Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán giải tích, áp dụng giải bài toán nhiệt ngược thời gian

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH -------------------------------------- NGUYEÃN PHI PHUÙC PHÖÔNG PHAÙP QUASI-BOUNDARY VALUE VAØ PHAÀN TÖÛ HÖÕU HAÏN AÙP DUÏNG VAØO BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC THÔØI GIAN

Chuyeân ngaønh : Toaùn Giaûi Tích Maõ soá : 60 46 01

TOÙM TAÉT LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN GIAÛI TÍCH

NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC : PGS.TS.Ñaëng Ñöùc Troïng

Thaønh Phoá Hoà Chí Minh - 2006

Hieän nay coâng cuï tính toaùn phaùt trieån moät caùch maïnh meõ ñaõ laøm thay ñoåi

nhieàu quan ñieåm veà khaû naêng giaûi ñöôïc trong thöïc teá cuûa nhöõng baøi toaùn khaùc

nhau. Nhieàu thuaät toaùn tröôùc ñaây khoâng theå chaáp nhaän vì khoái löôïng tính toaùn

quaù lôùn thì ngaøy nay hoaøn toaøn thöïc hieän ñöôïc moät caùch hieäu quaû . Nhieàu baøi

toaùn thuoäc lónh vöïc öùng duïng, ñaëc bieät laø caùc baøi toaùn khoâng chænh xuaát hieän

trong caùc lónh vöïc vaät lyù, kinh teá, y khoa, thaêm doø, hoài phuïc, nhaän daïng v.v… ñaõ

ñöôïc giaûi baèng nhöõng thuaät toaùn höõu hieäu. Ñaây laø lónh vöïc toaùn hoïc heát söùc saâu

roäng, thöïc tieãn, höùng thuù, raát nhieàu ngöôøi quan taâm vaø ñaït nhieàu thaønh töïu.

Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi trình baøy vieäc chænh hoaù baøi toaùn nhieät

ngöôïc thôøi gian, moät baøi toaùn khoâng chænh trong lónh vöïc vaät lyù öùng duïng baèng

phöông phaùp Quasi-Boundary value vaø phaàn töû höõu haïn, ñoàng thôøi cuõng trình

baøy moät soá phöông phaùp tính soá coù thuaät toaùn höõu hieäu ñeå giaûi.

Luaän vaên naøy ngoaøi lôøi noùi ñaàu, phaàn keát luaän, phaàn taøi lieäu tham khaûo

vaø phaàn muïc luïc seõ ñöôïc trình baøy trong 4 chöông:

Chöông 1 laø phaàn toång quan veà baøi toaùn, trình baøy sô löôïc veà lòch söû vaán

ñeà.

Chöông 2 laø phaàn trình baøy caùc kyù hieäu vaø nhaéc laïi moät soá kieán thöùc caàn

thieát ñeå thuaän tieän cho vieäc theo doõi caùc phaàn tieáp theo.

Chöông 3 laø phaàn trình baøy vieäc chænh hoaù baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian.

Chöông 4 laø phaàn trình baøy moät soá phöông phaùp tính soá .

Cuoái cuøng, toâi xin chaân thaønh caûm ôn PGS. TS. Ñaëng Ñöùc Troïng ngöôøi ñaõ

taän tình höôùng daãn toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp vaø hoaøn thaønh luaän vaên. Maëc

duø baän nhieàu coâng vieäc nhöng thaày vaãn daønh raát nhieàu thôøi gian ñeå höôùng daãn

toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Toâi cuõng xin caûm ôn ñeán quyù thaày coââ tham gia

giaûng daïy cao hoïc khoaù 14, nhöõng ngöôøi ñaõ truyeàn ñaït nhöõng kieán thöùc quyù baùu

cho toâi. Sau cuøng, khoâng theå khoâng nhaéc ñeán baïn beø, ngöôøi thaân nhöõng ngöôøi ñaõ

luoân khuyeán khích, ñoäng vieân toâi trong quaù trình hoïc taäp, toâi xin caûm ôn vì ñieàu

ñoù.

TP. HCM, ngaøy 15 thaùng 6 naêm 2006

Taùc giaû luaän vaên

Nguyeãn Phi Phuùc

MUÏC LUÏC

Trang

Lôøi noùi ñaàu

Muïc luïc

Chöông 1. PHAÀN TOÅNG QUAN 1

Chöông 2. CAÙC KYÙ HIEÄU VAØ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ 6

2.1. Khoâng gian Hilbert ………………………………………………..…………………………………………….…6

2.2. Nöûa nhoùm lieân tuïc………………………………………...................................……….…...11

2.3. Khoâng gian phaàn töû höõu haïn ...……………………………………………………………...……14

2.3.1 xaây döïng khoâng gian phaàn töû höõu haïn ……………..……………………..…………14

2.3.2 Ñaùnh giaù söï hoäi tuï phaàn töû höõu haïn .……………………………………..…..…...….18

2.4. Kyù hieäu …………………………..………………………………………………………………………..……….…19

2.4.1 Kyù hieäu hình hoïc …………………………………………………..…………………………………...19

2.4.2 Kyù hieäu caùc khoâng gian haøm …………………………………….……………….………...19

2.4.3 Kyù hieäu caùc öôùc löôïng………………………………………………………………………………..…21

Chöông 3. CAÙC KEÁT QUAÛ CHÆNH HOAÙ 21

3.1. Caùc keát quaû chænh hoaù baøi toaùn QBVP ………………………………………………..22

3.2. Phaùt bieåu laïi baøi toaùn vaø ñaùnh giaù sai soá chænh hoaù ……………………..32

Chöông 4. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÍNH SOÁ 44

4.1. Phöông phaùp söû duïng giaù trò rieâng vaø veùc tô rieâng xaáp xæ soá…….....44

4.2. Xaáp xæ soá qua laëp Conjugate gradient ………………………………………………..47

4.3. Ñaùnh giaù sai soá ………………………………………………………………………………….…………………..52

Keát luaän

Taøi lieäu tham khaûo

Chöông 1

PHAÀN TOÅNG QUAN

Tröôùc tieân chuùng ta nhaéc laïi khaùi nieäm veà baøi toaùn chænh vaø khoâng chænh.

Ñònh nghóa (Hadamard 1923). Moät baøi toaùn ñöôïc goïi laø chænh neáu nghieäm

i) Toàn taïi,

ii) Laø duy nhaát,

iii) Phuï thuoäc lieân tuïc vaøo döõ lieäu ban ñaàu. (Tính chaát oån ñònh)

Vaø moät baøi toaùn ñöôïc goïi laø khoâng chænh neáu noù vi phaïm moät trong 3 tính chaát

treân.

ÔÛ ñaây tính chaát iii) laø quan troïng ñoái vôùi nhöõng baøi toaùn thöïc teá, vì vaäy ñeå

chænh hoaù baøi toaùn ñieàu mong muoán laø nghieäm seõ ít thay ñoåi neáu caùc döõ lieäu cuûa

baøi toaùn cuõng thay ñoåi ít.

0, 0

t T

< <

Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi xeùt baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian cho bôûi

Au t ( ) f .

+ =

, ( ) ⎧ u t ⎨ u T ( ) ⎩

(FVP)

vôùi A laø moät toaùn töû töï lieân hôïp döông, khoâng bò chaën trong khoâng gian Hilbert

H sao cho –A sinh ra moät nöûa nhoùm co compaéc treân H, vaø 0 thuoäc taäp giaûi cuûa –

A (0∈ρ(-A)), t laø thôøi gian, T laø thôøi gian cuoái cho tröôùc, haøm döõ lieäu f cho tröôùc

trong H, u : [0, T] → H laø lôøi giaûi caàn tìm.

Baøi toaùn treân laø baøi toaùn khoâng chænh, bôûi vì, ngay caû khi toàn taïi lôøi giaûi duy

nhaát treân [0, T] thì lôøi giaûi naøy cuõng khoâng chaéc phuï thuoäc lieân tuïc theo f. Thaät

t T

x < <

≤ ≤

−

0 0 ,

1 ,

xx t )

0 ,

(*)

t 0 ( , 1 t ( ,

)

0 ,

sin x,

e π−

)

f x ( )

u ⎧ ⎪ u ⎪ ⎨ u ⎪ ⎪ u x T ( , ⎩

vaäy, xeùt baøi toaùn nhieät cho bôûi

T t

(

1 − − )

2 π e

sin x π

nghieäm chính xaùc cuûa (*) laø

u x t ( ,

)

−=

e π

f (x) n

1 sin x+ sinn x π n

laøm döõ lieäu taïi thôøi gian cuoái T. Khi ñoù ta coù Laáy

nf (x) laø

T t

2 2 π

T t −

(

1 − − )

(

)

2 π (x, t)=e

sinn

sin x+ π

x .

1 n

nghieäm töông öùng cuûa (*) vôùi giaù trò cuoái

−

2 sin n x π

→∞ ⎯⎯⎯→

Sai soá taïi thôøi gian cuoái

2 L

0 1 ( , )

∫

1 n

1 2 n

1 2 π

2 2 π

−

2 sin n x π

→∞ ⎯⎯ →∞

0 (., )

(.,

)

⎯ .

2 L

0 1 ) ( ,

∫

1 2 n

Vaø sai soá taïi thôøi gian ñaàu

Vaäy (*) laø baøi toaùn khoâng chænh do vi phaïm tính chaát iii).

Vieäc xaây döïng haøm xaáp xæ oån ñònh nghieäm cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc laø moät

tröôøng hôïp rieâng cuûa vaán ñeà chænh hoaù caùc baøi toaùn khoâng chænh.

Ta seõ neâu khaùi nieäm chính xaùc cuûa vieäc chænh hoaù cuûa baøi toaùn khoâng

, u D(A) X, f Y ⊂

∈

∈ .

: D(A)

→

chænh. Xeùt phöông trình

laø moät toaùn töû. Trong ñoù X, Y laø caùc khoâng gian meâ tríc vaø

0u D(A) ∈

laø nghieäm chính xaùc cuûa baøi toaùn töông öùng vôùi giaù trò döõ Ta noùi

Au 0

0f neáu

lieäu chính xaùc .

α∈ (cid:92) (ñöôïc goïi laø tham soá

Rα → : Y

Toaùn töû phuï thuoäc vaøo tham soá

chænh hoaù) laø moät toaùn töû chænh hoaù neáu

0α→ ,

00R fα → u khi

( ),

( )

0δ > , toàn taïi

ωδ αδ → sao cho

)ωδ≤ (

(

)

0 u

fα δ

( Xd R

)

b) Vôùi moïi

≤

, δ

∈ Y.

(

)

0 f

neáu

u δ

R ( ) α δ

Phaàn töû goïi laø nghieäm chænh hoaù cuûa baøi toaùn.

Baøi toaùn (FVP) ñaõ ñöôïc nhieàu taùc giaû chænh hoaù baèng nhieàu baøi toaùn chænh

khaùc. Lattes vaø Lions [9], Miller [11], Payne [13], Huang vaø Zheng [6], vaø

Lavrentiev [10] ñaõ xaáp xæ (FVP) baèng caùch laøm nhieãu toaùn töû A. Nghieân cöùu

naøy goïi laø phöông phaùp Quasi-Reversibility. YÙ töôûng chính cuûa phöông phaùp naøy

laø nhieãu phöông trình trong baøi toaùn khoâng chænh ñeå thu ñöôïc baøi toaùn chænh, roài

duøng nghieäm cuûa baøi toaùn chænh nhö laø moät nghieäm xaáp xæ cuûa baøi toaùn khoâng

* A Au

t T

−

< <

0 0 ,

⎧ + tu ⎨ u T ( ) ⎩

chænh. Trong [9] Lattes vaø Lions chænh hoaù baøi toaùn treân bôûi baøi toaùn

t T

< <

0 0 ,

A t

u ⎧ t ⎨ u T ( ) ⎩

Gajewski vaø Zaccharias [5] xeùt baøi toaùn töông töï Alekseeva vaø Yurchuk ñaõ

laøm vaø hoï ñaùnh giaù sai soá cuûa nghieäm xaáp xæ laø

−

≤

u t ( )

T t u − (

)

0 ( ) .

u t ( ) ε

2 2 t

Showalter [14, 15] ñaõ ñöa ra phöông phaùp khaùc ñeå chænh hoaù baøi toaùn (FVP),

phöông phaùp naøy vieäc ñaùnh giaù sai soá oån ñònh hôn caùc taùc giaû tröôùc ñoù. Söû duïng

yù töôûng cuûa Showalter, Clark vaø Oppenheimer [3] ñaõ duøng phöông phaùp Quasi-

Boundary ñeå chænh hoaù baøi toaùn ngöôïc thôøi gian vôùi nghieäm chænh hoaù thoaû

Alekseeva vaø Yurchuk [18] xeùt baøi toaùn

t T

< <

Au t ( )

0 0 ,

u ε

0 ( )

tu ⎧ ⎨ u T ( ) ⎩

Cuõng yù töôûng treân, Denche vaø Bessila [4] ñaõ xaáp xæ (FVP) baèng caùch nhieãu

ñieàu kieän cuoái bôûi

t T

< <

Au t ( )

0 0 ,

u ε

−

0 '( )

tu ⎧ ⎨ u T ( ) ⎩

Huang vaø Zheng [7] xeùt baøi toaùn

t T

< <

0 0 ,

A t

u ⎧ t ⎨ u T ( ) ⎩

ôû ñaây, –A laø toaùn töû sinh cuûa nöûa nhoùm giaûi tích trong khoâng gian Banach. Tuy

nhieân, hoï chöa ñöa ra coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá vaø hieäu quaû cuûa caùc phöông

phaùp ñeå tính toaùn.

Trong luaän vaên naøy chuùng toâi söû duïng phöông phaùp Quasi-Boundary value

töông töï nhö Showalter ñaõ laøm nhöng trong ñieàu kieän toång quaùt hôn. ÔÛ ñaây

chuùng ta laøm nhieãu ñieàu kieän cuoái. Ñieàu naøy ñöa ra baøi toaùn Quasi-Boundary

value (QBVP) sau

t T

( ) 0, 0 =

< <

(0)

Au t α u T ( ) α

, ( ) ⎧ u t ⎪ α ⎨ u α ⎪⎩ α

vôùi α laø moät soá döông nhoû, toaùn töû A coù moät taäp tröïc giao goàm caùc haøm veùc tô

rieâng qi vôùi caùc giaù trò rieâng λi > 0, sao cho { }iq laø moät cô sôû cuûa H. Khi ñoù ta coù

∞

theå bieåu dieãn f trong (FVP) döôùi daïng f =

b q i i

∑ , vaø sau ñoù chæ ra raèng baøi toaùn

xaáp xæ laø chænh vaø nghieäm cuûa noù hoäi tuï khi vaø chæ khi baøi toaùn goác coù nghieäm coå

ñieån. Phaàn coøn laïi cuûa luaän vaên bao goàm ba chöông. Chöông 2 trình baøy caùc kieán

thöùc chuaån bò cho luaän vaên. Chöông 3 trình baøy veà phöông phaùp Quasi-

Boundary value. Muïc ñích cuûa luaän vaên laø boå sung vaøo lyù thuyeát xaáp xæ cuûa

Clark vaø Oppenheimer [3] phaàn ñaùnh giaù sai soá. Hieån nhieân tröôùc khi chuùng ta

tìm hieåu veà söï boå sung naøy vaø tính ñuùng ñaén cuûa moät caùch laáy xaáp xæ, thì ñaàu

tieân chuùng ta phaûi traû lôøi caâu hoûi “ Coù toàn taïi moät xaáp xæ khoâng?”. Caâu traû lôøi

∞

laø coù khi vaø chæ khi

hoäi tuï. Ñieàu naøy laø noäi dung chöông 3 cuûa luaän vaên.

iT 22 b e λ i

∑

1 =

Chöông 4 cuûa luaän vaên trình baøy hai phöông phaùp tính soá baøi toaùn (QBVP) laø

phöông phaùp xaáp xæ höõu haïn giaù trò rieâng, vectô rieâng vaø phöông phaùp laëp

Conjugate-gradient, phaàn cuoái cuûa chöông 4 trình baøy veà sai soá cuûa caùc xaáp xæ

höõu haïn.

Chöông 2

KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ VAØ CAÙC KYÙ HIEÄU

Trong chöông naøy, chuùng toâi qui öôùc moät soá kyù hieäu vaø neâu laïi moät soá

kieán thöùc chuaån bò caàn thieát ñöôïc söû duïng ñeán trong caùc chöông sau.

2.1. Khoâng gian Hilbert

Cho X laø moät khoâng gian tuyeán tính thöïc.

0,→ ∞ goïi laø chuaån neáu thoaû

)

[

u v

Ñònh nghóa 2.1.1. AÙnh xaï

≤

v , u,v X , ∀ ∈

u , u X ,

i) +

∀ ∈ λ ∈ (cid:92)

ii) λ = λ

, u X; u

≥ ∀ ∈

= ⇔ =

iii)

Khoâng gian tuyeán tính trang bò chuaån goïi laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån.

∞

⊂ X hoäi tuï veà

∈

−

= 0

u X neáu lim u n

Töø ñaây veà sau ta giaû söû X laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån.

= 1

→∞

u→

Ñònh nghóa 2.1.2. Ta noùi daõy { }n n

∞

⊂ X laø moät daõy Cauchy neáu vôùi moïi ε > 0,

Ta kyù hieäu: .

= 1

n, m N

Ñònh nghóa 2.1.3. Ta noùi daõy { }n n

N ∃ >

−

≥

ε < ∀ ,

sao cho u n

u m

Ñònh nghóa 2.1.4. X ñöôïc goïi laø ñaày ñuû neáu moãi daõy Cauchy trong X ñeàu hoäi tuï.

Ñònh nghóa 2.1.5. X ñöôïc goïi laø khoâng gian Banach neáu X ñaày ñuû .

Ñònh nghóa 2.1.6. Ta noùi X laø taùch ñöôïc neáu X chöùa moät taäp con ñeám ñöôïc truø

maät trong X.

× → (cid:92) goïi laø tích voâ höôùng neáu thoaû

. , . :

Cho H laø moät khoâng gian tuyeán tính thöïc.

) H H

u,v

v,u

u,v H ,

∀ ∈

Ñònh nghóa 2.1.7. AÙnh xaï (

)

(

)

i) (

u,w

u,v,w H ,

u v,w +

∀

∈

)

(

)

(

) v,w ,

u,v

u,v H ,

= λ

∀ ∈ λ ∈ (cid:92)

ii) (

(

)

≥

u u ,

iii) (

)u u ,

∀ ∈ ; ( u H

) = ⇔ =

1 2

u u ,

iv) (

(. , .

)

(

)

Neáu laø tích voâ höôùng thì chuaån töông öùng vôùi noù laø .

Ñònh nghóa 2.1.8. Khoâng gian Hilbert laø moät khoâng gian Banach vôùi chuaån ñöôïc

sinh ra bôûi moät tích voâ höôùng.

0= .

Töø ñaây veà sau ta giaû söû H laø khoâng gian Hilbert.

)u v,

Ñònh nghóa 2.1.9. Hai phaàn töû u, v cuûa H goïi laø tröïc giao vôùi nhau neáu (

v . ⊥

Khi ñoù, ta vieát u

Ñònh nghóa 2.1.10. Hai taäp hôïp con M, N cuûa H goïi laø tröïc giao vôùi nhau neáu moãi

M N⊥

phaàn töû cuûa M tröïc giao vôùi moãi phaàn töû cuûa N. Khi ñoù, ta vieát .

Ñònh nghóa 2.1.11. Phaàn töû u cuûa H goïi laø tröïc giao vôùi taäp hôïp con M cuûa H neáu

∞

. u tröïc giao vôùi moïi phaàn töû cuûa M. Khi ñoù, ta vieát uM⊥

= 1

goïi laø heä tröïc giao trong khoâng gian H neáu caùc Ñònh nghóa 2.1.12. Daõy { }n n

phaàn töû cuûa daõy ñoâi moät tröïc giao vôùi nhau.

.∈

u u v v v H , i

Tính chaát 2.1.13. Cho H laø khoâng gian Hilbert,

a u ) b ) 0

u u ⊥ ⇔ = u u ⊥ ∀ ,

⊥

= ⇒ ⊥

c u )

v i , i

v i ,α

∑

= 1

u ⇒ ⊥

d )

u v ⊥ n n →∞ ⎯⎯⎯→

v n

⎧ ⎨ ⎩

Ta coù

e) Taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû cuûa H tröïc giao vôùi taäp hôïp M con cuûa H

goïi laø phaàn buø tröïc giao cuûa M (kyù hieäu M ⊥ ) laø moät khoâng gian con

ñoùng cuûa H,

2 ,

u v

⊥ ⇒ +

∞

f) u

= 1

∞

u 2

⇔

laø heä tröïc giao trong khoâng gian H g) Neáu { }n n

∞ .

hoäi tuï

u n

∑

= 1

thì

ñöôïc bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng x=y+z vôùi y∈M, z∈M ⊥ vaø

−

− .

inf x u u M ∈

Ñònh lyù 2.1.14. M laø moät khoâng gian con ñoùng cuûa H thì moãi phaàn töû x cuûa H

→P : H M

° Toaùn töû

° y goïi laø hình chieáu tröïc giao cuûa x leân khoâng gian con M.

y= goïi laø toaùn töû chieáu leân M vaø laø

xaùc ñònh bôûi

toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc,

e e , i

δ ij

(

)

neáu i 0 1 neáu i

j j

= ≠

, .

⎧ = ⎨ ⎩

Ñònh nghóa 2.1.15. Daõy { }ne goïi laø heä tröïc chuaån trong khoâng gian H neáu

a) Phaàn töû

laø hình chieáu tröïc giao cuûa u leân khoâng gian sinh

(

)

u e , i

e i

= ∑

= 1

≤

vaø

, ...,

(

)

bôûi {

u e , i

}n e

e e , 2 1

∑

= 1

∞

Chuoãi

u e e hoäi tuï vaø u

)

(

) u e e i i

e n ∀ ,⊥ n

∑

= 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

∞

≤

(

)i u e ,

∑

= 1

∞

goïi laø cô sôû tröïc chuaån trong khoâng gian

Tính chaát 2.1.16. { }ne laø heä tröïc chuaån trong khoâng gian H. Khi ñoù vôùi u H∈ .

= 1

H neáu moïi

veùc

tô

tröïc giao

vôùi heä ñeàu baèng 0

(töùc

laø

⊥

n ∀ =

u ⇒ =

1, 2, ...

e n

Ñònh nghóa 2.1.17. Heä tröïc chuaån { }n

∞

H cô sôû tröïc chuaån ta coù theå vieát u=

⊂

{ }

(

Neáu u H vaø e ∈ n

) u, e e n n

∑

= 1

n=1

∞

laø heä tröïc chuaån trong khoâng gian H . Caùc meänh

= 1

ñeà sau laø töông ñöông.

∞

laø cô sôû tröïc chuaån trong khoâng gian H,

a) Heä { }n

= 1

∞

u H u

∀ ∈

(

)i u e ,

= ∑

= 1

∞

∀

∈

u v H u v , ,

u e ,

)

(

)e,

(

)(i

= ∑

= 1

∞

) laø

d) { }n e

tuyeán tính truø maät trong H (töùc laø bao tuyeán tính cuûa { }n

= 1

truø maät trong H.

H tuyeán tính lieân tuïc

→

Ñònh lyù 2.1.18. Giaû söû { }n

, toaùn töû lieân hôïp cuûa

∗

noù laø

∗ A : H

H thoûa maõn Au, v

→

u, A v , u, v H. ∀

∈

(

)

(

)

H tuyeán tính lieân tuïc

→

Ñònh nghóa 2.1.19. Toaùn töû A : H

, A goïi laø töï lieân hôïp

neáu A A∗=

, noùi caùch khaùc A töï lieân hôïp khi vaø chæ khi

u, v H . ∈

Au, v

∀

(

)

(

) u, Av ,

°Toaùn töû chieáu leân khoâng gian con M laø toaùn töû P bieán moãi u thaønh hình chieáu

Pu cuûa noù leân M laø töï lieân hôïp. Thaät vaäy,

u v H ta coù

∀

∈

u = u'+u'' , v = v'+v''

vôùi

⊥

u', v' M, Pu = u', Pv = v' vaø u'', v'' M

∈

cho neân

Pu, v

u', v

u', v'

u, v'

u, Pv

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

°A, B töï lieân hôïp thì A-1, A+ B, I, αA (

)α∈ (cid:92) laø caùc toaùn töû töï lieân hôïp.

Ñònh nghóa 2.1.20. Toaùn töû A : H

H tuyeán tính lieân tuïc

→

, A goïi laø toaùn töû ñoái

u, v H ta coù Au, v

∀

∈

xöùng neáu

(

)

(

) u, Av .

°Toaùn töû töï lieân hôïp laø toaùn töû ñoái xöùng.

°Neáu A laø toaùn töû ñoái xöùng thì moïi giaù trò rieâng ñeàu laø soá thöïc vaø caùc veùc tô

rieâng cuûa A öùng vôùi 2 giaù trò rieâng khaùc nhau bao giôø cuõng tröïc giao .

e i

= heä n veùc tô rieâng cuûa toaùn töû ñoái xöùng A öùng

°H laø khoâng gian n chieàu, { } 1,

vôùi cacù giaù trò rieâng

iλ laøm thaønh cô sôû tröïc chuaån vaø vôùi moïi u thuoäc H ta coù

Au u ,

(

)

(

) u e e i i

∑

= 1

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝ n

(

) u e Ae i i

) u e e i i

∑

= 1

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

(

λ i

) u e e i i

∑

= 1

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝ n

(

)

λ i

u e , i

∑

= 1

Ñònh nghóa 2.1.21. Toaùn töû A : H

)

( sup Au u u

≤ 1

= 1

H töï lieân hôïp

→

Ñònh lyù 2.1.22. Neáu A laø toaùn töû ñoái xöùng thì

Khi ñoù

Phoå cuûa A kyù hieäu

(A) laø taäp caùc giaù trò rieâng cuûa A

thoaû

(A) m, M vôùi m, M (A)

σ ∈

∈ σ

[

]

vaø

)

(

)

inf Ax, x , M =sup Ax, x x

= 1

Ñònh lyù 2.1.23. Toaùn töû A : H

(A)

vaø A

m hoaëc A

≠ ∅

Thì σ

M .

Heä quaû 2.1.24. Neáu A töï lieân hôïp, khaùc 0

H goïi laø xaùc ñònh döông

→

neáu

Au, u

, u H , u

≠

(

) > ∀ ∈ 0

laø caùc giaù trò rieâng cuûa toaùn töû A xaùc ñònh döông

°Neáu

,λ

i i = 1, 2, ...

i = 1, 2, ...

thì

0,λ >

Ñònh nghóa 2.1.25. Toaùn töû A : H

moät taäp giôùi noäi thaønh moät taäp hoaøn toaøn giôùi noäi.

Vôùi moïi A B

: → laø toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc. H

°A compaéc, B lieân tuïc thì AB, BA compaéc.

∗

∗ compaéc.

°A compaéc thì A AA A A

°Taäp hôïp caùc giaù trò rieâng cuûa toaùn töû compaéc, ñoái xöùng laø höõu haïn, hoaëc ñeám

ñöôïc vaø neáu ñeám ñöôïc thì laäp thaønh moät daõy hoäi tuï veà khoâng.

°Neáu H taùch ñöôïc thì moïi toaùn töû compaéc, ñoái xöùng ñeàu coù moät cô sôû tröïc chuaån

veùc tô rieâng.

°Toaùn töû Fredhom laø toaùn töû compaéc trong

a bL2 [

]

Ñònh nghóa 2.1.26. Toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc goïi laø toaùn töû compaéc neáu noù bieán

2.2. Nöûa nhoùm lieân tuïc [12]

}t S t ( )

≥ caùc toaùn töû xaùc ñònh vôùi moãi giaù trò tham soá

t ≥ 0 vaø thoûa caùc ñieàu kieän sau :

, X laø khoâng gian Banach,

→

( ) :

laø moät toaùn töû tuyeán tính bò chaën

a) S t X

)

( ) ( ),

≥ 0

S t ( 1

t 2

S t S t 2 1

t ∀ 1

t 2

c) S(0) = I (I laø toaùn töû ñoàng nhaát),

x X

= ∀ ∈ ,

S t x lim ( ) +→ t 0

chæ

goïi laø nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh hay coøn goïi C0- nöûa nhoùm. Neáu hoï{

}t S t ( )

≥

laø nöûa nhoùm.

thoaû a), b), c) ta noùi {

}t S t ( )

≥

Ñònh nghóa 2.2.1. Moät hoï {

goïi laø nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu

}t S t ( )

≥

−

laø chuaån treân L(X)

neáu

0 ,

lim S t ( ) +→ t 0

laø C0- nöûa nhoùm laø

Ñònh nghóa 2.2.2. Nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh {

}t S t ( )

≥

0, M

δ >

≥ 1

vaø moät taäp con truø maät

D X⊂ sao cho thoûa 2 ñieàu kieän sau :

toàn taïi

S(t) M, ≤

t ∀ ∈

[

]

x x D ∀ ∈

ii)

( )

Lim S t x +→ t 0

C0- nöûa nhoùm luoân toàn taïi haèng soá

Meänh ñeà 2.2.3. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå nöûa nhoùm {

}t S t ( )

≥

(cid:92)

S(t) Me ≤

∀ ≥ .

ω∈ vaø M≥ 1 sao cho

X ⊆ →

Meänh ñeà 2.2.4. Ñoái vôùi moãi hoï {

A D A ( )

cuûa C0- nöûa nhoùm {

}t S t ( )

≥

Ñònh nghóa 2.2.5. Toaùn töû sinh

treân khoâng gian Banach X laø toaùn töû ñònh bôûi

xaùc ñònh vôùi moïi

lim +→ t 0

S t x ( ) t

−

toàn taïi

x thuoäc mieàn xaùc ñònh

D A ( )

S t x ( ) t

⎧ x X lim ∈⎨ +→ ⎩ 0

⎫ ⎬ ⎭

− = :

∞

(

S t ( )

= :

∑

)n !

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ laø nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu . ⎪ ⎭

≥

Ñònh lyù 2.2.6. Neáu A laø toaùn töû tuyeán tính bò chaën töø X vaøo X thì

}t S t ( )

≥

X ⊆ →

laø toaùn töû tuyeán tính,

A D A ( )

S(t)x=S(t)Ax=AS(t)x,

∀ ≥ ,

ii) Neáu x∈ D(A) thì S(t)x ∈ D(A) vaø

d dt

0, x X ta coù

t ∀ ≥

∈

iii)

S(s)xds D(A) ∫

iv)

0 ta co

t ∀ ≥

Tính chaát 2.2.7. A laø toaùn töû sinh cuûa C0- nöûa nhoùm {

∈

A S(s)xds neáu x X, ∫

S(t)x-x=

S(s)Axds neáu x D(A).

∈

∫

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

xaùc ñònh laø truø maät. Toaùn töû naøy xaùc ñònh duy nhaát nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh.

nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh treân khoâng gian Banach X vôùi

Ñònh lyù 2.2.8. Toaùn töû sinh cuûa nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh laø toaùn töû ñoùng vaø mieàn

}t S t ( )

≥

toaùn töû sinh A. Caùc khaúng ñònh sau laø töông ñöông.

(a) Toaùn töû sinh A bò chaën, nghóa laø, ∃ M>0 sao cho

x D A

Ax M x ≤

∀ ∈,

( ) .

(b) Mieàn xaùc ñònh D(A) laø ñoùng trong X .

laø nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu.

}t S t ( )

≥

∞

(

≥

Trong moãi tröôøng hôïp, nöûa nhoùm ñöôïc cho bôûi

S t ( )

= :

∑

)n !

nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh treân khoâng gian Banach X

Heä quaû 2.2.9. {

}t S t ( )

≥

S(t)

ñöôïc goïi laø nöûa nhoùm lieân tuïc co neáu

, ≤ ∀ ≥ 1

0 .

X ⊆ →

Ñònh nghóa 2.2.10. {

laø toaùn töû tuyeán tính

A D A ( )

trong khoâng gian Banach. Caùc khaúng ñònh sau laø töông ñöông.

(a) A laø toaùn töû sinh nöûa nhoùm lieân tuïc co.

(b) A laø toaùn töû ñoùng, mieàn xaùc ñònh D(A) truø maät trong X vaø vôùi moãi λ>0

≤

λ ρ ∈

ta coù

A vaø R , A ( )

( λ

)

1 λ

≤

λ ρ ∈

vôùi Re >0

∈ (cid:94)λ

λ ta coù

A vaø R , A ( )

( λ

)

1 Re λ

Ôû ñaây

Ñònh lyù 2.2.11. (Hill, yosida, 1948) . Cho

−

= (cid:94)

laø toaùn töû tuyeán tính töø X vaøo X.

−

A ( ) :

A σ vaø ( )

= :

( λ R , A

)

( λ

)

H ⊆ →

laø toaùn töû töï lieân hôïp trong khoâng gian

Hilbert H

sinh

nöûa

nhoùm

lieân

tuïc maïnh

neáu

vaø

chæ

neáu

∃ω∈

≤ ω

x , x D(A) ∀ ∈

( (cid:92) : Ax, x

)

nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh treân khoâng gian Banach X

Meänh ñeà 2.2.12. A D A ( )

}t S t ( )

≥

ñöôïc goïi laø nöûa nhoùm compaéc neáu S t laø compaéc ,

( )

0∀ ≥ .

Ñònh nghóa 2.2.13. {

(A)ρ ≠ ∅ ñöôïc goïi coù taäp giaûi

λ ρ∈

compaéc neáu

R , Aλ laø compaéc vôùi moïi

A( )

(

)

nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh treân khoâng gian Banach X. Caùc

Ñònh nghóa 2.2.14. Toaùn töû tuyeán tính A vôùi

}t S t ( )

≥

nöûa nhoùm compaéc.

(a) {

khaúng ñònh sau laø töông ñöông. }t S t ( )

≥

(b) Haøm t

lieân tuïc töø

vaøo L(X), vaø toaùn töû sinh cuûa

S t( )(cid:54)

(

)+ ∞, 0

coù taäp giaûi compaéc.

{

}t S t ( )

≥

Ñònh lyù 2.2.15. {

2.3.1. Xaây döïng khoâng gian phaàn töû höõu haïn.

Ñònh nghóa 2.3.1.1 (Ciarlet 1978). Cho

n K ⊆ (cid:92)

(i)

laø taäp ñoùng, bò chaën vôùi phaàn trong khoâng roãng vaø bieân trôn töøng

maãu ( mieàn phaàn töû),

(ii) P laø khoâng gian höõu haïn chieàu cuûa caùc haøm treân K (khoâng gian cuûa caùc

daïng haøm),

}

(iii) N ={

N ,N ,...,N laø cô sôû cuûa P ’ khoâng gian ñoái ngaãu cuûa P (taäp caùc

bieán nuùt).

Khi ñoù (K, P, N) ñöôïc goïi laø phaàn töû höõu haïn.

2.3. Khoâng gian phaàn töû höõu haïn [2]

} φ φ φ ,...,

Ñònh nghóa 2.3.1.2. Cho (K, P, N) laø phaàn töû höõu haïn. Cô côû {

N ( i

)φ δ= ij

cuûa P ñoái ngaãu vôùi N (nghóa laø,

) ñöôïc goïi laø cô sôû nuùt cuûa P.

Ví duï 2.3.1.3. (phaàn töû Lagrange 1 chieàu) Cho K = [0, 1], P laø taäp hôïp taát caû

v∀ ∈

N (v)=v(0), N (v)=v(1)

} N , N , vôùi

caùc ña thöùc tuyeán tính, N = {

(x)

1-x,

(x)

= . x

Khi ñoù (K, P, N) laø phaàn töû höõu haïn vaø cô sôû nuùt laø

φ 1

φ 2

Toång quaùt, cho K=[a, b], Pk laø taäp taát caû caùc ña thöùc coù baäc beù hôn hoaëc

N ,N ,N ,...,N , vôùi

}

baèng k, Nk = {

v∀ ∈Pk , i = 0, 1,…,

i k

⎡ N (v)=v a+(b-a) ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Khi ñoù (K, Pk , Nk) laø phaàn töû höõu haïn.

} N ,N ,...,N laø taäp con d

cuûa khoâng gian ñoái ngaãu P’. Khi ñoù 2 khaúng ñònh sau laø töông ñöông.

(a) {

}

N ,N ,...,N laø cô sôû cuûa P’.

iN (v)=0 , I = 1, 2,…, d, khi ñoù v 0≡ .

(b) Cho v ∈P vôùi

,...,

}

Boå ñeà 2.3.1.4. Cho P laø khoâng gian veùc tô d chieàu, {

φ φ φ ⊆ P

laø cô sôû ñoái ngaãu vôùi N vaø v ∈P,

iN ∈N,

iN (v) xaùc ñònh vôùi moïi i = 1, 2, …, k.

Khi ñoù, pheùp noäi suy ñòa phöông ñöôïc xaùc ñònh bôûi

KI v :=

N (v)φ i

∑

i=1

Ñònh nghóa 2.3.1.5. Cho (K, P, N) laø phaàn töû höõu haïn, taäp {

tuyeán tính. Meänh ñeà 2.3.1.6. KI

∀ ≤ ≤ d.

N (I v) N (v), 1 i i

Meänh ñeà 2.3.1.7.

Meänh ñeà 2.3.1.8. KI v=v vôùi v ∈P vaø

caùc mieàn phaàn töû { }iK sao cho

intK intK∩

(1)

= ∅ neáu ij

,≠

(2)

iK = Ω

∪

Ñònh nghóa 2.3.1.9. Moät pheùp phaân hoaïch cuûa mieàn Ω laø taäp hôïp höõu haïn

moãi K cuûa mieàn phaàn töû ñöôïc trang bò loaïi daïng haøm P vaø caùc bieán nuùt N sao

cho (K, P, N) taïo thaønh moät phaàn töû höõu haïn. Cho m laø baäc cao nhaát cuûa ñaïo

haøm rieâng naèm trong moãi bieán nuùt. Vôùi

C∈

(

) Ω , pheùp noäi suy toaøn cuïc ñöôïc

xaùc ñònh bôûi

vôùi moïi

I f T

⎪ = K

iK T∈ .

Ñònh nghóa 2.3.1.10. Giaû söû Ω laø moät mieàn vôùi pheùp phaân hoaïch T. Giaû söû

∈

, ñöôïc goïi laø moät

vôùi moïi

f C∈

V T

I f: f C T

TI f C∈

{

(

) Ω . Khoâng gian,

khoâng gian phaàn töû höõu haïn “

”.

Ñònh nghóa 2.3.1.11. Moät pheùp noäi suy ñöôïc goïi laø lieân tuïc baäc r neáu

suy bieán) laø moät aùnh xaï afin. (cid:108)(K , (cid:109) (cid:110),

P N ) laø töông ñöông afin vôùi (K, P, N)

neáu

F(K) = (cid:108)K ,

(i)

F (cid:109)

(ii)

P = P,

(iii)

*F N = (cid:110) N .

Ôû ñaây

*F (cid:108)( f ) := (cid:108)f F(cid:68)

*F (cid:108)( f ) ).

( N)f : = N( *F

Ñònh nghóa 2.3.1.12. Cho (K, P, N ) laø phaàn töû höõu haïn, F(x)=Ax+b (A khoâng

Meänh ñeà 2.3.1.13. Töông ñöông afin laø moät quan heä töông ñöông.

ñöôïc goïi laø daïng hình sao ñoái vôùi quaû caàu B neáu vôùi

B∪ laø taäp con cuûa Ω .

moïi x∈ Ω , bao cuûa {

H ìn h 1 . Mi eàn daïng hì nh sao ño ái v ô ùi q uaû caàu B nh ö ng kh o âng ño ái v ô ùi q uaû caàu B'

H ìn h 2 . Mi eàn kh o âng laø d aïn g h ìn h sao ñ oái vô ùi mo ïi q uaû caàu

Ñònh nghóa 2.3.1.14.

Ñònh nghóa 2.3.1.15. Cho {

}hT , 0

max diam T: T T

h diam

∈

≤

Ω .

cuûa mieàn Ω sao cho

{

h T T∈

Hoï {

}hT ñöôïc goïi laø khoâng suy bieán neáu toàn taïi ρ > 0 sao cho moïi

vaø moïi

(2.3.1.16)

(

] , ∈ 0 1 , diam

TB ≥ ρ diamT.

Ôû ñaây, diam TB laø ñöôøng kính cuûa quaû caàu lôùn nhaát chöùa trong T sao cho T

laø daïng hình sao ñoái vôùi

TB .

neáu r

laø soá nguyeân khoâng aâm lôùn nhaát ñeå

r+1

h I C

(

) Ω ∩

(

) Ω .

W∞

(

) Ω ⊆

ôû ñaây

h I :C

1 L

(

)

(

) Ω → Ω laø moät toaùn töû noäi suy toaøn cuïc ñöôïc ñònh bôûi

T T , h

∈

laø toaùn töû noäi suy cuûa phaàn töû töông

vôùi

(

h I u : ⎟ = T

h I u T

] 0,1

T ,

ñöông afin (

) P N . ,

h 1

< ≤

, laø moät hoï khoâng suy bieán cuûa caùc pheùp

Ñònh nghóa 2.3.1.17. Phaàn töû höõu haïn (K, P, N) ñöôïc goïi laø phaàn töû

}hT ,

phaân hoaïch mieàn ña dieän

vaø (K, P, N) laø phaàn töû höõu haïn thoaû 3 ñieàu kieän

Ñònh lyù 2.3.1.18. Cho {

(i) K laø daïng sao ñoái vôùi moät soá quaû caàu,

⊆

(

(ii)

⊆ P P

)

( m W K ∞

1m−P laø taäp hôïp caùc ña thöùc n bieán coù baäc beù hôn

− 1

hoaëc baèng m-1),

⊆

(

lC K laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa

(iii) N

( lC K

)

(

)

) ( lC K );

(

T ,

Ñoàng thôøi ñoái vôùi moïi

h T T , ∈

< ≤

( P N laø phaàn töû töông ñöông

)

afin.

Khi ñoù, toàn taïi moät haèng soá döông C phuï thuoäc vaøo (K, P, N), n, m, p vaø

s m

≤ ≤

ta coù

soá ρ trong (2.3.1.16) sao cho ñoái vôùi

/ p

m s −

h I v

−

≤

C h

, ∀ ∈

( ) Ω

m v W p

∑

( ) Ω

m W p

)

s ( W T p

T T ∈

⎛ ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎟ ⎠

2.3.2. Ñaùnh giaù söï hoäi tuï phaàn töû höõu haïn.

Giaû söû (H, (.,.)) laø khoâng gian Hilbert, V laø khoâng gian con (ñoùng) cuûa H,

a(.,.) song tuyeán tính treân V (khoâng nhaát thieát ñoái xöùng), a(.,.) lieân tuïc (bò chaën),

cöôõng böùc treân V.

(2.3.2.1)

u V∈

v V∀ ∈ .

(2.3.2.2)

sao cho a(u, v) = F(v),

Baøi toaùn bieán phaân : Cho F V'∈ (V’ laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa V), tìm

⊂

V, F V' ∈

. Tìm

sao cho a(

, v) = F(v),

v V∀ ∈ (2.3.2.3)

V∈ h

Baøi toaùn bieán phaân xaáp xæ : Cho khoâng gian höõu chieàu

tuyeán tính cöôõng böùc, lieân tuïc vaø moät haøm tuyeán tính lieân tuïc

. Khi ñoù toàn

F V'∈

taïi duy nhaát u

V∈ sao cho a(u, v) = F(v), v V∀ ∈ .

2.3.2.5. Heä quaû. Vôùi ñieàu kieän (2.3.2.1) baøi toaùn bieán phaân (2.3.2.2) coù nghieäm

duy nhaát .

2.3.2.4. Ñònh lyù (Lax-Milgram). Cho (V, (.,.)) khoâng gian Hilbert, a(.,.) song

nghieäm duy nhaát .

2.3.2.6. Heä quaû. Vôùi ñieàu kieän (2.3.2.1) baøi toaùn bieán phaân xaáp xæ (2.3.2.3) coù

baøi toaùn bieán phaân (2.3.2.2),

laø lôøi giaûi baøi toaùn bieán phaân xaáp xæ (2.3.2.3).

Khi ñoù,

u-u

≤

h V

c min u-v . α h ∈ v V

ôû ñaây c laø haèng soá lieân tuïc, α laø haèng soá cöôõng böùc cuûa a(.,.) treân V.

m u H (

)

∈

Xeùt

vaø

Vh∈ laàn luôït nghieäm baøi toaùn bieán phaân, baøi toaùn

bieán phaân xaáp xæ thoaû (ñònh lí Ceùa)

C inf u-v

≤

(2.3.2.8)

u-u h

m H (

)

m H (

)

Giaû söû coù moät pheùp noäi suy

h I u V∈ ( ñònh lí 2.3.1.18 ) sao cho

k-m

h u-I u

C.h

≤

vôùi u ñuû trôn.

(

)

m H (

)

Töø ñoù suy ra

k-m

≤

(2.3.2.9).

u-u h

C h 1

m H (

)

m H (

)

2.3.2.7. Ñònh lyù (Ceùa). Giaû söû ñieàu kieän (2.3.2.1) laø thoaû maõn vaø u laø lôøi giaûi

s-m

u-u

≤

s u H (

)

ñoù, ñoái vôùi baát kì

ta coù

∈

h H ( m

)

s H (

)

2.3.2.10. Ñònh lyù. Giaû söû (2.3.2.8) vaø (2.3.2.9) laø thoaû maõn; vôùi m

2.4. Kyù hieäu

n(cid:92)

1 =(cid:92) (cid:92) .

2.4.1. Kyù hieäu hình hoïc

laø khoâng gian Euclide thöïc n chieàu,

, ..., ,

, ...,

1 0

(

) 0 laø veùc tô toïa ñoä ñôn vò thöù i.

=ie

n(cid:92)

ii)

laø

(

)

x , x , ..., x 2 1

iii) moät ñieåm thuoäc

n(cid:92) ∂Ω ,

laø taäp môû cuûa

laø bieân cuûa

Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω laø bao ñoùng cuûa Ω .

iv)

2.4.2. Kyù hieäu caùc khoâng gian haøm

i) Kyù hieäu ña chæ soá

trong ñoù moãi thaønh phaàn

, ...,

)n α

iα laø moät

( α α α 2

soá nguyeân khoâng aâm ñöôïc goïi laø ña chæ soá;

xα

α = x

+ + ...

°Moät veùc tô coù daïng

, baäc

;

...

α n

α α x x 2 1 2

α α α 1 2

i ≤ ≤

)

°Cho tröôùc ña chæ soá α, kyù hieäu

vaø

D i

∂ x ∂ i

...

kyù hieäu toaùn töû vi phaân caáp α

α D n n

α α D D 2 1 2

x ∂ ...

α n n

∂ α x ∂ 2 2

α x ∂ 1 1

(

,..., ) 0

;

u :

Ω → (cid:92)

)Ω

laø khoâng gian caùc haøm soá

khaû vi voâ haïn coù giaù compaéc

° xα laø ñôn thöùc

; Ω

trong

1 2

u laø ño ñöôïc Lebesgue, u

ii) D (

2( L

Ω = )

< ∞ trong ñoù

{ u

}

∫

⎛ = ⎜ ⎝

⎞ ⎟ laø khoâng ⎠

gian Hilbert taùch ñöôïc vôùi tích voâ höôùng ;

;

(cid:92)

iv)

) Ω =

Ω →

∈

( p \ u L V , V

)

locL (

} ∀ ⊂⊂ Ω

iii)

: u

Ω = ∈

< ∞

vôùi k laø soá nguyeân khoâng aâm, laø khoâng

(

)

(

)

k W p

1 u L loc

k W p

{ u : {

}

gian Sobolev treân Ω vôùi chuaån töông öùng kyù hieäu

1/p

α D u

, 1

≤

p< , ∞

∑

(

)

α ≤

(

)

k W p

, p= . ∞

∞ L

⎞ ⎟ ⎠ max D u α ≤

(

)

⎧⎛ ⎪ ⎜ ⎪ = ⎝ ⎨ ⎪ ⎪⎩

vaø vôùi

Ω ta kyù hieäu

(

)

k u W∈ p

1/p

α D u

, 1

≤

p< , ∞

∑

(

)

(

)

k W p

, p= . ∞

∞ L

⎞ ⎟ ⎠ max D u α =

(

)

⎧⎛ ⎪ ⎜ ⎪ = ⎝ ⎨ ⎪ ⎪⎩

≤

vôùi m laø soá nguyeân,

(

)

(

) :

2 D v L ∈ Ω (

)

( rW2 Ω

{ 2 v L Ω = ∈ Ω

}

rH Ω (

)

moät tích voâ höôùng

r≥1 laø khoâng gian Sobolev caáp r treân Ω , trang bò treân

kyù hieäu

≡

u v ,

D uD vdx ;

(

)

(

)

(

)

= ∑ ∫ α

r ≤ Ω

vaø chuaån töông öùng kyù hieäu

≡

(

) u, u ,

r H (

)

rH Ω (

)

luùc ñoù

laø khoâng gian Hilbert taùch ñöôïc vôùi tích voâ höôùng treân.

vi) =

1( H Ω

)

laø khoâng gian Hilbert taùch ñöôïc vôùi tích voâ höôùng

u, v

(

)

∑

1 H (

)

∫

= 1

u v ∂ ∂ x x ∂ ∂ i

⎛ ⎜ ⎝

⎞ dx; ⎟ ⎠

vii)

1( H Ω

)

)Ω trong (

vaø laø khoâng gian

)

laø bao ñoùng cuûa khoâng gian D

1 H Ω 0(

Hilbert taùch ñöôïc, ñoàng hôøi

Ω laø taäp môû, bò chaën. Khi ñoù

laø khoâng gian

)

1 H Ω 0(

1( H Ω

)

con thaät söï cuûa

viii)

2.4.3. Kyù hieäu caùc öôùc löôïng

löôïng ñaõ bieát. Giaù trò chính xaùc ñöôïc kyù hieäu bôûi C vaãn coù theå thay ñoåi töø doøng

naøy sang doøng khaùc trong moät pheùp tính xaùc ñònh.

i) Haèng soá C ta duøng ñeå kyù hieäu caùc haèng soá trong caùc bieåu thöùc cuûa caùc ñaïi

x→ neáu toàn taïi haèng C sao

= O khi (g)

≤

f x ( )

C g x ( )

cho

, vôùi moïi x ñuû gaàn x0.

ii) f, g Bieán thieân ñoàng baäc ta vieát f

Chöông 3

CAÙC KEÁT QUAÛ CHÆNH HOAÙ

Trong chöông naøy goàm 2 muïc, muïc 3.1 chuùng toâi nghieân cöùu moät ñieàu

kieän caàn vaø ñuû ñeå baøi toaùn (FVP) coù nghieäm, khaúng ñònh (QBVP) laø baøi toaùn

chænh vaø muïc 3.2 nghieân cöùu caùc ñieàu kieän ñeå nghieäm baøi toaùn (QBVP) laø xaáp xæ

cuûa (FVP).

3.1. Caùc keát quaû chænh hoùa baøi toaùn QBVP [1].

Cho A laø moät toaùn töû töï lieân hôïp trong khoâng gian Hilbert taùch H sao cho

–A sinh ra moät nöûa nhoùm co compaéc S(t) treân H, vaø 0 thuoäc taäp giaûi cuûa –A

nφ

(0∈ρ(-A)), A-1 laø compaéc, vôùi { } laø cô sôû tröïc chuaån goàm caùc haøm veùc tô rieâng

nφ

nφ . Caùc giaù trò rieâng

1 λ n

nte− λ

cuûa H vaø caùc giaù trò rieâng cuûa A-1 sao cho A-1 =nφ

n−λ

cuûa –A laø vaø cuûa S(t) laø . Ñaëc bieät, moãi soá döông α, αI + S(T) khaû

∞

−

λ iT

nghòch .

a S(T ) i

φ i

a e i

a i

φ i

φi

∑

1 =

α ( I

S(T ))u

α = + u

S(T )u

∞

λ i

− e

a i

φ i

a i

φ i

∑

1 =

∞

λ i

− e

( α

) φ a . i i

∑

1 =

S(T+α )

iTe−+ λ

Neáu u = thì S(T)u =

iφ

1 −

−

−+

S(T )

coù giaù trò rieâng öùng vôùi haøm veùc tô rieâng laø neân

( α

)

iφ

)iTe

∞

−

S(T )

coù giaù trò rieâng öùng vôùi haøm veùc tô rieâng do ñoù laø ( α

( α

)

a i

φ i

∑

= 1

∞

−

( ) u =(

1 φ i

)iT

( +∑ α a i

1 =

∞

λ φ

−

a ∑ i = + α e 1

∞

λ i

S(T )u,u

− e

(

)

φ a , i i

a i

φ i

∑

⎛ ⎜= ⎜ ⎜⎝

⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1 =

∞

λ i

− e

(

)

φ a ,a i i i

φ i

∑

1 =

∞

λ i

− e

2 a i

φ i

∑

1 =

∞

λ i

− 2 a e i

∑

1 =

−

S(T )

( α

)

( α

)

sup 1 = u

∞

∑

−

sup 1 = u

1 =

2 a i e

( α

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝

1 ⎞⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∞

≤

∑

sup = 1 u

2 a i 2 1 α =

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝

1 ⎞⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∞

(

1 vì u

= 1 ).

=∑ 2 a i

1 α

i=1

Vaø ta coù

∞

thì

Boå ñeà sau cho moät ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå baøi toaùn FVP coù nghieäm.

b i

= ∑ φ

= 1

(FVP)

u'(t)+Au(t)=0 , 0

⎧ ⎨ ⎩

∞

λ iT

coù nghieäm khi vaø chæ khi

hoäi tuï.

∑ 22 b e i

= 1

∞

iT λ

b e

Boå ñeà 3.1.1. Neáu

2 2 i

∑

= 1

Chöùng minh. Neáu hoäi tuï

∞

− (T t )

λ φ b i

∑

1 =

∞

Ta ñònh nghóa u(t)= , laáy u laø moät nghieäm cuûa (FVP) thì u(0) coù

a i

φ i

∑

= 1

∞

λ iT

khai trieån theo caùc haøm rieâng laø u(0)= vaø

T) = S(0) 0 u(T) = S(T)u(0) =

a S(T ) i

φ i

− a e i

φ i

=∑ φ b i i

∑

= 1

1 =

∞

λ iT

< ∞

= u(

u( ) 0

ia e− λ iT

a i

b e= i

2 b e i

2 a i

∑ ∑ λ =

i=1

= 1

. Neân = hay , do

Vaäy u(0)∈H . (cid:0)

−

∈

S(t)

S(T )

∈ f , f H ,

, t

Baây giôø ta seõ chöùng toû baøi toaùn xaáp xæ (QBVP) cuûa ta laø baøi toaùn chænh.

( α

)

[

]

u (t) α

Ñònh nghóa 3.1.2. .

laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình

u (t) α

t T

, (1)

( ) 0, 0 =

< <

(QBVP)

(0)

. (2)

Au t α u T ( ) α

, ( ) ⎧ u t ⎪ α ⎨ u α ⎪⎩ α

Vaø noù phuï thuoäc lieân tuïc vaøo f.

Ñònh lyù 3.1.3. Haøm

−

= ∈

toàn taïi

( ) D A

x X : lim +→ 0

Chöùng minh. Ta ñeå yù: –A laø toaùn töû vi phaân sinh ra nöûa nhoùm co S(t)

{

}

S(t)x t

I ,

S( ) 0

=-AS(t)x=S(t)(-A)x.

dS(t)x dt

1−

∈

S(T )

( α

)

( ) f D A

−

dS(t)

S(T )

( α

)

'u (t

AS(−

)

S(T )

• Ta coù : x:= . Khi ñoù:

( α

)

−

S(T )

f +S(T)

S(T )

)

( α

)

u ( ) 0 α

u (T ) α

−

S(T )

+S(T)

S(T )

)

( α

)

( α α ( ( α α

f )

thoaû (1) Neân u (α t)

1−

S(T )

)(

)

( α f .

Vaäy

laø nghieäm cuûa (QBVP).

u (t) α

lieân tuïc vaøo f trong H, thaät vaäy:

−

S(t)

S(T )

S(t)

S(T )

( α

)

( α

)

−

S(t)

S(T )

( α

)

( f 1

f ) 2

−

≤

−

S(t)

S(T )

( α

)

f 1

≤

−

f 1

1 α

−

S(T )

• Nghieäm u (t) phuï thuoäc α

. (cid:0)

v( ) 0

( +α I

)

≤

Chuùng ta thu ñöôïc nhaän xeùt höõu duïng sau naøy ñoù laø: u (t)

1 α

− t T T

≤

Ñònh lyù 3.1.4. f∈H, α >0, t∈[0,T]. Khi ñoù:

u (t) α

∞

• Tính duy nhaát ñuùng cho baát kyø nghieäm v thoaû ,

f H , f

b i

= ∑ φ . Khi ñoù.

= 1

1−

S(t)

S(T )

( α

)

u (t) α

∞

(t)

φ i

∑

λ i

b i − + e

= 1

∞

S(t)

φ i

∑

λ i

α b i − + e

= 1

∞

−

λ t i

φ i

∑

λ i

b i − + e

= 1

Neân

λ t i

∞

u (t) α

φ i

∑

λ i

= 1

− 2 b e i +

− e

)

( α

∞

−

λ t i

λ i

− e

− 2 b e i

( α

)

∑

= 1

Chöùng minh. ∀ ∈

−

∞

− 1

λ t i

λ i

t T

− e

− 2 b e i

) ( α

)

∑

= 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

−

∞

− 1

λ i

t T

− e

⎡ ( ⎢ α ⎢ ⎣ ) ( α

) ( α

)

∑

= 1

⎡ ( T ⎢ 2 b e ⎢ i ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

∞

2 b i

∑

= 1

− 1

−

λ i

t T

α e

)

≥ 1

⎡ t ⎢ ( ) ( α 1 T ⎢ (cid:8)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:10) (cid:8)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:10) ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

∞

2 b i

≤

∑

= 1

t T

λ i

− e

⎡ ( α +⎢ ⎣

− 12 ⎤ ) ⎥ ⎦

∞

≤ ∑

= 1

t T

( α

− 12 )

∞

− 1

t T

⎛ ⎜ ∑ α 2 b ⎜ ⎜⎝ i

2 ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠

= 1

∞

− t T T

2 b i

2 ⎛ ⎞⎟ ⎜= ⎠ ∑α ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝

= 1

− t T T

⎛ ⎜= α ⎜ ⎜⎝

2 ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠

− t T T

≤

Vaäy:

(cid:0)

u (t) α

→

hoäi tuï veà f trong H.

∀ ∈

α − ⎯⎯ →0

f H u T ( ) ,

0⎯ töùc laø

u Tα ( )

∞

f H , f

∀ ∈

Ñònh lyù 3.1.5.

. Khi ñoù.

bφ i i

= ∑

= 1

−

S T

−

α I

−

( )(

( ))

u Tα ( )

∞

−

S T ( )

b φ i i

∑

b φ +∑ i i T − e λ α

= 1

Chöùng minh.

−

∞

−

b φ i i

∑

λ φ i i T − λ i

b e +∑ i α

= 1

−

∞

λ i

−

) 1

φ b ( i i

−

∑

λ i

e + α

= 1

∞

−

λ i

)

2 2 b ( α α i

∑

= 1

∞

iT b e λ 2 2 2 i

≤ ∑

= 1

∞

oïn N sao cho

Vôùi ε > 0 ch

<∑ 2 b i

ε 2

i N = + 1

Khi ñoù:

∞

−

λ i

2 2 b α α i

∑

2 2 b α α i i N = + 1

= 1

∞

λ i

f e e − = + + + ( ) ( ) u T ( ) α

2 α

2 b e i

2 b i

∑

= 1

λ i

≤ +

2 α

2 b e i

∑

i N = + 1 ε 2

= 1

−

∞

+ . <

iT b e λ 2 2 i

∑

= 1

⎛ 2 α ε < ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

−

Choïn α sao cho

< . ε

u T ( ) α

Thì (cid:0)

Nhaän xeùt: Töø ñònh lyù ta thaáy ngay khi (FVP) khoâng coù nghieäm, nghieäm chænh

hoaù taïi t=T vaãn hoäi tuï veà f . Tu o y n ieân ôû aây kh âng coù toác ñoä hoäi tu ñ h ï.

hoäi tuï Ñònh lyù 3.1.6. Vôùi moãi f∈H, (FVP) coù nghieäm u khi vaø chæ khi daõy u ( )α 0

u tα ( )

ong H. Hôn nöõa, ta co hoäi tuï ñeàu theo t veà u(t) khi tr ù tieán veà 0.

u= 0

α→

toàn taïi. Chöùng minh. ⇒) Giaû söû lim u ( ) 0

Laáy u(t) = S(t)u0,

−

S(T ))

α I

= . f

→

Khi ñoù:

lim S(T )( → α

−

u (t) α

lim u(t) u (t) → α

lim S(t)u 0 → α

−

S(t)(

S(T ))

−

I α

lim S(t)u 0 → α

−

S(T ))

f )

≤

−

( I α

lim S(t)(u 0 → α

−

S(T ))

(do S(t)

≤

−

( I α

≤

) 1

lim u 0 → α 0

=lim u

u ( ) . 0 α

−0

α→

lim u (T ) α α

Do ñoù:

u(T) = f, °

°u(t) = S(t) u0 laø lôøi giaûi cuûa (FVP) (do u’(t) = -AS(t)u0 ),

hoäi tuï ñeàu theo t ñeán u(t). ° u (t)α

∞

aû s laø nghieäm (FVP). ⇐) Gi öû u(t)

= ∑ , bφ i i

1i =

∞

< ∞

(0)

Laáy ε > 0 ,

iT b e λ 22 i

∑

= 1

∞

, Theo boå ñeà 3.1.1. ta coù:

22b e i

∑

λ ε iT < 2

i N = + 1

0αγ > . Khi ñoù:

, Choïn N sao cho

−

S T

−

)

(

I α (

T ( ))

I γ (

( ))

u α

u γ

∞

∑

∑λ −

λ i

b φ i i − e +

b φ i i T − e +

= 1

∞

−

∑

λ i

γ α φ b − ) ( i i T − eλ αγ α γ e + + ) (

= 1

Laáy

∞

−

∑

λ i

)

2 2 ( ) b − γ α i T λ − ( ( )e + αγ α γ i

= 1

i N = + 1

∞

λ i

≤

( − γ α

2 2 ) b e i

∑

∑4 +

γ α − ( + α γ

= 1

i N = + 1

)λ T

( α γ δ δ ε

− <

0δ > sao cho

Choïn

− 1 ,

< ∑ 4 2 b e 2 i

= 1

u ( ) u ( ) − 0

laø daõy Cauchy neân hoäi tuï trong H,

, vaäy {

}(0)

Ta coù α

uα

theo phaàn treân ta coù

hoäi tuï ñeàu theo t ñeán u(t).

(cid:0)

u tα ( )

Ñeå keát thuùc phaàn naøy, ta neâu m

töôøng

oät keát quaû ñaùnh giaù toác ñoä hoäi tuï

minh.

∞

b q i i

∑ thuoäc H vaø toàn taïi moät soá döông ε sao cho

∞

ε-2

iT b eελ

−

hoäi tuï thì

oäi tuï veà 0 vôùi baäc

u (T )α

∑ 2

= 1

∞

( , )

Ñònh lyù 3.1.7. Neáu f =

ε∈ 0 2 sao cho

laø hö

õu haïn, laáy

∈ 0 2 ( , )

iT b eε λ 2 i

∑

= 1

hóa

Vôùi soá töï nhieân n ta

ñònh ng

α g ( ) n

−λ e n

( α

)

Laáy ñaïo haøm theo bieán α ta coù

− 1

λ n

Chöùng m inh. Laáy

' g ( n

− ke 3

−+ λ e

α − α ) 2 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ α = ) .

λ n

(k ( α + )

− e

' g ( n

•

> ∀ > ,

α ng ( )

•

)

lim g ( n α →∞

α α α • = ⇔ = ∨ = ) , 0 0 k − k 2

Suy ra

−

λ k T n

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

−

(

k ⎞⎟ k ⎟ ⎟ ⎠− k

λ k ) T n

≤

)

g ( n

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

k ⎞ k ⎟ ⎟ ⎟ ⎠− k

λ n

− e

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

2 ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠

k −

. (*)

−

α S(T )( I

S(T ))

u (T ) α

∞

−

λ n

− e

)

2 b ( n

∑

= 1

∞

-k

)

2 b g ( n n

∑

= 1

∞

(

− 2

-k

λ k ) T n

(*) ≤

2 b e n

∑

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

k ⎞⎟ k ⎟ ⎟ ⎠− k

= 1

Khi ñoù:

∞

ελ n

−

≤ ε α

u (T ) α

2 b e n

∑

= 1

∞

ελ n

(do 0< <2)

2 b e n

∑

ε − 2 ⎞− ⎟ ⎛ ε ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ε 2 ⎛ ⎞⎟⎜≤ 2 α ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ε

= 1

∞

−

ελ n

ε α ε

< ∞

(do C:=4

2 b e n

∑

= 1

Neáu ta choïn k = 2 – ε thì ta coù:

∞

(

− ) T ε λ i

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. (cid:0)

∑ 2 b ei

Nhaän xeùt: Giaû söû hoäi tu ï,

∞

−

S(T ))

( I α

Khi ñoù:

iT b e λ i

φ i

u ( ) u( ) − 0 α

− ∑

= 1

∞

−

b e i

λ φ i i

∑

λ i

b φ +∑ i i − e α

= 1

∞

λ i

−

∑

λ i

1 e

= 1

⎛ ⎜ α +⎝

⎞ φ b ⎟ i i ⎠

(boå ñeà 3.1.1)

∞

λ i

b φ i i

−

∑

λ i

T e α − e α +

= 1

∞

λ i

2 2 b α i

∑

−

λ i

= 1

( α

)

∞

−

λ n

2 α

2 b g ( n n

∑

= 1

∞

(

−

-k

k ) T λ n

≤

2 α

2 b e n

∑

= 1

k ⎛ ⎜ −⎝ 2

⎞ ⎟ ⎠

∞

(

ε λ ) T n

u ( ) u( ) − 0

− 2 ε .

2 b e n

⎛ ⎞⎟⎜≤ 2 ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ∑ α ε

= 1

Choïn k = 2-ε ta thu ñöôïc

∞

Keát hôïp ñònh lyù 3.1.6 ta coù heä quaû sau.

sao cho

b q∑ thuoäc H vaø toàn taïi moät soá döông

0i=

∞

) Tε λ

ε-2

b e(

−

hoäi tuï th u (t) u(t)

theo t.

hoäi tuï ñeàu veà 0 vôùi baäc

s ε

= ∑

= 1

Heä quaû 3.1.8. Neáu f =

Nhaän xeùt: Heä quaû naøy cho ta moät caän treân cuûa toác ñoä hoäi tuï maø chuùng ta mong

ñôïi. Chuùng ta seõ keát thuùc phaàn naøy baèng moät soá kyù hieäu vaø tính chaát seõ ñöôïc aùp

duïng vaøo caùc phaàn sau.

∂ Ω

Giaû söû raèng -A laø moät toaùn töû vi phaân elliptic ñeàu treân mieàn xaùc ñònh môû,

eäu Dirichlet ñoàng ñeàu ñaët leân vaø laáy khoâng bò chaën treân Ω , vôùi caùc döõ li

(

)

) Ω ×

→

)

R sao cho –Av = g khi vaø chæ khi a(v,w) = (g,w ∀ w ∈

Ω ).

1 0

0H (

gian H ilbert H laø L2( Ω ). Keát hôïp vôùi toaùn töû A laø daïng song tuyeán tính a:

⋅

Ta giaû söû raèng nghieäm cuûa (FVP) thöïc söï toàn taïi vaø thoûa u(t) m≤ , ∀t∈[0, T]. ÔÛ

⋅ laø chuaån treân L2( Ω ), vaø

ñaây vaø caû caùc phaàn sau, laø chuaån treâ n Hr( Ω ).

3.2. Phaùt bieåu laïi baøi toaùn vaø ñaùnh giaù sai soá chænh hoaù.

Trong phaàn naøy chuùng ta seõ chöùng minh raèng (QBVP) coù theå ñöôïc vieát laïi

döôùi daïng moät phöông trình tích phaân Fredholm loaïi hai.

-1

( ) =

S(t)u

u (t)

S(t)(

I + S(T))

Cho S(t) laø nöûa nhoùm co com pắc sinh bôûi –A. Khi ñoù ta coù

u t α

( ) α 0 hay

S(T)u t

S(t)f .

uα

Taùc ño äng 2 veá cuûa (2) cuûa (QBVP) vôùi S(t) ta suy ra

( ) +tα

α( ) =

(3)

dholm loaïi hai. Ñeå thaáy roõ Coá ñònh t, (3) laø moät phöông trình tích phaân Fre

ξ ξ ξ

v(t) = S(t) v(0) khi vaø chæ khi v(x, t) = K(x,t, )v( , )d

toaùn tö hôn, laáy K laø haït nhaân cuûa û ∂ t + A ta coù

∫

K(x,T , )u ( ,t)d

F(x,t)

ξ ξ ξ

Do ñoù töø (3) ta coù

u (x,t) α

∫

F( x,t )

K( x,t ,

) f (

ξ ξ ξ

, (4)

)d .

= ∫

vôùi

Chuùng ta chaáp nhaän quan ñieåm laø chæ quan taâm laáy xaáp xæ u taïi thôøi ñieåm

( )∗αu t

. Ñeå ñôn giaûn ta kyù hieäu cuï theå t = t* nghóa laø ta chæ quan taâm vieäc tính

* )u(tφ=

u (t ) *

αφ =

( )d

vaø . Do ñoù ta coù αφ thoûa phöông trình Fredholm loaïi hai

αξφ ξ ξ

∫

(5) = F( x ,t ). * α (x)αφ + K(x,T , )

Ñeå ñôn giaûn kyù hieäu ta vieát (5) döôùi daïng toaùn töû sau

α αφ + K1 αφ = K2f ,

(6)

ξ ξ ξ ,

K 1v = K( ,T , )v( )d ⋅

∫

⋅

vôùi

v =

ξ ξ ξ .

K 2

*K( ,t , )v( )d

∫

vaø

φ=

*u(t )

≤ Cαεε-2, vôùi

⋅ laø chuaån trong L2( Ω ) vaø giaû söû raèng

Töø ñoù bieåu thöùc ñaùn h giaù nghieäm chỉ nh hoaù theo heä quaû 3.1.8 trôû

αφ φ−

∞

(

) Tε λ

thaønh

∑ 2 b e i

∞

hoäi t uï. Ta coù theå chöùng toû ñieàu naøy moät caùch töôøng minh nhö sau.

ib q

∑ thuoäc H=L2( Ω ) vaø toàn taïi moät soá ε ∈ (0,1) sao

∞

(

ε λ + ) T i

≤ α

εM(ε).

cho

hoäi tuï thì, vôùi t ≥ 0,

Ñònh lyù 3.2. 1. Neáu f =

u (t) u(t) − α

∑ 2 1 ib e

ôû ñaâ

∞

1 2

( 2 1

) T ε λ + i

(ε) =

2 b e i

∑

= 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

−

Hôn nöõa, neáu ε ≤ t/T, thì u (t) u(t) ≤ α

ε u( )0

(8)

(7)

∞

Chöùng minh. ÔÛ phaàn ñaàu ta ñaõ giaû söû (FVP) coù nghieäm neân theo boå ñeà 3.1.1

∑ 22 iT b e λ

= 1

hoäi tuï.

−

S(t)(

S(T ))

f ,

α I

−

S(t)S(T )

f .

u (t) α u(t)

S(t)u 0

S(t)lim u ( ) 0 → 0

Neân ta coù theå vieát

−

u(t)

S (t)(S (T )

S (T ))

) f

−

( I α

u (t ) α

∞

= S (t )

T λ e b q i

−

i −

∑

λ i

b q i e +

⎞ ⎟ ⎠

∞

=S (t )

∑

T λ e b q i i i T − λ + e i

α α

⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

∞

α =

S(t)q i

∑

= i 1

T λ e b i i − T λ e + i

Neân

∞

−

t λ i

q i

∑

= 1

∞

∑

b q i i − T λ i

= 1

T λ e b i i − T λ e α + i − (T t ) λ e i α

− (T t )

λ i

∞

2 b i

2 α

u(t) u (t) α−

∑

−

λ T i

= 1

( α

− (T t )

λ i

∞

) e

2 b i

2 α

∑

ε − 1

−

= 1

λ T i

( α

) (

)

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Do ñoù, ∀ε ∈ (0,1) ta coù

−

λ− 2

T λ i

≥

( α

( e + α α

)

(

)iT

)

ε ⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

ε − 1

−

T λ i

≥

( ε − 1 α

)

( α

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

Vaäy

∞

(T t ) −

−

λ i

T λ ε i

u(t) u (t) −

2 α

2 b e i

≤ ∑ 2 α

∞

(

)T t −

[

]

λ i

2 α

2 b e i

∑

∞

1 2

i ( + b e λ ε 1

≤

2 i

∑

= 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ εα ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Suy ra

∞

1 2

i ( + b e λ ε 1

u(t) u (t) −

≤

α ε

ε M( ), M( )

2 i

∑

= 1

⎛ = ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

ε<

ε (1+ )-

Hôn nöõa, neáu

<1 .

thì ta coù

t T

Suy ra

) ε + − 1

λ i

)T t −

[ ( λ ε + 1

]

t T

⎡ T ( ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

e λ

≤

Maø

Neân

∞

1 2

≤2

iT b e λ 22 i

u(t) u (t)α−

∑

= 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ εα ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

∞

u( ) 0

Theo boå ñeà 3.1.1 ta coù

b e λ iT 22 i

= ∑2

= 1

Vaäy

≤

(cid:0)

εα 0 . u( )

u(t) u (t)α−

. Vì ta coù

iλ λ≤

−

ε 2

−

T λ i

T ελ 2 i

T λ e i

≥

⇒

≤

α − e • +

−

( α ⇒ +

)

T λ i

1 e +

− ε 2

−

λ i

T λ i

T λ 1

(do 2

• + α

≥ + α

≤

2 − >

( α

)

( ⇒ + α

)

neân

−

− ε 1

ε 2

ε − 2

−

T λ i

( α

) (

)

( α

)

( α

)

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

ε − 2

−

T ελ 2 i

T λ 1

≤

( α

)

Vaäy

∞

ε − 2

(T t ) −

−

λ i

T ελ 2 i

T λ 1

u(t) u (t) −

≤

2 α

2 b e i

( α

)

∑

= 1

∞

ε − 2

− )T t

−

[ λ ε + ( 1

]

λ T 1

2 b e i

( 2 α α

)

∑

= 1

∞

1 2

− ε 1

−

i ( + λ ε 1

T λ 1

≤

2 b e i

)

∑

( ⎡ α α ⎢ ⎣

= 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Ta vaãn thu ñöôïc coâng thöùc ñaùnh

giaù sai soá bò chaën nhö treân.

−1

)

≤ C(α)M(ε),

. (9)

u(t) u (t)α−

( α α α − e

ελ )T

iTe λ

tieán veà 0

nhanh nhö

α.

Ôû ñaây C(α) =

( α α −+

)ε−

Nhaän xeùt : Neáu ε > 1, 1

Ñaëc bieät, laáy t =

û ñôn giaûn

c ε ∈ (0,1)) ta où

t* (vaø giaû sö

- αφ φ ≤ α u(0 . )

≤

hoaëc neáu choïn döõ liệu ñaàu f ñuû trôn theo nghóa

neáu

∗t T

1 2

b e λ iT

hoäi tuï

M(1) =

= 1

∞⎛ ∑ 2 ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

thì

≤ αM(1).

αφ φ−

àn Cuoái cuøng, ca chuù yù raèng

la t

áy =

0 vaø ε → 0 thì

∞

)

≤2

u( ) u ( )α− 0

λ∑ ib e

≤

−

t α T

∈ ( Ω u( )0 ≤ ),

m Thì ∀t∈(0,T),

u (t) u(t) m α

)

−

(Q V

soá

Ñònh lyù 3.2.2. Neáu f

°Töø (FVP),

B P) ta thaáy sai

e(t) u(t) u α

(10)

thoaû

e'(t) Ae(t) +

= 0

(11)

u ( ) 0

(12)

e(T )

αα=

Thaät vaäy ta coù,

u'(t) Au(t)

= 0

(13)

u(T )

f =

(14)

u (t)

'u (t) A+

= 0

(15)

(16)

+ u ( ) u (T ) α

Töø (10) ta suy ra

−

e'(t) u'(t) u' (t).α

Keát hôïp (13), (15) ta coù

Chöùng minh

= −

A(u(t) − u (t))= Ae(t).

−

e'(t)

Vaäy (11) thoaû.

Maët khaùc

(T ) u(T ) u (T )

( f

−

= − f

−

0 . V

aäy (12) thoaû.

uα α

u ( )αα=0 ( ))

°Ta ñònh n

ghóa haøm

g(t)

2 e (t)dx

e(t),e(t)

e(t)

(

)

∫

vaø a(.,.) laø daïng song tuyeán tính keát hôïp vôùi toaùn töû –A.

ta coù

w H

g = ⇔

∀ ∈

Av −

a v w ( ,

)

g w ( ,

Ω1 ( 0

neân

'(t)

e(t)

2(e'(t),e(t))

2e'(t)e

(t)

dx,

∫

d dt

g"(t)

e'(t)e'(t) dx

( 2 e"(t)e(t)

)

( 2 e"(t),e(t)

)

) ( 2 e'(t),e'(t) .

∫

Ta laïi coù

Ae(t)

e'(t)

Ae'(t)

e"(t)

−

⇒ −

Neân

e"(t),e(t)

Ae'(t),e(t)

= −

)

(

)

= −

(A töï lieân hôïp neân A ñoái xöùng)

(

) e'(t), Ae(t)

e'(t),e'(t)

(

)

Vaäy

g"(t)

e'(t),e'(t)

e'(t)

(

)

(

) Ae(t) dx

(

2 ) ' e dx t

∫

Theo baát ñaúng thöùc Cauchy-Schwarz ta coù

g'(t)

e'(t),e(t)

e'(t)

e(t)

g"(t).g(t)

≤

(

)

(

)

Neân

g"(t).g(t)

g'(t)

−

, ≥ ∀ ∈

(

)

(

)

Suy ra

, ≥ ∀ ∈

. (log kyù hieäu loâgarít cô soá nepe)

(

) log g(t) "

(

)

Vaäy g(t)

laø haøm log loài.

h(t)

log g(t)

Ñaët

ta coù

h(T )

h(t) = h

−

≤

−

. 0

h( ) 0

t T

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

log g(t)

log g( ))

log g(T )

≤

−

⇒

t T

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

− 1

t T

g(t)

⇒

≤

(17)

g( ) 0

[

]

[ . g(T )

]

Maø

g(T )

e(T )

u ( ) 0

αα

g(t)

e(t)

2 .

u(t) u (t)α −

Töø (17) ta suy ra

− 1

t T

u(t) u (t) −

≤

u( ) u ( ) − 0

u ( ) 0

(

)

( αα

)

− 1

t T

u(t) u (t) −

≤

u( ) u ( ) − 0

u ( ) 0

⇒

(

)

( αα

)

− 1

t T

t α T

u( ) u ( ) − 0

. (18

u ( ) 0 α

)

Maët khaùc

−

u(t)

S(t)S(T )

∞

iT λ e b q i

= ∑ S(t)

= 1

∞

i (T t ) − λ e

b q . i i

∑

= 1

−

S(t)

S(T )

( I α

)

u (t) α

∞

−

S(t)

b q i i

)iT ( +∑ λα − e

= 1

∞

− 1

−

T λ

t λ i

b i

q . i

( +∑ α

= 1

Neân

∞

−

u(t)

T λ λ 2 e i

2 b , i

∑

= 1

∞

−

t λ i

T λ i

u (t)

2 b . i

( α

)

∑

= 1

u (t)

u(t) ,

≤

t ∀

α⇒

u ( )

≤0

u( ) . 0

(19)

α⇒

.1 t

a coù

Vaø theo phaàn nhaän xeùt ñònh lyù 3.2

∞

λ iT

≤

u( ) u ( ) − 0

u( ) 0

22 b e i

∑

u( )

⇒

≤

u( ) u ( ) − 0

(20)

Töø (18), (19), (20) ta coù

− 1

t T

)

u(t) u (t) −

≤

t α T

u( ) 0

(cid:0)

θ=

•Neáu ta laáy

töø ñònh lyù treân ta suy ra

vaø ñònh nghóa

t= *

*t T

≤

m .θ α

αφ φ −

•Neáu döõ lieäu

cuûa

ta bò nhieãu bôûi moät vaøi soá haïng thì sai soá c

uûa nghieäm chænh

hoaù coù theå aûnh höôûng raát lôùn. Giaû söû döõ lieäu ñöôïc cho bôûi

vôùi

f δ ≈

Nhaän xeùt :

−

≤ . Laáy δ

αφ laø nghieäm chænh hoaù töông öùng vôùi döõ lieäu fδ. Thì chuùng ta

fδ δ

−

α +

coù söï sai khaùc w

thoaû w K w K ( f

f )δ

− αφ φ

Thaät vaäy

w K w +

δ α φ −φ α α

K 1

(

)

( δ φ φ − α

)

( αφ α

( Kδ δ φ αφ φ K + − α α 1 1

)

−

)

K f K f − δ 2 f δ

2 ( K f 2

Baây giôø söû duïng khai trieån theo haøm rieâng ta thu ñöôïc

−

S(T )

−

( I α

)

S(t ) ∗

f δ

δ − φ φ α

−

S(T )

−

)

( I α ( I α

S(t ) ∗

f δ

∞

( f

S(t ) ∗

∑

t λ i ∗

∞

( f

q i

−

∑

= 1

) ) ( f ,q )q − i i δ T λ − e + α i = 1 − f ,q )e − i δ T λ e + α i

Khi ñoù

T .

−

λ i

∞

t ∗ T

( f

−

δ − φ φ α

f ,q ) i δ

−

∑

T λ i

= 1

e + α

∞

−

iT λ

( f

−

f ,q ) i δ

∑

= 1

t ∗ , = θ T

θ ξ + α ξ

∞

( f

≤

−

f ,q ) i δ

∑

max [ ] , ξ ∈ 0 1

θ ξ + α ξ

= 1

≤

−

f δ

max [ ] , ξ ∈ 0 1

θ ξ + α ξ

2 δ

≤

max ] [ ξ , ∈ 0 1

θ ξ α ξ +

⇒ −

≤

δ max φ φ δ α ], [ ξ ∈ 0 1

θ ξ α ξ +

( − − 1

) θ

≤

Ta seõ chöùng minh

(*)

θ ξ α ξ +

Thaät vaäy

Xeùt haøm soá : g(ξ) =

[ ], ξ∈ 0 1 ,

],θ∈ 0 1 [

θξ α ξ+

+ neáu ξ= 0 ta coù : (*) ñuùng.

+ neáu ξ≠ 0

( ) − − 1 1

≤ = 1

°θ = 1

ta coù:

. Vaäy (*) ñuùng.

ξ α ξ +

( − − 1 0

)

−<

1 α α =

θ = 0

ta coù:

. Vaäy (*) ñuùng.

1 α ξ +

ta coù:

° (

), θ∈ 0 1

− 1

⎡ ⎣

( ) ξ

) ( θξ θ ξ θα ⎤ − 1 ⎦ ( ) + α ξ

⇒

= ⇔ =

) ( ξg'

θ α − θ 1

⇔ < θ

ta coù:

1 α +

θα θ − 1

− θ θ 1 θα

≤

ξ ∀ ∈

( ) gg ξ

(

] , 0 1

− θ 1

θα ⎛ ⎜ θ −⎝ 1

⎞ ⎟ ⎠

−

( 1

) θ

Ta coù

− θ θ 1 θα

≤

∀ ∈

− θ 1 , α ξ

(

] ; 0 1

− θ 1

−

( 1

) θ

− θ 1

. (**)

⇔

−

≤ ∀ ∈

θ θ

, 1

( 1

) θ

(

] ; 0 1

x l o g x

Xeùt haøm soá f(x)=

vôùi

] ( ,∈ 0 1

Tröôø ng hôïp 1 :

x l o g x

log x)

( +1

Ta coù

, neân

( f ' x

)

−

f(x) < f(

∀ ∈

f(x) < f( ).

f '

( , x > ∀ ∈

⇒

) ( f' x <0, x ) (

) ⇒ ) − 1 e , 1

0 (

xlogx

)

lim x → 0

li m x → 0

lim x → 0

( lim -x x → 0

1 x 1 2 x

x log 1 x

, x ≤ ∀ ∈ 1

Suy ra

0 1 . Vaäy (**) ñuùng neân (*) ñuùng.

( f x

)

(

]

≤

⇔ ≥ θ

ta coù

1 + α

θα − θ 1

− θ θ 1 θα

≤

ξ ∀ ∈

( ) ξ

( ) 1

(

] ,1 .

− θ 1

1 α +

θα ⎛ ⎜ θ −⎝ 1

⎞ ⎟ ⎠

−

( 1

) θ

tröôøng

Theo chöùng minh ôû

hôïp 1 ta cuõng coù (*)

− 1

θα

≤

Tröôøng hôïp 2:

. Töø ñoù ta coù

1 + α

) .θ

−

( αφ φ δα− − 1 ≤

Aùp duïng nhaän xeùt naøy vaø ñònh lyù 3.2.1 ta suy ra ñònh lyù sau

, ta coù

Löu yù: Ta cuõng chöùng minh ñöôïc tröïc tieáp

( − −1

) θ

u(t )

≤

t ∗ α T

δα

u( ) 0

αφ

∗ −

t ∗ T

( )αδ

− + θ 1 δ

ta coù

Choïn

T (

*t ) tθ − + 1 *

u( )

−

≤

u(t ) ∗

δ φ )α δ (

(

) δ 1

Ñònh lyù 3.2.3. Vôùi caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù 3.2.1

−

≤

−

αφ

δ φ φ φ α

u(t ) ∗

) θ

( − − 1

*t T

≤

α δα +

u ) 0

Chöùng minh. Ta coù

θ )

( 1

*t T

α δα− − =

Choïn

( )αδ laø nghieäm cuûa phöông trình aån α:

baèng moät soá bieán

t ∗ T

θ− + 1 αδ δ ( )

ñoåi ta coù

. Thay

( )αδ vaøo baát ñaúng thöùc treân ta suy ra ñieàu caàn

phaûi chöùng mi

nh.

(cid:0)

Cuoái cuøng cuûa luaän vaên chuùng toâi duøng 2 phöông phaùp tính soáá ñeå xaây

ính x

döïng t

aáp xæ αφ ôû chöông sau.

Chöông 4

MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÍNH SOÁ

4.1. Phöông phaùp söû duïng gía trò rieâng vaø veùc tô rieâng xaáp xæ.

Phaàn naøy chuùng toâi söû duïng xaáp xæ khai trieån caùc haøm rieâng ñeå xaáp xæ

tAe−

nghieäm cuûa (QBVP).

Do S(t) = neân chuùng ta coù theå laøm vieäc tröïc tieáp vôùi haøm rieâng, giaù trò

rieâng cuûa toaùn töû A.

−

t λ i *

∞

Ta vieát nghieäm chænh hoaù nhö sau:

(

) f q q , i i

φ α

−

∑

T λ i

= 1

⎛ e ⎜ α +⎝

⎞ ⎟ ⎠

. (21)

i N =

≈

≤ ≤

Giaû söû chuùng ta coù moät boä xaáp xæ haøm rieâng vaø giaù trò rieâng coù soá thöù

i N

, λ λ≈ i

h i

h q i

q i

h ,λ i

h q i

) 1

ôû ñaây nguyeân höõu haïn, töùc laø coù taäp hôïp boä (

−

t *

h λ i

Baây giôø ta ñònh nghóa nghieäm xaáp xæ cuûa nghieäm chænh hoaù αφ laø

φ , α

(

) h h f q q i i

∑

−

h λ i

1 =

⎛ e ⎜ ⎜ +⎝ α

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

i N =

. (22)

h ,λ i

h q i

) 1

qua phöông phaùp phần tử höõu Neáu chuùng ta ñònh nghóa xaáp xæ (

Ω ⊂ 1 H

(

)

h λ= i

∀ ∈ h

( 0 Ω . (23)

( h a q ,w i h

)

(

) h q ,w , w S i

, thì chuùng ta coù ñöôïc haïn [

( hS Ω

)

ÔÛ ñaây, laø khoâng gian con xaáp xæ cô sô’ höõu haïn vaø a(.,.) laø daïng song

tuyeán tính lieân hôïp vôùi toaùn töû –A. Vì vaäy chuùng ta coù theå xaáp xæ nghieäm cuûa

(QBVP) baèng caùch giaûi baøi toaùn ma traän giaù trò rieâng baét nguoàn töø (23) sau ñoù

+∈ × (cid:92)

tính toaùn nghieäm xaáp xæ qua (21), noùi caùch khaùc ta tieán haønh vôùi thuaät toaùn sau

)ΩhS (

h ,λ i

)

töø (23), Böôùc 1: Tính (

) h f q , , i

−

t *

h λ i

h f q , i

)

Böôùc 2: Tính (

c i

−

h i

( λα e +

Böôùc 3: Tính heä soá cuûa (22),

,λh

iq ñeàu söû duïng trong (22), tuy nhieân muoán

Böôùc 4: Bieán ñoåi trôû laïi ( neáu caàn) tôùi cô sôû caùc ñieåm nuùt.

)

Nhaän xeùt: ° Ta thaáy baát kyø taäp hôïp boä (

chính xaùc vieäc xaáp xæ laø gaàn nhö buoäc ñeán tính chaát xaáp xæ cuûa khoâng gian con

)ΩhS (

−

h λ i

h t λ i *

Töø (6) vaø (22) ta deã daøng chæ ra raèng

h f ,q i

αφ α

( φ−

) h h ,q q i i

(

)

∑

= 1

−

h λ i

K v h 1,

(

) h h v q q , i i

∑

= 1

−

h λ i

K v h 2,

(

) h h v q q , i i

∑ * e

= 1

Töø ñònh nghóa cuûa toaùn töû xaáp xæ

°Moät ñieàu haïn cheá cuûa phöông phaùp naøy laø baøi toaùn giaù trò rieâng rôøi raïc khaù

roäng. Ñaëc bieät, khi baøi toaùn laø chænh trong R2, R3, ñoù laø lyù do maø chuùng ta seõ xeùt

baèng phöông phaùp laëp ôû phaàn sau. Tuy nhieân söï coù maët cuûa nhöõng haøm soá muõ

phaân raõ trong heä soá cuûa khai trieån xaáp xæ, chuùng ta coù theå chaët cuït khai trieån. Ta

−

h i T λ

, εθ

, ξ

≤

laáy ε laø moät sai soá cho pheùp, thì ta coù theå boû qua taát caû nhöõng soá haïng sao cho

h f q , i

(

)

t * T

θ ξ α ξ +

. (24)

i raát khoù

Söï coù maët cuûa soá θ laøm cho vieäc tính toaùn chi tieát cuûa phaàn bò chaën λh

khaên. Tuy nhieân,

≤

1 θ≤ ≤ thì

h f q , i

(

)

(

)

θξ + α ξ

1 ξ 2 + α ξ

1 2

Neáu .

log

≥

−

2 α ε 4

Ñeå coù (24) ta caàn coù ñieàu kieän laø

h λ i

h f ,q i

(

)

(

)

2 T

1 αε 2

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

≤

h f ,q i

(

)

(

)

1 ξ 2 α ξ +

1 2

εξ ⇔ −

ξ εα +

≥

h f ,q i

(

)

−

2 αε 4

h f ,q i

(

)

1 ⇔ ≤ ξ 2

( ε 2

−

Thaät vaäy

2 4 αε

h f q , i

(

)

) 2

h λ i 2

( 2 ε

−

2 αε 4

h f ,q i

(

)

log

⇔

≤

h − λ i 2

ε 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

ε 2

log

h ⇔ ≥ λ i

2 T

−

2 αε 4

h f ,q i

(

)

−

2 αε 4

h λ ⇔ ≥ i

h f ,q i

(

)

2 T

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ h log f ,q ⎜ i ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠

≤

Neáu θ≤ ≤ 0

thì

h f q , i

(

)

(

)

θ ξ α

θ ξ α ξ +

1 2

Töông töï, ñeå coù (22) ta caàn coù ñieàu kieän laø

− − e ⇔ ≤

(

log

≥

h λ i

)h f ,q i αε

1 t *

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Coù leõ kyõ thuaät laëp toát nhaát ñeå söû duïng cho vieäc giaûi (6) laø phöông phaùp

CG, noù cho ta toác ñoä hoäi tuï nhanh ñoái vôùi baøi toaùn cuûa chuùng ta.

Ñeå thaáy roõ ñieàu naøy, luaän vaên chuùng toâi döïa vaøo keát quaû cuûa Winther

]17 . Taùc giaû Winther nghieân cöùu vieäc tìm nghòch ñaûo cuûa toaùn töû I + B, ôû ñaây B [

laø compaéc. Thay ñoåi moät ít chuùng ta thu ñöôïc phöông phaùp giaûi cho baøi toaùn

cuûa ta vôùi caùc toaùn töû laø

laø compaéc.

1α +I K ,

Moät caùch toång quaùt, phöông phaùp CG laø phöông phaùp laëp cuûa phöông

trình toaùn töû A

4.2. Xấp xỉ số qua lặp conjugate gradient (gọi tắt CG)

fφ= laø ñöôïc cho bôûi

a s n n

a n

(

)

r n As s , n n

(25)

a As n n

+ =

+ 1

= − r n

s n

r n

b s n n

b n

+ 1

r n + 1 r n

= + =

≥

= −

0 f Aφ

, ta coù moät tính chaát toái öu cuûa Phöông phaùp

Vôùi n

s 0, 0

r 0

thì

}nψ xaáp xæ khaùc cuûa φ sinh bôûi (25) vôùi ψ φ=00

−

≤

−

n ≥,

0 .

(26)

)

CG laø neáu coù moät daõy { ( ( n A φ φ φ φ ,

)

( ( n A φ ψ φ ψ ,

)

Baây giôø ta chöùng minh moät keát quaû quan troïng sau

⎧ ⎪ n φ φ+ 1 = ⎪ ⎪ r ⎨ n ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

trò rieâng

≤

(27)

≤ ≤ ...

β β β 1

max

min

Thì öôùc löôïng sai soá trong pheùp laëp CG (25) ñöôïc xaùc ñònh bôûi

Ñònh lyù 4.2. Neáu A =I + B vôùi B compaéc, xaùc ñònh döông, töï lieân hôïp vaø caùc giaù

(28)

n φ φ −

≤

φ 0 −

φ ,

(

)

ôû ñaây

1 n

max

(29)

c n

β β

+ +

β i +

1 1

∏ β= 1 i

min

⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎛ = ⎢⎜ ⎝ ⎣

⎤ ⎥ . ⎦

φ φ0 =

(30)

+ (cid:4) nP

A r , ( ) 0

− 1

Chöùng minh. Từ (25) ta viết lại

f A

= −

0 φ

vaø

−

(cid:4) 1nP laø ña thöùc cuûa A coù baäc cao nhaát laø n-1.

( 0 φ φ −

)

Neân ta coù

φ φ0 =

(31)

nP B r . ( )

− 1

ở đây

laø ña thöùc cuûa B coù baäc cao nhaát laø n - 1. Söï toái öu cuûa CG laø quan

−1nP

taâm tôùi vieäc löïa choïn ña thöùc thích hôïp, ñeå coù ñieàu naøy ta ñònh nghóa

n 0 ψ ψ =

0 ψ

φ0 ,

(32)

nQ B r

( ) , 0

− 1

Ñoái vôùi ña thöùc

coù baäc cao nhaát laø n - 1, ta ñònh nghóa

−1nQ

(33)

) 1

( = − + 1

(cid:4) β Q ( n

βQ ( ) −

) β 1

thoaû maõn

(34)

β ) (

(cid:4) Q n

β β − +∏ i β1 1 = i

Do ñoù

A φ

−

n A ψ

) ( n − φ ψ

f Ay -

Q B r ) (n -1 0

( f A f

)

ở đây

f Af -

( )

)

(

)

I B Q B r (n -1 0

AQ B r ( ) n -1 0 r AQ B r ( ) n 0 0 -1 ( ) I AQ B r n -1 0 (

)

(33) =

(cid:4) nQ B r ( )

Vaø töø caùc giaû thieát cuûa A ta coù

•

= + βmax

(A coù caùc giaù trò rieâng laø 1+βi ),

-1

•

(A-1 coù caùc giaù trò rieâng laø

1 + β

min

1 + β i

(

)

•

≤

≤ + 1

min

max

x Ax , 2

) ( x Ax , ( ) x x ,

Neân ta coù

≤

( 1

) β φ φ

min

)

≤

(do (26))

)

( ( n -A φ φ φ φ , ( ( n -A φ ψ φ ψ ,

)

− 1 A A

≤

( n φψ -

)

( n φψ -

)

(

)

−

≤

( n φψ -

)

−

(cid:4) A Q B

≤

(

)

r 0

−

(cid:4) A Q B

≤

0 φ φ −

(

)

Vaäy

max

0 φ φ−

(35)

n φ φ -

)

(cid:4) ( nQ B

β β

min

⎛ + 1 ≤ ⎜ +⎝ 1

⎞ ⎟ ⎠

Vaán ñeà coøn laïi chæ laø chaën

) 2

nQ B(cid:4) (

Ta coù

)

(cid:4) ( Q B n

(cid:4) Q B v ( ) 2

sup v ≠ 0

∞

)

(cid:4) β 2 Q ( n

2 v k

∑

= 1

∞

sup v ≠ 0

2 v k

∑

= 1

∞

2 v k

∑∏

= 1

⎞ ⎟ ⎠

− β β i k + β 1 i ∞

sup v ≠ 0

2 v k

⎛ ⎜ ⎝ ∑

= 1

∞

2 v k

∑ ∏

k n

= + 1

= 1

− β β i k + β 1 i

⎞ ⎟ ⎠

∞

sup v ≠ 0

2 v k

⎛ ⎜ ⎝ ∑

= 1

∞

2 v k

∑∏

β i +

= 1

⎞ ⎟ ⎠

≤

k ∀ ≥

≤

n 1

(do 0

+ )

sup v ≠ 0

β i +

β β − i k β + 1 i

β i

2 v k

⎛ ⎜ β ⎝ i ∞ ∑

= 1

∞

2 v k

∑

≤

k n = + 1 ∞

∏

sup v ≠ 0

β i +

= 1

β i

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2 v k

∑

= 1

≤

(36)

β i +

⎛ ∏ ⎜ β= ⎝ 1 i

⎞ ⎟ . ⎠

Töø (35), (36) ta thu ñöôïc

max

≤

−

2 0 φ .

n φ φ -

β β

+ +

β i +

1 1

min

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ∏ ⎜ β= ⎝ 1 i

⎞ ⎟ ⎠

neân

≤

0 − φ φ

n φ φ -

(

)

vôùi

1 n

max

.(cid:0)

c n

β β

+ +

β i +

1 1

min

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ∏ ⎜ β= ⎝ 1 i

⎞ ⎟ ⎠

⎡ = ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

β α − 1 −= e

λ ≥iT

Trong luaän vaên naøy ta coù

ôû ñaây

1α−=BK

Neân

1 n

−

1 e

− α

∏

= 1

⎡ ( +⎢ 1 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

. c n 1 T λ α e i 1

→∞⎯⎯⎯→ .

roõ raøng

Ñeå öùng duïng phöông phaùp CG cho baøi toaùn, chuùng ta xaây döïng xaáp xæ

höõu haïn cho toaùn töû compaéc . 1K

Öôùc löôïng sai soá trong phöông phaùp laëp CG cuûa baøi toaùn ñöôïc ñieàu chænh

1α +I K ,

≤

h c n

n − φ φ ,h α

− 0 φ φ ,h α

(

laø compaéc, laø ñöôïc ñieàu chænh bôûi bôûi

,hαφ laø xaáp xæ cuûa

,hαφ ñöôïc ñònh nghóa muïc 4.1,

,hαφ thoaû (25). Toác ñoä hoäi tuï ñònh bôûi

1 n

−

1 − e α

ôû ñaây chæ soá laëp laø chæ soá treân,

h c n

( 1

)1 ∏h

1 =

1 h λ e α k

⎛ ⎜ 1 +⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

λh

k laø giaù trò rieâng thöù k cuûa xaáp xæ trong daïng cuûa

Ôû ñaây

→∞⎯⎯⎯→k

. 1K

h n

thì raát nhanh, thaäm chí soá α raát nhoû. Ta thaáy ngay khi λ →∞⎯⎯⎯→∞

Ñieàu naøy cho ta thaáy söï hoäi tuï pheùp laëp raát nhanh veà 0.

4.3. Ñaùnh giaù sai soá

Ñeå taïo ñieàu kieän cho vieäc ñaùnh giaù sai soá, tröôùc tieân ta nhaéc laïi moät soá

tính chaát sau.

(cid:88) Khoâng gian con xaáp xæ

2 L

Ta giaû söû raèng nghieäm xaáp xæ laø moät phaàn töû cuûa khoâng gian con

(

) Ω ⊂

(

)

sao cho

∀ ∈ ψ

≤

Ch ψr

vôùi tính chaát,

(

)

(

)

- ψ ψ I

Ω ∃ ∈ ψ I

0 ≤ ≤r

, (37)

[ ]2 .

vôùi , ñaây laø moät keát quaû cô baûn cuûa xaáp xæ caùc phaàn töû höõu haïn

2 ψ≤ Ch

Trong tröôøng hôïp coå ñieån caùc xaáp xæ tuyeán tính töøng maåu ta coù keát quaû laø

-ψ ψ I

Iψ laø hình chieáu tröïc

Ta cuõng ñeå yù moãi caùch choïn (coù nhieàu caùch choïn)

hPψ trong

ñònh nghóa bôûi giao

( V Ω

)

= ∀ ∈ h v h

. (38) ( P v , ψ ψ− h h

(cid:89) Toaùn töû xaáp xæ

,hK K

ÔÛ ñaây ta giaû söû raèng caùc toaùn töû xaáp xæ laø chính xaùc trong nghóa laø

q >

K K v C h v

1, 2

≤

−

toàn taïi 2 haèng soá döông sao cho

i h

(

, vôùi . (39)

(cid:90) Tính trôn cuûa döõ lieäu ban ñaàu

Mγ sao cho

∞

γλ i

≤

Ta noùi döõ lieäu f laø pre-diffused bôûi γ neáu toàn taïi moät haèng soá

22 b e i

2 M , γ

∑

1 =

(40)

(0) ≤

ôû ñaây laø caùc heä soá cuûa f trong khai trieån theo cô sôû cuûa caùc haøm rieâng.

löu yù : neáu thì f laø pre-diffused bôûi T.

Ñeå keát thuùc luaän vaên naøy ta chöùng minh ñònh lyù sau.

,hαφ laø nghieäm xaáp xæ cuûa nghieäm chænh hoaù

−

t λ * i

∞

Ñònh lyù 4.3. Laáy

(

) f q q , i i

φ α

−

∑

T λ i

1 =

⎛ e ⎜ +⎝ α

⎞ ⎟ ⎠

(

)

0C >

2γ ≤

ñaõ tính toaùn theo kyõ thuaät xaáp xæ theo giaù trò rieâng (muïc 4.1)

Ω thì toàn taïi moät haèng soá

rHαφ ∈

−T t vaø ∗

Neáu (cid:88),(cid:89),(cid:90) ñuùng, vôùi sao

≤

θ C M h α

cho

φ α

− φ φ , α

φ α

m h , h α

(

)

(

≤

t ∗+ − T

e h

m , α

e h

1 K e 2 1, h h

e h

P − φ φ , h α

ô ûñaây,

≤

−

Chöùng minh. Ta coù baát ñaúng thöùc tam giaùc

h .

− φ φ , α

+ φ φ φ φ , α

2γ ≤

≤

−T t ta coù:

(41)

∗

t ∗+ − T

, töø ñònh lyù 3.2.1 ° Moãi γ thoõa

∞

1 2

2(1

iT ) θ λ +

θα

ta coù

αφ φ−

2 b e i

∑

1 =

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

≤ (42)

∞

1 2

2(1

)

iT ) + θ λ

2 γλ i

t γ λ i ∗

maø

2 b e i

∑

1 =

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ = ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ≥ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

−

≤ M .

, ñaët . =

θ φ φ α α

(43) neân töø (42) ta coù:

K 1

K f 2

K h f

K 1,

( (

) I α φ α ) I α φ , α

°Ta coù

Neân

−

)

( =

f K K K 1 K 1,

( −

−

α I

(

)

φ , α

) I α φ , α φ K 1 α

α φ v h α

( (

) I α φ α )(

+ )

−

I α

(

)

K 1,

v h

h h

φ , α

v α φ h α

. K 1, v h K v 1, h h

)(

)

(

)

(

) K v K φ (44)

)

∈

Ωh (

Do ñoù (

v h

e h

P h

P αφ= h

αφ φ −

−

(

)

K 1,

K 1

P α φ φ α α h

( K P φ φ − 1, α h h

Laáy vaø ñònh nghóa

) I e h

(

) φ α

Khi ñoù (44) ñöôïc vieát laïi ) (

(45)

−

)

f e , h

e h

( α φ α

P φ α h

( φ α

P φ− α h

(

) I e e h h

(

)

(

)

(

)

(

)

Laáy tích voâ höôùng 2 veá cuûa (45) vôùi ta coù

−h

e h

(

) ,αφ

(

)

. ( 46)

Töø (cid:89) ta coù

−

≤

K K K K f , C h 2 f e , h f e h e h

≤

−

≤

φ α

( (

) ) αφ

( (

) ) φ α

( (

) )

, . K 1, K 1 K K − 1, C h 1 e h e h e h

hP αφ ta coù

Töø (cid:88) ñònh nghóa

)ΩhV (

)

∈he

P φ− h

e =0 (do h

( α φ α

)

K 1,

he =0 (do

1,hK

( φ α

P φ− h α

(

)

vaø töï lieân hôïp).

neân töø (46) ta coù

≤

K 1,

q C h e h

φ α

(

) I e e h h

(

)

(

)

(47)

( α

)

K e e h h h

e e, h

(

) I e e h h

(

)

(

)

1 2

≥

+α

e h

h hK e

1 K e 2 h h

≥

Maët khaùc

e h

⎛ ⎜ ⎜ +α ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

. (48)

1 K e 2 h h

≤

Töø (47) vaø (48) ta coù

e h

q C h e h

αφ

(

)

e h

⎛ ⎜ ⎜ +α ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

q C h e h

C h 3

φ α

(

)

(

)

≤

neân

P h

αφ φ−

1 K e 2 h

e h

+ α

e h

= he

C h m e h

,α

αφ

(

)

e h

Vôùi

m , α

1 2

e h

K eh

Vaäy

− φ φ αα

≤ α

P − φ h α

P − φ φ h α α

≤

C h 4

φ α

q C h m 3 , α

φ α

)

(

∈

−

. (49)

(

)

(

)

v = ∈ h

φ α

P φ h α

(do thoõa (cid:88))

≤

θ C M h α

Töø (41), (43) vaø (49) suy ra toàn taïi haèng soá sao cho

φ φ − , α

φ α

q h m , α

)

0>C (

(

)

. (cid:0)

Nhaän xeùt : Nếu dữ liệu ban ñầu khoâng pre-diffused thì theo ñònh lyù 3.2.2 ta coù

C m

θ α

≤

theå sö

− φ φ , α

q h m , α

φ α

)

, û duïng sai soá chænh hoaù ñeå chaën vaø thöïc hieän vieäc ñaùnh giaù cuoái cuøng laø (

)

(

≤

1 − α

m , α

− h λ N

t *θ= T

Vôùi vaø .

q = =

Ñeå coù toác ñoä hoäi tuï toát hôn vôùi caùc keát quaû ñaõ coù, ta giaû söû söû duïng caùc

1θ= . Ñieàu toát nhaát ta coù theå laøm vôùi

vaø phaàn töû höõu haïn tuyeán tính, laáy

,α α−≤hm

,α hm laø

ñieàu naøy qua kinh nghieäm tính toaùn ñaõ cho ta thaáy söï baûo toaøn.

1 2 − α

≤

Khi ñoù söï ñaùnh giaù laø

− φ φ ,α

φ α

(

)

( αC M h

)

α= sh

sα= h

Ñeå “caân baèng” söï ñoùng goùp cuûa sai soá töø caùc soá haïng phaân hoaïch ta laáy

≤

ñieàu naøy cho s = 1 vaø ñaùnh giaù cuoái cuøng vaø tìm s sao cho

− φ φ , α

φ α

( Ch M

)

Ta thaáy ñaùnh giaù naøy laø ñieàu ñöôïc baûo toaøn trong thöïc teá baøi toaùn coù theå

xaûy ra. Trong tröôøng naøo ñoù söï giaûm moät caùch nhanh choùng hôn ñieàu naøy ñaõ chæ

ra. Tuy nhieân, söï ñaùnh giaù naøy thöïc söï ñaõ chæ ra tính trôn cuûa döõ lieäu ban ñaàu

huùng ñöôïc ñieàu chænh bôûi kích côõ cuûa γ) coù theå aûnh taêng nhö theá naøo (khi maø c

θ 1 θ+

höôûng tôùi söï ñaùnh giaù sai soá. Söï sai soá chænh hoaù thoâng thöôøng cuûa daïng θα , ta

⎛ O h ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

coù ñaùnh giaù cuoái cuøng laø: .

Caùc kết quả trình baøy trong luận văn naøy khoâng mới, tất cả đều được phaùt

biểu vaø chứng minh hoaëc ñònh höôùng trong một số taøi liệu tham khảo. Ñieàu maø

luaän vaên ñaõ thöïc hieän ñöôïc laø trình baøy vaø chöùng minh moät caùch chi tieát hôn,

ñoàng thôøi ñaõ vaän duïng moät soá keát quaû ôû moät soá taøi lieäu tham khaûo vôùi söï giuùp ñôõ

gôïi yù cuûa thầy hướng dẫn cuõng coù moät keát quaû môùi veà heä soá cuûa toác ñoä hoäi tuï

(ñònh lyù 4.2).

Qua luaän vaên naøy, baûn thaân toâi môùi hieåu kyõ nhöõng kieán thöùc maø ñöôïc quyù

thaày lôùp cao hoïc ñaõ truyeàn thuï trong suoát quaù trình hoïc taäp vaø baét ñaàu tieáp caän

vôùi nghieân cöùu khoa hoïc.

Luận văn coù yù nghóa thöïc tieãn hôn neáu keát hôïp moät soá phaàn meàm öùng duïng

hieän nay nhö Matlab,…. Do thôøi gian coù haïn vaø kieán thöùc veà caùc phaàn meàm naøy

taùc giaû luaän vaên coøn haïn cheá neân luaän vaên chưa ñöa ra öùng duïng thieát thöïc vaø

ñaây cuõng laø haïn cheá cuûa luaän vaên. Höôùng phaùt trieån cuûa luaän vaên laø nghieân cöùu

caùc phöông phaùp trong luaän vaên cho baøi toaùn nhieät khoâng thuaàn nhaát vaø nghieân

cöùu caùc phaàn meàm toaùn hoïc ñeå giaûi quyeát moät soá lónh vöïc öùng duïng trong thöïc

teá cuoäc soáng.

(cid:88)(cid:85)(cid:87)

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO

1. Ames, K. A., Clark, G ., Epperson, J. F., Oppenheimer, S.F .(1998), “ A comparison

Of regularizations for an ill-posed problem”, Mathematics of computation, vol

67, no. 224, pp. 1451-1471.

2. Brenner, S. C., Scott, R.S. (1994), The Mathematical Theory of Finite Element

Methods, Springer-Verlag, New York.

3. Clark, G., Oppenheimer, S.F. (1994), “Quasireversibility Methods for Non-Well-

Posed Problems”, Elect. J. Diff. Eqns.

4. Denche, M., Bessila, K. (2005), “A modified quasi-boundary value method for ill-

posed problems”, J. Math. Anal. Appl, vol. 301 , pp. 419-426.

5. Gajewski, H., Zaccharias, K. (1972), “ Zur Regularisierung einer Klass

nichtkorrekter Probleme bei Evolutiongleichungen”, J. Math. Anal. Appl. No 38,

pp. 784-789.

6. Huang, Y., Zheng. (2004), “Regularization for ill-posed Cauchy problems associated

With generators of analytic semigroups”, J. Differential Equations, No. 1, pp.

38-54.

7. Huang, Y., Quan, Z. (2005), “Regularization for a class of ill-posed Cauchy

problems”, Proc.Amer.Math.Soc., Vol. 133, pp. 3005-3012.

8. Kelley, C. T. (1995), “Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations”, SIAM,

Philadelphia.

9. Lattes, R., Lions, J.L. ( 1967), Methode de Quasi-Reversibility et Applications,

Dunod, Paris (English translation Bellman, R. ( 1969), Elsevier, New York) .

10. Lavrentiev, M. M. (1973), “Some Improperly Posed problem of Mathematical

Physics”, Springer Tracts in Natural Phisolophy, vol. 11 , pp. 161-171.

11. Miller, K. (1973), Stabilized quasireversibility and other nearly best possible methods

for non-well-posed problems, Symposium on Non-Well-Posed Problems and

Logarithmic Convexity, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin,

pp. 161-176.

12. Nagel, R., Engel, K. J .(1999), One parameter semigroups for linear evolution

quations, Springer-Verlag, New York.

13. Payne, L. E. (1973), Some general remarks on improperly posed problems for partial

differential equations, Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic

Convexity, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, pp. 1-30.

14. Showalter, R. E. (1974), “The Final Value Problem for Evolution Equations”,

J. Math. Anal. Appl 47, pp 563-572 .

15. Showalter, R. E. (1983), “Cauchy Problem for Hyper-Parabolic Partial Differential

Equations, Trends in the Theory and Practice of Non-Linear Analysis”, Elsevier.

16. Ñaëng Ñöùc Troïng, Nguyeãn Huy Tuaán .(2006), “ Regularization and error estimates

For nonhomogeneous backward heat problems”, J. Differential Equations, vol.

2006, No. 04, pp. 1-10.

17. Winther, R. (1980), “Some Superlinear Convergence Results for the Conjugate

Gradient Method”, SIAM J. Num. Anal., Vol. 17, no. 1, pp. 14-17.

18. Yurchuk, N. I., Alekseeva, M. (1998), “The quasi-reversibility method for the

problem of the control of an initial condition for the heat equation with an

integral boundary condition”, Differential Equations 34 , no. 4, pp. 493-500.

Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian

Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian nêu lên tổng quan bài toán; chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian; một số phương pháp tính số.

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH -------------------------------------- NGUYEÃN PHI PHUÙC PHÖÔNG PHAÙP QUASI-BOUNDARY VALUE VAØ PHAÀN TÖÛ HÖÕU HAÏN AÙP DUÏNG VAØO BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC THÔØI GIAN

Thaønh Phoá Hoà Chí Minh - 2006

MUÏC LUÏC

Chöông 1

PHAÀN TOÅNG QUAN

Chöông 2

KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ VAØ CAÙC KYÙ HIEÄU

Ñònh nghóa 2.3.1.15. Cho {

}

Chöông 3

CAÙC KEÁT QUAÛ CHÆNH HOAÙ

{

}

Chöông 4

MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÍNH SOÁ

)

(

)

(

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi