Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi: Chương 7 - PGS. TS. Trần Minh Tú

Chia sẻ: Nnmm Nnmm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

249
lượt xem 54
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 7 cung cấp những kiến thức về bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc. Chương này gồm có 3 nội dung chính, đó là: Bài toán ứng suất phẳng, bài toán biến dạng phẳng, giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt những nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi: Chương 7 - PGS. TS. Trần Minh Tú

®¹i häc CƠ CƠ SỞ SỞ CƠ CƠ HỌC HỌC MÔI MÔI TRƯỜNG TRƯỜNG LIÊN LIÊN TỤC TỤC VÀ VÀ LÝ LÝ THUYÊT THUYÊT ĐÀN ĐÀN HỒI HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 1(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
Chương 7 Bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 2(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
NỘI DUNG 7.1. 7.1.Bài Bàitoán toánứng ứngsuất suấtphẳng phẳng 7.2. 7.2.Bài Bàitoán toánbiến biếndạng dạngphẳng phẳng 7.3. 7.3.Giải Giảibài bàitoán toánphẳng phẳngtheo theoứng ứngsuất suất--Hàm Hàmứng ứngsuất suấtAiry Airy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 3(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
Mở đầu Bài toán không gian: là bài toán tổng quát, các đại lượng tính toán như ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biến số trong toạ độ không gian ba chiều. Bài toán phẳng: Các đại lượng cần xác định chỉ phụ thuộc vào hai trong ba biến số toạ độ. Loại bài toán này chia làm hai nhóm: bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng. Bài toán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên ứng suất trong một mặt phẳng. Chẳng hạn tấm tường mỏng chịu lực phân bố đều trên chiều dày tấm và song song với mặt trung bình. Bài toán biến dạng phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng trong một mặt phẳng. Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm chịu tải trọng không đổi theo chiều dài thuộc lớp bài toán này. Để thuận tiện khi sử dụng đối với bài toán phẳng ta kí hiệu hệ trục trong mặt phẳng trung bình tấm là x, y thay cho x1, x2 và trục vuông góc với mặt trung bình theo phương chiều dày tấm là z. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 4(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7.1. Bài toán ứng suất phẳng 7.1. 7.1.Bài Bàitoán toánứng ứngsuất suấtphẳng phẳng Giả thiết: - Tải trọng nằm trong mặt phẳng tấm (xy) - Chiều dày tấm là bé so với các kích thước còn lại (h
7.1. Bài toán ứng suất phẳng 1. Đặc điểm: Giả thiết: σ zx = σ zy = σ zz = 0 (mặt trên và dưới không có tải trọng)=> γ zx = γ zy = 0 Các ẩn số ứng suất: σ xx ; σ yy ; σ xy Các ẩn số biến dạng: ε xx ; ε yy ; ε xy ⎛ μ ⎞ ⎣ ( xx yy ) ⎦ 1 ε ⎜ zz = − ⎡ μ σ + σ ⎤ = ⎡ε + ε ⎤ ≠ 0 ⎟ 1− μ ⎣ xx yy ⎦ ⎝ E ⎠ 2. Phương trình cân bằng: ∂σ xx ∂σ yx + + fx = 0 ∂x ∂y ∂σ xy ∂σ yy + + fy = 0 ∂x ∂y July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 6(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7.1. Bài toán ứng suất phẳng 3. Phương trình động hình học Cauchy ∂u ∂v 1 ∂u ∂v ε xx = ε yy = ε xy = ( + ) ∂x ∂y 2 ∂y ∂x 4. Phương trình tương thích: ∂ 2 ε xx ∂ ε yy 2 ∂ 2ε xy + =2 ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y 5. Phương trình định luật Hooke: 1 ε xx = ⎡⎣σ xx −νσ yy ⎤⎦ ⎡ ⎤⎧ ⎫ E ⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ E ⎢ 1 ν 0 ⎥⎪ ε x ⎪ 1 ⎨σ y ⎬ = ⎢ν 1 0 ⎥⎨ ε y ⎬ ε yy = ⎡⎣σ yy −νσ xx ⎤⎦ ⎪τ ⎪ 1 − ν 2 ⎢ 1 −ν ⎥⎪ ⎪ E ⎩ xy ⎭ ⎢0 0 ⎥ ⎩γ xy ⎭ ⎣ 2 ⎦ 1 1 +ν ε xy = σ xy = σ xy ν 2μ E ε zz = − 1− ν ( ε xx + ε yy ) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 7(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7.2. Bài toán biến dạng phẳng 7.2. 7.2.Bài Bàitoán toánbiến biếndạng dạngphẳng phẳng εy γ xy Chỉ tồn tại biến dạng trong một mặt phẳng ε x , ε y , γ xy γ xy εx Đập nước Đoạn chiều dài 1 đ.v 1 τ xy σy y τ xy σz σx x z Ống trụ chịu áp lực trong hoặc ngoài, hai đầu bị ngàm chặt July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 8(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 9(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7.2. Bài toán biến dạng phẳng 1. Đặc điểm: Giả thiết: ε zx = ε zy = ε zz = 0 ⇒ σ zx = σ zy = 0; (σ zz ≠ 0 ) Các ẩn số ứng suất: σ xx ; σ yy ; σ xy Các ẩn số biến dạng: ε xx ; ε yy ; ε xy 2. Phương trình cân bằng: ∂σ xx ∂σ yx + + fx = 0 ∂x ∂y ∂σ xy ∂σ yy + + fy = 0 ∂x ∂y 3. Phương trình động hình học Cauchy ∂u ∂v 1 ∂u ∂v ε xx = ε yy = ε xy = ( + ) ∂x ∂y 2 ∂y ∂x 4. Phương trình tương thích: ∂ 2 ε xx ∂ ε yy 2 ∂ 2ε xy + =2 ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 10(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7.2. Bài toán biến dạng phẳng Vì: ε zz = 1 ⎡σ zz −ν (σ xx + σ yy ) ⎤ = 0 ⇒ σ zz = ν (σ xx + σ yy ) E⎣ ⎦ E 1 −ν 2 ⎛ ν ⎞ E1 = ε xx = ⎣σ xx −ν (σ yy + σ zz ) ⎦ = Mà: 1 ⎡ ⎤ σ ⎜ xx − σ yy ⎟ 1 −ν 2 E E ⎝ 1 −ν ⎠ ν 5. Phương trình định luật Hooke: 1/E1 ν1 ν1 = 1 −ν 1 ε xx = ⎡⎣σ xx −ν 1σ yy ⎤⎦ ⎡ ⎤⎧ ⎫ E1 ⎧σ x ⎫ ⎢1 −ν ν 0⎥⎪ ε x ⎪ ⎪ ⎪ E ⎢ ν 1 ε yy = ⎡⎣σ yy −ν 1σ xx ⎤⎦ σ ⎨ y⎬ = 1 −ν 0 ⎥⎨ ε y ⎬ ⎪τ ⎪ (1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢ 0 1 − 2ν ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎩γ xy ⎭ E1 ⎩ xy ⎭ ⎢ 0 ⎣ 2 ⎦ 1 1 +ν 1 ε xy = σ xy = σ xy 2μ E1 σ zz = ν (σ xx + σ yy ) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 11(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.1. Nhận xét chung về các bài toán phẳng: ¾ Các phương trình cơ bản của bài toán biến dạng phẳng và ứng suất phẳng về mặt toán học là hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau ở phương trình vật lý (E và E1, ν và ν1) => Phương pháp giải giống nhau. ¾ Bài toán phẳng có 8 ẩn số (3 ứng suất, 3 biến dạng và 2 chuyển vị). Ta có 8 phương trình để tìm các nghiệm trên (2 pt cân bằng, 3 pt động hình học và 3 pt vật lý) ¾ Các điều kiện biên tĩnh học để xác định các hằng số tích phân: σ xx l + σ xy m = f x* σ xy l + σ yy m = f y* ¾ Có cùng phương trình tương thích ∇ 2 (σ xx + σ yy ) = 0 (Biểu diễn biến dạng qua ứng suất kết hợp với phương trình cân bằng, lực thể tích =const) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 12(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.2. Hàm ứng suất Airy cho bài toán phẳng Airy đề xuất cách giải bài toán đàn hồi phẳng: Thay cho việc xác định ba ẩn ứng suất dựa vào 3 pt, chỉ cần xác định một hàm duy nhất- hàm ứng suất Airy ϕ(x, y) thỏa mãn: --Là Làhàm hàmhai haibiến biếnđộc độclập lập(x, (x,y)y) --Khi Khibỏ bỏqua qualực lựcthể thểtích: tích: ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂ 2ϕ σ xx = 2 σ yy = 2 σ xy =− ∂y ∂x ∂x∂y Do giải theo ứng suất nên phải thoả mãn phương trình tương thích => Pt điều hoà Levy có dạng: ∂ 4 ϕ ∂ 4 ϕ ∂ 4 ϕ Phương trình ∇ 4ϕ = 4 + 2 2 2 + 4 = 0 điều hoà kép ∂x ∂x ∂y ∂y July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 13(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.4. Đường lối giải bài toán LTĐH Thông thường hàm ứng suất được chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác (khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục). a. Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng và chuyển vị đã cho, giải trực tiếp pt bi điều hòa, từ đó xác định các thành phần ứng suất => Khó khăn khi muốn có lời giải chính xác. b. Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm ϕ, từ đó tìm ngược lại tải trọng từ đk bề mặt. => Chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản. VD: Khảo sát tấm chữ nhật, tấm tam giác. Cho trước đầy đủ dạng hàm ϕ và suy ngược lại tải trọng đặt lên biên của tấm. y y a c b x x b July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 14(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy Các bước giải: • Kiểm tra điều kiện: ∂ 4φ ∂ 4φ ∂ 4φ ∇ ϕ= 4 +2 2 2 + 4 =0 4 ∂x ∂x ∂y ∂y • Xác định các thành phần ứng suất ∂ ϕ 2 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ σ xx = σ yy = 2 σ xy =− ∂y 2 ∂x ∂x∂y •Tìm tải trọng theo điều kiện biên Trên mỗi biên xác định các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài n với hai trục x, y: l = cos(n,x) ; m = cos(n, y) σxxl + σyxm = fx* σxyl + σyym = fy* • Biểu diễn tải trọng trên biên (phương, chiều và độ lớn) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 15(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
c. Đường lối nửa ngược: Chọn hàm ϕ chứa một số hệ số dưới dạng ẩn, sau đó tìm biểu thức ứng suất, rồi buộc những biểu thức này thỏa mãn đk biên, từ đó xác định được các hệ số và các số hạng chưa biết. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 16(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 17(39) Email: tpnt2002@yahoo.com