 

Tính bằng Casio ta được

 AD





2;

y



w8111=p1=2=w8210=p2=4=W q53Oq54=

D

0;

y

;0







   AD AB AC

;

30

Điểm D nằm trên Oy nên có tọa độ  1;1

 

  

Nếu

w10O(p2)p4(Q)p1)p2O1p30q r1=

y

   7

D

 0; 7;0





   AD AB AC

;

30

Ta thu được

 

   

Nếu

!!!o+qr1=

 Đáp số chính xác là B.

y

  8

D

0;8;0





Ta thu được

,Oxyz cho

C

B

A

  3; 1;1

 1; 2;0





ABC .

S 

.

, , . Tính diện tích S của tam giác Ví dụ 3 [Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần 1 năm 2017]. Trong không gian với   hệ tọa độ 1;1;1

S  1.

S 

3.

S 

2.

1 2

C. A. B. D.

Hướng dẫn

Trang 90 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

  ,AB AC

Nhập 2 vectơ vào máy tính Casio

w8112=p3=1=w8210=p1=1=





1.732...



3

  AB AC ;

.

ABCS

 

 

1 2

Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

Wqcq53Oq54)P2=

,Oxyz cho hai điểm

A

B

 1; 2;0





, . Tính độ dài đường cao OH của tam giác

.

.

.

.

A. D. C. B.

 Đáp số chính xác là A. Ví dụ 4 [Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017]. Trong không gian với hệ  tọa độ 4;1;1 OAB . 1 19

86 19

19 86

54 11



  ; OA OB

OABS

 

 

Tính diện tích tam giác ABC theo công thức Hướng dẫn 1 2

w8111=2=0=w8214=1=1=Wqc q53Oq54)P2=

Vì giá trị diện tích này lẻ nên ta lưu vào biến A cho dễ nhìn



h AB .

  h

qJz

OABS

1 2

2S AB

 AB

Gọi h là chiều cao hạ từ O đến đáy AB ta có công thức

Tính độ dài cạnh AB

w8113=p1=1=Wqcq53)=

Giá trị này lẻ ta lại lưu vào biến B

qJx

Trang 91 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

  h



2.2156...



2 A B 2QzPQx=

5; 4;8

A

B

 D  

 6;3;7 ,

 2;3;1 ,









.

.

.

B. C. D.

 Đáp số chính xác là D. Ví dụ 5 [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ  ,Oxyz cho tứ diện ABCD có . Tính độ dài đường C 4;1; 2 , cao kẻ từ D của tứ diện. A.11.

45 7

4 3 3

5 5 Hướng dẫn

V



   AB AC AD

;



,

 

 

1 6

154 3

theo quy Ta tính được thể tích cả tứ diện ABCD theo công thức

trình ấn máy w8112=p2=p3=w8214=0=6=w83 1p7=p7=7=Wqcq53q57(q54Oq 55))P6=

  V

h S .

.

  h



.

ABC

V 3 S

154 S

ABC

ABC

Gọi h là khoảng cách từ D

1 3   AB AC ;

14





ABCS

ABCS

 

 

1 2 qcq53Oq54)P2=

Tính theo công thức ấn máy tính theo quy trình

h 

11

  Đáp số chính xác là A.

154 14

Khi đó

,Oxyz cho

A

B    , 3; 1; 4

C

 5; 1;0











Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ , , BÀI TẬP TỰ LUYỆN   2; 1;6

. Thể tích tứ diện ABCD bằng : B. 40 C. 50

  D 1; 2;1 A. 30 Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ

,Oxyz cho bốn điểm

; 1;6

B    , 3; 1; 4





 A a  D. 60  ,

C

 5; 1;0

D





  1; 2;1

, và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30. Giá trị của a là :

Trang 92 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

B. 2 C. 2 hoặc 32 D. 32

M

P đi qua

 1; 2; 4



36



,

,

và

,



1



1

 B.

A.1 Bài 3 [Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] ,Oxyz viết phương trình mặt phẳng  Trong không gian với hệ tọa độ cắt các tia

Ox Oy Oz lần lượt tại z z   1 4 12

OABCV ,A B C sao cho y z   3 12

x 6

x 4

y 2

x 3

y   6

C. A. D. Đáp án khác

x

d

:





,Oxyz cho

A

3;3;6

B

 1;5;0







 2

 y 1  1

z 2

Bài 4 [Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] 1 Trong không gian với hệ tọa độ và , . Điểm

1;1;0

3; 2; 2



M



 1;0; 2



B. D.

 A

D

C

B

 M   4;1; 2



, , . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD C.   

 3; 1;4   1;1;0  ABC là :

M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất có tọa độ là :   A. M  M   , Bài 5. Cho 0;0; 2 3;0;5 hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng 

1 11

;

';

'

A. 11 B. C.1 D. 11

  ,u v





 '

z z .

'

  v x y z ';   ; u v



cos



.





x x . 2

2

y y . 2

 ' 2

2

2

và được tính theo công thức : 5.4 TÍNH GÓC Kiến thức cơ bản 1. Góc giữa hai vectơ   Cho hai vectơ u x y z ;





x

y

z

x

'



y

'



z

'

, góc giữa hai vectơ   . u v   u v .

'd có vectơ chỉ phương lần lượt là

d

'

,

'

và 2. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d và . Góc  giữa hai

d d được tính theo công thức :

cos



cos



 du   ; u u d d '





u

.

 'du   u u . d   ( tích vô hướng u d

d

'

đường thẳng

 Q có hai vectơ pháp tuyến Pn

cos



cos



,P Q được tính theo công thức :



 



  ; n n P Q





 và Qn   n n . P Q .   . n n Q P

. Góc  giữa hai mặt phẳng chia tích độ dài ). 3. Góc giữa hai mặt phẳng P và  Cho hai mặt phẳng 

 P có vectơ pháp tuyến n

  ; u n



cos

sin

.

4. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng  Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u . Góc 





và mặt phẳng  Q được tính theo công thức

0;7;3

3;0; 4

2;1;0

  ;AB BC

cos

 B 

 A 











. Tính , . , giữa đường thẳng d và mặt phẳng  Ví dụ 1 [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]. Trong không gian với hệ tọa độ  ,Oxyz cho ba điểm C



.

.

.



.

14 3 118

14 118 354

798 57

798 57

B. A. C. D.

Trang 93 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

Hướng dẫn

  ,AB BC

vào máy tính Casio

cos

  ; AB BC





0.4296...

 

.

Nhập hai vectơ w811p1=p1=4=w8213=7=p1=





14 3 118

  . AB BC   AB BC ;

Tính

1

1

x

z

z

,Oxyz tính góc giữa hai đường thẳng 3

Wq53q57q54P(qcq53)Oqcq5 4))=









d

d

:

'

và .

 Đáp số chính xác là B. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ  1

 1 y  1

 2

y 1

030 .

x 1 045 .

 2 090 .

060 .

D. A. B. C.

 u

Hướng dẫn

'd có vectơ chỉ phương

  1; 1; 2



, đường thẳng

  ' 2;1;1

Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ độ qw3 Đường thẳng d có vectơ chỉ phương  u

d d thì '

;

cos



cos

  ; u u '







  ' . u u   . u u . '

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng

w8111=p1=2=w8212=1=1=Wqc q53q57q54)P(qcq53)Oqcq5 4))=



0.5



0 60 .

cos    =qkM)=

 Đáp số chính xác là C.

Ta có

A

B

C

 1;1;0





 0; 2;1

 1;0; 2



D

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ BÀI TẬP TỰ LUYỆN ,Oxyz cho bốn điểm , , ,

  1;1;1

. Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD .

Trang 94 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

0120

030

060

D. B.

 v

m

,Oxyz cho

090   1;1; 2





C.  u và . Tìm m để góc giữa  1;0;

  ,u v

2

6

m  

2

6

m  

2

6

hai vectơ là A. Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ 045 .

  2

m

6

   m  

,Oxyz cho hai mặt phẳng

2

2

z

2



 

P m x :

  và 2 0

  vuông góc với nhau :

z

2

2





1 0

x m y



A. B. C. D. Không có m thỏa mãn

m 

m 

3

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ  2

C.

 y m B.

2m 

D.

.

ABCD A B C D cạnh '

'

'

'

'B C . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và

'BC

,Oxyz cho hình lập phương

2 2

1 3

2 5

P chứa trục Oz

  y

Q

5

0

x

D. A. C. B.

 A. 1m  2 Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ ' bằng a . Xét hai điểm là trung điểm 3 2 ,Oxyz viết phương trình mặt phẳng   một góc z

060

  y

  y

 3



0

0

3

0

y

y

x

0

x

0

  y

x

3

y



0

  y

0

 : 2  x 3   3 

 x    x 

y 4



  và đường thẳng d

0

2

x

2

z

3 0

  3  5z 8   . Gọi  là góc giữa

 3 x    y x 3  ,Oxyz cho  P   ,  1 0

0   : 3 x  :  

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ và tạo với mặt phẳng   D. C. A. B.

030

060

B. D. Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ  : là giao tuyến của hai mặt phẳng  y x   P . Khi đó : đường thẳng d và mặt phẳng  045 C. A.

y

   5 0

z



,Oxyz tìm  để hai mặt phẳng 

 P x :

090 1 4

3

y





sin

cos

: sin



  vuông góc với nhau

2

0

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ

 Q x 015

  z 075

090

B. C. D. Cả A, B, C đều đúng

,Oxyz tính góc giữa đường thẳng

1

3

3

y

x



2

y

  

5

z

0.



:





 : P x

 1

 1

và  A. Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ z và mặt phẳng 

 2 030

045

060

090

C. D. B.

A. VẤN ĐỀ 6. ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀO BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM

LIÊN QUAN SỐ PHỨC

CÁC LỆNH CASIO

 Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE 2  Lệnh tính Môđun của số phức là SHIFT HYP  Lệnh tính số phức liên hợp z là SHIFT 2 2  Lệnh tính Acgument của số phức là SHIFT 2 1

i   1

6.1 TÍNH NHANH CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN SỐ PHỨC Các khái niệm thường gặp

 Đơn vị ảo là một đại lượng được kí hiệu i và có tính chất 2

Trang 95 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

,a b là các số thực, trong đó a được

trong đó  Số phức là một biểu thức có dạng a bi

gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo.

 

a bi

 

 Số phức liên hợp của số phức z là số phức z

 

a bi

z

  1



a bi 1 z 2

1  a bi 2

là số phức  Số phức nghịch đảo của số phức z

 

a bi

z



a



b

z

  và i

 Môđun của số phức z được kí hiệu là z và

i 2 3

2.

Ví dụ 1 [Đề minh họa THPT Quốc Gia lần 1 năm 2017]. Cho hai số phức 1 1 z z

z

 1.

z

 5.

z 1

2

z 1

2

13.

z

z





5.

C. D. B.

2 A.

z   .Tính môđun của số phức 1 z 1

z 1

2

2

Hướng dẫn

Đăng nhập lệnh số phức w2

(Khi nào máy tính hiển thị chữ CMPLX ở phía trên màn hình thì bắt đầu tính toán số phức được) Để tính Môđun của số phức ta nhập biểu thức vào máy tính rồi sử dụng lệnh SHIFT HYP

z



13

1+b+2p3b=qcM=

 Đáp số chính xác là A.

z 1

2

Vậy

 

a bi

i 3 2

 





2

z

thỏa mãn

 i z

. Tính Ví dụ 2 [Đề minh họa của bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]. Cho số phức z    P a b . 1

P 

.

P  

.

P  1.

P   1.

1 2

1 2





2

z

 

i 3 2

 

i 3 2

0

z

 (1). Khi nhập số phức liên hợp

 i z

   1

A. D. B. C.

Hướng dẫn   i z 2

Theo giả thiết  1 ta nhấn lệnh

q22

Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái của (1)

(1+b)Q)+2q22Q))p3p2b

 

;a b là số khác)

X

 1000 100 i

X là số phức nên có dạng X a bi

 r1000+100b=

.Nhập (có thể thay

Trang 96 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

  

2897





3





   

a b

2

  898 1000 100 2 

  

3 0

Vậy vế trái của (1) bằng 2897 898i 3.1000 100 3 3 .   a b Ta có :



  a

;

b



.

a b

  

2

0

1 2

 3 2

3 a b   

1

a b    Đáp số chính xác là B.

2

2

Mặt khác đang muốn vế trái 0



i

.

  3 1 2 i



Vậy Ví dụ 3[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]. Tìm số phức liên hợp với số phức z

    1   A. 9 10 .i

B. 9 10 .i C. 9 10 .i

  D. 9 10 .i

Hướng dẫn

Sử dụng máy tính Casio tính z

(1+b)dp3(1+2b)d=

9 10    i z    Đáp án B là chính xác. i 9 10 z Vậy Ví dụ 4. Cho số phức z A.

  a bi B.

2z .

2 2a b

C. 2ab D. ab . Tìm phần ảo của số phức 2 2 2a b

Hướng dẫn

2.1

b 

,a b (lưu ý nên chọn các giá trị lẻ để tránh xảy ra trường hợp đặc biệt).  i 1.25 2.1

a 



1.25

và

z ta có 2z 1.25+2.1b)d=

Vì đề bài cho ở dạng tổng quát nên ta tiến hành đặc biệt hóa bài toán bằng cách chọn giá trị cho Chọn Sử dụng máy tính Casio tính

.

21 4

Vậy phần ảo là

21 4

Xem đáp số nào có giá trị là thì đáp án đó chính xác. Ta có :

Trang 97 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

2

ab   Đáp án C là chính xác.

21 4

z

  a

a



i



1

Vậy

z 

1.

0

Ví dụ 5[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]. Tìm a để số phức (với a là số thực) có

a 

.

a 

.

.

a   1.

1 2

3 2

1

A. B. C. D.

 a   a Hướng dẫn

1a  đúng thì đáp án đúng chỉ có thể là C

1a  trước, nếu

1a  sai thì C và D đều sai. 1a  Sử dụng máy tính Casio tính z

Để xử lý bài này ta sử dụng phép thử, tuy nhiên ta chọn a sao cho khéo léo nhất để phép thử tìm đáp số nhanh nhất. Ta chọn hoặc D, nếu Với

1+(1p1)b=qcM=

z   Đáp án đúng chỉ có thể là C hoặc D. 1 0a  Sử dụng máy tính Casio tính z :

Vậy Thử với

0+(0p1)b=qcM=

z   Đáp án chính xác là C.

1

Vậy

w



i 2 3



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

  . Tìm số phức 1 , z   i 2   i 6 4 w   i w 6 4

.    i 6 4

   6 4 i

2. z w

w

D. B.

 

a bi

.

1z  có phần thực là :

Bài 1[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017]. Cho hai số phức 2 z z 1 1 C. A. Bài 2[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017]. Cho số phức z Số phức

2

2

2

2

a

a b

 b  b

B. C. A. a b D. a b

z

  2

i 3

i 3

a 1   2 

Bài 3. Tìm môđun của số phức là :

103 2

3 103 2

   5 103 2

22

3

2

...

z

i

i

A. B. C. D. Đáp án khác

    1

   1



. Phần thực của số phức z là :

 B.

   1 112 

112

112 

 2

112

C. D.

Bài 4[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017]  i Cho số phức  2 A. Bài 5[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017]

Trang 98 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

w



2







z

  . Phần ảo của số phức

i 2 3



 i z

Cho số phức là :

A. 9i B. 9

  i z 1 C. 5

 2 3



4



 

a bi

2

 i z

 i z

. Tìm thỏa mãn điều kiện   D. 5i     i 1 3

 2 3



4



D. Đáp án khác C.1 B. 1

a bi

 

 2P

 i z

 i z

    i 1 3

2

 a b

. Tìm Cho số phức z

Bài 6. Cho số phức z a b 2P   A. 3 Bài 7[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2]  D. Đáp án khác thỏa mãn điều kiện  C.1 B. 1

A. 3 6.2 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Kiến thức cơ bản 1. Các khái niệm thường gặp

 

a bi

; M a b .



khi biểu diễn trên hệ trục tọa độ Oxy là điểm  Số phức z

 

a bi

 .OM

  x

yi

là độ lớn của vecto



0

2

2

 x a

 y b

R





, biểu diễn số phức theo yêu cầu đề bài từ đó khử i

Ax By C   thì tập hợp điểm là đường thẳng. 2  



;  I a b

thì tập hợp điểm là đường tròn tâm  Môđun của số phức z 2. Tập hợp điểm thường gặp Bài toán quỹ tích ta thường đặt z và thu về một hệ thức mới :  Nếu hệ thức có dạng  Nếu hệ thức có dạng 

2

2

1



bán kính R .

 thì tập hợp điểm có dạng một Elip.

2

2

2

 Nếu hệ thức có dạng



Bx C

 thì tập hợp điểm là một Parabol.

y x b a  y Ax

 Nếu hệ thức có dạng

3. Lệnh Casio

  . Hỏi điểm



3

i

 i z

,

,

M N P Q ,

 Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE 2  Lệnh giải phương trình bậc hai MODE 5 3  Lệnh giải phương trình bậc ba MODE 5 4

Ví dụ 1 [Câu 31 Đề minh họa THPT Quốc Gia lần 1 năm 2017]. Cho số phức z thỏa mãn  1 biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm A.điểm P B.điểm Q C.điểm M D.điểm N

Hướng dẫn

z



3 1   i 1

Từ giả thiết

Sử dụng máy tính Casio trong môi trường CMPLX để tìm z

w2a3pbR1+b=

Trang 99 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

i 1 2

1; 2 . Điểm có thực dương



   z và ảo âm sẽ nằm ở góc phần tư thứ IV.  Điểm phải tìm là Q và đáp án chính xác là B.

 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là

17 0



z

và điểm biểu diễn z trong hệ trục thực ảo có tọa độ 

24 16  z w iz 0.

Ví dụ 2 [Đề thi minh họa bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]. Kí hiệu 0z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình điểm biểu diễn số phức

M

; 2

M

; 2

;1

M

;1

1 2

1 2

1 4

1 4

  

  

  

  

  

  

  

  

A. B. C. D.

Hướng dẫn

24 z



16

z



 17 0

Sử dụng lệnh giải phương trình bậc hai MODE 5 3 để giải phương trình

w534=p16=17===

24 z



16

z



17 0

 có hai nghiệm

z

  2

i

z

  2

i

1 2

1 2

Vậy phương trình và

  

2

z

i

w z i 0 .

1 2

. Tính Để 0z có phần ảo dương

w2(2+a1R2$b)b=

M

; 2

w

    Điểm biểu diễn số phức w là

i 2

1 2

1 2

  

  

 B là đáp án chính xác.

Vậy phương trình

z

  . Hãy xác

2

i

BÀI TẬP TỰ LUYỆN



  1w

 i z

Bài 1 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]. Cho số phức định điểm biểu diễn hình học của số phức



4z 5

 . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong

 i z

,

A. Điểm M B. Điểm N C. Điểm P D. Điểm Q

Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn  2 M N P Q ở hình bên . , , các điểm

Trang 100 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

A.Điểm N B.Điểm P C.Điểm M D. Điểm Q

4

,

Bài 3 [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017].

,A B C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức

i

2   5

4 5

i



32 .i

Trên mặt phẳng tọa độ các điểm ,





Khi đó tam giác ABC

C.Vuông cân tại B D. Tam giác đều

,

,A B C ,  i



i

i

i

A B C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số : i

,

' có

'G G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và

'

A B C . '

'

 GG  '

B.Vuông tại A ',

B. Vecto

 , 1 1 2  i A.Vuông tại C ', Bài 4. Các điểm 1  i  và 3 ,3 2 ,3 2  , 2 3 ,3 Khẳng định nào sau đây đúng ? A.G trùng

'G

   1; 1

  3 GA GA  '

'GAG B lập thành một hình bình hành

i

z

1

i 1 2

    

3 0

3 0

y 6

y 6

y 6

y 6

x

x

x

  D. 4

  B. 4

  3 0

  3 0

D. Tứ giác

C. 4

  

i 3 4

z

z

2

2

2

25









4

3

x

y

x

x



y 8

y 4

25 0

là phương trình có dạng C. Bài 5 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]. Cho các số phức z thỏa mãn . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một z đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó. x A. 4 Bài 6 [Thi thử THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z :

  3 0

 B. 3

x

25

y 







2

z  . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

i 3 2

 

w





2

 i z



r 

r 

20

7

C. D.

r  7

r 

20

D. C. B.



z

 1

 i z

R 

2

A. 6 Bài 7 [Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017]. Cho các số phức z thỏa mãn là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. Bài 8 [Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]. Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn   1

I

 , bán kính

R 

3

A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm

I

R 

3

A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm

I

 , bán kính

R 

2

 , bán kính

I

  2; 1  1;0 , bán kính   0; 1   0; 1

2

2

z

z

A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm

là

C.Một điểm D.Hai đường thẳng

    z

i 2

1

z

z

là một Parabol có A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm Bài 9 [Thi thử THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn A.Cả mặt phẳng B.Đường thẳng Bài 10.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2

phương trình

Trang 101 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

2

2

2

y



y 

 x

 4

y



x



2

x

y



23 x



6

x

 B. 2

1  3

x 2

x 3

2,z z là hai nghiệm phức

2

A. C. D.

1 0

z

2

.

2

6.3GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017]. Gọi 1 z   . Tính giá trị của của phương trình A. 0. B.1. D. 4.

Tính nghiệm của phương trình bậc hai

z z 1 C. 2. Hướng dẫn z   bằng chức năng MODE 5 3

1 0

z

w531=p1=1==

i

z

i

z Vậy ta được hai nghiệm 1

2

1   2

3 2

1   2

3 2

và . Tính tổng Môđun của hai số phức

z

2

 ta thấy B là đáp án chính xác.

2

  . Tính giá trị của biểu thức

2 0

z

z

.

2016  P z 1

2016 2

trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP w2qca1R2$+as3R2$b$+qca1R 2$pas3R2$b=

C.

2 2 z B. 0

  z 1 2,z z là hai nghiệm phức Ví dụ 2 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]. Gọi 1 của phương trình  A. 10092

20172

D. 10082

z

  bằng chức năng MODE 5 3

Tính nghiệm của phương trình bậc hai

   và i

   . 1

z

i

2

  1

i

  4

z Ta thu được hai nghiệm 1 4 Ta có    1 i

  ,  4

1 4 w2(p1+b)^4=

504

504

2016

2016

4

4



z

1

i

1

i

1

i

1

i

Hướng dẫn 2 2 z 2 0 w531=2=2==

   



   



   



   



2016  P z 1

2016 2

 

 

 

 

Vậy

Trang 102 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

504

504

504

1008





504 4

1008 2

1008 2







4

2.2



1009 2



 ta thấy A là đáp án chính xác.

   4 

   4 1009 2

z



2016 2

z z ,

,

4

 . Tính tổng

2 12 0

z

z

2016 P z  1 Ví dụ 3[Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]. Kí hiệu 1  phức của phương trình z

T







2 z

z và 3 

z

z 1

2

4z là bốn nghiệm 4 .

3

T 

2 3

T  

4 2 3

T  

2 2 3

T  4

4

A. B. D. C. Hướng dẫn

t khi đó phương trình trở thành 2 t

 thì ta coi

 12 0

t 

z

2z

2 12 0  w531=p1=p12==

2

z

4



Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương z

.

2

  3

z

  

    z 2

4

2

23 i

z

i 3

t  4    t 3  2z 2 z   ta có thể đưa về

3

    2

Vậy hay

z w531=0=3==

z

 

1,

i 3

z

  Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP w2qc2$+qcp2$+qcs3$b$+qcp s3$b=

3

Với Với z dụng chức năng MODE 5 cho phương trình với 2 i   . Hoặc ta có thể tiếp tục sử 1 2      z 3 3 0

 Đáp án chính xác là C. Ví dụ 4. Giải phương trình sau trên tập số phức :

z

z

  0

i

   i

 21 z

   i

 1

z

i

z

i

i 

1    2

3 2

1    2

B. D.Cả A, B, C đều đúng C. A. z

3 2 Hướng dẫn

Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC Q)^3$+(b+1)Q)d+(b+1)Q)+b rpb=

Trang 103 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

i  là nghiệm

Vậy z

z

i

1    2

3 2

Tiếp tục kiểm tra nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có

nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất.

rp(1P2)+(s3)P2)b=

z

i

1    2

3 2

 Đáp án chính xác là D.

Vậy tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

z

z 1

2

là : Bài 1[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017].Cho phương trình 2 2z 17 0  z 

 có hai nghiệm phức 1z và C. 2 10 B. 2 13

2z . Giá trị của D. 2 15

2

2

, zz 2



là hai nghiệm của

 . Tính giá trị biểu thức

2z 10 0

2 z 



 A z 1

2

A. 2 17 Bài 2[Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009].Gọi 1 z phương trình

C. 5 2 D.10 3

3 27 0 z 

 . Tính tổng

T





z



z 1

2

z 3

2

z là nghiệm của phương trình 3

3 3

T 

B. 20 z z , ,

3T 

9T 

z z ,

,

,

z z là bốn nghiệm 3

4

2

2

4

  . Tính tổng sau :

2 0

2z

3z



D.









z

z

z

2

3

4

z 1

A. 2 10 Bài 3. Kí hiệu 1 T  0 A. C. B. Bài 4[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017].Gọi 1 phức của phương trình T

3 1 z  trên

C. 3 2 B. 5 2

3

A. 5 D. 2 Bài 5[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017]. Xét phương trình tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là :

S

S



i

S

  

i

S 

 1

  1 2

1   2

3 2

1 2

3 2

    1;  

    

  1;   

    

    

    

2009

A. B. C. D.

z

  . Tính giá trị biểu thức

1

 P z



1 2009

1 z

z

Bài 6. Biết z là nghiệm của phương trình

1P 

0P 

5 P   2

7 P  4

A. B. C. D.

Trang 104 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

III. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI

1. Hiệu quả kinh tế

Trên thị trường hiện nay một máy chấm trắc nghiệm dùng tốt tầm khoảng trên 20 triệu đồng đó là số tiền tương đối lớn với một giáo viên. Trong khi chỉ với điện thoại smartphone hiện nay rất thông dụng với tất cả mọi người và phần mêm ZipGrade chúng ta đó có một máy chấm trắc nghiệm cho riêng cá nhân mình. Hơn nữa việc cài đặt phần mềm ZipGrade với điện thoại rất dễ. Chúng tôi thấy phần mêm ZipGrade thật hữu ích nên thông qua sáng kiến kinh nghiệm này chúng tôi muốn chia sẻ một số hiểu biết của mình về phần mềm ZipGrade. Đưa ra cách cài đặt và sử dụng cơ bản tới các thầy (cô) hi vọng giúp thầy (cô) chấm trắc nghiệm một cách đơn giản hơn và từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học.

Trên Internet có rất nhiều tài liệu đề cập đến vấn đề sử dụng máy tính cầm tay để làm toán trắc nghiệm nhưng còn lan man và chưa thực sự có tính hệ thống. Chúng tôi hy vọng bản sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là tài liệu tốt cho các thầy cô, các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 12 chuẩn bị thi trung học phổ thông quốc gia, giúp các em tự tin hơn khi giải quyết các bài toán trắc nghiệm.

Trang 105 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

2. Hiệu quả về mặt xã hội

Sau một thời gian áp dụng giải pháp, qua thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy:

Về chấm bài kiểm tra cho học sinh nhanh và chuẩn xác, với điểm kiểm tra được xuất trên exel kết hợp với sổ liên lạc điện tử nên nhưng thông tin về học tập của học sinh được phụ huynh cập nhật kịp thời. Thông qua đó chất lượng dạy và học được nâng cao. Đối với học sinh được thực hành làm bài thi kiểm tra trắc nghiệm với nhiều mã đề khác nhau nên trong các kì thi của nhà trường học sinh rất tự tin khi làm bài và có kết quả tốt.

Về sử dụng máy tính cầm tay làm nhanh bài toán trắc nghiệm nếu biết kết hợp việc dạy và học môn Toán với sự trợ giúp của máy tính cầm tay một cách linh hoạt thì hiệu quả thu được sẽ rất tốt. Học sinh yêu thích môn học này hơn, đồng thời kích thích trí tò mò tìm hiểu khoa học của học sinh, các em tích cực chủ động trong việc lĩnh hội kiến thức các môn học tự nhiên nói chung và môn Toán nói riêng. Chất lượng bộ môn được nâng cao, thể hiện cụ thể ở kết quả học tập của các em

Trong quá trình triển khai sáng kiến, chúng tôi đã thu được một số thành công bước đầu:

Về phía học sinh: Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống các dạng bài tập trắc nghiệm toán lớp 12 theo từng chủ đề, chúng tôi thấy đã phát huy được tính tích cực, tư duy sáng tạo, sự say mê môn học của học sinh, giúp học sinh hình thành phương pháp và cách làm việc với khoa học Toán học. Đặc biệt các em học sinh chuẩn bị thi THPTQG tuy đã được tiếp xúc với máy tính từ rất lâu nhưng đa số học sinh vẫn chưa khai thác hết kho tính năng khổng lồ của máy tính để phục vụ công việc giải toán. Sáng kiến này nhằm cung cấp cho các em những tính năng máy tính nổi bật và gần gũi nhất đối với học sinh ôn thi THPTQG. Khi biết sử dụng thành thạo máy tính cầm tay để giải toán, học sinh còn tự rèn luyện khả năng tư duy thuật toán, qua đó giúp các em củng cố khắc sâu kiến thức hơn, nâng cao khả năng tư duy lôgíc, giúp các em học tốt hơn. Kết hợp với ZipGrade chúng tôi đã khảo sát 10 em học sinh lớp 12 A5 trường THPT ………. và thấy kết quả của các em học sinh đã tăng lên nhiều so với các lần trước đó thể hiện qua điểm thống kê sau

STT

Họ và tên

Đề 1 Điểm

Điểm Đề 3 Điểm

Đề 2

Đề 1

66

Đề 2

76

Đề 3

96

Đề 1

56

Đề 2

76

Đề 3

78

Đề 1

80

Đề 2

86

Đề 3

92

Đề 1

66

Đề 2

74

Đề 3

74

Đề 1

84

Đề 2

84

Đề 3

96

Đề 1

74

Đề 2

86

Đề 3

88

Đề 1

82

Đề 2

80

Đề 3

94

Đề 1

72

Đề 2

76

Đề 3

80

Đề 1

84

Đề 2

82

Đề 3

88

1 Ngô Thị Kim Anh 2 Nguyễn Thị Ngọc Ánh 3 Vũ Tuấn Dũng 4 Đinh Nguyễn Tuấn Dũng 5 Nguyễn Tiến Đạt 6 Trần Thị Hà 7 Nguyễn Thị Phương Hà 8 Trần Thị Thanh Hảo 9 Trần Thị Kim Hoa 10 Nguyễn Thu Hoài

Đề 1

76

Đề 2

78

Đề 3

84

Về phía giáo viên: chúng tôi thấy các thầy cô trong trường trong tổ rất thích thú với phần mềm chấm trắc nghiệm trên điện thoại smartphone và kĩ năng dùng casio để giải nhanh toán trắc nghiệm. Ngoài ra tôi nhận thấy trình độ chuyên môn của mình được nâng lên rất nhiều, phù hợp với quá trình đổi mới phương pháp dạy học của ngành đề ra. Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp cho các bạn đồng nghiệp ở các môn thi trắc nghiệm có thêm một tài liệu tham khảo bổ ích trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là bộ môn Toán. Qua sáng kiến này chúng tôi cũng hy

Trang 106 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

vọng các thầy cô yêu thích hơn các ứng dụng công nghệ nâng cao chất lượng giảng dạy mà trong đó có máy tính Casio và Vinacal đem lại cho chúng ta và truyền sự say mê này đến các học sinh của mình.

Máy tính là một công cụ đắc lực trong việc giải toán nói chung và dạng thức thi trắc nghiệm nói riêng. Đặc biệt đối với hình thức thi trắc nghiệm, máy tính là một công cụ rất quan trọng, càng hiểu càng thành thạo máy tính, càng biết nhiều thủ thuật giải toán bao nhiêu thì cơ hội chiến thắng của chúng ta mới càng cao. Còn rất nhiều dạng toán mà nếu giải bằng phương pháp bình thường sẽ gặp nhiều khó khăn. Biết khai thác những thế mạnh mà máy tính đem lại sẽ giúp cho học sinh dễ dàng định hướng và làm cho việc học Toán bớt nặng nề hơn, hy vọng việc bổ sung thêm các chuyên đề này sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm giải toán cho học sinh, góp phần hình thành niềm đam mê, yêu thích bộ môn, từ đó hướng các em vào việc nghiên cứu để tìm ra những ứng dụng mới, không hài lòng với những kiến thức đã biết mà luôn luôn có tinh thần tìm tòi sáng tạo để tự mình tìm ra kiến thức mới.

Khoa học công nghệ ngày càng phát triển việc áp dụng phần mềm máy móc phục vụ cho quá trình dạy và học là điều vô cùng quan trọng và cần thiết. Do kinh nghiệm chưa nhiều và thời gian hạn chế nên bài viết còn rất nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để bài viết được hoàn thiện hơn.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

(Xác nhận, đánh giá, xếp loại)

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Trang 107 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

(Xác nhận, đánh giá, xếp loại)

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Danh mục các tài liệu tham khảo:

1. Sách giáo khoa và sách bài tập ban cơ bản và nâng cao lớp 12 hiện hành. 2. Đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 1 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. 3. Đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 2của Bộ Giáo dục và Đào tạo. 4. Đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 3 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. 5. Đề minh họa đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội. 6. Đề thi thử THPTQG của các sở, các trường chuyên... 7. Tạp chí Toán học tuổi trẻ. 8. Tài liệu trên internet.

Trang 108 Sáng kiến kinh nghiệm dự thi cấp tỉnh