Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian nêu lên tổng quan bài toán; chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian; một số phương pháp tính số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH -------------------------------------- NGUYEÃN PHI PHUÙC PHÖÔNG PHAÙP QUASI-BOUNDARY VALUE VAØ PHAÀN TÖÛ HÖÕU HAÏN AÙP DUÏNG VAØO BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC THÔØI GIAN Chuyeân ngaønh : Toaùn Giaûi Tích Maõ soá : 60 46 01 TOÙM TAÉT LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN GIAÛI TÍCH NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC : PGS.TS.Ñaëng Ñöùc Troïng Thaønh Phoá Hoà Chí Minh - 2006
Hieän nay coâng cuï tính toaùn phaùt trieån moät caùch maïnh meõ ñaõ laøm thay ñoåi nhieàu quan ñieåm veà khaû naêng giaûi ñöôïc trong thöïc teá cuûa nhöõng baøi toaùn khaùc nhau. Nhieàu thuaät toaùn tröôùc ñaây khoâng theå chaáp nhaän vì khoái löôïng tính toaùn quaù lôùn thì ngaøy nay hoaøn toaøn thöïc hieän ñöôïc moät caùch hieäu quaû . Nhieàu baøi toaùn thuoäc lónh vöïc öùng duïng, ñaëc bieät laø caùc baøi toaùn khoâng chænh xuaát hieän trong caùc lónh vöïc vaät lyù, kinh teá, y khoa, thaêm doø, hoài phuïc, nhaän daïng v.v… ñaõ ñöôïc giaûi baèng nhöõng thuaät toaùn höõu hieäu. Ñaây laø lónh vöïc toaùn hoïc heát söùc saâu roäng, thöïc tieãn, höùng thuù, raát nhieàu ngöôøi quan taâm vaø ñaït nhieàu thaønh töïu. Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi trình baøy vieäc chænh hoaù baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian, moät baøi toaùn khoâng chænh trong lónh vöïc vaät lyù öùng duïng baèng phöông phaùp Quasi-Boundary value vaø phaàn töû höõu haïn, ñoàng thôøi cuõng trình baøy moät soá phöông phaùp tính soá coù thuaät toaùn höõu hieäu ñeå giaûi. Luaän vaên naøy ngoaøi lôøi noùi ñaàu, phaàn keát luaän, phaàn taøi lieäu tham khaûo vaø phaàn muïc luïc seõ ñöôïc trình baøy trong 4 chöông: Chöông 1 laø phaàn toång quan veà baøi toaùn, trình baøy sô löôïc veà lòch söû vaán ñeà. Chöông 2 laø phaàn trình baøy caùc kyù hieäu vaø nhaéc laïi moät soá kieán thöùc caàn thieát ñeå thuaän tieän cho vieäc theo doõi caùc phaàn tieáp theo. Chöông 3 laø phaàn trình baøy vieäc chænh hoaù baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian. Chöông 4 laø phaàn trình baøy moät soá phöông phaùp tính soá .
Cuoái cuøng, toâi xin chaân thaønh caûm ôn PGS. TS. Ñaëng Ñöùc Troïng ngöôøi ñaõ taän tình höôùng daãn toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp vaø hoaøn thaønh luaän vaên. Maëc duø baän nhieàu coâng vieäc nhöng thaày vaãn daønh raát nhieàu thôøi gian ñeå höôùng daãn toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Toâi cuõng xin caûm ôn ñeán quyù thaày coââ tham gia giaûng daïy cao hoïc khoaù 14, nhöõng ngöôøi ñaõ truyeàn ñaït nhöõng kieán thöùc quyù baùu cho toâi. Sau cuøng, khoâng theå khoâng nhaéc ñeán baïn beø, ngöôøi thaân nhöõng ngöôøi ñaõ luoân khuyeán khích, ñoäng vieân toâi trong quaù trình hoïc taäp, toâi xin caûm ôn vì ñieàu ñoù. TP. HCM, ngaøy 15 thaùng 6 naêm 2006 Taùc giaû luaän vaên Nguyeãn Phi Phuùc
MUÏC LUÏC Trang Lôøi noùi ñaàu Muïc luïc Chöông 1. PHAÀN TOÅNG QUAN 1 Chöông 2. CAÙC KYÙ HIEÄU VAØ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ 6 2.1. Khoâng gian Hilbert ………………………………………………..…………………………………………….…6 2.2. Nöûa nhoùm lieân tuïc………………………………………...................................……….…...11 2.3. Khoâng gian phaàn töû höõu haïn ...……………………………………………………………...……14 2.3.1 xaây döïng khoâng gian phaàn töû höõu haïn ……………..……………………..…………14 2.3.2 Ñaùnh giaù söï hoäi tuï phaàn töû höõu haïn .……………………………………..…..…...….18 2.4. Kyù hieäu …………………………..………………………………………………………………………..……….…19 2.4.1 Kyù hieäu hình hoïc …………………………………………………..…………………………………...19 2.4.2 Kyù hieäu caùc khoâng gian haøm …………………………………….……………….………...19 2.4.3 Kyù hieäu caùc öôùc löôïng………………………………………………………………………………..…21 Chöông 3. CAÙC KEÁT QUAÛ CHÆNH HOAÙ 21 3.1. Caùc keát quaû chænh hoaù baøi toaùn QBVP ………………………………………………..22 3.2. Phaùt bieåu laïi baøi toaùn vaø ñaùnh giaù sai soá chænh hoaù ……………………..32 Chöông 4. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÍNH SOÁ 44 4.1. Phöông phaùp söû duïng giaù trò rieâng vaø veùc tô rieâng xaáp xæ soá…….....44 4.2. Xaáp xæ soá qua laëp Conjugate gradient ………………………………………………..47 4.3. Ñaùnh giaù sai soá ………………………………………………………………………………….…………………..52 Keát luaän Taøi lieäu tham khaûo
1 Chöông 1 PHAÀN TOÅNG QUAN Tröôùc tieân chuùng ta nhaéc laïi khaùi nieäm veà baøi toaùn chænh vaø khoâng chænh. Ñònh nghóa (Hadamard 1923). Moät baøi toaùn ñöôïc goïi laø chænh neáu nghieäm i) Toàn taïi, ii) Laø duy nhaát, iii) Phuï thuoäc lieân tuïc vaøo döõ lieäu ban ñaàu. (Tính chaát oån ñònh) Vaø moät baøi toaùn ñöôïc goïi laø khoâng chænh neáu noù vi phaïm moät trong 3 tính chaát treân. ÔÛ ñaây tính chaát iii) laø quan troïng ñoái vôùi nhöõng baøi toaùn thöïc teá, vì vaäy ñeå chænh hoaù baøi toaùn ñieàu mong muoán laø nghieäm seõ ít thay ñoåi neáu caùc döõ lieäu cuûa baøi toaùn cuõng thay ñoåi ít. Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi xeùt baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian cho bôûi ⎧u , (t ) + Au (t ) = 0, 0 < t < T , (FVP) ⎨ ⎩u (T ) = f . vôùi A laø moät toaùn töû töï lieân hôïp döông, khoâng bò chaën trong khoâng gian Hilbert H sao cho –A sinh ra moät nöûa nhoùm co compaéc treân H, vaø 0 thuoäc taäp giaûi cuûa – A (0∈ρ(-A)), t laø thôøi gian, T laø thôøi gian cuoái cho tröôùc, haøm döõ lieäu f cho tröôùc trong H, u : [0, T] → H laø lôøi giaûi caàn tìm. Baøi toaùn treân laø baøi toaùn khoâng chænh, bôûi vì, ngay caû khi toàn taïi lôøi giaûi duy nhaát treân [0, T] thì lôøi giaûi naøy cuõng khoâng chaéc phuï thuoäc lieân tuïc theo f. Thaät vaäy, xeùt baøi toaùn nhieät cho bôûi ⎧ut − u xx = 0, 0 < x < 1, 0 ≤ t ≤ T , ⎪ ⎪u (0, t ) = 0, ⎨ (*) ⎪u (1, t ) = 0, ⎪⎩u ( x, T ) = f ( x) = e −1sinπ x,
2 nghieäm chính xaùc cuûa (*) laø u ( x , t ) = eπ (T − t ) −1 sinπ x . 2 1 Laáy fn (x) = e−1sinπ x+ sinnπ x laøm döõ lieäu taïi thôøi gian cuoái T. Khi ñoù ta coù n nghieäm töông öùng cuûa (*) vôùi giaù trò cuoái fn (x) laø 2 1 un (x, t)=eπ (T −t ) −1 sinπ x+ e n π (T −t ) sinnπ x . 2 2 n Sai soá taïi thôøi gian cuoái 1 1 1 1 fn − f = ∫n sin 2 nπ xdx = ⎯⎯⎯ n →∞ →0 . L2 ( 0 ,1) 0 2 n 2π Vaø sai soá taïi thôøi gian ñaàu e 2 n π T n→∞ 2 2 1 1 2n π T 2 un (., 0) − u (., 0) L ( 0 , 1) = ∫ 2e sin nπ xdx = ⎯⎯⎯ →∞ . 2 2 2 0 n 2n 2 Vaäy (*) laø baøi toaùn khoâng chænh do vi phaïm tính chaát iii). Vieäc xaây döïng haøm xaáp xæ oån ñònh nghieäm cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa vaán ñeà chænh hoaù caùc baøi toaùn khoâng chænh. Ta seõ neâu khaùi nieäm chính xaùc cuûa vieäc chænh hoaù cuûa baøi toaùn khoâng chænh. Xeùt phöông trình Au = f , u ∈ D(A) ⊂ X, f ∈ Y . Trong ñoù X, Y laø caùc khoâng gian meâ tríc vaø A : D(A) → Y laø moät toaùn töû. Ta noùi u0 ∈ D(A) laø nghieäm chính xaùc cuûa baøi toaùn töông öùng vôùi giaù trò döõ lieäu chính xaùc f0 neáu Au0 = f 0 . Toaùn töû Rα : Y → X phuï thuoäc vaøo tham soá α ∈ \ (ñöôïc goïi laø tham soá chænh hoaù) laø moät toaùn töû chænh hoaù neáu a) Rα f0 → u0 khi α → 0 ,
3 b) Vôùi moïi δ > 0 , toàn taïi ω (δ ), α (δ ) → 0 sao cho d X ( Rα (δ ) f , u0 ) ≤ ω (δ ) neáu dY ( f , f0 ) ≤ δ , f ∈ Y. Phaàn töû uδ = Rα (δ ) f goïi laø nghieäm chænh hoaù cuûa baøi toaùn. Baøi toaùn (FVP) ñaõ ñöôïc nhieàu taùc giaû chænh hoaù baèng nhieàu baøi toaùn chænh khaùc. Lattes vaø Lions [9], Miller [11], Payne [13], Huang vaø Zheng [6], vaø Lavrentiev [10] ñaõ xaáp xæ (FVP) baèng caùch laøm nhieãu toaùn töû A. Nghieân cöùu naøy goïi laø phöông phaùp Quasi-Reversibility. YÙ töôûng chính cuûa phöông phaùp naøy laø nhieãu phöông trình trong baøi toaùn khoâng chænh ñeå thu ñöôïc baøi toaùn chænh, roài duøng nghieäm cuûa baøi toaùn chænh nhö laø moät nghieäm xaáp xæ cuûa baøi toaùn khoâng chænh. Trong [9] Lattes vaø Lions chænh hoaù baøi toaùn treân bôûi baøi toaùn ⎧ut + Au − ε A* Au = 0, 0 < t < T , ⎨ ⎩u (T ) = f . Alekseeva vaø Yurchuk [18] xeùt baøi toaùn ⎧ut + Au + ε At = 0, 0 < t < T , ⎨ ⎩u(T ) = f . Gajewski vaø Zaccharias [5] xeùt baøi toaùn töông töï Alekseeva vaø Yurchuk ñaõ laøm vaø hoï ñaùnh giaù sai soá cuûa nghieäm xaáp xæ laø 2 uε (t ) − u (t ) ≤ (T − t ) u(0) . 2 t2 Showalter [14, 15] ñaõ ñöa ra phöông phaùp khaùc ñeå chænh hoaù baøi toaùn (FVP), phöông phaùp naøy vieäc ñaùnh giaù sai soá oån ñònh hôn caùc taùc giaû tröôùc ñoù. Söû duïng yù töôûng cuûa Showalter, Clark vaø Oppenheimer [3] ñaõ duøng phöông phaùp Quasi- Boundary ñeå chænh hoaù baøi toaùn ngöôïc thôøi gian vôùi nghieäm chænh hoaù thoaû
4 ⎧ut + Au (t ) = 0, 0 < t < T , ⎨ ⎩u(T ) + ε u(0) = f . Cuõng yù töôûng treân, Denche vaø Bessila [4] ñaõ xaáp xæ (FVP) baèng caùch nhieãu ñieàu kieän cuoái bôûi ⎧ut + Au (t ) = 0, 0 < t < T , ⎨ ⎩u(T ) − ε u '(0) = f . Huang vaø Zheng [7] xeùt baøi toaùn ⎧ut + Au + ε At = 0, 0 < t < T , ⎨ ⎩u(T ) = f . ôû ñaây, –A laø toaùn töû sinh cuûa nöûa nhoùm giaûi tích trong khoâng gian Banach. Tuy nhieân, hoï chöa ñöa ra coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá vaø hieäu quaû cuûa caùc phöông phaùp ñeå tính toaùn. Trong luaän vaên naøy chuùng toâi söû duïng phöông phaùp Quasi-Boundary value töông töï nhö Showalter ñaõ laøm nhöng trong ñieàu kieän toång quaùt hôn. ÔÛ ñaây chuùng ta laøm nhieãu ñieàu kieän cuoái. Ñieàu naøy ñöa ra baøi toaùn Quasi-Boundary value (QBVP) sau ⎧⎪uα, (t ) + Auα (t ) = 0, 0 < t < T , ⎨ ⎪⎩α uα (0) + uα (T ) = f . vôùi α laø moät soá döông nhoû, toaùn töû A coù moät taäp tröïc giao goàm caùc haøm veùc tô rieâng qi vôùi caùc giaù trò rieâng λ i > 0, sao cho {qi } laø moät cô sôû cuûa H. Khi ñoù ta coù ∞ theå bieåu dieãn f trong (FVP) döôùi daïng f = ∑ b q , vaø sau ñoù chæ ra raèng baøi toaùn i =0 i i xaáp xæ laø chænh vaø nghieäm cuûa noù hoäi tuï khi vaø chæ khi baøi toaùn goác coù nghieäm coå ñieån. Phaàn coøn laïi cuûa luaän vaên bao goàm ba chöông. Chöông 2 trình baøy caùc kieán thöùc chuaån bò cho luaän vaên. Chöông 3 trình baøy veà phöông phaùp Quasi- Boundary value. Muïc ñích cuûa luaän vaên laø boå sung vaøo lyù thuyeát xaáp xæ cuûa
5 Clark vaø Oppenheimer [3] phaàn ñaùnh giaù sai soá. Hieån nhieân tröôùc khi chuùng ta tìm hieåu veà söï boå sung naøy vaø tính ñuùng ñaén cuûa moät caùch laáy xaáp xæ, thì ñaàu tieân chuùng ta phaûi traû lôøi caâu hoûi “ Coù toàn taïi moät xaáp xæ khoâng?”. Caâu traû lôøi ∞ laø coù khi vaø chæ khi ∑b i =1 i 2 2T λi e hoäi tuï. Ñieàu naøy laø noäi dung chöông 3 cuûa luaän vaên. Chöông 4 cuûa luaän vaên trình baøy hai phöông phaùp tính soá baøi toaùn (QBVP) laø phöông phaùp xaáp xæ höõu haïn giaù trò rieâng, vectô rieâng vaø phöông phaùp laëp Conjugate-gradient, phaàn cuoái cuûa chöông 4 trình baøy veà sai soá cuûa caùc xaáp xæ höõu haïn.
6 Chöông 2 KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ VAØ CAÙC KYÙ HIEÄU Trong chöông naøy, chuùng toâi qui öôùc moät soá kyù hieäu vaø neâu laïi moät soá kieán thöùc chuaån bò caàn thieát ñöôïc söû duïng ñeán trong caùc chöông sau. 2.1. Khoâng gian Hilbert Cho X laø moät khoâng gian tuyeán tính thöïc. Ñònh nghóa 2.1.1. AÙnh xaï : X → [ 0, ∞ ) goïi laø chuaån neáu thoaû i) u + v ≤ u + v ,∀u,v ∈ X , ii) λu = λ u ,∀u ∈ X ,λ ∈ , iii) u ≥ 0 ,∀u ∈ X; u = 0 ⇔ u = 0. Khoâng gian tuyeán tính trang bò chuaån goïi laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån. Töø ñaây veà sau ta giaû söû X laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån. Ñònh nghóa 2.1.2. Ta noùi daõy {un }n=1 ⊂ X hoäi tuï veà u ∈ X neáu lim un − u = 0 ∞ n →∞ Ta kyù hieäu: un → u . Ñònh nghóa 2.1.3. Ta noùi daõy {un }n=1 ⊂ X laø moät daõy Cauchy neáu vôùi moïi ε > 0, ∞ ∃N > 0 sao cho un − um < ε , ∀n, m ≥ N . Ñònh nghóa 2.1.4. X ñöôïc goïi laø ñaày ñuû neáu moãi daõy Cauchy trong X ñeàu hoäi tuï. Ñònh nghóa 2.1.5. X ñöôïc goïi laø khoâng gian Banach neáu X ñaày ñuû . Ñònh nghóa 2.1.6. Ta noùi X laø taùch ñöôïc neáu X chöùa moät taäp con ñeám ñöôïc truø maät trong X. Cho H laø moät khoâng gian tuyeán tính thöïc. Ñònh nghóa 2.1.7. AÙnh xaï ( . , .) : H × H → goïi laø tích voâ höôùng neáu thoaû i) ( u,v ) = ( v,u ) , ∀u,v ∈ H ,
7 ii) ( u + v,w ) = ( u,w ) + ( v,w ) , ∀u,v,w ∈ H , iii) ( λu,v ) = λ ( u,v ) , ∀u,v ∈ H ,λ ∈ , iv) ( u, u ) ≥ 0, ∀u ∈ H ; ( u, u ) = 0 ⇔ u = 0. 1 Neáu ( . , .) laø tích voâ höôùng thì chuaån töông öùng vôùi noù laø u = ( u, u ) 2 . Ñònh nghóa 2.1.8. Khoâng gian Hilbert laø moät khoâng gian Banach vôùi chuaån ñöôïc sinh ra bôûi moät tích voâ höôùng. Töø ñaây veà sau ta giaû söû H laø khoâng gian Hilbert. Ñònh nghóa 2.1.9. Hai phaàn töû u, v cuûa H goïi laø tröïc giao vôùi nhau neáu ( u, v ) = 0 . Khi ñoù, ta vieát u ⊥ v . Ñònh nghóa 2.1.10. Hai taäp hôïp con M, N cuûa H goïi laø tröïc giao vôùi nhau neáu moãi phaàn töû cuûa M tröïc giao vôùi moãi phaàn töû cuûa N. Khi ñoù, ta vieát M ⊥ N . Ñònh nghóa 2.1.11. Phaàn töû u cuûa H goïi laø tröïc giao vôùi taäp hôïp con M cuûa H neáu u tröïc giao vôùi moïi phaàn töû cuûa M. Khi ñoù, ta vieát u ⊥ M . Ñònh nghóa 2.1.12. Daõy {un }n =1 goïi laø heä tröïc giao trong khoâng gian H neáu caùc ∞ phaàn töû cuûa daõy ñoâi moät tröïc giao vôùi nhau. Tính chaát 2.1.13. Cho H laø khoâng gian Hilbert, u, un , v, vi , vn ∈ H . Ta coù a) u ⊥ u ⇔ u = 0, b) 0 ⊥ u, ∀u, n c) u ⊥ vi , i = 1, n ⇒ u ⊥ ∑ α i vi , i =1 ⎧ u ⊥ vn d) ⎨ ⇒ u ⊥ v, ⎩vn ⎯⎯⎯ →v n →∞ e) Taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû cuûa H tröïc giao vôùi taäp hôïp M con cuûa H goïi laø phaàn buø tröïc giao cuûa M (kyù hieäu M ⊥ ) laø moät khoâng gian con ñoùng cuûa H,
8 2 2 2 f) u ⊥ v ⇒ u + v = u + v , g) Neáu {un }n =1 laø heä tröïc giao trong khoâng gian H ∞ ∞ ∞ 2 thì ∑ un hoäi tuï ⇔ ∑ un < ∞ . n =1 n =1 Ñònh lyù 2.1.14. M laø moät khoâng gian con ñoùng cuûa H thì moãi phaàn töû x cuûa H ñöôïc bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng x=y+z vôùi y∈M, z∈ M ⊥ vaø x − y = inf x − u . u∈M ° y goïi laø hình chieáu tröïc giao cuûa x leân khoâng gian con M. ° Toaùn töû P : H → M xaùc ñònh bôûi Px = y goïi laø toaùn töû chieáu leân M vaø laø toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc, P = 1 . Ñònh nghóa 2.1.15. Daõy {en } goïi laø heä tröïc chuaån trong khoâng gian H neáu ⎧0 neáu i = j, (e , e ) = δ i j ij =⎨ ⎩ 1 neáu i ≠ j. Tính chaát 2.1.16. {en } laø heä tröïc chuaån trong khoâng gian H. Khi ñoù vôùi u ∈ H . n a) Phaàn töû v = ∑ ( u, ei ) ei laø hình chieáu tröïc giao cuûa u leân khoâng gian sinh i =1 n 2 bôûi {e1 , e2 , ..., en } vaø ∑ ( u, e ) 2 i ≤ u , i =1 ∞ ⎛ ∞ ⎞ b) Chuoãi ∑ ( u, ei ) ei hoäi tuï vaø ⎜ u - ∑ ( u, ei ) ei ⎟ ⊥ en , ∀n , i =1 ⎝ i =1 ⎠ ∞ 2 ∑ ( u, e ) 2 c) i ≤ u . i =1 Ñònh nghóa 2.1.17. Heä tröïc chuaån {en }n =1 goïi laø cô sôû tröïc chuaån trong khoâng gian ∞ H neáu moïi veùc tô tröïc giao vôùi heä ñeàu baèng 0 (töùc laø u ⊥ en , ∀n = 1, 2, ... ⇒ u = 0 ).
9 ∞ Neáu u ∈ H vaø {en }n=1 ⊂ H cô sôû tröïc chuaån ta coù theå vieát u=∑ ( u, en )en . ∞ n=1 {en }n=1 ∞ Ñònh lyù 2.1.18. Giaû söû laø heä tröïc chuaån trong khoâng gian H . Caùc meänh ñeà sau laø töông ñöông. a) Heä {en }n=1 laø cô sôû tröïc chuaån trong khoâng gian H, ∞ ∞ 2 b) ∀u ∈ H , u = ∑ ( u, ei ) , 2 i =1 ∞ c) ∀u, v ∈ H , ( u, v ) = ∑ ( u, ei )( v, ei ) , i =1 {en }n=1 tuyeán tính truø maät trong H (töùc laø bao tuyeán tính cuûa {en }n=1 ) laø ∞ ∞ d) truø maät trong H. Ñònh nghóa 2.1.19. Toaùn töû A : H → H tuyeán tính lieân tuïc , toaùn töû lieân hôïp cuûa noù laø A∗ : H → H thoûa maõn ( Au, v ) = ( u, A∗ v ) , ∀u, v ∈ H. Ñònh nghóa 2.1.20. Toaùn töû A : H → H tuyeán tính lieân tuïc , A goïi laø töï lieân hôïp neáu A = A∗ , noùi caùch khaùc A töï lieân hôïp khi vaø chæ khi ( Au, v ) = ( u, Av ) , ∀u, v ∈ H . °Toaùn töû chieáu leân khoâng gian con M laø toaùn töû P bieán moãi u thaønh hình chieáu Pu cuûa noù leân M laø töï lieân hôïp. Thaät vaäy, ∀u, v ∈ H ta coù u = u'+u'' , v = v'+v'' vôùi u', v' ∈ M, Pu = u', Pv = v' vaø u'', v'' ∈ M ⊥ cho neân ( Pu, v ) = ( u', v ) = ( u', v' ) = ( u, v' ) = ( u, Pv ) . °A, B töï lieân hôïp thì A-1, A+ B, I, αA (α ∈ ) laø caùc toaùn töû töï lieân hôïp.
10 Ñònh nghóa 2.1.21. Toaùn töû A : H → H tuyeán tính lieân tuïc , A goïi laø toaùn töû ñoái xöùng neáu ∀u, v ∈ H ta coù ( Au, v ) = ( u, Av ) . °Toaùn töû töï lieân hôïp laø toaùn töû ñoái xöùng. °Neáu A laø toaùn töû ñoái xöùng thì moïi giaù trò rieâng ñeàu laø soá thöïc vaø caùc veùc tô rieâng cuûa A öùng vôùi 2 giaù trò rieâng khaùc nhau bao giôø cuõng tröïc giao . °H laø khoâng gian n chieàu, {ei }i =1,n heä n veùc tô rieâng cuûa toaùn töû ñoái xöùng A öùng vôùi cacù giaù trò rieâng λi laøm thaønh cô sôû tröïc chuaån vaø vôùi moïi u thuoäc H ta coù ⎛ ⎞ ( Au, u ) = ⎜ A ⎛⎜ ∑ ( u, ei ) ei ⎞⎟ , ∑ ( u, ei ) ei ⎟ n n ⎝ ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎠ ⎛ n n ⎞ = ⎜ ∑ ( u, ei ) Aei , ∑ ( u, e ) e ⎟⎠ i i ⎝ i =1 i =1 ⎛ n n ⎞ = ⎜ ∑ λi ( u, ei ) ei , ∑ ( u, e ) e ⎟⎠ i i ⎝ i =1 i =1 n 2 =∑ λi ( u, ei ) . i =1 Ñònh lyù 2.1.22. Neáu A laø toaùn töû ñoái xöùng thì A = sup ( Au, u ) = sup ( Au, u ) . u ≤1 u =1 Ñònh lyù 2.1.23. Toaùn töû A : H → H töï lieân hôïp Khi ñoù Phoå cuûa A kyù hieäu σ (A) laø taäp caùc giaù trò rieâng cuûa A thoaû σ(A) ∈ [ m, M ] vôùi m, M ∈ σ(A) vaø m = inf ( Ax, x ) , M =sup ( Ax, x ) . x =1 x =1 Heä quaû 2.1.24. Neáu A töï lieân hôïp, khaùc 0 Thì σ(A) ≠ ∅ vaø A = m hoaëc A = M .
11 Ñònh nghóa 2.1.25. Toaùn töû A : H → H goïi laø xaùc ñònh döông neáu ( Au, u ) > 0, ∀u ∈ H , u ≠ 0 °Neáu λi , i = 1, 2, ... laø caùc giaù trò rieâng cuûa toaùn töû A xaùc ñònh döông thì λi > 0, i = 1, 2, ... Ñònh nghóa 2.1.26. Toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc goïi laø toaùn töû compaéc neáu noù bieán moät taäp giôùi noäi thaønh moät taäp hoaøn toaøn giôùi noäi. Vôùi moïi A, B : H → H laø toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc. °A compaéc, B lieân tuïc thì AB, BA compaéc. °A compaéc thì A∗ , AA∗ , A∗ A compaéc. °Taäp hôïp caùc giaù trò rieâng cuûa toaùn töû compaéc, ñoái xöùng laø höõu haïn, hoaëc ñeám ñöôïc vaø neáu ñeám ñöôïc thì laäp thaønh moät daõy hoäi tuï veà khoâng. °Neáu H taùch ñöôïc thì moïi toaùn töû compaéc, ñoái xöùng ñeàu coù moät cô sôû tröïc chuaån veùc tô rieâng. °Toaùn töû Fredhom laø toaùn töû compaéc trong L2[a , b] . 2.2. Nöûa nhoùm lieân tuïc [12] Ñònh nghóa 2.2.1. Moät hoï {S(t )}t ≥0 caùc toaùn töû xaùc ñònh vôùi moãi giaù trò tham soá t ≥ 0 vaø thoûa caùc ñieàu kieän sau : a) S (t ) : X → X laø moät toaùn töû tuyeán tính bò chaën , X laø khoâng gian Banach, b) S (t1 + t2 ) = S (t1 )S (t2 ), ∀t1 , t2 ≥ 0 , c) S(0) = I (I laø toaùn töû ñoàng nhaát), d) lim S(t ) x = x , ∀x ∈ X . t →0+ goïi laø nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh hay coøn goïi C0- nöûa nhoùm. Neáu hoï {S(t )}t ≥0 chæ thoaû a), b), c) ta noùi {S(t )}t ≥0 laø nöûa nhoùm.
12 Ñònh nghóa 2.2.2. Nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh {S(t )}t ≥0 goïi laø nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu neáu lim S(t ) − I = 0 , . laø chuaån treân L(X) . t →0+ Meänh ñeà 2.2.3. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå nöûa nhoùm {S(t )}t ≥0 laø C0- nöûa nhoùm laø toàn taïi δ > 0, M ≥ 1 vaø moät taäp con truø maät D ⊂ X sao cho thoûa 2 ñieàu kieän sau : i) S(t) ≤ M, ∀t ∈ [ 0, δ] , ii) Lim S(t ) x = x , ∀x ∈ D . t → 0+ Meänh ñeà 2.2.4. Ñoái vôùi moãi hoï {S(t )}t ≥0 C0- nöûa nhoùm luoân toàn taïi haèng soá ω∈ vaø M≥ 1 sao cho S(t) ≤ Meωt , ∀t ≥ 0 . Ñònh nghóa 2.2.5. Toaùn töû sinh A : D( A) ⊆ X → X cuûa C0- nöûa nhoùm {S(t )}t ≥0 S (t ) x − x treân khoâng gian Banach X laø toaùn töû ñònh bôûi Ax := lim xaùc ñònh vôùi moïi t →0+ t ⎧ S (t ) x − x ⎫ x thuoäc mieàn xaùc ñònh D( A) = ⎨ x ∈ X : lim toàn taïi ⎬. ⎩ t →0 t+ ⎭ Ñònh lyù 2.2.6. Neáu A laø toaùn töû tuyeán tính bò chaën töø X vaøo X thì ⎧⎪ ( tA ) ⎫⎪ n ∞ ⎨S (t ) = e := ∑ ⎬ laø nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu . tA ⎩⎪ n = 0 n ! ⎭⎪t ≥ 0 Tính chaát 2.2.7. A laø toaùn töû sinh cuûa C0- nöûa nhoùm {S(t )}t ≥ 0 . i) A : D( A) ⊆ X → X laø toaùn töû tuyeán tính, d ii) Neáu x∈ D(A) thì S(t)x ∈ D(A) vaø S(t)x=S(t)Ax=AS(t)x, ∀t ≥ 0 , dt t iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta coù : ∫ S(s)xds ∈ D(A) , 0 iv) ∀t ≥ 0 ta coù
13 ⎧ t ⎪ A ∫ S(s)xds neáu x ∈ X, ⎪ 0 S(t)x-x= ⎨ t ⎪ S(s)Axds neáu x ∈ D(A). ⎪⎩ ∫0 Ñònh lyù 2.2.8. Toaùn töû sinh cuûa nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh laø toaùn töû ñoùng vaø mieàn xaùc ñònh laø truø maät. Toaùn töû naøy xaùc ñònh duy nhaát nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh. Heä quaû 2.2.9. {S(t )}t ≥ 0 nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh treân khoâng gian Banach X vôùi toaùn töû sinh A. Caùc khaúng ñònh sau laø töông ñöông. (a) Toaùn töû sinh A bò chaën, nghóa laø, ∃ M>0 sao cho Ax ≤ M x , ∀x ∈ D( A) . (b) Mieàn xaùc ñònh D(A) laø ñoùng trong X . (c) {S(t )}t ≥ 0 laø nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu. ( tA ) n ∞ Trong moãi tröôøng hôïp, nöûa nhoùm ñöôïc cho bôûi S (t ) = e := ∑ tA , t≥0 n=0 n! Ñònh nghóa 2.2.10. {S(t )}t ≥ 0 nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh treân khoâng gian Banach X ñöôïc goïi laø nöûa nhoùm lieân tuïc co neáu S(t) ≤ 1, ∀t ≥ 0 . Ñònh lyù 2.2.11. (Hill, yosida, 1948) . Cho A : D( A) ⊆ X → X laø toaùn töû tuyeán tính trong khoâng gian Banach. Caùc khaúng ñònh sau laø töông ñöông. (a) A laø toaùn töû sinh nöûa nhoùm lieân tuïc co. (b) A laø toaùn töû ñoùng, mieàn xaùc ñònh D(A) truø maät trong X vaø vôùi moãi λ>0 1 ta coù λ ∈ ρ ( A) vaø R ( λ , A ) ≤ . λ (c) A laø toaùn töû ñoùng, mieàn xaùc ñònh D(A) truø maät trong X vaø vôùi moãi 1 λ∈ vôùi Reλ >0 ta coù λ ∈ ρ ( A) vaø R ( λ , A ) ≤ . Reλ Ôû ñaây
14 \ σ ( A) vaø R ( λ , A ) := ( λ − A ) laø toaùn töû tuyeán tính töø X vaøo X. −1 ρ ( A) := Meänh ñeà 2.2.12. A : D( A) ⊆ H → H laø toaùn töû töï lieân hôïp trong khoâng gian Hilbert H sinh nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh neáu vaø chæ neáu : ( Ax, x ) ≤ ω x , ∀x ∈ D(A) . 2 ∃ω∈ Ñònh nghóa 2.2.13. {S(t )}t ≥ 0 nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh treân khoâng gian Banach X ñöôïc goïi laø nöûa nhoùm compaéc neáu S (t ) laø compaéc, ∀t ≥ 0 . Ñònh nghóa 2.2.14. Toaùn töû tuyeán tính A vôùi ρ (A) ≠ ∅ ñöôïc goïi coù taäp giaûi compaéc neáu R ( λ , A ) laø compaéc vôùi moïi λ ∈ ρ ( A) . Ñònh lyù 2.2.15. {S(t )}t ≥ 0 nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh treân khoâng gian Banach X. Caùc khaúng ñònh sau laø töông ñöông. (a) {S(t )}t ≥ 0 nöûa nhoùm compaéc. (b) Haøm t S(t ) lieân tuïc töø ( 0 , + ∞ ) vaøo L(X), vaø toaùn töû sinh cuûa {S(t )} t≥0 coù taäp giaûi compaéc. 2.3. Khoâng gian phaàn töû höõu haïn [2] 2.3.1. Xaây döïng khoâng gian phaàn töû höõu haïn. Ñònh nghóa 2.3.1.1 (Ciarlet 1978). Cho (i) K ⊆ n laø taäp ñoùng, bò chaën vôùi phaàn trong khoâng roãng vaø bieân trôn töøng maãu ( mieàn phaàn töû), (ii) P laø khoâng gian höõu haïn chieàu cuûa caùc haøm treân K (khoâng gian cuûa caùc daïng haøm), (iii) N = { N 1 ,N 2 ,...,N k } laø cô sôû cuûa P ’ khoâng gian ñoái ngaãu cuûa P (taäp caùc bieán nuùt). Khi ñoù (K, P, N) ñöôïc goïi laø phaàn töû höõu haïn.
15 Ñònh nghóa 2.3.1.2. Cho (K, P, N) laø phaàn töû höõu haïn. Cô côû {φ ,φ 1 2 ,...,φk } cuûa P ñoái ngaãu vôùi N (nghóa laø, Ni (φ j ) = δ ij ) ñöôïc goïi laø cô sôû nuùt cuûa P. Ví duï 2.3.1.3. (phaàn töû Lagrange 1 chieàu) Cho K = [0, 1], P laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc tuyeán tính, N = { N 1 , N 2 } , vôùi N 1 (v)=v(0), N 2 (v)=v(1) ∀v ∈P. Khi ñoù (K, P, N) laø phaàn töû höõu haïn vaø cô sôû nuùt laø φ1 (x) = 1-x, φ2 (x) = x . Toång quaùt, cho K=[a, b], Pk laø taäp taát caû caùc ña thöùc coù baäc beù hôn hoaëc ⎡ i⎤ baèng k, Nk = { N 0 ,N 1 ,N 2 ,...,N k } , vôùi N i (v)=v ⎢ a+(b-a) ⎥ ∀v ∈Pk , i = 0, 1,…, ⎣ k⎦ k. Khi ñoù (K, Pk , Nk) laø phaàn töû höõu haïn. Boå ñeà 2.3.1.4. Cho P laø khoâng gian veùc tô d chieàu, {N 1 ,N 2 ,...,N d } laø taäp con cuûa khoâng gian ñoái ngaãu P’. Khi ñoù 2 khaúng ñònh sau laø töông ñöông. (a) {N 1 ,N 2 ,...,N d } laø cô sôû cuûa P’. (b) Cho v ∈ P vôùi N i (v)=0 , I = 1, 2,…, d, khi ñoù v ≡ 0 . Ñònh nghóa 2.3.1.5. Cho (K, P, N) laø phaàn töû höõu haïn, taäp {φ1 ,φ2 ,...,φk } ⊆ P laø cô sôû ñoái ngaãu vôùi N vaø v ∈P, N i ∈ N, N i (v) xaùc ñònh vôùi moïi i = 1, 2, …, k. Khi ñoù, pheùp noäi suy ñòa phöông ñöôïc xaùc ñònh bôûi k I K v := ∑ N i (v)φi i=1 Meänh ñeà 2.3.1.6. I K tuyeán tính. Meänh ñeà 2.3.1.7. N i (I K v) = N i (v), ∀1 ≤ i ≤ d. Meänh ñeà 2.3.1.8. I K v=v vôùi v ∈P vaø I 2 = I K . K
16 Ñònh nghóa 2.3.1.9. Moät pheùp phaân hoaïch cuûa mieàn Ω laø taäp hôïp höõu haïn caùc mieàn phaàn töû {Ki } sao cho (1) intKi ∩ intK j = ∅ neáu i ≠ j, (2) ∪K i =Ω. Ñònh nghóa 2.3.1.10. Giaû söû Ω laø moät mieàn vôùi pheùp phaân hoaïch T. Giaû söû moãi K cuûa mieàn phaàn töû ñöôïc trang bò loaïi daïng haøm P vaø caùc bieán nuùt N sao cho (K, P, N) taïo thaønh moät phaàn töû höõu haïn. Cho m laø baäc cao nhaát cuûa ñaïo ( ) haøm rieâng naèm trong moãi bieán nuùt. Vôùi f ∈ C m Ω , pheùp noäi suy toaøn cuïc ñöôïc xaùc ñònh bôûi I T f⎪K = I K f vôùi moïi Ki ∈ T . i i Ñònh nghóa 2.3.1.11. Moät pheùp noäi suy ñöôïc goïi laø lieân tuïc baäc r neáu ( ) I T f ∈ C r vôùi moïi f ∈ C m Ω . Khoâng gian, VT = {I T f: f ∈ C m } , ñöôïc goïi laø moät khoâng gian phaàn töû höõu haïn “ C r ”. Ñònh nghóa 2.3.1.12. Cho (K, P, N ) laø phaàn töû höõu haïn, F(x)=Ax+b (A khoâng suy bieán) laø moät aùnh xaï afin. (K , P , N ) laø töông ñöông afin vôùi (K, P, N) neáu (i) F(K) = K , (ii) F * P = P, (iii) F* N = N . Ôû ñaây F* ( f ) := f F , ( F* N)f : = N( F* ( f ) ). Meänh ñeà 2.3.1.13. Töông ñöông afin laø moät quan heä töông ñöông.