UỶ BAN NHÂN DÂN THỊ XÃ BỈM SƠN KỲ THI OLIMPIC THPT THỊ XÃ BỈM SƠN
LẦN THỨ NHẤT – NĂM 2009
Môn thi: Toán Lớp 10
Thời gian làm bài: 180 phút.
(Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1: (3 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của S = x2 + y2, trong đó (x; y) thỏa mãn hệ bất phương
trình:
3x 2y 6
7x 3y 4
ì + £
ï
í
- £
ï
î
Bài 2: (4 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (∆): x – y + 2 = 0.
Đường thẳng (∆) cắt (P) tại 2 điểm A, B. Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho
tổng diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi (P) và 2 dây MA, MB là nhỏ nhất.
Bài 3: (6 điểm)
1. Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi Sa, Sb, Sc lần
lượt là diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB. Chứng minh rằng:
a b c
S .MA S .MB S .MC 0
+ + =
uuuur uuur uuur r
.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hai đường thẳng (d1): x – 2y – 2 = 0 và
(d2): 2x + 3y – 11 = 0. Đường thẳng (d) đi qua giao điểm của (d1), (d2) và cắt Ox, Oy
lần lượt tại A(a; 0) và B(0; b) sao cho: a > 0, b > 0 và
1 1
OA OB
+ đạt giá trị nhỏ nhất.
Viết phương trình đường thẳng (d).
Bài 4: (4 điểm)
1. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với 1
x ; 3
2
é ù
" Î -
ê ú
ë û
:
2
(1 2x)(3 x) m (2x 5x 3)
+ - > + - +
.
2. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu tồn tại x Î R để các cạnh a, b, c của tam
giác thoả mãn: a = x2 + x + 1; b = 2x + 1; c = x2 – 1.
Bài 5: (3 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
2 2 2
x 3 3x 7 m x 0
- + - - =
.
2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng:
2
2 2 2 2 2 2
4 4 4
1 1 1 3(a b c)
a b b c c a
æ öæ öæ ö
+ + + ³ + +
ç ÷ç ÷ç ÷
+ + +
è øè øè ø (*)
----------------------------------- Hết -----------------------------------
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính và bất cứ tài liệu gì.
ĐỀ CHÍNH THỨC