Thay đổi thế giới với 17 phương trình: Phần 2

9<br /> <br /> Gợn sóng và đốm sáng<br /> Phép biến đổi Fourier<br /> vô cùng<br /> <br /> phép biến đổi<br /> <br /> hàm số<br /> <br /> tần số<br /> <br /> 2,718...<br /> <br /> 3,141...<br /> căn bậc hai<br /> của −1<br /> <br /> hàm số<br /> <br /> f( )=<br /> <br /> ∞<br /> −∞<br /> <br /> f (x)e–2 πix dx<br /> không gian<br /> <br /> tích phân<br /> âm vô cùng<br /> <br /> tần số<br /> <br /> Phương trình này cho ta biết điều gì?<br /> Bất kỳ hình mẫu dao động nào trong không gian và<br /> thời gian đều có thể xem là chồng chất của các hình<br /> mẫu dạng sin với các tần số khác nhau.<br /> <br /> Tại sao nó lại quan trọng?<br /> Các thành phần tần số có thể được sử dụng để phân<br /> tích các hình mẫu, tạo nên các hình mẫu để tìm các<br /> đặc điểm quan trọng và bỏ đi các ồn nhiễu ngẫu nhiên.<br /> <br /> Nó đã dẫn tới những gì?<br /> Kỹ thuật của Fourier được sử dụng rất rộng rãi,<br /> chẳng hạn, trong xử lý ảnh và cơ học lượng tử. Nó<br /> được sử dụng để tìm kiếm cấu trúc của các phân tử<br /> sinh học lớn như ADN, để nén dữ liệu ảnh trong các<br /> bức ảnh kỹ thuật số, để làm sạch các bản thu âm<br /> cũ kỹ hoặc bị hư hỏng, và còn để phân tích các trận<br /> động đất nữa. Các biến thể hiện đại được sử dụng<br /> để lưu trữ dữ liệu về dấu vân tay hiệu quả hơn và để<br /> cải thiện các phép chụp chiếu trong y tế.<br /> <br /> C<br /> <br /> uốn Những nguyên lý của Newton đã mở ra cánh cửa cho<br /> những nghiên cứu toán học về tự nhiên, nhưng những<br /> <br /> người đồng hương của ông đã quá bận tâm tới cuộc tranh luận<br /> về chuyện ai là người được hưởng quyền sở hữu trí tuệ của phép<br /> tính vi tích phân để có thể tìm ra những thứ nằm bên ngoài nó.<br /> Trong khi những bộ óc tinh tế nhất của nước Anh đang sôi sùng<br /> sục lên với thứ mà họ đã biết là những luận điệu đáng hổ thẹn<br /> về nhà toán học vĩ đại nhất còn đang sống của đất nước – hầu<br /> hết trong số đó có lẽ cũng là lỗi lầm của chính Newton, bởi ông<br /> nghe theo những người bạn có thiện chí nhưng kém hiểu biết<br /> – thì những đồng nghiệp ở châu lục đã mở rộng những ý tưởng<br /> của Newton về các định luật của tự nhiên tới hầu hết các ngành<br /> trong khoa học vật lý. Phương trình sóng xuất hiện và nhanh<br /> chóng theo sau là các phương trình tương tự về hấp dẫn, tĩnh<br /> điện, đàn hồi và dòng nhiệt. Một số mang tên của những người<br /> khám phá ra chúng, như phương trình Laplace, phương trình<br /> Poisson. Nhưng phương trình cho nhiệt thì không; nó mang<br /> một cái tên rất nôm na và không hoàn toàn chính xác: “phương<br /> trình nhiệt”. Phương trình này do Joseph Fourier đề xuất, và<br /> những ý tưởng của ông đã dẫn tới việc sản sinh ra một lĩnh vực<br /> mới của toán học mà những phân nhánh của nó đã tỏa rộng ra<br /> rất nhiều so với ban đầu. Những ý tưởng này có lẽ đã được khởi<br /> phát từ phương trình sóng, nơi mà những phương pháp tương<br /> tự đã thấp thoáng xuất hiện trong ý thức tập thể của cộng đồng<br /> toán học, nhưng lịch sử chọn nhiệt.<br /> <br /> Gợn sóng và đốm sáng<br /> <br /> Phương pháp mới đã có một khởi đầu đầy hứa hẹn: năm<br /> 1807, Fourier đã gửi một bài báo về dòng nhiệt cho Viện Hàn<br /> lâm Khoa học Pháp, dựa trên một phương trình đạo hàm<br /> riêng mới. Mặc dù, cơ quan đầy uy tín này từ chối cho đăng<br /> công trình đó, nhưng nó đã thúc đẩy Fourier phát triển xa<br /> hơn ý tưởng của mình và thử lại một lần nữa. Vào thời đó,<br /> Viện Hàn lâm hằng năm có giải thưởng cho những nghiên<br /> cứu về bất kỳ chủ đề nào mà họ cho là đủ thú vị, và họ chọn<br /> chủ đề về nhiệt cho giải thưởng năm 1812. Fourier đệ trình<br /> đúng lúc công trình đã chỉnh sửa và mở rộng của mình và đã<br /> giành được giải thưởng. Phương trình truyền nhiệt của ông<br /> có dạng:<br /> <br /> trong đó u(x, t) là nhiệt độ tại vị trí x của một thanh kim loại<br /> tại thời điểm t, với giả thiết rằng thanh này là vô cùng mảnh,<br /> và α là một hằng số gọi là hệ số khuếch tán nhiệt, do vậy lẽ ra<br /> nên gọi nó là phương trình nhiệt độ. Ông cũng phát triển một<br /> phiên bản có số chiều cao hơn:<br /> <br /> đúng cho bất kỳ miền xác định nào cho trước trong mặt<br /> phẳng hoặc không gian.<br /> Phương trình truyền nhiệt giống phương trình sóng một<br /> cách kỳ lạ, chỉ có một khác biệt quan trọng. Phương trình<br /> sóng sử dụng đạo hàm cấp hai theo thời gian:<br /> <br /> , nhưng<br /> <br /> trong phương trình truyền nhiệt nó được thay thế bởi đạo<br /> hàm cấp một<br /> <br /> . Đây dường như chỉ là một sự thay đổi<br /> <br /> nhỏ, nhưng ý nghĩa vật lý thì lại rất lớn lao. Nhiệt không duy<br /> trì vô hạn định, như một dây đàn violin có thể dao động mãi<br /> <br /> 239<br /> <br /> 240<br /> <br /> 17 phương trình thay đổi thế giới<br /> <br /> mãi (theo phương trình sóng, không có ma sát hay dao động<br /> tắt dần). Thay vì thế, nhiệt tiêu tán, mất dần theo thời gian,<br /> trừ phi có nguồn nhiệt nào đó liên tục bổ sung cho nó. Như<br /> vậy, bài toán điển hình ở đây là: đốt nóng một đầu của thanh<br /> kim loại để giữ nó ở một nhiệt độ ổn định và làm lạnh đầu kia<br /> một cách tương tự để xem nhiệt độ biến thiên dọc theo thanh<br /> sẽ như thế nào khi nó được đặt trong trạng thái dừng. Câu trả<br /> lời là nhiệt sẽ giảm dần theo hàm mũ. Một bài toán điển hình<br /> khác, đó là chỉ định profin (profile) nhiệt độ ban đầu dọc theo<br /> thanh và xem nó biến thiên thế nào theo thời gian. Có lẽ nên<br /> để cho một nửa thanh ban đầu ở nhiệt độ cao và nửa kia ở<br /> nhiệt độ thấp hơn; phương trình sẽ cho ta thấy nhiệt truyền<br /> thế nào từ phần nóng hơn sang phần lạnh hơn.<br /> Có lẽ khía cạnh hấp dẫn nhất trong bài báo giành giải<br /> thưởng của Fourier không phải là phương trình, mà là cách<br /> ông giải nó. Nếu profin nhiệt độ ban đầu là hàm lượng<br /> giác, chẳng hạn sin x, thì việc giải phương trình này khá dễ<br /> dàng (đối với những người đã có kinh nghiệm), và đáp số là<br /> e– αt sinx. Nó giống với mode cơ bản của phương trình sóng,<br /> nhưng ở phương trình sóng nghiệm là sin ct sin x. Dao động<br /> vĩnh cửu của dây đàn violin tương ứng với thành phần<br /> sin ct, ở đây đã được thay thế bằng hàm mũ với số mũ âm –αt<br /> cho chúng ta thấy rằng toàn bộ profin nhiệt độ giảm dần trên<br /> thanh theo cùng một tốc độ (Sự khác biệt về mặt vật lý ở đây<br /> là sóng bảo toàn năng lượng nhưng dòng nhiệt thì không).<br /> Tương tự, với profin sin5x, nghiệm là e–25αt sin5x, cũng tắt<br /> dần, nhưng nhanh hơn nhiều. 25 là 52, và đây là ví dụ về một<br /> hình mẫu tổng quát, áp dụng được cho các profin ban đầu có<br /> dạng sinnx hay cosnx1. Để giải phương trình truyền nhiệt, ta<br /> chỉ cần nhân với e–n αt.<br /> 2<br /> <br /> Gợn sóng và đốm sáng<br /> <br /> Bây giờ câu chuyện cũng đi theo cùng nguyên tắc chung<br /> như phương trình sóng. Phương trình truyền nhiệt là tuyến<br /> tính, do vậy chúng ta có thể chồng chất các nghiệm. Nếu<br /> profin ban đầu là<br /> u(x,0) = sinx + sin5x<br /> thì nghiệm sẽ là<br /> u(x,t) = e–αt sinx + e–25αt sin5x<br /> và ở mỗi mode nghiệm này sẽ tắt dần với tốc độ khác nhau.<br /> Nhưng các profin ban đầu như thế này có vẻ hơi giả tạo.<br /> Để giải bài toán mà tôi đã nhắc đến lúc trước, chúng ta cần<br /> một profin ban đầu thỏa mãn u(x, 0) = 1 ở nửa thanh, nhưng<br /> bằng –1 ở nửa thanh còn lại. Profin này không liên tục, mà có<br /> dạng vuông góc theo thuật ngữ thường dùng trong kỹ thuật.<br /> Nhưng các đường hình sin và cos lại liên tục, cho nên không<br /> sự chồng chất nào của các hàm sin và cos có thể biểu diễn<br /> một sóng vuông góc như thế.<br /> Không có chồng chất hữu hạn nào, đó là điều chắc chắn.<br /> Nhưng, lại một lần nữa, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta cho<br /> phép một tổ hợp có vô hạn các số hạng? Khi đó chúng ta có thể<br /> thử biểu diễn profin ban đầu như là một chuỗi vô hạn có dạng<br /> u(x,0) = a0 + a1cosx + a2cos2x + a3cos3x + ...<br /> +b1sinx + b2sin2x + b3sin3x + ...<br /> <br /> với các hằng số a0, a1, a2, a3,...,b1, b2, b3... phù hợp (không có<br /> b0 vì sin 0x = 0.) Bây giờ, dường như chúng ta có thể thu được<br /> <br /> một sóng vuông góc (xem hình 40). Thực ra, hầu hết các hệ<br /> số có thể cho bằng 0. Chỉ riêng các bn với n lẻ là cần thiết và<br /> khi đó bn = 8/nπ.<br /> <br /> 241<br /> <br />