Toán học lớp 11: Phương pháp quy nạp Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

0
525
lượt xem
147
download

Toán học lớp 11: Phương pháp quy nạp Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán học lớp 11: Phương pháp quy nạp Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ về kèm theo hướng dẫn giải và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Toán học lớp 11: Phương pháp quy nạp Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 01. PHƯƠNG PHÁP QUY N P TOÁN H C<br /> L I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P CÓ T I WEBSITE MOON.VN<br /> [Tab Toán h c – Khóa Toán cơ b n và Nâng cao 11 – Chuyên<br /> I. CƠ S C A PHƯƠNG PHÁP<br /> <br /> Dãy s , c p s ]<br /> <br /> 1. ch ng minh m t m nh P(n) úng v i m i n ∈ N* thì ta th c hi n theo các bư c sau ây: Ki m tra m nh úng v i n = 1. Gi s m nh ã úng v i n = k; ưa ra ư c bi u th c c a P(k); ta g i là gi thi t quy n p. V i gi thi t P(k) ã úng, ta ch ng minh m nh cũng úng v i n = k + 1. 2. ch ng minh m t m nh P(n) úng v i m i n ≥ p; (p là s m t s t nhiên) thì ta th c hi n như sau: Ki m tra m nh úng v i n = p. Gi s m nh ã úng v i n = k; ưa ra ư c bi u th c c a P(k); ta g i là gi thi t quy n p. V i gi thi t P(k) ã úng, ta ch ng minh m nh cũng úng v i n = k + 1. II. M T S VÍ D MINH H A<br /> <br /> Ví d 1 [ VH]: Ch ng minh các bi u th c sau úng v i m i s t nhiên n dương: n(n + 1) a) 1 + 2 + 3 + ... + n = . 2 n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = . 6 L i gi i: n( n + 1) a) 1 + 2 + 3 + ... + n = , (1) 2 1.2 +) V i n = 1 thì ta có 1 = ⇒ (1) úng. 2 k (k + 1) +) Gi s (1) úng v i n = k, khi ó ta có 1 + 2 + 3 + ... + k = 2 (k + 1)(k + 2) +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = 2 k ( k + 1) k (k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) Th t v y, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + k ) + (k + 1) = + k +1 = = 2 2 2 V y bi u th c ã cho úng v i n = k + 1. n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = , ( 2) 6 1.2.3 +) V i n = 1 thì ta có 12 = ⇒ ( 2 ) úng. 6 k ( k + 1)(2k + 1) +) Gi s (2) úng v i n = k, khi ó ta có 12 + 22 + 32 + ... + k 2 = 6 (k + 1)( k + 2)(2k + 3) +) Ta s ch ng minh (2) úng v i n = k + 1, t c là 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 = 6 k (k + 1)(2k + 1) Th t v y, 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 = (12 + 22 + 32 + ... + k 2 ) + (k + 1) 2 = + (k + 1) 2 6 k (k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) 2 (k + 1) [ k (2k + 1) + 6(k + 1) ] (k + 1)(2k 2 + 7 k + 6) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = = = = 6 6 6 6 V y bi u th c (2) úng. Ví d 2 [ VH]: Ch ng minh r ng: a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n.(3n − 1) = n 2 (n + 1) v i m i n dương. b) 3n > n 2 + 4n + 5 v i m i s t nhiên n ≥ 3. a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n.(3n − 1) = n (n + 1),<br /> 2<br /> <br /> (1)<br /> <br /> L i gi i:<br /> <br /> Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!<br /> <br /> Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y +) V i n = 1 thì ta có 1.2 = 12 (1 + 1) ⇒ (1) úng.<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> +) Gi s (1) úng v i n = k, khi ó ta có 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k .(3k − 1) = k 2 (k + 1) Th t v y, 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k.(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = [1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k.(3k − 1)] + (k + 1)(3k + 2) +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k .(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = ( k + 1) 2 (k + 2)<br /> <br /> = k 2 (k + 1) + (k + 1)(3k + 2) = ( k + 1)(k 2 + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k + 1) 2 (k + 2) V y bi u th c ã cho úng v i n = k + 1. b) 3n > n 2 + 4n + 5, ( 2) +) V i n = 3 thì ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 ⇒ ( 2 ) úng. +) Gi s (2) úng v i n = k, khi ó ta có 3k > k 2 + 4k + 5 +) Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + 1, t c là 3k +1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 Th t v y, 3k +1 = 3k .3 > 3(k 2 + 4k + 5) = 3k 2 + 12k + 15 = (k 2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5 + 2k 2 + 6k + 5 = (k + 1) 2 + 4(k + 1) + 5 + 2k 2 + 6k + 5 > ( k + 1) 2 + 4(k + 1) + 5 do 2k + 6k + 5 > 0 ∀k . Do ó ta ư c 3k +1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5. V y (2) úng.<br /> <br /> BÀI T P LUY N T P<br /> Bài 1: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: a) 2 n > 2n + 1; ( n ≥ 3) . b) 2n+ 2 > 2n + 5. Bài 2: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: 1 1 1 1 3 2n − 1 1 a) 1 + 2 + ... + 2 < 2 − ; ( n ≥ 2 ) . b) . ... < . n 2 4 2n 2 n 2n + 1 Bài 3: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: 1 1 1 1 1 13 a) 1 + + ... + < 2 n. b) + + ... + > ; ( n > 1) . n +1 n + 2 2n 24 2 n Bài 4: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: n 2 (n + 1) 2 a) 13 + 23 + ... + n3 = . b) 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1) 2 . 4 Bài 5: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: n( n + 1)( n + 2) 1 1 1 n a) 1.2 + 2.3 + ... + n( n + 1) = . b) + + ... + = . 3 1.2 2.3 n( n + 1) n + 1 Bài 6: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: n(4n 2 − 1) n(3n − 1) a) 12 + 32 + 52 + ... + (2n − 1) 2 = . b) 1 + 4 + 7 + + (3n − 2) = . 3 2 Bài 7: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* , ta có: a) n3 + 11n chia h t cho 6. b) n3 + 3n 2 + 5 chia h t cho 3. c) n3 + 2n chia h t cho 3. d) 7.22 n −2 + 32 n −1 chia h t cho 5. 1 1 1 1 Bài 8: [ VH]. Cho t ng S n = + + + ... + . 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) a) Tính S1; S2; S3; S4. b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh d oán ó b ng quy n p. n /s: S n = . 2n + 1 1 1 1 1 + + + ... + . Bài 9: [ VH]. Cho t ng S n = 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) a) Tính S1; S2; S3; S4. b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh d oán ó b ng quy n p.<br /> Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!<br /> <br /> Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> n . 4n + 1 Bài 10: [ VH]. Dãy s (an) ư c cho như sau a1 = 2, an+1 = 2 + an , v i n = 1, 2, …<br /> <br /> /s: S n =<br /> <br /> Ch ng minh r ng v i m i n ∈ »* ta có: an = 2 cos<br /> <br /> π<br /> <br /> 2<br /> <br /> n +1<br /> <br /> .<br /> <br /> Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản