zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn: Chương 2 - PGS. TS. Lương Văn Hải

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Phương pháp phần tử hữu hạn" Chương 2 - Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Nguyên lý năng lượng và phương pháp biến phân; Các bước phân tích của phương pháp phần tử hữu hạn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn: Chương 2 - PGS. TS. Lương Văn Hải

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH Nội dung: 1. Nguyên Lý Năng Lượng và Phương Pháp Biến Phân 2. Các Bước Phân Tích của Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn 08/01/2024 22:05 53
1. NGUYÊN LÝ NĂNG LƯỢNG & P.PHÁP BIẾN PHÂN 1.1. Đặt Vấn Đề 1.2. Các Khái Niệm: Công, Công Bù, Thế Năng và Thế Năng Bù 1.3. Nguyên Lý Thế Năng Toàn Phần 1.4. Nguyên Lý Thế Năng Bù 1.5. Phương Pháp Biến Phân: Phương Pháp Rayleigh-ritz CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 54
1.1. ĐẶT VẤN ĐỀ (1/1)  Các nguyên lý năng lượng cho một hướng khác để giải bài toán đàn hồi, bằng cách cực tiểu hóa một biểu thức năng lượng nào đó, thay vì giải phương trình vi phân.  Các phương pháp này sử dụng lý thuyết biến phân, một ngành của toán học liên quan đến cực trị của các tích phân (phiếm hàm), nên còn được gọi là các phương pháp biến phân.  Từ đây sẽ trình nguyên lý thế năng toàn phần và nguyên lý thế năng bù toàn phần, làm cơ sở cho các phương pháp biến phân. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 55
1.2. CÁC KHÁI NIỆM: CÔNG, CÔNG BÙ, THẾ NĂNG VÀ THẾ NĂNG BÙ (1/3)  Một thanh chịu kéo bởi lực P và có chuyển vị Δ. Giả sử quan hệ P-Δ và tương ứng là       P W* u* P P   W* u* W u W u  P      Công, công bù của ngoại lực:  W   Pd   diện tích dưới đường cong P   0 P W *   dP  diện tích trên đường cong P   0 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 56
1.2. CÁC KHÁI NIỆM: CÔNG, CÔNG BÙ, THẾ NĂNG VÀ THẾ NĂNG BÙ (2/3)  Thế năng riêng, bù biến dạng đàn hồi:  u    d  = diện tích dưới đường cong    0  u *    d = diện tích trên đường cong    0  Nếu lực P có sự thay đổi P - còn gọi là biến phân của lực thì tương ứng ta sẽ có biến phân của chuyển vị .  Khi ấy ta sẽ có các đại lượng biến phân: - Biến phân của công:  W  P - Biến phân của công bù:  W *   P (còn gọi là công khả dĩ) - Biến phân thế năng riêng:  u   - Biến phân thế năng riêng bù:  u*   CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 57
1.2. CÁC KHÁI NIỆM: CÔNG, CÔNG BÙ, THẾ NĂNG VÀ THẾ NĂNG BÙ (3/3)  Có nhiều lực Pi tương ứng với nhiều chuyển vị i, nhiều thành phần ứng suất ij tương ứng với nhiều biến dạng ij thì:  W   Pi i  W *    i Pi  u   x x   y y  ...   zx zx  u *   x x   y y  ...   zx zx  Thế năng và thế năng bù toàn vật thể: U   udV ; U *   u *dV V V  Nếu đàn hồi tuyến tính thì: u  u * ; U  U * CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 58
1.3. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN (1/3)  Nguyên lý công khả dĩ do Bernoulli phát biểu năm 1717: Nếu một chất điểm cân bằng dưới tác dụng của các lực thì tổng công khả dĩ của các lực trên mọi chuyển vị khả dĩ đều bằng không.  Chuyển vị khả dĩ là chuyển vị vô cùng bé bất kì, phù hợp với liên kết đã cho, không nhất thiết là chuyển vị thực.  Theo toán học, r gọi là biến phân của chuyển vị r, còn  gọi là toán tử biến phân. r thể hiện sự thay đổi khả dĩ (tưởng tượng), còn dr thể hiện sự thay đổi thật.  Về mặt toán học, tác động của toán tử biến phân  giống như toán tử vi phân d. f f f  Ví dụ: f ( x, y, z )  x  y  z; x y z b b df ( x, y, z )  d f ( x, y, z );   f ( x)dx   f ( x)dx a a CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 59
1.3. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN (2/3)  Xét một chất điểm ở trong trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các lực F1, F2, …, Fn  Cho chất điểm một chuyển vị khả dĩ r và gọi các thành phần lực theo phương r lần lượt là F1r, F2r, …, Fnr  n   W  F1r r  F2 r r  ...  Fnr r    Fir   r  i 1   Tổng hình chiếu của các lực theo phương nào cũng bằng không, nên ta có: n  Fir  0   W  0 i 1  Đây là biểu thức nguyên lý công khả dĩ. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 60
1.3. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN (3/3)  Một vật thể đàn hồi có thể coi như một tập hợp của các phân tố VCB. Điều khác nhau giữa một chất điểm tự do và một phân tố trong vật thể đàn hồi là khi mọi điểm của vật thể đó chuyển vị khả dĩ thì một phân tố trong vật thể thường có biến dạng khả dĩ (trừ trường hợp chuyển vị cứng - rigid body displacements) và tương ứng sẽ có sự thay đổi của thế năng biến dạng đàn hồi.  Một trường chuyển vị khả dĩ phải thỏa điều kiện liên tục trong vật thể và điều kiện tương thích trên biên động học.  Điều kiện liên tục được thỏa mãn nếu chọn chuyển vị khả dĩ là hàm liên tục, còn điều kiện tương thích được thỏa mãn nếu chuyển vị trên biên phù hợp với liên kết đã cho. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 61
1.3. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN (CM 1/6)  Trong trường hợp vật thể đàn hồi, biểu thức nguyên lý biến phân của chuyển vị sẽ khác đi. Để đơn giản, ta sẽ chứng minh nguyên lý này cho trường hợp bài toán phẳng của Lý thuyết đàn hồi (bề dày của vật thể bằng đơn vị).  Nhắc lại định lý Green: Nếu P(x,y) và Q(x,y) là các hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng của chúng trong miền kín R thì Q P ( R  )dxdy   Qdy  Pdx x y S trong đó S là biên của miền R và chiều dương lấy tích phân theo đường cong S ngược chiều kim đồng hồ xung quanh miền R. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 62
1.3. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN (CM 2/6)  Đối với bài toán phẳng đàn hồi, ta có các phương trình cân bằng trong vật thể như sau:  x  xy  X 0 x y  xy  y  Y  0 x y  Ngoài ra ta có các điều kiện cân bằng trên biên tĩnh học:  x l   xy m  X  xy l   y m  Y  Khi vật thể có chuyển vị khả dĩ thì các phân tố có biến dạng khả dĩ:      x  u;  y  v;  xy  v  u x x x y CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 63
1.3. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN (CM 3/6)  Tương ứng, thế năng biến dạng đàn hồi của vật thể có sự thay đổi như sau: u v u v U   ( x  y   xy   xy )dxdy R x y y x  Ta thực hiện các biến đổi sau: u u     xy  ( x u )  ( xy u )   xy x   xy  ( x u )  x u  ( xy u )  u  [  ]  u[ x  ] x y x x y y x y x y  Tương tự, ta có: v v  ( xy v)  ( y v  xy  y ) y   xy [  ]  v[  ] y x x y x y  Ta có:  x  xy     U    [u (  )  v( xy  y )]dxdy   [ ( x u   xy v)  ( xy u   y v)]dxdy R x y x y R x y CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 64
1.3. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN (CM 4/6)  Ta có: U   ( X u  Y v)dxdy   [( xy u   y v)dx  ( x u   xy v)dy ] R S   ( X u  Y v)dxdy   [( x udy   xy udx)  ( xy vdy   x udx)] R S dy dx dy dx   ( X u  Y v)dxdy   [( x   xy )u  ( xy   x )v]ds R S ds ds ds ds  Trong đó chỉ thực hiện tích phân trên phần biên tĩnh học St ,vì biến phân của chuyển vị u=v=0 trên biên động học Sn . Do chiều lấy tích phân trên biên ngược chiều kim đồng hồ nên cosine chỉ hướng của phân tố ds được xác định bởi quan hệ: dy dx l  cos   ; m  cos    ds ds CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 65
1.3. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN (CM 5/6)  Thế vào biểu thức của U ở trên, ta thu được: U   ( X u  Y v)dxdy   [( x l   xy m)u  ( xy l   x m)v]ds R St  Dùng đến điều kiện biên tĩnh học ta có: U   ( X u  Y v)dxdy   ( X u  Y v)ds R St  Đối với bài toán ba chiều, việc chứng minh cũng tương tự, nhưng thay vì dùng công thức Green, ta sẽ dùng tới công thức Gauss- Ostrogadski về sự liên hệ giữa tích phân trên thể tích V và trên mặt biên A như sau: P Q R (   )dxdydz   ( P cos   Q cos   R cos  )dA    Pl  Qm  Rn dA V x y z A A Trong đó l, m, n là các cosine chỉ hướng của pháp tuyến ngoài của vi phân diện tích biên dA. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 66
1.3. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN (CM 6/6)  Ta có: U   ( X u  Y v  Z w)dxdydz   ( X u  Y v  Z w)dA V At  Mặt khác vế phải của phương trình là biến phân công W của ngoại lực (lực thể tích và lực bề mặt): W   ( X u  Y v  Z w)dxdydz   ( X u  Y v  Z w)dA V At  Từ đó ta thu được:  U   W   (U  W )  0  Nếu kí hiệu =UW và gọi là thế năng toàn phần của vật thể, thì phương trình trở thành: =0  Đây là biểu thức của nguyên lý thế năng toàn phần, được phát biểu như sau: “trong tất cả các trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện biên, trường chuyển vị thật sẽ thỏa mãn điều kiện cân bằng và làm cho thế năng toàn phần  có giá trị dừng. Nếu sự cân bằng là ổn định thì  có giá trị cực tiểu”. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 67
1.4. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG BÙ (1/1)  Thay vì thay đổi (lấy biến phân) trường chuyển vị từ trạng thái cân bằng, ta có thể thay đổi các thành phần ứng suất. Lúc này, ngoài các phương trình cân bằng, điều kiện tương thích cũng cần được xét tới.  Trong phần sau đây, ta sẽ chứng tỏ rằng, trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn điều kiện cho trước trên biên và điều kiện cân bằng bên trong vật thể, trường ứng suất thỏa mãn các phương trình tương thích sẽ làm cho một biểu thức năng lượng, gọi là năng lượng bù, có giá trị dừng.  Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn điều kiện cân bằng bên trong vật thể và trên biên tĩnh học, trường ứng suất thật (thỏa điều kiện tương thích) sẽ làm cho thế năng bù toàn phần * có giá trị dừng.  Trong trường hợp biến dạng và chuyển vị nhỏ, người ta chứng minh rằng * đạt cực tiểu. Nguyên lý thế năng bù toàn phần dựa trên biến phân của ứng suất nên còn gọi là nguyên lý biến phân của ứng suất. Nguyên lý này chính là cơ sở của công thức Maxwell - Mohr tính chuyển vị của hệ thanh, được trình bày trong các tài liệu Cơ học kết cấu. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 68
1.5. PP. BIẾN PHÂN: PHƯƠNG PHÁP RAYLEIGH-RITZ (1/6)  Giả thiết nghiệm dạng chuỗi thỏa mãn điều kiện biên, với các hệ số cn, n = 1,N  Thế các hàm vào biểu thức thế năng hoặc thế năng bù toàn phần và thực hiện các tích phân cần thiết. Biểu thức thu được là hàm của các hằng số chưa xác định cn. Vì  hoặc * phải cực tiểu ở trạng thái cân bằng, các hằng số này được xác định từ các phương trình:   *  0 hoặc  0 với n  1, N cn cn  Ta sẽ minh họa cách áp dụng của phương pháp Rayleigh-Ritz qua các ví dụ sau đây. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 69
1.5. PP. BIẾN PHÂN: PHƯƠNG PHÁP RAYLEIGH-RITZ (2/6) p Ví dụ 1. Xét bài toán tìm độ võng của một dầm tựa đơn trên hai gối, chịu tải trọng phân bố đều p L Để thỏa mãn điều kiện biên:  M x  d 2 w  dx 2  0 tại x  0 và x  L EI  n x Đường đàn hồi có dạng chuỗi lượng giác: w   cn sin n 1 L trong đó c1 , c2 ... là các tham số cần xác định. Biểu thức thế năng toàn phần có dạng: EI  4 L L   EI d 2 w 2 cn 2 pL   ( dx 2 ) dx   pwdx  4 L3 2 0  n cn   n n n 1 4 2 1,3,5 0 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 70
1.5. PP. BIẾN PHÂN: PHƯƠNG PHÁP RAYLEIGH-RITZ (3/6) Cực tiểu hóa  đối với c n ta thu được: EI  4 4 2 pL 1 2n cn   0 đối với n lẻ 4L 3  n EI  4 4 đối với n chẵn 3 2n cn  0 4L 4 pL4 1 Từ đó ta có: cn  a đối với n lẻ EI  n 5 5 cn  0 đối với n chẵn Cuối cùng, phương trình đường đàn hồi: 4 pL4  1 n x w EI  5  n 1,3,5 n 5 sin L CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 71
1.5. PP. BIẾN PHÂN: PHƯƠNG PHÁP RAYLEIGH-RITZ (4/6) Chuỗi này hội tụ nhanh đến nghiệm chính xác của bài toán. Độ võng lớn nhất ở giữa nhịp, ứng với x  L / 2 : 4 pL4 1 1 w (1  5  5  ) EI  5 3 5 pL4 Nếu chỉ lấy số hạng đầu tiên của chuỗi: wmax  76, 6 EI 5 pL4 pL4 So với giá trị chính xác: wmax   384 EI 76,8EI thì sai số tương đối rất nhỏ, chỉ 0,26%. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ CỦA PP. PTHH 72

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2437 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.