intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Toán 9 - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: Khang Duy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

Thêm vào BST
Báo xấu
339
lượt xem 142
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán 9 - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thức trình bày phương pháp giải các dạng bài tập trong chuyên đề và các ví dụ minh họa mẫu nhằm giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải bài tập, học tốt môn Toán 9. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các giáo viên dạy Toán lớp 9.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán 9 - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thức

  1. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên đề 4: C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc A. KiÕn thøc c¬ b¶n.      * Mét sè bÊt ®¼ng thøc cÇn nhí: a 0 a a a          1. a2 0; ;- a b a b                                                , dÊu " = " x¶y ra khi vµ chØ khi ab 0 2. BÊt ®¼ng thøc C« - si : a, b 0 a b ab , 2                                                    dÊu " = " x¶y ra vµ chØ khi a = b a b            3. BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki: c d (a.c + b.d)2 (a2 + b2) (c2 + d2), dÊu " = " x¶y ra khi vµ chØ khi B. C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc. Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. A B A - B 0 Chó ý c¸c h»ng ®¼ng thøc: * a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 0; * a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c)2 0 Bµi 1.1: Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta lu«n cã: y2 a. x2 xy; 4 b. x2 + y2 + 1 xy + x + y; c. x4 + y4 xy3 +x3y Gi¶i: y2 4x 2 4 xy y2 1 a. XÐt hiÖu:x 2 xy (2 x y) 2 0 4 4 4 1
  2. 1 (b a )( ca ab ab c 2 abc CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2 y2 x xy. VËy: 4 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi 2x = y. 1 b. x2 + y2 + 1 - (xy + x + y) = (2 x 2 2 y 2 2 2 xy 2 x 2 y ) 2 1 (x y) 2 ( y 1) 2 x 1) 2 (                    0 2 VËy: x2 + y2 + 1 xy + x + y. c. x4 + y4 - (xy3 + x3y) = x4 - xy3 + (y4 - x3y) = x (x3 - y3) - y (x3 - y3) = (x3 - y3) (x - y) = (x - y)2 (x2 + xy + y2) 2( x y 2 3y2 = (x - y) )           0        2 4 VËy: x4 + y4 xy3 + x3y Bµi 1.2: Cho 0 < a b c. Chøng minh r»ng: a. a b c b c a b c a a b c c b b a b. a  c a b Gi¶i: a b c b c a 1 a. ( a 2 c b 2 a c 2 b b 2 c c 2 a a 2 b) b c a a b c abc 1 = ( a 2 c b 2 c) (b 2 a a 2 b) (c 2 b c 2 a ) abc 1 = c(a 2 b 2 ) ab(b a ) c 2 (b a ) abc 1 = (b a )( ca cb ab c 2 ) abc 1 = (b a )(c b)(c a ) 0 ( v× o < a b abc a b c b c)c a b c a a b c VËy: c b b a 1 2 (c b b 2 a b 2 c a 2 c ) a c a b abc b. 1 (c 2 b b 2 a b 2 c abc) abc 2 1 1 (c 2 b b 2 c ) (b 2 a abc) bc(c b) ba (b c) abc abc
  3. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (V× a2c abc) 1 b(c b)(c a ) 0 abc (V× o < a b c). VËy: c bCho Bµi 1.3: b a a< b < c < d. H·y xÕp thø tù t¨ng dÇn c¸c sè sau: a c a b x = (a + b) (c + d); y = (a + c) (b + d); z = (a + d) (b + c). Gi¶i: XÐt hiÖu: y - x = (a + b) (b + d) - (a + b) (c + d) = ab + ad + cb + cd - ac - ad - bc - bd = b (a - d) - c (a - d) = (a - d) (b - c) > 0 (v× a < b < c < d) Suy ra: y > z T¬ng tù, xÐt hiÖu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d) = (a - b) (c - d) > 0 Suy ra: z > y. VËy: x < y < z. Bµi 1.4: Cho abc = 1 vµ a3 > 36. Chøng minh r»ng: a2 b2 c2 ab bc ca 3 Gi¶i a2 a2 a2 b2 c2 ab bc ca b2 c2 ab bc ca 3 4 12 a2 2 2 a2 b c ab ca 2bc 3bc 4 12 2 a 1 b c (a 3 36) 0 (V× abc = 1 2 12a vµ a3 > 36 nªn a > 0). VËy: a2 b2 c2 ab bc ca 3 1 a 1 b 1 1 a a2 a2 1 1 a a 2 ,1y 1 b b 2 3 1 1 1 1 x 1 11 a1 1 a 1 a 1 1 va ) 2 a2 b2 a b a a2 a
  4. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bµi 1.5: Cho a > b > 0. So s¸nh hai sè x, y víi x = Gi¶i: Ta cã x,y > 0 vµ 1 1 1 (V× a > b> 0 nªn 1 1 y b2 b VËy: x < y. Ph¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh B¾c CÇu: * A B => A C. B C * 0 x 1 => x2 x (v× x - x2 = x (1 - x) 0) Bµi 2.1: Cho 0 x, y, x 1, Chøng minh r»ng: a. 0 x + y + z - xy - yz - zx 1; b. x2 + y2 + z2 1 + x2y + y2z + z2x. Gi¶i: a. Ta cã: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x) 0 (1) MÆt kh¸c: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x- y - z + xy + yz + zx - xyz 0, Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx 1 - xyz 1 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: 0 x + y + z - xy - yz - zx 1. b. Ta chøng minh: x2 + y2 + z2 - x2y - y2z - z2x 1. Ta cã: x2 + y2 + z2 - x2y- y2z - z2x = x2 (1 - y) + y2 (1 - z) + z2 (1 - x) x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 - x) (v× x2 x, y2 y, z2 z) x + y +z - xy - yz - zx 1 (c©u a). Bµi 2.2: Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2. Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2. Gi¶i: NÕu a 1 th× tõ b + c 1 suy ra a + b + c > 2, v« lý! VËy 0 < a < 1 T¬ng tù: 0 < b < 1, 0 < c < 1. 4
  5. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ta cã: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc > 0, suy ra abc < ab + bc + ca - 1 (v× a +b + c = 2) (1) Mµ 4 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), suy ra: 1 ab + bc + ca = 2 - (a 2 b 2 c 2 ) (2) 2 Tõ (1) vµ (2) suy ra: 1 2 2 2 abc < 1 - (a b c ) a 2 b 2 c 2 2abc 2 2 Bµi 2.3: Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chøng minh r»ng: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > 1 - a - b - c - d Gi¶i: Ta cã: (1 - a) (1 - b) = 1 - a - b + ab > 1 - a - b (1) V× 1 - c > 0 nªn: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > (1 - a - b) (1 - c) (2) (1 - a - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + c (a + b) > 1 - a - b - c (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > 1 - a - b - c VËy: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > (1 - a - b - c) (1 - d) > 1 - a - b - c - d (V× d (a + b + c) > 0) Bµi 2.4: Cho 0 a, b, c 2 tho¶ a + b + c = 3. Chøng minh r»ng: a 2 + b2 + c2 5 Gi¶i: C¸ch 1: V× a + b + c = 3 nªn cã Ýt nhÊt mét trong ba sè a, b, c kh«ng nhá h¬n 1, gi¶ sö a 1. V× 1 a 2 nªn: (a - 1) (a - 2) = a2 - 3a + 2 0 => a (3 - a) 2 Suy ra: ab + bc + ca = a (b + c) + bc = a (3 - a) + bc 2 (1) VËy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca) = 9 - 2 (ab + bc + ca) 5 (theo (1)) C¸ch 2: V× a, b, c 2 nªn: (2 - a) (2 - b) (2 - c) = 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ca) - abc 0 abc 5 2 2
  6. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Suy ra: - 4 + 2 (ab + bc + ca) - abc 0 => ab + bc + ca 2+ VËy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca) 9-4=5 Bµi 2.5: Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 1. Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 + 4abc1 < Gi¶i: 2 ¸p dông c«ng thøc Hª - r«ng, diÖn tÝch tam gi¸c: S = p( p a)( p b)( p c) , víi p = 1 (a + b + c) = 1 2 2 Do ®ã: S2 = 1 1 a 1 b 1 c 2 2 2 2 16S2 = (1 - 2a) (1 - 2b) (1 - 2c) = 1 - 2a - 2b - 2c + 4ab + 4bc + 4ca - 8abc = - 1 + 4 (ab + bc + ca) - 8abc > 0 1 Suy ra: 4abc + < 2ab + 2bc + 2ca. 2 Mµ: 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) = 1 - (a2 + b2 + c2) 1 1 Nªn: 4abc + 2 < 1 - a2 - b2 - c2 => a2 + b2 + c2 + 4abc < 2 Ph¬ng ph¸p 3: Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng. Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh ®óng. a b c 1 1 1 Bµi 3.1: a. Víi a,b, c > 0. Chøng minh: 2 bc ca ab a b c b. Cho a c > 0, b c. Chøng minh: c (a c) c (b c) ab Gi¶i: a b c 1 1 1 a. 2 bc ca ab a b c a2 +b2 + c2 2 (bc + ac - ba) (V× abc > 0) a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab 0 (a + b - c)2 0 (hiÓn nhiªn ®óng). a b c 1 1 1 2 bc ca ab a b c 6
  7. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VËy: b. c(a c) c(b c) ab ( c (a c) c (b c ) ) 2 ab c (a - c) + c (b - c) + 2c(a c)(b c) ab c2 - 2c (a c)(b c) (a c)(b c) 0 a -c)(b c) ) 2 ((c 0 ( hiÓn nhiªn ®óng). VËy: c(a c ) c (b c ) ab Bµi 3.2: Cho biÓu thøc: 3 1 4 P 4 3 x x x 1 x 1 x4 x 3 x 5 x 4 x 3 x2 x 1 Chøng minh r»ng 0 < P 32 < víi mäi x 1 9 Gi¶i: Ta cã: x4 - x3 + x - 1 = x3 (x - 1) + (x -1) = (x - 1) (x3 +1) = (x - 1) (x + 1) (x2 - x + 1) x4 + x3 - x - 1 = x3 (x+ 1) - (x + 1) = (x + 1) (x3 - 1) = (x + 1)( x - 1)(x2 + x + 1). x5 - x4 + x3 - x2 + x - 1 = (x - 1)(x4 + x2 + 1) = ( x -1) (x2 +1)2 - x2) = (x -1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) 3 1 4 P ( x 1)( x 1)( x 2 x 1) ( x 1)( x 1)( x 2 x 1) ( x 1)( x 2 x 1)( x 2 x 1) 3( x 2 x 1) ( x 2 x 1) 4( x 1) 2( x 2 1) 2 ( x 2 1)( x 4 x 2 1) (x 2 1)( x 4 x 2 1) x 4 x2 1 Râ rµng P > 0 32 2 32 P 4 9 16( x 4 x 2 1) 9 x x2 1 9 16x4 + 16x2 + 7 > 0 (lu«n lu«n ®óng). VËy: 0 < 32 P (x2 y2 )2 Bµi 3.3: Cho x9 > y vµ xy = 1. Chøng minh r»ng: 8 (x y) 2 Gi¶i: Ta cã: x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy = (x - y)2 + 2, suy ra: (x2 + y2)2 = (x - y)4 + 4 (x -y)2 + 4 (x2 y 2 )2 2 8 (x y) 4 4( x y) 2 4 8( x y) 2 7 ( x 2 ( xy 2 )y2) 8 (x y) 2
  8. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Do ®ã: (x - y)4 - 4 (x - y)2 + 4 0 (x - y- 2)2 0 (lu«n ®óng) VËy: Ph¬ng ph¸p 4: Sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc phô. * x 2 + y2 2 /xy/ * x 2 + y2 2xy 1 2 * ( x + y)2 4xy * x x+ , víi x > 0 1 1 4 1 4 ( x, y 0) ( x, y 0) * x y x y xy* (x y) 2 Bµi 4.1: Cho a, b, c 0 vµ a + b + c = 1. Chøng minh r»ng: a + 2b + c 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: 4xy (x + y)2, ta cã: 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 4(b + c) (1 - c) (1 - b) (1 + b)2 (1 - b) (1 + b) (1 - b2) (1 + b = a + 2b + c 1 1 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a2= , b = 0, 2c = . Bµi 4.2: Cho x, y > 0 vµ x + y - z = 1. Chøng minh r»ng: x + y 16xyz. Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: 4xy (x + y)2, ta cã: 16xyz 4z (x + y)2 (1) Ta chøng minh: 4z (x + y)2 x + y 4z ( x + y) 1 4z (1 + z) 1 8
  9. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 4z2 + 4z + 1 0 (2z + 1)2 0 VËy: 4z (x + y)2 x+y (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 1 1 1 a b c Bµi 4.3: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 1 1 2 a b b c c a Gi¶i: Tõ (a + b)2 4ab =>ab 1 1 1 (1) ( a b) ( a b) a b 4 1 1 4 1 1 a b T¬ng tù: 1 1 (b c) (2) 4 b c 1 1 (3) (c a ) 1 1 4 c a Céng (1), (2), (3) ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh. Bµi 4.4: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng 1 1 1 9 Gi¶i: a b c a b c C¸ch 1 1 1 1 a a b b c c Ta cã: (a + b + c) 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c b c 3 9 b a c a c b (V× a b 2; a c 2; b c 2; b a c a c b Suy1 ra:1 1 9 a b c a b c C¸ch 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« - si: a+b+c 33 abc 1 1 1 1 33 a c b abc Suy ra: ( a + b + c)1 1 1 9 1 1 1 9 a b c a b c a b c 9
  10. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bµi 4.5: Hai sè d¬ng a, b tho¶ m·n ab > a + b. Chøng minh r»ng a + b>4 Gi¶i: a b Tõ ab > a + b => a > 1 + vµ b > 1a + suy ra b a b a b a+b>2+ 4 (v× 2) b a b a Bµi 4.6: Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi 2p. Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: 1 1 4 Ta cã: ( x, y 0); x y x y 1 1 4 4 ; p a p b 2p a b c 1 1 4 ; p b p c a Do ®ã: 1 4 1 . p c p a b 1 1 1 1 1 1 Suy ra: 1 1 1 2 1 1 1. 2p a p b p c 4a b c p a p b p c a b c Bµi 4.7: Cho 4 sè d¬ng a, b, c, d. Chøng minh r»ng: Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: , ta cã: a b c d 2 a c b c c d a a ( d a ) c (b c )d a 2b 2 a c ad bc 4. (1) b c d a (b c)(d a ) (a b c d ) 2 1 4 2 b d b( a b) d (c d ) b ( xd, y2 ab 0) cd (2) xy ( x 4.y ) 2 c d a b (c d )(a b) (a b c d ) 2 LÊy (1) céng (2) vÕ theo vÕ ta ®îc: a b c d 4. a2 b2 c 2 d 2 ad bc ab cd 10 b c c d d a a b (a b c d ) 2
  11. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ta chøng minh: 4(a 2 b2 c 2 d 2 ad bc ab cd ) 2 (3) (a b c d ) 2 ThËt vËy: (3) 4 (a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) 2 (a + b + c + d)2 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 - 4ac - 4bd 0 (a - c)2 + (b - d)2 0 (®pcm). Bµi 4.8. Cho hai sè d¬ng a, b vµ a + b = 1. Chøng minh r»ng: 1 1 2 6 ab a b2 Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: 4ab (a + b)2, ta cã: 1 1 ab 4 4 ab ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: 1 1 4 víi x, y > 0, ta cã: 1 1 1 1x y 1x y 4 2 2 2 2 2 6 ab a b 2ab2ab a b ( a b) 2 1 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi2 a = b = . Bµi 4.9. Cho a, b, c, d >1 0. Chøng minh r»ng: 2Gi¶i: a b b d c a d b a c b d c a d b a c c 4 Ta cã: aa b bb dc dc bd d a a b b c c d d a a b c d b c d a a b(a b c)(da bc ca d d) (bb da) (ca cb ac d) b d d b = a b (ba cb)(cc dd) d a (ab cb)(d c a )d b c d a 1 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: 4 , ta cã: 2 xy (x y) (a c)(a b c d ) (b d ) (a b c d ) (a b)(c d ) (b c)(d a ) (®pcm). 4(a c)(a b c d ) 4(b d ).(a b c d ) 2 4 Ph¬ng ph¸p (5a : Ph¬ng b c d )ph¸p b c d)2 (a chøng. ph¶n 11
  12. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bµi 5.1: Cho 3 sè d¬ng a, b, c nhá h¬n 2. Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai: a(2 - a) > 1 ; b(2 - b) > 1 ; c( 2 - c) > 1. Gi¶i: Gi¶ sö c¸c bÊt ®¼ng thøc ®Òu ®óng, nh©n ba bÊt ®¼ng thøc l¹i ta ®îc: a (2 - a) b (2 - b) c (2 - c) > 1 (1) Mµ 0 < a (2 - a) = 2a - a2 = 1 - (a - 1)2 1. T¬ng tù: 0< b(2 - b) 1. 0 < c(2 - c) 1, suy ra: abc (2 - a) (2 - b) (2 - c) 1. M©u thuÉn víi (1) VËy cã Ýt nhÊt mét trong c¸c bÊt ®¼ng thøc ®· cho lµ sai: Bµi 5.2: Cho 6 sè tù nhiªn kh¸c 0 nhá h¬n 108. Chøng minh r»ng cã thÓ chän ®îc ba trong 6 sè ®ã ch¼ng h¹n a, b, c sao cho a < bc, b < ca, c < ab. Gi¶i: Gi¶ sö 6 sè tù nhiªn kh¸c 0 lµ 1 a1 < a2 < ... < a6 < 108. Râ rµng a2 2, a3 3. Víi 3 sè x, y, z tho¶ m·n 1 x < y < z ta lu«n cã x < yz vµ y < zx. NÕu trong c¸c sè a1, a2,..., a6 kh«ng cã 3 sè a, b, c nµo tho¶ m·n a < b 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng nÕu x + y + z > th× cã mét vµ chØ mét trong ba sè x, y, z lín h¬n 1. 12
  13. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Gi¶i: Ta cã (x - 1) (y - 1) (z -1) = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1 1 1 1 =x+y+z- (v× xyz = 1) x y z Suy ra: (x - 1) (y - 1) (z - 1) > 0 Trong ba sè x - 1, y - 1, z - 1 cã mét vµ chØ mét sè d¬ng. ThËt vËy, nÕu c¶ 3 sè ®Òu d¬ng th× x, y, z > 1. Khi ®ã xyz > 1, v« lý! VËy chØ cã mét vµ chØ mét trong ba sè x, y, z lín h¬n 1. Bµi 5.4: Cho a, b, c, d > 0. Chøng minh r»ng kh«ng thÓ ®ång thêi x¶y ra c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab. Gi¶i: Gi¶ sö x¶y ra ®ång thêi c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn. Tõ hai bÊt ®¼ng thøc ®Çu ta cã: (a + b)2 < (a + b) (c + d) < ab +cd => cd > (a + b)2 - ab 3ab => cd > 3ab (1) MÆt kh¸c, ta cã: (a + b) cd < (c + d) ab => (a + b)2 cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd) => 4abcd (a + b)2 cd < ab (ab + cd) = a2b2 +abcd => a2b2 > 3abcd => ab > 3cd (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, v« lý! VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p lµm tréi. a a a c a, b > 0 vµ 1 th× b b b c 13
  14. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC a b c Bµi 6.1: Cho 3 sè d¬ng a,b, c. Chøng minh r»ng: 1 < 2 a b b c c a Gi¶i: a a a a c V× 1 nªn a b a b c a b a b c T¬ng tù: b b b a ; a cb c bcc a cbbc . a b c c a a b c Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn l¹i ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh. Bµi 6.2: Cho a, b, c, d lµ c¸c sè d¬ng. Chøng minh r»ng: a b b c c d d a A=a b c b c d c d a d a b kh«ng lµ sè nguyªn. a b a b a b a b d V× 1 nªn . a b c a b c d a b c a b c d T¬ng tù: b c b c b c a ; a b c d b c d a b c d c d c d c d b ; a b c d c d a a b c d d a d a d a c . a b c d d a b a b c d Céng l¹i ta ®îc 2 < A < 3, suy ra A kh«ng thÓ lµ sè nguyªn. Bµi 6.3: Víi n nguyªn d¬ng lín h¬n 1. Chøng minh r»ng: a. b. 1 1 1 5 ... ; 12 2 2 n2 3 1 1 1 1 2 2 ... 2 2 ; Gi¶i: 1 2 n n a. Víi k > 1 ta cã: 1 1 1 1 . Do ®ã: 2 k k (k 1) k 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 1 ... 2 2 1 2 3 2 2 n 1 42 42 3 4n 1 n n b.Víi k > 1 ta cã: 2 2 2 , do ®ã: k 4k 4k 1 (2k 1)(2k 1) 1 1 1 2 k2 2k 1 2k 1 14 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 2 2 ... 12 22 n 3 5 5 7
  15. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Suy ra: 1 1 1 1 2 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 1 2 5 1 a1 = 1, Bµi 6.4: Cho d·y sè . 3 3 a2= Chøng minh r»ng: 1 1 1 ,..., a n 1 ... . 2 2 n 1 1 1 ... 2 Víi mäi n > 1. a 22 2a 22 na n2 Gi¶i: Víi k 2 ta cã: 1 1 (v× ak > ak - 1) => 1 1 1 ( v× ak - ak - 1 1= ) ka k2 ka k i a k ka 2 k ak 1 ak k Do ®ã: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... a12 2a 22 na n2 a3 a1 a2an 1 an a2 1 1 1 = 1 +                                                  2 . 2 a1 a n an 1 1 1 Bµi 6.5: Cho d·y sè a1 = 1, a2 = 1 1+ ,..., an =31 + 5 + +... 2n +1 3 1 1 1 Chøng minh r»ng: a 2 3a 2 ... (2n 1)a 2 2. 1 2 n    Gi¶i: 1 Ta cã: ak - ak - 1= ak ak 1 ; 2k 1 1 1 ak ak 1 1 1 . (2k 1)a k2 (2k 1)a k 1 a k ak 1ak ak 1 ak Do ®ã: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... a12 3a 22 (2n 1)a n2 a2 a3 a3 a4 an 1 an 1 1 1 Ph¬ng ph¸p 7: BÊt ®¼ng thøc 2 C«-Si. a a 2 n 15
  16. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC a1, a2,..., an 0:a1 a 2 ... a n n a1 a 2 ...a n n       DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a2 = ... =an. Bµi 7.1: Cho S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd trong ®ã ad - bc =1. Chøng minh r»ng 3 S . Gi¶i: (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2 = a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 +d2) V× ad - bc = 1 nªn: 1 + (ac + bd) 2 = (a2 + b2)(c2 +d)2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si, ta cã: S = (a2 + b2) + (c2 + d2) + ac + bd (a22 b 2 )(c 2 d 2 ) ac bd 1 (ac2 bd ) 2 ac bd . Râ rµng: S 1> 0(v× ac bd ) 2 ac bd §Æt: x = ac + bd ta cã: S 21 x2 x S2 4(1 x 2 ) x 2 4x 1 x2 (1 x 2 ) 4 x 1 x 2 4x2 3 2 VËy: S (®pcm). 1 x2 2x 3 3 Bµi 7.2: Cho 3 a, b c > 0 tho¶ . Chøng minh r»ng: 1 1 1 2 abc1 a1 1 b 1 c 8 Gi¶i: Ta cã: 1 1 1 1 1 b c 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« - Si: 1 bc 2 . 1 a (1 b)(1 c) T¬ng tù: 1 2 ac ; 11 b (1 aac )(1 c) 2 . 1 b (1 a )(1 b) 16
  17. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nh©n l¹i ta ®îc: 1 8abc 1 abc (®pcm). (1 a )( b)(1 c) (1 a )(1 b)(1 c) 8 Bµi 7.3: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng: 1 1 1 a b c 2 2 2 2 a b b ac c ab 2abc Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« - si, ta cã: a2 + bc 2abc; ac; b2 + ac 2b ab; 1 2 1 1 1 1 2 2 c + ab2 2c 2 a bc b ac c ab 2a bc 2b ac 2c ab Suy ra: 1 ab bc ca 2 abc a b b c c a 1 2 2 2 a b c 2 abc 2abc Ph¬ng ph¸p 8: BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki. (a1b1 ... a n bn ) 2 (a12 ... a n2 )(b12 ... bn2 ) 4 Bµi 8.1: Cho x, y, z tho¶ x (x -1) + y(y - 1) + z (z - 1) .  3 Chøng minh r»ng: x+y+z 4 17
  18. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki, ta cã: (1.x + 1.y + 1.z)2 (12 + 12 + 12)(x2 + y2 + z2) Suy ra: (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2) Theo gi¶ thiÕt, ta cã: x2 + y2 + z2 - (x + y + z)4 1 4 3 Tõ ®ã suy ra: (x + y + z)2 - (x+ y + z) S2 - 3S - 4 0 3 3 (Víi S = x + y + z) (S + 1) (S - 4) 0 - 1 S 4 VËy: x + y + z 4. Bµi 8.2: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh x2 + ax + b = 0 cã nghiÖm x0. Chøng x02 1 minh a2 b2 r»ng: Gi¶i: x0 lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh x2 + ax + b = 0 nªn ta cã: x02 ax0 b 0 x04 (a.x0 1.b) 2 ( a 2 b 2 )( x02 1) 2 2 x04 x04 1 1 a b x02 1 x02 1 2 2 x 0 1 x0 1 x02 1 a 2 b 2 Bµi 8.3: Cho tam gi¸c ABC vµ mét ®iÓm Q nµo ®ã ë trong tam gi¸c. Qua kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AC ë M vµ c¾t BC ë N. Qua Q kÎ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB ë F vµ c¾t BC ë E. Qua Q kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AC ë P vµ c¾t AB ë R. Ký hiÖu S1 = dt (QMP), S2 = dt(QEN), S3 = dt(QFR) vµ S = dt (ABC). Chøng minh r»ng: 1 a. S ( S1 S2 S3 ) 2 b. S1 S 2 S 3 S. 3 Gi¶i: a. Ta cã QMP BAC MP AC 2 18 S1 MP S1 MP S AC S AC
  19. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (Tû sè ) , suy ra: T¬ng tù: 2 2 S2 QE PC S AC AC S2 PC S2 PC S 3 AM Suy ra: ; . S AC S AC S AC Do ®ã: S1 S2 S3 MP PC AM AC 1 2 Suy ra: S SS1 S2 S3 S AC S1 S2 AC S3 b. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki, ta cã: S = 1. S1 1. S 2 1. S 3 ) 2 (12 + 12 +12)(S1 +S2 + S3) 1 Suy ra: S1 + S2 + S33 . DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi: S1 = S2 = S3 Q lµ träng t©m ABC. Ph¬ng ph¸p 9: Ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p. §Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n n0 ta thùc hiÖn c¸c bíc sau: a. KiÓm tra bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = n0. b. Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k. c. Ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1. Bµi 9.1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n 2 ta cã: 1 1 1 13 ... . n 1 n 2 2n 24 Gi¶i: 1 1 13 14 13 Víi n = 2, ta cã: (®óng). 3 4 24 24 24 Gi¶ sö víi n = k, ta cã: 1 1 1 13 13 ... k 1 k 2 2k 2k 24 1 1 1 13 Ta ph¶i chøng minh: ... k 1 k 3 2k 2 24 1 1 1 ... k 12 k 131 3 5 2k21n 2 1 1 1 19 1 1 . .... ... k 1 k 22 4 6 2k2n 2k 31n 21k 2 k 1
  20. CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ThËt vËy, ta cã: 13 1 1 1 13 . 24 2k 2 2k 2 k 1 24 VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n=k +1,do ®ã bÊt ®¼ng høc ®óng víi mäi n 2. Bµi 9.2: Chøng minh r»ng: víi n N, n 1. Gi¶i: 1 1 Víi n = 1; Ta cã (®óng) 2 2 1 3 5 2k 1 1 Gi¶ sö: . . ... 2 4 6 2k 3k 1 Ta cÇn chøng minh:1 . 3 . 5 ... 2k 1 1 2 4 6 2k 2 3k 4 Ta cã: 1 3 5 2k 1 1 3 2 k 1 2k 1 1 2k 1 . . ... . ... . . 2 4 6 2k 2 2 4 2k 2k 2 3k 1 2k 2 Ta cÇn chøng minh: (1) 1 2k 1 1 . 3k 1 2k 2 ThËt vËy: (1) 3k 4 2 2k 1 3k 1 . (2k + 1)22k(3k2 + 4)3k (2k 2 4 + 2) (3k + 1) 0 k (®óng). VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng víi mäi n 1. 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1