Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng
89
Bài 7: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Mục tiêu Nội dung
• Nắm được khái niệm về Toán tử tuyến tính.
• Nắm được khái niệm về Trị riêng và véc tơ
riêng.
• Nắm được phương pháp chéo hóa ma trận.
• Giải được các bài toán tương ứng.
Thời lượng
Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT +
8 giờ làm bài tập.
• Đối với toán tử tuyến tính người ta quan
tâm tới ma trận biểu diễn nó. Việc tìm
các không gian con bất biến một chiều là
cực kỳ quan trọng. Tìm lời giải cho bài
toán này là nguyên nhân đưa đến khái
niệm trị riêng và véc tơ riêng.
• Toán tử tuyến tính
• Trị riêng và véc tơ riêng
• Vấn đề chéo hóa ma trận.
Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng
90
Bài toán mở đầu :
Mô hình kinh tế động
Trong Mô hình Lêonchiep, cũng như trong mô hình “chi phí – sản xuất” khác, dự trữ trong mỗi
ngành được coi là tỷ lệ với cường độ sử dụng sản phẩm trong ngành đó. Ta sẽ xét dự trữ tổng của
nền kinh tế. Viết tập các hệ số yêu cầu dự trữ ki , i 1,2,...,
=
n dưới dạng ma trận đường chéo K,
véc tơ xác định tổng chi phí sản phẩm bằng Ax, Như vậy yêu cầu dự trữ của hệ kinh tế, cần thiết
để sản xuất tổng sản phẩm x được cho bởi véc tơ KAx.
Cho nên nếu ở thời điểm t cần sản xuất x(t) sản phẩm thì dự trữ s(t) ở thời điểm đó cần phải đủ
đảm bảo mức sản xuất đó, tức là cần phải có quan hệ
KAx(t) ≤ s(t)
Giả sử y là véc tơ sản phẩm phân loại, ta có
X = (I – A)–1 y
Từ hai hệ thức trên ta có
KA (I – A)–1 y(t) ≤ s(t) (*)
Quan hệ này là giới hạn nền tảng của mô hình “chi phí – sản xuất” có các dự trữ.
Tiếp theo có thể coi rằng mọi cụm sản phẩm phân loại gồm có hai phần. Phần một y′(t) là véc tơ
sản phẩm của thời điểm hiện tại, phần thứ hai là cụm Гs(t), đó là gia số về dự trữ s(t). Như vậy ta
có hai quan hệ
y (t) y (t) s(t)
′′
=+Γ
s(t 1) s(t) s(t)+= +Γ
Bây giờ ta giả thiết rằng nhu cầu mỗi sản phẩm là không đổi theo thời gian về sản phẩm thuần túy
của nó. Giả sử γi là tỷ số của nhu cầu so với sản phẩm thuần túy thứ i ( 0 < γi < 1 ). Ta gọi γi là
thiên hướng tiêu thu sản phẩm i. Lập ma trận đường chéo Г là ma trận thiên hướng tiêu thụ, ta có
y (t) y(t)
′=Γ
s(t) (I )y(t)Γ=−Γ
1
y(t) (I ) s(t)
−
=−ΓΓ ( **)
Ma trận (I – Г) là ma trận đường chéo với đường chéo dương thực sự vì (0 < γi < 1), cho nên
(I – Г)–1 luôn tồn tại, các phần tử đường chéo của ma trận đó là 1/ (1 – γi ).
Từ hai hệ thức (*) và (**) ta có
KA (I – A)–1 (I – Г)–1 Гs(t) ≤ s(t)
Ký hiệu K* = K A (I – A)–1 (I – Г)–1 ta được
K* Гs(t) ≤ s(t)
Xét điều kiện đảm bảo tăng cân bằng cân đối tức là tăng sao cho quan hệ γ = Гsi (t) / si (t) giống
nhau đối với mọi sản phẩm và ít nhất có một dự trữ của một sản phẩm được sử dụng toàn bộ
(tức là giới hạn nền tảng trở thành đẳng thức đối với ít nhất một sản phẩm). Đại lượng γ gọi là
tốc độ tăng của hệ thống.
Như vậy bài toán dẫn đến việc giải hệ bất đẳng thức đặc biệt
K* Гs(t) ≤ (1/ γ) Гs(t).
Người ta chứng minh được rằng nghiệm duy nhất của hệ trên là (1/ γ*) = γ*, Гs(t) = x* trong đó
γ* là nghiệm đặc trưng lớn nhất về mô đun, x* là véc tơ riêng tương ứng của ma trận A.
Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng
91
7.1. Toán tử tuyến tính
7.1.1. Định nghĩa 7.1
Một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ V lên chính nó gọi là một toán tử tuyến
tính trên V.
Ví dụ: Ánh xạ f: \2 → \2 xác định bởi f(x; y) = (x + y; x – y) là một toán tử
tuyến tính.
Một toán tử tuyến tính trong không gian \n được xác định một cách duy nhất bởi một
ma trận vuông A cấp n × n.
Thật vậy, đây là trường hợp riêng của ánh xạ tuyến tính với hai cơ sở {e1, e2,..., en} và
{f1, f2,..., fn}.
f(ek) =
n
ik i k
i1
a e f , k 1,..., n
=
==
∑
A = ik nn
a
×
Vì vậy, để cho tiện, ta sẽ ký hiệu toán tử tuyến tính bằng A (là ma trận tương ứng
của nó).
7.1.2. Cộng và nhân các toán tử tuyến tính
• Phép cộng
Tổng của hai toán tử tuyến tính A và B là toán tử tuyến tính C, mà nó thiết lập cho
mỗi véc tơ x một véc tơ tương ứng Ax + Bx. Nói cách khác
C = A + B ⇔ Cx = Ax + Bx.
Ta hãy tìm ma trận của C, nếu biết ik ik
a,b là các ma trận của A, B tương ứng
kikikiki
ii
Ae a e , Be b e .==
∑∑
Gọi ik
c là ma trận của C, nghĩa là
kiki
i
Ce c e .=∑
Vì C = A + B nên
kkk ikiki
i
Ce Ae Be (a b )e=+= +
∑
do đó
ik ik ik
cab.=+
Ma trận ik ik
ab+ gọi là tổng của các ma trận ik
a và ik
b
.
Vậy ma trận của tổng các toán tử tuyến tính bằng tổng các ma trận ứng với số hạng
thành phần.
Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng
92
• Phép nhân
Tích của hai toán tử tuyến tính A và B là toán tử C, thể hiện sự hoàn thành liên
tiếp, đầu tiên là toán tử B và sau đó là toán tử A.
Nói cách khác
CAB CxA(Bx).=⇔=
Ta có tích của hai toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính.
Thật vậy
12 12 1 2
C(x x ) A[B(x + x )] = A(Bx Bx )+= +
1212
ABx ABx Cx Cx .
=
+=+
Tương tự, ta có thể chứng minh
C( x) Cxλ=λ .
* Nếu E là toán tử đơn vị, còn A là toán tử bất kỳ thì dễ kiểm tra được rằng
AE = EA = A.
Ta có thể định nghĩa được lũy thừa của toán tử A.
A2 = A.A ; A3 = A.A.A
Coi rằng A0 = E. Rõ ràng là Am + n = Am.An.
* Bây giờ, ta tìm ma trận của toán tử C
kiki
i
Ce c e=∑
n
kjkjjkjjki
j0 j ji
ABe A b e b Ae b ae .
=
⎛⎞
===
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑
Từ các kết quả trên, ta có
ik ij jk
j
cab.=∑
Như thế, ma trận của C bằng tích các ma trận của A và B.
* Các tính chất của phép cộng và phép nhân các toán tử tuyến tính.
(1) A + B = B + A
(2) (A + B) + C = A + (B + C)
(3) A(BC) = (AB)C
(4) (A B)C AC BC
C(A B) CA CB.
+=+
⎧
⎨+= +
⎩
Chú ý rằng tích các toán tử tuyến tính nói chung không có tính giao hoán
AB ≠ BA.
Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng
93
Đã biết tìm tổng và tích các toán tử tuyến tính thì bây giờ, ta có thể tìm được một
đa thức bất kỳ của toán tử A. Giả sử
P(t) = a0tm + a1tm – 1 +...+ amE
là một đa thức bất kỳ.
Khi đó, ta có P(A) xác định bởi
P(A) = a0Am + a1Am – 1 +...+ amE.
7.1.3. Không gian con bất biến
Định nghĩa 7.2: Giả sử A là toán tử tuyến tính của không gian \n. Không gian con
tuyến tính V gọi là bất biến đối với A, nếu đối với mỗi véc tơ x ∈ V thì véc tơ Ax
cũng thuộc V.
Khi nghiên cứu toán tử tuyến tính A trong không gian bất biến V như vậy có thể xét
toán tử này chỉ trong V.
Ví dụ:
Giả sử \3 là không gian ba chiều và A là phép quay quanh một trục nào đó đi qua
điểm O (gốc tọa độ). Các không gian con bất biến khi này là
• Trục quay (không gian con bất biến một chiều)
• Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với trục quay này (không gian con bất
biến hai chiều).
Ví dụ :
Xét \2 – mặt phẳng. Toán tử A thể hiện là sự kéo dãn mặt phẳng λ1 lần dọc theo trục Ox
và λ2 lần dọc theo trục Oy. Nói cách khác, nếu z = ξ1e1 + ξ2e2 thì Az = λ1ξ1e1 + λ2ξ2e2
trong đó e1 và e2 là các véc tơ đơn vị trên các trục.
Các tọa độ Ox, Oy trong trường hợp này là các không gian con bất biến một chiều.
Nếu λ1 = λ2 = λ bội thì A gọi là toán tử đồng dạng. Trong trường hợp này, mỗi đường
thẳng đi qua gốc tọa độ đều là không gian con bất biến.
7.2. Trị riêng và véc tơ riêng
7.2.1. Khái niệm về trị riêng và véc tơ riêng của ma trận
Định nghĩa 7.3: Giả sử A là ma trận thực vuông cấp n, số thực λ gọi là trị riêng của A
nếu phương trình
Ax = λx, x ∈ \n
có nghiệm x = (x1, x2,…, xn)T ≠ (0, 0,...,0)T = θ.
Véc tơ x ≠ 0, λ ≠ 0 này gọi là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ.
Ví dụ: Cho
30
A81
⎛⎞
=⎜⎟
−
⎝⎠
Ta thấy 130131
A3
281262
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
===
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
−
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠