Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
Nguồn: thunhan.wordpress.com
1. Định nghĩa tích phân kép:
Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín D
giới hạn bởi đường L (đóng và bị chặn ; miền D kín nếu nó giới hạn bởi đường
cong kín, và các điểm trên biên L được coi là thuộc D)
Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z = f(x,y) (f(x,y) xác
định và liên tục trong miền D).
Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là và
mỗi miền có đường kính là (đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn nhất giữa
hai điểm thuộc miền đó. Hay ta có thể ký hiệu: )
Lấy trên mỗi miền 1 điểm khi đó trên mỗi miền , thì hình trụ sẽ xấp xỉ
với hình trụ có đáy là và chiều cao là . Do đó, thể tích của hình trụ có
mặt đáy là D và mặt trên là f(x,y) có thể tính xấp xỉ bởi:
Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào cách chia (còn gọi là phân hoạch của ) miền D và
cách chọn điểm Pi. Do vậy, nếu chúng ta chia miền D càng nhiều thì thể tích hình
trụ càng chính xác. Nghĩa là, đường kính di của mỗi miền càng nhỏ (càng tiến về
0) thì ta sẽ có chính xác diện tích của miền D.
Vậy, cho sao cho . Khiđó, nếu tổng Vn tiến đến 1 giá trị hữu
hạn V không phụ thuộc cách chia miền D và cách chọn điểm Pi thì giới hạn V đó
được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và được ký hiệu
trong đó: hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D được gọi là miền
lấy tích phân; ds là yếu tố diện tích.
Nhận xét:
1. Từ định nghĩa ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân hai lớp) được xuất phát từ
yêu cầu tính thể tích của hình trụ có mặt trên là mặt cong bất kỳ và mặt đáy là hình
chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng z = 0. Do đó, f(x,y) > 0. Tuy nhiên, ta vẫn có
thể xét trường hợp f(x,y) < 0 (trường hợp này có thể xem như hình trụ có mặt dưới
là f(x,y) và mặt trên là mặt phẳng z = 0. Và như vậy, ta có thể xét f(x,y) là hàm
có dấu bất kỳ.
2. Do tích phân 2 lớp không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể chia
miền D bởi các đường thẳng song song với trục Oy (cách đều nhau 1 khoảng Δx)
và các đường thẳng song song với trục Ox (cách đều nhau 1 đoạn Δy). Khi đó Δs
= Δx.Δy và ds được thay bởi dxdy. Nên ta thường dùng ký hiệu:
3. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền kín D thì nó khả tích trên miền D ấy.
Nghĩa là, tồn tại (ta công nhận điếu này)
2. Tính chất của tích phân kép:
Từ định nghĩa, ta có thể rút ra các tính chất sau đây ủa tích phân kép:
1. (diện tích miền D)
2.
3.
4. Nếu miền D được chia thành 2 phần D1, D2 không có điểm trong chung (D1,
D2 chỉ có điểm biên chung) thì:
5. Nếu trên D, thì:
6. Nếu thì