TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
Lý thuyết chung
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
Hệ trục gồm ba trục
, ,Ox Oy Oz
đôi một vuông góc nhau.
Trục
:Ox
trục hoành, có vectơ đơn vị
(1;0;0)i
.
Trục
Oy
: trục tung, có vectơ đơn vị
(0;1;0)j
.
Trục
:Oz
trục cao, có vectơ đơn vị
(0;0;1).k
Điểm
(0;0;0)O
là gốc tọa độ.
2. Tọa độ vectơ: Vectơ
( ; ; )u xi y j zk u x y z
.
Cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b
. Ta có:
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
a
cùng phương
b
( )a kb k R
1 1
3
1 2
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
, ( , , 0).
a kb a
a a
a kb b b b
b b b
a kb
1 2 3
( ; ; )ka ka ka ka
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
1 1 2 2 3 3
. . . .a b a b a b a b
222
1 2 2
a a a a
2
2 2 2 2
1 2 3
a a a a a
1 1 2 2 3 3
. 0 0a b a b a b a b a b
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , ) ..
a b a b a b
a b
a b a b a a a b b b
3. Tọa độ điểm:
( ; ; ) ( ; ; )M x y z OM x y z
. Cho
( ; ; ) , ( ; ; ) , ( ; ; )
A A A B B B C C C
A x y z B x y z C x y z
, ta có:
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
; ; .
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
; ; .
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
Điểm
1( )
( ; ; ) ( ;0;0)
Chieáu vaøo Ox
M M M MGiöõ nguyeân x
M x y z M x
Điểm
2
( )
( ; ; ) (0; ;0)
Chieáu vaøo Oy
M M M M
Giöõ nguyeân y
M x y z M y
Điểm
3
( )
( ; ; ) (0;0; )
Chieáu vaøo Oz
M M M M
Giöõ nguyeân z
M x y z M z
Điểm
1( , )
( ; ; ) ( ; ;0)
Chieáu vaøo Oxy
M M M M MGiöõ nguyeân x y
M x y z M x y
Điểm
2
( , )
( ; ; ) (0; ; )
Chieáu vaøo Oyz
M M M M M
Giöõ nguyeân y z
M x y z M y z
Điểm
3
( , )
( ; ; ) ( ;0; )
Chieáu vaøo Oxz
M M M M M
Giöõ nguyeân x z
M x y z M x z
Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
1( ; , )
( ; ; ) ( ; ; )
Ñoái xöùng qua Ox
M M M M M M
Giöõ nguyeân x ñoåi daáu y z
M x y z M x y z
2( ; , )
Ñoái xöùng qua Oy
Giöõ nguyeân y ñoåi daáu x z
3( ; , )
Ñoái xöùng qua Oz
Giöõ nguyeân z ñoåi daáu x y
1( , ; )
( ; ; ) ( ; ; )
Ñoái xöùng qua Oxy
M M M M M MGiöõ nguyeân x y ñoåi daáu z
M x y z M x y z
2( , ; )
( ; ; ) ( ; ; )
Ñoái xöùng qua Oxz
M M M M M MGiöõ nguyeân x z ñoåi daáu y
M x y z M x y z
3( , ; )
( ; ; ) ( ; ; )
Ñoái xöùng qua Oyz
M M M M M MGiöõ nguyeân y z ñoåi daáu x
M x y z M x y z
4. Tích có hướng của hai vectơ:
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Chuyên đề 28
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Định nghĩa: Cho
1 2 3
( , , )a a a a
,
1 2 3
( , , )b b b b
, tích có hướng của
a
và
b
là:
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
.
Tính chất:
[ , ]
a b a
[ , ]
a b b
[ , ] . .sin ,a b a b a b
Điều kiện cùng phương của hai vectơ
&a b
là
, 0
a b
với
0 (0;0;0).
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
,a b
và
c
là
[ , ]. 0.
a b c
Diện tích hình bình hành ABCD:
, .
ABCD
S AB AD
Diện tích tam giác ABC:
1
, .
2
ABC
S AB AC
Thể tích khối hộp:
. ' ' ' '
[ , ]. ' .
ABCD A B C D
V AB AD AA
Thể tích tứ diện:
1, .
6
ABCD
V AB AC AD
.
Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Dạng 1.1 Một số bài toán liên quan đến vectơ, tọa độ vec tơ
Câu 1. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục
Oxyz
cho ba điểm
1;2; 3 , 1;0;2 , ; ; 2
A B C x y
thẳng hàng. Khi đó
x y
bằng
A.
1
x y
. B.
17
x y
. C.
11
5
x y
. D.
11
5
x y
.
Câu 2. (HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các vectơ
2; 1;3 , 1;3; 2a m b n
. Tìm
,m n
để các vectơ
,a b
cùng hướng.
A.
3
7;
4
m n
. B.
4; 3
m n
. C.
1; 0
m n
. D.
4
7;
3
m n
.
Câu 3. (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
A 2; 1;5 , 5; 5;7 , ; ;1
B M x y
. Với giá trị nào của
,x y
thì
, ,A B M
thẳng hàng.
A.
4; 7
x y
B.
4; 7
x y
C.
4; 7
x y
D.
4; 7
x y
Câu 4. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An -2019) Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
2; 2;1
A
,
0;1;2
B
. Tọa độ điểm
M
thuộc mặt phẳng
Oxy
sao cho ba điểm
A
,
B
,
M
thẳng hàng là
A.
4; 5;0
M
. B.
2; 3;0
M
. C.
0;0;1
M
. D.
4;5;0
M
.
Câu 5. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho các véc tơ
2 2
u i j k
,
;2; 1
v m m
với
m
là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của
m
để
u v
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 6. (Chuyen ĐHSP Hà Nội -2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có
0;0;0
A
,
;0;0
B a
;
0;2 ;0D a
,
0;0;2A a
với
0
a
. Độ dài đoạn
thẳng
AC
là
A.
a
. B.
2a
. C.
3a
. D.
3
2a
.
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Câu 7. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho
2;3;1
a
,
1;5;2
b
,
4; 1;3
c
và
3;22;5
x
. Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A.
2 3
x a b c
. B.
2 3
x a b c
.
C.
2 3
x a b c
. D.
2 3
x a b c
.
Câu 8. (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
với:
1; 2;2
AB
;
3; 4; 6
AC
. Độ dài đường trung tuyến
AM
của tam giác
ABC
là:
A.
29
. B.
29
. C.
29
2
. D.
2 29
.
Câu 9. (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các vectơ
2; 1;3
a m
,
1;3; 2b n
. Tìm
m
,
n
để các vectơ
a
,
b
cùng hướng.
A.
7
m
;
3
4
n
. B.
7
m
;
4
3
n
. C.
4
m
;
3
n
. D.
1
m
;
0
n
.
Câu 10. (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hình
vuông
, 3;0;8 , 5; 4;0
ABCD B D
. Biết đỉnh
A
thuộc mặt phẳng
Oxy
và có tọa độ là
những số nguyên, khi đó
CA CB
bằng:
A.
10 5
. B.
6 10
. C.
10 6
. D.
5 10
.
Dạng 1.2 Tìm tọa độ điểm
Câu 11. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
1;0;3
A
,
2;3; 4
B
,
3;1;2
C
. Tìm tọa độ điểm
D
sao cho
ABCD
là hình bình hành.
A.
4; 2;9
D
. B.
4;2;9
D
. C.
4; 2;9
D
. D.
4;2; 9
D
.
Câu 12. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
1;0;0 , 1;1;0 , 0;1;1
A B C
. Tìm tọa độ điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
(theo thứ tự các đỉnh)
là hình bình hành?
A.
2;0;0
D
. B.
1;1;1
D
. C.
0;0;1
D
. D.
0;2;1
D
.
Câu 13. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
(1; 2; 1), (2; 1;3)
A B
và
( 3;5;1)
C
. Tìm tọa độ điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình
hành.
A.
( 2;8; 3)
D
B.
( 4;8; 5)
D
C.
( 2;2;5)
D
D.
( 4;8; 3)
D
Câu 14. (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxyz
, Tam giác
ABC
với
1; 3;3
A
;
2; 4;5
B
,
; 2;C a b
nhận điểm
1; ;3G c
làm trọng tâm của nó thì giá trị của
tổng
a b c
bằng.
A.
5
B.
3
C.
1
D.
2
Câu 15. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
2
điểm
1;2; 3
B
,
7;4; 2
C
Nếu điểm
E
thỏa nãm đẳng thức
2E
CE
B
thì tọa độ điẻm
E
là:
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
8 8
3; ;
3 3
B.
8 8
;3;
3 3
. C.
8
3;3;
3
D.
1
1;2; 3
Câu 16. (KTNL Gia Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
với
1;2; 3
A
,
2;5;7
B
,
3;1;4
C
. Điểm
D
để tứ giác
ABCD
là hình bình hành là
A.
6;6;0
D
B.
8 8
0; ;
3 3
D
C.
0;8;8
D
D.
4; 2; 6
D
Câu 17. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho tam giác
ABC
có
1; 2;0
A
,
2;1; 2
B
,
0;3;4
C
. Tìm tọa độ điểm
D
để tứ giác
ABCD
là hình bình hành.
A.
1;0; 6
. B.
1;6;2
. C.
1;0;6
. D.
1;6; 2
.
Câu 18. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
3;1; 2
A
,
2; 3;5
B
. Điểm
M
thuộc đoạn
AB
sao cho
2MA MB
, tọa độ điểm
M
là
A.
7 5 8
; ;
3 3 3
. B.
4;5; 9
. C.
3 17
; 5;
2 2
. D.
1; 7;12
.
Câu 19. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
0;1; 2
A
và
3; 1;1
B
. Tìm tọa độ điểm M sao cho
3AM AB
.
A.
9; 5;7
M
. B.
9;5;7
M
.
C.
9;5; 7
M
. D.
9; 5; 5
M
.
Câu 20. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2; 1 , 1;3;1
A AB
thì tọa độ của điểm
B
là:
A.
2;5;0
B
. B.
0; 1; 2
B
. C.
0;1;2
B
. D.
2; 5;0
B
Câu 21. (Đề Thi Công Bằng Khtn 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho hình bình hành
ABCD
. Biết
1;0;1
A
,
2;1;2
B
và
1; 1;1
D
. Tọa độ điểm
C
là
A.
2;0;2
. B.
2;2;2
. C.
2; 2;2
. D.
0; 2;0
.
Câu 22. (Sở Phú Thọ -2019) Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho hai điểm
1; 2; 2
A
và
8 4 8
; ;
3 3 3
B
. Biết
; ;I a b c
là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
. Giá trị
a b c
bằng
A.
1
B.
3
C.
2
D.
0
Câu 23. (Chuyên Đhsp Hà Nội -2019) Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho
2;0;0 , 0;2;0 , 0;0;2
A B C
. Có tất cả bao nhiêu điểm
M
trong không gian thỏa mãn
M
không trùng với các điểm
, ,A B C
và
90
AMB BMC CMA
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 24. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(2;2;1)
M
,
8 4 8
; ;
333
N
. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội
tiếp tam giác
OMN
.
A.
(1;1;1)
I
. B.
(0;1;1)
I
. C.
(0; 1; 1)
I
. D.
(1;0;1)
I
.
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
có
1;2; 1
A
,
2; 1;3
B
,
4;7;5
C
. Gọi
; ;D a b c
là chân đường phân giác trong góc
B
của tam giác
ABC
. Giá trị của
2a b c
bằng
A.
5
. B.
4
. C.
14
. D.
15
.
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
2;3;1
A
và
5; 6; 2
B
. Đường thẳng
AB
cắt mặt phẳng
Oxz
tại điểm
M
. Tính tỉ số
A M
B M
.
A.
1
2
AM
BM
B.
2
AM
BM
C.
1
3
AM
BM
D.
3
AM
BM
Câu 27. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho ba điểm
2;3;1
A
,
2;1;0
B
,
3; 1;1
C
. Tìm tất cả các điểm
D
sao cho
ABCD
là hình thang có đáy
AD
và diện
tích tứ giác
ABCD
bằng 3 lần diện tích tam giác
ABC
.
A.
12; 1;3
D
. B.
8; 7;1
12;1; 3
D
D
. C.
8;7; 1
D
. D.
8;7; 1
12; 1;3
D
D
.
Câu 28. (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
B
. Ba đỉnh
(1;2;1)
A
,
(2;0; 1)
B
,
(6;1;0)
C
Hình thang có diện tích bằng
6 2
. Giả sử đỉnh
( ; ; )D a b c
, tìm mệnh đề đúng?
A.
6
abc
. B.
5
abc
. C.
8
abc
. D.
7
abc
.
Câu 29. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hình hộp
.
ABCD A B C D
. Biết
2;4;0
A
,
4;0;0
B
,
1;4; 7
C
và
6;8;10
D
. Tọa độ điểm
B
là
A.
8;4;10
B
. B.
6;12;0
B
. C.
10;8;6
B
. D.
13;0;17
B
.
Câu 30. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có
1;0;1
A
,
2;1;2
B
,
1; 1;1
D
,
4;5; 5
C
. Tính tọa độ đỉnh
A
của hình
hộp.
A.
4;6; 5
A
. B.
2;0;2
A
. C.
3;5; 6
A
. D.
3;4; 6
A
.
Câu 31. (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có
0; 0; 0
A
,
3; 0; 0
B
,
0; 3; 0
D
,
0; 3; 3
D
. Toạ độ trọng tâm tam
giác
ABC
là
A.
1; 1; 2
. B.
2; 1; 2
. C.
1; 2; 1
. D.
2; 1; 1
.
Câu 32. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1;2; 1
A
,
2; 1;3
B
,
4;7;5
C
. Tọa độ chân đường phân giác trong góc
B
của tam giác
ABC
là
A.
2 11
; ;1
3 3
. B.
11
; 2;1
3
. C.
2 11 1
; ;
3 3 3
. D.
2;11;1
.
Câu 33. (Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
2 2 2OA i j k
,
2; 2;0
B
và
4;1; 1
C
. Trên mặt phẳng
Oxz
, điểm nào dưới đây cách
đều ba điểm
A
,
B
,
C
.