Tích phân xác đ nhị
A – M T S PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNỘ Ố ƯƠ
I – Tính tích phân b ng ph ng pháp phân tíchằ ươ :
∫+
2
0
2
)2(x
xdx
∫+
2
0
2
3
2x
dxx
∫
6
0
3
sin
π
xdx
∫+
4
0cossin
sin
π
xx
xdx
∫
π
0
3sin xdxx
dxe x
ex
∫+
1
0
∫+
2
1
2)2(xx
dx
∫+
1
0
5
)1( dxxx
∫+
2
0
sin1cos
π
dxxx
dx
xxx
∫
2
0
532
∫+
4
1
2
3)
1
(dx
x
x
∫
e
dx
x
x
1
5
ln
∫
2
0
3cos2sincos
π
xdxxx
∫
2
0
22
cos
π
x
xdx
∫
2
0
5
π
xdxtg
∫+
2
1
3xx
dx
∫+
−
4
05cos21
7cos8cos
π
dx
x
xx
II – Tính tích phân b ng ph ng pháp đ i bi n:ằ ươ ổ ế
a) Ph ng pháp đ i bi n d ng 1:ươ ổ ế ạ I =
∫
b
a
dxxf )(
+) Đ t x = ặ
ϕ
(t), t
∈
];[
βα
+) Tính dx =
'
ϕ
(t)dt
+) Đ i c n v i ổ ậ ớ
ba == )(;)(
βϕαϕ
+) Bi u di n : ể ễ
∫
b
a
dxxf )(
=
∫∫ =
β
α
β
α
ϕϕ
dttgdtttf )()('))((
=
)(tG
α
β
= G(
α
) -
)(
β
G
+) Chú ý: N u bi u th c d i d u tích phân có d ng:ế ể ứ ướ ấ ạ
•
22 xa −
Đ t x = asint, tặ
]
2
;
2
[
ππ
−∈
ho c x = acost, t ặ
];0[
π
∈
•
22 xa +
Đ t x = atgt, t ặ
)
2
;
2
(
ππ
−∈
•
xa
xa
+
−
Đ t x = acos2t, t ặ
);0[
π
∈
•
1
2−x
Đ t x = ặ
tcos
1
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
•
22
22 1
,xa
xa +
+
Đ t x = atgt, t ặ
)
2
;
2
(
ππ
−∈
Các ví d áp d ng:ụ ụ
∫−
1
0
2
1dxx
∫−
2
0
2
4dxx
∫+
1
0
2
1
1dx
x
∫−
2
0
22 4dxxx
dx
xa
x
a
∫
+
02
3
22
3
)(
∫−
2ln
0
1dxex
b) Ph ng pháp đ i bi n s d ng 2ươ ổ ế ố ạ : I =
∫
b
a
dxxf )(
+) Đ t t = U(x), U(x) có đ o hàm liên t c trên [a; b]ặ ạ ụ
+) Tính dt = U’(x)dx, bi u th f(x)dx = g(t)dtể ị
Đ i c n: x a bổ ậ
t = U(x) U(a) U(b)
+) Xác đ nh nguyên hàm G(t) c a g(t)ị ủ
1
+) I =
∫
b
a
dxxf )(
=
∫)(
)(
)(
bU
aU
dttg
= G(U(b))- G(U(a)).
Các ví d áp d ngụ ụ :
∫+
+
3
0
2
1
1dx
x
x
∫+
+
3
7
0313
1dx
x
x
∫−
1
0
235 )1( dxxx
∫
+
+−
+
2
15
1
24
2
1
1dx
xx
x
∫+
2
1
4
2
1dx
x
x
∫+
+
2
01cos3
sin2sin
π
dx
x
xx
∫+
e
dx
xx
x
1ln1
ln
∫+
15
03 2
3
1dx
x
x
III – Tính tích phân b ng ph ng pháp tích phân t ng ph n:ằ ươ ừ ầ
+) Có d(uv) = (uv)’dx = vdu + udv, t đó ừ
∫∫∫ +=
b
a
b
a
b
a
udvvduuvd )(
nên:
∫∫ −=
b
a
b
a
vdu
a
b
uvudv
(1)
Nh n xétậ: Đ tính tích phân ể
∫
b
a
dxxf )(
c n phân tích f(x) = udv, c n ch n u(x), v(x) h p lí. Ý nghĩaầ ầ ọ ợ
c a công th c (1) ch trong khi tính tích phân ủ ứ ở ỗ
∫
b
a
udv
khó ta áp d ng (1) thì ch c n tính ụ ỉ ầ
∫
b
a
vdu
d h n.ễ ơ
Chú ý: M t só d ng tích phân s d ng ph ng pháp tích phân t ng ph n:ộ ạ ử ụ ươ ừ ầ
•P(x)lnx, P(x)eax, P(x)sinax, P(x)cosax, eaxcosax, eaxsinax.
Các ví d áp d ng:ụ ụ
∫
2
0
cos
π
dxxex
∫+
1
0
2)1ln( dxxx
∫
π
0
2.cos dxex x
∫
π
e
dxx
1
)cos(ln
∫
1
0
2
cos dx
x
x
∫−
+
3
21
1
ln dx
x
x
x
dxxx
∫++
3
0
2)1ln(
∫+
+
2
0cos1
sin
π
dx
x
xx
∫
2
0
sin
π
dxx
∫
π
0
3.sin4 dxex x
B - M T S D NG TÍCH PHÂNỘ Ố Ạ
I – Tích phân hàm s h u t :ố ữ ỉ
Chú ý:+)
321)3)(2)(1(
)(
−
+
−
+
−
=
−−− x
C
x
B
x
A
xxx
xP
+)
2
)1(
1
)2()1(
)(
22 −
+
−
+
−
=
−− x
C
x
B
x
A
xx
xP
+)
cbxax
D
cbxax
baxC
x
B
x
A
cbxaxxx
xP
++
+
++
+
+
−
+
−
=
++−− 222
)2(
21
))(2)(1(
)(
(
0
2=++ cbxax
vô nghi m)ệ
Đ tìm A, B, C, D có th s d ng hai ph ng pháp: Đ ng nhát th c và h ng s bi n thiên.ể ể ử ụ ươ ồ ứ ằ ố ế
∫+−
−
5
3
223
12 dx
xx
x
∫++
b
a
dx
bxax ))((
1
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
1
1
∫+
1
0
3
2
)13( dx
x
x
∫++
1
0
22 )3()2(
1dx
xx
∫+
−
2
1
2008
2008
)1(
1dx
xx
x
∫
−
+−
++−
0
1
2
23
23
9962 dx
xx
xxx
∫−
3
2
22
4
)1( dx
x
x
∫
+
−
1
0
2
32
)1( dx
x
x
n
n
∫++
−
2
1
24
2
)23(
3dx
xxx
x
∫
+
2
1
4
)1(
1dx
xx
∫+
2
0
2
4
1dx
x
∫+
1
0
4
1dx
x
x
2
∫
−=
∫b
a
vdu
a
b
uv
b
a
udv
dx
xx
∫+−
2
0
222
1
∫+
1
0
32 )1( dx
x
x
∫+−
4
2
23 2
1dx
xxx
∫+−
++
3
2
3
2
23
333 dx
xx
xx
∫+
−
2
1
4
2
1
1dx
x
x
∫+
1
0
3
1
1dx
x
∫+
+++
1
0
6
456
1
2dx
x
xxx
∫+
−
1
0
2
4
1
2dx
x
x
∫+
+
1
0
6
4
1
1dx
x
x
∫+=
1
0
32 )1( dxxxI n
, (n
≥
1), Tìm
I
n
n
n2
lim
+∞→
II – Tích phân hàm s l ng giác: ố ượ
Chú ý: D ng 1ạ:
∫
b
a
mn xdxx cos.sin
+) N u m và n cùng ch n d ng dùng công th c h b cế ẵ ươ ứ ạ ậ
+) N u m và n cùng ch n âm đ t t = tgx hay t = cotgxế ẵ ặ
+) N u m l và d ng đ t t = sinx ế ẻ ươ ặ
+) N u n l và d ng đ t t = cosxế ẻ ươ ặ
D ng 2:ạ
∫
b
a
dxxxR )cos,(sin
( R là hàm h u t )ữ ỉ
+) N u ế
)cos,(sin xxR
B c l đ i v i sinx, ch n đ i v i cosx đ t t = cosxậ ẻ ố ớ ẵ ố ớ ặ
+) N u ế
)cos,(sin xxR
B c l đ i v i cosx, ch n đ i v i sinx đ t t = sinxậ ẻ ố ớ ẵ ố ớ ặ
+) N u ế
)cos,(sin xxR
Có b c sinx, cosx cùng ch n ho c cùng l đ t t = tgx ậ ẵ ặ ẻ ặ
D ng 3: ạ
∫++
β
α
dx
cxbxa 'cos'sin'
1
,
∫+
+
β
α
dx
xbxa
xbxa
cos'sin'
cossin
,
∫++
++
β
α
dx
cxbxa
cxbxa
'cos'sin'
cossin
,
+) N u bi u th c d i d u tích phân có d ng: ế ể ứ ướ ấ ạ
'cos'sin'
1
cxbxa ++
Đ t t = tgặ
2
x
, lúc đó sinx =
2
1
2
t
t
−
, cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
+) Phân tích :
xbxa
xbxa
cos'sin'
cossin
+
+
=
xbxa
xbxaB
Acos'sin'
)sin'cos'(
+
−
+
+)
'cos'sin'
cossin
cxbxa
cxbxa
++
++
=
'cos'sin''cos'sin'
)sin'cos'(
cxbxa
C
cxbxa
xbxaB
A++
+
++
−
+
+)
xcxxbxa 22 coscossinsin
1
++
Chia c t và m u cho cosả ử ẫ 2x, Đ t t = tgx.ặ
Các bài t p áp d ng:ậ ụ
xdxx 4
2
0
2cossin
∫
π
∫
2
0
32 cossin
π
xdxx
dxxx
∫
2
0
54 cossin
π
∫+
2
0
33 )cos(sin
π
dxx
∫+
2
0
44 )cos(sin2cos
π
dxxxx
∫−−
2
0
22 )coscossinsin2(
π
dxxxxx
∫−+
2
0
441010
)sincoscos(sin
π
dxxxxx
∫
2
3
sin
1
π
π
dx
x
∫+
2
0sin2
1
π
dx
x
∫−
2
0cos2
π
x
dx
∫
3
6
4
cos.sin
π
π
xx
dx
3
∫−+
4
0
22 coscossin2sin
π
xxxx
dx
∫+
2
0cos1
cos
π
dx
x
x
∫−
2
0cos2
cos
π
dx
x
x
∫+
2
0sin2
sin
π
dx
x
x
∫+
2
0
3
cos1
cos
π
dx
x
x
∫++
2
01cossin
1
π
dx
xx
∫−
2
3
2
)cos1(
cos
π
π
x
xdx
∫
−++
+−
2
2
3cos2sin
1cossin
π
π
dx
xx
xx
∫
4
0
3
π
xdxtg
dxxg
∫
4
6
3
cot
π
π
∫
3
4
4
π
π
xdxtg
∫+
4
01
1
π
dx
tgx
∫+
4
0)
4
cos(cos
π
π
xx
dx
∫++
++
2
05cos5sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
∫+
π
2
0
sin1 dxx
∫
++
4
0
13cos3sin2
π
xx
dx
∫+
++
2
0cossin
2sin2cos1
π
dx
xx
xx
∫+
2
0cos1
3sin
π
dx
x
x
∫−
2
4
sin2sin
π
π
xx
dx
∫
4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
x
∫+
2
0
32 )sin1(2sin
π
dxxx
∫
π
0
sincos dxxx
∫−
3
4
3
3 3
sin
sinsin
π
π
dx
xtgx
xx
∫++
2
0cossin1
π
xx
dx
∫+
4
0222 cossin
2sin
π
xbxa
xdx
∫+
2
01sin2
π
x
dx
∫+
2
02
cos1
cos
π
x
xdx
∫+
+
4
02sin3
cossin
π
dx
x
xx
∫
2
4
53 sincos
π
π
xdxx
∫+
4
0
2
cos1
4sin
π
x
xdx
∫+
2
03sin5
π
x
dx
∫
6
6
4cossin
π
π
xx
dx
∫+
3
6)
6
sin(sin
π
ππ
xx
dx
∫+
3
4)
4
cos(sin
π
ππ
xx
dx
∫
3
4
6
2
cos
sin
π
π
x
xdx
dxxtgxtg )
6
(
3
6
π
π
π
∫+
∫+
3
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx
∫
2
0
3
sin
π
dxx
∫
2
0
2cos
π
xdxx
∫+
2
0
12
.2sin
π
dxex x
dxe
x
xx
∫+
+
2
0cos1
sin1
π
∫+
4
6
2cot
4sin3sin
π
π
dx
xgtgx
xx
∫+−
2
0
26sin5sin
2sin
π
xx
xdx
∫
2
1
)cos(ln dxx
∫3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx
x
x
dxxx
∫−
2
0
2
cos)12(
π
∫
π
0
2
cossin xdxxx
∫
4
0
2
π
xdxxtg
∫
π
0
22 sin xdxe x
∫
2
0
3sin cossin
2
π
xdxxe x
∫+
4
0
)1ln(
π
dxtgx
∫+
4
0
2
)cos2(sin
π
xx
dx
∫−+
−
2
0
2)cos2)(sin1(
cos)sin1(
π
dx
xx
xx
III – Tích phân hàm s ch a căn th c:ố ứ ứ
∫
b
a
dxxfxR ))(,(
Trong đó R(x, f(x)) có các d ng: ạ
+) R(x,
xa
xa
+
−
) Đ t x = a cos2t, t ặ
]
2
;0[
π
∈
+) R(x,
22 xa −
) Đ t x = ặ
ta sin
ho c x = ặ
ta cos
4
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) Đ t t = ặ
n
dcx
bax
+
+
+) R(x, f(x)) =
γβα
+++ xxbax 2
)(
1
V i (ớ
γβα
++ xx2
)’ = k(ax+b)
Khi đó đ t t = ặ
, ho c đ t t = ặ ặ
bax +
1
+) R(x,
22 xa +
) Đ t x = ặ
tgta
, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x,
22 ax −
) Đ t x = ặ
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
Các bài t p áp d ng:ậ ụ
∫+
32
524xx
dx
∫−
2
3
221xx
dx
∫
−+++
2
1
2
125124)32( xxx
dx
∫+
2
131xx
dx
∫+
2
1
22008dxx
∫+
2
122008x
dx
∫−
1
0
32 )1( dxx
∫+
+
3
122
2
1
1dx
xx
x
∫−
+
2
2
01
1dx
x
x
∫+
1
032 )1( x
dx
∫
−
2
2
032
)1( x
dx
∫+
1
0
2
1dxx
∫−
2
2
02
2
1x
dxx
∫+
2
02cos7
cos
π
x
xdx
∫−
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
∫+
2
02
cos2
cos
π
x
xdx
∫+
+
2
0cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
∫+
7
03 2
3
1x
dxx
∫−
3
0
23 10 dxxx
∫+
1
012x
xdx
∫++
1
02
3
1xx
dxx
∫++
7
2112x
dx
dxxx
∫+
1
0
815 31
∫−
2
0
5
63cossincos1
π
xdxxx
∫+
3ln
01
x
e
dx
∫
−+++
1
1211 xx
dx
∫+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
∫−−
1
4
5
28412 dxxx
∫+
e
dx
x
xx
1
lnln31
∫+
+
3
02
35
1dx
x
xx
dxxxx
∫+−
4
0
23 2
∫
−
++
0
1
3
2)1( dxxex x
∫
+
3ln
2ln
2
1ln
ln dx
xx
x
∫+
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos
π
dx
x
tgx
x
x
∫+
2ln
03
)1( x
x
e
dxe
∫+
3
02cos2
cos
π
x
xdx
∫+
2
02
cos1
cos
π
x
xdx
dx
x
x
∫+
+
7
033
2
∫
+
a
dxax
2
0
22
IV – Tích phân hàm s ch a n trong d u giá tr tuy t đ i:ố ứ ẩ ấ ị ệ ố
∫
b
a
dxxf )(
Chú ý: +) Xét d u hàm s f(x) trên [a, b], d a vào b ng xét d u ấ ố ụ ả ấ
⇒
d u c a f(x)ấ ủ
+) N u f(x) = 0 vô nghi m trên [a, b] thì ế ệ
∫
b
a
dxxf )(
=
∫
b
a
dxxf )(
+) N u f(x) = 0 c0s các nghi m xế ệ 1, x2 trên [a, b] (x1, x2) thì:
∫
b
a
dxxf )(
=
∫1
)(
x
a
dxxf
+
∫
2
1
)(
x
x
dxxf
+
∫
b
x
dxxf
2
)(
=
∫1
)(
x
a
dxxf
+
∫2
1
)(
x
x
dxxf
+
∫
b
x
dxxf
2
)(
Các bài t p áp d ng:ậ ụ
5