Tài liệu học tập môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để hệ thống lại kiến thức cũ, trang bị thêm kiến thức mới, rèn luyện kỹ năng giải đề nhanh và chính xác cũng như thêm tự tin hơn khi bước vào kì kiểm tra sắp đến, mời các bạn học sinh cùng tham khảo "Tài liệu học tập môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây" làm tài liệu để ôn tập. Chúc các bạn làm bài kiểm tra tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu học tập môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY  TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 12 Họ tên HS: …………….…………. Lớp: ………………..……… Tài liệu lưu hành nội bộ 1
MỤC LỤC CHÖÔNG I : ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ............................. 3 BAØI 1: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ ........................................................................ 3 BAØI 2: CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ ....................................................................................... 6 BAØI 3: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ ..................... 9 BAØI 4: ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ ................................................................... 10 BAØI 5: KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ ...................... 11 BAØI 6: MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ ..................... 13 CHÖÔNG II : HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT ..... 20 BAØI 1: LUYÕ THÖØA .......................................................................................................... 20 BAØI 2: LOGARIT.............................................................................................................. 22 BAØI 3: HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT ........................... 24 BAØI 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ......................................................................................... 25 BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................. 27 BAØI 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ................................................................................ 29 BAØI 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ..................................................................... 29 NHAÉC LAÏI MOÄT SOÁ COÂNG THÖÙC TRONG HÌNH HOÏC PHAÚNG ...................... 30 CHÖÔNG I :KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG ................................ 31 BAØI 1: KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN ...................................................................... 31 BAØI 2: KHOÁI ÑA DIEÄN LOÀI VAØ KHOÁI ÑA DIEÄN ÑEÀU .............................................. 34 BAØI 3: KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN ......................................... 36 CHÖÔNG II : KHOÁI TROØN XOAY .......................................................................... 38 BAØI 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU ..................................................................................... 38 BAØI 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN ............................................................ 39 BAØI 3: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ .................................................................. 40 BAØI 4: DIEÄN TÍCH – THEÅ TÍCH.................................................................................... 40 VAÁN ÑEÀ 1: MAËT CAÀU – KHOÁI CAÀU ........................................................................ 41 VAÁN ÑEÀ 2: MAËT NOÙN – HÌNH NOÙN – KHOÁI NOÙN ................................................ 41 VAÁN ÑEÀ 3: MAËT TRUÏ – HÌNH TRUÏ – KHOÁI TRUÏ .................................................. 42 2
CHÖÔNG I: ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ BAØI 1: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ 1. Ñinh nghóa:  Haøm soá f ñoàng bieán treân K  x1, x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2    Haøm soá f nghòch bieán treân K  x1, x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2   2. Ñieàu kieän caàn: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I .   a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f ' x  0, x  I . b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f '  x   0, x  I . 3. Ñieàu kieän ñuû: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I .     a) Neáu f ' x  0, x  I ( f ' x  0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I . b) Neáu f '  x   0, x  I ( f '  x   0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I . c) Neáu f '  x   0, x  I thì f khoâng ñoåi treân I . Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù. VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x), ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: – Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. – Tính y. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y = 0 hoaëc y khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn) – Laäp baûng xeùt daáu y (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. Câu 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: x2 5 a) y   2 x 2  4 x  5 b) y  x c) y  x 2  4 x  3 4 4 d) y  x3  2 x 2  x  2 e) y  (4  x)( x  1)2 f) y  x3  3x 2  4 x  1 1 4 1 4 1 2 g) y  x  2 x2  1 h) y   x 4  2 x 2  3 i) y  x  x 2 4 10 10 2x 1 x 1 1 k) y  l) y  m) y  1  x5 2x 1 x 2 x 2  x  26 1 4 x 2  15x  9 n) y  o) y   x  3  p) y  x 2 1 x 3x Câu 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: x2  1 x2  x  1 a) y  6 x 4  8x3  3x 2  1 b) y  c) y  x2  4 x2  x  1 3
2x 1 x d) y  e) y  f) y  x  3  2 2  x x2 x 2  3x  2 g) y  2 x  1  3  x h) y  x 2  x 2 i) y  2 x  x 2 VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh) Cho haøm soá y  f (x, m) , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D.  Haøm soá f ñoàng bieán treân D  y  0, x  D.  Haøm soá f nghòch bieán treân D  y  0, x  D. Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m. Chuù yù: 1) y = 0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm. 2) Neáu y '  ax 2  bx  c thì:  a  b  0  a  b  0 c  0 c  0  y '  0, x  R    y '  0, x  R   a  0 a  0   0   0 3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai g( x)  ax 2  bx  c :  Neáu  < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a. b  Neáu  = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x =  ) 2a  Neáu  > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x1, x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu vôùi a, ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a. 4) So saùnh caùc nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc baäc hai g( x)  ax 2  bx  c vôùi soá 0:   0   0    x1  x2  0  P  0  0  x1  x2  P  0  x1  0  x2  P  0 S  0 S  0 5) Ñeå haøm soá y  ax3  bx 2  cx  d coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) (x1; x2) baèng d thì ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Tính y.  Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán: a  0   0 (1)   Bieán ñoåi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2 (2)  Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m.  Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm. Câu 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taäp xaùc ñònh) cuûa noù: x3 2x 1 3 a) y  x  5x  13 b) y   3x 2  9 x  1 c) y  3 x2 4
x2  2 x  3 x 2  2mx  1 d) y  e) y  3x  sin(3x 1) f) y  x 1 xm Câu 2. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taä p xaùc ñònh) cuûa noù: a) y  5x  cot(x 1) b) y  cos x  x c) y  sin x  cos x  2 2 x Câu 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù: x3 mx 2 a) y  x3  3mx 2  (m  2) x  m b) y    2x 1 3 2 xm mx  4 c) y  d) y  xm xm Câu 4. Tìm m ñeå haøm soá: a) y  x3  3x 2  mx  m nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1. 1 1 b) y  x 3  mx 2  2mx  3m  1 nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3. 3 2 1 c) y   x 3  (m  1) x 2  (m  3) x  4 ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4. 3 Câu 5. Tìm m ñeå haøm soá: x3 a) y   (m  1) x 2  (m  1) x  1 ñoàng bieán treân khoaûng (1; +). 3 b) y  x3  3(2m  1) x 2  (12m  5) x  2 ñoàng bieán treân khoaûng (2; +). mx  4 c) y  (m  2) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +). xm xm d) y  ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +). xm VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f(x) > 0 (hoaëc
tan a a   a)  , vôùi 0  a  b  b) a  sin a  b  sin b, vôùi 0  a  b  tan b b 2 2  c) a  tan a  b  tan b, vôùi 0  a  b  2 Câu 3. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: 2x  x3 x3 x 5 a) sin x  , vôùi 0  x  b) x   sin x  x   , vôùi x  0  2 6 6 120  c) x sin x  cos x  1, vôùi 0  x  2 BAØI 2: CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ I. Khaùi nieäm cöïc trò cuûa haøm soá Giaû söû haøm số f xaùc ñònh treân taäp D (D  ) vaø x0  D. a x0 – ñieåm cöïc ñaïi cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b)  D va x0  (a; b) sao cho f(x) < f(x0), vôùi x  (a; b) \ {x0}. Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc ñaïi (cöïc ñaïi) cuûa haøm f . b) x0 – ñieåm cöïc tieåu cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b)  D vaø x0  (a; b) sao cho f(x) > f(x0), vôùi x  (a; b) \ {x0}. Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc tieåu (cöïc tieåu) cuûa f. c) Neáu x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa f thì ñieåm (x0; f(x0)) ñgl ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá f. II. Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f (x0) = 0. Chuù yù: Haøm soá f chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm. III. Ñieåu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò 1. Ñònh lí 1: Giaû söû haøm soá f lieân tuïc treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0 vaø coù ñaïo haøm treân (a; b)\{x0} a) Neáu f (x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. b) Neáu f (x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0. 2. Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0, f (x0) = 0 vaø coù ñaïo haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm x0. a) Neáu f (x0) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0. b) Neáu f (x0) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá Qui taéc 1: Duøng ñònh lí 1.  Tìm f (x).  Tìm caùc ñieåm xi (i = 1, 2, …) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm.  Xeùt daáu f (x). Neáu f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua xi thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi xi. Qui taéc 2: Duøng ñònh lí 2. 6
 Tính f (x).  Giaûi phöông trình f (x) = 0 tìm caùc nghieäm xi (i = 1, 2, …).  Tính f (x) vaø f (xi) (i = 1, 2, …). Neáu f (xi) < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi xi. Neáu f (xi) > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi xi. Câu 1. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: 1 a) y  3x 2  2 x3 b) y  x3  2 x 2  2 x  1 c) y   x 3  4 x 2  15 x 3 x4 x4 3 d) y   x2  3 e) y  x 4  4 x 2  5 f) y    x2  2 2 2  x 2  3x  6 3x 2  4 x  5 2 x  2 x  15 g) y  h) y  i) y  x2 x 1 x 3 Câu 2. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: 4 x2  2 x  1 3x 2  4 x  4 a) y  ( x  2)3 ( x  1)4 b) y  c) y  2 x2  x  3 x2  x  1 d) y  x x 2  4 e) y  x 2  2 x  5 f) y  x  2 x  x 2 VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò 1. Neáu haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f (x0) = 0 hoaëc taïi x0 khoâng coù ñaïo haøm. 2. Ñeå haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0. Chuù yù:  Haøm soá baäc ba y  ax3  bx 2  cx  d coù cöïc trò  Phöông trình y = 0 coù hai nghieäm phaân bieät. Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch: + y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d + y( x0 )  Ax0  B , trong ñoù Ax + B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y. ax 2  bx  c P( x )  Haøm soá y  = (aa 0) coù cöïc trò  Phöông trình y = 0 coù hai nghieäm a' x  b' Q( x ) b' phaân bieät khaùc  . a' Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch: P ( x0 ) P '( x0 ) y( x0 )  hoaëc y( x0 )  Q( x0 ) Q '( x0 )  Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû nghieäm ngoaïi lai.  Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø ñònh lí Vi–et. Câu 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu: a) y  x3  3mx 2  3(m2  1) x  m3 b) y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 x 2  m(m2  1) x  m4  1 x 2  mx  m  2 c) y  d) y  xm x  m 1 7
Câu 2. Tìm m ñeå haøm soá: a) y  (m  2) x3  3x 2  mx  5 coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu. b) y  x3  3(m  1) x 2  (2m2  3m  2) x  m(m  1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu. c) y  x3  3mx 2  (m2  1) x  2 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2. 1 d) y  mx 4  2(m  2) x 2  m  5 coù moät cöïc ñaïi x  . 2 x 2  2mx  2 e) y  ñaït cöïc tieåu khi x = 2. xm Câu 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau khoâng coù cöïc trò: a) y  x3  3x 2  3mx  3m  4 b) y  mx3  3mx 2  (m  1) x  1  x 2  mx  5 x 2  (m  1) x  m2  4m  2 c) y  d) y  x 3 x 1 Câu 4. Tìm a, b, c, d ñeå haøm soá: 4 1 a) y  ax3  bx 2  cx  d ñaït cöïc tieåu baèng 0 taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi baèng taïi x = 27 3 b) y  ax 4  bx 2  c coù ñoà thò ñi qua goác toaï ñoä O vaø ñaït cöïc trò baèng –9 taïi x = 3. x 2  bx  c c) y  ñaït cöïc trò baèng –6 taïi x = –1. x 1 ax 2  bx  ab d) y  ñaït cöïc trò taïi x = 0 vaø x = 4. bx  a ax 2  2 x  b e) y  ñaït cöïc ñaïi baèng 5 taïi x = 1. x2  1 Câu 5. Tìm m ñeå haøm soá : a) y  x3  2(m  1) x 2  (m2  4m  1) x  2(m2  1) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: 1 1 1   (x  x ) . x1 x2 2 1 2 1 b) y  x 3  mx 2  mx  1 ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: x1  x2  8 . 3 1 1 c) y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: x1  2 x2  1 . 3 3 VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò 1) Haøm soá baäc ba y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d .  Chia f(x) cho f (x) ta ñöôïc: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.  Khi ñoù, giaû söû (x1; y1), (x2; y2) laø caùc ñieåm cöïc trò thì:  y1  f ( x1 )  Ax1  B  y  f ( x )  Ax  B  2 2 2  Caùc ñieåm (x1; y1), (x2; y2) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B. P( x) ax 2  bx  c 2) Haøm soá phaân thöùc y  f ( x)   . Q( x) dx  e 8
P '( x0 )  Giaû söû (x0; y0) laø ñieåm cöïc trò thì y0  . Q '( x0 )  Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò P '( x ) 2ax  b aáy laø: y  . Q '( x ) d Câu 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá : a) y  x3  2 x 2  x  1 b) y  3x 2  2 x3 c) y  x 3  3x 2  6 x  8 Câu 2. Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá: a) y  x3  3mx 2  3(m2  1) x  m3 b) y  x3  3(m  1) x 2  (2m2  3m  2) x  m(m  1) Câu 3. Tìm m ñeå haøm soá: a) y  2 x3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  1 coù ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò song song vôùi ñöôøng thaúng y = –4x + 1. b) y  2 x3  3(m  1) x 2  6m(1  2m) x coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ñoà thò naèm treân ñöôøng thaúng y = –4x. c) y  x3  mx 2  7 x  3 coù ñöôøng thaúng ñi qua caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = 3x – 7. BAØI 3: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ 1. Ñònh nghóa: Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân mieàn D (D  R).  f ( x )  M , x  D  f ( x )  m, x  D a) M  max f ( x )   b) m  min f ( x )   D x0  D : f ( x0 )  M D x0  D : f ( x0 )  m 2. Tính chaát: a) Neáu haøm soá f ñoàng bieán treân [a; b] thì max f ( x)  f (b), min f ( x)  f (a) . [a;b] [a;b] b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì max f ( x)  f (a), min f ( x)  f (b) . [a;b] [a;b] VAÁN ÑEÀ : Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá theo 2 caùch Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng.  Tính f (x).  Xeùt daáu f (x) vaø laäp baûng bieán thieân.  Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän. Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b].  Tính f (x).  Giaûi phöông trình f (x) = 0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x1, x2, …, xn treân [a; b] (neáu coù).  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).  So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän. M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) [a;b] m  min f ( x )  min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) [a;b] Câu 1. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: 9
a) y  x 2  4 x  3 b) y  4 x3  3x 4 c) y  x 4  2 x 2  2 x 1 2 x2  4 x  5 d) y  x2  x  2 e) y  f) y  x2  2 x  2 x2  1 Câu 2. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: a) y  2 x3  3x 2  12 x  1 treân [–1; 5] b) y  3x  x 3 treân [–2; 3] c) y  x 4  2 x 2  3 treân [–3; 2] d) y  x 4  2 x 2  5 treân [–2; 2] 3x  1 x 1 e) y  treân [0; 2] f) y  treân [0; 4] x 3 x 1 4 x2  7x  7 1  x  x2 g) y  treân [0; 2] h) y  treân [0; 1] x2 1  x  x2 i) y  100  x2 treân [–6; 8] k) y  2  x  4  x Câu 3. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: a) y  2sin2 x  cos x  1 b) y  cos2x  2sin x 1 BAØI 4: ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ 1. Ñònh nghóa:  Ñöôøng thaúng x  x0 ñgl ñöôøng tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá y  f ( x) neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: lim  f ( x)   ; lim  f ( x)   ; lim f ( x)   ; lim f ( x)   xx0 xx0 xx0 xx0  Ñöôøng thaúng y  y0 ñgl ñöôøng tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá y  f ( x) neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: lim f ( x)  y0 ; lim f ( x)  y0 x x  Ñöôøng thaúng y  ax  b, a  0 ñgl ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá y  f ( x) neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: lim  f ( x)  (ax  b)  0 ; lim  f ( x)  (ax  b)  0 x x 2. Chuù yù: P( x) a) Neáu y  f ( x)  laø haøm soá phaân thöùc höõu tyû. Q( x)  Neáu Q(x) = 0 coù nghieäm x0 thì ñoà thò coù tieäm caän ñöùng x  x0 .  Neáu baäc(P(x))  baäc(Q(x)) thì ñoà thò coù tieäm caän ngang.  Neáu baäc(P(x)) = baäc(Q(x)) + 1 thì ñoà thò coù tieäm caän xieân. b) Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá a, b trong phöông trình cuûa tieäm caän xieân, ta coù theå aùp duïng caùc coâng thöùc sau: f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  x  x x  f ( x) hoaëc a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  x  x x  Câu 1. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: 10
2x  5 10 x  3 2x  3 a) y  b) y  c) y  x 1 1 2x 2x 2 x  4x  3 ( x  2)2 7x2  4 x  5 d) y e) y  f) y  x 1 1 x 2  3x Câu 2. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: x 2 x x2  4 x  5 a) y b) y  c) y  2 x  4x  5 9  x2 x2  1 2 x 2  3x  3 x3  x  1 x4  x  4 d) y e) y  f) y  x2  x  1 x2  1 x3  1 Câu 3. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: 4x  2 1 a) y  x2  4 x b) y  c) y  x2  9 x2  4 x  3 x 1 3 2 3 x 2  3x  2 d) y  x e) y  3x  x f) y  x 1 x 2 Câu 4. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù ñuùng hai tieäm caän ñöùng: 3 2  x2 x 3 a) y  b) y  c) y  2 2 2 2 4 x  2(2m  3) x  m  1 3 x  2(m  1) x  4 x  x m2 x 3 x 1 3 d) y  e) y  f) y  2 2 2 2 2 x  2(m  2) x  m  1 x  2(m  1) x  m  2 2 x  2mx  m  1 BAØI 5: KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ 1. Caùc böôùc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá  Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.  Xeùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: + Tính y. + Tìm caùc ñieåm taïi ñoù ñaïo haøm y baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh. + Tìm caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc, giôùi haïn voâ cöïc vaø tìm tieäm caän (neáu coù). + Laäp baûng bieán thieân ghi roõ daáu cuûa ñaïo haøm, chieàu bieán thieân, cöïc trò cuûa haøm soá.  Veõ ñoà thò cuûa haøm soá: + Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò (ñoái vôùi haøm soá baäc ba vaø haøm soá truøng phöông). – Tính y. – Tìm caùc ñieåm taïi ñoù y = 0 vaø xeùt daáu y. + Veõ caùc ñöôøng tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. + Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò nhö giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä (trong tröôøng hôïp ñoà thò khoâng caét caùc truïc toaï ñoä hoaëc vieäc tìm toaï ñoä giao ñieåm phöùc taïp thì coù theå boû qua). Coù theå tìm theâm moät soá ñieåm thuoäc ñoà thò ñeå coù theå veõ chính xaùc hôn. + Nhaän xeùt veà ñoà thò: Chæ ra truïc ñoái xöùng, taâm ñoái xöùng (neáu coù) cuûa ñoà thò. 2. Haøm soá baäc ba y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) :  Taäp xaùc ñònh D = R.  Ñoà thò luoân coù moät ñieåm uoán vaø nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng.  Caùc daïng ñoà thò: a>0 a
y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät y y  ’ = b2 – 3ac > 0 I 0 x 0 I x y’ = 0 coù nghieäm keùp  ’ = b2 – 3ac = 0 y’ = 0 voâ nghieäm y y  ’ = b2 – 3ac < 0 I I 0 x 0 x 3. Haøm soá truøng phöông y  ax 4  bx 2  c (a  0) :  Taäp xaùc ñònh D = R.  Ñoà thò luoân nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng.  Caùc daïng ñoà thò: a>0 a 0 ax  b 4. Haøm soá nhaát bieán y  (c  0, ad  bc  0) : cx  d  d  Taäp xaùc ñònh D = R \   .  c d a  Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø x   vaø moät tieäm caän ngang laø y  . Giao ñieåm cuûa hai c c tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá.  Caùc daïng ñoà thò: 12
y y 0 x 0 x ad – bc > 0 ad – bc < 0 Câu 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: a) y  x3  3x 2  9 x  1 b) y  x 3  3x 2  3x  5 c) y   x 3  3x 2  2 x3 1 d) y  ( x  1)2 (4  x) e) y   x2  f) y   x3  3x 2  4 x  2 3 3 Câu 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: x4 5 a) y  x 4  2 x 2  1 b) y  x 4  4 x 2  1 c) y   3x 2  2 2 d) y  ( x  1)2 ( x  1)2 e) y   x 4  2 x 2  2 f) y  2 x 4  4 x 2  8 Câu 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: x 1 2x 1 3 x a) y  b) y  c) y  x2 x 1 x4 1 2x 3x  1 x 2 d) y  e) y  f) y  1 2x x 3 2x 1 Câu 4. Veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: 3 x 1 a) y  x  3 x  2 b) y  x3  3x2  2 c) y  x4  2x2  3 d) y  x 1 BAØI 6: MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 1. SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ 1. Cho hai ñoà thò (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x). Ñeå tìm hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) ta giaûi phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm). Soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò. 2. Ñoà thò haøm soá baäc ba y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät  Phöông trình ax3  bx 2  cx  d  0 coù 3 nghieäm phaân bieät.  Haøm soá y  ax3  bx 2  cx  d coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø yCÑ .yCT  0 . Câu 1. Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau:  x2 3  y    3x   2x  4 y   3 a)  2 2 b)  x 1 c)  y  4 x  3 x y  x 1  y   x 2  2 x  4 y   x  2  2 2  2  y  x 4  x 2  1  y  x3  5x 2  10 x  5 y  x d)  2 e)  2 f)  x 1  y  4 x  5 y  x  x  1   y  3 x  1 Câu 2. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: 13
( x  2)2  1 a) y  ; y  mx  1 caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. x2 2 x 2  3x  m b) y  ; y  2 x  m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. x 1 mx 2  x  m c) y  ; y  mx  2 caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. x 1 x2  4 x  5 d) y  ; y  mx  2 caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. x2 ( x  2)2 e) y  ; y  mx  3 caét nhau taïi hai ñieåm thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau. 1 x mx 2  x  m f) y  caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông. x 1 Câu 3. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: a) y  x3  3x 2  mx  2m; y   x  2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. b) y  mx3  3mx 2  (1  2m) x  1 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät. c) y  ( x  1)( x 2  mx  m2  3) caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät. d) y  x3  2 x 2  2 x  2m  1; y  2 x 2  x  2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. e) y  x3  2 x 2  m2 x  3m; y  2 x 2  1 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. Câu 4. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: a) y  x 4  2 x 2  1; y  m caét nhau taïi boán ñieåm phaân bieät. b) y  x 4  m(m  1) x 2  m3 caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. c) y  x 4  (2m  3) x 2  m2  3m caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. Câu 5. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá: 3x  1 a) y  ; y  x  2m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn AB ngaén nhaát. x4 4x 1 b) y  ; y   x  m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn AB 2x ngaén nhaát. 2. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ  Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1) Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) Nghieäm cuûa phöông trình (1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x)  Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) baèng ñoà thò ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc daïng sau: y Daïng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1) c. (C) Khi ñoù (1) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä m A c. (d) : y = m yCÑ c. c. c. giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: (C): y = f(x) d: y = m  d laø ñöôøng thaúng cuøng phöông vôùi truïc hoaønh. xA x  Döïa vaøo ñoà thò (C) ta bieän luaän soá giao ñieåm yCT c. cuûa (C) vaø d. Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa (1) Daïng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2) Thöïc hieän töông töï nhö treân, coù theå ñaët g(m) = k. 14
Bieän luaän theo k, sau ñoù bieän luaän theo m. VAÁN ÑEÀ 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc daïng nhö treân, trong ñoù löu yù y = f(x) laø haøm soá ñaõ khaûo saùt vaø veõ ñoà thò. Câu 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) y  x3  3x  1; x3  3x  1  m  0 b) y   x3  3x  1; x3  3x  m  1  0 c) y  x3  3x  1; x3  3x  m2  2m  2  0 d) y   x3  3x  1; x3  3x  m  4  0 x4 e) y    2 x 2  2; x 4  4 x 2  4  2m  0 f) y  x 4  2 x 2  2; x 4  2 x 2  m  2  0 2 VAÁN ÑEÀ 2: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc ba baèng ñoà thò Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình baäc ba: ax3  bx2  cx  d  0 (a  0) (1) Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba: y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d Soá nghieäm cuûa (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh Daïng 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc 3  Tröôøng hôïp 1: (1) chæ coù 1 nghieäm  (C) vaø Ox coù 1 ñieåm chung  f khoâng coù cöïc trò (h.1a)   f coù 2 cöïc trò  (h.1b)  yCÑ .yCT  0 y y (C) (C) yCÑ A A yCT x0 O (h.1a) x x0 x1 o x2 (h.1b) x  Tröôøng hôïp 2: (1) coù ñuùng 2 nghieäm  (C) tieáp xuùc vôùi Ox  f coù 2 cöïc trò  (h.2)  yCÑ .yCT  0 y y (C) (C) yCÑ (H.2) yCÑ A B A B x2 C x0 o x1 x'0 x0 x1 x'0 o x"0 x x yCÑ (yCT = f(x0) = 0) (H.3)  Tröôøng hôïp 3: (1) coù 3 nghieäm phaân bieät  (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät  f coù 2 cöïc trò  (h.3)  yCÑ .yCT  0 Daïng 2: Phöông trình baäc ba coù 3 nghieäm cuøng daáu  Tröôøng hôïp 1: (1) coù 3 nghieäm döông phaân bieät  (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông 15
 f coù 2 cöïc trò  y .y  0   CÑ CT  xCÑ  0, xCT  0 a. f (0)  0 (hay ad  0) y y a>0 a0 (C) a
1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm M0  x0 ; f ( x0 )  . Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M0  x0 ; f ( x0 )  laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) 2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông  f ( x)  g( x) trình sau coù nghieäm:  f '( x)  g '( x) (*)  Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 3. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau  phöông trình ax 2  bx  c  px  q coù nghieäm keùp. VAÁN ÑEÀ : Tìm ñieàu kieän ñeå hai ñöôøng tieáp xuùc 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông  f ( x)  g( x) trình sau coù nghieäm:  f '( x)  g '( x) (*)  Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 2. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau  phöông trình ax 2  bx  c  px  q coù nghieäm keùp. Câu 1. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C1), (C2) tieáp xuùc nhau: a) (C1) : y  x3  (3  m) x2  mx  2; (C2 ) : truïc hoaønh c) (C1) : y  x3  m( x  1)  1; (C2 ) : y  x  1 b) (C1) : y  x3  2 x2  (m  1) x  m; (C2 ) : truïc hoaønh d) (C1): y  x3  2 x2  2 x 1; (C2 ): y  x  m Câu 2. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C1), (C2) tieáp xuùc nhau: a) (C1 ) : y  x 4  2 x2  1; (C2 ) : y  2mx2  m b) (C1 ) : y   x 4  x2  1; (C2 ) : y   x 2  m 1 9 c) (C1 ) : y   x 4  2 x 2  ; (C2 ) : y   x 2  m d) (C1) : y  ( x  1)2 ( x 1)2 ; (C2 ) : y  2 x2  m 4 4 (2m  1) x  m2 x2  x  1 e) (C1 ) : y  ; (C2 ) : y  x f) (C1 ) : y  ; (C2 ) : y  x 2  m x 1 x 1 6. HAØM SOÁ COÙ CHÖÙA DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI Baøi toaùn: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) vôùi f(x) coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Caùch 1: Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò.  Xeùt daáu bieåu thöùc coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.  Chia mieàn xaùc ñònh thaønh nhieàu khoaûng, trong moãi khoaûng ta boû daáu giaù trò tuyeät ñoái.  Veõ ñoà thò haøm soá töông öùng trong caùc khoaûng cuûa mieàn xaùc ñònh. Caùch 2: Thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi ñoà thò. Daïng 1: Veõ ñoà thò haøm soá y  f ( x) . Ñoà thò (C) cuûa haøm soá y  f ( x) coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) nhö sau: + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû phía treân truïc hoaønh. + Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò cuûa (C) ôû phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh. + Ñoà thò (C) laø hôïp cuûa hai phaàn treân. 17
Daïng 2: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá y  f  x  . Ñoà thò (C) cuûa haøm soá y  f  x  coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) nhö sau: + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû beân phaûi truïc tung, boû phaàn beân traùi truïc tung. + Laáy ñoái xöùng phaàn beân phaûi truïc tung qua truïc tung. + Ñoà thò (C) laø hôïp cuûa hai phaàn treân. Câu 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C). Duøng ñoà thò (C) bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình (1): a) (C): y  x 3  3x 2  6 ; (C): y  x3  3x2  6 ; x3  3x 2  6  m (1) b) (C): y  x 4  2 x 2  3 ; (C): y  x4  2x2  3 ; x 4  2 x 2  3  m (1) 2x  2 2x  2 2x  2 e) (C): y  ; (C): y  ; m (1) x 2 x 2 x 2 Câu 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C). Duøng ñoà thò (C) bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình (1): 3 3 a) (C): y  2 x3  9 x 2  12 x  4 ; (C): y  2 x  9 x 2  12 x  4 ; 2 x  9x2  12 x  m 2x 2x b) (C): y  ; (C): y  ; (m  2). x  m  0 (1) x 1 x 1 7. ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) coù toaï ñoä nguyeân P( x ) Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò haøm soá höõu tæ y  coù toaï ñoä laø nhöõng soá nguyeân: Q( x ) P( x ) a  Phaân tích y  thaønh daïng y  A( x )  , vôùi A(x) laø ña thöùc, a laø soá nguyeân. Q( x ) Q( x)  Khi ñoù  x    Q(x) laø öôùc soá cuûa a. Töø ñoù ta tìm caùc giaù trò x nguyeân ñeå Q(x) laø öôùc soá y  cuûa a.  Thöû laïi caùc giaù trò tìm ñöôïc vaø keát luaän. 18
Áp dụng. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù toaï ñoä nguyeân: x2 x  10 x2 a) y  b) y  c) y  x 1 x2 x 2 x2  x  1 x2  2 x 4 d) y  e) y  f) y  x  1  x 2 x 1 x 1 VAÁN ÑEÀ 2: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng d: y = ax + b Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua d  d laø trung tröïc cuûa ñoaïn AB  Phöông trình ñöôøng thaúng  vuoâng goùc vôùi d: y = ax = b coù daïng: 1 : y   x  m a (C)  Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa  vaø (C): (d) () 1 f(x) =  x  m (1) a B  Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå  caét (C) taïi 2 ñieåm A I phaân bieät A, B. Khi ñoù xA, xB laø caùc nghieäm cuûa (1).  Tìm toaï ñoä trung ñieåm I cuûa AB.  Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua d  I  d, ta tìm ñöôïc m  xA, xB  yA, yB  A, B.  x  xB Chuù yù: A, B ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh   A  yA  yB  x   xB  A, B ñoái xöùng nhau qua truïc tung   A  y A  yB  x  xB  A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y = b   A  yA  yB  2b  x  x  2a  A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng x = a   A B  y A  yB Áp dụng. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d: x4 a) (C) : y  x3  x; d : x  2y  0 b) (C ) : y  ; d : x  2y  6  0 x 2 x2 x2  x  1 c) (C) : y  ; d : y  x 1 d) (C) : y  ; d : y  x 1 x 1 x 1 VAÁN ÑEÀ 3: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñieåm I(a; b) Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua I  I laø trung ñieåm cuûa AB.  Phöông trình ñöôøng thaúng d qua I(a; b), coù heä soá goùc k coù daïng: y  k( x  a)  b .  Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø d: I f(x) = k(x  a)  b (1) B A  Tìm ñieàu kieän ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. khi ñoù xA, xB laø 2 nghieäm cuûa (1).  Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua I  I laø trung ñieåm cuûa AB, ta tìm ñöôïc k  xA, xB.  x   xB Chuù yù: A, B ñoái xöùng qua goác toaï ñoä O   A  y A   yB Câu 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm I: 19
x2  x  2  5 a) (C) : y  x3  4 x 2  x  2; I (2;4) b) (C ) : y  ; I  0;  x 1  2 x4 c) (C) : y  x3  3x 2  2 x  1; I  O(0;0) d) (C ) : y  ; I  O(0;0) x 1 3x  4 2 x 2  5x  1 e) (C ) : y  ; I (1;1) e) (C) : y  ; I  2; 5 2x 1 x 1 VAÁN ÑEÀ 4: Khoaûng caùch Kieán thöùc cô baûn: 1) Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B: AB = ( xB  x A )2  ( yB  yA )2 2) Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0; y0) ñeán ñöôøng thaúng : ax + by + c = 0: ax0  by0  c d(M, ) = a2  b 2 1 1 2 3) Dieän tích tam giaùc ABC: S= AB. AC.sin A  AB2 .AC 2   AB.AC  2 2 Câu 1. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm A. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho AM nhoû nhaát. Chöùng minh raèng khi AM nhoû nhaát thì ñöôøng thaúng AM vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M. a) (C) : y  x 2  1; A  O(0;0) b) (C ) : y  x 2 ; A(3;0) c) (C) : y  2 x 2  1; A(9;1) Câu 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán d laø nhoû nhaát. 4 2 x2  4 x  5 a) (C) : y  2 x  3x  2 x  1; d : y  2 x  1 b) (C) : y  ; d : y  3x  6 x2 x 1 c) (C) : y  x  x 2 ; d : y  2( x  1) d) (C ) : y  ; d : y  2 x  3 x 1 CHÖÔNG II : HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT BAØI 1: LUYÕ THÖØA 1. Ñònh nghóa luyõ thöøa Soá muõ  Cô soá a Luyõ thöøa a   n N * aR a  an  a.a......a (n thöøa soá a)  0 a0 a  a 0  1 1   n ( n  N * ) a0 a   a n  n a m m  (m  Z , n  N * ) a0 a   a n  n a m ( n a  b  b n  a) n   lim rn (rn  Q, n  N * ) a0 a  lima rn 2. Tính chaát cuûa luyõ thöøa  Vôùi moïi a > 0, b > 0 ta coù:  a a a a .a   a  ;   a  ; (a )   a . ; (ab)  a .b ;     a b b  a > 1 : a  a     ; 0 < a < 1 : a  a     20