intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đàn hồi ứng dụng và phần tử hữu hạn: Chương 8 - PGS. TS. Lương Văn Hải

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đàn hồi ứng dụng và phần tử hữu hạn" Chương 8 - Lý thuyết uốn tấm mỏng, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Khái niệm và giả thiết; Phương trình vi phân của tấm chịu uốn; Điều kiện biên; Tấm chữ nhật tựa đơn 4 cạnh – nghiệm Navier; Tấm chữ nhật tựa đơn 4 cạnh – nghiệm Lévy và Nádai; Bài toán đối xứng trục của tấm tròn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đàn hồi ứng dụng và phần tử hữu hạn: Chương 8 - PGS. TS. Lương Văn Hải

  1. CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT UỐN TẤM MỎNG 8.1. Khái niệm và giả thiết 8.2. Phương trình vi phân của tấm chịu uốn 8.3. Điều kiện biên 8.4. Tấm chữ nhật tựa đơn 4 cạnh – nghiệm Navier 8.5. Tấm chữ nhật tựa đơn 4 cạnh – nghiệm Lévy và Nádai 8.6. Bài toán đối xứng trục của tấm tròn 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 210
  2. 8.1. KHÁI NIỆM VÀ GIẢ THIẾT 1. Khái niệm Tấm là vật thể hình dạng phẳng có bề dày h nhỏ so với hai phương còn lại. Khi h / l  1/ 5 , thì tấm được coi là mỏng. Nếu tấm có bề dày lớn hơn thì trở thành tấm dày, hoặc bài toán đàn hồi không gian. Mặt giữa là mặt phẳng chia đôi bề dày tấm và cũng còn gọi là mặt trung bình. Khái niệm mặt giữa đối với tấm tương tự như khái niệm trục thanh trong SBVL. 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 211
  3. 8.1. KHÁI NIỆM VÀ GIẢ THIẾT 2. Giả thiết Để giảm bớt sự phức tạp nhưng vẫn đảm bảo sự chính xác cần thiết, giả thiết như sau: 1- Pháp tuyến thẳng và vuông góc với mặt giữa. Bỏ qua biến dạng theo phương pháp tuyến, tức là coi  z  0 . (Kirchoff). 2- Ứng suất pháp  z nhỏ so với các thành phần khác và có thể bỏ qua. 3- Mặt giữa không co giãn khi tấm chịu uốn. Giả thiết này tương tự như trục thanh chịu uốn không co giãn trong SBVL. 4- Biến dạng và độ võng của tấm là bé. 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 212
  4. 8.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA TẤM CHỊU UỐN 1. Phương trình hình học Vì góc xoay α bé nên: w u   z   ztg   z x Tương tự chuyển vị của B’ w theo hướng y: v   z y Các thành phần biến dạng theo Cauchy: u v u v  x  ;  y  ;  xy   x y y x 2w 2w 2w  x   z 2 ;  y   z 2 ;  xy  2 z x y xy 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 213
  5. 8.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA TẤM CHỊU UỐN 2. Phương trình vật liệu Theo giả thiết 2, ta có  z  0 . Định luật Hooke tổng quát trở thành: 1 1 1  x  ( x   y );  y  ( y   x );  xy   xy E E G Thế vào ta được: Ez  2 w 2w x   ( 2  2 ) 1   x 2 y Ez  2 w 2w y   ( 2  2 ) 1   y 2 x Ez  2 w  xy   1   xy 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 214
  6. 8.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA TẤM CHỊU UỐN Các nội lực phân bố trên đơn vị chiều dài được định nghĩa như dưới đây: h /2 h /2 Ez  2 w 2w Mômen uốn M x : M x    x zdz    ( 2   2 ) zdz  h /2  h /2 1   x 2 y w là độ võng mặt giữa không phụ thuộc z: h/2 E 2w 2w 2w 2w Mx   ( 2   2 )  z 2 dz   D ( 2   2 ) 1   2 x y  h / 2 x y Với D  Eh3 gọi là độ cứng uốn trụ. 12(1   ) 2 h /2 2w 2w Mômen uốn M y : M y    y zdz  D( 2   2 )  h /2 y x 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 215
  7. 8.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA TẤM CHỊU UỐN h /2 Mômen xoắn M xy , M yx : M xy  M yx 2w     xy zdz  D(1   )  h /2 xy h /2 h /2 Lực cắt Qx , Qy : Qx    h /2 xz dz , Qy    h /2 yz dz Mx Mxy My Myx x Qx Qy xz xy y yz yx 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 216
  8. 8.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA TẤM CHỊU UỐN 3. Phương trình cân bằng Có ba phương trình cân bằng: phương trình cân bằng lực phương đứng: z = 0; mômen với trục x: M x  0 ; mômen với trục y: M y  0 Các phương trình cân bằng lần lượt là: Qx Qy   p0 x y M xy M y   Qy  0 x y M yx M x   Qx  0 y x 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 217
  9. 8.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA TẤM CHỊU UỐN Suy ra: M x M yx  2w 2w  2w Qx     [ D ( 2   2 )]  [ D (1   ) ] x y x x y y xy M y M xy  2w 2w  2w Qy     [ D ( 2   2 )]  [ D (1   ) ] y x y y x x xy Với tấm có bề dày không đổi h = const thì D = const, ta có:  2w 2w  2w 2w Qx   D ( 2  2 ) , Qy   D ( 2  2 ) x x y y x y Phương trình 4w 4w 4w p p 2 2 2  4  hay 4 w  vi phân mặt võng: x 4 x y y D D Phương trình chủ đạo thỏa mãn cả các phương trình hình học, vật liệu và cân bằng. 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 218
  10. 8.3. ĐIỀU KIỆN BIÊN 1. Cạnh tựa đơn Chuyển vị đứng và mô men uốn dọc theo cạnh tấm tựa đơn bằng 0. Tại x = a có: 2w 2w w = 0 và M x   D( 2   2 )  0 x y w 2w Vì w = 0 dọc theo x = a, tức  0 hay 0 y y 2 2w Do đó điều kiện biên trở thành: 2  0 x 2. Cạnh ngàm w Tại x = a: w = 0 và 0 x 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 219
  11. 8.3. ĐIỀU KIỆN BIÊN 3. Cạnh tự do Tại x = a: M x  0; M xy  0; Qx  0 Đây là các điều kiện biên tĩnh học (lực), chỉ cần hai điều kiện trên đủ để xác định w. Phân tố, mô men xoắn Mxydy. Thay bởi hai lực đứng Mxy khoảng cách dy. Trên phân tố tiếp theo, M xy mô men xoắn ( M xy  dy )dy y M xy cặp lực có trị số ( M xy  dy ) y 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 220
  12. 8.3. ĐIỀU KIỆN BIÊN M xy Tại A có hợp lực ( dy ) chiều hướng lên. y Nếu kết hợp lực cắt Qx và mô men xoắn M xy thành một lực đứng, có M xy điều kiện biên: Vx  (Qx  )0 y  w  w 2 2 3w 3w Theo w, ta có: ( 2   2 ) x  a  0;( 3  (2   ) ) 0 2 xa x y x xy Nếu tấm tựa đơn trên các cạnh thì lực đứng chính là phản lực tác dụng lên biên. Tại góc tấm, lực tập trung do mô men xoắn trên hai cạnh truyền xuống là: R  2 M xy .Khi tấm bị võng, góc tấm có khuynh hướng chuyển vị lên trên, lực tập trung này có tác dụng đảm bảo điều kiện chuyển vị đứng bằng 0. 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 221
  13. 8.4. TẤM CHỮ NHẬT - NGHIỆM NAVIER y Tải trọng vuông góc mặt tấm p=p(x,y). Mặt b võng phải thỏa mãn phương trình: 4w 4w  4 w p ( x, y ) 2 2 2  4  x 4 x y y D với các điều kiện biên: O a x 2w w  0; 2  0 tại x  0, x  a x 2w w  0; 2  0 tại y  0, y  b y Hàm độ võng chọn theo chuỗi Fourier thỏa các điều kiện biên như   m x n y sau: w   Amn sin sin m 1 n 1 a b 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 222
  14. 8.4. TẤM CHỮ NHẬT - NGHIỆM NAVIER m x  n y Khai triển p(x,y) chuỗi Fourier: w   Amn sin sin m 1 n 1 a b m ' x n ' y Nhân hai vế sin sin và tích phân: a b m ' x n ' y m x m ' x n y n ' y a b   a b   p( x, y) sin a sin b dxdy   0 0 m 1 n 1   amn sin 0 0 a sin a sin b sin b dxdy 0; m  m ' b 0; n  n ' Chú ý rằng:  sin m x sin m '  x dx   a n y ny a /   ;  sin sin dy   b 0 a a 2 ; m  m' 0  b b 2 ; n  n'  m x n y a b 4 Suy ra: amn   ab 0 0 p( x, y )sin a sin b dxdy Xác định Amn :   m 4 m 2 n 2 n 4 amn m x n y { Amn [( m 1 n 1 a )  2( a ) ( )  ( ) ] b b D }sin a sin b 0 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 223
  15. 8.4. TẤM CHỮ NHẬT - NGHIỆM NAVIER Vì phải đúng với mọi x, y nên: m 2 n 2 2 amn 1 amn Amn ( 2  2 )  4  0 hay Amn  4 a b D  D m2 n2 (  )2 Do đó: a2 b 2 1   amn m x n y w( x, y )  4  2 sin sin  D m 1 n 1 m n 2 2 a b ( 2  2) a b Trường hợp đặc biệt p(x,y) = p, ta có: 16 p amn  2 với m, n lẻ (đối xứng)  mn amn  0 với m, n chẵn (phản xứng) 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 224
  16. 8.4. TẤM CHỮ NHẬT - NGHIỆM NAVIER Phương trình mặt võng: 16 p   1 m x n y w 6   sin sin  D m 1,3,5 n 1,3,5 m 2 2 n 2 a b mn( 2  2 ) a b Độ võng tại giữa tấm: mn 1 a b 16 p   (1) 2 wmax ( , )  6  2 2  D m 1,3,5  m2 n2 2 n 1,3,5 mn( 2  2 ) a b Chuỗi hội tụ rất nhanh. Với  = 0,3, tấm vuông, giữ 4 số hạng đầu ta có: a4 wmax  0, 0443 p 3 Eh 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 225
  17. 8.4. TẤM CHỮ NHẬT - NGHIỆM NAVIER Biểu thức của mômen uốn: m2 n2 ( 2  2) 16 p   a b m x n y Mx  4  m 1,3,5  n 1,3,5 m2 n2 2 sin a sin b mn( 2  2 ) a b Mômen uốn lớn nhất giữa tấm. q = pa Với   0.3 , tấm vuông a=b, giữ lại 5 số hạng đầu: qa2/8 a b a b Mmax  M x ( , )  M y ( , )  0, 0479 pa2 a 2 2 2 2 Biểu thức của mômen uốn: qa2 qa pa2 Mmax(dầm)     0,125 pa2  2, 61 max (tấm) M 8a 8 8 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 226
  18. 8.5. TẤM CHỮ NHẬT - NGHIỆM LEVY VÀ NADAI  m x Levy chọn nghiệm dạng: w   Ym sin m 1 a Ym = Ym(y) là hàm chỉ phụ thuộc biến y và phải thỏa điều kiện biên y = b/2 và:  4 w  p p D Nadai (1915) chọn Nghiệm hội tụ w1 a nhanh hơn: w  w1  w2 p trong đó: w1  ( x 4  2ax 3  a 3 x ) là độ võng của dải // Ox 24 D w1 nghiệm riêng không thuần nhất của  4 w  p D w2 nghiệm thuần nhất, thỏa:  4 w2  0 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 227
  19. 8.5. TẤM CHỮ NHẬT - NGHIỆM LEVY VÀ NADAI m 2 2 / / m4 4 Ta có: Ym  2 2 Ym  4 Ym  0 IV a a Giải phương trình ta có nghiệm: pa 4 m y m y m y m y m y m y Ym  ( Am cosh  Bm sinh  Cm sinh  Dm cosh ) D a a a a a a Vì mặt võng đối xứng với trục x, nên Cm  Dm  0 .Vậy mặt võng w có phương trình: p 4  pa m y m y m y m x w 24D ( x4  2ax3  a3 x)  D  ( Am cosh m1 a  Bm a sinh a )sin a 2w Các hằng số Am và Bm từ điều kiện biên: w  0; 2  0 y trên cạnh y   b . Khai triển w1 theo chuỗi: 2 p 4 pa 4  1 m x w1  24 D ( x  2ax  a x)  5 4 3  m5 sin a 3  D m 1,3,5 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 228
  20. 8.5. TẤM CHỮ NHẬT - NGHIỆM LEVY VÀ NADAI Các phương trình xác định Am và Bm : 4  Am cosh  m   m Bm sinh  m  0  m5 5 ( Am  2 Bm ) cosh  m   m Bm sinh  m  0 2( m tanh  m  2) 2 Từ đó tìm được: Am   ; Bm  5 5  5 m5 cosh  m  m cosh  m Phương trình mặt võng: 4 pa 4  1  tanh  m  2 2 y m 2y 2 y m x w 5  D  5 m 1,3,5 m (1  m 2 cosh  m cosh m  b 2 cosh  m b sinh m ) sin b a Độ võng giữa tấm (x = a/2, y = 0): mb m 1  m 4 pa 4  ( 1)2  m tanh  m  2 2a w 5  D  m5 m 1,3,5 (1  2 cosh  m ) 08/01/2024 22:08 TS. Lương Văn Hải 229
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2437 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2