TÍCH PHÂN - PHẦN 2

Chia sẻ: Vo Anh Hoang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

695
lượt xem 310
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tích phân - phần 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÍCH PHÂN - PHẦN 2

Tích phân xác định A – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I – Tính tích phân bằng phương pháp phân tích: π π π 2 2 1 x 3 dx xdx x +e x 6 4 ∫ ( x + 2) 2 ∫ x2 + 2 ∫ x sin 3xdx ∫e sin xdx dx ∫ sin xdx ∫ sin x + cos x 3 0 0 0 0 0 0 π 1 1 2 x3 + x + 1 2 dx 2 ∫ x( x + 1) ∫ x + 1 dx ∫ 2 3 5 dx ∫ x 2 ( x + 2) 5 x x x dx ∫ cos x 1 + sin x dx 0 0 0 1 0 π π π 4 e 2 ln 5 x 1 dx 2 2 2 xdx ∫( x + 3 ∫ x dx ∫x 2 ) dx ∫ cos x sin 2 x cos 3xdx ∫ cos 2 x 2 ∫ tg xdx 5 +x 3 x 1 1 1 0 0 0 π π 3 cos x cos 8 x − cos 7 x 4 ∫ 1 + 2 sin x dx ∫ dx 1 + 2 cos 5 x π 0 6 II – Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: b ∫ f ( x)dx a) Phương pháp đổi biến dạng 1: I= a +) Đặt x = ϕ (t), t ∈ [α ; β ] +) Tính dx = ϕ ' (t)dt +) Đổi cận với ϕ (α ) = a; ϕ ( β ) = b β β β b ∫ f ( x)dx = α f (ϕ (t ))ϕ ' (t )dt = α g (t )dt = G(t ) α ∫ ∫ = G( α ) - G ( β ) +) Biểu diễn : a +) Chú ý: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: ππ Đặt x = asint, t ∈ [− ; ] hoặc x = acost, t ∈ [0; π ] • a2 − x2 22 ππ Đặt x = atgt, t ∈ (− ; ) • a2 + x2 22 a−x Đặt x = acos2t, t ∈ [0; π ) • a+x π 1 , t ∈ [0; π ] \ { } • Đặt x = x2 −1 cos t 2 ππ 1 • a +x , 2 Đặt x = atgt, t ∈ (− ; ) 2 2 a + x2 22 Các ví dụ áp dụng: 1 2 1 1 1 1 1 1 ∫ ∫ ∫ 1+ x2 ∫ x2 − x +1 ∫ x 2 + x + 1 dx 1 − x 2 dx 4 − x 2 dx dx dx 0 0 0 0 0 a a x3 2 ln 2 ∫ 2 ∫x ∫ 1 dx 4 − x dx e − 1dx 2 2 x ∫ dx 3 (a + x ) 2 2 2 a − x2 2 0 0 0 0 b ∫ f ( x)dx b) Phương pháp đổi biến số dạng 2: I= a +) Đặt t = U(x), U(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] +) Tính dt = U’(x)dx, biểu thị f(x)dx = g(t)dt Đổi cận: x a b t = U(x) U(a) U(b) +) Xác định nguyên hàm G(t) của g(t) 1
U (b ) b ∫ g (t )dt = G(U(b))- G(U(a)). ∫ f ( x)dx = +) I = U (a) a Các ví dụ áp dụng: 5 +1 7 3 1 x2 +1 2 1+ x2 x +1 3 x2 +1 ∫ ∫ x (1 − x ) dx 2 ∫ ∫ 5 32 dx dx dx ∫ dx x +1 x4 3x + 1 3 x4 − x2 +1 0 0 1 0 1 π 3 e 15 x3 ln x sin 2 x + sin x 2 ∫e ∫ ∫ 1+ t 1 + t dt ∫ dx dx dx 1 x 1 + ln x 3 cos x + 1 1+ x2 3 0 0 0 III – Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: b b b b bb +) Có d(uv) = (uv)’dx = vdu + udv, từ đó ∫ d (uv) = ∫ vdu + ∫ udv nên: ∫ udv = uv − ∫ vdu aa a a a a b bb ∫ udv=uv a − ∫ vdu (1) a a b ∫ f ( x)dx Nhận xét: Để tính tích phân cần phân tích f(x) = udv, cần chọn u(x), v(x) hợp lí. Ý nghĩa a b b của công thức (1) ở chỗ trong khi tính tích phân ∫ udv khó ta áp dụng (1) thì chỉ cần tính ∫ vdu dễ hơn. a a Chú ý: Một só dạng tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần: • P(x)lnx, P(x)eax, P(x)sinax, P(x)cosax, eaxcosax, eaxsinax. Các ví dụ áp dụng: π π π 1 1 e x 2 ∫ x ln(1 + x ∫ cos ∫ cos 2 2 x )dx x.e dx dx ∫ cos(ln x)dx ∫ cos xe dx x 2 x 0 0 0 1 0 π π2 π 3 3 x +1 x + sin x 2 4 ∫ sin 3 x.e x dx ∫ x ln x − 1 dx ∫ ln( x + ∫ sin 1 + x ) dx 2 ∫ 1 + cos x dx x dx 0 2 0 0 0 B - MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I – Tích phân hàm số hữu tỉ: P( x) A B C = + + Chú ý:+) ( x − 1)( x − 2)( x − 3) x − 1 x − 2 x − 3 P ( x) A B C = + + +) ( x − 1) ( x − 2) x − 1 ( x − 1) x−2 2 2 C (2ax + b) P( x) A B D = + +2 +2 ( ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm) +) ( x − 1)( x − 2)(ax + bx + c) x − 1 x − 2 ax + bx + c ax + bx + c 2 Để tìm A, B, C, D có thể sử dụng hai phương pháp: Đồng nhát thức và hằng số biến thiên. 5 b 1 1 1 2x −1 x3 + x + 1 x3 + x + 1 x2 1 ∫ x 2 − 3x + 2 ∫ ( x + a)( x + b) ∫ x +1 ∫ x2 +1 ∫ (3x + 1) 3 dx dx dx dx dx 3 a 0 0 0 x 2 n −3 1 1 2 0 3 1 − x 2008 2x3 − 6x 2 + 9x + 9 x4 1 ∫ ( x + 2) 2 ( x + 3) 2 dx ∫ (1 + x 2 ) n dx ∫ x(1 + x 2008 ) dx ∫ x 2 − 3x + 2 dx ∫ ( x 2 − 1) 2 dx −1 0 0 1 2 2 1 1 2 2 x2 − 3 1 x 1 ∫ 4 + x 2 dx ∫ x (1 − x) dx ∫1+ x ∫ x( x 4 + 3x 2 + 2) dx ∫ x(1 + x 4 ) dx 2 4 dx 4 0 0 0 1 1 2
2 1 4 2 ln(2 x + 1) 1 x 1 ∫ x 2 − 2 x + 2dx ∫ (1 + x 2 ) 3 dx ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx ∫ dx x3 0 0 2 1 1 1 1 1 x +x +x +2 2 − x4 1+ x4 3 2 3x + 3 x + 3 1− x 6 5 4 2 2 1 ∫ 1 + x 3 dx ∫ ∫ 1 + x 2 dx ∫ 1 + x 6 dx ∫ x 3 − 3x + 2 dx ∫ 1 + x 4 dx dx x6 + 1 0 0 0 0 2 1 1 n I = ∫ x 2 (1 + x 3 ) n dx , (n ≥ 1), Tìm lim I 2n n → +∞ 0 II – Tích phân hàm số lượng giác: b ∫ sin n x. cos m xdx Dạng 1: Chú ý: a +) Nếu m và n cùng chẵn dương dùng công thức hạ bậc +) Nếu m và n cùng chẵn âm đặt t = tgx hay t = cotgx +) Nếu m lẻ và dương đặt t = sinx +) Nếu n lẻ và dương đặt t = cosx b ∫ R(sin x, cos x)dx Dạng 2: ( R là hàm hữu tỉ) a +) Nếu R (sin x, cos x ) Bậc lẻ đối với sinx, chẵn đối với cosx đặt t = cosx +) Nếu R (sin x, cos x ) Bậc lẻ đối với cosx, chẵn đối với sinx đặt t = sinx +) Nếu R (sin x, cos x ) Có bậc sinx, cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ đặt t = tgx β β β a sin x + b cos x a sin x + b cos x + c 1 ∫ a' sin x + b' cos x + c' dx , ∫ a' sin x + b' cos x dx , ∫ dx , Dạng 3: α a ' sin x + b' cos x + c ' α α 1 +) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: a ' sin x + b' cos x + c' 1− t2 x 2t Đặt t = tg , lúc đó sinx = , cosx = 1− t2 1+ t2 2 a sin x + b cos x B (a ' cos x − b' sin x) = A+ +) Phân tích : a ' sin x + b' cos x a' sin x + b' cos x a sin x + b cos x + c B (a ' cos x − b' sin x ) C = A+ + +) a ' sin x + b' cos x + c ' a ' sin x + b' cos x + c' a ' sin x + b' cos x + c ' 1 Chia cả tử và mẫu cho cos2x, Đặt t = tgx. +) a sin x + b sin x cos x + c cos x 2 2 Các bài tập áp dụng: π π π π 2 2 2 2 ∫ sin ∫ sin ∫ sin ∫ (sin x + cos 3 ) dx 2 x cos 4 xdx 2 x cos 3 xdx 4 x cos 5 xdx 3 0 0 0 0 π π π 2 2 2 ∫ cos 2 x(sin ∫ (2 sin ∫ (sin x + cos 4 x)dx x − sin x cos x − cos 2 x)dx x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx 4 2 10 0 0 0 π π π π π 3 2 1 dx sin 3 x 2 2 2 ∫ ∫ 1 dx dx ∫ 2 + sin x dx ∫ 2 − cos x ∫ 1 + cos 2 x dx 4 π sin x π sin x. cos x 0 0 0 3 6 3
π π π π π cos 3 x 4 2 2 2 2 dx cos x cos x sin x ∫ sin 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x ∫ 1 + cos x dx ∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx ∫ 1 + cos x dx 0 0 0 0 0 π π π sin x − cos x + 1 2 2 cos xdx 2 ∫ (1 − cos x) 2 ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx 1 ∫ sin x + cos x + 1 dx π − 0 3 2 π π π π π π 4 dx 3 4 sin x + 7 cos x + 6 4 ∫ 4 2 ∫ cot g ∫ tg 1 3 4 xdx xdx ∫ tg ∫ 1 + tgx dx ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx 3 xdx π 0 cos x cos( x + ) π π 0 0 0 4 6 4 π π π 2π 1 + cos 2 x + sin 2 x 3 4 4 2 ∫ dx 4 sin x 1 + sin x dx ∫ 2 sin x + 3 cos x + ∫ 1 + cos ∫ dx dx sin x + cos x 4 x 13 0 0 0 0 π π π π π 2 dx 3 2 4 2 dx ∫ sin 2 x − sin x ∫ cos x sin 3x sin x sin x dx ∫ 1 + cos x π ∫ cos 2 x dx ∫ sin 2 x(1 + sin 2 3 x) dx 0 0 0 0 4 π π π π π sin 3 x − sin x 33 2 4 2 2 ∫ dx sin 2 xdx dx cos xdx dx ∫ 1 + sin x + cos x ∫ ∫ 2 sin x + 1 ∫ sin 3 xtgx a sin x + b cos x 1 + cos 2 x π 2 2 2 0 0 0 0 4 π π π π π 6 2 dx sin x + cos x 4 4 2 ∫ cos ∫ sin 4 xdx dx 3 x sin 5 xdx ∫ ∫ 1 + cos 2 x ∫ 5 sin x + 3 dx 4 π sin x cos x 3 + sin 2 x π 0 0 0 4 6 π π π π π 3 π 3 dx dx sin 2 xdx 3 3 ∫ ∫ 3 ∫6 ∫ tgxtg ( x + 6 )dx 4 sin xdx ∫ (sin x + cos x) π π π cos x sin x sin( x + ) 3 sin x cos( x + ) π π π 0 6 4 6 4 4 6 π π π π 0 sin 2 x ∫π (2 + sin x) 2 1 + sin x 2 2 2 2 ∫ sin ∫x ∫ sin 2 x.e ∫ 1 + cos x e 2 x +1 2 x 3 x dx cos xdx dx dx − 0 0 0 0 2 π π π π 2 3 4 sin 3 x sin 4 x ln(sin x ) 2 2 ∫ tgx + cot g 2 x dx ∫ sin 2 xdx ∫ cos(ln x)dx dx ∫ sin 2 x − 5 sin x + 6 ∫ (2 x − 1) cos 2 xdx cos 2 x π π 1 0 6 0 6 π π π π π 4 2 4 ∫ x sin x cos ∫e 2 2x sin 2 xdx xdx ∫ xtg ∫e ∫ ln(1 + tgx)dx sin 2 x 2 sin x cos 3 xdx xdx 0 0 0 0 0 π π (1 − sin x ) cos x 4 2 dx ∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos dx 2 2 x) 0 0 III – Tích phân hàm số chứa căn thức: b ∫ R( x, f ( x))dx a Trong đó R(x, f(x)) có các dạng: π a−x ) Đặt x = a cos2t, t ∈ [0; ] +) R(x, a+x 2 +) R(x, a 2 − x 2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t 4
ax + b ax + b ) Đặ t t = +) R(x, n n cx + d cx + d 1 Với ( αx 2 + βx + γ )’ = k(ax+b) +) R(x, f(x)) = (ax + b) αx 2 + β x + γ 1 Khi đó đặt t = αx 2 + βx + γ , hoặc đặt t = ax + b ππ a 2 + x 2 ) Đặt x = a tgt , t ∈ [− ;] +) R(x, 22 π a , t ∈ [0; π ] \ { } x 2 − a 2 ) Đặ t x = +) R(x, 2 cos x Các bài tập áp dụng: 1 2 dx 23 2 2 ∫ dx dx dx ∫ ∫ (2 x + 3) ∫x x x −1 2 x x2 + 4 4 x 2 + 12 x + 5 x3 + 1 2 1 1 5 − 3 2 2 1 1 2 3 x2 +1 dx ∫ ∫x ∫ ∫ ∫x 1 + x dx (1 − x 2 ) 3 dx 2 2 x + 2008dx 2 dx x 2 + 2008 x2 +1 2 1 0 0 1 1 π 2 2 2 1 1 dx 2 ∫ 1+ x 2 dx 2 2 2 ∫ cos xdx x dx 1 + x 2 dx ∫ ∫ ∫ ∫ dx (1 + x ) 23 1− x 7 + cos 2 x (1 − x 2 ) 3 1− x2 0 0 0 0 0 0 π π π 3 7 x 3 dx sin 2 x + sin x 2 2 2 ∫x cos xdx ∫ 10 − x 2 dx 3 ∫ sin x ∫ ∫ cos x − cos x dx 2 dx 1+ x 3 2 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 0 0 0 0 0 π 1 1 1 7 x 3 dx xdx dx 2 ∫ ∫ x+ ∫x ∫ 1 + 3 x 8 dx 15 ∫ 1 − cos 3 x sin x cos 5 xdx 6 2x + 1 2x + 1 + 1 x +12 0 0 0 2 0 1 ln 3 1 ln 2 e 1 + 3 ln x ln x e 2 x dx ∫ dx dx 12 x − 4 x 2 − 8dx ∫ ∫1+ x + ∫ ∫ dx x e +1 x +1 e +1 x 2 x 5 −1 0 0 1 4 cos 2 x π + 2 3tgx 4 3 0 ln 3 x5 + x3 ln 2 x ∫ ∫ ∫ x (e ∫ x − 2 x + x dx 3 2 + x + 1)dx 3 2x 3 dx dx cos 2 x ∫ dx x ln x + 1 1+ x2 cos 2 x −1 0 0 ln 2 0 π π ln 2 e x dx 7 2a x+2 ∫ 3 2 ∫ ∫ cos xdx cos xdx x 2 + a 2 dx dx ∫ ∫ x+3 (e + 1) x 3 3 2 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0 0 0 0 IV – Tích phân hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: b ∫ f ( x ) dx a Chú ý: +) Xét dấu hàm số f(x) trên [a, b], dụa vào bảng xét dấu ⇒ dấu của f(x) b b ∫ ∫ f ( x)dx f ( x ) dx = +) Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên [a, b] thì a a +) Nếu f(x) = 0 c0s các nghiệm x1, x2 trên [a, b] (x1, x2) thì: x2 x1 x1 x2 b b b ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx = f ( x) dx + + + x1 x2 a a a x1 x2 Các bài tập áp dụng: 5
π π 3 2 2 1 2 ∫x ∫x ∫x ∫ x x − m dx ∫π sin x dx ∫ − 1 dx − 4 x + 3 dx − x dx 1 − sin x dx 2 2 2 −π −3 0 0 0 − 2 π 3π 2π 3 5 3 4 ∫ ∫ sin 2 x dx ∫ ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx ∫ 2 tg x + cot g x − 2dx 1 + cos x dx − 4 dx 2 2 x π π −2 0 0 6 4 π 3 ∫π cos x cos x − cos 3 x dx − 2 V - Một số tích phân đặc biệt - Đẳng thức tích phân: a a ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: −a 0 3π 3π ; 2 − 2 cos 2 x , Tính: Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 22 3π 2 ∫π f ( x)dx 3 − 2 1 x 4 + sin x ∫ dx +) Tính −1 1 + x 2 a ∫ f ( x)dx = 0. Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: −a π 1 2 ∫π cos x ln( x + ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx 1 + x 2 )dx Ví dụ: Tính: −1 − 2 a a ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: −a 0 1 x dx ∫x Ví dụ: Tính − x2 +1 4 −1 a a f ( x) Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫ dx = ∫ f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a) 1+ bx −a 0 π 3 x +1 2 2 sin x sin 3 x cos 5 x ∫1+ 2 ∫π dx dx Ví dụ: Tính: 1+ ex x −3 − 2 π π π 2 2 Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; ], thì ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 2 0 0 π π sin 2009 x 2 2 sin x Ví dụ: Tính ∫ sin 2009 x + cos 2009 x dx ∫ dx sin x + cos x 0 0 π ππ ∫ xf (sin x)dx = 2∫ f (sin x)dx Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: 0 0 6
π π x x sin x ∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx Ví dụ: Tính 0 0 b b b b ∫ f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f (b − x)dx = ∫ f ( x)dx ⇒ Bài toán 6: a a 0 0 π π x sin x 4 ∫ 1 + cos dx Ví dụ: Tính ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx 2 x 0 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: a +T T nT T ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x) dx = n ∫ f ( x )dx ⇒ a 0 0 0 2008π ∫ 1 − cos 2 x dx Ví dụ: Tính 0 Các bài tập áp dụng: π π x − x + x − x +1 x + cos x 1 7 5 3 1 4 2 1− x 2 dx ∫π ∫π 4 − sin ∫ (1 + e ∫ dx dx dx cos 4 x 2 )(1 + x 2 ) x 1+ 2x x −1 −1 − − 4 2 1 π tga cot ga xdx dx 2π 1− x sin 5 x 2 2 ∫ 1+ x2 + ∫ = 1 (tga>0) ∫1cos 2 x ln(1 + x )dx ∫ sin(sin x + nx)dx ∫ dx x(1 + x 2 ) 1 + cos x 1 1 −π 0 − 2 e e 2 VI – Bất đẳng thức tích phân: b b ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx Một số chú ý: +) Nếu f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a; b] thì a a b b ∫ ∫ f ( x)dx f ( x ) dx ≤ +) a a b +) Nếu m ≤ f(x) ≤ M thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a +) Để tìm miền giá trị của f(x) có thể sử dụng các BĐT hay phương pháp hàm số. Các bài tập áp dụng: 1 1 π 1 2 dx π π2 π 2 2 ∫ 2 + x + x2 < 8 dx 1 dx 1 < ∫ 2 x dx < 4 3
8