c ä h

i

¹ ®

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

July 2009

1

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội

Chương 2

Một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ

July 2009

2

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ

2.1. Hệ thống ký hiệu 2.1. Hệ thống ký hiệu

2.2. Qui ước về chỉ số 2.2. Qui ước về chỉ số

2.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng 2.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng

2.4. Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không 2.4. Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không

2.5. Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất 2.5. Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất

2.6. Ten xơ hạng hai 2.6. Ten xơ hạng hai

July 2009

3

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

2.7. Ten xơ hạng n 2.7. Ten xơ hạng n

Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ

• Nghiên cứu Cơ học môi trường liên tục và Lý thuyết đàn

hồi => Công cụ toán học => tenxơ

• Thường gặp các đại lượng toán học, vật lý có các tính

chất khác nhau.

=

=

Ai

Aij

A =

][a

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 a 33

a 1 a 2 a 3

⎡ a 11 ⎢ a ⎢ 21 ⎢ a ⎣ 31

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Mở đầu Mở đầu

Vec tơ: vận tốc

Tenxơ: ứng suất

Vô hướng: khối lượng

July 2009

4

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ

- Đại lượng vô hướng: là những đại lượng mà với một đơn vị đo đã chọn nó được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ, khối lượng, …

- Đại lượng vec tơ : là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo đơn vị đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, … - Đại lượng ten xơ: đặc trưng cho một trạng thái xác định nào đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, …

Ten xơ là một đại lượng tổng quát. Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng.

Ten xơ bậc cao

=

a 111 a

a 121 a

a 131 a

211

231

Aijk

a 311

221 a 321

a 331

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009

5

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

2.1.1. Hệ thống ký hiệu

,

,

,...

a a a j

i

ijk

Các ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn:

,

qui ước: các chỉ số bằng chữ La tinh lấy các giá trị 1, 2, 3

,

,

,

,

biểu thị một trong 3 phần tử

a 23

a a , 31

32

a 33

22

a a a , 3 1 2 , a a a a a , , 12 11 13 a , a ,..., 111 112

21 a 333

biểu thị một trong 9 phần tử

ia ija ijka

2.1.2. Qui ước về chỉ số

+

+

=

=

biểu thị một trong 27 phần tử

a b k k

a b 3 3

a b 1 1

a b i i

Chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3. Chỉ số như vậy gọi là chỉsốcâm, ta có thể thay bằng chữ số khác a b 2 2

July 2009

6

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉsốtựdo, nó chạy từ 1 đến 3

2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

Trong hệ thống 2.1.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng ija

=> hệ thống này là hệ thống đối xứng

a= ji a= −

=> hệ thống phản đối xứng

δ ij

nếu thay đổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay đổi dấu và giá trị, tức là a ij a ji ij Kí hiệu Kronecker

1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

δ ij

1 i=j 0 i≠j

⎧ = ⎨ ⎩

3

1

Ký hiệu Levi-Chivita

ε ijk

2 chi so bat ky bang nhau ijk chieu quay ijk chieu quay

theo thu tu 123 theo thu tu 321

0 ⎧ ⎪ 1 = ⎨ ⎪−⎩ 1

2

July 2009

7

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

,

)

x x x t , , 1 2

3

)

,

,

( ϕ : toạ độ các điểm trong miền không gian; t là tham số thời gian

2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không

Trường vô hướng là một hàm vô hướng ( x x x 1 2 3

grad

ϕ ϕ

= ∇ =

+

+

(cid:74)(cid:71) e 1

(cid:74)(cid:74)(cid:71) e 2

(cid:74)(cid:71) e 3

∂ ϕ x ∂ 1

∂ ϕ x ∂ 2

∂ ϕ x ∂ 3

Gradient của trường vô hướng

- nếu trường vô hướng là nhiệt độ thì gradient là thông lượng nhiệt (flux of thermal energy)

July 2009

8

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Ký hiệu ∇ đọc là “nabla” (cid:74)(cid:71) ie là vec tơ đơn vị của hệ trục toạ độ Oxi

2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

Contours (đường)

gradient

.

onst

cϕ=

2

2

2

Δ = ∇∇ = ∇ =

ϕ ϕ

ϕ

+

+

2 ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ 2 2 2 x x x ∂ ∂ ∂ 1 2 3 Ký hiệu Δ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien

July 2009

9

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Ý nghĩa hình học: gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình

2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

x3

(cid:71) a

+

+

=

(cid:74)(cid:74)(cid:71) a 2

(cid:74)(cid:74)(cid:71) a 3

a3

hoặc:

=

+

+

(cid:74)(cid:71) a 1 (cid:74)(cid:74)(cid:71) a e 2 2

(cid:74)(cid:71) a e 3 3

E3`

a ei– vec tơ đơn vị 2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất a. Các thành phần vectơ Các đại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, …đặc trưng bởi trị số và hướng, biểu diễn trong không gian ba chiều bằng đoạn thẳng có hướng gọi là vec tơ - Biểu diễn vec tơ: (cid:74)(cid:71) (cid:71) a a e 1 1

e1

x1

- Độ dài vec tơ:

e2

a

a

(cid:71) a

=

+

+

=

=

2 a 1

2 2

2 a 3

2 a i

a1 O

x2

a2

il

- cosin chỉ phương của các vec tơ là

=

l i

a a / i

l

1

+

+

=

2 l 1

2 2

2 l 3

July 2009

10

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

i=1,2,3 với và

2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

b. Các phép tính vec tơ

a

),( ba

• Nhân vô hướng

ba

cos( ba

,

)

ba=⋅

b

• Nhân có hướng

ba ×

i

j

k

b

a b

a

a

a

× =

a

1 b 1

2 b 2

3 b 3

July 2009

11

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

(cid:74)(cid:71) ie

Phép xoay

c. Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ

(cid:74)(cid:71) ' ie

iOx

x3

x3

Các cosin chỉ phương cij là góc hợp bởi trục mới

'

ix và trục cũ xj:

x1

e3

e3`

e1 e1

x1

Hệ trục toạ độ vuông góc ban đầu Oxi-vec tơ đơn vị là ' Hệ trục vuông góc mới - vec tơ đơn vị là

=

=

O

[

e2

e2

c 11 c 21 c 31

c 12 c 22 c 32

c 13 c 23 c 33

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(cid:74)(cid:71) ⎧ ⎫ ' e 1 ⎪ ⎪ (cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ ' e ⎨ ⎬ 2 (cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ ' e ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭

(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎧ ⎫ e 1 ⎪ ⎪ (cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ e ⎨ ⎬ 2 (cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ e ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭

(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎧ ⎫ e 1 ⎪ ⎪ (cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ ] C e ⎨ ⎬ 2 (cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ e ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭

x2

x2

July 2009

12

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

x3

x3

'

'

'

c

c

c

11 '

12 '

13 '

x1

c

c

c

=

=

[

21 '

22 '

23 '

e3

e3`

c

c

c

31

32

33

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎧ ⎫ e 1 ⎪ ⎪ (cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ e ⎨ ⎬ 2 (cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ e ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭

(cid:74)(cid:71) ⎧ ⎫ ' e 1 ⎪ ⎪ (cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ ' e ⎨ ⎬ 2 (cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ ' e ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭

(cid:74)(cid:71) ⎧ ⎫ ' e 1 ⎪ ⎪ (cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ ] ' C e ' ⎨ ⎬ 2 (cid:74)(cid:71) ⎪ ⎪ ' e ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭

e1 e1

x1

e2

e2

Ma trận các cosin chỉ phương [C] và [C’] là các ma trận trực giao

1

T

−

x2

C

C

C

=

=

]

[

]

[

] '

x2

[ 2.1.6 Ten xơ hạng hai: Là hệ thống aij gồm 32=9 thành phần: trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng của môi trường liên tục, sự phân bố của mô men quán tính đối với các trục đi qua điểm bất kỳ thuộc vật thể rắn, …

2.1.7 Ten xơ hạng n: là hệ thống aijkl… gồm 3n thành phần

July 2009

13

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

O

July 2009

14

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com